من الصيغة الأساسية لحجم رباعي الاسطح

أين سهي مساحة أي وجه، و ح– الارتفاع الذي تم تخفيضه به، يمكن استخلاص سلسلة كاملة من الصيغ التي تعبر عن الحجم من خلال عناصر مختلفة من رباعي الاسطح. دعونا نقدم هذه الصيغ لرباعي الاسطح ABCD.

(2) ,

حيث ∠ ( إعلان,اي بي سي) - الزاوية بين الحافة إعلانوطائرة الوجه اي بي سي;

(3) ,

حيث ∠ ( اي بي سي,عبد) - الزاوية بين الوجوه اي بي سيو عبد;

حيث | أ.ب,قرص مضغوط| - المسافة بين الأضلاع المتقابلة أ.بو قرص مضغوط, ∠ (أ.ب,قرص مضغوط) هي الزاوية بين هذه الحواف.

يمكن استخدام الصيغ (2)-(4) لإيجاد الزوايا بين الخطوط المستقيمة والمستويات؛ الصيغة (4) مفيدة بشكل خاص، حيث يمكنك العثور على المسافة بين الخطوط المتقاطعة أ.بو قرص مضغوط.

الصيغتان (2) و (3) متشابهتان مع الصيغة س = (1/2)أبخطيئة جلمساحة المثلث . صيغة س = روبيةصيغة مماثلة

أين صهو نصف قطر الكرة المنقوشة لرباعي الأسطح، Σ هو سطحه الإجمالي (مجموع مساحات كل الوجوه). هناك أيضًا صيغة جميلة تربط حجم رباعي الأسطح بنصف القطر رمجالها الموصوف ( صيغة الكريليت):

حيث Δ هي مساحة المثلث الذي تتساوى أضلاعه عددياً مع منتجات الحواف المتقابلة ( أ.ب× قرص مضغوط, مكيف الهواء× دينار بحريني,إعلان× قبل الميلاد). من الصيغة (2) ونظرية جيب التمام للزوايا ثلاثية السطوح (انظر علم المثلثات الكروية)، يمكننا استخلاص صيغة مشابهة لصيغة هيرون للمثلثات.

خذ بعين الاعتبار مثلثًا عشوائيًا ABC ونقطة D لا تقع في مستوى هذا المثلث. دعونا نربط هذه النقطة مع رؤوس المثلث ABC باستخدام القطع. ونتيجة لذلك، نحصل على مثلثات ADC، CDB، ABD. السطح الذي يحده أربعة مثلثات ABC، ADC، CDB وABD يسمى رباعي الاسطح ويسمى DABC.
المثلثات التي تشكل رباعي الاسطح تسمى وجوهه.
تسمى جوانب هذه المثلثات بحواف رباعي الاسطح. ورؤوسها هي رؤوس رباعي السطوح

رباعي الاسطح لديه 4 وجوه, 6 ضلوعو 4 قمم.
تسمى الحافتان اللتان ليس لهما قمة مشتركة بالعكس.
في كثير من الأحيان، للراحة، يتم استدعاء أحد وجوه رباعي الاسطح أساس، والأوجه الثلاثة الباقية هي وجوه جانبية.

وبالتالي، فإن رباعي السطوح هو أبسط متعدد السطوح الذي تكون وجوهه أربعة مثلثات.

ولكن من الصحيح أيضًا أن أي هرم ثلاثي اعتباطي هو رباعي السطوح. ومن الصحيح أيضًا أن يسمى رباعي السطوح هرم بمثلث في قاعدته.

ارتفاع رباعي الاسطحيسمى القطعة التي تصل قمة الرأس بنقطة تقع على الوجه المقابل لها ومتعامدة معها.
متوسط ​​رباعي الاسطحيسمى القطعة التي تصل قمة الرأس بنقطة تقاطع متوسطات الوجه المقابل.
بيميديان من رباعي الاسطحيسمى الجزء الذي يربط بين نقاط المنتصف للحواف المتقاطعة لرباعي السطوح.

بما أن رباعي السطوح هو هرم ذو قاعدة مثلثة، فيمكن حساب حجم أي رباعي وجوه باستخدام الصيغة

• س- مساحة أي وجه،
• ح– انخفاض الارتفاع إلى هذا الوجه

رباعي السطوح العادي - نوع خاص من رباعي السطوح

يسمى رباعي السطوح الذي تكون جميع وجوهه متساوية الأضلاع مثلثًا. صحيح.
خصائص رباعي الاسطح العادي:

• جميع الحواف متساوية.
• جميع الزوايا المستوية لرباعي السطوح المنتظم هي 60 درجة
• بما أن كل رأس من رؤوسه هو رأس ثلاثة مثلثات منتظمة، فإن مجموع زوايا المستوى عند كل رأس هو 180 درجة
• يتم إسقاط أي قمة لرباعي السطوح المنتظم في مركز تقويم الوجه المقابل (عند نقطة تقاطع ارتفاعات المثلث).

دعونا نحصل على رباعي السطوح ABCD منتظم بحواف تساوي a. DH هو ارتفاعه.
دعونا نجعل إنشاءات إضافية BM - ارتفاع المثلث ABC و DM - ارتفاع المثلث ACD.
ارتفاع BM يساوي BM ويساوي
خذ بعين الاعتبار المثلث BDM، حيث DH، وهو ارتفاع رباعي الأسطح، هو أيضًا ارتفاع هذا المثلث.
يمكن إيجاد ارتفاع المثلث المسقط على الجانب MB باستخدام الصيغة

، أين
بم =، مارك ألماني =، دينار بحريني = أ،
ع=1/2 (BM+BD+DM)=
دعونا نستبدل هذه القيم في صيغة الارتفاع. نحصل على


لنأخذ 1/2 أ. نحصل على

دعونا نطبق صيغة الفرق بين المربعات

بعد التحولات الصغيرة نحصل عليها


يمكن حساب حجم أي رباعي السطوح باستخدام الصيغة
,
أين ,

استبدال هذه القيم، نحصل على

وبالتالي، فإن صيغة الحجم لرباعي السطوح المنتظم هي

أين أ- حافة رباعية السطوح

حساب حجم رباعي السطوح إذا كانت إحداثيات رؤوسه معروفة

دعونا نحصل على إحداثيات رؤوس رباعي السطوح

من الرأس نرسم المتجهات , .
للعثور على إحداثيات كل من هذه المتجهات، اطرح إحداثيات البداية المقابلة من إحداثيات النهاية. نحصل على

في الشكل رباعي السطوح المنتظم، تكون جميع الزوايا ثنائية السطوح عند الحواف وجميع الزوايا الثلاثية عند القمم متساوية

رباعي الاسطح له 4 وجوه و4 رؤوس و6 حواف.

ترد في الجدول الصيغ الأساسية لرباعي الأسطح المنتظم.

أين:
S - مساحة سطح رباعي الاسطح المنتظم
الخامس - الحجم
ح - خفض الارتفاع إلى القاعدة
ص - نصف قطر الدائرة المدرج في رباعي الاسطح
R - محيط نصف القطر
أ - طول الحافة

أمثلة عملية

حل.
وبما أن جميع أحرف الهرم الثلاثي متساوية، فهو منتظم. مساحة سطح الهرم الثلاثي المنتظم هي S = a 2 √3.
ثم
س = 3√3

إجابة: 3√3

مهمة.
طول أحرف الهرم الثلاثي المنتظم 4 سم، أوجد حجم الهرم

حل.
بما أنه في الهرم الثلاثي المنتظم، فإن ارتفاع الهرم يسقط على مركز القاعدة، وهو أيضًا مركز الدائرة المحيطة، إذن

AO = R = √3 / 3 أ
او = 4√3 / 3

وهكذا، يمكن معرفة ارتفاع الهرم OM من المثلث الأيمنأوم

آو 2 + أوم 2 = ص 2
أوم 2 = ص 2 - آو 2
أوم 2 = 4 2 - (4√3 / 3) 2
أم 2 = 16 - 16/3
أوم = √(32/3)
أوم = 4√2 / √3

نجد حجم الهرم باستخدام الصيغة V = 1/3 Sh
في هذه الحالة، نجد مساحة القاعدة باستخدام الصيغة S = √3/4 a 2

V = 1/3 (√3 / 4*16) (4√2 / √3)
الخامس = 16√2/3

إجابة: 16√2 / 3 سم

تعريف رباعي الاسطح

رباعي الاسطح- أبسط جسم متعدد السطوح، وجوهه وقاعدته مثلثات.

آلة حاسبة على الانترنت

رباعي السطوح له أربعة وجوه، يتكون كل منها من ثلاثة جوانب. يتكون رباعي الأسطح من أربعة رؤوس، تخرج من كل منها ثلاث حواف.

وينقسم هذا الجسم إلى عدة أنواع. أدناه هو تصنيفهم.

1. رباعي السطوح متساوي السطوح- جميع وجوهها مثلثات متطابقة.
2. رباعي السطوح متعامد المركز- جميع الارتفاعات المرسومة من كل قمة إلى الوجه المقابل متساوية في الطول؛
3. رباعي الاسطح مستطيل- تشكل الحواف المنبثقة من قمة واحدة زاوية 90 درجة مع بعضها البعض؛
4. إطار;
5. متناسب;
6. لامركزي.

صيغ حجم رباعي الاسطح

يمكن معرفة حجم جسم معين بعدة طرق. دعونا ننظر إليهم بمزيد من التفصيل.

من خلال المنتج المختلط للناقلات

إذا كان رباعي الأسطح مبنيًا على ثلاثة متجهات ذات إحداثيات:

ا ⃗ = (a x , a y , a z) \vec(a)=(a_x, a_y, a_z)أ= (أ س​ , أ ذ​ , أ ض​ )
ب ⃗ = (ب x , ب y , ب ض) \vec(b)=(b_x, b_y, b_z)ب= (ب س​ , ب ذ​ , ب ض​ )
ج ⃗ = (ج س , ج ص , ج ض) \vec(c)=(c_x, c_y, c_z)ج= (ج س​ , ج ذ​ , ج ض​ ) ,

فإن حجم هذا الرباعي هو حاصل الضرب المختلط لهذه المتجهات، أي المحدد التالي:

V = 1 6 ⋅ ∣ a x a y a z b x b y b z c x c y c z ∣ V=\frac(1)(6)\cdot\begin(vmatrix) a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \\ \end(vmatrix )الخامس=6 1 ​ ⋅ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ أ س​ ب س​ ج س​ ​ أ ذ​ ب ذ​ ج ذ​ ​ أ ض​ ب ض​ ج ض​ ​ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​

إحداثيات القمم الأربعة للمجسم الثماني معروفة. أ(1، 4، 9) أ(1،4،9) أ(1، 4، 9), ب (8، 7، 3) ب(8،7،3) ب(8، 7، 3), ج (1، 2، 3) ​​ج (1،2،3) ج(1، 2، 3), د(7، 12، 1) د(7،12،1) د(7، 1 2، 1). أوجد حجمه.

حل

أ(1، 4، 9) أ(1،4،9) أ(1، 4، 9)
ب (8، 7، 3) ب(8،7،3) ب(8، 7، 3)
ج (1، 2، 3) ​​ج (1،2،3) ج(1، 2، 3)
د(7، 12، 1) د(7،12،1) د(7، 1 2، 1)

الخطوة الأولى هي تحديد إحداثيات المتجهات التي بني عليها هذا الجسم.
للقيام بذلك، تحتاج إلى العثور على كل إحداثيات متجهة عن طريق طرح الإحداثيات المقابلة للنقطتين. على سبيل المثال، إحداثيات المتجهات أ ب → \overrightarrow(AB) أ بأي متجه موجه من النقطة أ أ أإلى هذه النقطة ب ب بهذه هي الاختلافات بين الإحداثيات المقابلة للنقاط ب ب بو أ أ أ:

أ ب → = (8 − 1 , 7 − 4 , 3 − 9) = (7 , 3 , − 6) \overrightarrow(AB)=(8-1, 7-4, 3-9)=(7, 3, -6)أ ب= (8 − 1 , 7 − 4 , 3 − 9 ) = (7 , 3 , − 6 )

أ C → = (1 − 1 , 2 − 4 , 3 − 9) = (0 , − 2 , − 6) \overrightarrow(AC)=(1-1, 2-4, 3-9)=(0, - 2، -6)أ ج= (1 − 1 , 2 − 4 , 3 − 9 ) = (0 , − 2 , − 6 )
أ د → = (7 − 1 , 12 − 4 , 1 − 9) = (6 , 8 , − 8) \overrightarrow(AD)=(7-1, 12-4, 1-9)=(6, 8, -8)إعلان= (7 − 1 , 1 2 − 4 , 1 − 9 ) = (6 , 8 , − 8 )

والآن دعونا نوجد حاصل الضرب المختلط لهذه المتجهات، وللقيام بذلك، سنكتب محددًا من الدرجة الثالثة، مع قبول ذلك أ ب → = أ ⃗ \overrightarrow(AB)=\vec(a)أ ب= أ, أ ج → = ب ⃗ \overrightarrow(AC)=\vec(b)أ ج= ب, أ د → = ج ⃗ \overrightarrow(AD)=\vec(c)إعلان= ج.

∣ a x a y a z b x b y b z c c c c c c z z ∣ = ∣ 7 3 - 6 0 - 2 - 6 6 8 - 8 ∣ = 7 ⋅ ( - 2) ⋅ ( - 8) + 3 ⋅ ( - 6) ⋅ 6 + ( - 6) ⋅ 0 ⋅ 8 − (− 6) ⋅ (− 2) ⋅ 6 − 7 ⋅ (− 6) ⋅ 8 − 3 ⋅ 0 ⋅ (− 8) = 112 − 108 − 0 − 72 + 336 + 0 = 268 \begin(vmatrix) a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \\ \end(vmatrix)= \begin(vmatrix) 7 & 3 & -6 \\ 0 & -2 & -6 \\ 6 & 8 & -8 \\ \end(vmatrix)=7\cdot(-2)\cdot(-8) + 3\cdot(-6)\cdot6 + (-6)\cdot0\cdot8 - (-6)\cdot (-2)\cdot6 - 7\cdot(-6)\cdot8 - 3\cdot0\cdot(-8) = 112 - 108 - 0 - 72 + 336 + 0 = 268∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ أ س​ ب س​ جس​ ​ أذ​ بذ​ جذ​ ​ أض​ بض​ جض​ ​ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ 7 0 6 ​ 3 − 2 8 ​ − 6 − 6 − 8 ​ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ = 7 ⋅ (− 2 ) ⋅ (− 8 ) + 3 ⋅ (− 6 ) ⋅ 6 + (− 6 ) ⋅ 0 ⋅ 8 − (− 6 ) ⋅ (− 2 ) ⋅ 6 − 7 ⋅ (− 6 ) ⋅ 8 − 3 ⋅ 0 ⋅ (− 8 ) = 1 1 2 − 1 0 8 − 0 − 7 2 + 3 3 6 + 0 = 2 6 8

أي أن حجم رباعي السطوح يساوي:

$V=61\cdot |$

إجابة

$44.8\text{سم3 .}$

صيغة لحجم رباعي السطوح متساوي السطوح على طول جانبه

هذه الصيغة صالحة فقط لحساب حجم رباعي السطوح متساوي السطوح، أي رباعي السطوح تكون فيه جميع الوجوه مثلثات منتظمة متطابقة.

$V=12\sqrt{2\cdot {أ}^3}$

أأ- طول حافة رباعي الاسطح.

تحديد حجم رباعي السطوح بمعلومية أن ضلعه يساوي $11\text{سم.}$

حل

$أ=11$

دعونا نستبدل أأفي صيغة حجم رباعي الاسطح:

$V=12\sqrt{2\cdot {أ}^{3=12\sqrt{2\cdot 11^{3\approx 156.8\text{سم3}}}}}$

إجابة

$156.8\text{سم3 .}$