Разделы сайта
Выбор редакции:
- Использование повторов в литературе Значение слова повторы в литературе
- Алкогольное опьянение Алкоголизм алкогольное опьянение
- Проявления и лечение отравления антидепрессантами Отравление антидепрессантами
- Натрия тиосульфат Как получить тиосульфат натрия
- Журнал учета полученных и выставленных счетов-фактур
- Применение УСН: нормы и их практическая реализация Какой налог усн в году
- Будет ли повышение пенсий в крыму
- Налог на наследство по завещанию
- Как пишется «несмотря на» или «не смотря на»?
- Два замечательных рецепта приготовления курицы с чесноком в духовке
Реклама
Что значит привести дробь к общему знаменателю. Как складывать дроби с разными знаменателями |
Изначально я хотел включить методы приведения к общему знаменателю в параграф «Сложение и вычитание дробей». Но информации оказалось так много, а важность ее столь велика (ведь общие знаменатели бывают не только у числовых дробей), что лучше изучить этот вопрос отдельно. Итак, пусть у нас есть две дроби с разными знаменателями. А мы хотим сделать так, чтобы знаменатели стали одинаковыми. На помощь приходит основное свойство дроби, которое, напомню, звучит следующим образом:
Таким образом, если правильно подобрать множители, знаменатели у дробей сравняются - этот процесс называется приведением к общему знаменателю. А искомые числа, «выравнивающие» знаменатели, называются дополнительными множителями. Для чего вообще надо приводить дроби к общему знаменателю? Вот лишь несколько причин:
Есть много способов найти числа, при умножении на которые знаменатели дробей станут равными. Мы рассмотрим лишь три из них - в порядке возрастания сложности и, в некотором смысле, эффективности. Умножение «крест-накрест»Самый простой и надежный способ, который гарантированно выравнивает знаменатели. Будем действовать «напролом»: умножаем первую дробь на знаменатель второй дроби, а вторую - на знаменатель первой. В результате знаменатели обеих дробей станут равными произведению исходных знаменателей. Взгляните: В качестве дополнительных множителей рассмотрим знаменатели соседних дробей. Получим: Да, вот так все просто. Если вы только начинаете изучать дроби, лучше работайте именно этим методом - так вы застрахуете себя от множества ошибок и гарантированно получите результат. Единственный недостаток данного метода - приходится много считать, ведь знаменатели умножаются «напролом», и в результате могут получиться очень большие числа. Такова расплата за надежность. Метод общих делителейЭтот прием помогает намного сократить вычисления, но, к сожалению, применяется он достаточно редко. Метод заключается в следующем:
Заметим, что 84: 21 = 4; 72: 12 = 6 . Поскольку в обоих случаях один знаменатель делится без остатка на другой, применяем метод общих множителей. Имеем: Заметим, что вторая дробь вообще нигде ни на что не умножалась. Фактически, мы сократили объем вычислений в два раза! Кстати, дроби в этом примере я взял не случайно. Если интересно, попробуйте сосчитать их методом «крест-накрест». После сокращения ответы получатся такими же, но работы будет намного больше. В этом и состоит сила метода общих делителей, но, повторюсь, применять его можно лишь в том случае, когда один из знаменателей делится на другой без остатка. Что бывает достаточно редко. Метод наименьшего общего кратногоКогда мы приводим дроби к общему знаменателю, мы по сути пытаемся найти такое число, которое делится на каждый из знаменателей. Затем приводим к этому числу знаменатели обеих дробей. Таких чисел очень много, и наименьшее из них совсем не обязательно будет равняться прямому произведению знаменателей исходных дробей, как это предполагается в методе «крест-накрест». Например, для знаменателей 8 и 12 вполне подойдет число 24, поскольку 24: 8 = 3; 24: 12 = 2 . Это число намного меньше произведения 8 · 12 = 96 .
Если вам удастся найти такое число, итоговый объем вычислений будет минимальным. Посмотрите на примеры:
Заметим, что 234 = 117 · 2; 351 = 117 · 3 . Множители 2 и 3 взаимно просты (не имеют общих делителей, кроме 1), а множитель 117 - общий. Поэтому НОК(234; 351) = 117 · 2 · 3 = 702. Аналогично, 15 = 5 · 3; 20 = 5 · 4 . Множители 3 и 4 взаимно просты, а множитель 5 - общий. Поэтому НОК(15; 20) = 5 · 3 · 4 = 60. Теперь приведем дроби к общим знаменателям: Обратите внимание, насколько полезным оказалось разложение исходных знаменателей на множители:
Чтобы оценить, насколько колоссальный выигрыш дает метод наименьшего общего кратного, попробуйте вычислить эти же примеры методом «крест-накрест». Разумеется, без калькулятора. Думаю, после этого комментарии будут излишними. Не думайте, что таких сложных дробей в настоящих примерах не будет. Они встречаются постоянно, и приведенные выше задачи - не предел! Единственная проблема - как найти этот самый НОК. Иногда все находится за несколько секунд, буквально «на глаз», но в целом это сложная вычислительная задача, требующая отдельного рассмотрения. Здесь мы не будем этого касаться. Схема приведения к общему знаменателю
Важно запомнить, что приведение к общему знаменателю нужно не только для сложения или вычитания. Для сравнения нескольких дробей с разными знаменателями также необходимо сначала привести каждую из них к общему знаменателю. Приведение дробей к общему знаменателюДля того чтобы понять, как привести к общему знаменателю дробь, необходимо разобраться в некоторых свойствах дробей. Так, важным свойством, используемым для приведения к НОЗ, является равенство дробей. Другими словами, если числитель и знаменатель дроби умножается на число, то в результате получает дробь, равная предыдущей. В качестве примера приведём следующий пример. Для того чтобы привести дроби 5/9 и 5/6 к наименьшему общему знаменателю, нужно выполнить следующие действия:
Как видим из представленного выше примера, обе дроби были приведены к наименьшему общему знаменателю. Чтобы окончательно разобраться в том, как найти общий знаменатель, необходимо освоить еще одно свойство дробей. Оно заключается в том, что числитель и знаменатель дроби можно сократить на одно и то же число, которое называется общим делителем. Например, дробь 12/30 можно сократить до 2/5, если разделить ее на общий делитель - число 6. У дробей бывают различные или одинаковые знаменатели. Одинаковый знаменатель или по-другому называют общий знаменатель у дроби. Пример общего знаменателя: \(\frac{17}{5}, \frac{1}{5}\) Пример разных знаменателей у дробей: \(\frac{8}{3}, \frac{2}{13}\) Как привести к общему знаменателю дроби? У первой дроби знаменатель равен 3, у второй равен 13. Нужно найти такое число, чтобы делилось и на 3 и на 13. Это число 39. Первую дробь нужно умножить на дополнительный множитель 13. Чтобы дробь не изменилась умножаем обязательно и числитель на 13 и знаменатель. \(\frac{8}{3} = \frac{8 \times \color{red} {13}}{3 \times \color{red} {13}} = \frac{104}{39}\) Вторую дробь умножаем на дополнительный множитель 3. \(\frac{2}{13} = \frac{2 \times \color{red} {3}}{13 \times \color{red} {3}} = \frac{6}{39}\) Мы привели к общему знаменателю дроби: \(\frac{8}{3} = \frac{104}{39}, \frac{2}{13} = \frac{6}{39}\) Наименьший общий знаменатель.Рассмотрим еще пример: Приведем дроби \(\frac{5}{8}\) и \(\frac{7}{12}\) к общему знаменателю. Общий знаменатель для чисел 8 и 12 могут быть числа 24, 48, 96, 120, …, принято выбирать наименьший общий знаменатель в нашем случае это число 24. Наименьший общий знаменатель – это наименьшее число, на которое делиться знаменатель первой и второй дроби. Как найти наименьший общий знаменатель?
Нам нужно дробь со знаменателем 8 умножить на 3, а дробь со знаменателем 12 умножить на 2. \(\begin{align}&\frac{5}{8} = \frac{5 \times \color{red} {3}}{8 \times \color{red} {3}} = \frac{15}{24}\\\\&\frac{7}{12} = \frac{7 \times \color{red} {2}}{12 \times \color{red} {2}} = \frac{14}{24}\\\\ \end{align}\) Если у вас сразу не получиться привести дроби к наименьшему общему знаменателю в этом ничего страшного нет, в дальнейшем решая пример вам может быть придется полученный ответ Общей знаменатель можно найти для любых двух дробей это может быть произведение знаменателей этих дробей. Например: Самый простой способ найти общий знаменатель – это произведение знаменателей 4⋅16=64. Число 64 это не наименьший общий знаменатель. По заданию нужно найти именно наименьший общий знаменатель. Поэтому ищем дальше. Нам нужно число, которое делиться и на 4, и на 16, это число 16. Приведем к общему знаменателю дроби, умножим дробь со знаменателем 4 на 4, а дробь со знаменателем 16 на единицу. Получим: \(\begin{align}&\frac{1}{4} = \frac{1 \times \color{red} {4}}{4 \times \color{red} {4}} = \frac{4}{16}\\\\&\frac{9}{16} = \frac{9 \times \color{red} {1}}{16 \times \color{red} {1}} = \frac{9}{16}\\\\ \end{align}\) В данном материале мы разберем, как правильно приводить дроби к новому знаменателю, что такое дополнительный множитель и как его найти. После этого сформулируем основное правило приведения дробей к новым знаменателям и проиллюстрируем его примерами задач. Понятие приведения дроби к другому знаменателюВспомним основное свойство дроби. Согласно ему, обыкновенная дробь a b (где a и b – любые числа) имеет бесконечное количество дробей, которые равны ей. Такие дроби можно получить, умножив числитель и знаменатель на одинаковое число m (натуральное). Иными словами, все обыкновенные дроби могут быть заменены другими вида a · m b · m . Это и есть приведение исходного значения к дроби с нужным знаменателем. Привести дробь к другому знаменателю можно, умножив ее числитель и знаменатель на любое натуральное число. Главное условие – множитель должен быть одинаков для обоих частей дроби. В итоге получится дробь, равная исходной. Проиллюстрируем это примером. Пример 1 Привести дробь 11 25 к новому знаменателю. Решение Возьмем произвольное натуральное число 4 и умножим обе части исходной дроби на него. Считаем: 11 · 4 = 44 и 25 · 4 = 100 . В итоге получилась дробь 44 100 . Все подсчеты можно записать в таком виде: 11 25 = 11 · 4 25 · 4 = 44 100 Выходит, любую дробь можно привести к огромному количеству разных знаменателей. Вместо четверки мы могли бы взять другое натуральное число и получить еще одну дробь, эквивалентную исходной. Но не любое число может стать знаменателем новой дроби. Так, для a b в знаменателе могут стоять только числа b · m , кратные числу b . Вспомните основные понятия деления – кратные числа и делители. Если число не кратно b , но делителем новой дроби оно быть не может. Поясним нашу мысль примером решения задачи. Пример 2 Вычислить, возможно ли приведение дроби 5 9 к знаменателям 54 и 21 . Решение 54 кратно девятке, которая стоит в знаменателе новой дроби (т.е. 54 можно разделить на 9). Значит, такое приведение возможно. А 21 мы разделить на 9 не можем, поэтому такое действие для данной дроби выполнить нельзя. Понятие дополнительного множителяСформулируем, что такое дополнительный множитель. Определение 1 Дополнительный множитель представляет собой такое натуральное число, на которое умножают обе части дроби для приведения ее к новому знаменателю. Т.е. когда мы выполняем это действие с дробью, мы берем для нее дополнительный множитель. Например, для приведения дроби 7 10 к виду 21 30 нам потребуется дополнительный множитель 3 . А получить дробь 15 40 из 3 8 можно с помощью множителя 5 . Соответственно, если мы знаем знаменатель, к которому необходимо привести дробь, то мы можем вычислить для нее и дополнительный множитель. Разберем, как это сделать. У нас есть дробь a b , которую можно привести к некоторому знаменателю c ; вычислим дополнительный множитель m . Нам надо произвести умножение знаменателя исходной дроби на m . У нас получится b · m , а по условию задачи b · m = c . Вспомним, как связаны между собой умножение и деление. Эта связь подскажет нам следующий вывод: дополнительный множитель есть не что иное, как частное от деления c на b , иначе говоря, m = c: b . Таким образом, для нахождения дополнительного множителя нам нужно разделить требуемый знаменатель на исходный. Пример 3 Найдите дополнительный множитель, с помощью которого дробь 17 4 была приведена к знаменателю 124 . Решение Используя правило выше, мы просто разделим 124 на знаменатель первоначальной дроби – четверку. Считаем: 124: 4 = 31 . Выполнять расчеты такого типа часто требуется при приведении дробей к общему знаменателю. Правило приведения дробей к указанному знаменателюПерейдем к определению основного правила, с помощью которого можно привести дроби к указанному знаменателю. Итак, Определение 2 Для приведения дроби к указанному знаменателю нужно:
Как применить это правило на практике? Приведем пример решения задачи. Пример 4 Выполните приведение дроби 7 16 к знаменателю 336 . Решение Начнем с вычисления дополнительного множителя. Разделим: 336: 16 = 21 . Полученный ответ умножаем на обе части исходной дроби: 7 16 = 7 · 21 16 · 21 = 147 336 . Так мы привели исходную дробь к нужному знаменателю 336 . Ответ: 7 16 = 147 336 . Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter Чтобы понять, как складывать дроби с разными знаменателями, сначала изучим правило, а затем рассмотрим конкретные примеры. Чтобы сложить или вычесть дроби с разными знаменателями, надо: 1) Найти(НОЗ) данных дробей. 2) Найти дополнительный множитель к каждой дроби. Для этого новый знаменатель нужно разделить на старый. 3) Умножить числитель и знаменатель каждой дроби на дополнительный множитель и сложить или вычесть дроби с одинаковыми знаменателями. 4) Проверить, является ли полученная в результате дробь правильной и несократимой. В следующих примерах надо сложить или вычесть дроби с разными знаменателями: 1) Чтобы вычесть дроби с разными знаменателями, сначала ищем наименьший общий знаменатель данных дробей. Выбираем большее из чисел и проверяем, делится ли оно на меньшее. 25 на 20 не делится. Умножаем 25 на 2. 50 на 20 не делится. Умножаем 25 на 3. 75 на 20 не делится. Умножаем 25 на 4. 100 на 20 делится. Значит, наименьший общий знаменатель равен 100. 2) Чтобы найти дополнительный множитель к каждой дроби, надо новый знаменатель разделить на старый. 100:25=4, 100:20=5. Соответственно, к первой дроби дополнительный множитель 4, ко второй — 5. 3) Умножаем числитель и знаменатель каждой дроби на дополнительный множитель и вычитаем дроби по правилу вычитания дробей с одинаковыми знаменателями. 4) Полученная дробь — правильная и несократимая. Значит, это — ответ. 1) Чтобы сложить дроби с разными знаменателями, сначала ищем наименьший общий знаменатель. 16 на 12 не делится. 16∙2=32 на 12 не делится. 16∙3=48 на 12 делится. Значит, 48 — НОЗ. 2) 48:16=3, 48:12=4. Это — дополнительные множители к каждой дроби. 3) умножаем числитель и знаменатель каждой дроби на дополнительный множитель и складываем новые дроби. 4)Полученная в результате дробь — правильная и несократимая. 1) 30 на 20 не делится. 30∙2=60 на 20 делится. Значит, 60 — наименьший общий знаменатель этих дробей. 2) чтобы найти дополнительный множитель к каждой дроби, надо новый знаменатель поделить на старый: 60:20=3, 60:30=2. 3) умножаем числитель и знаменатель каждой дроби на дополнительный множитель и вычитаем новые дроби. 4) полученную дробьна 5. 1) 8 на 6 не делится. 8∙2=16 на 6 не делится. 8∙3=24 делится и на 4, и на 6. Значит, 24 — это и есть НОЗ. 2) чтобы найти дополнительный множитель к каждой дроби, нужно новый знаменатель разделить на старый. 24:8=3, 24:4=6, 24:6=4. Значит, 3, 6 и 4 — дополнительные множители к первой, второй и третьей дроби. 3) умножаем числитель и знаменатель каждой долби на дополнительный множитель. Складываем и вычитаем. Полученная дробь — неправильная, поэтому необходимо выделить целую часть. |
Читайте: |
---|
Популярное:
Салат с копченой курицей и помидорами |
Новое
- Алкогольное опьянение Алкоголизм алкогольное опьянение
- Проявления и лечение отравления антидепрессантами Отравление антидепрессантами
- Натрия тиосульфат Как получить тиосульфат натрия
- Журнал учета полученных и выставленных счетов-фактур
- Применение УСН: нормы и их практическая реализация Какой налог усн в году
- Будет ли повышение пенсий в крыму
- Налог на наследство по завещанию
- Как пишется «несмотря на» или «не смотря на»?
- Два замечательных рецепта приготовления курицы с чесноком в духовке
- Как приготовить салат из печени трески с зеленым горошком