Abschnitte der Website
Wahl des Herausgebers:
- Diätsalate: Rezepte zum Abnehmen
- Kann Joghurt das Leben verlängern: Studium der Alterungstheorie von Ilya Mechnikov
- Quarkauflauf für Kinder
- Verwendung von Synonymen in der Sprache
- Gesicht als morphologisches Merkmal eines Verbs
- Spezifizierender Umstand als separates Mitglied eines Satzes Satz mit einem separaten klärenden Umstand
- Richtige Ernährung - Mittagessen
- Was man schnell zum Frühstück kochen kann
- Traumdeutung: Kranich fliegt, geht, gurrt
- Warum träumen Sie von einem Wolf: richtige Interpretation
Werbung
| Kartesische Koordinaten von Punkten auf der Ebene. Gleichung eines Kreises |
|
Städtische Bildungseinrichtung Sekundarschule Nr. 1 KHMAO-Jugra Unterrichtsentwicklung in der 10. Klasse über Algebra und Prinzipien der Analysis Nadeschda Michailowna Mathelehrer Sowjetski Thema: TRIGONOMETRIE Trigonometrische Funktionen Trigonometrische Gleichungen Trigonometrische Transformationen Zahlenkreis eingeschaltet Koordinatenebene Der Unterricht erfolgt in blockmodularer Technik. Diese Lektion ist eine der Lektionen zum Erlernen neuer Materialien. Daher ist die Hauptzeit des Unterrichts dem Erlernen neuer Materialien gewidmet, und die Schüler erledigen den größten Teil dieser Arbeit selbstständig. Arten der Schüleraktivitäten im Unterricht: Frontal-, Selbst- und Einzelarbeit. Da in einer Unterrichtsstunde viel Arbeit geleistet und die Ergebnisse der Schüleraktivitäten überwacht werden müssen, kommt in den Phasen der Wissensaktualisierung und des Erlernens neuer Materialien ein interaktives Whiteboard zum Einsatz. Zur bildlicheren Darstellung der Überlagerung des Zahlenkreises auf der Koordinatenebene und zur Reflexion des Inhalts des Lehrmaterials am Ende der Schulungseinheit werden auch Power-Point-Präsentationen eingesetzt. pädagogisch Lernen Sie, sich selbstständig Wissen anzueignen pflegend Kultivieren Sie Gelassenheit, Verantwortung und Fleiß Entwicklung Lernen Sie zu analysieren, zu vergleichen und Analogien aufzubauen Unterrichtsplan: 1) Organisatorischer Moment, Thema, Zweck der Lektion 2 min. 2) Wissen aktualisieren 4 min. 3) Neues Material lernen 30 min. 4) Reflexion 3 min. 5) Zusammenfassung von Lektion 1 min. Organisatorischer Moment Zahlenkreis Koordinatenebene Betrachten Sie den Zahlenkreis auf der Koordinatenebene. Finden Sie gemeinsam die Koordinaten zweier Punkte. Erstellen Sie dann unabhängig voneinander Tabellen mit Koordinatenwerten anderer Hauptpunkte des Kreises. Testen Sie Ihre Fähigkeit, die Koordinaten von Punkten auf einem Zahlenkreis zu finden. Wissen aktualisieren Im Geometriekurs der 9. Klasse haben wir Folgendes gelernt Material: Auf einem Einheitshalbkreis (R = 1) haben wir einen Punkt M mit Koordinaten betrachtet X Und bei Auszüge aus einem Geometrielehrbuch Nachdem ich gelernt habe, die Koordinaten eines Punktes auf dem Einheitskreis zu finden, Kommen wir einfach zu ihren anderen Namen: Sinus und Cosinus, d. h. zum Hauptthema - TRIGONOMETRIE Die erste Aufgabe wird auf dem interaktiven Whiteboard gegeben, wo die Schüler die Punkte und die entsprechenden Zahlen an Stellen auf dem Zahlenkreis platzieren müssen, indem sie sie mit dem Finger über die Tafel ziehen. Aufgabe 1 Wir haben das Ergebnis erhalten: Die zweite Aufgabe wird auf der interaktiven Tafel gegeben. Die Antworten werden mit einem „Vorhang“ verschlossen und beim Lösen aufgedeckt. Aufgabe 2 Ergebnis der Aufgabe: Neues Material lernen Nehmen wir ein Koordinatensystem und legen wir einen Zahlenkreis darauf, sodass ihre Mittelpunkte zusammenfallen und der horizontale Radius des Kreises mit der positiven Richtung der OX-Achse übereinstimmt (Power-Point-Präsentation). Als Ergebnis haben wir Punkte, die sowohl zum Zahlenkreis als auch zur Koordinatenebene gehören. Betrachten wir einen dieser Punkte, zum Beispiel Punkt M (Power-Point-Präsentation) M(T) Zeichnen wir die Koordinaten dieses Punktes ein Finden wir die Koordinaten der für uns interessanten Punkte auf dem Einheitskreis, den wir zuvor mit den Nennern 4, 3, 6 und dem Zähler π betrachtet haben. Finden Sie die Koordinaten des Punktes auf dem Einheitskreis, der der Zahl und dementsprechend dem Winkel entspricht Aufgabe 3 (Power-Point-Präsentation) Lassen Sie uns den Radius und die Koordinaten des Punktes darstellen Nach dem Satz des Pythagoras haben wir X 2+ x 2 = 12 Aber die Winkel des Dreiecks betragen π/4 = 45° , Das bedeutet, dass das Dreieck gleichschenklig ist und x = y Finden Sie die Koordinaten eines Punktes auf dem Einheitskreis, die den Zahlen (Winkeln) entsprechen. Aufgabe 4 (Power-Point-Präsentation) Bedeutet bei= 1/2 Nach dem Satz des Pythagoras Dreiecke haben die gleiche Hypotenuse und einen spitzen Winkel, was bedeutet, dass ihre Beine gleich sind In der vorherigen Lektion erhielten die Schüler Blätter mit Zahlenkreiszuschnitten und verschiedene Tabellen. Füllen Sie die erste Tabelle aus. Aufgabe 5 (interaktives Whiteboard) Tragen Sie zunächst die Punkte des Kreises in die Tabelle ein, die Vielfache von 2 und 4 sind Überprüfung des Ergebnisses: (interaktives Whiteboard) Tragen Sie die Ordinaten und Abszissen dieser Punkte selbst in die Tabelle ein und berücksichtigen Sie dabei die Koordinatenzeichen, je nachdem, in welchem Viertel sich der Punkt befindet, indem Sie die oben ermittelten Längen der Segmente für die Koordinaten der Punkte verwenden. Aufgabe 6 Einer der Schüler benennt die erzielten Ergebnisse, der Rest überprüft seine Antworten. Um die Ergebnisse erfolgreich zu korrigieren (da diese Tabellen später in der Arbeit zur Entwicklung von Fähigkeiten und zur Vertiefung des Wissens zum Thema verwendet werden), wird eine korrekt ausgefüllte Tabelle angezeigt auf der interaktiven Tafel. Überprüfung des Ergebnisses: (interaktives Whiteboard) Füllen Sie die zweite Tabelle aus. Aufgabe 7 (interaktives Whiteboard) Tragen Sie zunächst in die Tabelle die Punkte des Kreises ein, die Vielfache von 3 und 6 sind Überprüfung des Ergebnisses: (interaktives Whiteboard) Tragen Sie die Ordinaten und Abszissen dieser Punkte selbst in die Tabelle ein Aufgabe 8 Überprüfung des Ergebnisses: (interaktives Whiteboard) (Power-Point-Präsentation) Lassen Sie uns ein kurzes mathematisches Diktat durchführen und anschließend die Selbstkontrolle durchführen. 1) Finden Sie die Koordinaten der Punkte des Einheitskreises: Option 2 1 Option 2) Finden Sie die Abszisse der Punkte des Einheitskreises: 1) Finden Sie die Koordinaten der Punkte auf dem Einheitskreis Option 2 1 Option 2) Finden Sie die Abszisse der Punkte auf dem Einheitskreis Testen Sie sich selbst 3) Finden Sie die Ordinaten der Punkte des Einheitskreises: Für sich selbst können Sie für 4 abgeschlossene Beispiele die Note „5“ vergeben, „4“ für 3 Beispiele und „3“ für 2 Beispiele Zusammenfassung der Lektion 1) Um in Zukunft die Werte von Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens von Punkten und Winkeln zu ermitteln, ist es notwendig, aus den ausgefüllten Tabellen die Werte der Koordinaten von Punkten zu lernen, die zum ersten Viertel gehören, weil außerdem lernen wir, die Koordinatenwerte aller anderen Punkte durch die Werte der Punkte des ersten Viertels auszudrücken; 2) Bereiten Sie theoretische Fragen zum Testen vor. Hausaufgaben: Zusammenfassung der Lektion Die Note wird an die Schüler vergeben, die am aktivsten im Unterricht mitgearbeitet haben. Die Arbeiten aller Studierenden werden nicht benotet, da Fehler sofort während des Unterrichts korrigiert werden. Das Diktat wurde zur Selbstkontrolle geführt; der Umfang reicht für eine Beurteilung nicht aus. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Gleichung eines Kreises auf der Koordinatenebene |
| |A 1 A 2 | 2 = = (X 2 -X 1) 2 + (j 2 -j 1) 2 . | (1) |
Somit,
Q.E.D.
Gleichung eines Kreises auf der Koordinatenebene
Betrachten wir auf der Koordinatenebene Oxy (Abb. 7) einen Kreis mit dem Radius R und dem Mittelpunkt im Punkt A 0 (X 0 ;j 0) .
Lektion und Präsentation zum Thema: „Zahlenkreis auf der Koordinatenebene“
Zusätzliche Materialien
Liebe Benutzer, vergessen Sie nicht, Ihre Kommentare, Bewertungen und Wünsche zu hinterlassen! Alle Materialien wurden von einem Antivirenprogramm überprüft.
Handbücher und Simulatoren im Integral Online-Shop für die 10. Klasse von 1C
Algebraische Probleme mit Parametern, Klassen 9–11
Wir lösen Probleme in der Geometrie. Interaktive Bauaufgaben für die Klassen 7-10
Was wir studieren werden:
1. Definition.
2. Wichtige Koordinaten des Zahlenkreises.
3. Wie finde ich die Koordinate des Zahlenkreises?
4. Tabelle der Hauptkoordinaten des Zahlenkreises.
5. Beispiele zur Problemlösung.
Definition des Zahlenkreises auf der Koordinatenebene
Platzieren wir den Zahlenkreis so in der Koordinatenebene, dass der Mittelpunkt des Kreises mit dem Koordinatenursprung übereinstimmt und sein Radius als Einheitssegment angenommen wird. Der Startpunkt des Zahlenkreises A wird mit dem Punkt (1;0) kombiniert.Jeder Punkt auf dem Zahlenkreis hat seine eigenen x- und y-Koordinaten in der Koordinatenebene und:
1) für $x > 0$, $y > 0$ – im ersten Quartal;
2) für $x 0$ - im zweiten Quartal;
3) für $x 4) für $x > 0$, $y
Für jeden Punkt $M(x; y)$ auf dem Zahlenkreis sind die folgenden Ungleichungen erfüllt: $-1
Erinnern Sie sich an die Gleichung des Zahlenkreises: $x^2 + y^2 = 1$.
Für uns ist es wichtig zu lernen, wie man die Koordinaten der Punkte auf dem in der Abbildung dargestellten Zahlenkreis findet. 
Finden wir die Koordinate des Punktes $\frac(π)(4)$
Der Punkt $M(\frac(π)(4))$ ist die Mitte des ersten Viertels. Lassen Sie uns die Senkrechte MR vom Punkt M zur Geraden OA fallen lassen und das Dreieck OMP betrachten. Da der Bogen AM die Hälfte des Bogens AB ist, gilt $∠MOP=45°$. Das bedeutet, dass das Dreieck OMP ein gleichschenkliges rechtwinkliges Dreieck ist und $OP=MP$, d.h. am Punkt M sind Abszisse und Ordinate gleich: $x = y$.
Da die Koordinaten des Punktes $M(x;y)$ die Gleichung des Zahlenkreises erfüllen, müssen Sie, um sie zu finden, das Gleichungssystem lösen:
$\begin (Fälle) x^2 + y^2 = 1,\\ x = y. \end (Fälle)$
Nachdem wir dieses System gelöst haben, erhalten wir: $y = x =\frac(\sqrt(2))(2)$.
Dies bedeutet, dass die Koordinaten des Punktes M, der der Zahl $\frac(π)(4)$ entspricht, $M(\frac(π)(4))=M(\frac(\sqrt(2))( 2);\frac (\sqrt(2))(2))$.
Die Koordinaten der in der vorherigen Abbildung dargestellten Punkte werden auf ähnliche Weise berechnet.
Koordinaten von Punkten auf dem Zahlenkreis
Schauen wir uns Beispiele an
Beispiel 1.Finden Sie die Koordinate eines Punktes auf dem Zahlenkreis: $P(45\frac(π)(4))$.
Lösung:
$45\frac(π)(4) = (10 + \frac(5)(4)) * π = 10π +5\frac(π)(4) = 5\frac(π)(4) + 2π*5 $.
Das bedeutet, dass die Zahl $45\frac(π)(4)$ demselben Punkt auf dem Zahlenkreis entspricht wie die Zahl $\frac(5π)(4)$. Wenn wir uns den Wert des Punktes $\frac(5π)(4)$ in der Tabelle ansehen, erhalten wir: $P(\frac(45π)(4))=P(-\frac(\sqrt(2))( 2);-\frac (\sqrt(2))(2))$.
Beispiel 2.
Finden Sie die Koordinate eines Punktes auf dem Zahlenkreis: $P(-\frac(37π)(3))$.
Lösung:
Weil die Zahlen $t$ und $t+2π*k$, wobei k eine ganze Zahl ist, entsprechen dann demselben Punkt auf dem Zahlenkreis:
$-\frac(37π)(3) = -(12 + \frac(1)(3))*π = -12π –\frac(π)(3) = -\frac(π)(3) + 2π *(-6)$.
Das bedeutet, dass die Zahl $-\frac(37π)(3)$ demselben Punkt auf dem Zahlenkreis entspricht wie die Zahl $–\frac(π)(3)$ und die Zahl –$\frac(π) (3)$ entspricht dem gleichen Punkt wie $\frac(5π)(3)$. Wenn wir uns den Wert des Punktes $\frac(5π)(3)$ in der Tabelle ansehen, erhalten wir:
$P(-\frac(37π)(3))=P(\frac((1))(2);-\frac(\sqrt(3))(2))$.
Beispiel 3.
Finden Sie Punkte auf dem Zahlenkreis mit der Ordinate $y =\frac(1)(2)$ und notieren Sie, welchen Zahlen $t$ sie entsprechen?
Lösung: 
Die Gerade $y =\frac(1)(2)$ schneidet den Zahlenkreis in den Punkten M und P. Punkt M entspricht der Zahl $\frac(π)(6)$ (aus den Tabellendaten). Dies bedeutet eine beliebige Zahl der Form: $\frac(π)(6)+2π*k$. Punkt P entspricht der Zahl $\frac(5π)(6)$ und damit einer beliebigen Zahl der Form $\frac(5π)(6) +2 π*k$.
Wir haben, wie in solchen Fällen oft gesagt wird, zwei Wertereihen erhalten:
$\frac(π)(6) +2 π*k$ und $\frac(5π)(6) +2π*k$.
Antwort: $t=\frac(π)(6) +2 π*k$ und $t=\frac(5π)(6) +2π*k$.
Beispiel 4.
Finden Sie Punkte auf dem Zahlenkreis mit der Abszisse $x≥-\frac(\sqrt(2))(2)$ und notieren Sie, welchen Zahlen $t$ sie entsprechen.
Lösung:
Die Gerade $x =-\frac(\sqrt(2))(2)$ schneidet den Zahlenkreis in den Punkten M und P. Die Ungleichung $x≥-\frac(\sqrt(2))(2)$ entspricht zu den Punkten des Bogens PM. Punkt M entspricht der Zahl $3\frac(π)(4)$ (aus den Tabellendaten). Dies bedeutet eine beliebige Zahl der Form $-\frac(3π)(4) +2π*k$. Punkt P entspricht der Zahl $-\frac(3π)(4)$ und damit einer beliebigen Zahl der Form $-\frac(3π)(4) +2π*k$.
Dann erhalten wir $-\frac(3π)(4) +2 π*k ≤t≤\frac(3π)(4) +2πk$.
Antwort: $-\frac(3π)(4) +2 π*k ≤t≤\frac(3π)(4) +2πk$.
Probleme, die selbstständig gelöst werden müssen
1) Finden Sie die Koordinate eines Punktes auf dem Zahlenkreis: $P(\frac(61π)(6))$.2) Finden Sie die Koordinate eines Punktes auf dem Zahlenkreis: $P(-\frac(52π)(3))$.
3) Suchen Sie Punkte auf dem Zahlenkreis mit der Ordinate $y = -\frac(1)(2)$ und notieren Sie, welchen Zahlen $t$ sie entsprechen.
4) Finden Sie Punkte auf dem Zahlenkreis mit der Ordinate $y ≥ -\frac(1)(2)$ und notieren Sie, welchen Zahlen $t$ sie entsprechen.
5) Finden Sie Punkte auf dem Zahlenkreis mit der Abszisse $x≥-\frac(\sqrt(3))(2)$ und notieren Sie, welchen Zahlen $t$ sie entsprechen.
Datum: Unterricht1
Thema: Zahlenkreis auf einer Koordinatenlinie
Ziele: das Konzept eines Zahlenkreismodells in kartesischen und krummlinigen Koordinatensystemen einführen; die Fähigkeit zu entwickeln, die kartesischen Koordinaten von Punkten auf einem Zahlenkreis zu finden und die entgegengesetzte Aktion auszuführen: Wenn Sie die kartesischen Koordinaten eines Punktes kennen, bestimmen Sie seinen numerischen Wert auf dem Zahlenkreis.
Unterrichtsfortschritt
I. Organisatorischer Moment.
II. Erläuterung des neuen Materials.
1. Nachdem wir den Zahlenkreis im kartesischen Koordinatensystem platziert haben, analysieren wir im Detail die Eigenschaften von Punkten auf dem Zahlenkreis, die sich in verschiedenen Koordinatenvierteln befinden.
Für einen Punkt M Der Zahlenkreis verwendet die Notation M(T), wenn wir über die krummlinige Koordinate eines Punktes sprechen M, oder aufzeichnen M (X;bei), wenn es sich um kartesische Koordinaten eines Punktes handelt.
2. Ermitteln der kartesischen Koordinaten „guter“ Punkte auf dem Zahlenkreis. Es geht darum, von der Platte wegzukommen M(T) Zu M (X;bei).
3. Ermitteln der Vorzeichen der Koordinaten „schlechter“ Punkte auf dem Zahlenkreis. Wenn zum Beispiel M(2) = M (X;bei), Das X 0; bei 0. (Schüler lernen, die Vorzeichen trigonometrischer Funktionen anhand der Viertel des Zahlenkreises zu bestimmen.)
1. Nr. 5.1 (a; b), Nr. 5.2 (a; b), Nr. 5.3 (a; b).
Diese Aufgabengruppe zielt darauf ab, die Fähigkeit zu entwickeln, die kartesischen Koordinaten „guter“ Punkte auf dem Zahlenkreis zu finden.
Lösung:
№ 5.1 (A).
2. Nr. 5.4 (a; b), Nr. 5.5 (a; b).
Diese Aufgabengruppe zielt darauf ab, die Fähigkeiten zu entwickeln, die krummlinigen Koordinaten eines Punktes anhand seiner kartesischen Koordinaten zu ermitteln.
Lösung:
№ 5.5 (B).
3. Nr. 5.10 (a; b).
Diese Übung zielt darauf ab, die Fähigkeit zu entwickeln, die kartesischen Koordinaten „schlechter“ Punkte zu finden.
V. Zusammenfassung der Lektion.
Fragen an Studierende:
– Was ist ein Modell – ein Zahlenkreis auf einer Koordinatenebene?
– Wie kann man, wenn man die krummlinigen Koordinaten eines Punktes auf dem Zahlenkreis kennt, seine kartesischen Koordinaten ermitteln und umgekehrt?
Hausaufgaben: Nr. 5.1 (c; d) – 5.5 (c; d), Nr. 5.10 (c; d).
Datum: Unterricht2
THEMA: Probleme mit dem Modell „Zahlenkreis auf der Koordinatenebene“ lösen
Ziele: die Fähigkeit weiterentwickeln, von krummlinigen Koordinaten eines Punktes auf einem Zahlenkreis zu kartesischen Koordinaten zu wechseln; die Fähigkeit entwickeln, Punkte auf dem Zahlenkreis zu finden, deren Koordinaten eine gegebene Gleichung oder Ungleichung erfüllen.
Unterrichtsfortschritt
I. Organisatorischer Moment.
II. Mündliche Arbeit.
1. Benennen Sie die krummlinigen und kartesischen Koordinaten der Punkte auf dem Zahlenkreis.
2. Vergleichen Sie den Bogen auf dem Kreis und seine analytische Notation.
III. Erläuterung des neuen Materials.
2. Finden von Punkten auf dem Zahlenkreis, deren Koordinaten die gegebene Gleichung erfüllen.
Schauen wir uns die Beispiele 2 und 3 mit p an. 41–42 Lehrbücher.
Die Bedeutung dieses „Spiels“ liegt auf der Hand: Die Schüler bereiten sich darauf vor, die einfachsten trigonometrischen Gleichungen der Form zu lösen. Um den Kern der Sache zu verstehen, sollten Sie den Schülern zunächst beibringen, diese Gleichungen mithilfe des Zahlenkreises zu lösen, ohne weiterzumachen bis hin zu vorgefertigten Formeln.
Wenn wir ein Beispiel für das Finden eines Punktes mit einer Abszisse betrachten, machen wir die Schüler auf die Möglichkeit aufmerksam, zwei Antwortreihen in einer Formel zu kombinieren:
3. Finden von Punkten auf dem Zahlenkreis, deren Koordinaten eine gegebene Ungleichung erfüllen.
Schauen wir uns die Beispiele 4–7 von S. 1 an. 43–44 Lehrbücher. Durch die Lösung solcher Probleme bereiten wir die Schüler darauf vor, trigonometrische Ungleichungen der Form zu lösen
Nach der Betrachtung der Beispiele können die Studierenden selbstständig formulieren Algorithmus Lösungen für Ungleichungen der angegebenen Art:
1) Vom analytischen Modell gehen wir zum geometrischen Modell über – dem Bogen HERR Zahlenkreis;
2) bilden den Kern der analytischen Aufzeichnung HERR; für den Bogen erhalten wir
3) Machen Sie eine allgemeine Aufzeichnung:
IV. Bildung von Fähigkeiten und Fertigkeiten.
1. Gruppe. Finden eines Punktes auf dem Zahlenkreis mit einer Koordinate, die eine gegebene Gleichung erfüllt.
Nr. 5.6 (a; b) – Nr. 5.9 (a; b).
Bei der Bearbeitung dieser Übungen üben wir die schrittweise Ausführung: Kernaufnahme eines Punktes, analytische Aufnahme.
2. Gruppe. Finden von Punkten auf dem Zahlenkreis mit einer Koordinate, die eine gegebene Ungleichung erfüllt.
Nr. 5.11 (a; b) – 5.14 (a; b).
Die Hauptkompetenz, die sich Schüler bei der Durchführung dieser Übungen aneignen müssen, ist die Erstellung des Kerns einer analytischen Notation des Bogens.
V. Selbständiges Arbeiten.
Option 1
1. Markieren Sie einen Punkt auf dem Zahlenkreis, der einer bestimmten Zahl entspricht, und ermitteln Sie deren kartesische Koordinaten:
2. Finden Sie Punkte auf dem Zahlenkreis mit einer gegebenen Abszisse und notieren Sie welche Zahlen T sie passen zusammen.
3. Markieren Sie Punkte auf dem Zahlenkreis mit einer Ordinate, die die Ungleichung erfüllen, und notieren Sie mithilfe der doppelten Ungleichung, welche Zahlen T sie passen zusammen.
Option 2
1. Markieren Sie einen Punkt auf dem Zahlenkreis, der einer bestimmten Zahl entspricht, und ermitteln Sie deren kartesische Koordinaten:
2. Finden Sie Punkte auf dem Zahlenkreis mit einer gegebenen Ordinate bei= 0,5 und notieren Sie welche Zahlen T sie passen zusammen.
3. Markieren Sie auf dem Zahlenkreis die Punkte mit der Abszisse, die die Ungleichung erfüllen, und notieren Sie mithilfe der doppelten Ungleichung, welche Zahlen T sie passen zusammen.
VI. Zusammenfassung der Lektion.
Fragen an Studierende:
– Wie findet man einen Punkt auf einem Kreis, dessen Abszisse eine gegebene Gleichung erfüllt?
– Wie finde ich einen Punkt auf einem Kreis, dessen Ordinate eine gegebene Gleichung erfüllt?
– Nennen Sie den Algorithmus zur Lösung von Ungleichungen mithilfe des Zahlenkreises.
Hausaufgaben: Nr. 5.6 (c; d) – Nr. 5.9 (c; d),
Nr. 5.11 (c; d) – Nr. 5.14 (c; d).
In der 10. Klasse wird dem Zahlenkreis ziemlich viel Zeit gewidmet. Dies liegt an der Bedeutung dieses mathematischen Gegenstandes für das gesamte Mathematikstudium.
Für eine gute Beherrschung des Stoffes ist die richtige Auswahl der Lehrmittel von großer Bedeutung. Zu den effektivsten Tools dieser Art gehören Video-Tutorials. In letzter Zeit haben sie den Höhepunkt ihrer Popularität erreicht. Deshalb ist der Autor nicht hinter der Zeit zurückgeblieben und hat ein so wunderbares Handbuch entwickelt, um Mathematiklehrern zu helfen – eine Videolektion zum Thema „Zahlenkreis auf der Koordinatenebene“.
Diese Lektion dauert 15:22 Minuten. Dies ist praktisch die maximale Zeit, die ein Lehrer für die selbstständige Erläuterung von Stoffen zu einem Thema aufwenden kann. Da die Erklärung neuer Materialien so viel Zeit in Anspruch nimmt, ist es notwendig, die effektivsten Aufgaben und Übungen zur Vertiefung auszuwählen und außerdem eine andere Unterrichtsstunde auszuwählen, in der die Schüler Aufgaben zu diesem Thema lösen.
Die Lektion beginnt mit einem Bild eines Zahlenkreises in einem Koordinatensystem. Der Autor bildet diesen Kreis und erklärt sein Handeln. Anschließend benennt der Autor die Schnittpunkte des Zahlenkreises mit den Koordinatenachsen. Im Folgenden wird erläutert, welche Koordinaten die Punkte des Kreises in verschiedenen Vierteln haben.
Anschließend erinnert uns der Autor daran, wie die Gleichung eines Kreises aussieht. Und den Zuhörern werden zwei Modelle präsentiert, die einige Punkte auf dem Kreis darstellen. Dank dessen zeigt der Autor im nächsten Schritt, wie man die Koordinaten der Punkte auf dem Kreis findet, die bestimmten auf den Vorlagen markierten Zahlen entsprechen. Dadurch entsteht eine Wertetabelle für die Variablen x und y in der Kreisgleichung.
Als nächstes schlagen wir vor, ein Beispiel zu betrachten, bei dem die Koordinaten von Punkten auf einem Kreis bestimmt werden müssen. Bevor mit der Lösung des Beispiels begonnen wird, werden einige Bemerkungen eingeführt, die bei der Lösung des Beispiels hilfreich sind. Und dann erscheint eine vollständige, klar strukturierte und bebilderte Lösung auf dem Bildschirm. Hier finden Sie auch Tabellen, die das Verständnis des Kerns des Beispiels erleichtern.
Anschließend werden sechs weitere Beispiele betrachtet, die weniger zeitaufwändig als das erste, aber nicht weniger wichtig sind und den Grundgedanken der Lektion widerspiegeln. Hier werden die Lösungen vollständig vorgestellt, mit einer detaillierten Geschichte und Elementen zur Verdeutlichung. Die Lösung enthält nämlich Zeichnungen, die den Fortschritt der Lösung veranschaulichen, und eine mathematische Notation, die die mathematischen Kenntnisse der Schüler stärkt.
Der Lehrer kann sich auf die im Unterricht besprochenen Beispiele beschränken, dies reicht jedoch möglicherweise nicht aus, um den Stoff qualitativ hochwertig zu erlernen. Daher ist die Auswahl der zu verstärkenden Aufgaben einfach äußerst wichtig.
Der Unterricht kann nicht nur für Lehrer nützlich sein, deren Zeit ständig begrenzt ist, sondern auch für Schüler. Besonders für diejenigen, die Familienbildung erhalten oder sich selbst weiterbilden. Die Materialien können von den Schülern genutzt werden, die eine Lektion zu diesem Thema verpasst haben.
TEXTDEKODIERUNG:
Das Thema unserer Lektion ist „NUMERISCHER KREIS AUF DER KOORDINATENEBENE“
Das kartesische rechtwinklige Koordinatensystem xOy (x o y) ist uns bereits bekannt. In diesem Koordinatensystem positionieren wir den Zahlenkreis so, dass der Mittelpunkt des Kreises mit dem Koordinatenursprung übereinstimmt, und sein Radius wird als Skalensegment verwendet.
Der Startpunkt A des Zahlenkreises wird mit einem Punkt mit den Koordinaten (1;0), B – mit einem Punkt (0;1), C – mit (-1;0) (minus eins, null) und D kombiniert - mit (0; - 1)(null, minus eins).
(siehe Abbildung 1)
Da jeder Punkt auf dem Zahlenkreis seine eigenen Koordinaten im xOy (x o y)-System hat, ist für die Punkte des ersten Viertels yx größer als Null und y größer als Null;
Zweitens ist ikx kleiner als Null und yk größer als Null.
für Punkte des dritten Viertels ist ikx kleiner als Null und yk ist kleiner als Null,
und für das vierte Viertel ist ikx größer als Null und yk kleiner als Null
Für jeden Punkt E (x;y) (mit den Koordinaten x, y) des Zahlenkreises gelten die Ungleichungen -1≤ x≤ 1, -1≤y≤1 (x ist größer oder gleich minus eins, aber kleiner als oder gleich eins; y ist größer oder gleich minus eins, aber kleiner oder gleich eins).
Denken Sie daran, dass die Gleichung eines Kreises mit dem Radius R und dem Mittelpunkt im Ursprung die Form x 2 + y 2 = R 2 hat (x-Quadrat plus y-Quadrat entspricht er-Quadrat). Und für den Einheitskreis R = 1 erhalten wir also x 2 + y 2 = 1
(x-Quadrat plus y-Quadrat ergibt eins).
Finden wir die Koordinaten der Punkte auf dem Zahlenkreis, die auf zwei Layouts dargestellt sind (siehe Abb. 2, 3)
Lassen Sie Punkt E, was entspricht
(pi mal vier) – die Mitte des in der Abbildung gezeigten ersten Viertels. Vom Punkt E senken wir die Senkrechte EK auf die Gerade OA und betrachten das Dreieck OEK. Winkel AOE =45 0, da der Bogen AE die Hälfte des Bogens AB ist. Daher ist das Dreieck OEK ein gleichschenkliges rechtwinkliges Dreieck, für das OK = EC. Das bedeutet, dass Abszisse und Ordinate des Punktes E gleich sind, d.h. x ist gleich Spiel. Um die Koordinaten des Punktes E zu finden, lösen wir das Gleichungssystem: (x ist gleich y – die erste Gleichung des Systems und x Quadrat plus y Quadrat ist gleich eins – die zweite Gleichung des Systems). Gleichung des Systems, anstelle von Wurzel aus zwei geteilt durch zwei) (die Ordinate ist positiv, was bedeutet, dass Punkt E im rechtwinkligen Koordinatensystem die Koordinaten (,) hat (Wurzel aus zwei geteilt durch zwei, Wurzel aus zwei geteilt durch zwei).
Wenn wir auf ähnliche Weise argumentieren, finden wir die Koordinaten für die Punkte, die anderen Zahlen des ersten Layouts entsprechen, und erhalten: Der entsprechende Punkt hat die Koordinaten (- ,) (minus Wurzel aus zwei geteilt durch zwei, Wurzel aus zwei geteilt durch zwei). ; für - (- ,-) (minus Wurzel aus zwei geteilt durch zwei, minus Wurzel aus zwei geteilt durch zwei); für (sieben Pi über vier) (,)(Wurzel zwei geteilt durch zwei, minus Wurzel zwei geteilt durch zwei).
Punkt D soll (Abb. 5) entsprechen. Lassen wir die Senkrechte von DP(de pe) auf OA fallen und betrachten wir das Dreieck ODP. Die Hypotenuse dieses Dreiecks OD ist gleich dem Radius des Einheitskreises, also eins, und der Winkel DOP ist gleich dreißig Grad, da Bogen AD = digi AB (a de ist gleich einem Drittel a be) und Der Bogen AB entspricht neunzig Grad. Daher ist DP = (de pe ist gleich einer Hälfte O de ist gleich einer Hälfte) Da der Schenkel, der dem Winkel von dreißig Grad gegenüberliegt, gleich der Hälfte der Hypotenuse ist, also y = (y ist gleich einer Hälfte) . Wenn wir den Satz des Pythagoras anwenden, erhalten wir OR 2 = OD 2 - DP 2 (o pe Quadrat gleich o de Quadrat minus de pe Quadrat), aber OR = x (o pe gleich x). Das bedeutet x 2 = OD 2 - DP 2 =
das bedeutet x 2 = (x Quadrat ist gleich drei Viertel) und x = (x ist gleich der Wurzel aus drei mal zwei).
X ist positiv, weil ist im ersten Quartal. Wir haben herausgefunden, dass Punkt D in einem rechteckigen Koordinatensystem die Koordinaten (,) Wurzel aus drei geteilt durch zwei, eine Hälfte, hat.
Auf ähnliche Weise werden wir die Koordinaten für die Punkte ermitteln, die anderen Zahlen des zweiten Layouts entsprechen, und alle erhaltenen Daten in die Tabellen schreiben:
Schauen wir uns Beispiele an.
BEISPIEL 1. Finden Sie die Koordinaten der Punkte auf dem Zahlenkreis: a) C 1 ();
b) C 2 (); c) C 3 (41π); d) C 4 (- 26π). (tse eins entspricht fünfunddreißig Pi mal vier, tse zwei entspricht minus neunundvierzig Pi mal drei, tse drei entspricht einundvierzig Pi, tse vier entspricht minus sechsundzwanzig Pi).
Lösung. Verwenden wir die zuvor erhaltene Aussage: Wenn Punkt D des Zahlenkreises der Zahl t entspricht, dann entspricht er einer beliebigen Zahl der Form t + 2πk(te plus zwei Spitzen), wobei ka eine beliebige ganze Zahl ist, d. h. kϵZ (ka gehört zu z).
a) Wir erhalten = ∙ π = (8 +) ∙π = + 2π ∙ 4. (fünfunddreißig Pi mal vier ist gleich fünfunddreißig mal vier, multipliziert mit Pi ist die Summe von acht und drei Viertel, multipliziert mit Pi ist gleich drei Pi mal vier plus das Produkt von zwei Pi mal vier. Das bedeutet, dass die Zahl fünfunddreißig Pi mal vier dem gleichen Punkt auf dem Zahlenkreis entspricht wie die Zahl drei Pi mal vier. Mit Tabelle 1 erhalten wir C 1 () = C 1 (- ;) .
b) Ähnlich den Koordinaten C 2: = ∙ π = - (16 + ∙π = + 2π ∙ (- 8). Dies bedeutet, dass die Zahl
entspricht dem gleichen Punkt auf dem Zahlenkreis wie die Zahl. Und die Zahl entspricht demselben Punkt auf dem Zahlenkreis wie die Zahl
(zweites Layout und Tabelle 2 anzeigen). Für einen Punkt gilt x = , y =.
c) 41π = 40π + π = π + 2π ∙ 20. Das bedeutet, dass die Zahl 41π dem gleichen Punkt auf dem Zahlenkreis entspricht wie die Zahl π – das ist ein Punkt mit den Koordinaten (-1; 0).
d) - 26π = 0 + 2π ∙ (- 13), d. h. die Zahl - 26π entspricht demselben Punkt auf dem Zahlenkreis wie die Zahl Null – das ist ein Punkt mit den Koordinaten (1;0).
BEISPIEL 2. Finden Sie Punkte auf dem Zahlenkreis mit der Ordinate y =
Lösung. Die Gerade y = schneidet den Zahlenkreis in zwei Punkten. Ein Punkt entspricht einer Zahl, der zweite Punkt entspricht einer Zahl,
Deshalb erhalten wir alle Punkte, indem wir eine volle Umdrehung 2πk addieren, wobei k angibt, wie viele volle Umdrehungen der Punkt macht, d. h. wir bekommen,
und für jede Zahl alle Zahlen der Form + 2πk. In solchen Fällen heißt es oft, dass sie zwei Wertereihen erhalten haben: + 2πk, + 2πk.
BEISPIEL 3. Suchen Sie Punkte auf dem Zahlenkreis mit der Abszisse x = und notieren Sie, welchen Zahlen t sie entsprechen.
Lösung. Gerade X= schneidet den Zahlenkreis in zwei Punkten. Ein Punkt entspricht einer Zahl (siehe zweites Layout),
und daher jede Zahl der Form + 2πk. Und der zweite Punkt entspricht einer Zahl und damit einer beliebigen Zahl der Form + 2πk. Diese beiden Wertereihen können in einem Eintrag abgedeckt werden: ± + 2πk (plus minus zwei pi mal drei plus zwei pi).
BEISPIEL 4. Finden Sie Punkte mit Ordinate auf dem Zahlenkreis bei> und notieren Sie, welchen Zahlen sie entsprechen.
Die Gerade y = schneidet den Zahlenkreis in zwei Punkten M und P. Und die Ungleichung y > entspricht den Punkten des offenen Bogens MR, das heißt Bögen ohne Ende (also ohne u), wenn man sich gegen den Uhrzeigersinn um den Kreis bewegt , beginnend am Punkt M und endend am Punkt P. Das bedeutet, dass der Kern der analytischen Notation des Bogens MR die Ungleichung ist< t < (тэ больше, чем пи на три, но меньше двух пи на три) , а сама аналитическая запись дуги имеет вид + 2πk < t < + 2πk(тэ больше, чем пи на три плюс два пи ка, но меньше двух пи на три плюс два пи ка).
BEISPIEL5. Finden Sie Ordinatenpunkte auf dem Zahlenkreis bei < и записать, каким числам t они соответствуют.
Die Gerade y = schneidet den Zahlenkreis in zwei Punkten M und P. Und die Ungleichung y< соответствуют точки открытой дуги РМ при движении по окружности против часовой стрелки, начиная с точки Р, а заканчивая в точке М. Значит, ядром аналитической записи дуги РМ является неравенство < t < (тэ больше, чем минус четыре пи на три, но меньше пи на три) , а сама аналитическая запись дуги имеет вид
2πk< t < + 2πk (тэ больше, чем минус четыре пи на три плюс два пи ка, но меньше пи на три плюс два пи ка).
BEISPIEL 6. Finden Sie Punkte mit der Abszisse auf dem Zahlenkreis X> und notieren Sie, welchen Zahlen sie entsprechen.
Die Gerade x = schneidet den Zahlenkreis in zwei Punkten M und P. Die Ungleichung x > entspricht den Punkten des offenen Bogens PM, wenn man sich entlang des Kreises gegen den Uhrzeigersinn bewegt, wobei der Anfang im Punkt P liegt, was entspricht, und das Ende im Punkt M, was entspricht. Das bedeutet, dass der Kern der analytischen Notation des PM-Bogens die Ungleichung ist< t <
(te ist größer als minus zwei pi mal drei, aber kleiner als zwei pi mal drei), und die analytische Notation des Bogens selbst hat die Form + 2πk< t < + 2πk (тэ больше, чем минус два пи на три плюс два пи ка, но меньше двух пи на три плюс два пи ка).
BEISPIEL 7. Finden Sie Punkte mit der Abszisse auf dem Zahlenkreis X < и записать, каким числам t они соответствуют.
Die Gerade x = schneidet den Zahlenkreis in zwei Punkten M und P. Ungleichung x< соответствуют точки открытой дуги МР при движении по окружности против часовой стрелки с началом в точке М, которая соответствует, и концом в точке Р, которая соответствует. Значит, ядром аналитической записи дуги МР является неравенство < t <
(te ist mehr als zwei pi mal drei, aber kleiner als vier pi mal drei), und die analytische Notation des Bogens selbst hat die Form + 2πk< t < + 2πk (тэ больше, чем два пи на три плюс два пи ка, но меньше четырех пи на три плюс два пи ка).
Beliebt:
Neu
- Kann Joghurt das Leben verlängern: Studium der Alterungstheorie von Ilya Mechnikov
- Quarkauflauf für Kinder
- Verwendung von Synonymen in der Sprache
- Gesicht als morphologisches Merkmal eines Verbs
- Spezifizierender Umstand als separates Mitglied eines Satzes Satz mit einem separaten klärenden Umstand
- Richtige Ernährung - Mittagessen
- Was man schnell zum Frühstück kochen kann
- Traumdeutung: Kranich fliegt, geht, gurrt
- Warum träumen Sie von einem Wolf: richtige Interpretation
- Buchhaltungsinformationen 1c Unternehmensbuchhaltung 3
