Schon drin Grundschule Schüler begegnen Brüchen. Und dann tauchen sie in jedem Thema auf. Mit diesen Zahlen kann man Aktionen nicht vergessen. Daher müssen Sie alle Informationen über gewöhnliche und dezimale Brüche kennen. Diese Konzepte sind nicht kompliziert, die Hauptsache ist, alles in der richtigen Reihenfolge zu verstehen.

Warum werden Brüche benötigt?

Die Welt um uns herum besteht aus ganzen Objekten. Daher besteht kein Bedarf an Aktien. Aber Alltag drängt Menschen ständig dazu, mit Teilen von Objekten und Dingen zu arbeiten.

Schokolade besteht beispielsweise aus mehreren Stücken. Stellen Sie sich eine Situation vor, in der seine Kachel aus zwölf Rechtecken besteht. Wenn man es in zwei Teile teilt, erhält man 6 Teile. Es lässt sich leicht in drei Teile unterteilen. Aber es wird nicht möglich sein, fünf Personen eine ganze Anzahl Schokoladenscheiben zu geben.

Übrigens sind diese Scheiben bereits Brüche. Und ihre weitere Unterteilung führt zum Erscheinen komplexerer Zahlen.

Was ist ein „Bruch“?

Dabei handelt es sich um eine Zahl, die sich aus Teilen einer Einheit zusammensetzt. Äußerlich sieht es aus wie zwei Zahlen, die durch einen horizontalen oder Schrägstrich getrennt sind. Diese Funktion wird als Bruch bezeichnet. Die oben (links) geschriebene Zahl wird Zähler genannt. Unten (rechts) steht der Nenner.

Im Wesentlichen entpuppt sich der Schrägstrich als Divisionszeichen. Das heißt, der Zähler kann als Dividend und der Nenner als Divisor bezeichnet werden.

Welche Brüche gibt es?

In der Mathematik gibt es nur zwei Arten: gewöhnliche und dezimale Brüche. Die Schüler treffen sich zum ersten Mal Grundschule und nennt sie einfach „Brüche“. Letzteres wird in der 5. Klasse erlernt. Dann tauchen diese Namen auf.

Unter gewöhnlichen Brüchen versteht man alle Brüche, die als zwei durch einen Strich getrennte Zahlen geschrieben werden. Zum Beispiel 4/7. Eine Dezimalzahl ist eine Zahl, bei der der Bruchteil eine Positionsschreibweise hat und durch ein Komma von der ganzen Zahl getrennt wird. Zum Beispiel 4.7. Den Schülern muss klar sein, dass es sich bei den beiden angegebenen Beispielen um völlig unterschiedliche Zahlen handelt.

Jeder einfache Bruch kann als Dezimalzahl geschrieben werden. Diese Aussage trifft fast immer umgekehrt zu. Es gibt Regeln, die es Ihnen ermöglichen, als gewöhnlichen Bruch zu schreiben dezimal.

Welche Untertypen gibt es bei diesen Bruchtypen?

Es ist besser, in chronologischer Reihenfolge zu beginnen, da sie studiert werden. Gewöhnliche Brüche stehen an erster Stelle. Unter ihnen lassen sich 5 Unterarten unterscheiden.

Richtig. Sein Zähler ist immer kleiner als sein Nenner.

Falsch. Sein Zähler ist größer oder gleich seinem Nenner.

Reduzierbar/irreduzibel. Es kann sich als richtig oder falsch herausstellen. Wichtig ist auch, ob Zähler und Nenner gemeinsame Faktoren haben. Wenn ja, dann ist es notwendig, beide Teile des Bruchs durch sie zu dividieren, also zu reduzieren.

Gemischt. Einer ganzen Zahl wird ihr üblicher regelmäßiger (unregelmäßiger) Bruchteil zugeordnet. Außerdem ist es immer links.

Zusammengesetzt. Es wird aus zwei durcheinander dividierten Fraktionen gebildet. Das heißt, es enthält drei Bruchzeilen gleichzeitig.

Dezimalbrüche haben nur zwei Untertypen:

endlich, das heißt einer, dessen Bruchteil begrenzt ist (ein Ende hat);

unendlich – eine Zahl, deren Nachkommastellen nicht enden (sie können endlos geschrieben werden).

Wie wandle ich einen Dezimalbruch in einen gewöhnlichen Bruch um?

Handelt es sich um eine endliche Zahl, dann wird eine Assoziation nach der Regel angewendet – wie ich höre, so schreibe ich. Das heißt, Sie müssen es richtig lesen und aufschreiben, jedoch ohne Komma, sondern mit einem Bruchstrich.

Als Hinweis zum erforderlichen Nenner müssen Sie bedenken, dass es sich immer um eine und mehrere Nullen handelt. Von Letzterem müssen Sie so viele schreiben, wie Ziffern im Bruchteil der betreffenden Zahl vorhanden sind.

Wie wandelt man Dezimalbrüche in gewöhnliche Brüche um, wenn ihr ganzzahliger Teil fehlt, also gleich Null ist? Zum Beispiel 0,9 oder 0,05. Nach Anwendung der angegebenen Regel stellt sich heraus, dass Sie Null-Ganzzahlen schreiben müssen. Aber es ist nicht angegeben. Es bleibt nur noch, die Bruchteile aufzuschreiben. Die erste Zahl hat einen Nenner von 10, die zweite einen Nenner von 100. Das heißt, die angegebenen Beispiele haben die folgenden Zahlen als Antworten: 9/10, 5/100. Darüber hinaus stellt sich heraus, dass letzterer um 5 reduziert werden kann. Daher muss das Ergebnis dafür als 1/20 geschrieben werden.

Wie kann man einen Dezimalbruch in einen gewöhnlichen Bruch umwandeln, wenn sein ganzzahliger Teil von Null verschieden ist? Zum Beispiel 5,23 oder 13,00108. In beiden Beispielen wird der gesamte Teil gelesen und sein Wert geschrieben. Im ersten Fall ist es 5, im zweiten 13. Dann müssen Sie mit dem Bruchteil fortfahren. Mit ihnen soll die gleiche Operation durchgeführt werden. Die erste Zahl erscheint 23/100, die zweite - 108/100000. Der zweite Wert muss erneut reduziert werden. Die Antwort ergibt die folgenden gemischten Brüche: 5 23/100 und 13 27/25000.

Wie wandle ich einen unendlichen Dezimalbruch in einen gewöhnlichen Bruch um?

Wenn es nicht periodisch ist, ist ein solcher Vorgang nicht möglich. Diese Tatsache ist auf die Tatsache zurückzuführen, dass jeder Dezimalbruch immer entweder in einen endlichen oder einen periodischen Bruch umgewandelt wird.

Das einzige, was Sie mit einem solchen Bruch machen können, ist, ihn zu runden. Aber dann ist die Dezimalzahl ungefähr gleich dieser Unendlichkeit. Es kann bereits in ein gewöhnliches verwandelt werden. Aber der umgekehrte Vorgang: Die Konvertierung in eine Dezimalzahl liefert niemals den Anfangswert. Das heißt, unendliche nichtperiodische Brüche werden nicht in gewöhnliche Brüche umgewandelt. Daran muss man sich erinnern.

Wie schreibe ich einen unendlichen periodischen Bruch als gewöhnlichen Bruch?

In diesen Zahlen gibt es immer eine oder mehrere Nachkommastellen, die wiederholt werden. Sie werden als Periode bezeichnet. Zum Beispiel 0,3(3). Hier steht „3“ im Punkt. Sie werden als rational klassifiziert, weil sie in gewöhnliche Brüche umgewandelt werden können.

Diejenigen, die periodische Brüche kennengelernt haben, wissen, dass sie rein oder gemischt sein können. Im ersten Fall beginnt der Punkt unmittelbar nach dem Komma. Im zweiten Teil beginnt der Bruchteil mit einigen Zahlen, und dann beginnt die Wiederholung.

Die Regel, nach der Sie eine unendliche Dezimalzahl als gemeinsamen Bruch schreiben müssen, ist für die beiden angegebenen Zahlentypen unterschiedlich. Es ist ganz einfach, reine periodische Brüche als gewöhnliche Brüche zu schreiben. Wie bei endlichen Zahlen müssen sie umgerechnet werden: Schreiben Sie den Punkt im Zähler auf, und der Nenner ist die Zahl 9, die so oft wiederholt wird, wie der Punkt Ziffern enthält.

Zum Beispiel 0,(5). Die Zahl hat keinen ganzzahligen Teil, daher müssen Sie sofort mit dem Bruchteil beginnen. Schreiben Sie 5 als Zähler und 9 als Nenner. Das heißt, die Lösung ist der Bruch 5/9.

Die Regel zum Schreiben eines gewöhnlichen periodischen Dezimalbruchs, der gemischt ist.

Schauen Sie sich die Länge des Zeitraums an. So viele Neunen wird der Nenner haben.

Notieren Sie den Nenner: zuerst Neunen, dann Nullen.

Um den Zähler zu bestimmen, müssen Sie die Differenz zweier Zahlen aufschreiben. Alle Zahlen nach dem Komma werden zusammen mit dem Punkt minimiert. Selbstbehalt – ohne Periode.

Zum Beispiel 0,5(8) – schreiben Sie den periodischen Dezimalbruch als gewöhnlichen Bruch. Der Nachkommateil vor dem Punkt enthält eine Ziffer. Es wird also eine Null geben. Es gibt auch nur eine Zahl in der Periode – 8. Das heißt, es gibt nur eine Neun. Das heißt, Sie müssen 90 in den Nenner schreiben.

Um den Zähler zu bestimmen, müssen Sie 5 von 58 subtrahieren. Das Ergebnis ist 53. Die Antwort müsste beispielsweise als 53/90 geschrieben werden.

Wie werden Brüche in Dezimalzahlen umgewandelt?

Die einfachste Möglichkeit ist eine Zahl, deren Nenner die Zahl 10, 100 usw. ist. Dann wird der Nenner einfach verworfen und ein Komma zwischen den gebrochenen und ganzzahligen Teilen gesetzt.

Es gibt Situationen, in denen der Nenner leicht zu 10, 100 usw. wird. Zum Beispiel die Zahlen 5, 20, 25. Es reicht aus, sie jeweils mit 2, 5 und 4 zu multiplizieren. Sie müssen lediglich nicht nur den Nenner, sondern auch den Zähler mit derselben Zahl multiplizieren.

Für alle anderen Fälle hilft eine einfache Regel: Teilen Sie den Zähler durch den Nenner. In diesem Fall erhalten Sie möglicherweise zwei mögliche Antworten: einen endlichen oder einen periodischen Dezimalbruch.

Operationen mit gewöhnlichen Brüchen

Addition und Subtraktion

Studierende lernen sie früher kennen als andere. Außerdem haben die Brüche zunächst den gleichen Nenner und dann unterschiedliche. Allgemeine Regeln kann auf einen solchen Plan reduziert werden.

Finden Sie das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner.

Schreiben Sie zusätzliche Faktoren für alle gewöhnlichen Brüche.

Multiplizieren Sie die Zähler und Nenner mit den dafür angegebenen Faktoren.

Addieren (subtrahieren) Sie die Zähler der Brüche und lassen Sie den gemeinsamen Nenner unverändert.

Wenn der Zähler des Minuenden kleiner als der Subtrahend ist, müssen wir herausfinden, ob wir eine gemischte Zahl oder einen echten Bruch haben.

Im ersten Fall müssen Sie das gesamte Teil ausleihen. Addiere den Nenner zum Zähler des Bruchs. Und dann führen Sie die Subtraktion durch.

Im zweiten Fall ist es notwendig, die Regel anzuwenden, eine größere Zahl von einer kleineren Zahl zu subtrahieren. Das heißt, vom Modul des Subtrahends subtrahiere das Modul des Minuends und setze als Antwort ein „-“-Zeichen.

Schauen Sie sich das Ergebnis der Addition (Subtraktion) genau an. Wenn Sie einen unechten Bruch erhalten, müssen Sie den ganzen Teil auswählen. Das heißt, man dividiert den Zähler durch den Nenner.

Multiplikation und Division

Um sie auszuführen, müssen Brüche nicht reduziert werden gemeinsamer Nenner. Dies erleichtert die Durchführung von Aktionen. Sie verlangen jedoch weiterhin, dass Sie sich an die Regeln halten.

Wenn Sie Brüche multiplizieren, müssen Sie auf die Zahlen im Zähler und Nenner achten. Wenn Zähler und Nenner einen gemeinsamen Faktor haben, können sie reduziert werden.

Multiplizieren Sie die Zähler.

Multiplizieren Sie die Nenner.

Wenn das Ergebnis ein reduzierbarer Bruch ist, muss er erneut vereinfacht werden.

Beim Dividieren müssen Sie zunächst die Division durch Multiplikation ersetzen und den Divisor (zweiter Bruch) durch den Kehrwertbruch (Zähler und Nenner vertauschen).

Gehen Sie dann wie bei der Multiplikation vor (ab Punkt 1).

Bei Aufgaben, bei denen Sie mit einer ganzen Zahl multiplizieren (dividieren) müssen, sollte diese als unechter Bruch geschrieben werden. Also mit einem Nenner von 1. Gehen Sie dann wie oben beschrieben vor.



Operationen mit Dezimalzahlen

Addition und Subtraktion

Natürlich können Sie eine Dezimalzahl jederzeit in einen Bruch umwandeln. Und handeln Sie nach dem bereits beschriebenen Plan. Aber manchmal ist es bequemer, ohne diese Übersetzung zu handeln. Dann sind die Regeln für ihre Addition und Subtraktion genau die gleichen.

Gleichen Sie die Anzahl der Ziffern im Bruchteil der Zahl aus, also nach dem Dezimalpunkt. Fügen Sie die fehlende Anzahl Nullen hinzu.

Schreibe die Brüche so, dass das Komma unter dem Komma steht.

Addiere (subtrahiere) wie natürliche Zahlen.

Entfernen Sie das Komma.

Multiplikation und Division

Wichtig ist, dass Sie hier keine Nullen hinzufügen müssen. Brüche sollten so belassen werden, wie sie im Beispiel angegeben sind. Und dann geht es nach Plan.

Um zu multiplizieren, müssen Sie die Brüche untereinander schreiben und dabei die Kommas ignorieren.

Multiplizieren Sie wie natürliche Zahlen.

Setzen Sie ein Komma in die Antwort und zählen Sie vom rechten Ende der Antwort aus so viele Ziffern, wie in den Nachkommastellen beider Faktoren vorhanden sind.

Um zu dividieren, müssen Sie zunächst den Teiler umwandeln: ihn in eine natürliche Zahl umwandeln. Das heißt, multiplizieren Sie es mit 10, 100 usw., je nachdem, wie viele Ziffern der Bruchteil des Divisors enthält.

Multiplizieren Sie die Dividende mit derselben Zahl.

Teilen Sie einen Dezimalbruch durch eine natürliche Zahl.

Setzen Sie in Ihrer Antwort ein Komma an dem Punkt, an dem die Teilung des gesamten Teils endet.



Was passiert, wenn ein Beispiel beide Arten von Brüchen enthält?

Ja, in der Mathematik gibt es oft Beispiele, in denen Sie Operationen an gewöhnlichen Brüchen und Dezimalbrüchen durchführen müssen. Bei solchen Aufgaben gibt es zwei mögliche Lösungen. Sie müssen die Zahlen objektiv abwägen und die optimale auswählen.

Erster Weg: Stellen Sie gewöhnliche Dezimalzahlen dar

Es ist geeignet, wenn durch Division oder Übersetzung endliche Brüche entstehen. Wenn mindestens eine Zahl einen periodischen Teil ergibt, ist diese Technik verboten. Selbst wenn Sie nicht gerne mit gewöhnlichen Brüchen arbeiten, müssen Sie diese daher zählen.

Zweiter Weg: Dezimalbrüche wie gewöhnlich schreiben

Diese Technik erweist sich als praktisch, wenn der Teil nach dem Komma 1-2 Ziffern enthält. Wenn es mehr davon gibt, erhält man am Ende möglicherweise einen sehr großen gemeinsamen Bruch und die Dezimalschreibweise macht die Berechnung der Aufgabe schneller und einfacher. Daher müssen Sie die Aufgabe immer nüchtern bewerten und die einfachste Lösungsmethode wählen.

Einfache Rechenoperationen sind die Grundlage für die weitere Vermittlung exakter Naturwissenschaften an Kinder. Mathematik begleitet Menschen ihr Leben lang überall und deshalb ist es wichtig, sie von Grund auf zu verstehen. Viele Schulkinder haben Schwierigkeiten, Dezimalbrüche in eine Spalte zu subtrahieren, während sie mit Operationen mit Primzahlen gut zurechtkommen. Tatsächlich ist daran nichts Kompliziertes – die Hauptsache ist, den Lösungsalgorithmus zu verstehen.

So subtrahieren Sie Dezimalzahlen in einer Spalte

Beim Schreiben von Dezimalbrüchen müssen die unteren und oberen Ziffern von Zahlen einander entsprechen: ganze Zahlen unter ganzen Zahlen, Zehntel unter Zehntel, Hundertstel unter Hundertstel, Tausendstel unter Tausendstel

Operationen mit Dezimalbrüchen werden auf die gleiche Weise durchgeführt wie mit natürlichen. Grundregeln, die Sie beim Lösen von Spaltensubtraktionsbeispielen kennen sollten:

1. Zuerst müssen Sie die Anzahl der Dezimalstellen ausgleichen. Dies geschieht durch das Hinzufügen von Nullen. Beispielsweise müssen Sie 2,03 vom Bruch 5,5 subtrahieren. Wie aus dem Beispiel hervorgeht, variiert die Anzahl der Nachkommastellen. Um sie gleich zu machen, fügen Sie am Ende eine Null zum Bruch 5,5 (fünf Komma fünf) hinzu und erhalten 5,50 (fünf Komma fünfzig). Diese Regel ergibt sich aus den Regeln zum Subtrahieren einfacher Brüche. Wie Sie wissen, können Brüche mit unterschiedlichen Nennern weder addiert noch subtrahiert werden. Zuerst müssen sie auf einen gemeinsamen Nenner gebracht werden. Im obigen Beispiel können die Dezimalbrüche als 5 5/10 und 2 3/100 geschrieben werden. Sie müssen ganze Zahlen von ganzen Zahlen und Brüche von Brüchen subtrahieren. Im Beispiel sind die Nenner der Brüche unterschiedlich, der kleinste gemeinsame Nenner ist 100. Daher sollten Zähler und Nenner des Bruchs 5/10 mit 10 multipliziert werden, als Ergebnis erhalten wir 50/100, was bei der Umrechnung in ein Dezimalbruch sieht wie 5,50 aus.
2. Schreiben Sie die Zahlen so, dass das untere Komma an der gleichen Stelle steht wie das obere. Der einfachste Weg, Zahlen zu schreiben, besteht darin, mit einem Komma zu beginnen. Setzen Sie oben und unten zwei Kommas und schreiben Sie dann die Zeichen auf beiden Seiten. Diese Regel basiert übrigens auf der gleichen Regel für die Subtraktion einfacher Brüche – ganze Zahlen werden von ganzen Zahlen subtrahiert und Brüche werden von Brüchen subtrahiert. Das resultierende Komma sollte genau unter den ersten beiden stehen.
3. Führen Sie die Aktion aus, ohne auf das Komma zu achten. Dezimalbrüche werden von rechts nach links subtrahiert, d. h. beginnend mit der Ziffer ganz rechts nach dem Dezimalpunkt.
4. Setzen Sie in Ihrer Antwort ein Komma unter das Komma. Auf diese Weise können wir das Ergebnis der Berechnung korrekt wiedergeben.

Subtraktion kann immer durch Addition überprüft werden.

Karten für den Unterricht

Um das Erlernen des Aktionsalgorithmus zu erleichtern, können Sie spezielle Speicherkarten für Kinder ausdrucken, die ihnen helfen, neuen Stoff schnell zu erlernen.

Fotogalerie: Optionen für Karten für den Unterricht

Video: So subtrahieren Sie Dezimalbrüche spaltenweise

Wenn Kinder diese einfache Aktion beherrschen, können sie in Zukunft besser lernen, da Beispiele mit Dezimalbrüchen nicht nur in der Mathematik, sondern auch in Physik, Chemie und Astronomie gelöst werden. Die Hauptsache ist, den Algorithmus zu verstehen.

Mathematischer Rechner-Online v.1.0

Der Rechner führt die folgenden Operationen aus: Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division, Arbeiten mit Dezimalzahlen, Wurzelziehen, Potenzierung, Prozentrechnung und andere Operationen.

Lösung:

So verwenden Sie einen Mathe-Rechner

Algorithmus des Online-Rechners anhand von Beispielen

Zusatz.

Addition natürlicher Ganzzahlen (5 + 7 = 12)

Addition ganzzahliger natürlicher und negativer Zahlen ( 5 + (-2) = 3 )

Dezimalbrüche addieren (0,3 + 5,2 = 5,5)

Subtraktion.

Natürliche ganze Zahlen subtrahieren (7 - 5 = 2)

Subtrahieren natürlicher und negativer Ganzzahlen ( 5 - (-2) = 7 )

Dezimalbrüche subtrahieren (6,5 - 1,2 = 4,3)

Multiplikation.

Produkt natürlicher Ganzzahlen (3 * 7 = 21)

Produkt aus natürlichen und negativen ganzen Zahlen ( 5 * (-3) = -15 )

Produkt von Dezimalbrüchen (0,5 * 0,6 = 0,3)

Division.

Division natürlicher ganzer Zahlen (27 / 3 = 9)

Division von natürlichen und negativen ganzen Zahlen (15 / (-3) = -5)

Division von Dezimalbrüchen (6,2 / 2 = 3,1)

Extrahieren der Wurzel einer Zahl.

Extrahieren der Wurzel einer ganzen Zahl ( root(9) = 3)

Extrahieren der Wurzel aus Dezimalbrüchen (Wurzel(2,5) = 1,58)

Extrahieren der Wurzel einer Summe von Zahlen ( root(56 + 25) = 9)

Extrahieren der Wurzel aus der Differenz zwischen Zahlen (Wurzel (32 – 7) = 5)

Eine Zahl quadrieren.

Quadrieren einer ganzen Zahl ( (3) 2 = 9 )

Quadrieren von Dezimalzahlen ((2,2)2 = 4,84)

Umrechnung in Dezimalbrüche.

Berechnen von Prozentsätzen einer Zahl

Erhöhen Sie die Zahl 230 um 15 % ( 230 + 230 * 0,15 = 264,5 )

Reduzieren Sie die Zahl 510 um 35 % ( 510 – 510 * 0,35 = 331,5 )

18 % der Zahl 140 sind (140 * 0,18 = 25,2)

Die Division von Dezimalzahlen in einer Spalte ist aufgrund der Gleitkommazahl etwas schwieriger als die Division ganzer Zahlen, und die Notwendigkeit, den Rest zu dividieren, macht die Aufgabe noch schwieriger. Wenn Sie diesen Vorgang vereinfachen oder Ihr Ergebnis überprüfen möchten, können Sie daher einen Online-Rechner verwenden, der Ihnen nicht nur die Antwort, sondern auch den gesamten Lösungsvorgang anzeigt.

Dafür gibt es eine Vielzahl an Online-Diensten, die sich jedoch fast alle kaum voneinander unterscheiden. Heute haben wir zwei für Sie vorbereitet verschiedene Möglichkeiten Berechnen Sie die Berechnungen und wählen Sie nach dem Lesen der Anweisungen diejenige aus, die am besten geeignet ist.

Methode 1: OnlineMSchool

Die OnlineMSchool-Website wurde zum Erlernen von Mathematik entwickelt. Jetzt enthält es nicht nur viele nützliche Informationen, Lektionen und Aufgaben, aber auch integrierte Taschenrechner, von denen wir heute einen verwenden werden. Die Aufteilung in eine Spalte mit Dezimalbrüchen erfolgt wie folgt:

1. Öffnen Sie die Hauptseite der OnlineMSchool-Website und gehen Sie zum Abschnitt "Rechner".



2. Nachfolgend finden Sie Leistungen zur Zahlentheorie. Dort auswählen „Spalteneinteilung“ oder „Spaltenteilung mit Rest“.



3. Beachten Sie zunächst die Gebrauchsanweisung im entsprechenden Reiter. Wir empfehlen Ihnen, sich damit vertraut zu machen.



4. Gehen Sie nun zurück zu "Kalkulator". Hier sollten Sie noch einmal überprüfen, ob Sie den richtigen Vorgang ausgewählt haben. Wenn nicht, ändern Sie es über das Popup-Menü.



5. Geben Sie zwei Zahlen ein und verwenden Sie einen Punkt, um den ganzen Teil des Bruchs anzuzeigen. Aktivieren Sie außerdem das Kontrollkästchen, wenn Sie den Rest dividieren müssen.



6. Um die Lösung zu erhalten, klicken Sie mit der linken Maustaste auf das Gleichheitszeichen.



7. Sie erhalten eine Antwort, in der die einzelnen Schritte zur Ermittlung der endgültigen Zahl detailliert beschrieben werden. Machen Sie sich damit vertraut und Sie können mit den nächsten Berechnungen fortfahren.

Bevor Sie den Rest aufteilen, lesen Sie die Problemstellung sorgfältig durch. Oft ist dies nicht erforderlich, da die Antwort sonst als falsch angesehen werden kann.

In nur sieben einfache Schritte Mit einem kleinen Tool auf OnlineMSchool konnten wir eine Dezimaldivision durchführen.

Methode 2: Rytex

Der Rytex-Onlinedienst hilft auch beim Erlernen der Mathematik, indem er Beispiele und Theorie bereitstellt. Heute interessiert uns jedoch der darin enthaltene Rechner, dessen Übergang zur Arbeit wie folgt erfolgt:

Wie Sie sehen, unterscheiden sich die von uns getesteten Dienste praktisch nicht voneinander, außer vielleicht Aussehen. Daraus können wir schließen, dass es keinen Unterschied macht, welche Webressource Sie nutzen, alle Rechner rechnen korrekt und liefern eine detaillierte Antwort anhand Ihres Beispiels.

Von den vielen Brüchen, die es in der Arithmetik gibt, verdienen diejenigen, die 10, 100, 1000 im Nenner haben – im Allgemeinen jede Zehnerpotenz – besondere Aufmerksamkeit. Diese Brüche haben einen besonderen Namen und eine besondere Schreibweise.

Eine Dezimalzahl ist jeder Zahlenbruch, dessen Nenner eine Zehnerpotenz ist.

Beispiele für Dezimalbrüche:

Warum war es überhaupt notwendig, solche Fraktionen auszusondern? Warum brauchen sie ein eigenes Aufnahmeformular? Dafür gibt es mindestens drei Gründe:

1. Dezimalzahlen sind viel einfacher zu vergleichen. Denken Sie daran: Um gewöhnliche Brüche zu vergleichen, müssen Sie sie voneinander subtrahieren und insbesondere die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen. Bei Dezimalzahlen ist nichts dergleichen erforderlich;
2. Rechenaufwand reduzieren. Dezimalzahlen addieren und multiplizieren nach ihren eigenen Regeln, und mit ein wenig Übung können Sie mit ihnen viel schneller arbeiten als mit regulären Brüchen;
3. Einfache Aufnahme. Im Gegensatz zu gewöhnlichen Brüchen werden Dezimalzahlen ohne Verlust der Klarheit in einer Zeile geschrieben.

Die meisten Taschenrechner geben Antworten auch in Dezimalzahlen an. In manchen Fällen kann ein anderes Aufnahmeformat Probleme verursachen. Was wäre zum Beispiel, wenn Sie im Laden um Wechselgeld in Höhe von 2/3 eines Rubels bitten :)

Regeln zum Schreiben von Dezimalbrüchen

Der Hauptvorteil von Dezimalbrüchen ist die bequeme und visuelle Notation. Nämlich:

Die Dezimalschreibweise ist eine Form der Schreibweise von Dezimalbrüchen, bei der der ganzzahlige Teil durch einen regelmäßigen Punkt oder ein Komma vom Bruchteil getrennt wird. In diesem Fall wird das Trennzeichen selbst (Punkt oder Komma) als Dezimalpunkt bezeichnet.

Zum Beispiel 0,3 (sprich: „Nullpunkt, 3 Zehntel“); 7,25 (7 ganze, 25 Hundertstel); 3,049 (3 ganze, 49 Tausendstel). Alle Beispiele sind der vorherigen Definition entnommen.

Beim Schreiben wird üblicherweise ein Komma als Dezimalpunkt verwendet. Hier und im weiteren Verlauf der Website wird auch das Komma verwendet.

Um einen beliebigen Dezimalbruch in dieser Form zu schreiben, müssen Sie drei einfache Schritte ausführen:

1. Schreiben Sie den Zähler separat auf;
2. Verschieben Sie den Dezimalpunkt um so viele Stellen nach links, wie der Nenner Nullen enthält. Nehmen Sie an, dass sich der Dezimalpunkt zunächst rechts von allen Ziffern befindet.
3. Wenn sich der Dezimalpunkt verschoben hat und danach am Ende der Eingabe Nullen stehen, müssen diese durchgestrichen werden.

Es kommt vor, dass der Zähler im zweiten Schritt nicht genügend Ziffern hat, um die Verschiebung abzuschließen. In diesem Fall werden die fehlenden Stellen mit Nullen aufgefüllt. Und im Allgemeinen können Sie links von jeder Zahl beliebig viele Nullen zuweisen, ohne Ihre Gesundheit zu beeinträchtigen. Es ist hässlich, aber manchmal nützlich.

Auf den ersten Blick mag dieser Algorithmus recht kompliziert erscheinen. Eigentlich ist alles ganz, ganz einfach – man muss nur ein wenig üben. Schauen Sie sich die Beispiele an:

Aufgabe. Geben Sie für jeden Bruch seine Dezimalschreibweise an:

Der Zähler des ersten Bruchs ist: 73. Wir verschieben den Dezimalpunkt um eine Stelle (da der Nenner 10 ist) – wir erhalten 7,3.

Zähler des zweiten Bruchs: 9. Wir verschieben den Dezimalpunkt um zwei Stellen (da der Nenner 100 ist) – wir erhalten 0,09. Ich musste eine Null nach dem Komma und eine weitere davor hinzufügen, um keinen seltsamen Eintrag wie „.09“ zu hinterlassen.

Der Zähler des dritten Bruchs: 10029. Wir verschieben den Dezimalpunkt um drei Stellen (da der Nenner 1000 ist) – wir erhalten 10,029.

Der Zähler des letzten Bruchs: 10.500. Wieder verschieben wir den Punkt um drei Ziffern – wir erhalten 10.500. Am Ende der Zahl stehen zusätzliche Nullen. Streichen Sie sie durch und wir erhalten 10,5.

Achten Sie auf die letzten beiden Beispiele: die Zahlen 10,029 und 10,5. Gemäß den Regeln müssen die Nullen auf der rechten Seite durchgestrichen werden, wie es im letzten Beispiel geschehen ist. Sie sollten dies jedoch niemals mit Nullen innerhalb einer Zahl tun (die von anderen Zahlen umgeben sind). Deshalb haben wir 10,029 und 10,5 erhalten und nicht 1,29 und 1,5.

Also haben wir die Definition und Form der Schreibweise von Dezimalbrüchen herausgefunden. Jetzt wollen wir herausfinden, wie man gewöhnliche Brüche in Dezimalzahlen umwandelt – und umgekehrt.

Umrechnung von Brüchen in Dezimalzahlen

Betrachten Sie einen einfachen numerischen Bruch der Form a /b. Sie können die Grundeigenschaft eines Bruchs nutzen und Zähler und Nenner mit einer solchen Zahl multiplizieren, dass das Ergebnis eine Zehnerpotenz ist. Aber bevor Sie das tun, lesen Sie Folgendes:

Es gibt Nenner, die nicht auf Zehnerpotenzen reduziert werden können. Lernen Sie, solche Brüche zu erkennen, da sie mit dem unten beschriebenen Algorithmus nicht verarbeitet werden können.

So sind die Dinge. Nun, wie verstehen Sie, ob der Nenner auf eine Zehnerpotenz reduziert wird oder nicht?

Die Antwort ist einfach: Zerlegen Sie den Nenner in Primfaktoren. Enthält die Erweiterung nur die Faktoren 2 und 5, kann diese Zahl auf eine Zehnerpotenz reduziert werden. Wenn es andere Zahlen gibt (3, 7, 11 – was auch immer), können Sie die Zehnerpotenz vergessen.

Aufgabe. Prüfen Sie, ob die angegebenen Brüche als Dezimalzahlen dargestellt werden können:

Schreiben wir die Nenner dieser Brüche auf und faktorisieren sie:

20 = 4 · 5 = 2 2 · 5 - es sind nur die Zahlen 2 und 5 vorhanden, daher kann der Bruch als Dezimalzahl dargestellt werden.

12 = 4 · 3 = 2 2 · 3 - es gibt einen „verbotenen“ Faktor 3. Der Bruch kann nicht als Dezimalzahl dargestellt werden.

640 = 8 · 8 · 10 = 2 · 3 · 2 · 3 · 2 · 5 = 2 · 7 · 5. Alles ist in Ordnung: Es gibt nichts außer den Zahlen 2 und 5. Ein Bruch kann als Dezimalzahl dargestellt werden.

48 = 6 · 8 = 2 · 3 · 2 3 = 2 · 4 · 3. Der Faktor 3 ist wieder „aufgetaucht“. Er kann nicht als Dezimalbruch dargestellt werden.

Damit haben wir den Nenner geklärt – schauen wir uns nun den gesamten Algorithmus zum Umwandeln in Dezimalbrüche an:

1. Faktorisieren Sie den Nenner des ursprünglichen Bruchs und stellen Sie sicher, dass er im Allgemeinen als Dezimalzahl darstellbar ist. Diese. Überprüfen Sie, ob in der Erweiterung nur die Faktoren 2 und 5 vorhanden sind. Andernfalls funktioniert der Algorithmus nicht.
2. Zählen Sie, wie viele Zweier und Fünfer in der Erweiterung vorhanden sind (es wird dort keine anderen Zahlen geben, erinnern Sie sich?). Wählen Sie einen zusätzlichen Faktor, sodass die Anzahl der Zweier und Fünfer gleich ist.
3. Tatsächlich multiplizieren wir Zähler und Nenner des ursprünglichen Bruchs mit diesem Faktor – wir erhalten die gewünschte Darstellung, d. h. Der Nenner wird eine Zehnerpotenz sein.

Selbstverständlich wird auch der Zusatzfaktor nur in Zweier und Fünfer zerlegt. Um Ihr Leben nicht zu verkomplizieren, sollten Sie gleichzeitig den kleinsten aller möglichen Multiplikatoren wählen.

Und noch etwas: Wenn der ursprüngliche Bruch einen ganzzahligen Teil enthält, konvertieren Sie diesen Bruch unbedingt in einen unechten Bruch – und wenden Sie erst dann den beschriebenen Algorithmus an.

Aufgabe. Wandeln Sie diese numerischen Brüche in Dezimalzahlen um:

Lassen Sie uns den Nenner des ersten Bruchs faktorisieren: 4 = 2 · 2 = 2 2 . Daher kann der Bruch als Dezimalzahl dargestellt werden. Die Erweiterung enthält zwei Zweier und keine einzige Fünf, daher beträgt der zusätzliche Faktor 5 2 = 25. Damit ist die Anzahl der Zweier und Fünfer gleich. Wir haben:

Schauen wir uns nun den zweiten Bruch an. Beachten Sie dazu, dass 24 = 3 · 8 = 3 · 2 3 – es gibt ein Tripel in der Entwicklung, sodass der Bruch nicht als Dezimalzahl dargestellt werden kann.

Die letzten beiden Brüche haben die Nenner 5 (Primzahl) bzw. 20 = 4 · 5 = 2 2 · 5 – es kommen überall nur Zweier und Fünfer vor. Darüber hinaus reicht im ersten Fall „für vollkommenes Glück“ ein Faktor von 2 nicht aus und im zweiten Fall 5. Wir erhalten:

Umrechnung von Dezimalzahlen in gewöhnliche Brüche

Die umgekehrte Konvertierung – von der dezimalen in die reguläre Notation – ist viel einfacher. Hier gibt es keine Einschränkungen oder besondere Prüfungen, Sie können also jederzeit einen Dezimalbruch in den klassischen „zweistöckigen“ Bruch umwandeln.

Der Übersetzungsalgorithmus lautet wie folgt:

1. Streichen Sie alle Nullen auf der linken Seite der Dezimalstelle sowie den Dezimalpunkt durch. Dies ist der Zähler des gewünschten Bruchs. Die Hauptsache ist, es nicht zu übertreiben und die inneren Nullen, die von anderen Zahlen umgeben sind, nicht zu streichen;
2. Zählen Sie, wie viele Dezimalstellen der ursprüngliche Bruch hinter dem Komma hat. Nehmen Sie die Zahl 1 und fügen Sie rechts so viele Nullen hinzu, wie Sie Zeichen zählen. Dies wird der Nenner sein;
3. Schreiben Sie tatsächlich den Bruch auf, dessen Zähler und Nenner wir gerade gefunden haben. Wenn möglich, reduzieren Sie es. Wenn der ursprüngliche Bruch einen ganzzahligen Teil enthielt, erhalten wir nun einen unechten Bruch, was für weitere Berechnungen sehr praktisch ist.

Aufgabe. Konvertieren Sie Dezimalbrüche in gewöhnliche Brüche: 0,008; 3.107; 2,25; 7,2008.

Streichen Sie die Nullen links und die Kommas durch – wir erhalten die folgenden Zahlen(das sind die Zähler): 8; 3107; 225; 72008.

Im ersten und zweiten Bruch gibt es 3 Dezimalstellen, im zweiten 2 und im dritten sogar 4 Dezimalstellen. Wir erhalten die Nenner: 1000; 1000; 100; 10000.

Zum Schluss kombinieren wir die Zähler und Nenner zu gewöhnlichen Brüchen:

Wie aus den Beispielen hervorgeht, kann der resultierende Anteil sehr oft reduziert werden. Ich möchte noch einmal darauf hinweisen, dass jeder Dezimalbruch als gewöhnlicher Bruch dargestellt werden kann. Die umgekehrte Konvertierung ist möglicherweise nicht immer möglich.