Rechteckiges Parallelepiped

Ein rechteckiges Parallelepiped ist ein rechtwinkliges Parallelepiped, dessen Flächen alle Rechtecke sind.

Es genügt, sich umzusehen, und wir werden feststellen, dass die Objekte um uns herum eine Form haben, die einem Parallelepiped ähnelt. Sie können durch die Farbe unterschieden werden, haben viele zusätzliche Details, aber wenn man diese Feinheiten außer Acht lässt, dann kann man sagen, dass zum Beispiel ein Schrank, eine Kiste usw. ungefähr die gleiche Form haben.

Das Konzept eines rechteckigen Parallelepipeds begegnet uns fast täglich! Schauen Sie sich um und sagen Sie mir, wo Sie rechteckige Parallelepipede sehen? Schauen Sie sich das Buch an, es hat genau die gleiche Form! Ein Ziegelstein, eine Streichholzschachtel, ein Holzblock haben die gleiche Form, und selbst jetzt befinden Sie sich in einem rechteckigen Parallelepiped, denn das Klassenzimmer ist die anschaulichste Interpretation dieser geometrischen Figur.

Übung: Welche Beispiele für Parallelepiped können Sie nennen?

Schauen wir uns den Quader genauer an. Und was sehen wir?

Zunächst sehen wir, dass diese Figur aus sechs Rechtecken besteht, die die Flächen eines Quaders darstellen;

Zweitens hat ein Quader acht Eckpunkte und zwölf Kanten. Die Kanten eines Quaders sind die Seiten seiner Flächen und die Eckpunkte des Quaders sind die Eckpunkte der Flächen.

Übung:

1. Wie heißen die einzelnen Flächen eines rechteckigen Parallelepipeds? 2. Dank welcher Parameter kann ein Parallelogramm gemessen werden? 3. Definieren Sie gegenüberliegende Flächen.

Arten von Parallelepipeden

Aber Parallelepipede sind nicht nur rechteckig, sie können auch gerade und geneigt sein, und gerade Linien werden in rechteckige, nicht rechteckige und Würfel unterteilt.

Aufgabe: Schauen Sie sich das Bild an und sagen Sie, welche Parallelepipede darauf abgebildet sind. Wie unterscheidet sich ein rechteckiges Parallelepiped von einem Würfel?

Eigenschaften eines rechteckigen Parallelepipeds

Ein rechteckiges Parallelepiped hat eine Reihe wichtiger Eigenschaften:

Erstens ist das Quadrat der Diagonale dieser geometrischen Figur gleich der Summe der Quadrate ihrer drei Hauptparameter: Höhe, Breite und Länge.

Zweitens sind alle vier Diagonalen absolut identisch.

Drittens, wenn alle drei Parameter eines Parallelepipeds gleich sind, also Länge, Breite und Höhe gleich sind, dann wird ein solches Parallelepiped als Würfel bezeichnet, und alle seine Flächen sind gleich dem gleichen Quadrat.

Übung

1. Hat ein rechteckiges Parallelepiped gleiche Seiten? Wenn es welche gibt, zeigen Sie sie in der Abbildung an. 2. Aus welchen geometrischen Formen bestehen die Flächen eines rechteckigen Parallelepipeds? 3. Wie ist die Anordnung gleicher Kanten zueinander? 4. Nennen Sie die Anzahl der Paare gleicher Flächen dieser Figur. 5. Finden Sie die Kanten eines rechteckigen Parallelepipeds, die seine Länge, Breite und Höhe angeben. Wie viele hast du gezählt?

Aufgabe

Um ein Geburtstagsgeschenk für ihre Mutter schön zu dekorieren, nahm Tanya eine Schachtel in Form eines rechteckigen Parallelepipeds. Die Größe dieser Box beträgt 25 cm * 35 cm * 45 cm. Um diese Verpackung schön zu machen, hat Tanya beschlossen, sie mit schönem Papier zu bedecken, dessen Kosten 3 Griwna pro 1 dm2 betragen. Wie viel Geld sollte man für Geschenkpapier ausgeben?

Wussten Sie, dass der berühmte Illusionist David Blaine im Rahmen eines Experiments 44 Tage in einem gläsernen Parallelepiped über der Themse verbrachte? In diesen 44 Tagen aß er nichts, sondern trank nur Wasser. In seinem freiwilligen Gefängnis nahm David nur Schreibmaterialien, ein Kissen und eine Matratze sowie Taschentücher mit.

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Satz. Bei jedem Parallelepiped sind gegenüberliegende Flächen gleich und parallel.

Somit sind die Flächen (Abb.) BB 1 C 1 C und AA 1 D 1 D parallel, weil zwei Schnittlinien BB 1 und B 1 C 1 einer Fläche parallel zu zwei Schnittlinien AA 1 und A 1 D 1 von sind das andere. Diese Flächen sind gleich, da B 1 C 1 =A 1 D 1, B 1 B=A 1 A (als gegenüberliegende Seiten von Parallelogrammen) und ∠BB 1 C 1 = ∠AA 1 D 1.

Satz. Bei jedem Parallelepiped schneiden sich alle vier Diagonalen in einem Punkt und werden dort halbiert.

Nehmen wir (Abb.) zwei Diagonalen im Parallelepiped, zum Beispiel AC 1 und DB 1, und zeichnen wir die Geraden AB 1 und DC 1.

Da die Kanten AD und B 1 C 1 jeweils gleich und parallel zur Kante BC sind, sind sie gleich und parallel zueinander.

Infolgedessen ist die Figur ADC 1 B 1 ein Parallelogramm, in dem C 1 A und DB 1 Diagonalen sind, und in einem Parallelogramm schneiden sich die Diagonalen in zwei Hälften.

Dieser Beweis kann für jeweils zwei Diagonalen wiederholt werden.

Daher schneidet die Diagonale AC 1 BD 1 zur Hälfte, die Diagonale BD 1 schneidet A 1 C zur Hälfte.

Somit schneiden sich alle Diagonalen zur Hälfte und damit in einem Punkt.

Satz. Bei einem rechteckigen Parallelepiped ist das Quadrat jeder Diagonale gleich der Summe der Quadrate ihrer drei Dimensionen.

Sei (Abb.) AC 1 eine Diagonale eines rechteckigen Parallelepipeds.

Wenn wir AC zeichnen, erhalten wir zwei Dreiecke: AC 1 C und ACB. Beide sind rechteckig:

das erste, weil das Parallelepiped gerade ist und daher die Kante CC 1 senkrecht zur Basis steht,

die zweite, weil das Parallelepiped rechteckig ist, was bedeutet, dass sich an seiner Basis ein Rechteck befindet.

Aus diesen Dreiecken finden wir:

AC 2 1 = AC 2 + CC 2 1 und AC 2 = AB 2 + BC 2

Daher ist AC 2 1 = AB 2 + BC 2 + CC 2 1 = AB 2 + AD 2 + AA 2 1

Folge. Bei einem rechteckigen Parallelepiped sind alle Diagonalen gleich.

Definition

Polyeder Wir werden eine geschlossene Fläche nennen, die aus Polygonen besteht und einen bestimmten Teil des Raums begrenzt.

Die Segmente, die die Seiten dieser Polygone darstellen, werden aufgerufen Rippen Polyeder, und die Polygone selbst sind Kanten. Die Eckpunkte von Polygonen werden Polyederecken genannt.

Wir betrachten nur konvexe Polyeder (dies ist ein Polyeder, das sich auf einer Seite jeder Ebene befindet, die ihre Fläche enthält).

Die Polygone, aus denen ein Polyeder besteht, bilden seine Oberfläche. Der Teil des Raumes, der von einem gegebenen Polyeder begrenzt wird, wird sein Inneres genannt.

Definition: Prisma

Betrachten Sie zwei gleiche Polygone \(A_1A_2A_3...A_n\) und \(B_1B_2B_3...B_n\), die in parallelen Ebenen liegen, so dass die Segmente \(A_1B_1, \A_2B_2, ..., A_nB_n\) parallel. Ein Polyeder, das aus den Polygonen \(A_1A_2A_3...A_n\) und \(B_1B_2B_3...B_n\) sowie Parallelogrammen besteht \(A_1B_1B_2A_2, \A_2B_2B_3A_3, ...\), heißt (\(n\)-gonal) Prisma.

Die Polygone \(A_1A_2A_3...A_n\) und \(B_1B_2B_3...B_n\) werden Prismenbasen, Parallelogramme genannt \(A_1B_1B_2A_2, \A_2B_2B_3A_3, ...\)– Seitenflächen, Segmente \(A_1B_1, \ A_2B_2, \ ..., A_nB_n\)- seitliche Rippen.
Somit sind die Seitenkanten des Prismas parallel und gleich zueinander.

Schauen wir uns ein Beispiel an – ein Prisma \(A_1A_2A_3A_4A_5B_1B_2B_3B_4B_5\), an dessen Basis ein konvexes Fünfeck liegt.

Höhe Prismen sind Senkrechte, die von einem beliebigen Punkt einer Basis auf die Ebene einer anderen Basis fallen.

Stehen die Seitenkanten nicht senkrecht zur Grundfläche, spricht man von einem solchen Prisma geneigt(Abb. 1), sonst – gerade. Bei einem geraden Prisma sind die Seitenkanten Höhen und die Seitenflächen gleich große Rechtecke.

Liegt ein regelmäßiges Vieleck an der Basis eines geraden Prismas, so heißt das Prisma richtig.

Definition: Begriff des Volumens

Die Einheit der Volumenmessung ist ein Einheitswürfel (ein Würfel mit den Maßen \(1\times1\times1\) Einheiten\(^3\), wobei Einheit eine bestimmte Maßeinheit ist).

Wir können sagen, dass das Volumen eines Polyeders die Menge an Raum ist, die dieses Polyeder begrenzt. Ansonsten: Dies ist eine Größe, deren Zahlenwert angibt, wie oft ein Einheitswürfel und seine Teile in ein gegebenes Polyeder passen.

Volumen hat die gleichen Eigenschaften wie Fläche:

1. Die Volumina gleicher Figuren sind gleich.

2. Wenn ein Polyeder aus mehreren sich nicht schneidenden Polyedern besteht, dann ist sein Volumen gleich der Summe der Volumina dieser Polyeder.

3. Das Volumen ist eine nicht negative Größe.

4. Das Volumen wird in cm\(^3\) (Kubikzentimeter), m\(^3\) (Kubikmeter) usw. gemessen.

Satz

1. Die Fläche der Seitenfläche des Prismas ist gleich dem Produkt aus dem Umfang der Basis und der Höhe des Prismas.
Die Mantelfläche ist die Summe der Flächen der Seitenflächen des Prismas.

2. Das Volumen des Prismas ist gleich dem Produkt aus der Grundfläche und der Höhe des Prismas: \

Definition: Parallelepiped

Parallelepiped ist ein Prisma mit einem Parallelogramm an seiner Basis.

Alle Flächen des Parallelepipeds (es gibt \(6\): \(4\) Seitenflächen und \(2\) Basen) sind Parallelogramme, und die gegenüberliegenden Flächen (parallel zueinander) sind gleiche Parallelogramme (Abb. 2) .

Diagonale eines Parallelepipeds ist ein Segment, das zwei Eckpunkte eines Parallelepipeds verbindet, die nicht auf derselben Seite liegen (es gibt \(8\) davon: \(AC_1,\A_1C,\BD_1,\B_1D\) usw.).

Rechteckiges Parallelepiped ist ein rechtwinkliges Parallelepiped mit einem Rechteck an der Basis.
Weil Da es sich um ein rechtwinkliges Parallelepiped handelt, sind die Seitenflächen Rechtecke. Dies bedeutet, dass im Allgemeinen alle Flächen eines rechteckigen Parallelepipeds Rechtecke sind.

Alle Diagonalen eines rechteckigen Parallelepipeds sind gleich (dies folgt aus der Gleichheit der Dreiecke). \(\triangle ACC_1=\triangle AA_1C=\triangle BDD_1=\triangle BB_1D\) usw.).

Kommentar

Somit hat ein Parallelepiped alle Eigenschaften eines Prismas.

Satz

Die Mantelfläche eines rechteckigen Parallelepipeds beträgt \

Die Gesamtoberfläche eines rechteckigen Parallelepipeds beträgt \

Satz

Das Volumen eines Quaders ist gleich dem Produkt seiner drei Kanten, die von einem Scheitelpunkt ausgehen (drei Dimensionen des Quaders): \

Nachweisen

Weil Bei einem rechteckigen Parallelepiped stehen die Seitenkanten senkrecht zur Grundfläche, dann sind sie auch seine Höhen, also \(h=AA_1=c\) Denn Die Grundfläche ist also ein Rechteck \(S_(\text(main))=AB\cdot AD=ab\). Daher kommt diese Formel.

Satz

Die Diagonale \(d\) eines rechteckigen Parallelepipeds wird mithilfe der Formel ermittelt (wobei \(a,b,c\) die Abmessungen des Parallelepipeds sind) \

Nachweisen

Schauen wir uns Abb. an. 3. Weil die Grundfläche ein Rechteck ist, dann ist \(\triangle ABD\) rechteckig, also nach dem Satz des Pythagoras \(BD^2=AB^2+AD^2=a^2+b^2\) .

Weil Alle Seitenkanten stehen dann senkrecht zu den Basen \(BB_1\perp (ABC) \Rightarrow BB_1\) senkrecht zu jeder Geraden in dieser Ebene, d.h. \(BB_1\perp BD\) . Das bedeutet, dass \(\triangle BB_1D\) rechteckig ist. Dann nach dem Satz des Pythagoras \(B_1D=BB_1^2+BD^2=a^2+b^2+c^2\), thd.

Definition: Würfel

Würfel ist ein rechteckiges Parallelepiped, dessen Flächen alle gleiche Quadrate sind.

Somit sind die drei Dimensionen einander gleich: \(a=b=c\) . Das Folgende ist also wahr

Theoreme

1. Das Volumen eines Würfels mit der Kante \(a\) ist gleich \(V_(\text(cube))=a^3\) .

2. Die Diagonale des Würfels wird mit der Formel \(d=a\sqrt3\) ermittelt.

3. Gesamtoberfläche eines Würfels \(S_(\text(vollständiger Würfel))=6a^2\).