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Das Konzept der Menge. Georg Cantor (1845–1918) Professor für Mathematik und Philosophie, Begründer der modernen Mengenlehre. „Unter Pluralität verstehen wir die Vereinigung bestimmter, voneinander verschiedener Objekte unserer Darstellung oder unseres Denkens zu einem Ganzen.“ Georg Cantor

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Das Konzept der Menge. Der Grundbegriff der Mathematik ist der Mengenbegriff. Der Mengenbegriff bezieht sich auf Anfangsbegriffe, die nicht definiert werden können. Mit Menge meinen wir eine bestimmte Sammlung homogener Objekte. Die Elemente (Objekte), aus denen eine Menge besteht, werden Elemente genannt.

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Set-Bezeichnung Sets werden bezeichnet in Großbuchstaben Lateinisches Alphabet: A, B, C, X usw. Die Elemente der Menge werden bezeichnet Kleinbuchstaben Lateinisches Alphabet: a, b, c, d usw. Die Notation M = (a, b, c, d) bedeutet, dass die Menge M aus den Elementen a, b, c, d besteht. Є – ein Zeichen der Zugehörigkeit. Die Notation a є M bedeutet, dass das Objekt a ein Element der Menge M ist und lautet wie folgt: „a gehört zur Menge M“

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Nummer einer Menge Die Nummer einer Menge ist die Anzahl der Elemente in einer bestimmten Menge. Sie wird wie folgt bezeichnet: n Geschrieben wie folgt: n (M) = 4 Es gibt Mengen: Endliche Mengen – bestehen aus einer endlichen Anzahl von Elementen, wenn alle Elemente der Menge gezählt werden können. Unendliche Mengen – wenn es unmöglich ist, alle Elemente der Menge zu zählen. Leer Sets-Sets, enthält keine Elemente und wird wie folgt bezeichnet: Ø. Schreiben Sie es so: n (A)=0 ; A= Ø Die leere Menge ist eine Teilmenge einer beliebigen Menge.

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Arten von Mengen: Diskrete Mengen (diskontinuierlich) – haben separate Elemente. Auf diese Weise werden die Rechnungen erkannt. Kontinuierliche Sätze – keine separaten Elemente. Durch Messung erkannt. Endliche Mengen bestehen aus endlich vielen Elementen, wenn alle Elemente der Menge gezählt werden können. Unendliche Mengen – wenn es unmöglich ist, alle Elemente der Menge zu zählen. Bestellen von Sets. Ein Element einer Menge geht einem anderen voraus oder folgt einem anderen. Die Menge der natürlichen Zahlen, die in einer natürlichen Reihe angeordnet sind. Ungeordnete Mengen. Jedes ungeordnete Set kann bestellt werden.

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Methoden zur Definition von Mengen durch Aufzählung von Elementen (geeignet für endliche Mengen). Geben Sie die charakteristische Eigenschaft der Menge an, d.h. eine Eigenschaft, die alle Elemente einer bestimmten Menge haben. Ein Bild verwenden: Auf einem Strahl In Form eines Diagramms Unter Verwendung von Eulerkreisen. Wird hauptsächlich verwendet, wenn Operationen an Mengen durchgeführt oder deren Beziehungen demonstriert werden.

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Teilmenge Wenn ein Element der Menge B zur Menge A gehört, dann wird Menge B als Teilmenge der Menge A bezeichnet. - Inklusionszeichen. Notation B A bedeutet, dass Menge B eine Teilmenge von Menge A ist.

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Arten von Teilmengen Eigene Teilmenge. Eine Menge B heißt echte Teilmenge einer Menge A, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind: B≠Ø, B≠A. Keine richtigen Teilmengen. Eine Menge B heißt nichtechte Teilmenge einer Menge A, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind: B≠Ø, B=A. Die leere Menge ist eine Teilmenge einer beliebigen Menge. Jede Menge ist eine Teilmenge ihrer selbst.

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A B A=B Mengengleichheiten Mengen sind gleich, wenn sie aus den gleichen Elementen bestehen. Zwei Mengen sind gleich, wenn jede eine Teilmenge der anderen ist. In diesem Fall schreiben sie: A=B

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Operationen an Mengen Schnittmenge von Mengen. Vereinigung von Mengen. Unterschied der Mengen. Ergänzung einer Menge.

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Vereinigung von Mengen Die Vereinigung der Mengen A und B ist die Menge aller Objekte, die Elemente der Menge A oder der Menge B sind. U ist ein Vereinigungszeichen. A U B liest sich so: „Die Vereinigung von Menge A und Menge B.“

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Schnittmenge von Mengen Die Schnittmenge der Mengen A und B ist eine Menge, die nur solche Elemente enthält, die gleichzeitig zu Menge A und Menge B gehören. Das ∩-Zeichen der Menge entspricht der Konjunktion „und“. A ∩ B liest sich so: „Schnittpunkt der Mengen A und B“

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Differenz der Mengen Die Differenz der Mengen A und B ist die Menge aller Objekte, die Elemente der Menge A sind und nicht zur Menge B gehören. \ ist das Differenzzeichen, entspricht der Präposition „ohne“. Der Unterschied zwischen den Mengen A und B wird wie folgt geschrieben: A \ B

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Komplement einer Menge Die Menge der Elemente der Menge B, die nicht zur Menge A gehören, wird als Komplement der Menge A zur Menge B bezeichnet. Oft sind Mengen Teilmengen einer Grund- oder Universalmenge U. Das Komplement wird mit Ā bezeichnet

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Eigenschaften von Mengen Der Durchschnitt und die Vereinigung von Mengen haben die folgenden Eigenschaften: Kommutativität Assoziativität Distributivität

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Bildunterschriften:

Vielzahl. Operationen festlegen

„Eine Menge sind viele Dinge, die wir als eins betrachten“ – der Begründer der Mengenlehre – Georg Cantor (1845-1918) – deutscher Mathematiker, Logiker, Theologe, Schöpfer der Theorie der unendlichen Mengen, die einen entscheidenden Einfluss auf die Theorie der unendlichen Mengen hatte Entwicklung der mathematischen Wissenschaften an der Wende vom 19. zum 20. Jahrhundert.

Beispiele für Mengen aus der Außenwelt Eine Menge von Wochentagen besteht beispielsweise aus den Elementen: Montag, Dienstag, Mittwoch, Donnerstag, Freitag, Samstag, Sonntag. Viele Monate – aus den Elementen: Januar, Februar, März, April, Mai, Juni, Juli, August, September, Oktober, November, Dezember.

Beispiele für Mengen in der Mathematik sind: a) die Menge aller natürlichen Zahlen N, b) die Menge aller ganzen Zahlen Z (positiv, negativ und Null), c) die Menge aller rationalen Zahlen Q, d) die Menge aller reale Nummern R Viele Rechenoperationen – aus den Elementen: Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division.

Beispiele für Mengen in der Geometrie sind: a) viele Arten von Dreiecken, b) viele Polygone

Der Schnittpunkt zweier Mengen A und B ist die Menge C = A B, die aus allen Elementen x besteht, die gleichzeitig in der Menge A und in der Menge B liegen. A B = (x), wobei x A und x B M = a c

EINE AUFGABE 1 AUFGABE 2

Die Vereinigung zweier Mengen A und B ist die Menge A B, die aus allen zu A oder B gehörenden Elementen besteht. C = A B = (x), wobei x A oder x B. A – Mädchen der Klasse, B – Jungen von die Klasse, C – die ganze Klasse

Teilmenge Leere Menge Gleiche Mengen A = B

A=(0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) Nr. 1 Welche Menge wird durch die Auflistung dieser Elemente definiert? #2 Lass viele Krokodile in den Himmel fliegen. Gegebene Mengen A = (3, 5, 0, 11, 12, 19), B = (2, 4, 8, 12, 18,0). Finden Sie die Mengen AU B, A B Nr. 3 B = (A, E, I, O, U, E, Yu, Z)

Lösung Das vierte Federmäppchen sollte Gegenstände enthalten, die bereits in den ersten drei Federmäppchen zu finden sind, jedoch nur einmal. Dies ist ein blauer Stift, ein orangefarbener Bleistift und ein roter Radiergummi. Antwort: Blauer Stift, orangefarbener Bleistift, roter Radiergummi. Problem: Das erste Federmäppchen enthält einen lila Stift, einen grünen Bleistift und einen roten Radiergummi; im zweiten - ein blauer Stift, ein grüner Bleistift und ein gelber Radiergummi; im dritten - ein lila Stift, ein orangefarbener Bleistift und ein gelber Radiergummi. Der Inhalt dieser Federmäppchen zeichnet sich durch folgendes Muster aus: In jeweils zwei von ihnen stimmt genau ein Objektpaar sowohl farblich als auch zweckmäßig überein. Was sollte sich im vierten Federmäppchen befinden, damit dieses Muster bestehen bleibt? Tipp Überlegen Sie, ob sich im vierten Federmäppchen vielleicht ein lila Stift befindet.

Nr. 5 Zeichnen Sie mithilfe von Eulerkreisen den Schnittpunkt der Mengen K und L, wenn: a) K L b) L K c) K = L d) K L = K K = L L K L K

Lösung: Bezeichnen wir mit x die Anzahl der Menschen, die gleichzeitig Mathematiker und Philosophen sind. Dann beträgt die Zahl der Mathematiker 7 x und die Zahl der Philosophen 9 x. Wenn x 0, dann gibt es mehr Philosophen. Was bedeutet es, dass x = 0? Das bedeutet, dass weder das eine noch das andere überhaupt existiert, das heißt, sie sind „gleich verteilt“. Dies ist die richtige Antwort, die die Bedingungen des Problems formal erfüllt. Und diejenigen, die darauf hingewiesen haben, sind doppelt gut gemacht! Obwohl die Lösung auch für diejenigen gezählt wurde, die nur den Fall analysierten, als es noch Mathematiker gab. Antwort: Wenn es mindestens einen Philosophen oder Mathematiker gibt, dann gibt es mehrere Philosophen. Problem Unter den Mathematikern ist jeder Siebte ein Philosoph, und unter den Philosophen ist jeder Neunte ein Mathematiker. Wer ist zahlreicher: Philosophen oder Mathematiker? Hinweis Denken Sie an Menschen, die gleichzeitig Mathematiker und Philosophen sind.

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Bildunterschriften:

Gleiche Sätze. Leeres Set. Ø-Zeichen. 3. Klasse. Mathematik Peterson L.G. http://aida.ucoz.ru

Vergleichen Sie die Elemente der Mengen in der ersten und zweiten Zeile. Gibt es ein Element in der ersten Zeile, das nicht in der zweiten ist? Gibt es in der zweiten Zeile ein Element, das nicht in der ersten ist? http://aida.ucoz.ru

Vergleichen Sie die Sätze in der oberen und unteren Reihe. Welche Zeile hat ein zusätzliches Element?

Zwei Mengen sind gleich, wenn sie die gleichen Elemente enthalten. Wenn die Mengen A und B gleich sind, dann schreiben Sie A = B, und wenn sie nicht gleich sind, dann schreiben Sie A ≠ B. Beispiel: Sei A = (Himbeeren, Erdbeeren, Johannisbeeren), B = (Erdbeeren, Himbeeren, Johannisbeeren) , C = (Johannisbeere; Himbeere; Kirsche), D = (Himbeere; Erdbeere; Johannisbeere; Stachelbeere). A = B (sie haben die gleichen Elemente, nur in einer anderen Reihenfolge); A ≠ C (in A gibt es eine Erdbeere und in C stattdessen eine Kirsche); A ≠ D (in D ist das zusätzliche Element Stachelbeere).

Ist die Gleichheit richtig geschrieben? Warum? ( ; ; ; ; ) = ( ; ; ; ; ) ; JA, NEIN ( ; ; ) = ( ; ; ) ;

Sei A = (0; 1; 2). Welche der Mengen B = (2; 0; 1), C = (1; 0), D = (3; 2; 1; 0) sind gleich der Menge A und welche nicht gleich? Erklären Sie, wie man es aufschreibt. A A A B C D = ≠ ≠

Wie viele Elemente enthält es: Viele Tage der Woche? Viele Schreibtische in der ersten Reihe? Viele Buchstaben des russischen Alphabets? Hat die Katze Murka viele Schwänze? Hat Petja viele Nasen? Auf dem Mond grasen viele Pferde? Wenn eine Menge keine Elemente enthält, wird sie als leer bezeichnet. Die leere Menge wird wie folgt bezeichnet: Ø. Überlegen Sie sich einige Beispiele für eine leere Menge.

Hausaufgabe. Wir arbeiten im Lehrbuch. Nr. 11,12 Seite 9

Zum Thema: methodische Entwicklungen, Präsentationen und Notizen

Diese Lektion wurde basierend auf dem Lehrbuch „Computer Science in Games and Problems“ von A.V. entwickelt. Gorjatschewa. Diese Lektion, die vierte in einer Reihe von Lektionen zum Thema „Multiple“, ist eine Lektion zur Zusammenfassung und Festigung der erworbenen Kenntnisse am...

Ein Haufen. Teilmenge. Schnittpunkt von vielen. (Wir siedeln die Massen um)

· Um Ideen über Mengen, Teilmengen und den Schnittpunkt zweier Mengen zu festigen. · Um die Fähigkeit zu festigen, ... zu definieren.

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Vergleichen Sie die Elemente der Mengen in der ersten und zweiten Zeile. Gibt es ein Element in der ersten Zeile, das nicht in der zweiten ist? Gibt es in der zweiten Zeile ein Element, das nicht in der ersten ist?

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Vergleichen Sie die Mengen in der oberen und unteren Zeile. Welche Zeile enthält ein zusätzliches Element?

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Zwei Mengen sind gleich, wenn sie die gleichen Elemente enthalten. Wenn die Mengen A und B gleich sind, schreiben sie A = B, und wenn sie nicht gleich sind, schreiben sie A ≠ B.

Beispiel: Sei A = (Himbeere; Erdbeere; Johannisbeere), B = (Erdbeere; Himbeere; Johannisbeere), C = (Johannisbeere; Himbeere; Kirsche), D = (Himbeere; Erdbeere; Johannisbeere; Stachelbeere). A = B (sie haben die gleichen Elemente, nur in einer anderen Reihenfolge); A ≠ C (in A gibt es eine Erdbeere und in C stattdessen eine Kirsche); A ≠ D (in D ist das zusätzliche Element Stachelbeere).

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Ist die Gleichheit richtig geschrieben? Warum?

( ; ; ; ; ) = ( ; ; ; ; ) ; JA, NEIN ( ; ; ) = ( ; ; ) ;

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Sei A = (0; 1; 2). Welche der Mengen B = ( 2; 0; 1), C = ( 1; 0), D = ( 3; 2; 1; 0) sind gleich der Menge A und welche nicht gleich? Erklären Sie, wie man es aufschreibt. A A A B C D = ≠ ≠

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Wie viele Elemente enthält es:

An vielen Tagen in der Woche? Viele Schreibtische in der ersten Reihe? Viele Buchstaben des russischen Alphabets? Hat die Katze Murka viele Schwänze? Hat Petja viele Nasen? Auf dem Mond grasen viele Pferde? Wenn eine Menge keine Elemente enthält, wird sie als leer bezeichnet. Die leere Menge wird wie folgt bezeichnet:Ø. Überlegen Sie sich einige Beispiele für eine leere Menge.

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http://www.kids-price.ru/kurnosiki_nabor_igrushek_dlya_vannoj_689446.html http://www.chicco-land.ru/product_info.php?products_id=231 http://www.serejik.ru/shop/good_460 http:/ /www.map.qcd.ru/igrushka-sobaka http://www.softtoys.com.ua/component/page,shop.browse/category_id,77/option,com_virtuemart/Itemid,38/ http://www. 56047.ru/shop/index.php?productID=3090 http://www.teddy-toys.ru/elephant http://www.elephant.ru/index.php?firm=160&type=106 Aufgaben aus dem Lehrbuch Mathematik 3. Klasse., Autor Peterson L.G., M: Balass, 2010. Verwendete Materialien: Autorin der Präsentation, Grundschullehrerin, Städtische Bildungseinrichtung Sekundarschule Nr. 9, Safonova, Region Smolensk, Irina Nikolaevna Korovina

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Gleiche Sätze.

Pädagogisch
Ziel

Führen Sie das Konzept der „gleichen Mengen“ ein. Lernen Sie, zwischen Mengen zu unterscheiden, Objekte anhand ähnlicher Merkmale zu Gruppen zusammenzufassen und einzelne Objekte aus einer Gruppe zu isolieren.

Art, Art des Unterrichts

Lektion zum Erlernen neuen Wissens

Geplant
Ergebnisse
(Thema)

Mengen bilden und vergleichen; benennen Sie die Elemente einer Menge; zwischen gleichen und ungleichen Mengen unterscheiden. Mathematische Konzepte in der Sprache richtig verwenden.

Universal
lehrreich
Aktionen

Persönlich: Bewusstsein für die mathematischen Komponenten der umgebenden Welt.

Metasubjekt:

Regulatorisch: Beherrschung der Möglichkeiten, Objekte zu kombinieren und nach bestimmten Merkmalen aus einer Gruppe zu trennen.

Kognitiv: Verständnis des Konzepts der „gleichen Mengen“ auf fachspezifischer Ebene.

Gesprächig: Fähigkeit, einfache Sprachmittel zu verwenden; Nehmen Sie am Dialog mit dem Lehrer und Ihren Mitschülern teil und führen Sie eine gemeinsame Diskussion durch. auf die Fragen des Lehrers beantworten.

Formen und Methoden
Ausbildung

Formen: Frontal-, Einzel-, Paararbeit

Methoden: verbal, visuell, praktisch

Grundlagen
Inhalt des Themas, Konzepte und Begriffe

Ein Haufen. Elemente einer Menge. Gleiche Sätze.

Menge, Element der Menge

Bildungsressourcen

Dorofeev G.V., Mirakova T.V. Mathematik: Lehrbuch: 1. Klasse, 1. Teil; – M.: Bildung, 2014.

Dorofeev G.V., Mirakova T.V. Mathematik: Arbeitsbuch: 1. Klasse, Teil 1.. - M.: Prosveshchenie, 2014.

Dorofeev G.V., Mirakova T.V. "Mathematik. Richtlinien. 1 Klasse. Landesbildungsstandard - M.: Bildung, 2011.

Elektronische Ergänzung zum Lehrbuch von G. V. Dorofeev, T. N. Mirakova (CDpc)“ – M.: Prosveshchenie, 2014.

Während des Unterrichts.

ICH. Zeit organisieren

II. Wissen aktualisieren

Heute machen wir zusammen mit Anya und Vanya einen Spaziergang auf einer Waldlichtung. Schauen Sie, wie schön es ist!

Wie nennt man die im Bild gezeigten Objekte in einem Wort?(Blumen).

Wie nennt man in der Mathematik eine Gruppe von Objekten?(Ein Haufen)

- Wie heißt ein einzelnes Objekt einer Menge?(Element)

Benennen Sie die Elemente vieler Farben.(Kamille, Kornblume, Glocke, Tulpe, Rose)

- In wie viele Gruppen können wir dieses Set einteilen? Welche?(1: Kamille, 2: Glocke und Kornblume, 3: Rose und Tulpe)

Nach welcher Eigenschaft haben wir die Menge geteilt?(Nach Farbe)

Zählen wir die Anzahl der Elemente der Menge von rechts nach links, von links nach rechts.(Artikel zählen)

Wie viele Elemente der Farbmenge gibt es? (5)

Lassen Sie uns Ihr Gedächtnis testen. Welche Nummer hat die Glocke?(dritte)

Welche Blume befindet sich rechts davon? (Tulpe) An welchem ​​Ort?(am vierten)

Welche Blume befindet sich links von der Glocke?(Kornblume) Wo?(auf dem zweiten)

Wie viel ist eine Rose wert?(fünfter, letzter)

Welche Blume befindet sich rechts vom Gänseblümchen?(Kornblume)

Welche Blume liegt zwischen der Kornblume und der Rose?(Glocke, Tulpe)

III. Formulierung des Problems. Entdeckung neuen Wissens.

Während wir uns die Blumen ansahen und unser Gedächtnis trainierten, pflückten Anya und Vanya Blumensträuße für ihre Mütter. Haben sie die gleichen Blumensträuße bekommen? (Nein). Können wir viele Blumensträuße nennen?gleich ? (?)

Heute lernen wir in der Lektion, welche Mengen als gleich bezeichnet werden.

Hören wir unserem Experten, Professor Samovarov, zu.

Nach dem ersten Teil des Videos kommen wir zu dem Schluss:Bestehen Mengen aus gleichen Elementen, sind sie gleich.

Nach dem zweiten Teil des Videos kommen wir zu dem Schluss:Unterscheiden sich Mengen in mindestens einem Element, dann sind sie nicht gleich.

Kehren wir zu Anya und Vanya zurück. Beantworten wir es. Können wir die vielen Blumensträuße von Anya und Vanya nennen?gleich ? (Nein).

Minute des Sportunterrichts.

IV. Festigung des Wissens

In ... Arbeiten Arbeitsmappe. Seite 28 Nr. 1

Vergleichen wir die Sets in orangefarbenen Rahmen. Sind sie gleich? (ja, die Elemente darin sind die gleichen )

= )

Vergleichen wir die Sets in blauen Rahmen. Sind sie gleich? (Nein, denn im rechten Set gibt es einen Kürbis und im linken Set eine Wassermelone)

Welches Zeichen sollten wir zwischen diese Sätze setzen? („Ungleichheitszeichen“ bzw. streichen Sie das „Gleichheitszeichen“ durch )

Vergleichen wir die Sets in grünen Rahmen. Sind sie gleich? ? (ja, die Elemente darin sind die gleichen )

Vergleichen wir die Sets in rosa Rahmen. Sind sie gleich? (Nein, denn im rechten Satz gibt es ein kleines blaues Quadrat und einen großen gelben Kreis, und im linken Satz gibt es ein großes gelbes Quadrat und einen kleinen blauen Kreis)

Partnerarbeit.

Jetzt wird zu zweit gearbeitet. Jungen sollten auf ihrer Blatthälfte viele Quadrate und Mädchen auf ihrer Blatthälfte viele Dreiecke zeichnen. Vereinbaren Sie die Anzahl der Elemente. Ihre Mengen müssen gleich sein.

Arbeiten Sie nach dem Lehrbuch.Seite 34 Nr. 1

V. Zusammenfassung der Lektion. Betrachtung.

Welche neuen Erkenntnisse haben wir heute im Unterricht gewonnen?

– Was hat Ihnen an der Lektion am besten gefallen?

Heben Sie einen blauen Stift an, wenn Ihnen das Thema der Lektion klar ist und Sie leicht feststellen können, ob Sätze gleich sind, und einen roten Stift, wenn Sie Schwierigkeiten haben und an diesem Thema arbeiten müssen.