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Potenzfunktion y x p. Potenzfunktion, ihre Eigenschaften und Graph |
Eigenschaften von Potenzfunktionen und ihren Graphen Potenzfunktion mit Exponent gleich Null, p = 0 Wenn der Exponent der Potenzfunktion y = x p gleich Null ist, p = 0, dann ist die Potenzfunktion für alle x ≠ 0 definiert und eine Konstante gleich eins: Potenzfunktion mit natürlichem ungeraden Exponenten, p = n = 1, 3, 5, ... Betrachten Sie eine Potenzfunktion y = x p = x n mit einem natürlichen ungeraden Exponenten n = 1, 3, 5, .... Dieser Exponent kann auch in der Form geschrieben werden: n = 2k + 1, wobei k = 0, 1, 2 , 3, .. – das Ganze ist nicht negativ. Nachfolgend finden Sie die Eigenschaften und Diagramme solcher Funktionen. Graph einer Potenzfunktion y = x n mit einem natürlichen ungeraden Exponenten für verschiedene Werte des Exponenten n = 1, 3, 5, .... Domäne: –∞< x < ∞ Mehrere Werte: –∞< y < ∞ Extreme: nein Konvex: bei –∞< x < 0 выпукла вверх bei 0< x < ∞ выпукла вниз Wendepunkte: x = 0, y = 0
bei x = –1, y(–1) = (–1) n ≡ (–1) 2m+1 = –1 bei x = 0, y(0) = 0 n = 0 für x = 1, y(1) = 1 n = 1 Potenzfunktion mit natürlichem geradem Exponenten, p = n = 2, 4, 6, ... Betrachten Sie eine Potenzfunktion y = x p = x n mit einem natürlichen geraden Exponenten n = 2, 4, 6, .... Dieser Exponent kann auch in der Form geschrieben werden: n = 2k, wobei k = 1, 2, 3, .. . - natürlich . Die Eigenschaften und Diagramme solcher Funktionen sind unten angegeben. Graph einer Potenzfunktion y = x n mit einem natürlichen geraden Exponenten für verschiedene Werte des Exponenten n = 2, 4, 6, .... Domäne: –∞< x < ∞ Mehrere Werte: 0 ≤ y< ∞ Monoton: bei x< 0 монотонно убывает für x > 0 steigt monoton Extreme: Minimum, x = 0, y = 0 Konvex: konvex nach unten Wendepunkte: nein Schnittpunkte mit Koordinatenachsen: x = 0, y = 0 bei x = –1, y(–1) = (–1) n ≡ (–1) 2m = 1 bei x = 0, y(0) = 0 n = 0 für x = 1, y(1) = 1 n = 1 Potenzfunktion mit negativem ganzzahligem Exponenten, p = n = -1, -2, -3, ... Betrachten Sie eine Potenzfunktion y = x p = x n mit einem negativen ganzzahligen Exponenten n = -1, -2, -3, .... Wenn wir n = –k setzen, wobei k = 1, 2, 3, ... ist eine natürliche Zahl, dann kann sie dargestellt werden als: Graph einer Potenzfunktion y = x n mit einem negativen ganzzahligen Exponenten für verschiedene Werte des Exponenten n = -1, -2, -3, .... Ungerader Exponent, n = -1, -3, -5, ... Nachfolgend sind die Eigenschaften der Funktion y = x n mit einem ungeraden negativen Exponenten n = -1, -3, -5, ... aufgeführt. Definitionsbereich: x ≠ 0 Mehrere Werte: y ≠ 0 Parität: ungerade, y(–x) = – y(x) Extreme: nein Konvex: bei x< 0: выпукла вверх für x > 0: konvex nach unten Wendepunkte: nein Zeichen: bei x< 0, y < 0 für x > 0, y > 0 Private Werte: für x = 1, y(1) = 1 n = 1 Gerader Exponent, n = -2, -4, -6, ... Nachfolgend sind die Eigenschaften der Funktion y = x n mit einem geraden negativen Exponenten n = -2, -4, -6, ... aufgeführt. Definitionsbereich: x ≠ 0 Mehrere Werte: y > 0 Parität: gerade, y(–x) = y(x) Monoton: bei x< 0: монотонно возрастает für x > 0: monoton abnehmend Extreme: nein Konvex: konvex nach unten Wendepunkte: nein Schnittpunkte mit Koordinatenachsen: nein Vorzeichen: y > 0 Private Werte: bei x = –1, y(–1) = (–1) n = 1 für x = 1, y(1) = 1 n = 1 Potenzfunktion mit rationalem (gebrochenem) Exponenten Betrachten Sie die Potenzfunktion y = x p mit einem rationalen (gebrochenen) Exponenten, wobei n eine ganze Zahl und m > 1 eine natürliche Zahl ist. Darüber hinaus haben n, m keine gemeinsamen Teiler. Der Nenner des Bruchindikators ist ungerade Der Nenner des gebrochenen Exponenten sei ungerade: m = 3, 5, 7, ... . In diesem Fall ist die Potenzfunktion x p sowohl für positive als auch für negative Werte des Arguments definiert. Betrachten wir die Eigenschaften solcher Potenzfunktionen, wenn der Exponent p innerhalb bestimmter Grenzen liegt. Der p-Wert ist negativ, p< 0 Der rationale Exponent (mit ungeradem Nenner m = 3, 5, 7, ...) sei kleiner als Null: . Graphen von Potenzfunktionen mit einem rationalen negativen Exponenten für verschiedene Werte des Exponenten, wobei m = 3, 5, 7, ... ungerade ist. Ungerader Zähler, n = -1, -3, -5, ... Wir stellen die Eigenschaften der Potenzfunktion y = x p mit einem rationalen negativen Exponenten dar, wobei n = -1, -3, -5, ... eine ungerade negative ganze Zahl ist, m = 3, 5, 7 ... eine ungerade natürliche ganze Zahl. Definitionsbereich: x ≠ 0 Mehrere Werte: y ≠ 0 Parität: ungerade, y(–x) = – y(x) Monotonie: monoton fallend Extreme: nein Konvex: bei x< 0: выпукла вверх für x > 0: konvex nach unten Wendepunkte: nein Schnittpunkte mit Koordinatenachsen: nein bei x< 0, y < 0 für x > 0, y > 0 Private Werte: bei x = –1, y(–1) = (–1) n = –1 für x = 1, y(1) = 1 n = 1 Gerader Zähler, n = -2, -4, -6, ... Eigenschaften der Potenzfunktion y = x p mit einem rationalen negativen Exponenten, wobei n = -2, -4, -6, ... eine gerade negative ganze Zahl ist, m = 3, 5, 7 ... eine ungerade natürliche ganze Zahl ist . Definitionsbereich: x ≠ 0 Mehrere Werte: y > 0 Parität: gerade, y(–x) = y(x) Monoton: bei x< 0: монотонно возрастает für x > 0: monoton abnehmend Extreme: nein Konvex: konvex nach unten Wendepunkte: nein Schnittpunkte mit Koordinatenachsen: nein Vorzeichen: y > 0 Der p-Wert ist positiv, kleiner als eins, 0< p < 1 Potenzfunktionsdiagramm mit rationalem Exponenten (0< p < 1) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное. Ungerader Zähler, n = 1, 3, 5, ... < p < 1, где n = 1, 3, 5, ... - нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное. Domäne: –∞< x < +∞ Mehrere Werte: –∞< y < +∞ Parität: ungerade, y(–x) = – y(x) Monotonie: monoton steigend Extreme: nein Konvex: bei x< 0: выпукла вниз für x > 0: konvex nach oben Wendepunkte: x = 0, y = 0 Schnittpunkte mit Koordinatenachsen: x = 0, y = 0 bei x< 0, y < 0 für x > 0, y > 0 Private Werte: bei x = –1, y(–1) = –1 bei x = 0, y(0) = 0 für x = 1, y(1) = 1 Gerader Zähler, n = 2, 4, 6, ... Die Eigenschaften der Potenzfunktion y = x p mit einem rationalen Exponenten innerhalb von 0 werden vorgestellt< p < 1, где n = 2, 4, 6, ... - четное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное. Domäne: –∞< x < +∞ Mehrere Werte: 0 ≤ y< +∞ Parität: gerade, y(–x) = y(x) Monoton: bei x< 0: монотонно убывает für x > 0: monoton steigend Extreme: Minimum bei x = 0, y = 0 Konvexität: konvex nach oben bei x ≠ 0 Wendepunkte: nein Schnittpunkte mit Koordinatenachsen: x = 0, y = 0 Vorzeichen: für x ≠ 0, y > 0 Eine Potenzfunktion wird als Funktion der Form y=x n bezeichnet (gelesen als y gleich x hoch n), wobei n eine gegebene Zahl ist. Sonderfälle von Potenzfunktionen sind Funktionen der Form y=x, y=x 2, y=x 3, y=1/x und viele andere. Lassen Sie uns Ihnen mehr über jeden von ihnen erzählen. Lineare Funktion y=x 1 (y=x)Der Graph ist eine gerade Linie, die durch den Punkt (0;0) in einem Winkel von 45 Grad zur positiven Richtung der Ox-Achse verläuft. Die Grafik ist unten dargestellt. Grundlegende Eigenschaften einer linearen Funktion:
Quadratische Funktion y=x 2Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel. Grundlegende Eigenschaften einer quadratischen Funktion:
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