Aus der Grundformel für das Volumen eines Tetraeders

Wo S ist die Fläche eines beliebigen Gesichts und H– der dadurch abgesenkten Höhe lässt sich eine ganze Reihe von Formeln ableiten, die das Volumen durch verschiedene Elemente des Tetraeders ausdrücken. Lassen Sie uns diese Formeln für das Tetraeder präsentieren ABCD.

(2) ,

wobei ∠ ( ANZEIGE,ABC) – Winkel zwischen Kante ANZEIGE und die Ebene des Gesichts ABC;

(3) ,

wobei ∠ ( ABC,ABD) – Winkel zwischen Flächen ABC Und ABD;

wo | AB,CD| – Abstand zwischen gegenüberliegenden Rippen AB Und CD, ∠ (AB,CD) ist der Winkel zwischen diesen Kanten.

Mit den Formeln (2)–(4) können die Winkel zwischen Geraden und Ebenen ermittelt werden; Besonders nützlich ist Formel (4), mit der Sie den Abstand zwischen sich kreuzenden Linien ermitteln können AB Und CD.

Die Formeln (2) und (3) ähneln der Formel S = (1/2)ab Sünde C für die Fläche des Dreiecks. Formel S = rpähnliche Formel

Wo R ist der Radius der eingeschriebenen Kugel des Tetraeders, Σ ist seine Gesamtoberfläche (die Summe der Flächen aller Flächen). Es gibt auch eine schöne Formel, die das Volumen eines Tetraeders mit dem Radius verbindet R seine beschriebene Sphäre ( Crellet-Formel):

wobei Δ die Fläche eines Dreiecks ist, dessen Seiten numerisch gleich den Produkten gegenüberliegender Kanten sind ( AB× CD, A.C.× BD,ANZEIGE× B.C.). Aus Formel (2) und dem Kosinussatz für Dreieckswinkel (siehe Sphärische Trigonometrie) können wir eine Formel ableiten, die der Formel von Heron für Dreiecke ähnelt.

Betrachten Sie ein beliebiges Dreieck ABC und einen Punkt D, der nicht in der Ebene dieses Dreiecks liegt. Verbinden wir diesen Punkt mithilfe von Segmenten mit den Eckpunkten des Dreiecks ABC. Als Ergebnis erhalten wir die Dreiecke ADC, CDB, ABD. Die von den vier Dreiecken ABC, ADC, CDB und ABD begrenzte Fläche wird Tetraeder genannt und mit DABC bezeichnet.
Die Dreiecke, aus denen ein Tetraeder besteht, werden seine Flächen genannt.
Die Seiten dieser Dreiecke werden Kanten des Tetraeders genannt. Und ihre Eckpunkte sind die Eckpunkte eines Tetraeders

Das Tetraeder hat 4 Gesichter, 6 Rippen Und 4 Gipfel.
Zwei Kanten, die keinen gemeinsamen Scheitelpunkt haben, heißen entgegengesetzt.
Der Einfachheit halber wird oft eine der Flächen eines Tetraeders genannt Basis, und die restlichen drei Flächen sind Seitenflächen.

Somit ist ein Tetraeder das einfachste Polyeder, dessen Flächen aus vier Dreiecken bestehen.

Es ist aber auch wahr, dass jede beliebige dreieckige Pyramide ein Tetraeder ist. Dann gilt auch, dass man ein Tetraeder nennt eine Pyramide mit einem Dreieck an der Basis.

Höhe des Tetraeders bezeichnet ein Segment, das einen Scheitelpunkt mit einem Punkt verbindet, der sich auf der gegenüberliegenden Fläche befindet und senkrecht dazu steht.
Median eines Tetraeders bezeichnet ein Segment, das einen Scheitelpunkt mit dem Schnittpunkt der Mediane der gegenüberliegenden Fläche verbindet.
Bimedian eines Tetraeders bezeichnet ein Segment, das die Mittelpunkte der sich schneidenden Kanten eines Tetraeders verbindet.

Da es sich bei einem Tetraeder um eine Pyramide mit dreieckiger Grundfläche handelt, kann das Volumen jedes Tetraeders mit der Formel berechnet werden

• S– Bereich eines beliebigen Gesichts,
• H– Höhe auf dieses Gesicht abgesenkt

Regelmäßiges Tetraeder – eine besondere Art von Tetraeder

Ein Tetraeder, bei dem alle Flächen gleichseitig sind, wird Dreieck genannt. richtig.
Eigenschaften eines regelmäßigen Tetraeders:

• Alle Kanten sind gleich.
• Alle Ebenenwinkel eines regelmäßigen Tetraeders betragen 60°
• Da jeder seiner Eckpunkte der Eckpunkt von drei regelmäßigen Dreiecken ist, beträgt die Summe der Ebenenwinkel an jedem Eckpunkt 180°
• Jeder Scheitelpunkt eines regelmäßigen Tetraeders wird in das Orthozentrum der gegenüberliegenden Fläche projiziert (am Schnittpunkt der Höhen des Dreiecks).

Gegeben sei ein regelmäßiges Tetraeder ABCD mit Kanten gleich a. DH ist seine Höhe.
Machen wir zusätzliche Konstruktionen BM – die Höhe des Dreiecks ABC und DM – die Höhe des Dreiecks ACD.
Die Höhe von BM ist gleich BM und ist gleich
Betrachten Sie das Dreieck BDM, wobei DH, die Höhe des Tetraeders, auch die Höhe dieses Dreiecks ist.
Die Höhe des zur Seite MB abgesenkten Dreiecks kann mit der Formel ermittelt werden

, Wo
BM=, DM=, BD=a,
p=1/2 (BM+BD+DM)=
Setzen wir diese Werte in die Höhenformel ein. Wir bekommen


Nehmen wir 1/2a heraus. Wir bekommen

Wenden wir die Formel für die Quadratdifferenz an

Nach kleinen Transformationen erhalten wir


Das Volumen jedes Tetraeders kann mit der Formel berechnet werden
,
Wo ,

Wenn wir diese Werte ersetzen, erhalten wir

Somit lautet die Volumenformel für ein regelmäßiges Tetraeder

Wo A–Tetraederkante

Berechnen des Volumens eines Tetraeders, wenn die Koordinaten seiner Eckpunkte bekannt sind

Gegeben seien die Koordinaten der Eckpunkte des Tetraeders

Vom Scheitelpunkt aus zeichnen wir die Vektoren , , .
Um die Koordinaten jedes dieser Vektoren zu ermitteln, subtrahieren Sie die entsprechende Startkoordinate von der Endkoordinate. Wir bekommen

In einem regelmäßigen Tetraeder sind alle Diederwinkel an den Kanten und alle Dreieckswinkel an den Ecken gleich

Ein Tetraeder hat 4 Flächen, 4 Eckpunkte und 6 Kanten.

Die Grundformeln für ein regelmäßiges Tetraeder sind in der Tabelle aufgeführt.

Wo:
S – Oberfläche eines regelmäßigen Tetraeders
V – Lautstärke
h - Höhe abgesenkt zur Basis
r - Radius des in das Tetraeder eingeschriebenen Kreises
R - Zirkumradius
a - Kantenlänge

Praxisbeispiele

Lösung.
Da alle Kanten einer dreieckigen Pyramide gleich sind, ist sie regelmäßig. Die Oberfläche einer regelmäßigen dreieckigen Pyramide beträgt S = a 2 √3.
Dann
S = 3√3

Antwort: 3√3

Aufgabe.
Alle Kanten einer regelmäßigen dreieckigen Pyramide sind gleich 4 cm. Bestimmen Sie das Volumen der Pyramide

Lösung.
Da bei einer regelmäßigen dreieckigen Pyramide die Höhe der Pyramide auf den Mittelpunkt der Grundfläche projiziert wird, der auch der Mittelpunkt des Umkreises ist

AO = R = √3 / 3 a
AO = 4√3 / 3

Somit lässt sich die Höhe der Pyramide OM ermitteln rechtwinkliges Dreieck AOM

AO 2 + OM 2 = AM 2
OM 2 = AM 2 - AO 2
OM 2 = 4 2 - (4√3 / 3) 2
OM 2 = 16 - 16/3
OM = √(32/3)
OM = 4√2 / √3

Das Volumen der Pyramide ermitteln wir mit der Formel V = 1/3 Sh
In diesem Fall ermitteln wir die Fläche der Basis mit der Formel S = √3/4 a 2

V = 1/3 (√3 / 4 * 16) (4√2 / √3)
V = 16√2/3

Antwort: 16√2 / 3 cm

Definition von Tetraeder

Tetraeder- der einfachste polyedrische Körper, dessen Flächen und Basis Dreiecke sind.

Online-Rechner

Ein Tetraeder hat vier Flächen, die jeweils aus drei Seiten bestehen. Das Tetraeder hat vier Eckpunkte, von denen jeweils drei Kanten ausgehen.

Dieser Körper ist in verschiedene Typen unterteilt. Nachfolgend finden Sie ihre Klassifizierung.

1. Isoedrisches Tetraeder- alle seine Flächen sind identische Dreiecke;
2. Orthozentrisches Tetraeder- alle von jedem Scheitelpunkt zur gegenüberliegenden Fläche gezeichneten Höhen sind gleich lang;
3. Rechteckiges Tetraeder- Kanten, die von einem Scheitelpunkt ausgehen, bilden miteinander einen Winkel von 90 Grad;
4. Rahmen;
5. Verhältnismäßig;
6. Inzentrisch.

Formeln für das Tetraedervolumen

Das Volumen eines bestimmten Körpers kann auf verschiedene Arten ermittelt werden. Schauen wir sie uns genauer an.

Durch das gemischte Produkt von Vektoren

Wenn ein Tetraeder auf drei Vektoren mit Koordinaten aufgebaut ist:

A ⃗ = (a x , a y , a z) \vec(a)=(a_x, a_y, a_z)A= (A X​ , A j​ , A z​ )
b ⃗ = (b x , b y , b z) \vec(b)=(b_x, b_y, b_z)B= (B X​ , B j​ , B z​ )
c ⃗ = (c x , c y , c z) \vec(c)=(c_x, c_y, c_z)C= (C X​ , C j​ , C z​ ) ,

dann ist das Volumen dieses Tetraeders das gemischte Produkt dieser Vektoren, also die folgende Determinante:

V = 1 6 ⋅ ∣ a x a y a z b x b y b z c x c y c z ∣ V=\frac(1)(6)\cdot\begin(vmatrix) a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \\ \end(vmatrix )V=6 1 ​ ⋅ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ A X​ B X​ C X​ ​ A j​ B j​ C j​ ​ A z​ B z​ C z​ ​ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​

Die Koordinaten der vier Eckpunkte des Oktaeders sind bekannt. A(1, 4, 9) A(1,4,9) A(1, 4, 9), B (8, 7, 3) B(8,7,3) B(8, 7, 3), C (1, 2, 3) ​​C (1,2,3) C(1, 2, 3), D(7, 12, 1) D(7,12,1) D(7, 1 2, 1). Finden Sie seine Lautstärke.

Lösung

A(1, 4, 9) A(1,4,9) A(1, 4, 9)
B (8, 7, 3) B(8,7,3) B(8, 7, 3)
C (1, 2, 3) ​​C (1,2,3) C(1, 2, 3)
D(7, 12, 1) D(7,12,1) D(7, 1 2, 1)

Der erste Schritt besteht darin, die Koordinaten der Vektoren zu bestimmen, auf denen dieser Körper aufgebaut ist.
Dazu müssen Sie jede Vektorkoordinate ermitteln, indem Sie die entsprechenden Koordinaten der beiden Punkte subtrahieren. Zum Beispiel die Vektorkoordinaten A B → \overrightarrow(AB) A B, also ein vom Punkt aus gerichteter Vektor A A A auf den Punkt B B B, das sind die Unterschiede zwischen den entsprechenden Koordinaten der Punkte B B B Und A A A:

A B → = (8 − 1 , 7 − 4 , 3 − 9) = (7 , 3 , − 6) \overrightarrow(AB)=(8-1, 7-4, 3-9)=(7, 3, -6)A B= (8 − 1 , 7 − 4 , 3 − 9 ) = (7 , 3 , − 6 )

A C → = (1 − 1 , 2 − 4 , 3 − 9) = (0 , − 2 , − 6) \overrightarrow(AC)=(1-1, 2-4, 3-9)=(0, - 2, -6)Ein C= (1 − 1 , 2 − 4 , 3 − 9 ) = (0 , − 2 , − 6 )
A D → = (7 − 1 , 12 − 4 , 1 − 9) = (6 , 8 , − 8) \overrightarrow(AD)=(7-1, 12-4, 1-9)=(6, 8, -8)A D= (7 − 1 , 1 2 − 4 , 1 − 9 ) = (6 , 8 , − 8 )

Lassen Sie uns nun das gemischte Produkt dieser Vektoren ermitteln. Dazu bilden wir eine Determinante dritter Ordnung und akzeptieren dies A B → = a ⃗ \overrightarrow(AB)=\vec(a)A B= A, A C → = b ⃗ \overrightarrow(AC)=\vec(b)Ein C= B, A D → = c ⃗ \overrightarrow(AD)=\vec(c)A D= C.

∣ a x a y a z b x b y b z c x c y c z ∣ = ∣ 7 3 − 6 0 − 2 − 6 6 8 − 8 ∣ = 7 ⋅ (− 2) ⋅ (− 8) + 3 ⋅ (− 6) ⋅ 6 + (− 6) ⋅ 0 ⋅ 8 − (− 6) ⋅ (− 2) ⋅ 6 − 7 ⋅ (− 6) ⋅ 8 − 3 ⋅ 0 ⋅ (− 8) = 112 − 108 − 0 − 72 + 336 + 0 = 268 \begin(vmatrix) a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \\ \end(vmatrix)= \begin(vmatrix) 7 & 3 & -6 \\ 0 & -2 & -6 \\ 6 & 8 & -8 \\ \end(vmatrix)=7\cdot(-2)\cdot(-8) + 3\cdot(-6)\cdot6 + (-6)\cdot0\cdot8 - (-6)\cdot (-2)\cdot6 - 7\cdot(-6)\cdot8 - 3\cdot0\cdot(-8) = 112 - 108 - 0 - 72 + 336 + 0 = 268∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ A X​ B X​ CX​ ​ Aj​ Bj​ Cj​ ​ Az​ Bz​ Cz​ ​ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ 7 0 6 ​ 3 − 2 8 ​ − 6 − 6 − 8 ​ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ = 7 ⋅ (− 2 ) ⋅ (− 8 ) + 3 ⋅ (− 6 ) ⋅ 6 + (− 6 ) ⋅ 0 ⋅ 8 − (− 6 ) ⋅ (− 2 ) ⋅ 6 − 7 ⋅ (− 6 ) ⋅ 8 − 3 ⋅ 0 ⋅ (− 8 ) = 1 1 2 − 1 0 8 − 0 − 7 2 + 3 3 6 + 0 = 2 6 8

Das heißt, das Volumen des Tetraeders ist gleich:

$V=61\cdot |$

Antwort

$44.8\text{cm3 .}$

Formel für das Volumen eines isoedrischen Tetraeders entlang seiner Seite

Diese Formel gilt nur für die Berechnung des Volumens eines isoedrischen Tetraeders, also eines Tetraeders, bei dem alle Flächen identische regelmäßige Dreiecke sind.

$V=12\sqrt{2\cdot A^3}$

ein aA- Länge der Kante des Tetraeders.

Bestimmen Sie das Volumen eines Tetraeders, dessen Seite gleich ist $11\text{cm.}$

Lösung

$A=11$

Lasst uns ersetzen ein aA in die Formel für das Volumen eines Tetraeders ein:

$V=12\sqrt{2\cdot A^{3=12\sqrt{2\cdot 11^{3\approx 156.8\text{cm3}}}}}$

Antwort

$156.8\text{cm3 .}$