Αυτό το άρθρο αφορά εύρεση του μεγαλύτερου κοινού διαιρέτη (GCD)δύο ή περισσότερους αριθμούς. Αρχικά, ας δούμε τον αλγόριθμο Ευκλείδη που σας επιτρέπει να βρείτε το gcd δύο αριθμών. Μετά από αυτό, θα επικεντρωθούμε σε μια μέθοδο που μας επιτρέπει να υπολογίσουμε το gcd των αριθμών ως το γινόμενο των κοινών πρώτων παραγόντων τους. Στη συνέχεια, θα εξετάσουμε την εύρεση του μεγαλύτερου κοινού διαιρέτη τριών ή περισσότερων αριθμών και επίσης θα δώσουμε παραδείγματα υπολογισμού του gcd αρνητικών αριθμών.

Πλοήγηση στη σελίδα.

Ευκλείδειος αλγόριθμος για την εύρεση GCD

Σημειώστε ότι αν είχαμε στραφεί στον πίνακα των πρώτων αριθμών από την αρχή, θα είχαμε ανακαλύψει ότι οι αριθμοί 661 και 113 είναι πρώτοι αριθμοί, από τους οποίους θα μπορούσαμε αμέσως να πούμε ότι ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης τους είναι το 1.

Απάντηση:

GCD(661, 113)=1.

Εύρεση GCD με παραγοντοποίηση αριθμών σε πρώτους παράγοντες

Ας εξετάσουμε έναν άλλο τρόπο εύρεσης του GCD. Ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης μπορεί να βρεθεί με παραγοντοποίηση των αριθμών σε πρώτους παράγοντες. Ας διαμορφώσουμε έναν κανόνα: Το gcd δύο θετικών ακεραίων a και b είναι ίσο με το γινόμενο όλων των κοινών πρώτων παραγόντων που βρίσκονται στους πρώτους παραγοντοποιήσεις των αριθμών a και b.

Ας δώσουμε ένα παράδειγμα για να εξηγήσουμε τον κανόνα για την εύρεση GCD. Ας γνωρίζουμε τις αποσυνθέσεις των αριθμών 220 και 600 σε πρώτους παράγοντες, έχουν τη μορφή 220=2·2·5·11 και 600=2·2·2·3·5·5. Οι κοινοί πρώτοι παράγοντες που εμπλέκονται στην παραγοντοποίηση των αριθμών 220 και 600 είναι το 2, το 2 και το 5. Επομένως, gcd(220, 600)=2·2·5=20.

Έτσι, αν συνυπολογίσουμε τους αριθμούς a και b σε πρώτους παράγοντες και βρούμε το γινόμενο όλων των κοινών παραγόντων τους, τότε θα βρεθεί ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης των αριθμών a και b.

Ας εξετάσουμε ένα παράδειγμα εύρεσης GCD σύμφωνα με τον αναφερόμενο κανόνα.

Παράδειγμα.

Βρείτε τον μεγαλύτερο κοινό διαιρέτη των αριθμών 72 και 96.

Λύση.

Ας συνυπολογίσουμε τους αριθμούς 72 και 96 σε πρώτους παράγοντες:

Δηλαδή 72=2·2·2·3·3 και 96=2·2·2·2·2·3. Κοινοί πρώτοι παράγοντες είναι οι 2, 2, 2 και 3. Έτσι, gcd(72, 96)=2·2·2·3=24.

Απάντηση:

GCD(72, 96)=24 .

Συμπερασματικά της παραγράφου αυτής, σημειώνουμε ότι η εγκυρότητα του παραπάνω κανόνα για την εύρεση GCD προκύπτει από την ιδιότητα του μέγιστου κοινού διαιρέτη, η οποία αναφέρει ότι GCD(m a 1 , m b 1)=m GCD(a 1 , b 1), όπου m είναι οποιοσδήποτε θετικός ακέραιος αριθμός.

Εύρεση του gcd τριών ή περισσότερων αριθμών

Η εύρεση του μεγαλύτερου κοινού διαιρέτη τριών ή περισσότερων αριθμών μπορεί να μειωθεί στη διαδοχική εύρεση του gcd δύο αριθμών. Το αναφέραμε όταν μελετήσαμε τις ιδιότητες του GCD. Εκεί διατυπώσαμε και αποδείξαμε το θεώρημα: ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης πολλών αριθμών a 1, a 2, ..., a k ισούται με τον αριθμό d k, ο οποίος βρίσκεται με διαδοχικό υπολογισμό GCD(a 1, a 2)=d 2 , GCD(d 2, a 3) =d 3, GCD(d 3, a 4)=d 4,..., GCD(d k-1, a k)=d k.

Ας δούμε πώς μοιάζει η διαδικασία εύρεσης του gcd πολλών αριθμών εξετάζοντας τη λύση του παραδείγματος.

Παράδειγμα.

Βρείτε τον μεγαλύτερο κοινό παράγοντα τεσσάρων αριθμών 78, 294, 570 και 36.

Λύση.

Σε αυτό το παράδειγμα, a 1 =78, a 2 =294, a 3 =570, a 4 =36.

Αρχικά, χρησιμοποιώντας τον ευκλείδειο αλγόριθμο, προσδιορίζουμε τον μεγαλύτερο κοινό διαιρέτη d 2 των δύο πρώτων αριθμών 78 και 294. Κατά τη διαίρεση, παίρνουμε τις ισότητες 294=78·3+60; 78=60·1+18 ; 60=18·3+6 και 18=6·3. Έτσι, d2 =GCD(78, 294)=6.

Τώρα ας υπολογίσουμε d 3 =GCD(d 2, a 3)=GCD(6, 570). Ας εφαρμόσουμε ξανά τον ευκλείδειο αλγόριθμο: 570=6·95, επομένως, d 3 = GCD(6, 570)=6.

Μένει να υπολογιστεί d 4 =GCD(d 3, a 4)=GCD(6, 36). Εφόσον το 36 διαιρείται με το 6, τότε d 4 = GCD(6, 36) = 6.

Έτσι, ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης των τεσσάρων δεδομένων αριθμών είναι d 4 =6, δηλαδή gcd(78, 294, 570, 36)=6.

Απάντηση:

GCD(78, 294, 570, 36)=6.

Η παραγοντοποίηση αριθμών σε πρώτους παράγοντες σας επιτρέπει επίσης να υπολογίσετε το gcd τριών ή περισσότερων αριθμών. Στην περίπτωση αυτή, ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης βρίσκεται ως το γινόμενο όλων των κοινών πρώτων παραγόντων των δεδομένων αριθμών.

Παράδειγμα.

Υπολογίστε το gcd των αριθμών από το προηγούμενο παράδειγμα χρησιμοποιώντας τους πρώτους παραγοντοποιήσεις τους.

Λύση.

Ας συνυπολογίσουμε τους αριθμούς 78, 294, 570 και 36 σε πρώτους παράγοντες, παίρνουμε 78=2·3·13, 294=2·3·7·7, 570=2·3·5·19, 36=2·2 ·3· 3. Οι κοινοί πρώτοι παράγοντες και των τεσσάρων αυτών αριθμών είναι οι αριθμοί 2 και 3. Ως εκ τούτου, GCD(78, 294, 570, 36)=2·3=6.

Ο κύκλος έδειξε πώς μπορείτε να εξαγάγετε τετραγωνικές ρίζες σε μια στήλη. Μπορείτε να υπολογίσετε τη ρίζα με αυθαίρετη ακρίβεια, να βρείτε οποιοδήποτε αριθμό ψηφίων στον δεκαδικό συμβολισμό της, ακόμα κι αν αποδειχθεί παράλογο. Ο αλγόριθμος θυμήθηκε, αλλά παρέμειναν ερωτήσεις. Δεν ήταν σαφές από πού προήλθε η μέθοδος και γιατί έδωσε το σωστό αποτέλεσμα. Δεν ήταν στα βιβλία, ή ίσως απλώς έψαχνα σε λάθος βιβλία. Τελικά, όπως πολλά από αυτά που ξέρω και μπορώ να κάνω σήμερα, το κατέληξα μόνος μου. Μοιράζομαι τις γνώσεις μου εδώ. Παρεμπιπτόντως, ακόμα δεν ξέρω πού δίνεται η λογική για τον αλγόριθμο)))

Έτσι, πρώτα σας λέω "πώς λειτουργεί το σύστημα" με ένα παράδειγμα και μετά εξηγώ γιατί λειτουργεί στην πραγματικότητα.

Ας πάρουμε έναν αριθμό (ο αριθμός βγήκε "από τον αέρα", μόλις μου ήρθε στο μυαλό).

1. Χωρίζουμε τους αριθμούς του σε ζεύγη: αυτοί που βρίσκονται στα αριστερά της υποδιαστολής ομαδοποιούνται δύο από τα δεξιά προς τα αριστερά και αυτοί που βρίσκονται στα δεξιά ομαδοποιούνται δύο από τα αριστερά προς τα δεξιά. Παίρνουμε.

2. Εξάγουμε την τετραγωνική ρίζα από την πρώτη ομάδα αριθμών στα αριστερά - στην περίπτωσή μας αυτό είναι (είναι σαφές ότι η ακριβής ρίζα μπορεί να μην εξαχθεί, παίρνουμε έναν αριθμό του οποίου το τετράγωνο είναι όσο το δυνατόν πιο κοντά στον αριθμό μας που σχηματίζεται από το πρώτη ομάδα αριθμών, αλλά δεν την υπερβαίνει). Στην περίπτωσή μας αυτός θα είναι ένας αριθμός. Καταγράφουμε την απάντηση - αυτό είναι το πιο σημαντικό ψηφίο της ρίζας.

3. Τετραγωνίζουμε τον αριθμό που υπάρχει ήδη στην απάντηση - αυτό - και τον αφαιρούμε από την πρώτη ομάδα αριθμών στα αριστερά - από τον αριθμό. Στην περίπτωσή μας παραμένει .

4. Εκχωρούμε την ακόλουθη ομάδα δύο αριθμών στα δεξιά: . Πολλαπλασιάζουμε τον αριθμό που υπάρχει ήδη στην απάντηση με και παίρνουμε .

5. Τώρα προσέξτε προσεκτικά. Πρέπει να αντιστοιχίσουμε ένα ψηφίο στον αριθμό στα δεξιά και να πολλαπλασιάσουμε τον αριθμό με, δηλαδή με το ίδιο εκχωρημένο ψηφίο. Το αποτέλεσμα θα πρέπει να είναι όσο το δυνατόν πιο κοντά, αλλά και πάλι όχι περισσότερο από αυτόν τον αριθμό. Στην περίπτωσή μας, αυτός θα είναι ο αριθμός, το γράφουμε στην απάντηση δίπλα, στα δεξιά. Αυτό είναι το επόμενο ψηφίο στον δεκαδικό συμβολισμό της τετραγωνικής μας ρίζας.

6. Από την αφαίρεση του γινόμενου παίρνουμε .

7. Στη συνέχεια, επαναλαμβάνουμε τις γνωστές πράξεις: εκχωρούμε την ακόλουθη ομάδα ψηφίων στα δεξιά, πολλαπλασιάζουμε με , στον αριθμό που προκύπτει > εκχωρούμε ένα ψηφίο στα δεξιά, έτσι ώστε όταν πολλαπλασιαζόμαστε με αυτό να έχουμε έναν αριθμό μικρότερο από , αλλά πλησιέστερο σε αυτό - αυτό είναι το επόμενο ψηφίο στον συμβολισμό δεκαδικής ρίζας.

Οι υπολογισμοί θα γραφτούν ως εξής:

Και τώρα η εξήγηση που υποσχέθηκε. Ο αλγόριθμος βασίζεται στον τύπο

Σχόλια: 51

1. 2 Αντώνης:

   Υπερβολικά χαοτικό και μπερδεμένο. Τακτοποιήστε τα όλα σημείο προς σημείο και αριθμήστε τα. Plus: εξηγήστε πού αντικαθιστούμε τις απαιτούμενες τιμές σε κάθε ενέργεια. Δεν έχω υπολογίσει ποτέ μια ρίζα ρίζας, δυσκολεύτηκα να την καταλάβω.

2. 5 Τζούλια:

3. 6 :

   Γιούλια, 23 γράφεται αυτή τη στιγμή στα δεξιά, αυτά είναι τα δύο πρώτα (στα αριστερά) ψηφία της ρίζας που έχουν ήδη ληφθεί στην απάντηση. Πολλαπλασιάστε επί 2 σύμφωνα με τον αλγόριθμο. Επαναλαμβάνουμε τα βήματα που περιγράφονται στο σημείο 4.

4. 7 zzz:

   σφάλμα στο «6. Από το 167 αφαιρούμε το γινόμενο 43 * 3 = 123 (129 nada), παίρνουμε 38."
   Δεν καταλαβαίνω πώς βγήκε το 08 μετά την υποδιαστολή...

5. 9 Fedotov Alexander:

   Και ακόμη και στην προ-αριθμομηχανή εποχή, μας διδάσκονταν στο σχολείο όχι μόνο την τετραγωνική ρίζα, αλλά και την κυβική ρίζα σε μια στήλη, αλλά αυτή ήταν πιο κουραστική και επίπονη δουλειά. Ήταν πιο εύκολο να χρησιμοποιήσουμε πίνακες Bradis ή έναν κανόνα διαφανειών, που ήδη μελετούσαμε στο γυμνάσιο.

6. 10 :

   Αλέξανδρε, έχεις δίκιο, μπορείς να εξαγάγεις ρίζες μεγάλων δυνάμεων σε μια στήλη. Θα γράψω ακριβώς για το πώς να βρω τη ρίζα του κύβου.

7. 12 Σεργκέι Βαλεντίνοβιτς:

   Αγαπητή Elizaveta Alexandrovna! Στα τέλη της δεκαετίας του '70, ανέπτυξα ένα σχέδιο για τον αυτόματο (δηλαδή, όχι με επιλογή) υπολογισμό των τετράγωνων. root στο μηχάνημα προσθήκης Felix. Εάν ενδιαφέρεστε, μπορώ να σας στείλω μια περιγραφή.

8. 14 Vlad aus Engelsstadt:

   (((Εξαγωγή της τετραγωνικής ρίζας της στήλης)))
   Ο αλγόριθμος απλοποιείται αν χρησιμοποιήσετε το 2ο σύστημα αριθμών, το οποίο μελετάται στην επιστήμη των υπολογιστών, αλλά είναι χρήσιμο και στα μαθηματικά. ΕΝΑ. Ο Kolmogorov παρουσίασε αυτόν τον αλγόριθμο σε δημοφιλείς διαλέξεις για μαθητές. Το άρθρο του βρίσκεται στη «Συλλογή Chebyshev» (Μαθηματικό Περιοδικό, αναζητήστε έναν σύνδεσμο προς αυτό στο Διαδίκτυο)
   Παρεμπιπτόντως, πες:
   Ο G. Leibniz έπαιξε κάποτε με την ιδέα της μετάβασης από το 10ο σύστημα αριθμών στο δυαδικό λόγω της απλότητας και της προσβασιμότητάς του για αρχάριους (μαθητές δημοτικού). Αλλά το να σπας τις καθιερωμένες παραδόσεις είναι σαν να σπάς μια πύλη φρουρίου με το μέτωπό σου: είναι δυνατό, αλλά είναι άχρηστο. Έτσι αποδεικνύεται, όπως λέει ο πιο αναφερόμενος γενειοφόρος φιλόσοφος στα παλιά χρόνια: οι παραδόσεις όλων των νεκρών γενεών καταστέλλουν τη συνείδηση ​​των ζωντανών.

   Μέχρι την επόμενη φορά.

9. 15 Vlad aus Engelsstadt:

   )) Σεργκέι Βαλεντίνοβιτς, ναι, με ενδιαφέρει...((

   Στοιχηματίζω ότι πρόκειται για μια παραλλαγή του «Felix» της βαβυλωνιακής μεθόδου εξαγωγής του τετραγωνικού ιππότη χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των διαδοχικών προσεγγίσεων. Αυτός ο αλγόριθμος καλύφθηκε με τη μέθοδο του Newton (μέθοδος εφαπτομένης)

   Αναρωτιέμαι αν έκανα λάθος στην πρόβλεψή μου;

10. 18 :

    2Vlad aus Engelsstadt

    Ναι, ο αλγόριθμος στο δυαδικό θα πρέπει να είναι απλούστερος, αυτό είναι αρκετά προφανές.

    Σχετικά με τη μέθοδο του Νεύτωνα. Ίσως είναι αλήθεια, αλλά εξακολουθεί να είναι ενδιαφέρον

11. 20 Κύριλλος:

    Ευχαριστώ πολύ. Αλλά δεν υπάρχει ακόμα αλγόριθμος, κανείς δεν ξέρει από πού προήλθε, αλλά το αποτέλεσμα είναι σωστό. ΕΥΧΑΡΙΣΤΩ ΠΟΛΥ! Το έψαχνα πολύ καιρό)

12. 21 Αλέξανδρος:

    Πώς θα εξαγάγετε τη ρίζα από έναν αριθμό όπου η δεύτερη ομάδα από αριστερά προς τα δεξιά είναι πολύ μικρή; για παράδειγμα, ο αγαπημένος αριθμός όλων είναι το 4.398.046.511.104. Μετά την πρώτη αφαίρεση, δεν είναι δυνατό να συνεχιστούν τα πάντα σύμφωνα με τον αλγόριθμο. Μπορείτε να εξηγήσετε σας παρακαλώ.

13. 22 Alexey:

    Ναι, ξέρω αυτή τη μέθοδο. Θυμάμαι ότι το διάβασα στο βιβλίο «Άλγεβρα» κάποιας παλιάς έκδοσης. Κατόπιν, κατ' αναλογία, ο ίδιος συμπέρανε πώς να εξάγει την κυβική ρίζα σε μια στήλη. Αλλά εκεί είναι ήδη πιο περίπλοκο: κάθε ψηφίο δεν καθορίζεται από ένα (όπως για ένα τετράγωνο), αλλά από δύο αφαιρέσεις, και ακόμη και εκεί πρέπει να πολλαπλασιάζεις μεγάλους αριθμούς κάθε φορά.

14. 23 Άρτεμ:

    Υπάρχουν τυπογραφικά λάθη στο παράδειγμα εξαγωγής της τετραγωνικής ρίζας του 56789.321. Η ομάδα των αριθμών 32 εκχωρείται δύο φορές στους αριθμούς 145 και 243, στον αριθμό 2388025 το δεύτερο 8 πρέπει να αντικατασταθεί από το 3. Στη συνέχεια η τελευταία αφαίρεση πρέπει να γραφεί ως εξής: 2431000 – 2383025 = 47975.
    Επιπλέον, όταν διαιρούμε το υπόλοιπο με τη διπλασιασμένη τιμή της απάντησης (χωρίς να λάβουμε υπόψη το κόμμα), λαμβάνουμε έναν επιπλέον αριθμό σημαντικών ψηφίων (47975/(2*238305) = 0,100658819...), τα οποία πρέπει να προστεθούν στο η απάντηση (√56789.321 = 238.305... = 238.305100659).

15. 24 Σεργκέι:

    Προφανώς ο αλγόριθμος προήλθε από το βιβλίο του Isaac Newton «Γενική Αριθμητική ή ένα βιβλίο για την αριθμητική σύνθεση και ανάλυση». Ακολουθεί ένα απόσπασμα από αυτό:

    ΠΕΡΙ ΕΞΑΓΩΓΗΣ ΡΙΖΩΝ

    Για να εξαγάγετε την τετραγωνική ρίζα ενός αριθμού, πρώτα απ 'όλα θα πρέπει να τοποθετήσετε μια τελεία πάνω από τα ψηφία του, ξεκινώντας από μονάδες. Στη συνέχεια, θα πρέπει να γράψετε στο πηλίκο ή τη ρίζα τον αριθμό του οποίου το τετράγωνο είναι ίσο ή πλησιέστερο σε μειονεκτική θέση προς τους αριθμούς ή τον αριθμό που προηγείται του πρώτου σημείου. Αφού αφαιρέσουμε αυτό το τετράγωνο, τα υπόλοιπα ψηφία της ρίζας θα βρεθούν διαδοχικά διαιρώντας το υπόλοιπο με το διπλάσιο της τιμής του ήδη εξαγόμενου μέρους της ρίζας και αφαιρώντας κάθε φορά από το υπόλοιπο του τετραγώνου το τελευταίο ψηφίο που βρέθηκε και το δεκαπλάσιο γινόμενο του με ο ονομαζόμενος διαιρέτης.

16. 25 Σεργκέι:

    Διορθώστε επίσης τον τίτλο του βιβλίου «Γενική Αριθμητική ή ένα βιβλίο για την αριθμητική σύνθεση και ανάλυση»

17. 26 Αλέξανδρος:

    Ευχαριστώ για το ενδιαφέρον υλικό. Αλλά αυτή η μέθοδος μου φαίνεται κάπως πιο περίπλοκη από ό, τι χρειάζεται, για παράδειγμα, για έναν μαθητή. Χρησιμοποιώ μια απλούστερη μέθοδο που βασίζεται στην επέκταση μιας τετραγωνικής συνάρτησης χρησιμοποιώντας τις δύο πρώτες παραγώγους. Η φόρμουλα του είναι:
    sqrt(x)= A1+A2-A3, όπου
    A1 είναι ο ακέραιος του οποίου το τετράγωνο είναι πιο κοντά στο x.
    Το Α2 είναι κλάσμα, ο αριθμητής είναι x-A1, ο παρονομαστής είναι 2*Α1.
    Για τους περισσότερους αριθμούς που συναντώνται σε ένα σχολικό μάθημα, αυτό είναι αρκετό για να φτάσει το αποτέλεσμα ακριβές στο εκατοστό.
    Εάν χρειάζεστε ένα πιο ακριβές αποτέλεσμα, πάρτε
    Το Α3 είναι κλάσμα, ο αριθμητής είναι Α2 στο τετράγωνο, ο παρονομαστής είναι 2*Α1+1.
    Φυσικά, για να το χρησιμοποιήσετε χρειάζεστε έναν πίνακα με τετράγωνα ακεραίων, αλλά αυτό δεν είναι πρόβλημα στο σχολείο. Το να θυμάστε αυτόν τον τύπο είναι αρκετά απλό.
    Ωστόσο, με μπερδεύει ότι απέκτησα το Α3 εμπειρικά ως αποτέλεσμα πειραμάτων με ένα υπολογιστικό φύλλο και δεν καταλαβαίνω ακριβώς γιατί αυτό το μέλος έχει αυτή την εμφάνιση. Ίσως μπορείτε να μου δώσετε κάποια συμβουλή;

18. 27 Αλέξανδρος:

    Ναι, έχω σκεφτεί κι εγώ αυτές τις σκέψεις, αλλά ο διάβολος βρίσκεται στις λεπτομέρειες. Γράφετε:
    «Δεδομένου ότι το a2 και το b διαφέρουν ελάχιστα». Το ερώτημα είναι ακριβώς πόσο λίγο.
    Αυτός ο τύπος λειτουργεί καλά σε αριθμούς στη δεύτερη δεκάδα και πολύ χειρότερος (όχι μέχρι τα εκατοστά, μόνο μέχρι τα δέκατα) στους αριθμούς της πρώτης δεκάδας. Γιατί συμβαίνει αυτό είναι δύσκολο να κατανοηθεί χωρίς τη χρήση παραγώγων.

19. 28 Αλέξανδρος:

    Θα διευκρινίσω αυτό που βλέπω ως πλεονέκτημα της φόρμουλας που προτείνω. Δεν απαιτεί την όχι εντελώς φυσική διαίρεση των αριθμών σε ζεύγη ψηφίων, η οποία, όπως δείχνει η εμπειρία, εκτελείται συχνά με σφάλματα. Το νόημά του είναι προφανές, αλλά για έναν άνθρωπο που γνωρίζει την ανάλυση, είναι ασήμαντο. Λειτουργεί καλά σε αριθμούς από το 100 έως το 1000, που είναι οι πιο συνηθισμένοι αριθμοί που συναντώνται στο σχολείο.

20. 29 Αλέξανδρος:

    Παρεμπιπτόντως, έκανα λίγο σκάψιμο και βρήκα την ακριβή έκφραση για το A3 στον τύπο μου:
    A3= A22 /2(A1+A2)

21. 30 vasil stryzhak:

    Στην εποχή μας, με την ευρεία χρήση της τεχνολογίας των υπολογιστών, το ζήτημα της εξαγωγής του τετραγωνικού ιππότη από έναν αριθμό δεν αξίζει τον κόπο από πρακτική άποψη. Αλλά για τους λάτρεις των μαθηματικών, διάφορες επιλογές για την επίλυση αυτού του προβλήματος θα είναι αναμφίβολα ενδιαφέρουσες. Στο σχολικό πρόγραμμα σπουδών, η μέθοδος αυτού του υπολογισμού χωρίς τη χρήση πρόσθετων κεφαλαίων θα πρέπει να λαμβάνει χώρα στο ίδιο επίπεδο με τον πολλαπλασιασμό και τη μακροχρόνια διαίρεση. Ο αλγόριθμος υπολογισμού δεν πρέπει μόνο να είναι απομνημονευμένος, αλλά και κατανοητός. Η κλασική μέθοδος, που παρουσιάζεται σε αυτό το υλικό για συζήτηση με αποκάλυψη της ουσίας, συμμορφώνεται πλήρως με τα παραπάνω κριτήρια.
    Ένα σημαντικό μειονέκτημα της μεθόδου που προτείνει ο Alexander είναι η χρήση ενός πίνακα τετραγώνων ακεραίων. Ο συγγραφέας σιωπά για την πλειονότητα των αριθμών που συναντώνται στο σχολικό μάθημα. Όσο για τον τύπο, γενικά μου αρέσει λόγω της σχετικά μεγάλης ακρίβειας του υπολογισμού.

22. 31 Αλέξανδρος:

    για 30 vasil stryzhak
    Δεν έκανα τίποτα ήσυχο. Ο πίνακας με τα τετράγωνα υποτίθεται ότι είναι μέχρι 1000. Στο σχολείο μου τον μάθαιναν απλά απέξω και υπήρχε σε όλα τα σχολικά βιβλία των μαθηματικών. Ονόμασα ρητά αυτό το διάστημα.
    Όσον αφορά την τεχνολογία των υπολογιστών, δεν χρησιμοποιείται κυρίως στα μαθήματα μαθηματικών, εκτός αν συζητηθεί ειδικά το θέμα της χρήσης αριθμομηχανής. Οι αριθμομηχανές είναι πλέον ενσωματωμένες σε συσκευές που απαγορεύεται να χρησιμοποιούνται στις Εξετάσεις Unified State.

23. 32 vasil stryzhak:

    Αλέξανδρε, σε ευχαριστώ για τη διευκρίνιση, σκέφτηκα ότι για την προτεινόμενη μέθοδο είναι θεωρητικά απαραίτητο να θυμάσαι ή να χρησιμοποιήσεις έναν πίνακα με τετράγωνα με όλους τους διψήφιους αριθμούς χρησιμοποιήστε την τεχνική της αύξησης ή της μείωσης τους κατά τον απαιτούμενο αριθμό τάξεων μεγέθους μετακινώντας την υποδιαστολή.

24. 33 vasil stryzhak:

25. 39 ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ:

    ΤΟ ΠΡΩΤΟ ΜΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΤΗ ΓΛΩΣΣΑ IAMB ΣΤΟ ΣΟΒΙΕΤ ΜΗΧΑΝΗΜΑ "ISKRA 555" ΓΡΑΦΤΗΚΕ ΓΙΑ ΝΑ ΕΞΑΓΩΓΕΙ ΤΗΝ ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΕΝΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΩΝΤΑΣ ΤΟΝ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟ ΕΞΑΓΩΓΗΣ ΣΤΗΛΗΣ! και τώρα ξέχασα πώς να το εξαγάγω χειροκίνητα!

Από την αρχαιότητα, η εργασία με τους αριθμούς χωρίστηκε σε δύο διαφορετικούς τομείς: ο ένας αφορούσε άμεσα τις ιδιότητες των αριθμών, ο άλλος σχετιζόταν με τις τεχνικές μέτρησης. Με τον όρο «αριθμητική» σε πολλές χώρες συνήθως εννοείται αυτό το τελευταίο πεδίο, που είναι αναμφίβολα ο αρχαιότερος κλάδος των μαθηματικών.

Προφανώς, η μεγαλύτερη δυσκολία για τους αρχαίους αριθμομηχανές ήταν η εργασία με κλάσματα. Αυτό μπορεί να φανεί από τον Πάπυρο Ahmes (ονομάζεται επίσης και ο Rhind Papyrus), ένα αρχαίο αιγυπτιακό έργο για τα μαθηματικά που χρονολογείται γύρω στο 1650 π.Χ. Όλα τα κλάσματα που αναφέρονται στον πάπυρο, με εξαίρεση τα 2/3, έχουν αριθμητές ίσους με 1. Η δυσκολία χειρισμού των κλασμάτων είναι επίσης αισθητή κατά τη μελέτη των αρχαίων βαβυλωνιακών σφηνοειδών πινακίδων. Τόσο οι αρχαίοι Αιγύπτιοι όσο και οι Βαβυλώνιοι προφανώς έκαναν υπολογισμούς χρησιμοποιώντας κάποια μορφή άβακα. Η επιστήμη των αριθμών γνώρισε σημαντική ανάπτυξη μεταξύ των αρχαίων Ελλήνων ξεκινώντας από τον Πυθαγόρα, γύρω στο 530 π.Χ. Όσο για την ίδια την τεχνολογία υπολογισμού, πολύ λιγότερα έγιναν σε αυτόν τον τομέα από τους Έλληνες.

Οι μεταγενέστεροι Ρωμαίοι, αντίθετα, ουσιαστικά δεν συνέβαλαν στην επιστήμη των αριθμών, αλλά με βάση τις ανάγκες της ταχέως αναπτυσσόμενης παραγωγής και εμπορίου, βελτίωσαν τον άβακα ως συσκευή μέτρησης. Πολύ λίγα είναι γνωστά για την προέλευση της ινδικής αριθμητικής. Μόνο μερικά μεταγενέστερα έργα σχετικά με τη θεωρία και την πρακτική των πράξεων αριθμών έχουν φτάσει σε εμάς, που γράφτηκαν αφού βελτιώθηκε το ινδικό σύστημα θέσης συμπεριλαμβάνοντας το μηδέν σε αυτό. Το πότε ακριβώς συνέβη αυτό δεν γνωρίζουμε με βεβαιότητα, αλλά τότε ήταν που τέθηκαν οι βάσεις για τους πιο συνηθισμένους αριθμητικούς αλγόριθμους μας.

Το ινδικό σύστημα αριθμών και οι πρώτοι αριθμητικοί αλγόριθμοι δανείστηκαν από τους Άραβες. Το παλαιότερο σωζόμενο αραβικό εγχειρίδιο αριθμητικής γράφτηκε από τον al-Khwarizmi γύρω στο 825. Χρησιμοποιεί εκτενώς και εξηγεί ινδικούς αριθμούς. Αυτό το εγχειρίδιο μεταφράστηκε αργότερα στα λατινικά και είχε σημαντική επιρροή στη Δυτική Ευρώπη. Μια παραμορφωμένη εκδοχή του ονόματος al-Khwarizmi έχει έρθει σε εμάς στη λέξη «αλγορισμός», η οποία, όταν αναμιγνύεται περαιτέρω με την ελληνική λέξη αρρυθμίαέγινε ο όρος «αλγόριθμος».

Η ινδοαραβική αριθμητική έγινε γνωστή στη Δυτική Ευρώπη κυρίως χάρη στο έργο του L. Fibonacci Βιβλίο του άβακα (Liber abaci, 1202). Η μέθοδος Abacist προσέφερε απλοποιήσεις παρόμοιες με τη χρήση του συστήματος θέσης μας, τουλάχιστον για πρόσθεση και πολλαπλασιασμό. Οι Αβακιστές αντικαταστάθηκαν από αλγόριθμους που χρησιμοποιούσαν το μηδέν και την αραβική μέθοδο διαίρεσης και εξαγωγής τετραγωνικής ρίζας. Ένα από τα πρώτα εγχειρίδια αριθμητικής, του οποίου ο συγγραφέας είναι άγνωστος σε εμάς, εκδόθηκε στο Τρεβίζο (Ιταλία) το 1478. Ασχολήθηκε με τους υπολογισμούς κατά την πραγματοποίηση εμπορικών συναλλαγών. Αυτό το εγχειρίδιο έγινε ο προκάτοχος πολλών εγχειριδίων αριθμητικής που εμφανίστηκαν στη συνέχεια. Μέχρι τις αρχές του 17ου αι. Περισσότερα από τριακόσια τέτοια εγχειρίδια εκδόθηκαν στην Ευρώπη. Οι αριθμητικοί αλγόριθμοι έχουν βελτιωθεί σημαντικά κατά τη διάρκεια αυτής της περιόδου. Τον 16ο-17ο αιώνα. Εμφανίστηκαν σύμβολα για αριθμητικές πράξεις, όπως =, +, -, ґ, ё και .

Μηχανοποίηση αριθμητικών υπολογισμών.

Καθώς η κοινωνία αναπτύχθηκε, τόσο αυξανόταν η ανάγκη για ταχύτερους και ακριβέστερους υπολογισμούς. Αυτή η ανάγκη προκάλεσε τέσσερις αξιόλογες εφευρέσεις: Ινδοαραβικούς αριθμούς, δεκαδικούς, λογάριθμους και σύγχρονες υπολογιστικές μηχανές.

Στην πραγματικότητα, οι απλούστερες υπολογιστικές συσκευές υπήρχαν πριν από την εμφάνιση της σύγχρονης αριθμητικής, επειδή στην αρχαιότητα πραγματοποιούνταν στοιχειώδεις αριθμητικές πράξεις στον άβακα (στη Ρωσία, χρησιμοποιούσαν άβακες για το σκοπό αυτό). Η απλούστερη σύγχρονη υπολογιστική συσκευή μπορεί να θεωρηθεί ως κανόνας slide, ο οποίος αποτελείται από δύο λογαριθμικές κλίμακες που ολισθαίνουν η μία κατά μήκος της άλλης, που επιτρέπει τον πολλαπλασιασμό και τη διαίρεση αθροίζοντας και αφαιρώντας τμήματα των κλιμάκων. Ο B. Pascal (1642) θεωρείται ο εφευρέτης της πρώτης μηχανής μηχανικής πρόσθεσης. Αργότερα τον ίδιο αιώνα, ο G. Leibniz (1671) στη Γερμανία και ο S. Moreland (1673) στην Αγγλία επινόησαν μηχανές για την εκτέλεση πολλαπλασιασμού. Αυτές οι μηχανές έγιναν οι προκάτοχοι των υπολογιστικών συσκευών επιτραπέζιου υπολογιστή (αριθμόμετρα) του 20ου αιώνα, οι οποίες κατέστησαν δυνατή τη γρήγορη και ακριβή εκτέλεση πράξεων πρόσθεσης, αφαίρεσης, πολλαπλασιασμού και διαίρεσης.

Το 1812, ο Άγγλος μαθηματικός C. Babbage άρχισε να δημιουργεί ένα σχέδιο για μια μηχανή υπολογισμού μαθηματικών πινάκων. Αν και οι εργασίες για το έργο συνεχίστηκαν για πολλά χρόνια, παρέμειναν ημιτελές. Ωστόσο, το έργο του Babbage χρησίμευσε ως κίνητρο για τη δημιουργία σύγχρονων ηλεκτρονικών υπολογιστών, τα πρώτα παραδείγματα των οποίων εμφανίστηκαν γύρω στο 1944. Η ταχύτητα αυτών των μηχανών ήταν εκπληκτική: με τη βοήθειά τους, σε λεπτά ή ώρες ήταν δυνατό να λυθούν προβλήματα που απαιτούσαν προηγουμένως πολλά χρόνια συνεχών υπολογισμών, ακόμη και με τη χρήση μηχανών πρόσθεσης.

Θετικοί ακέραιοι αριθμοί.

Αφήνω ΕΝΑΚαι σιείναι δύο πεπερασμένα σύνολα που δεν έχουν κοινά στοιχεία, και ας ΕΝΑπεριέχει nστοιχεία, και σιπεριέχει Μστοιχεία. Μετά πολλά μικρό, που αποτελείται από όλα τα στοιχεία των συνόλων ΕΝΑΚαι σι, μαζί, είναι ένα πεπερασμένο σύνολο που περιέχει, ας πούμε, μικρόστοιχεία. Για παράδειγμα, εάν ΕΝΑαποτελείται από στοιχεία ( ένα, σι, ντο), ένα μάτσο ΣΕ– από στοιχεία ( Χ, y), μετά το σετ S=A+Bκαι αποτελείται από στοιχεία ( ένα, σι, ντο, Χ, y). Αριθμός μικρόπου ονομάζεται ποσόαριθμοί nΚαι Μ, και το γράφουμε ως εξής: s = n + m. Σε αυτή την καταχώρηση οι αριθμοί nΚαι Μλέγονται όροι, η πράξη εύρεσης του αθροίσματος – πρόσθεση. Το σύμβολο λειτουργίας "+" διαβάζεται ως "συν". Ενα μάτσο Π, που αποτελείται από όλα τα διατεταγμένα ζεύγη στα οποία επιλέγεται το πρώτο στοιχείο από το σύνολο ΕΝΑ, και το δεύτερο είναι από το σετ σι, είναι ένα πεπερασμένο σύνολο που περιέχει, ας πούμε, Πστοιχεία. Για παράδειγμα, εάν, όπως πριν, ΕΝΑ = {ένα, σι, ντο}, σι = {Χ, y), Οτι P=Aґσι = {(ένα,Χ), (ένα,y), (σι,Χ), (σι,y), (ντο,Χ), (ντο,y)). Αριθμός Ππου ονομάζεται δουλειάαριθμοί έναΚαι σι, και το γράφουμε ως εξής: p = αґσιή p = a×b. Αριθμοί έναΚαι σιστο έργο λέγονται πολλαπλασιαστές, η λειτουργία εύρεσης του προϊόντος – πολλαπλασιασμός. Το σύμβολο λειτουργίας ґ διαβάζεται ως "πολλαπλασιάζεται με".

Μπορεί να φανεί ότι από αυτούς τους ορισμούς ακολουθούν οι ακόλουθοι θεμελιώδεις νόμοι της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού των ακεραίων:

– ο νόμος της μεταθετικής πρόσθεσης: α + β = β + α;

– νόμος συνειρμότητας της πρόσθεσης: ένα + (σι + ντο) = (ένα + σι) + ντο;

– ο νόμος του αντισταθμιστικού πολλαπλασιασμού: έναґβ = βґένα;

– νόμος του συσχετισμού του πολλαπλασιασμού: έναґ(σιґντο) = (έναґσι)ґντο;

– νόμος της κατανομής: έναґ(σι + ντο)= (έναґσι) + (έναґντο).

Αν έναΚαι σι– δύο θετικοί ακέραιοι και αν υπάρχει θετικός ακέραιος ντο, τέτοιο που α = β + γ, τότε το λέμε έναπερισσότερο σι(αυτό γράφεται ως εξής: α>β), ή τι σιπιο λιγο ένα(αυτό γράφεται ως εξής: σι). Για δύο οποιουσδήποτε αριθμούς έναΚαι σιισχύει μία από τις τρεις σχέσεις: είτε α = β, ή α>β, ή ένα.

Οι δύο πρώτοι θεμελιώδεις νόμοι λένε ότι το άθροισμα δύο ή περισσότερων όρων δεν εξαρτάται από το πώς ομαδοποιούνται ή με ποια σειρά είναι διατεταγμένα. Ομοίως, από τον τρίτο και τον τέταρτο νόμο προκύπτει ότι το γινόμενο δύο ή περισσότερων παραγόντων δεν εξαρτάται από το πώς ομαδοποιούνται οι παράγοντες ή ποια είναι η σειρά τους. Αυτά τα γεγονότα είναι γνωστά ως «γενικευμένοι νόμοι της ανταλλαγής και της συσχέτισης» της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού. Από αυτά προκύπτει ότι όταν γράφετε το άθροισμα πολλών όρων ή το γινόμενο πολλών παραγόντων, η σειρά των όρων και των παραγόντων δεν έχει σημασία και οι παρενθέσεις μπορούν να παραληφθούν.

Ειδικότερα, το επαναλαμβανόμενο ποσό α + α + ... + ααπό nόρους ισούται με nґένα. Επαναλαμβανόμενη εργασία έναґέναґ ... ґένααπό nΣυμφωνήσαμε να υποδείξουμε τους παράγοντες a n; αριθμός έναπου ονομάζεται βάσηκαι τον αριθμό n – επαναλαμβανόμενο δείκτη προϊόντος, το ίδιο το επαναλαμβανόμενο έργο – η ισχύςαριθμοί ένα. Αυτοί οι ορισμοί μας επιτρέπουν να θεσπίσουμε τους ακόλουθους θεμελιώδεις νόμους για τους εκθέτες:

Μια άλλη σημαντική συνέπεια των ορισμών: έναґ1 = έναγια κάθε ακέραιο αριθμό ένα, και το 1 είναι ο μόνος ακέραιος που έχει αυτήν την ιδιότητα. Ο αριθμός 1 ονομάζεται μονάδα.

Διαιρέτες ακεραίων.

Αν ένα, σι, ντο– ακέραιοι και έναґβ = γ, Οτι έναΚαι σιείναι διαιρέτες ενός αριθμού ντο. Επειδή έναґ1 = έναγια κάθε ακέραιο αριθμό ένα, συμπεραίνουμε ότι το 1 είναι διαιρέτης οποιουδήποτε ακέραιου αριθμού και ότι κάθε ακέραιος είναι διαιρέτης του εαυτού του. Οποιοσδήποτε ακέραιος διαιρέτης ένα, διαφορετικό από 1 ή ένα, πήρε το όνομα δικός διαιρέτηςαριθμοί ένα.

Οποιοσδήποτε ακέραιος αριθμός εκτός του 1 και δεν έχει δικούς του διαιρέτες καλείται πρώτος αριθμός. (Παράδειγμα πρώτου αριθμού είναι ο αριθμός 7.) Ένας ακέραιος αριθμός που έχει τους δικούς του διαιρέτες ονομάζεται σύνθετος αριθμός. (Για παράδειγμα, ο αριθμός 6 είναι σύνθετος, αφού το 2 διαιρεί το 6.) Από τα παραπάνω προκύπτει ότι το σύνολο όλων των ακεραίων χωρίζεται σε τρεις κατηγορίες: μία, πρώτους αριθμούς και σύνθετους αριθμούς.

Υπάρχει ένα πολύ σημαντικό θεώρημα στη θεωρία αριθμών που δηλώνει ότι «οποιοσδήποτε ακέραιος μπορεί να αναπαρασταθεί ως γινόμενο πρώτων αριθμών και μέχρι τη σειρά των παραγόντων, μια τέτοια αναπαράσταση είναι μοναδική». Αυτό το θεώρημα είναι γνωστό ως «θεμελιώδες θεώρημα της αριθμητικής». Δείχνει ότι οι πρώτοι αριθμοί χρησιμεύουν ως «δομικά στοιχεία» από τα οποία μπορούν να κατασκευαστούν όλοι οι ακέραιοι εκτός από έναν χρησιμοποιώντας πολλαπλασιασμό.

Εάν δοθεί ένα ορισμένο σύνολο ακεραίων, τότε ο μεγαλύτερος ακέραιος που είναι διαιρέτης κάθε αριθμού που περιλαμβάνεται σε αυτό το σύνολο ονομάζεται μέγιστο κοινό διαιρέτηδεδομένο σύνολο αριθμών. καλείται ο μικρότερος ακέραιος του οποίου ο διαιρέτης είναι κάθε αριθμός από ένα δεδομένο σύνολο ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιοδεδομένο σύνολο αριθμών. Έτσι, ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης των αριθμών 12, 18 και 30 είναι το 6. Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των ίδιων αριθμών είναι το 180. Αν ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης δύο ακεραίων έναΚαι σιισούται με 1, τότε οι αριθμοί έναΚαι σιλέγονται αμοιβαία πρωταρχική. Για παράδειγμα, οι αριθμοί 8 και 9 είναι σχετικά πρώτοι, αν και κανένας από τους δύο δεν είναι πρώτος.

Θετικοί ορθολογικοί αριθμοί.

Όπως είδαμε, οι ακέραιοι είναι αφαιρέσεις που προκύπτουν από τη διαδικασία μέτρησης πεπερασμένων συνόλων αντικειμένων. Ωστόσο, για τις ανάγκες της καθημερινότητας, οι ακέραιοι αριθμοί δεν αρκούν. Για παράδειγμα, κατά τη μέτρηση του μήκους μιας επιφάνειας τραπεζιού, η εγκεκριμένη μονάδα μέτρησης μπορεί να είναι πολύ μεγάλη και να μην χωράει πολλές φορές στο μετρούμενο μήκος. Για να αντεπεξέλθουμε σε μια τέτοια δυσκολία, με τη βοήθεια του λεγόμενου. κλασματικός(δηλαδή, κυριολεκτικά, «σπασμένα») αριθμοί, εισάγεται μια μικρότερη μονάδα μήκους. Αν ρε– κάποιος ακέραιος και μετά η κλασματική μονάδα 1/ ρεκαθορίζεται από το ακίνητο ρεґ1/ρε= 1 και αν nείναι ακέραιος λοιπόν nґ1/ρετο γράφουμε απλά ως n/ρε. Αυτοί οι νέοι αριθμοί ονομάζονται «συνήθη» ή «απλά» κλάσματα. Ακέραιος αριθμός nπου ονομάζεται αριθμητήςκλάσματα και αριθμούς ρε – παρονομαστής. Ο παρονομαστής δείχνει σε πόσα ίσα μερίδια χωρίστηκε η μονάδα και ο αριθμητής δείχνει πόσες τέτοιες μετοχές καταλήφθηκαν. Αν nδ, το κλάσμα ονομάζεται σωστό. αν n = dή n>d, τότε είναι λάθος. Οι ακέραιοι αντιμετωπίζονται ως κλάσματα με παρονομαστή 1. για παράδειγμα, 2 = 2/1.

Από το κλάσμα n/ρεμπορεί να ερμηνευθεί ως αποτέλεσμα διαίρεσης nμονάδες ανά ρείσα μέρη και λαμβάνοντας ένα από αυτά τα μέρη, ένα κλάσμα μπορεί να θεωρηθεί ως το "πηλίκο" ή "αναλογία" δύο ακέραιων αριθμών nΚαι ρε, και κατανοήστε τη γραμμή του κλάσματος ως σύμβολο διαίρεσης. Επομένως, τα κλάσματα (συμπεριλαμβανομένων των ακεραίων ως ειδική περίπτωση κλασμάτων) συνήθως ονομάζονται λογικόςαριθμοί (από λατ. αναλογία - σχέση).

Δύο κλάσματα n/ρεΚαι ( κґn)/(κґρε), Οπου κ– ένας ακέραιος αριθμός, μπορεί να θεωρηθεί ίσος. για παράδειγμα, 4/6 = 2/3. (Εδώ n = 2, ρε= 3 και κ= 2.) Αυτό είναι γνωστό ως «θεμελιώδης ιδιότητα ενός κλάσματος»: η τιμή οποιουδήποτε κλάσματος δεν θα αλλάξει εάν ο αριθμητής και ο παρονομαστής του κλάσματος πολλαπλασιαστούν (ή διαιρεθούν) με τον ίδιο αριθμό. Από αυτό προκύπτει ότι οποιοδήποτε κλάσμα μπορεί να γραφτεί ως ο λόγος δύο σχετικά πρώτων αριθμών.

Από την ερμηνεία του κλάσματος που προτείνεται παραπάνω προκύπτει επίσης ότι ως άθροισμα δύο κλασμάτων n/ρεΚαι Μ/ρεέχοντας τον ίδιο παρονομαστή, θα πρέπει να πάρετε το κλάσμα ( n + Μ)/ρε. Όταν προσθέτετε κλάσματα με διαφορετικούς παρονομαστές, πρέπει πρώτα να τα μετατρέψετε, χρησιμοποιώντας τη βασική ιδιότητα ενός κλάσματος, σε ισοδύναμα κλάσματα με τον ίδιο (κοινό) παρονομαστή. Για παράδειγμα, n 1 /ρε 1 = (n 1 Η ρε 2)/(ρε 1 Η ρε 2) και n 2 /ρε 2 = (n 2 Η ρε 1)/(ρε 1 Η ρε 2), από όπου

Θα μπορούσε κανείς να το κάνει διαφορετικά και πρώτα να βρει το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο, ας πούμε Μ, παρονομαστές ρε 1 και ρε 2. Στη συνέχεια, υπάρχουν ακέραιοι αριθμοί κ 1 και κ 2, έτσι ώστε m = k 1 Η ρε 1 = κ 2 Η ρε 2 και παίρνουμε:

Με αυτή τη μέθοδο ο αριθμός Μσυνήθως ονομάζεται χαμηλότερος κοινός παρονομαστήςδύο κλάσματα. Αυτά τα δύο αποτελέσματα είναι ισοδύναμα με τον ορισμό της ισότητας των κλασμάτων.

Προϊόν δύο κλασμάτων n 1 /ρε 1 και n 2 /ρεΤο 2 λαμβάνεται ίσο με το κλάσμα ( n 1 Η n 2)/(ρε 1 Η ρε 2).

Οι οκτώ θεμελιώδεις νόμοι που δίνονται παραπάνω για ακέραιους αριθμούς ισχύουν επίσης εάν, κάτω ένα, σι, ντοκατανοούν αυθαίρετους θετικούς ρητικούς αριθμούς. Επίσης, αν δοθούν δύο θετικοί ρητοί αριθμοί n 1 /ρε 1 και n 2 /ρε 2, τότε το λέμε αυτό n 1 /ρε 1 > n 2 /ρε 2 αν και μόνο αν n 1 Η ρε 2 > n 2 Η ρε 1 .

Θετικοί πραγματικοί αριθμοί.

Η χρήση αριθμών για τη μέτρηση των μηκών των ευθύγραμμων τμημάτων υποδηλώνει ότι για οποιαδήποτε δύο δεδομένα ευθύγραμμα τμήματα ΑΒΚαι CDπρέπει να υπάρχει κάποιο τμήμα UV, ίσως πολύ μικρό, το οποίο θα μπορούσε να αναβληθεί ακέραιο αριθμό φορές σε καθένα από τα τμήματα ΑΒΚαι CD. Αν μια τέτοια κοινή μονάδα μήκους UVυπάρχει, τότε τα τμήματα ΑΒΚαι CDονομάζονται ανάλογες. Ήδη από την αρχαιότητα, οι Πυθαγόρειοι γνώριζαν την ύπαρξη ασύγκριτων ευθύγραμμων τμημάτων. Ένα κλασικό παράδειγμα είναι η πλευρά ενός τετραγώνου και η διαγώνιος του. Αν πάρουμε την πλευρά ενός τετραγώνου ως μονάδα μήκους, τότε δεν υπάρχει ρητός αριθμός που θα μπορούσε να είναι μέτρο της διαγωνίου αυτού του τετραγώνου. Μπορείτε να το επαληθεύσετε αυτό επιχειρηματολογώντας με αντίφαση. Πράγματι, ας υποθέσουμε ότι ο ρητός αριθμός n/ρεείναι το μέτρο της διαγωνίου. Αλλά μετά τμήμα 1/ ρεθα μπορούσε να αναβληθεί nμια φορά διαγώνια και ρεφορές στην πλευρά του τετραγώνου, παρά το γεγονός ότι η διαγώνιος και η πλευρά του τετραγώνου είναι ασύγκριτα. Συνεπώς, ανεξάρτητα από την επιλογή της μονάδας μήκους, δεν έχουν όλα τα ευθύγραμμα τμήματα μήκη που μπορούν να εκφραστούν σε ρητούς αριθμούς. Προκειμένου όλα τα ευθύγραμμα τμήματα να μετρηθούν με κάποια μονάδα μήκους, το σύστημα αριθμών πρέπει να επεκταθεί ώστε να περιλαμβάνει αριθμούς που αντιπροσωπεύουν τα αποτελέσματα της μέτρησης των μηκών των ευθύγραμμων τμημάτων που δεν είναι ανάλογα με την επιλεγμένη μονάδα μήκους. Αυτοί οι νέοι αριθμοί ονομάζονται θετικοί παράλογοςαριθμοί. Οι τελευταίοι, μαζί με θετικούς ορθολογικούς αριθμούς, σχηματίζουν ένα ευρύτερο σύνολο αριθμών, τα στοιχεία του οποίου ονομάζονται θετικοί έγκυροςαριθμοί.

Αν Ή– οριζόντια μισή γραμμή που προέρχεται από ένα σημείο Ο, U– σημείο επάνω Ή, διαφορετική από την προέλευση Ο, Και OUεπιλέγεται ως τμήμα μονάδας και μετά κάθε σημείο Πσε μισή γραμμή Ήμπορεί να συσχετιστεί με έναν μόνο θετικό πραγματικό αριθμό Π, που εκφράζει το μήκος του τμήματος ΕΠ. Με αυτόν τον τρόπο καθιερώνουμε μια αντιστοιχία ένα προς ένα μεταξύ θετικών πραγματικών αριθμών και σημείων εκτός από Ο, σε μισή γραμμή Ή. Αν ΠΚαι q– δύο θετικοί πραγματικοί αριθμοί που αντιστοιχούν σε σημεία ΠΚαι Qεπί Ή, τότε γράφουμε p>q,p = qή p ανάλογα με τη θέση του σημείου Πστα δεξιά του σημείου Qεπί Ή, συμπίπτει με Qή βρίσκεται στα αριστερά του Q.

Η εισαγωγή θετικών παράλογων αριθμών διεύρυνε σημαντικά το πεδίο εφαρμογής της αριθμητικής. Για παράδειγμα, εάν ένα– κάθε θετικό πραγματικό αριθμό και nείναι οποιοσδήποτε ακέραιος, τότε υπάρχει μόνο ένας θετικός πραγματικός αριθμός σι, τέτοιο που bn=a. Αυτός ο αριθμός σιπου ονομάζεται ρίζα nο βαθμός του ένακαι γράφεται ως, όπου το σύμβολο στο περίγραμμά του μοιάζει με λατινικό γράμμα r, με το οποίο αρχίζει η λατινική λέξη ρίζα(ρίζα) και λέγεται ριζικό. Μπορεί να αποδειχθεί ότι

Αυτές οι σχέσεις είναι γνωστές ως οι βασικές ιδιότητες των ριζών.

Από πρακτική άποψη, είναι πολύ σημαντικό οποιοσδήποτε θετικός άρρητος αριθμός να μπορεί να προσεγγιστεί όσο ακριβέστερα επιθυμείται από έναν θετικό ρητό αριθμό. Αυτό σημαίνει ότι εάν rείναι θετικός άρρητος αριθμός και μιείναι ένας αυθαίρετα μικρός θετικός ρητός αριθμός, τότε μπορούμε να βρούμε θετικούς ρητούς αριθμούς έναΚαι σι, τέτοιο που α και σι. Για παράδειγμα, ένας αριθμός είναι παράλογος. Εάν επιλέξετε μι= 0,01, τότε ; αν επιλέξετε μι= 0,001, τότε .

Ινδο-Αραβικό σύστημα αριθμών.

Οι αλγόριθμοι ή τα σχήματα υπολογισμού της αριθμητικής εξαρτώνται από το σύστημα αριθμών που χρησιμοποιείται. Είναι προφανές, για παράδειγμα, ότι οι μέθοδοι υπολογισμού που επινοήθηκαν για το ρωμαϊκό σύστημα αριθμών μπορεί να διαφέρουν από τους αλγόριθμους που επινοήθηκαν για το τρέχον ινδοαραβικό σύστημα. Επιπλέον, ορισμένα συστήματα αριθμών μπορεί να είναι εντελώς ακατάλληλα για την κατασκευή αριθμητικών αλγορίθμων. Τα ιστορικά δεδομένα δείχνουν ότι πριν από την υιοθέτηση του ινδοαραβικού συστήματος σημειογραφίας αριθμών, δεν υπήρχαν καθόλου αλγόριθμοι που να καθιστούσαν αρκετά εύκολη την πρόσθεση, την αφαίρεση, τον πολλαπλασιασμό και τη διαίρεση αριθμών χρησιμοποιώντας «μολύβι και χαρτί». Κατά τη διάρκεια των μακρών ετών ύπαρξης του ινδοαραβικού συστήματος, αναπτύχθηκαν πολυάριθμες αλγοριθμικές διαδικασίες ειδικά προσαρμοσμένες σε αυτό, έτσι ώστε οι σύγχρονοι αλγόριθμοί μας να είναι προϊόν μιας ολόκληρης εποχής ανάπτυξης και βελτίωσης.

Στο ινδουο-αραβικό σύστημα αριθμών, κάθε εγγραφή που αντιπροσωπεύει έναν αριθμό είναι ένα σύνολο δέκα βασικών συμβόλων 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, που ονομάζονται αριθμοί. Για παράδειγμα, η ινδουο-αραβική σημειογραφία για τον αριθμό τετρακόσια είκοσι τρία παίρνει τη μορφή της ακολουθίας των ψηφίων 423. Η σημασία ενός ψηφίου στην ινδουο-αραβική σημειογραφία ενός αριθμού καθορίζεται από τη θέση ή τη θέση του, στην ακολουθία των ψηφίων που σχηματίζουν αυτόν τον συμβολισμό. Στο παράδειγμα που δώσαμε, ο αριθμός 4 σημαίνει τέσσερις εκατοντάδες, ο αριθμός 2 σημαίνει δύο δεκάδες και ο αριθμός 3 σημαίνει τρεις μονάδες. Ο αριθμός 0 (μηδέν), που χρησιμοποιείται για να γεμίσει κενές θέσεις, παίζει πολύ σημαντικό ρόλο. για παράδειγμα, η καταχώρηση 403 σημαίνει τον αριθμό τετρακόσια τρία, δηλ. λείπουν δεκάδες. Αν ένα, σι, ντο, ρε, μισημαίνει μεμονωμένους αριθμούς, τότε στο ινδοαραβικό σύστημα abcdeσημαίνει συντομογραφία για έναν ακέραιο

Δεδομένου ότι κάθε ακέραιος δέχεται μια μοναδική αναπαράσταση στη μορφή

Οπου nείναι ακέραιος αριθμός και ένα 0 , ένα 1 ,..., a n- αριθμοί, συμπεραίνουμε ότι σε ένα δεδομένο σύστημα αριθμών, κάθε ακέραιος μπορεί να αναπαρασταθεί με μοναδικό τρόπο.

Το ινδουο-αραβικό σύστημα αριθμών σάς επιτρέπει να γράφετε συνοπτικά όχι μόνο ακέραιους αλλά και θετικούς πραγματικούς αριθμούς. Ας εισάγουμε τη σημειογραφία 10 - nγια το 1/10 n, Οπου n– ένας αυθαίρετος θετικός ακέραιος αριθμός. Στη συνέχεια, όπως φαίνεται, οποιοσδήποτε θετικός πραγματικός αριθμός μπορεί να αναπαρασταθεί, και μοναδικά, στη μορφή

Αυτή η εγγραφή μπορεί να συμπιεστεί γράφοντάς την ως ακολουθία αριθμών

όπου είναι το πρόσημο, που ονομάζεται υποδιαστολή, μεταξύ ένα 0 και σιΤο 1 υποδεικνύει πού αρχίζουν οι αρνητικές δυνάμεις του 10 (σε ορισμένες χώρες χρησιμοποιείται μια κουκκίδα για αυτόν τον σκοπό). Αυτή η μέθοδος γραφής ενός θετικού πραγματικού αριθμού ονομάζεται δεκαδική επέκταση και ένα κλάσμα που παρουσιάζεται με τη μορφή της δεκαδικής του επέκτασης είναι δεκαδικός.

Μπορεί να φανεί ότι για έναν θετικό ρητό αριθμό, η δεκαδική επέκταση μετά την υποδιαστολή είτε διακόπτεται (για παράδειγμα, 7/4 = 1,75) είτε επαναλαμβάνεται (για παράδειγμα, 6577/1980 = 3,32171717...). Εάν ένας αριθμός είναι παράλογος, τότε η δεκαδική του επέκταση δεν διακόπτεται και δεν επαναλαμβάνεται. Εάν η δεκαδική επέκταση ενός άρρητου αριθμού διακόπτεται σε κάποιο δεκαδικό ψηφίο, λαμβάνουμε την ορθολογική προσέγγισή του. Όσο πιο δεξιά από την υποδιαστολή βρίσκεται το πρόσημο στο οποίο τερματίζουμε τη δεκαδική επέκταση, τόσο καλύτερη είναι η ορθολογική προσέγγιση (τόσο μικρότερο είναι το σφάλμα).

Στο ινδουο-αραβικό σύστημα, ένας αριθμός γράφεται χρησιμοποιώντας δέκα βασικά ψηφία, η σημασία των οποίων εξαρτάται από τη θέση τους ή τη θέση τους στη σημειογραφία του αριθμού (η τιμή ενός ψηφίου είναι ίση με το γινόμενο του ψηφίου και μερικά ισχύς 10). Επομένως, ένα τέτοιο σύστημα ονομάζεται δεκαδικό σύστημα θέσης. Τα συστήματα αριθμών θέσης είναι πολύ βολικά για την κατασκευή αριθμητικών αλγορίθμων, και αυτός είναι ο λόγος που το ινδοαραβικό σύστημα αριθμών είναι τόσο διαδεδομένο στον σύγχρονο κόσμο, αν και διαφορετικά σύμβολα μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να δηλώσουν μεμονωμένους αριθμούς σε διαφορετικές χώρες.

Ονόματα αριθμών.

Τα ονόματα των αριθμών στο ινδοαραβικό σύστημα ακολουθούν ορισμένους κανόνες. Ο πιο συνηθισμένος τρόπος ονομασίας αριθμών είναι ότι ο αριθμός χωρίζεται πρώτα σε ομάδες τριών ψηφίων από τα δεξιά προς τα αριστερά. Αυτές οι ομάδες ονομάζονται «περίοδοι». Η πρώτη περίοδος ονομάζεται περίοδος "μονάδων", η δεύτερη - η περίοδος "χιλιάδων", η τρίτη - η περίοδος "εκατομμυρίων" κ.λπ., όπως φαίνεται στο ακόλουθο παράδειγμα:

Κάθε τελεία διαβάζεται σαν να ήταν τριψήφιος αριθμός. Για παράδειγμα, η περίοδος 962 διαβάζεται ως "εννιακόσια εξήντα δύο". Για να διαβάσετε έναν αριθμό που αποτελείται από πολλές τελείες, διαβάζεται η ομάδα ψηφίων σε κάθε περίοδο, ξεκινώντας από την πιο αριστερή και στη συνέχεια προχωρώντας με τη σειρά από αριστερά προς τα δεξιά. Κάθε ομάδα ακολουθείται από το όνομα της περιόδου. Για παράδειγμα, ο αριθμός παραπάνω λέει «εβδομήντα τρία τρισεκατομμύρια οκτακόσια σαράντα δύο δισεκατομμύρια εννιακόσια εξήντα δύο εκατομμύρια πεντακόσια τριάντα δύο χιλιάδες επτακόσια ενενήντα οκτώ». Σημειώστε ότι κατά την ανάγνωση και τη γραφή ακεραίων, ο σύνδεσμος «και» δεν χρησιμοποιείται συνήθως. Το όνομα της κατηγορίας μονάδας παραλείπεται. Τα τρισεκατομμύρια ακολουθούνται από τετράδισεκα, κουϊντσεμύρια, εξάξια, επτά εκατομμύρια, οκτίλια, μη-αλλόνια και δεσιλιόν. Κάθε περίοδος έχει μια τιμή 1000 φορές μεγαλύτερη από την προηγούμενη.

Στο ινδουο-αραβικό σύστημα, συνηθίζεται να ακολουθείται η ακόλουθη διαδικασία για την ανάγνωση των αριθμών στα δεξιά της υποδιαστολής. Εδώ οι θέσεις ονομάζονται (με σειρά από αριστερά προς τα δεξιά): «δέκατα», «εκατοστά», «χιλιάδες», «δέκα χιλιάδες» κ.λπ. Ένα σωστό δεκαδικό διαβάζεται σαν τα ψηφία μετά την υποδιαστολή να σχηματίζουν έναν ακέραιο αριθμό, ακολουθούμενο από το όνομα της θέσης του τελευταίου ψηφίου στα δεξιά. Για παράδειγμα, το 0,752 διαβάζεται ως "επτακόσια πενήντα δύο χιλιοστά". Ένας μεικτός δεκαδικός διαβάζεται συνδυάζοντας τον κανόνα για την ονομασία ακέραιων αριθμών με τον κανόνα για την ονομασία σωστών δεκαδικών. Για παράδειγμα, το 632.752 λέει "εξακόσια τριάντα δύο σημεία επτακόσια πενήντα δύο χιλιοστά." Παρατηρήστε τη λέξη "ακέραιοι" πριν από την υποδιαστολή. Τα τελευταία χρόνια, οι δεκαδικοί αριθμοί διαβάζονται όλο και πιο απλά, για παράδειγμα 3.782 ως "τρία σημεία επτακόσια ογδόντα δύο".

Πρόσθεση.

Τώρα είμαστε έτοιμοι να αναλύσουμε τους αριθμητικούς αλγόριθμους που διδάσκονται στο δημοτικό σχολείο. Αυτοί οι αλγόριθμοι ασχολούνται με πράξεις σε θετικούς πραγματικούς αριθμούς γραμμένους ως δεκαδικές επεκτάσεις. Υποθέτουμε ότι οι στοιχειώδεις πίνακες πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού έχουν μαθευτεί απέξω.

Εξετάστε το πρόβλημα πρόσθεσης: υπολογίστε 279,8 + 5,632 + 27,54:

Αρχικά, αθροίζουμε τις ίδιες δυνάμεις του αριθμού 10. Ο αριθμός 19Χ10 –1 χωρίζεται σύμφωνα με τον κατανεμητικό νόμο σε 9Χ10 –1 και 10Χ10 –1 = 1. Μετακινούμε τη μονάδα προς τα αριστερά και την προσθέτουμε στο 21, το οποίο δίνει 22. Με τη σειρά μας, χωρίζουμε τον αριθμό 22 σε 2 και 20 = 2Η10. Μετακινούμε τον αριθμό 2Η10 προς τα αριστερά και τον προσθέτουμε στο 9Η10, που δίνει 11Η10. Τέλος, χωρίζουμε το 11Η10 σε 1Η10 και 10Η10 = 1Η10 2, μετακινούμε το 1Η10 2 προς τα αριστερά και το προσθέτουμε στο 2Η10 2, που δίνει 3Η10 2. Το τελικό σύνολο είναι 312.972.

Είναι σαφές ότι οι υπολογισμοί που πραγματοποιούνται μπορούν να παρουσιαστούν με πιο συνοπτική μορφή, χρησιμοποιώντας ταυτόχρονα ως παράδειγμα του αλγορίθμου πρόσθεσης που διδάσκεται στο σχολείο. Για να γίνει αυτό, γράφουμε και τους τρεις αριθμούς τον ένα κάτω από τον άλλο, έτσι ώστε οι δεκαδικές ψηφίες να βρίσκονται στην ίδια κατακόρυφο:

Ξεκινώντας από τα δεξιά, βρίσκουμε ότι το άθροισμα των συντελεστών στο 10 –3 είναι ίσο με 2, το οποίο γράφουμε στην αντίστοιχη στήλη κάτω από τη γραμμή. Το άθροισμα των συντελεστών στο 10 –2 είναι ίσο με 7, το οποίο γράφεται και στην αντίστοιχη στήλη κάτω από τη γραμμή. Το άθροισμα των συντελεστών για το 10 – 1 είναι 19. Γράφουμε τον αριθμό 9 κάτω από τη γραμμή και μετακινούμε το 1 στην προηγούμενη στήλη, όπου βρίσκονται οι δύο. Λαμβάνοντας υπόψη αυτή τη μονάδα, το άθροισμα του συντελεστή σε αυτή τη στήλη αποδεικνύεται ίσο με 22. Γράφουμε το ένα δύο κάτω από τη γραμμή και μετακινούμε το άλλο στην προηγούμενη στήλη, όπου βρίσκονται οι δεκάδες. Λαμβάνοντας υπόψη τα δύο που μεταφέρθηκαν, το άθροισμα των συντελεστών σε αυτή τη στήλη είναι ίσο με 11. Γράφουμε τη μία μονάδα κάτω από τη γραμμή και την άλλη μεταφέρουμε στην προηγούμενη στήλη, όπου υπάρχουν εκατοντάδες. Το άθροισμα των συντελεστών σε αυτή τη στήλη αποδεικνύεται ίσο με 3, το οποίο γράφουμε κάτω από τη γραμμή. Το απαιτούμενο ποσό είναι 312.972.

Αφαίρεση.

Η αφαίρεση είναι το αντίστροφο της πρόσθεσης. Αν τρεις θετικοί πραγματικοί αριθμοί ένα, σι, ντοδιασυνδέονται έτσι ώστε α+β=γ, τότε γράφουμε α = γ – β, όπου το σύμβολο «-» διαβάζεται ως «μείον». Εύρεση αριθμού ένασύμφωνα με γνωστούς αριθμούς σιΚαι ντοπου ονομάζεται «αφαίρεση». Αριθμός ντοονομάζεται minuend, αριθμός σι– «αφαιρούμενο», και ο αριθμός ένα- "διαφορά". Εφόσον έχουμε να κάνουμε με θετικούς πραγματικούς αριθμούς, η συνθήκη πρέπει να ικανοποιείται γ > β.

Ας δούμε ένα παράδειγμα αφαίρεσης: υπολογίστε 453,87 – 82,94.

Πρώτα απ 'όλα, δανειζόμενος μια μονάδα από τα αριστερά αν χρειαστεί, μετασχηματίζουμε την επέκταση του minuend έτσι ώστε ο συντελεστής του για οποιαδήποτε δύναμη του 10 να είναι μεγαλύτερος από τον συντελεστή του subtrahend για την ίδια ισχύ. Από το 4Η10 2 δανειζόμαστε 1Η10 2 = 10Η10, προσθέτοντας τον τελευταίο αριθμό στον επόμενο όρο της επέκτασης, που δίνει 15Η10. Ομοίως, δανειζόμαστε 1Χ10 0, ή 10Χ10 –1, και προσθέτουμε αυτόν τον αριθμό στον προτελευταίο όρο της επέκτασης. Μετά από αυτό, έχουμε την ευκαιρία να αφαιρέσουμε τους συντελεστές για τις ίδιες δυνάμεις του αριθμού 10 και να βρούμε εύκολα τη διαφορά 370,93.

Η καταγραφή των πράξεων αφαίρεσης μπορεί να παρουσιαστεί σε πιο συμπιεσμένη μορφή και μπορείτε να πάρετε ένα παράδειγμα ενός αλγορίθμου αφαίρεσης που μελετήθηκε στο σχολείο. Γράφουμε το υπόστρωμα κάτω από το minuend έτσι ώστε τα δεκαδικά ψηφία τους να βρίσκονται στην ίδια κατακόρυφο. Ξεκινώντας από τα δεξιά, βρίσκουμε ότι η διαφορά των συντελεστών στο 10 – 2 είναι ίση με 3 και γράφουμε αυτόν τον αριθμό στην ίδια στήλη κάτω από τη γραμμή. Δεδομένου ότι στην επόμενη στήλη στα αριστερά δεν μπορούμε να αφαιρέσουμε το 9 από το 8, αλλάζουμε τα τρία στη θέση μονάδων του minuend σε δύο και αντιμετωπίζουμε τον αριθμό 8 στη θέση δέκατου ως 18. Αφού αφαιρέσουμε το 9 από το 18, παίρνουμε 9, κ.λπ. ., δηλ.

Πολλαπλασιασμός.

Ας εξετάσουμε πρώτα το λεγόμενο Ο «σύντομος» πολλαπλασιασμός είναι ο πολλαπλασιασμός ενός θετικού πραγματικού αριθμού με έναν από τους μονοψήφιους αριθμούς 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, για παράδειγμα, 32,67ґ4. Χρησιμοποιώντας το νόμο της κατανομής, καθώς και τους νόμους της συσχέτισης και της ανταλλαξιμότητας του πολλαπλασιασμού, έχουμε την ευκαιρία να σπάσουμε τους παράγοντες σε μέρη και να τους τακτοποιήσουμε με πιο βολικό τρόπο. Για παράδειγμα,

Αυτοί οι υπολογισμοί μπορούν να γραφτούν πιο συμπαγής ως εξής:

Η διαδικασία συμπίεσης μπορεί να συνεχιστεί. Γράφουμε τον παράγοντα 4 κάτω από τον πολλαπλασιαστή 32,67, όπως υποδεικνύεται:

Επειδή 4ґ7 = 28, γράφουμε τον αριθμό 8 κάτω από τη γραμμή και τοποθετούμε το 2 πάνω από τον αριθμό 6 του πολλαπλασιαστή. Στη συνέχεια, 4ґ6 = 24, το οποίο, λαμβάνοντας υπόψη αυτό που μεταφέρεται από τη στήλη στα δεξιά, δίνει 26. Γράφουμε τον αριθμό 6 κάτω από τη γραμμή και γράφουμε το 2 πάνω από τον αριθμό 2 του πολλαπλασιαστή. Τότε παίρνουμε 4ґ2 = 8, που σε συνδυασμό με τα δύο που μεταφέρθηκαν δίνει το 10. Υπογράφουμε τον αριθμό 0 κάτω από τη γραμμή, και αυτόν που βρίσκεται πάνω από τον αριθμό 3 του πολλαπλασιαστή. Τέλος, 4ґ3 = 12, το οποίο, λαμβάνοντας υπόψη τη μεταφερόμενη μονάδα, δίνει 13. Ο αριθμός 13 είναι γραμμένος κάτω από τη γραμμή. Βάζοντας μια υποδιαστολή, παίρνουμε την απάντηση: το γινόμενο ισούται με 130,68.

Ένας "μακρός" πολλαπλασιασμός είναι απλώς ένας "σύντομος" πολλαπλασιασμός που επαναλαμβάνεται ξανά και ξανά. Σκεφτείτε, για παράδειγμα, να πολλαπλασιάσετε τον αριθμό 32,67 με τον αριθμό 72,4. Ας τοποθετήσουμε τον πολλαπλασιαστή κάτω από τον πολλαπλασιαστή, όπως υποδεικνύεται:

Κάνοντας σύντομο πολλαπλασιασμό από τα δεξιά προς τα αριστερά, παίρνουμε το πρώτο πηλίκο του 13,068, το δεύτερο του 65,34 και το τρίτο του 2286,9. Σύμφωνα με το νόμο της διανομής, το γινόμενο που πρέπει να βρεθεί είναι το άθροισμα αυτών των μερικών προϊόντων, ή 2365.308. Στη γραπτή σημείωση, η υποδιαστολή στα επιμέρους γινόμενα παραλείπεται, αλλά πρέπει να είναι σωστά τακτοποιημένα σε «βήματα» προκειμένου στη συνέχεια να συνοψιστούν για να ληφθεί το πλήρες γινόμενο. Ο αριθμός των δεκαδικών ψηφίων στο γινόμενο είναι ίσος με το άθροισμα του αριθμού των δεκαδικών ψηφίων στον πολλαπλασιαστή και στον πολλαπλασιαστή.

Διαίρεση.

Η διαίρεση είναι η αντίστροφη πράξη του πολλαπλασιασμού. όπως ο πολλαπλασιασμός αντικαθιστά την επαναλαμβανόμενη πρόσθεση, η διαίρεση αντικαθιστά την επαναλαμβανόμενη αφαίρεση. Σκεφτείτε, για παράδειγμα, την ερώτηση: πόσες φορές το 3 περιέχεται στο 14; Επαναλαμβάνοντας την πράξη της αφαίρεσης 3 από το 14, βρίσκουμε ότι το 3 «μπαίνει» στο 14 τέσσερις φορές, και ο αριθμός 2 «μένει», δηλ.

Ο αριθμός 14 ονομάζεται διαιρετός, αριθμός 3 - διαιρών, αριθμός 4 - ιδιωτικόςκαι νούμερο 2 - το υπόλοιπο. Η σχέση που προκύπτει μπορεί να εκφραστεί με λέξεις ως εξής:

μέρισμα = (διαιρέτης ґ πηλίκο) + υπόλοιπο,

0 Ј υπόλοιπο

Η εύρεση του πηλίκου και του υπολοίπου του 1400 διαιρούμενο με το 3 αφαιρώντας επανειλημμένα το 3 θα απαιτούσε πολύ χρόνο και προσπάθεια. Η διαδικασία θα μπορούσε να επιταχυνθεί σημαντικά εάν αφαιρέσουμε πρώτα το 300 από το 1400, μετά το 30 από το υπόλοιπο και τέλος το 3. Αφού αφαιρέσουμε το 300 τέσσερις φορές, θα έχουμε ένα υπόλοιπο 200. Αφού αφαιρέσουμε το 30 από το 200 έξι φορές, το υπόλοιπο θα είναι 20. Τελικά, αφού αφαιρέσουμε το 3 από το 20 έξι φορές, παίρνουμε το υπόλοιπο 2. Επομένως,

Το πηλίκο και το υπόλοιπο που πρέπει να βρεθούν είναι 466 και 2, αντίστοιχα. Οι υπολογισμοί μπορούν να οργανωθούν και στη συνέχεια να συμπιεστούν διαδοχικά ως εξής:

Ο παραπάνω συλλογισμός ισχύει εάν το μέρισμα και ο διαιρέτης είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί που εκφράζονται στο δεκαδικό σύστημα. Ας το δείξουμε αυτό με το παράδειγμα 817.65е23.7.

Αρχικά, ο διαιρέτης πρέπει να μετατραπεί σε ακέραιο χρησιμοποιώντας μετατόπιση δεκαδικού ψηφίου. Στην περίπτωση αυτή, η υποδιαστολή του μερίσματος μετατοπίζεται κατά τον ίδιο αριθμό δεκαδικών ψηφίων. Ο διαιρέτης και το μέρισμα ταξινομούνται όπως φαίνεται παρακάτω:

Ας προσδιορίσουμε πόσες φορές ο διαιρέτης περιέχεται στον τριψήφιο αριθμό 817, το πρώτο μέρος του μερίσματος που διαιρούμε με τον διαιρέτη. Εφόσον υπολογίζεται ότι περιέχεται τρεις φορές, πολλαπλασιάζουμε το 237 επί 3 και αφαιρούμε το γινόμενο του 711 από το 817. Η διαφορά του 106 είναι μικρότερη από τον διαιρέτη. Αυτό σημαίνει ότι ο αριθμός 237 εμφανίζεται στο δοκιμαστικό μέρισμα όχι περισσότερο από τρεις φορές. Ο αριθμός 3, γραμμένος κάτω από τον διαιρέτη του αριθμού 2 κάτω από την οριζόντια γραμμή, είναι το πρώτο ψηφίο του πηλίκου που πρέπει να βρεθεί. Αφού μετακινήσουμε προς τα κάτω το επόμενο ψηφίο του μερίσματος, παίρνουμε το επόμενο δοκιμαστικό μέρισμα 1066 και πρέπει να προσδιορίσουμε πόσες φορές ο διαιρέτης 237 ταιριάζει στον αριθμό 1066. ας πούμε 4 φορές. Πολλαπλασιάζουμε τον διαιρέτη με το 4 και παίρνουμε το γινόμενο 948, το οποίο αφαιρούμε από το 1066. η διαφορά αποδεικνύεται 118, που σημαίνει ότι το επόμενο ψηφίο του πηλίκου είναι 4. Στη συνέχεια αφαιρούμε το επόμενο ψηφίο του μερίσματος και επαναλαμβάνουμε ολόκληρη τη διαδικασία που περιγράφεται παραπάνω. Αυτή τη φορά αποδεικνύεται ότι το δοκιμαστικό μέρισμα 1185 είναι ακριβώς (χωρίς υπόλοιπο) διαιρούμενο με το 237 (το υπόλοιπο της διαίρεσης τελικά αποδεικνύεται 0). Διαχωρίζοντας με υποδιαστολή στο πηλίκο τον ίδιο αριθμό ψηφίων που χωρίζονται στο μέρισμα (θυμηθείτε ότι προηγουμένως μετακινήσαμε την υποδιαστολή), παίρνουμε την απάντηση: το πηλίκο είναι ίσο με 34,5.

Κλάσματα.

Οι υπολογισμοί με κλάσματα περιλαμβάνουν πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμό και διαίρεση, καθώς και απλοποίηση μιγαδικών κλασμάτων.

Η προσθήκη κλασμάτων με τον ίδιο παρονομαστή γίνεται προσθέτοντας τους αριθμητές, για παράδειγμα,

1/16 + 5/16 + 7/16 = (1 + 5 + 7)/16 = 13/16.

Εάν τα κλάσματα έχουν διαφορετικούς παρονομαστές, τότε πρέπει πρώτα να αναχθούν σε έναν κοινό παρονομαστή, δηλ. μετατροπή σε κλάσματα με τους ίδιους παρονομαστές. Για να γίνει αυτό, βρίσκουμε τον ελάχιστο κοινό παρονομαστή (το μικρότερο πολλαπλάσιο καθενός από τους δεδομένους παρονομαστές). Για παράδειγμα, όταν προσθέτουμε 2/3, 1/6 και 3/5, ο χαμηλότερος κοινός παρονομαστής είναι 30:

Συνοψίζοντας, παίρνουμε

20/30 + 5/30 + 18/30 = 43/30.

Η αφαίρεση των κλασμάτων γίνεται με τον ίδιο τρόπο όπως η πρόσθεσή τους. Εάν οι παρονομαστές είναι ίδιοι, τότε η αφαίρεση καταλήγει στην αφαίρεση των αριθμητών: 10/13 – 2/13 = 8/13; Εάν τα κλάσματα έχουν διαφορετικούς παρονομαστές, τότε πρέπει πρώτα να τα φέρετε σε έναν κοινό παρονομαστή:

7/8 – 3/4 = 7/8 – 6/8 = (7 – 6)/8 = 1/8.

Κατά τον πολλαπλασιασμό των κλασμάτων, οι αριθμητές και οι παρονομαστές τους πολλαπλασιάζονται χωριστά. Για παράδειγμα,

5/6ґ4/9 = 20/54 = 10/27.

Για να διαιρέσετε ένα κλάσμα με ένα άλλο, πρέπει να πολλαπλασιάσετε το πρώτο κλάσμα (μέρισμα) με το αμοιβαίο κλάσμα του δεύτερου (διαιρέτης) (για να λάβετε το αμοιβαίο κλάσμα, πρέπει να αλλάξετε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του αρχικού κλάσματος), δηλ. ( n 1 /ρε 1)ε( n 2 /ρε 2) = (n 1 Η ρε 2)/(ρε 1 Η n 2). Για παράδειγμα,

3/4e7/8 = 3/4ґ8/7 = 24/28 = 6/7.

Ένας μικτός αριθμός είναι το άθροισμα (ή η διαφορά) ενός ακέραιου αριθμού και ενός κλάσματος, όπως 4 + 2/3 ή 10 – 1/8. Εφόσον ένας ακέραιος αριθμός μπορεί να θεωρηθεί ως κλάσμα με παρονομαστή 1, ένας μεικτός αριθμός δεν είναι τίποτα άλλο από το άθροισμα (ή τη διαφορά) δύο κλασμάτων. Για παράδειγμα,

4 + 2/3 = 4/1 + 2/3 = 12/3 + 2/3 = 14/3.

Μιγαδικό κλάσμα είναι αυτό που έχει κλάσμα είτε στον αριθμητή είτε στον παρονομαστή είτε στον αριθμητή και στον παρονομαστή. Αυτό το κλάσμα μπορεί να μετατραπεί σε απλό:

Τετραγωνική ρίζα.

Αν n r, τέτοιο που r 2 = n. Αριθμός rπου ονομάζεται τετραγωνική ρίζααπό nκαι ορίζεται . Στο σχολείο σας μαθαίνουν να εξάγετε τετραγωνικές ρίζες με δύο τρόπους.

Η πρώτη μέθοδος είναι πιο δημοφιλής επειδή είναι απλούστερη και ευκολότερη στην εφαρμογή της. Οι υπολογισμοί που χρησιμοποιούν αυτή τη μέθοδο υλοποιούνται εύκολα σε μια αριθμομηχανή επιφάνειας εργασίας και γενικεύονται στην περίπτωση των ριζών κύβου και των υψηλότερων ριζών. Η μέθοδος βασίζεται στο γεγονός ότι εάν r 1 – πλησιάζοντας τη ρίζα, λοιπόν r 2 = (1/2)(r 1 + n/r 1) – ακριβέστερη προσέγγιση της ρίζας.

Ας επεξηγήσουμε τη διαδικασία υπολογίζοντας την τετραγωνική ρίζα κάποιου αριθμού μεταξύ 1 και 100, ας πούμε τον αριθμό 40. Αφού 6 2 = 36 και 7 2 = 49, συμπεραίνουμε ότι το 6 είναι η καλύτερη προσέγγιση σε ακέραιους αριθμούς. Μια πιο ακριβής προσέγγιση στο λαμβάνεται από το 6 ως εξής. Διαιρώντας το 40 με το 6 προκύπτει το 6,6 (στρογγυλοποιημένο στο πρώτο δεκαδικό ψηφίο) ακόμη καιαριθμοί των δέκατων). Για να λάβουμε μια δεύτερη προσέγγιση στο , υπολογίζουμε κατά μέσο όρο τους δύο αριθμούς 6 και 6,6 και παίρνουμε 6,3. Επαναλαμβάνοντας τη διαδικασία, επιτυγχάνουμε μια ακόμη καλύτερη προσέγγιση. Διαιρώντας το 40 με το 6,3, βρίσκουμε τον αριθμό 6,350 και η τρίτη προσέγγιση αποδεικνύεται ότι είναι (1/2)(6,3 + 6,350) = 6,325. Μια άλλη επανάληψη δίνει 40е6.325 = 6.3241106 και η τέταρτη προσέγγιση αποδεικνύεται ότι είναι (1/2)(6.325 + 6.3241106) = 6.3245553. Η διαδικασία μπορεί να συνεχιστεί όσο επιθυμείτε. Γενικά, κάθε επόμενη προσέγγιση μπορεί να περιέχει διπλάσια ψηφία από την προηγούμενη. Έτσι, στο παράδειγμά μας, εφόσον η πρώτη προσέγγιση, ο ακέραιος 6, περιέχει μόνο ένα ψηφίο, μπορούμε να κρατήσουμε δύο ψηφία στη δεύτερη προσέγγιση, τέσσερα στην τρίτη και οκτώ στην τέταρτη.

Εάν ο αριθμός nδεν βρίσκεται μεταξύ 1 και 100, τότε πρέπει πρώτα να διαιρέσετε (ή να πολλαπλασιάσετε) nσε κάποια δύναμη 100, ας πούμε, σε κ-ο έτσι ώστε το γινόμενο να είναι στο εύρος από 1 έως 100. Τότε η τετραγωνική ρίζα του γινόμενου θα είναι στην περιοχή από 1 έως 10 και αφού εξαχθεί, πολλαπλασιάζουμε (ή διαιρούμε) τον αριθμό που προκύπτει με το 10 κ, βρείτε την απαιτούμενη τετραγωνική ρίζα. Για παράδειγμα, εάν n= 400000, μετά εμείς πρώτα διαιρέστε 400000 επί 100 2 και παίρνουμε τον αριθμό 40, ο οποίος βρίσκεται στην περιοχή από 1 έως 100. Όπως φαίνεται παραπάνω, είναι περίπου ίσος με 6,3245553. ΠολλαπλασιάζονταςΑυτός ο αριθμός κατά 10 2, παίρνουμε 632,45553 ως κατά προσέγγιση τιμή για, και ο αριθμός 0,63245553 χρησιμεύει ως κατά προσέγγιση τιμή για.

Η δεύτερη από τις διαδικασίες που αναφέρονται παραπάνω βασίζεται στην αλγεβρική ταυτότητα ( ένα + σι) 2 = ένα 2 + (2ένα + σι)σι. Σε κάθε βήμα, το ήδη ληφθέν τμήμα της τετραγωνικής ρίζας λαμβάνεται ως ένα, και το μέρος που πρέπει ακόμη να καθοριστεί είναι για σι.

Κυβική ρίζα.

Για την εξαγωγή της κυβικής ρίζας ενός θετικού πραγματικού αριθμού, υπάρχουν αλγόριθμοι παρόμοιοι με αυτούς για την εξαγωγή της τετραγωνικής ρίζας. Για παράδειγμα, για να βρείτε την κυβική ρίζα ενός αριθμού n, πρώτα προσεγγίζουμε τη ρίζα με κάποιο αριθμό r 1 . Στη συνέχεια χτίζουμε μια πιο ακριβή προσέγγιση r 2 = (1/3)(2r 1 + n/r 1 2), το οποίο με τη σειρά του δίνει τη θέση του σε μια ακόμη πιο ακριβή προσέγγιση r 3 = (1/3)(2r 2 + n/r 2 2), κ.λπ. Η διαδικασία για την κατασκευή ολοένα και πιο ακριβών προσεγγίσεων της ρίζας μπορεί να συνεχιστεί επ' αόριστον.

Σκεφτείτε, για παράδειγμα, να υπολογίσετε την κυβική ρίζα ενός αριθμού μεταξύ 1 και 1000, ας πούμε τον αριθμό 200. Επειδή 5 3 = 125 και 6 3 = 216, συμπεραίνουμε ότι το 6 είναι ο πλησιέστερος ακέραιος στην κυβική ρίζα του 200. Επομένως, επιλέγουμε r 1 = 6 και υπολογίστε διαδοχικά r 2 = 5,9, r 3 = 5,85, r 4 = 5,8480. Σε κάθε προσέγγιση, ξεκινώντας από την τρίτη, επιτρέπεται η διατήρηση ενός αριθμού χαρακτήρων που είναι κατά ένα μικρότερο από το διπλάσιο του αριθμού των χαρακτήρων της προηγούμενης προσέγγισης. Εάν ο αριθμός από τον οποίο θέλετε να εξαγάγετε την κυβική ρίζα δεν είναι μεταξύ 1 και 1000, τότε πρέπει πρώτα να τον διαιρέσετε (ή να τον πολλαπλασιάσετε) με μερικά, ας πούμε, κου, δύναμη του αριθμού 1000 και έτσι φέρετέ τον στο επιθυμητό εύρος αριθμών. Η κυβική ρίζα του αριθμού που λήφθηκε πρόσφατα βρίσκεται στην περιοχή από 1 έως 10. Αφού υπολογιστεί, πρέπει να πολλαπλασιαστεί (ή να διαιρεθεί) με το 10 κγια να πάρετε την κυβική ρίζα του αρχικού αριθμού.

Ο δεύτερος, πιο σύνθετος, αλγόριθμος για την εύρεση της κυβικής ρίζας ενός θετικού πραγματικού αριθμού βασίζεται στη χρήση της αλγεβρικής ταυτότητας ( ένα + σι) 3 = ένα 3 + (3ένα 2 + 3αβ + σι 2)σι. Επί του παρόντος, οι αλγόριθμοι για την εξαγωγή ριζών κύβου, καθώς και οι ρίζες ανώτερων δυνάμεων, δεν διδάσκονται στο γυμνάσιο, καθώς είναι ευκολότερο να βρεθούν χρησιμοποιώντας λογάριθμους ή αλγεβρικές μεθόδους.

Ο αλγόριθμος του Ευκλείδη.

Αυτός ο αλγόριθμος παρουσιάστηκε στο ΑρχέςΕυκλείδης (περίπου 300 π.Χ.). Χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό του μεγαλύτερου κοινού διαιρέτη δύο ακεραίων. Για την περίπτωση των θετικών αριθμών διατυπώνεται ως διαδικαστικός κανόνας: «Διαιρέστε τον μεγαλύτερο από τους δύο δεδομένους αριθμούς με τον μικρότερο. Στη συνέχεια διαιρέστε τον διαιρέτη με το υπόλοιπο και συνεχίστε με αυτόν τον τρόπο μέχρι ο τελευταίος διαιρέτης να διαιρεθεί ομοιόμορφα με το τελευταίο υπόλοιπο. Ο τελευταίος από τους διαιρέτες θα είναι ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης των δύο δεδομένων αριθμών.»

Ως αριθμητικό παράδειγμα, θεωρήστε δύο ακέραιους αριθμούς 3132 και 7200. Ο αλγόριθμος σε αυτήν την περίπτωση καταλήγει στα ακόλουθα βήματα:

Ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης είναι ο ίδιος με τον τελευταίο διαιρέτη - ο αριθμός 36. Η εξήγηση είναι απλή. Στο παράδειγμά μας, βλέπουμε από την τελευταία γραμμή ότι ο αριθμός 36 διαιρεί τον αριθμό 288. Από την προτελευταία γραμμή προκύπτει ότι ο αριθμός 36 διαιρεί το 324. Έτσι, προχωρώντας από γραμμή σε γραμμή, είμαστε πεπεισμένοι ότι ο αριθμός 36 διαιρεί το 936 , 3132 και 7200 Υποστηρίζουμε τώρα ότι ο αριθμός 36 είναι κοινός διαιρέτης των αριθμών 3132 και 7200. σολείναι ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης των αριθμών 3132 και 7200. Αφού σολδιαιρεί 3132 και 7200, από την πρώτη γραμμή προκύπτει ότι σολδιαιρεί το 936. Από τη δεύτερη γραμμή συμπεραίνουμε ότι σολδιαιρεί το 324. Έτσι, κατεβαίνοντας από γραμμή σε γραμμή, είμαστε πεπεισμένοι ότι σολδιαιρεί το 288 και το 36. Και επειδή το 36 είναι κοινός διαιρέτης των αριθμών 3132 και 7200 και διαιρείται με τον μεγαλύτερο κοινό διαιρέτη τους, συμπεραίνουμε ότι το 36 είναι αυτός ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης.

Εξέταση.

Οι αριθμητικοί υπολογισμοί απαιτούν συνεχή προσοχή και επομένως είναι επιρρεπείς σε λάθη. Επομένως, είναι πολύ σημαντικό να ελέγξετε τα αποτελέσματα υπολογισμού.

1. Η προσθήκη μιας στήλης αριθμών μπορεί να ελεγχθεί προσθέτοντας τους αριθμούς στη στήλη πρώτα από πάνω προς τα κάτω και μετά από κάτω προς τα πάνω. Η αιτιολόγηση αυτής της μεθόδου επαλήθευσης είναι ο γενικευμένος νόμος της ανταλλαξιμότητας και η συσχέτιση της πρόσθεσης.

2. Η αφαίρεση ελέγχεται προσθέτοντας τη διαφορά με τον υποκατηγορία - θα πρέπει να ληφθεί το minuend. Το σκεπτικό αυτής της μεθόδου επαλήθευσης είναι ο ορισμός της πράξης αφαίρεσης.

3. Ο πολλαπλασιασμός μπορεί να ελεγχθεί με αναδιάταξη του πολλαπλασιαστή και του πολλαπλασιαστή. Η αιτιολόγηση αυτής της μεθόδου επαλήθευσης είναι ο νόμος του αντισταθμιστικού πολλαπλασιασμού. Μπορείτε να ελέγξετε τον πολλαπλασιασμό σπάζοντας τον πολλαπλασιαστή (ή τον πολλαπλασιαστή) σε δύο όρους, εκτελώντας δύο ξεχωριστές πράξεις πολλαπλασιασμού και προσθέτοντας τα προκύπτοντα γινόμενα - θα πρέπει να λάβετε το αρχικό γινόμενο.

4. Για να ελέγξετε τη διαίρεση, πρέπει να πολλαπλασιάσετε το πηλίκο με τον διαιρέτη και να προσθέσετε το υπόλοιπο στο γινόμενο. Θα πρέπει να είναι το μέρισμα. Το σκεπτικό αυτής της μεθόδου επαλήθευσης είναι ο ορισμός της λειτουργίας διαίρεσης.

5. Ο έλεγχος της ορθότητας της εξαγωγής μιας τετραγωνικής (ή κυβικής) ρίζας συνίσταται στην αύξηση του αριθμού που προκύπτει με τετραγωνισμό (ή κύβο) - θα πρέπει να ληφθεί ο αρχικός αριθμός.

Ένας ιδιαίτερα απλός και πολύ αξιόπιστος τρόπος ελέγχου της πρόσθεσης ή του πολλαπλασιασμού των ακεραίων είναι μια τεχνική που αντιπροσωπεύει μια μετάβαση στο λεγόμενο. "comparisons modulo 9". Ας ονομάσουμε «υπέρβαση» το υπόλοιπο του αθροίσματος των ψηφίων που χρησιμοποιήθηκαν για την εγγραφή του αριθμού όταν διαιρείται με το 9. Στη συνέχεια, σχετικά με τις «υπερβάσεις», μπορούν να διατυπωθούν δύο θεωρήματα: «η υπέρβαση του αθροίσματος των ακεραίων είναι ίση με την υπέρβαση του αθροίσματος των υπερβάσεων των όρων» και «η υπέρβαση του γινομένου δύο ακεραίων είναι ίση με το περίσσεια του προϊόντος των υπερβολών τους». Ακολουθούν παραδείγματα ελέγχων που βασίζονται σε αυτό το θεώρημα:

Η μέθοδος μετάβασης στο modulo συγκρίσεων 9 μπορεί επίσης να χρησιμοποιηθεί κατά τη δοκιμή άλλων αριθμητικών αλγορίθμων. Φυσικά, ένας τέτοιος έλεγχος δεν είναι αλάνθαστος, καθώς η εργασία με "υπερβολές" υπόκειται επίσης σε σφάλματα, αλλά μια τέτοια κατάσταση είναι απίθανη.

Ενδιαφέρον.

Ποσοστό είναι ένα κλάσμα του οποίου ο παρονομαστής είναι 100. Τα ποσοστά μπορούν να γραφτούν με τρεις τρόπους: ως κλάσμα, ως δεκαδικό ή χρησιμοποιώντας τον ειδικό συμβολισμό ποσοστού %. Για παράδειγμα, το 7 τοις εκατό μπορεί να γραφτεί ως 7/100, ως 0,07 ή ως 7%.

Ένα παράδειγμα του πιο συνηθισμένου τύπου ποσοστιαίου προβλήματος είναι το εξής: "Βρείτε το 17% του 82". Για να λύσετε αυτό το πρόβλημα, πρέπει να υπολογίσετε το γινόμενο 0,17ґ82 = 13,94. Σε προϊόντα αυτού του είδους, το 0,17 ονομάζεται συντελεστής, το 82 είναι η βάση και το 13,94 είναι το μερίδιο, εκφρασμένο ως ποσοστό. Οι τρεις αναφερόμενες ποσότητες σχετίζονται μεταξύ τους από τη σχέση

Βαθμός ґ βάση = ποσοστιαία μερίδα.

Εάν είναι γνωστές δύο ποσότητες, η τρίτη μπορεί να προσδιοριστεί από αυτή τη σχέση. Αντίστοιχα, έχουμε τρεις τύπους προβλημάτων «χρησιμοποιώντας ποσοστά».

Παράδειγμα 1. Ο αριθμός των μαθητών που εγγράφηκαν σε αυτό το σχολείο αυξήθηκε από 351 σε 396. Κατά πόσο αυξήθηκε αυτός ο αριθμός;

Η αύξηση ήταν 396 – 351 = 45 άτομα. Γράφοντας το κλάσμα 45/351 ως ποσοστό, παίρνουμε 45/351 = 0,128 = 12,8%.

Παράδειγμα 2. Μια διαφήμιση στο κατάστημα κατά τη διάρκεια μιας πώλησης λέει "25% έκπτωση σε όλα τα είδη". Ποια είναι η τιμή πώλησης για ένα αντικείμενο που συνήθως πωλείται για 3,60 $;

Μια μείωση 25% στην τιμή των 3,60 $ σημαίνει μείωση 0,25-3,60 = 0,90 $. Επομένως, η τιμή του αντικειμένου κατά την πώληση θα είναι 3,60 $ – 0,90 $ = 2,70 $.

Παράδειγμα 3. Τα χρήματα που κατατέθηκαν στην τράπεζα με 5% ετησίως απέφεραν κέρδη 40 $ ετησίως. Τι ποσό κατατέθηκε στην τράπεζα;

Δεδομένου ότι το 5% του ποσού είναι $40, δηλ. 5/100 ґ ποσό = 40 $, ή 1/100 ґ ποσό = 8 δολάρια, το συνολικό ποσό είναι 800 δολάρια.

Αριθμητική κατά προσέγγιση αριθμών.

Πολλοί αριθμοί που χρησιμοποιούνται στους υπολογισμούς προκύπτουν είτε από μετρήσεις είτε από εκτιμήσεις και επομένως μπορούν να θεωρηθούν μόνο προσεγγίσεις. Είναι προφανές ότι το αποτέλεσμα των υπολογισμών που γίνονται με κατά προσέγγιση αριθμούς μπορεί να είναι μόνο ένας κατά προσέγγιση αριθμός. Για παράδειγμα, ας υποθέσουμε ότι οι μετρήσεις της επιφάνειας του μετρητή απέδωσαν τα ακόλουθα αποτελέσματα (στρογγυλοποιημένα στο πλησιέστερο δέκατο του μέτρου): πλάτος 1,2 m, μήκος 3,1 m. θα μπορούσε κανείς να πει ότι το εμβαδόν του μετρητή είναι 1,2ґ3,1 = 3,72 m2. Ωστόσο, στην πραγματικότητα οι πληροφορίες δεν είναι τόσο σίγουρες. Δεδομένου ότι η τιμή 1,2 m δείχνει μόνο ότι η μέτρηση πλάτους είναι μεταξύ 1,15 και 1,25 m και η τιμή 3,1 υποδεικνύει ότι η μέτρηση του μήκους είναι μεταξύ 3,05 και 3,15 m, σχετικά με την περιοχή του μετρητή μπορούμε μόνο να πούμε ότι θα πρέπει να είναι μεγαλύτερη από 1,15 ґ3,05 = 3,5075, αλλά λιγότερο από 1,25ґ3,15 = 3,9375. Επομένως, η μόνη λογική απάντηση στην ερώτηση σχετικά με την περιοχή του μετρητή είναι να πούμε ότι είναι περίπου 3,7 m 2 .

Ας εξετάσουμε στη συνέχεια το πρόβλημα της προσθήκης των κατά προσέγγιση μετρήσεων των 3,73 m, 52,1 m και 0,282 m Το απλό άθροισμα είναι 56,112 m πρέπει να είναι μεγαλύτερο από 3,725 + 52,05 + 0,2815 = 56,0565 m και μικρότερο από 3,735 + 52,15 + 0,2825 = 56,1765 m. Έτσι, η μόνη λογική απάντηση στην ερώτηση είναι να πούμε ότι το άθροισμα είναι περίπου ίσο με 56.

Τα δύο παραπάνω παραδείγματα επεξηγούν ορισμένους κανόνες που είναι χρήσιμοι όταν εργάζεστε με κατά προσέγγιση αριθμούς. Υπάρχουν διάφοροι τρόποι στρογγυλοποίησης αριθμών. Ένα από αυτά είναι να απορρίψετε τα κάτω ψηφία του αριθμού. Επιπλέον, εάν το πρώτο ψηφίο που πρέπει να απορριφθεί είναι περισσότερο από πέντε, τότε το τελευταίο ψηφίο που απομένει πρέπει να αυξηθεί κατά ένα, εάν είναι μικρότερο, τότε το τελευταίο ψηφίο του υπόλοιπου μέρους παραμένει αμετάβλητο.

Εάν το πρώτο ψηφίο που πρέπει να απορριφθεί είναι ακριβώς πέντε, τότε το τελευταίο ψηφίο που πρέπει να διατηρηθεί αυξάνεται κατά ένα εάν είναι περιττό και παραμένει αμετάβλητο εάν είναι άρτιο. Για παράδειγμα, όταν στρογγυλοποιείτε στο πλησιέστερο εκατοστό τον αριθμό 3.14159;17.7682; 28,999; 0,00234; 7.235 και 7.325 γίνονται 3.14. 17,77; 29.00; 0,00; 7.24 και 7.32.

Μια άλλη μέθοδος στρογγυλοποίησης συνδέεται με την έννοια των σημαντικών ψηφίων και χρησιμοποιείται κατά τη σύνταξη ενός αριθμού από μηχανή. Τα σημαντικά ψηφία ενός κατά προσέγγιση αριθμού είναι τα ψηφία του δεκαδικού συμβολισμού του κατά σειρά από αριστερά προς τα δεξιά, ξεκινώντας από το πρώτο μη μηδενικό ψηφίο και τελειώνοντας με το ψηφίο που βρίσκεται στη θέση του δεκαδικού ψηφίου που αντιστοιχεί στο σφάλμα. Για παράδειγμα, τα σημαντικά ψηφία του κατά προσέγγιση αριθμού 12.1 είναι οι αριθμοί 1, 2, 1. κατά προσέγγιση αριθμός 0,072 – αριθμοί 7, 2. ο κατά προσέγγιση αριθμός 82000, γραμμένος με την πλησιέστερη εκατό, είναι 8, 2, 0.

Τώρα θα διατυπώσουμε τους δύο κανόνες λειτουργίας με κατά προσέγγιση αριθμούς που αναφέρονται παραπάνω.

Κατά την πρόσθεση και την αφαίρεση κατά προσέγγιση αριθμών, κάθε αριθμός πρέπει να στρογγυλοποιείται στο ψηφίο που ακολουθεί το τελευταίο ψηφίο του λιγότερο ακριβούς αριθμού και το άθροισμα και η διαφορά που προκύπτει θα πρέπει να στρογγυλοποιούνται στον ίδιο αριθμό ψηφίων με τον λιγότερο ακριβή αριθμό. Κατά τον πολλαπλασιασμό και τη διαίρεση προσεγγιστικών αριθμών, κάθε αριθμός πρέπει να στρογγυλοποιείται στο πρόσημο που ακολουθεί το τελευταίο σημαντικό ψηφίο του λιγότερο σημαντικού αριθμού και το γινόμενο και το πηλίκο πρέπει να στρογγυλοποιούνται με την ίδια ακρίβεια που είναι γνωστός ο λιγότερο ακριβής αριθμός.

Επιστρέφοντας στα προβλήματα που εξετάστηκαν προηγουμένως, παίρνουμε:

1,2ґ3,1 = 3,72 m 2 » 3,7 m 2

3,73 + 52,1 + 0,28 = 56,11 m 2 "56,1 m,

όπου το σύμβολο " σημαίνει "περίπου ίσο".

Ορισμένα εγχειρίδια αριθμητικής παρέχουν αλγόριθμους για την εργασία με κατά προσέγγιση αριθμούς, επιτρέποντάς σας να αποφύγετε τα περιττά σημάδια κατά τον υπολογισμό. Επιπλέον, χρησιμοποιούν το λεγόμενο. καταγραφή κατά προσέγγιση αριθμών, δηλ. οποιοσδήποτε αριθμός αναπαρίσταται με τη μορφή (ένας αριθμός στην περιοχή από 1 έως 10) ґ (ισχύς 10), όπου ο πρώτος παράγοντας περιέχει μόνο τα σημαντικά ψηφία του αριθμού. Για παράδειγμα, 82000 km, στρογγυλεμένα στα πλησιέστερα εκατό km, θα γραφτούν ως 8,20ґ10 4 km και 0,00702 cm θα γραφτούν ως 7,02ґ10 –3 cm.

Οι αριθμοί σε μαθηματικούς πίνακες, τριγωνομετρικούς ή λογαριθμικούς πίνακες είναι κατά προσέγγιση, γραμμένοι με ορισμένο αριθμό σημείων. Όταν εργάζεστε με τέτοιους πίνακες, θα πρέπει να ακολουθείτε τους κανόνες για τους υπολογισμούς με κατά προσέγγιση αριθμούς.

Λογάριθμοι.

Στις αρχές του 17ου αιώνα. Η πολυπλοκότητα των προβλημάτων εφαρμοζόμενων υπολογιστών έχει αυξηθεί τόσο πολύ που δεν ήταν δυνατό να αντιμετωπιστούν "με το χέρι" λόγω υπερβολικής εργασίας και χρόνου. Ευτυχώς, εφευρέθηκε εγκαίρως από τον J. Napier στις αρχές του 17ου αιώνα. οι λογάριθμοι κατέστησαν δυνατή την αντιμετώπιση του προβλήματος που προέκυψε. Δεδομένου ότι η θεωρία και οι εφαρμογές των λογαρίθμων περιγράφονται λεπτομερώς σε ειδικό άρθρο ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΣ, θα περιοριστούμε μόνο στις πιο απαραίτητες πληροφορίες.

Μπορεί να αποδειχθεί ότι αν nείναι ένας θετικός πραγματικός αριθμός, τότε υπάρχει ένας μοναδικός θετικός πραγματικός αριθμός Χ, έτσι ώστε 10 Χ = n. Αριθμός Χονομάζεται (κανονικό ή δεκαδικό) λογάριθμοςαριθμοί n; συμβατικά γράφεται ως εξής: Χ=log n. Έτσι, ο λογάριθμος είναι ένας εκθέτης και από τους νόμους των πράξεων με τους εκθέτες προκύπτει ότι

Αυτές οι ιδιότητες των λογαρίθμων είναι που εξηγούν την ευρεία χρήση τους στην αριθμητική. Η πρώτη και η δεύτερη ιδιότητα μας επιτρέπουν να ανάγουμε οποιοδήποτε πρόβλημα πολλαπλασιασμού και διαίρεσης σε ένα απλούστερο πρόβλημα πρόσθεσης και αφαίρεσης. Η τρίτη και η τέταρτη ιδιότητες καθιστούν δυνατή τη μείωση της εκθέσεως και της εξαγωγής ρίζας σε πολύ απλούστερες πράξεις: πολλαπλασιασμό και διαίρεση.

Για ευκολία στη χρήση των λογαρίθμων, έχουν συνταχθεί οι πίνακες τους. Για να συντάξετε έναν πίνακα δεκαδικών λογαρίθμων, αρκεί να συμπεριλάβετε μόνο λογάριθμους αριθμών από το 1 έως το 10. Για παράδειγμα, από το 247,6 = 10 2 ґ2,476, έχουμε: log247,6 = log10 2 + log2,476 = 2 + log2.476, και αφού 0.02476 = 10 –2 ґ2.476, τότε log0.02476 = log10 –2 + log2.476 = –2 + log2.476. Σημειώστε ότι ο δεκαδικός λογάριθμος ενός αριθμού μεταξύ 1 και 10 βρίσκεται μεταξύ 0 και 1 και μπορεί να γραφτεί ως δεκαδικός. Από αυτό προκύπτει ότι ο δεκαδικός λογάριθμος οποιουδήποτε αριθμού είναι το άθροισμα ενός ακέραιου, που ονομάζεται χαρακτηριστικό του λογαρίθμου, και ενός δεκαδικού κλάσματος, που ονομάζεται μάντισσα του λογαρίθμου. Το χαρακτηριστικό του λογάριθμου οποιουδήποτε αριθμού μπορεί να βρεθεί "στο μυαλό". Η μάντισσα πρέπει να βρεθεί χρησιμοποιώντας πίνακες λογαρίθμων. Για παράδειγμα, από τους πίνακες βρίσκουμε ότι log2.476 = 0.39375, άρα log247.63 = 2.39375. Εάν το χαρακτηριστικό του λογαρίθμου είναι αρνητικό (όταν ο αριθμός είναι μικρότερος από ένα), τότε είναι βολικό να το αναπαραστήσουμε ως διαφορά δύο θετικών ακεραίων, για παράδειγμα, log0,02476 = –2 + 0,39375 = 8,39375 – 10. Τα ακόλουθα παραδείγματα εξηγούν αυτή την τεχνική.

Βιβλιογραφία:

Ιστορία των μαθηματικών από την αρχαιότητα έως τις αρχές του 19ου αιώνα., τόμ. 1–3. Μ., 1970–1972.
Σερρών J.-P. Αριθμητικό μάθημα. Μ., 1972
Nechaev V.I. Αριθμητικά συστήματα. Μ., 1975
Dahan-Dalmedico A., Peiffer J . Μονοπάτια και λαβύρινθοι. Δοκίμια για την ιστορία των μαθηματικών. Μ., 1986
Engler E. Μαθηματικά Δημοτικού. Μ., 1987

Μέγεθος: px

Ξεκινήστε την εμφάνιση από τη σελίδα:

Αντίγραφο

1 ΔΙΑΛΕΞΗ 2 ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΜΕΓΑΛΥΤΕΡΟΥ ΚΟΙΝΟΥ ΔΙΑΙΡΕΤΗ Ο αλγόριθμος του Ευκλείδη Κατά την εργασία με μεγάλους σύνθετους αριθμούς, η αποσύνθεσή τους σε πρώτους παράγοντες είναι συνήθως άγνωστη. Αλλά για πολλά εφαρμοσμένα προβλήματα στη θεωρία αριθμών, η εύρεση της παραγοντοποίησης ενός αριθμού είναι ένα σημαντικό, συχνά συναντώμενο πρακτικό πρόβλημα. Στη θεωρία αριθμών, υπάρχει ένας σχετικά γρήγορος τρόπος υπολογισμού του gcd δύο αριθμών, ο οποίος ονομάζεται ευκλείδειος αλγόριθμος. Αλγόριθμος 1. Ευκλείδειος αλγόριθμος. Είσοδος. Ακέραιοι αριθμοί a, b; 0< b < а. Выход. d = НОД (a,b). 1. Положить r 0 a, r 1 b, i Найти остаток r i+1 от деления r i 1 на r i. 3. Если r i+1 = 0, то положить d r i. В противном случае положить i i + 1 и вернуться на шаг Результат: d. Теорема. Для любых а, b >0, ο Ευκλείδειος αλγόριθμος σταματά και ο αριθμός d που παράγει είναι ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης των αριθμών a και b. Απόδειξη . Με το θεώρημα της διαίρεσης με υπόλοιπο για οποιοδήποτε i 1 έχουμε r i 1 = q i r i + r i+1, όπου 0 r i+1< r i. Получаем монотонно убывающую последовательность неотрицательных целых чисел r 1 >r 2 > r 3 >... 0, οριοθετείται παρακάτω. Μια τέτοια ακολουθία δεν μπορεί να είναι άπειρη, επομένως, ο ευκλείδειος αλγόριθμος σταματά. Δυαδικός ευκλείδειος αλγόριθμος Ο δυαδικός ευκλείδειος αλγόριθμος για τον υπολογισμό του GCD αποδεικνύεται ταχύτερος κατά την εφαρμογή αυτού

2 αλγόριθμοι σε έναν υπολογιστή επειδή χρησιμοποιεί τη δυαδική αναπαράσταση των αριθμών a και b. Ο δυαδικός αλγόριθμος του Ευκλείδειου βασίζεται στις ακόλουθες ιδιότητες του μεγαλύτερου κοινού διαιρέτη (υποθέτουμε ότι 0< b а): 1) если оба числа а и b четные, то НОД(a,b) = 2 НОД(a/2, b/2) 2) если число а нечетное, число b четное, то НОД(a, b) = НОД(а, b/2); 3) если оба числа а и b нечетные, а >b, τότε gcd(a, b) = gcd(a b, b); 4) αν a = b, τότε gcd(a, b) = a. Αλγόριθμος 2. Δυαδικός Ευκλείδειος αλγόριθμος. Είσοδος. Ακέραιοι αριθμοί a, b; 0< b а. Выход. d = HOД(a,b). 1. Положить g Пока оба числа а и b четные, выполнять а a/2, b b/2, g 2g до получения хотя бы одного нечетного значения а или b. 3. Положить u a, v b. 4. Пока u 0, выполнять следующие действия Пока u четное, полагать u u/ Пока v четное, полагать v v/ При u v положить u u v. В противном случае положить v v u. 5. Положить d gv. 6. Результат: d. Расширенный алгоритм Евклида Расширенный алгоритм Евклида находит наибольший общий делитель d чисел а и b и его линейное представление, т. е. целые числа x и у, для которых ах + by = d, и не требует «возврата», как в рассмотренном примере. Пусть d НОД для a и b, т. е. d = (a, b), где a >σι. Τότε υπάρχουν ακέραιοι x και y τέτοιοι ώστε d = ax + by. Με άλλα λόγια, το gcd δύο αριθμών μπορεί να αναπαρασταθεί σε

3 ως γραμμικός συνδυασμός αυτών των αριθμών με ακέραιους συντελεστές. Αλγόριθμος 3. Σχήμα του εκτεταμένου Ευκλείδειου αλγορίθμου. 1. Ορίστε = 1, = 0, = 0, = 1, α = α, β = β. 2. Έστω ο αριθμός q το πηλίκο του αριθμού a διαιρούμενο με τον αριθμό b και ο αριθμός r το υπόλοιπο της διαίρεσης αυτών των αριθμών (δηλαδή a = qb + r). a = b; b = r; t = ; //t = x i-1 ; = t q; // = x i για τη δεξιά πλευρά = x i+1 για τη δεξιά; //t = y i-1 ; = t q; 5. Επιστροφή στο βήμα Προσδιορίστε x = x 0, y = y 0, d = αx + βy. Παραλλαγή του εκτεταμένου ευκλείδειου αλγορίθμου Είσοδος. Ακέραιοι αριθμοί a, b;< b а. Выход: d = НОД(а, b); такие целые числа х, у, что ах + by = d. 1. Положить r 0 а, r 1 b, х 0 1, x 1 0, у 0 0, y 1 1, i 1 2. Разделить с остатком r i 1 на r i,: r i 1 = q i r i +r i Если r i+1 = 0, то положить d r i, х x i у y i. В противном случае положить x i+1 x i 1 x i, y i+1 y i 1 y i, i i + 1 и вернуться на шаг Результат: d, х, у. Корректность определения чисел х и у,

4 που υπολογίζεται από τον αλγόριθμο, δείχνει το ακόλουθο θεώρημα. Θεώρημα 4. Σε κάθε επανάληψη του Αλγορίθμου 3 ικανοποιείται η ισότητα ax i + κατά i = r i, για i 0. Απόδειξη. Ας χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής. Για i = 0 και i = 1, η απαιτούμενη ισότητα προκύπτει λόγω του βήματος 1 του Αλγορίθμου 3. Ας υποθέσουμε ότι ισχύει για το i 1 και για το i. Στη συνέχεια, στο βήμα 3 παίρνουμε x i+1 = x i 1 x i και y i+1 = y i 1 y i. Επομένως, αx i+1 + κατά i+1 = a(x i 1 x i) + b(y i 1 y i,) = ax i 1 + κατά i 1 (ax i + κατά i) = r i 1 r i = r i+1 . Παράδειγμα. Δίνεται a = 1769, b = 551. Χρησιμοποιώντας τον εκτεταμένο ευκλείδειο αλγόριθμο, βρείτε τους ακέραιους x και y τέτοιους ώστε d = ax + by, όπου d είναι το gcd των αριθμών a και b. Στάδιο Ι της ακολουθίας υπολογισμού. 1. Προσδιορίστε = 1, = 0, = 0, = 1, α = 1769, β = Πηλίκο q = a/b = 1769/551 = 3, και υπόλοιπο r = 116. a = 551; b = 116; t = =0: = t q = 1 0 = 1 = 0; = t q = 3; τις ακόλουθες ενδιάμεσες τιμές

5 παράμετροι: a= 551, b = 116, = 0, = 1, = 1, = Επειδή το υπόλοιπο της διαίρεσης r είναι 0, επιστρέφουμε στο βήμα 2. Στάδιο II της ακολουθίας υπολογισμού. 1. Τιμές παραμέτρων: a = 551, b = 116, = 0, = 1, = 1, = πηλίκο q = a/b = 551/116 = 4, και υπόλοιπο r = 87. a = 116; b = 87; t = = 0; =1: = t q = = 4 = 3; = t q = 1 (3) 4 = 13; οι ακόλουθες ενδιάμεσες τιμές των παραμέτρων: a = 116, b = 87, = 1, = 4, = 3, = Επειδή το υπόλοιπο της διαίρεσης r είναι 0, επιστρέφουμε στο βήμα 2. Στάδιο III της ακολουθίας υπολογισμού . 1. Τιμές παραμέτρων: a= 116, b = 87, = 1, = 4, = 3, = πηλίκο q = a/b = 116/87 = 1, και υπόλοιπο r = 29.

6 a = 87; b = 29; t = = 4: = t q = 1 (4) 1 = 5; = 3; = 13; = t q = 3 (13) 1 = 16; οι ακόλουθες ενδιάμεσες τιμές παραμέτρων: a = 87, b = 29, = 4, = 5, = 13, = Επειδή το υπόλοιπο της διαίρεσης r είναι 0, επιστρέφουμε στο βήμα 2. Στάδιο IV της ακολουθίας υπολογισμού. 1. Τιμές παραμέτρων: a= 87, b = 29, = 4, = 5, = 13, = πηλίκο q = a/b = 87/29 = 3, και υπόλοιπο r = 0. a = 87; b = 29; t = = 4; = 5; = 19; = 13; = 16; = t q = 13 (16) 3 = 61; οι ακόλουθες ενδιάμεσες τιμές παραμέτρων: a = 87, b = 29, = 5, = 19, = 16, = Επειδή το υπόλοιπο της διαίρεσης είναι r = 0, εκτελούμε το βήμα 6.

7 6. Υπολογίζουμε το GCD χρησιμοποιώντας τον τύπο d = αx + βy, όπου x = x 0 = 5, y = y 0 = 16, α = 1769, β = 551. Αντικαθιστώντας τις τιμές των παραμέτρων, παίρνουμε d = αx + βy = = = 29 Ο εκτεταμένος ευκλείδειος αλγόριθμος μπορεί να υλοποιηθεί και σε δυαδική μορφή. Αλγόριθμος 4. Εκτεταμένος δυαδικός ευκλείδειος αλγόριθμος. Είσοδος. Ακέραιοι αριθμοί a, b;< b а. Выход. d = НОД(a, b); такие целые числа х, у, что ах + by = d. 1. Положить g Пока оба числа а и b четные, выполнять а a/2, b b/2, g 2g до получения хотя бы одного нечетного значения а или b. 3. Положить u a, v b, А 1, В 0, С 0, D Пока u 0, выполнять следующие действия Пока u четное, положить u u/ Если оба числа А и B четные, то положить A A/2, B B/2. В противном случае положить A (A+b)/2, B (B a)/ Пока v четное: Положить v v/ Если оба числа С и D четные, то положить С C/2, D D/2. В противном случае положить C (C + b)/2, D (D a)/ При u v положить u u v, А А С, В В D. В противном случае положить v v u, C C A, D D B. 5. Положить d gv, x С, у D. 6. Результат: d, х, у.

Επίλυση εξισώσεων σε ακέραιους αριθμούς Γραμμικές εξισώσεις. Μέθοδος ωμής δύναμης Παράδειγμα. Κουνέλια και φασιανοί κάθονται σε ένα κλουβί. Έχουν συνολικά 8 πόδια. Μάθετε πόσοι από τους δύο βρίσκονται στο κλουβί. Καταγράψτε όλες τις λύσεις. Λύση.

Μάθημα 7 Ο αριθμός d ονομάζεται ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης (GCD) των αριθμών a και b αν (1) d a και d b, και επίσης (2) για όλα τα x από τα x a και x b ακολουθεί το x d. Στην περίπτωση αυτή γράφουμε d = (a, b). Λήμμα 1. Για τυχόν αριθμούς

Θέμα. Βασικές αρχές στοιχειώδους θεωρίας αριθμών και εφαρμογές - Θεωρητικό υλικό. Ένα σύνολο υπολειμμάτων modulo, ιδιότητες συγκρίσεων. Έστω ο φυσικός αριθμός μεγαλύτερος. Έστω Z συμβολίζει το σύνολο όλων των κλάσεων

Yugra Physics and Mathematics Lyceum VP Chuvakov ΒΑΣΕΙΣ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΡΙΘΜΩΝ Σημειώσεις διάλεξης (0)(mod) (0)(mod) Φυσικοί αριθμοί N, - το σύνολο των φυσικών αριθμών που χρησιμοποιούνται για μέτρηση ή απαρίθμηση

Κεφάλαιο 2 Ακέραιοι, ρητοί και πραγματικοί αριθμοί 2.. Ακέραιοι Οι αριθμοί, 2, 3,... ονομάζονται φυσικοί αριθμοί. Το σύνολο όλων των φυσικών αριθμών συμβολίζεται με Ν, δηλ. Ν = (,2,3,...). Αριθμοί..., 3, 2,0,2,3,...

Συνεχιζόμενα κλάσματα Πεπερασμένα συνεχόμενα κλάσματα Ορισμός Μια έκφραση της μορφής a 0 + a + a + + a m όπου ένα 0 Z a m N a m N/() ονομάζεται συνεχές κλάσμα και m είναι το μήκος του συνεχιζόμενου κλάσματος a 0 a a m θα είναι ονομάζονται συντελεστές του συνεχιζόμενου κλάσματος

ΔΙΑΛΕΞΗ 1 ΜΕΡΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΡΙΘΜΩΝ Το εγχειρίδιο δεν περιγράφει τη θεωρία των αριθμών, αλλά παρέχει τα ελάχιστα εργαλεία από αυτή τη θεωρία που θα απαιτηθούν στο μέλλον για τη μελέτη των κρυπτογραφικών συστημάτων που χρησιμοποιούνται

Γκορμπατσόφ ΟΧΙ Πολυώνυμα μιας μεταβλητής Επίλυση εξισώσεων βαθμού Η έννοια πολυωνύμου Αριθμητικές πράξεις σε πολυώνυμα Ορισμός πολυωνύμου (πολωνύμου) ου βαθμού ως προς μια μεταβλητή τιμή

Διαιρετότητα ακεραίων Ο αριθμός a διαιρείται με τον αριθμό b (ή το b διαιρεί το a) εάν υπάρχει ένας αριθμός c τέτοιος ώστε a = bc Σε αυτή την περίπτωση, ο αριθμός c ονομάζεται πηλίκο του a διαιρούμενο με b Ονομασίες: a - a διαιρείται με b ή ba b διαιρεί

ΔΙΑΛΕΞΗ 12 ΣΥΓΚΡΙΣΕΙΣ ΤΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΚΑΙ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΤΕΤΑΡΧΟΥ Η γενική μορφή σύγκρισης του modulo p δεύτερου βαθμού έχει τη μορφή (1) c 0 x 2 + c 1 x + c 2 0 mod p. Εύρεση λύσης σύγκρισης (1)

Οδηγίες, λύσεις, απαντήσεις ΑΚΕΡΑΙΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. Εξίσωση με έναν άγνωστο.. Λύση. Ας το συνδέσουμε στην εξίσωση. Λαμβάνουμε την ισότητα (4a b 4) (a b 8) 0. Η ισότητα A B 0, όπου τα A και B είναι ακέραιοι, ικανοποιείται,

Αλγεβρικά πολυώνυμα. 1 Αλγεβρικά πολυώνυμα βαθμού n σε πεδίο K Ορισμός 1.1 Ένα πολυώνυμο βαθμού n, n N (0), στη μεταβλητή z πάνω από έναν αριθμό πεδίου K είναι μια έκφραση της μορφής: fz = a n z n

Διάλεξη Τετραγωνικά κατάλοιπα και μη Εισηγητής: NU Zolotykh Ηχογράφηση: E Zamaraeva?? 00 Σεπτεμβρίου Περιεχόμενα Τετραγωνικά υπολείμματα και μη υπολείμματα Σύμβολο Legendre Ιδιότητες του συμβόλου Legendre Τετραγωνικός νόμος αμοιβαιότητας

Οικοτροφείο GOU "Διανοούμενος" Ερευνητική εργασία στα μαθηματικά με θέμα: "Σχετικά με την αναπαρασταστικότητα φυσικοί αριθμοί με τη μορφή γραμμικού συνδυασμού με ακέραιους συντελεστές"

Μαθηματική ανάλυση Ενότητα: Αόριστο ολοκλήρωμα Θέμα: Ολοκλήρωση ορθολογικών κλασμάτων Λέκτορας Ε.Γ 0 g 5. Ολοκλήρωση ορθολογικών κλασμάτων ΟΡΙΣΜΟΣ. Ορθολογικό κλάσμα λέγεται

4 Θεωρία Αριθμών 4 Ακέραιοι 7 Ορισμός Έστω, b Z Στη συνέχεια διαιρέστε το b αν υπάρχει ακέραιος έτσι ώστε b (που συμβολίζεται με b) 73 Θεώρημα (διαίρεση με υπόλοιπο) Αν, b Z και b, τότε υπάρχουν ακέραιοι αριθμοί

Μαθηματική ανάλυση Ενότητα: Αόριστο ολοκλήρωμα Θέμα: Ολοκλήρωση ορθολογικών κλασμάτων Λέκτορας Rozhkova S.V. 0 g 5. Ολοκλήρωση ορθολογικών κλασμάτων ΟΡΙΣΜΟΣ. Ορθολογικό κλάσμα λέγεται

009-00 σχολείο έτος. 6, 9 βαθμοί Μαθηματικά. Στοιχεία θεωρίας αριθμών. 4. Υπολογισμός του μεγαλύτερου κοινού διαιρέτη και του ελάχιστου κοινού πολλαπλάσιου Ας κρατήσουμε τη σημείωση από την ενότητα. Για έναν φυσικό αριθμό n, γράψτε n

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. Μέρος Ι: Πεπερασμένα πεδία (πεδία Galois). I 1 / 67 Μέρος Ι Πεπερασμένα πεδία (πεδία Galois). ΕΦΑΡΜΟΣΩ ΑΛΓΕΒΡΑ. Μέρος Ι: Πεπερασμένα πεδία (πεδία Galois). I 2 / 67 Πεδία υπολειμμάτων modulo prime

5 Επίλυση εξισώσεων σε ακέραιους Η επίλυση ακόμη και απλών εξισώσεων όπως μια γραμμική εξίσωση με έναν άγνωστο έχει τις δικές της ιδιαιτερότητες αν οι συντελεστές της εξίσωσης είναι ακέραιοι και απαιτείται

Εργαστηριακή εργασία 8 Υπολογισμός του μεγαλύτερου κοινού διαιρέτη για δύο αριθμούς χρησιμοποιώντας τον ευκλείδειο αλγόριθμο Σκοπός της εργασίας είναι να δημιουργηθεί ένα πρόγραμμα χρησιμοποιώντας τον ευκλείδειο αλγόριθμο που να καθορίζει τον μεγαλύτερο για τους αριθμούς a και b.

Ενότητα 1. Μαθηματικά θεμέλια της κρυπτογραφίας 1 Ορισμός πεδίου Ένα πεπερασμένο πεδίο GF q (ή πεδίο Galois) είναι ένα πεπερασμένο αυθαίρετο σύνολο στοιχείων με πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού που καθορίζονται μεταξύ τους

XIX Διαπεριφερειακή Ολυμπιάδα για μαθητές στα μαθηματικά και την κρυπτογραφία Προβλήματα για την 11η τάξη Λύση στο πρόβλημα 1 Πρώτα, σημειώστε ότι αν N = pq, όπου p και q είναι πρώτοι αριθμοί, τότε ο αριθμός των φυσικών αριθμών μικρότερος από

Τα πολυώνυμα και οι ρίζες τους 2018 Gushchina Elena Nikolaevna Ορισμός: Ένα πολυώνυμο βαθμού n n N είναι οποιαδήποτε έκφραση της μορφής: P & z = a & z & + a &+, z &+, + + a, z + a., όπου a & , a &+, a, a. R,a&

Διάλεξη 4. AES STANDARD. ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ RIJNDAEL. Το πρότυπο AES (Advnced Encrypton Stndrd) είναι ένα νέο πρότυπο κρυπτογράφησης ενός κλειδιού που αντικαθιστά το πρότυπο DES. Αλγόριθμος Rjndel (Rhein Dal)

Πολυώνυμα και οι ρίζες τους Ορισμός: Πολυώνυμο βαθμού n (n N) είναι οποιαδήποτε έκφραση της μορφής: P n (z) = a n z n + a n 1 z n 1 + + a 1 z + a 0, όπου a n, a n 1, a 1, a 0 R, a n ανώτερος συντελεστής, α

1 Ο αλγόριθμος του Ευκλείδη και η πολυπλοκότητά του Ορισμός 1. Ο κοινός διαιρέτης των αριθμών a και b είναι ένας αριθμός c τέτοιος ώστε c a και c b. Ορισμός 2. Ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης των αριθμών a και b είναι ο κοινός διαιρέτης τους,

ΔΙΑΛΕΞΗ 14 Υπολογισμός τετραγωνικών ριζών modulo composite Από την παραπάνω θεωρία προκύπτει ότι αν =, όπου και είναι πρώτοι αριθμοί, η ομάδα Z είναι ισόμορφη στο διάστημα Z Z. Επειδή ο ισομορφισμός διατηρεί τις ιδιότητες

ΔΙΑΛΕΞΗ 3 ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΕΤΑΓΡΑΓΙΩΝ ΡΙΖΩΝ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ Η περίπτωση ενός απλού συντελεστή Εξετάστε τη σύγκριση x a mod p, () όπου ο αριθμός p είναι πρώτος και ο ακέραιος αριθμός a δεν διαιρείται με το p Υπολογίζοντας τη λύση x αυτής της εξίσωσης είναι

Πρόγραμμα συνεδρίου στα διακριτά μαθηματικά (κύρια ροή) Στην αρχή του συνεδρίου, θα λάβετε ένα εισιτήριο που θα περιέχει τρεις ερωτήσεις: μια ερώτηση για τη γνώση των ορισμών, ένα πρόβλημα, μια ερώτηση για τη γνώση των αποδείξεων.

Ο αλγόριθμος του Shor Yu. 1 Δεκεμβρίου 005 Περίγραμμα διάλεξης 1. Προετοιμασία (α) Αριθμοί παραγοντοποίησης (β) Κβαντικοί υπολογισμοί (γ) Προσομοίωση κλασικού υπολογισμού. Αλγόριθμος Simon (α) Κβαντικός παραλληλισμός

Από την ιστορία των μαθηματικών Το πρώτο αρκετά ογκώδες βιβλίο στο οποίο η αριθμητική παρουσιάστηκε ανεξάρτητα από τη γεωμετρία ήταν η Εισαγωγή στην Αριθμητική του Νικομάχου (Οκτ. μ.Χ., ο ρόλος της είναι συγκρίσιμος με τον ρόλο).

Μια σύντομη εισαγωγή στις απαρχές της στοιχειώδους θεωρίας αριθμών Denis Kiriyenko Θερινό σχολείο υπολογιστών, 1 Ιανουαρίου 2009 Διαίρεση ακέραιων αριθμών Ας δίνονται δύο ακέραιοι αριθμοί a και b, b 0. Το ακέραιο πηλίκο της διαίρεσης

Θέμα 1-9: Πολυώνυμα. Κατασκευή δακτυλίου πολυωνύμων. Θεωρία διαιρετότητας. Παράγωγο A. Ya.

Αλγεβρικές εξισώσεις όπου Ορισμός. Μια εξίσωση της μορφής 0, P () 0, ορισμένοι πραγματικοί αριθμοί ονομάζεται αλγεβρική. 0 0 Σε αυτή την περίπτωση, η μεταβλητή ποσότητα ονομάζεται άγνωστη και οι αριθμοί 0, συντελεστές

Διάλεξη 6 Στοιχεία θεωρίας αριθμών 1 Πρόβλημα. Συνεχίστε τις σειρές αριθμών 1, 3, 5, 7, 1, 3, 5, 7, 11 1, 11, 101, 1001, 1, 11, 101, 1001, 1011, 2 Ακέραιος Αριθμητικός Χρησιμοποιεί ακέραιους αριθμούς: Z = (, - 2, -1, 0,

Πολυώνυμα Ένα πολυώνυμο με μία μεταβλητή x του βαθμού n είναι μια έκφραση της μορφής, όπου οποιοιδήποτε αριθμοί ονομάζονται συντελεστές του πολυωνύμου και ονομάζονται συντελεστής της αρχής του πολυωνύμου If αντί για τη μεταβλητή

1 2 Περιεχόμενα. 1. Εισαγωγή. 4-6 1.1. Περίληψη...4 1.2. Πρόβλημα 4 1.3. Σκοπός της εργασίας 5 1.4. Υπόθεση..5 1.5. Αντικείμενο έρευνας... 5 1.6. Αντικείμενο μελέτης. 5 1.7. Καινοτομία... 5-6 1.8. Μέθοδοι έρευνας...6

8.3, 8.4.2 τάξη, Μαθηματικά (σχολικό βιβλίο Makarychev) Ακαδημαϊκό έτος 2018-2019 Το θέμα της ενότητας είναι «Ακέραιοι αριθμοί. Διαιρετότητα αριθμών. Πτυχίο με ακέραιο δείκτη» Το τεστ δοκιμάζει τα θεωρητικά και πρακτικά μέρη. ΘΕΜΑ Μάθετε

Διάλεξη ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΟΡΘΟΛΟΓΙΚΩΝ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Ορθολογικά κλάσματα Ολοκλήρωση απλών ορθολογικών κλασμάτων Αποσύνθεση ορθολογικών κλασμάτων σε απλά κλάσματα Ολοκλήρωση ορθολογικών κλασμάτων Ορθολογική

Www.cryptolymp.ru XIX Διαπεριφερειακή Ολυμπιάδα για μαθητές στα μαθηματικά και την κρυπτογραφία (τάξη 11) Λύση του προβλήματος 1 Πρώτα, σημειώστε ότι εάν N pq, όπου p και q είναι πρώτοι αριθμοί, τότε ο αριθμός των φυσικών αριθμών,

Κεφάλαιο Ακέραιοι Θεωρία Διαιρετότητας Ακέραιοι είναι οι αριθμοί -3, -, -, 0, 3, αυτοί οι φυσικοί αριθμοί, 3, 4, καθώς και μηδενικοί και αρνητικοί αριθμοί -, -, -3, -4 συμβολίζεται με

Υπουργείο Παιδείας και Επιστήμης της Ρωσικής Ομοσπονδίας Ural State Economic University Τμήμα πολυωνύμων Yu B. Melnikov του ηλεκτρονικού εγχειριδίου που συνοδεύει τη διάλεξη. 4η, αναθ. και επιπλέον ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ: [email προστατευμένο],

(Παραδείγματα τριγωνομετρικών συστημάτων τριγωνομετρικών σειρών - επέκταση στο διάστημα [ -l; l ] για συναρτήσεις αυθαίρετης περιόδου - ατελής επέκταση σειράς σε ημίτονο και συνημίτονα άρτια και περιττές συνέχειες)

Θεωρητική επιστήμη των υπολογιστών ΙΙ Διάλεξη 5. Ακέραιοι αλγόριθμοι: εκτεταμένος ευκλείδειος αλγόριθμος, αντίστροφος συντελεστής, εκθεσιμότητα modulo. Κρυπτογραφία δημόσιου κλειδιού, πρωτόκολλο RSA. Πιθανολογικό

5. Κώδικες Bose-Chaudhuri-Hocquenghem Οι διορθωτικές ιδιότητες των κυκλικών κωδίκων μπορούν να προσδιοριστούν με βάση δύο θεωρήματα. Θεώρημα 1. Για κάθε m και t υπάρχει ένας κυκλικός κώδικας μήκους n = 2 m 1, με πολλαπλότητα

MODULAR ARITHMETICS Σε ορισμένες εφαρμογές είναι βολικό να εκτελούνται αριθμητικές πράξεις σε ακέραιους αριθμούς που καθορίζονται σε αυτό που ονομάζεται αρθρωτός συμβολισμός Αυτή η αναπαράσταση προϋποθέτει ότι ο ακέραιος αριθμός

ΧΡΗΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ 00 Koryanov A.G. Εργασίες από το Bryansk Στείλτε σχόλια και προτάσεις στη διεύθυνση: [email προστατευμένο]ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ ΣΕ ΟΛΟΚΛΗΡΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ (από εκπαιδευτικά προβλήματα μέχρι προβλήματα ολυμπιάδας) Γραμμική

2.22. Βγάλτε τον κοινό παράγοντα (n είναι φυσικός αριθμός): 1) x n + 3 + x n ; 3) z 3n - z n ; 2) y n + 2 - y n - 2, n > 2; 4) 5 n + 4 + 2 5 n + 2-3 5 n + 1. 2.23. Κάθε αριθμός εκχωρήθηκε

ΔΙΑΛΕΞΗ 15 ΠΡΩΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ένας φυσικός αριθμός p μεγαλύτερος του ενός ονομάζεται πρώτος εάν διαιρείται μόνο με το 1 και τον εαυτό του. Θεώρημα (Ευκλείδης). Το σύνολο των πρώτων αριθμών είναι άπειρο. Ας συμβολίσουμε με π(x)

Θέμα 3. Στοιχεία αλγεβρικής και αναλυτικής θεωρίας αριθμών Θεωρητικό υλικό 1. Συνεχιζόμενα κλάσματα. Ένα τελικό συνεχόμενο κλάσμα είναι η έκφραση a +, (1) όπου a είναι ακέραιος, a, i > 0, φυσικοί αριθμοί,

Http://vk.ucoz.et/ Πράξεις σε πολυώνυμα k a k Ένα πολυώνυμο (πολυώνυμο) βαθμού k είναι συνάρτηση της μορφής a, όπου η μεταβλητή, a είναι οι αριθμητικοί συντελεστές (=,.k) και. Μπορεί να ληφθεί υπόψη οποιοσδήποτε αριθμός μη μηδενικός

Penza State Pedagogical University με το όνομα V. G. Belinsky M. V. Glebova V. F. Timerbulatova ΠΡΑΚΤΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ Εκπαιδευτικό και μεθοδολογικό εγχειρίδιο Penza Published by

ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΑΚΕΡΑΙΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΕ ΥΠΟΛΟΙΠΟ Έστω m ακέραιος αριθμός και n φυσικός αριθμός Αν m > n και m δεν διαιρείται με το n, τότε είναι δυνατό να διαιρεθεί το m με το n με ένα υπόλοιπο

Avdoshin S.M., Savelyeva A.A. Αλγόριθμος για την επίλυση συστημάτων γραμμικών εξισώσεων σε δακτυλίους υπολειμμάτων Έχει αναπτυχθεί αποτελεσματικός αλγόριθμος για την επίλυση συστημάτων γραμμικών εξισώσεων σε δακτυλίους υπολειμμάτων, ισοδύναμου σε πολυπλοκότητα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. Μέρος Ι: Πεπερασμένα πεδία (Πεδία Galois) I 1 / 88 Μέρος Ι Πεπερασμένα πεδία (Πεδία Galois) ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. Μέρος I: Πεπερασμένα πεδία (πεδία Galois) I 2 / 88 Υπολειμματικά πεδία modulo έναν πρώτο αριθμό

5 Αλγεβρικές δομές 6 Ορισμός Μια δυαδική πράξη σε ένα σύνολο S είναι μια αντιστοίχιση από S S σε S Δηλαδή, είναι ένας κανόνας που εκχωρεί σε κάθε διατεταγμένο ζεύγος στοιχείων από το S ένα ορισμένο

/Ε Στοιχεία θεωρίας αριθμών και. rochev 28 Αυγούστου 2018 Πίνακας περιεχομένων Πίνακας περιεχομένων i 1 Ακέραιοι 1 1.1 Εισαγωγικά προβλήματα................................ ... ..... 1 1.2 Μέγιστος κοινός διαιρέτης...................................

Κεφάλαιο Ακέραιοι, ρητοί και πραγματικοί αριθμοί. Διαίρεση με υπόλοιπο. Διαιρέστε κάθε έναν από τους αριθμούς ±23, ±4 με τους υπόλοιπους με καθέναν από τους αριθμούς ±5. 2. Βρείτε όλους τους θετικούς παράγοντες του αριθμού 42. 3. Είναι 3 η ώρα.

Διάλεξη διαφορικών εξισώσεων 4 Εξισώσεις σε ολικά διαφορικά. Συντελεστής ολοκλήρωσης Λέκτορας Anna Igorevna Sherstneva 9. Εξισώσεις σε ολικά διαφορικά Η εξίσωση d + d = 14 ονομάζεται εξίσωση

Θέμα. Βασικές αρχές στοιχειώδους θεωρίας αριθμών και εφαρμογές. Πρωτόγονες ρίζες, δείκτες. Θεωρητικό υλικό Έστω a, m φυσικοί συμπρώτοι αριθμοί και m, τότε, σύμφωνα με το θεώρημα του Euler, a m)

Τμήμα Μαθηματικών και Πληροφορικής Στοιχεία Ανώτατων Μαθηματικών Εκπαιδευτικό και μεθοδολογικό συγκρότημα για μαθητές δευτεροβάθμιας επαγγελματικής εκπαίδευσης που σπουδάζουν με χρήση τεχνολογιών εξ αποστάσεως Ενότητα Θεωρία ορίων Συντάκτης: Αναπληρωτής Καθηγητής

Ενότητα 2. Αριθμητικές-θεωρητικές μέθοδοι στην κρυπτογραφία Ανάθεση ανεξάρτητης εργασίας Μελετήστε αλγόριθμους που χρησιμοποιούνται ευρέως στην κρυπτογραφία. Στοιχεία θεωρίας αριθμών: εκτεταμένος ευκλείδειος αλγόριθμος.

Το θεματικό σχέδιο καταρτίστηκε με βάση την ύλη του προγράμματος του ακαδημαϊκού έτους 206-207 σύμφωνα με το σχολικό βιβλίο «Άλγεβρα 8», εκδ. A.G. Mordkovich, λαμβάνοντας υπόψη το συνιστώμενο υποχρεωτικό ελάχιστο περιεχόμενο της εκπαίδευσης Θέμα

Διάλεξη 2. Ιδιότητες διωνυμικών συντελεστών. Υπολογισμός αθροισμάτων και τρόπος δημιουργίας συναρτήσεων (τελική περίπτωση). Πολυωνυμικοί συντελεστές. Εκτιμήσεις διωνυμικών και πολυωνυμικών συντελεστών. Εκτιμήσεις ποσών

Ο αλγόριθμος του Ευκλείδη

Μέγιστο κοινό διαιρέτη

Εξετάστε το ακόλουθο πρόβλημα: πρέπει να γράψετε ένα πρόγραμμα για τον προσδιορισμό του μεγαλύτερου κοινού διαιρέτη (GCD) δύο φυσικών αριθμών.

Ας θυμηθούμε τα μαθηματικά. Ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης δύο φυσικών αριθμών είναι ο μεγαλύτερος φυσικός αριθμός με τον οποίο διαιρούνται ομοιόμορφα. Για παράδειγμα, οι αριθμοί 12 και 18 έχουν κοινούς παράγοντες: 2, 3, 6. Ο μεγαλύτερος κοινός παράγοντας είναι ο αριθμός 6. Αυτό γράφεται ως εξής:

GCD(12, 18) = 6.

Ας υποδηλώσουμε τα αρχικά δεδομένα ως M u N. Η δήλωση προβλήματος είναι η εξής:
Δεδομένος:Μ, Ν
Εύρημα: GCD(Μ, Ν).

Σε αυτή την περίπτωση, δεν απαιτείται επιπλέον μαθηματική τυποποίηση. Η ίδια η διατύπωση του προβλήματος είναι τυπικής μαθηματικής φύσης. Δεν υπάρχει τύπος για τον υπολογισμό του GCD(M, N) από τις τιμές των M και N. Αλλά πριν από πολύ καιρό, πολύ πριν από την εμφάνιση των υπολογιστών, ήταν γνωστή μια αλγοριθμική μέθοδος για την επίλυση αυτού του προβλήματος. Λέγεται Ευκλείδειος αλγόριθμος .

Η ιδέα του αλγόριθμου του Ευκλείδη

Η ιδέα αυτού του αλγορίθμου βασίζεται στην ιδιότητα ότι αν M>N, τότε

GCD(Μ, Ν) = GCD(Μ - Ν, Ν).

Με άλλα λόγια, το gcd δύο φυσικών αριθμών είναι ίσο με το gcd της θετικής διαφοράς τους (το μέτρο της διαφοράς τους) και τον μικρότερο αριθμό.

Είναι εύκολο να αποδείξεις αυτή την ιδιότητα. Έστω K ο κοινός διαιρέτης του M u N (M> N). Αυτό σημαίνει ότι M = mK, N = nK, όπου m, n είναι φυσικοί αριθμοί και m > n. Τότε M - N = K(m - n), που σημαίνει ότι το K είναι διαιρέτης του αριθμού M - N. Αυτό σημαίνει ότι όλοι οι κοινοί διαιρέτες των αριθμών M και N είναι διαιρέτες της διαφοράς τους M - N, συμπεριλαμβανομένου του μεγαλύτερου κοινός διαιρέτης.

Η δεύτερη προφανής ιδιότητα:

GCD(M, M) = M.

Για τη "χειροκίνητη" μέτρηση, ο ευκλείδειος αλγόριθμος μοιάζει με αυτό:

1) εάν οι αριθμοί είναι ίσοι, τότε πάρτε οποιονδήποτε από αυτούς ως απάντηση, διαφορετικά συνεχίστε να εκτελείτε τον αλγόριθμο.

2) αντικαταστήστε τον μεγαλύτερο αριθμό με τη διαφορά μεταξύ του μεγαλύτερου και του μικρότερου αριθμού.

3) επιστρέψτε στο βήμα 1.

Ας εξετάσουμε αυτόν τον αλγόριθμο χρησιμοποιώντας το παράδειγμα M=32, N=24:

Η δομή του αλγορίθμου είναι ένας βρόχος while με ένθετη διακλάδωση. Ο κύκλος επαναλαμβάνεται έως ότου οι τιμές των M και N είναι ίσες μεταξύ τους. Στη διακλάδωση, η μεγαλύτερη από τις δύο τιμές αντικαθίσταται από τη διαφορά τους.

Τώρα κοιτάξτε τον πίνακα ιχνών του αλγορίθμου για τις αρχικές τιμές M = 32, N = 24.

Τελικά το αποτέλεσμα ήταν σωστό.

Πρόγραμμα σε AY και Pascal

Ας γράψουμε τον αλγόριθμο σε AY και το πρόγραμμα σε Pascal.

Ερωτήσεις και εργασίες

1. Εκτελέστε το πρόγραμμα Evklid στον υπολογιστή σας. Δοκιμάστε το σε τιμές M = 32, N = 24; Μ = 696, Ν = 234.

2. Γράψτε ένα πρόγραμμα για να βρείτε τον μεγαλύτερο κοινό διαιρέτη τριών αριθμών χρησιμοποιώντας τον ακόλουθο τύπο:

GCD(A, B, C) = GCD(GCD(A, B), C).

3. Γράψτε ένα πρόγραμμα για να βρείτε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο (LCM) δύο αριθμών χρησιμοποιώντας τον τύπο:

A × B = GCD(A, B) × GCD(A, B).