Καρτεσιανές συντεταγμένες σημείων στο επίπεδο. Εξίσωση κύκλου

Ορισμός 1. άξονας αριθμού ( αριθμητική γραμμή, γραμμή συντεταγμένων) Ox είναι η ευθεία γραμμή στην οποία επιλέγεται το σημείο O προέλευση (προέλευση συντεταγμένων)(Εικ. 1), κατεύθυνση

Ο → Χ

παρατίθεται ως θετική κατεύθυνσηκαι σημειώνεται ένα τμήμα, το μήκος του οποίου λαμβάνεται ως μονάδα μήκους.

Ορισμός 2. Ένα τμήμα του οποίου το μήκος λαμβάνεται ως μονάδα μήκους ονομάζεται κλίμακα.

Κάθε σημείο στον αριθμητικό άξονα έχει μια συντεταγμένη που είναι ένας πραγματικός αριθμός. Η συντεταγμένη του σημείου Ο είναι μηδέν. Η συντεταγμένη ενός αυθαίρετου σημείου Α που βρίσκεται στην ακτίνα Ox είναι ίση με το μήκος του τμήματος ΟΑ. Η συντεταγμένη ενός αυθαίρετου σημείου Α του αριθμητικού άξονα που δεν βρίσκεται στην ακτίνα Ox είναι αρνητική και σε απόλυτη τιμή ισούται με το μήκος του τμήματος ΟΑ.

Ορισμός 3. Ορθογώνιο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων Oxy στο επίπεδοκαλέστε δύο αμοιβαία κάθετοςαριθμητικοί άξονες Ox και Oy με την ίδια κλίμακαΚαι κοινό σημείο αναφοράςστο σημείο O, και έτσι ώστε η περιστροφή από την ακτίνα Ox υπό γωνία 90° προς την ακτίνα Oy να εκτελείται προς την κατεύθυνση αριστερόστροφα(Εικ. 2).

Σημείωση. Το ορθογώνιο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων Oxy, που φαίνεται στο σχήμα 2, ονομάζεται σωστό σύστημα συντεταγμένων, Σε αντίθεση με αριστερά συστήματα συντεταγμένων, κατά την οποία η περιστροφή της δέσμης Ox κατά γωνία 90° ως προς τη δέσμη Oy εκτελείται κατά τη φορά των δεικτών του ρολογιού. Σε αυτόν τον οδηγό εμείς θεωρούμε μόνο δεξιόστροφα συστήματα συντεταγμένων, χωρίς να προσδιορίζεται συγκεκριμένα.

Εάν εισάγουμε κάποιο σύστημα ορθογώνιων καρτεσιανών συντεταγμένων Oxy στο επίπεδο, τότε κάθε σημείο του επιπέδου θα αποκτήσει δύο συντεταγμένες – τετμημένηΚαι τεταγμένη, τα οποία υπολογίζονται ως εξής. Έστω Α ένα αυθαίρετο σημείο στο επίπεδο. Ας ρίξουμε κάθετες από το σημείο Α Α.Α. 1 και Α.Α. 2 έως ευθείες γραμμές Ox και Oy, αντίστοιχα (Εικ. 3).

Ορισμός 4. Η τετμημένη του σημείου Α είναι η συντεταγμένη του σημείου ΕΝΑ 1 στον αριθμητικό άξονα Ox, η τεταγμένη του σημείου Α είναι η συντεταγμένη του σημείου ΕΝΑ 2 στον αριθμητικό άξονα Oy.

Ονομασία Συντεταγμένες (τετμημένη και τεταγμένη) του σημείουΤο A στο ορθογώνιο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων συμβολίζεται συνήθως Oxy (Εικ. 4). ΕΝΑ(Χ;y) ή ΕΝΑ = (Χ; y).

Σημείωση. Το σημείο Ο, καλείται προέλευση, έχει συντεταγμένες Ο(0 ; 0) .

Ορισμός 5. Στο ορθογώνιο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων Oxy, ο αριθμητικός άξονας Ox ονομάζεται άξονας τετμημένης και ο αριθμητικός άξονας Oy ονομάζεται άξονας τεταγμένων (Εικ. 5).

Ορισμός 6. Κάθε ορθογώνιο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων χωρίζει το επίπεδο σε 4 τέταρτα (τεταρτημόρια), η αρίθμηση των οποίων φαίνεται στο Σχήμα 5.

Ορισμός 7. Το επίπεδο στο οποίο δίνεται ένα ορθογώνιο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων ονομάζεται επίπεδο συντεταγμένων.

Σημείωση. Ο άξονας της τετμημένης καθορίζεται στο επίπεδο συντεταγμένων από την εξίσωση y= 0, ο άξονας τεταγμένων δίνεται στο επίπεδο συντεταγμένων από την εξίσωση Χ = 0.

Δήλωση 1. Απόσταση μεταξύ δύο σημείωνεπίπεδο συντεταγμένων

ΕΝΑ 1 (Χ 1 ;y 1) Και ΕΝΑ 2 (Χ 2 ;y 2)

υπολογίζεται σύμφωνα με τον τύπο

Απόδειξη . Εξετάστε το σχήμα 6.

Δημοτικό εκπαιδευτικό ίδρυμα Γυμνάσιο Νο 1 KHMAO-Yugra Ανάπτυξη μαθήματος στη 10η τάξη για την άλγεβρα και τις αρχές της ανάλυσης Nadezhda Mikhailovna καθηγητής μαθηματικών Σοβέτσκι Θέμα: ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Τριγωνομετρικές συναρτήσεις Τριγωνομετρικές εξισώσεις Τριγωνομετρικοί μετασχηματισμοί Αριθμός κύκλος ενεργοποιημένος επίπεδο συντεταγμένων Το μάθημα διδάσκεται με χρήση τεχνολογίας block-modular. Αυτό το μάθημα είναι ένα από τα μαθήματα για την εκμάθηση νέου υλικού. Επομένως, ο κύριος χρόνος του μαθήματος αφιερώνεται στην εκμάθηση νέου υλικού και οι μαθητές κάνουν το μεγαλύτερο μέρος αυτής της εργασίας ανεξάρτητα. Είδη δραστηριοτήτων των μαθητών στο μάθημα: μετωπική, ανεξάρτητη και ατομική εργασία. Δεδομένου ότι χρειάζεται να γίνει πολλή δουλειά σε ένα μάθημα και τα αποτελέσματα των δραστηριοτήτων των μαθητών πρέπει να παρακολουθούνται, χρησιμοποιείται ένας διαδραστικός πίνακας στα στάδια της ενημέρωσης της γνώσης και της εκμάθησης νέου υλικού. Για μια πιο οπτική αναπαράσταση της επικάλυψης του κύκλου αριθμών στο επίπεδο συντεταγμένων και για προβληματισμό σχετικά με το περιεχόμενο του εκπαιδευτικού υλικού στο τέλος της εκπαιδευτικής συνεδρίας, χρησιμοποιούνται επίσης παρουσιάσεις Power Point. εκπαιδευτικός Μάθετε να αποκτάτε ανεξάρτητα γνώση γαλουχώντας Καλλιεργήστε την ψυχραιμία, την υπευθυνότητα, την επιμέλεια ανάπτυξη Μάθετε να αναλύετε, να συγκρίνετε, να χτίζετε αναλογίες Πλάνο μαθήματος: 1) Οργανωτική στιγμή, θέμα, σκοπός μαθήματος 2 ελάχ. 2) Ενημέρωση γνώσεων 4 ελάχ. 3) Εκμάθηση νέου υλικού 30 ελάχ. 4) Αντανάκλαση 3 ελάχ. 5) Περίληψη του μαθήματος 1 ελάχ. Οργάνωση χρόνου Αριθμητικός κύκλος επίπεδο συντεταγμένων θεωρήστε τον αριθμητικό κύκλο στο επίπεδο συντεταγμένων. Βρείτε μαζί τις συντεταγμένες δύο σημείων. στη συνέχεια συντάσσουν ανεξάρτητα πίνακες τιμών συντεταγμένων άλλων κύριων σημείων του κύκλου. δοκιμάστε την ικανότητά σας να βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων σε έναν κύκλο αριθμών. Ενημέρωση γνώσεων Στο μάθημα της Γεωμετρίας της 9ης τάξης μελετήσαμε τα εξής υλικό: Σε ένα μοναδιαίο ημικύκλιο (R = 1) θεωρήσαμε ένα σημείο Μ με συντεταγμένες ΧΚαι στο Αποσπάσματα από εγχειρίδιο γεωμετρίας Έχοντας μάθει να βρίσκει τις συντεταγμένες ενός σημείου στον κύκλο μονάδας, Ας προχωρήσουμε εύκολα στα άλλα ονόματά τους: ημίτονο και συνημίτονο, δηλ. στο κύριο θέμα - ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Η πρώτη εργασία δίνεται στον διαδραστικό πίνακα, όπου οι μαθητές πρέπει να τοποθετήσουν τις τελείες και τους αντίστοιχους αριθμούς τους σε σημεία στον κύκλο αριθμών, σύροντάς τες με το δάχτυλό τους στον πίνακα. Ασκηση 1 Πήραμε το αποτέλεσμα: Η δεύτερη εργασία δίνεται στον διαδραστικό πίνακα. Οι απαντήσεις κλείνονται με «αυλαία» και αποκαλύπτονται καθώς λύνονται. Εργασία 2 Αποτέλεσμα της εργασίας: Εκμάθηση νέου υλικού Ας πάρουμε ένα σύστημα συντεταγμένων και ας βάλουμε έναν κύκλο αριθμών έτσι ώστε τα κέντρα τους να συμπίπτουν και η οριζόντια ακτίνα του κύκλου να συμπίπτει με τη θετική κατεύθυνση του άξονα OX (παρουσίαση Power Point) Ως αποτέλεσμα, έχουμε σημεία που ανήκουν τόσο στον αριθμητικό κύκλο όσο και στο επίπεδο συντεταγμένων. Ας εξετάσουμε ένα από αυτά τα σημεία, για παράδειγμα, το σημείο M (παρουσίαση Power Point) Μ(t) Ας σχεδιάσουμε τις συντεταγμένες αυτού του σημείου Ας βρούμε τις συντεταγμένες των σημείων που μας ενδιαφέρουν στον μοναδιαίο κύκλο, που θεωρήσαμε νωρίτερα με παρονομαστές 4, 3, 6 και αριθμητή π. Βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου στον μοναδιαίο κύκλο που αντιστοιχεί στον αριθμό και, κατά συνέπεια, στη γωνία Εργασία 3 (Παρουσίαση powerpoint) Ας απεικονίσουμε την ακτίνα και τις συντεταγμένες του σημείου Με το Πυθαγόρειο θεώρημα έχουμε Χ 2+ x 2 = 12 Όμως οι γωνίες του τριγώνου είναι π/4 = 45° , Αυτό σημαίνει ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές και x = y Βρείτε τις συντεταγμένες ενός σημείου στον μοναδιαίο κύκλο που αντιστοιχεί στους αριθμούς (γωνίες) Εργασία 4 (Παρουσίαση powerpoint) Που σημαίνει στο= 1/2 Σύμφωνα με το Πυθαγόρειο θεώρημα Τα τρίγωνα είναι ίσα στην υποτείνουσα και οξεία γωνία, που σημαίνει ότι τα πόδια τους είναι ίσα Στο προηγούμενο μάθημα, οι μαθητές έλαβαν φύλλα με κενά αριθμητικών κύκλων και διάφορους πίνακες. Συμπληρώστε τον πρώτο πίνακα. Εργασία 5 (διαδραστικός πίνακας) Αρχικά, εισάγετε στον πίνακα τα σημεία του κύκλου που είναι πολλαπλάσια του 2 και του 4 Έλεγχος του αποτελέσματος: (διαδραστικός πίνακας) Συμπληρώστε μόνοι σας τις τεταγμένες και τις τετμημένες αυτών των σημείων στον πίνακα, λαμβάνοντας υπόψη τις συντεταγμένες, ανάλογα με το τέταρτο στο οποίο βρίσκεται το σημείο, χρησιμοποιώντας τα μήκη των τμημάτων που λήφθηκαν παραπάνω για τις συντεταγμένες των σημείων. Εργασία 6 Ένας από τους μαθητές ονομάζει τα αποτελέσματα που προέκυψαν, οι υπόλοιποι ελέγχουν τις απαντήσεις τους και, στη συνέχεια, για να διορθώσουν με επιτυχία τα αποτελέσματα (καθώς αυτοί οι πίνακες θα χρησιμοποιηθούν αργότερα στην εργασία για την ανάπτυξη δεξιοτήτων και την εμβάθυνση της γνώσης στο θέμα), εμφανίζεται ένας σωστά συμπληρωμένος πίνακας στον διαδραστικό πίνακα. Έλεγχος του αποτελέσματος: (διαδραστικός πίνακας) Συμπληρώστε τον δεύτερο πίνακα. Εργασία 7 (διαδραστικός πίνακας) Πρώτα εισάγετε στον πίνακα τα σημεία του κύκλου που είναι πολλαπλάσια του 3 και του 6 Έλεγχος του αποτελέσματος: (διαδραστικός πίνακας) Συμπληρώστε μόνοι σας στον πίνακα τις τεταγμένες και τα τετμημένα αυτών των σημείων Εργασία 8 Έλεγχος του αποτελέσματος: (διαδραστικός πίνακας) (Παρουσίαση powerpoint) Ας κάνουμε μια σύντομη μαθηματική υπαγόρευση ακολουθούμενη από αυτοέλεγχο. 1) Βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων του μοναδιαίου κύκλου: Επιλογή 2 1 επιλογή 2) Να βρείτε την τετμημένη των σημείων του μοναδιαίου κύκλου: 1) Βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων στον μοναδιαίο κύκλο Επιλογή 2 1 επιλογή 2) Να βρείτε την τετμημένη των σημείων του μοναδιαίου κύκλου έλεγξε τον εαυτό σου 3) Να βρείτε τις τεταγμένες των σημείων του μοναδιαίου κύκλου: Για τον εαυτό σας, μπορείτε να σημειώσετε "5" για 4 ολοκληρωμένα παραδείγματα, "4" για 3 παραδείγματα και σημειώστε "3" για 2 παραδείγματα Συνοψίζοντας το μάθημα 1) Στο μέλλον, για να βρούμε τις τιμές του ημιτόνου, του συνημιτίου, της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης των σημείων και των γωνιών, είναι απαραίτητο να μάθουμε από τους συμπληρωμένους πίνακες τις τιμές των συντεταγμένων των σημείων που ανήκουν στο πρώτο τέταρτο γιατί περαιτέρω θα μάθουμε να εκφράζουμε τις τιμές συντεταγμένων όλων των άλλων σημείων μέσω των τιμών των σημείων του πρώτου τριμήνου. 2) Προετοιμάστε θεωρητικές ερωτήσεις για τεστ. Εργασία για το σπίτι: Περίληψη μαθήματος Ο βαθμός δίνεται στους μαθητές που εργάστηκαν πιο ενεργά στο μάθημα. Η εργασία όλων των μαθητών δεν βαθμολογείται, αφού τα λάθη διορθώνονται αμέσως κατά τη διάρκεια του μαθήματος. Η υπαγόρευση έγινε για αυτοέλεγχο.

Εξίσωση κύκλου στο επίπεδο συντεταγμένων

|ΕΝΑ 1 ΕΝΑ 2 | 2 = = (Χ 2 -Χ 1) 2 + (y 2 -y 1) 2 .

(1)

Ως εκ τούτου,

Q.E.D.

Εξίσωση κύκλου στο επίπεδο συντεταγμένων

Ας εξετάσουμε στο επίπεδο συντεταγμένων Oxy (Εικ. 7) έναν κύκλο ακτίνας R με κέντρο στο σημείο ΕΝΑ 0 (Χ 0 ;y 0) .

Μάθημα και παρουσίαση με θέμα: "Αριθμητικός κύκλος στο επίπεδο συντεταγμένων"

Πρόσθετα υλικά
Αγαπητοί χρήστες, μην ξεχάσετε να αφήσετε τα σχόλια, τις κριτικές, τις επιθυμίες σας! Όλα τα υλικά έχουν ελεγχθεί από ένα πρόγραμμα προστασίας από ιούς.

Εγχειρίδια και προσομοιωτές στο ηλεκτρονικό κατάστημα Integral για τον βαθμό 10 από 1C
Αλγεβρικά προβλήματα με παραμέτρους, τάξεις 9–11
Λύνουμε προβλήματα στη γεωμετρία. Διαδραστικές εργασίες κατασκευής για τις τάξεις 7-10

Τι θα μελετήσουμε:
1. Ορισμός.
2. Σημαντικές συντεταγμένες του κύκλου των αριθμών.
3. Πώς να βρείτε τη συντεταγμένη του κύκλου των αριθμών;
4. Πίνακας με τις κύριες συντεταγμένες του αριθμητικού κύκλου.
5. Παραδείγματα επίλυσης προβλημάτων.

Ορισμός του κύκλου αριθμών στο επίπεδο συντεταγμένων

Ας τοποθετήσουμε τον αριθμητικό κύκλο στο επίπεδο συντεταγμένων έτσι ώστε το κέντρο του κύκλου να συμπίπτει με την αρχή των συντεταγμένων και να πάρουμε την ακτίνα του ως τμήμα μονάδας. Το σημείο εκκίνησης του αριθμητικού κύκλου Α συνδυάζεται με το σημείο (1;0).

Κάθε σημείο στον κύκλο αριθμών έχει τις δικές του συντεταγμένες x και y στο επίπεδο συντεταγμένων και:
1) για $x > 0$, $y > 0$ - το πρώτο τρίμηνο.
2) για $ x 0 $ - το δεύτερο τρίμηνο.
3) για $x 4) για $x > 0$, $y
Για οποιοδήποτε σημείο $M(x; y)$ στον αριθμητικό κύκλο ικανοποιούνται οι ακόλουθες ανισότητες: $-1
Θυμηθείτε την εξίσωση του κύκλου των αριθμών: $x^2 + y^2 = 1$.

Είναι σημαντικό για εμάς να μάθουμε πώς να βρίσκουμε τις συντεταγμένες των σημείων στον αριθμητικό κύκλο που παρουσιάζεται στο σχήμα.

Ας βρούμε τη συντεταγμένη του σημείου $\frac(π)(4)$

Το σημείο $M(\frac(π)(4))$ είναι το μέσο του πρώτου τριμήνου. Ας ρίξουμε την κάθετη MR από το σημείο M στην ευθεία OA και ας θεωρήσουμε το τρίγωνο OMP, αφού το τόξο AM είναι το μισό του τόξου AB, τότε $∠MOP=45°$.
Αυτό σημαίνει ότι το τρίγωνο OMP είναι ισοσκελές ορθογώνιο τρίγωνο και $OP=MP$, δηλ. στο σημείο Μ η τετμημένη και η τεταγμένη είναι ίσες: $x = y$.
Εφόσον οι συντεταγμένες του σημείου $M(x;y)$ ικανοποιούν την εξίσωση του κύκλου των αριθμών, τότε για να τις βρείτε πρέπει να λύσετε το σύστημα εξισώσεων:
$\αρχή (περιπτώσεις) x^2 + y^2 = 1, \\ x = y. \end (περιπτώσεις)$
Έχοντας λύσει αυτό το σύστημα, λαμβάνουμε: $y = x =\frac(\sqrt(2))(2)$.
Αυτό σημαίνει ότι οι συντεταγμένες του σημείου M που αντιστοιχεί στον αριθμό $\frac(π)(4)$ θα είναι $M(\frac(π)(4))=M(\frac(\sqrt(2))( 2);\frac (\sqrt(2))(2))$.
Οι συντεταγμένες των σημείων που παρουσιάζονται στο προηγούμενο σχήμα υπολογίζονται με παρόμοιο τρόπο.

Συντεταγμένες σημείων στον αριθμητικό κύκλο

Ας δούμε παραδείγματα

Παράδειγμα 1.
Βρείτε τη συντεταγμένη ενός σημείου στον αριθμητικό κύκλο: $P(45\frac(π)(4))$.

Λύση:
$45\frac(π)(4) = (10 + \frac(5)(4)) * π = 10π +5\frac(π)(4) = 5\frac(π)(4) + 2π*5 $.
Αυτό σημαίνει ότι ο αριθμός $45\frac(π)(4)$ αντιστοιχεί στο ίδιο σημείο στον αριθμητικό κύκλο με τον αριθμό $\frac(5π)(4)$. Εξετάζοντας την τιμή του σημείου $\frac(5π)(4)$ στον πίνακα, παίρνουμε: $P(\frac(45π)(4))=P(-\frac(\sqrt(2))( 2);-\frac (\sqrt(2))(2))$.

Παράδειγμα 2.
Βρείτε τη συντεταγμένη ενός σημείου στον αριθμητικό κύκλο: $P(-\frac(37π)(3))$.

Λύση:

Επειδή οι αριθμοί $t$ και $t+2π*k$, όπου k είναι ακέραιος αριθμός, αντιστοιχούν στο ίδιο σημείο στον αριθμητικό κύκλο, τότε:
$-\frac(37π)(3) = -(12 + \frac(1)(3))*π = -12π –\frac(π)(3) = -\frac(π)(3) + 2π *(-6)$.
Αυτό σημαίνει ότι ο αριθμός $-\frac(37π)(3)$ αντιστοιχεί στο ίδιο σημείο στον αριθμητικό κύκλο με τον αριθμό $–\frac(π)(3)$ και τον αριθμό –$\frac(π) Το (3)$ αντιστοιχεί στο ίδιο σημείο με το $\frac(5π)(3)$. Εξετάζοντας την τιμή του σημείου $\frac(5π)(3)$ στον πίνακα, παίρνουμε:
$P(-\frac(37π)(3))=P(\frac((1))(2);-\frac(\sqrt(3))(2))$.

Παράδειγμα 3.
Βρείτε σημεία στον κύκλο αριθμών με τεταγμένη $y =\frac(1)(2)$ και γράψτε σε ποιους αριθμούς $t$ αντιστοιχούν;

Λύση:
Η ευθεία $y =\frac(1)(2)$ τέμνει τον αριθμητικό κύκλο στα σημεία M και P. Το σημείο M αντιστοιχεί στον αριθμό $\frac(π)(6)$ (από τα δεδομένα του πίνακα). Αυτό σημαίνει οποιονδήποτε αριθμό της μορφής: $\frac(π)(6)+2π*k$. Το σημείο P αντιστοιχεί στον αριθμό $\frac(5π)(6)$, και επομένως σε οποιονδήποτε αριθμό της μορφής $\frac(5π)(6) +2 π*k$.
Λάβαμε, όπως λέγεται συχνά σε τέτοιες περιπτώσεις, δύο σειρές τιμών:
$\frac(π)(6) +2 π*k$ και $\frac(5π)(6) +2π*k$.
Απάντηση: $t=\frac(π)(6) +2 π*k$ και $t=\frac(5π)(6) +2π*k$.

Παράδειγμα 4.
Βρείτε σημεία στον κύκλο αριθμών με τετμημένη $x≥-\frac(\sqrt(2))(2)$ και γράψτε σε ποιους αριθμούς $t$ αντιστοιχούν.

Λύση:

Η ευθεία $x =-\frac(\sqrt(2))(2)$ τέμνει τον αριθμητικό κύκλο στα σημεία M και P. Η ανισότητα $x≥-\frac(\sqrt(2))(2)$ αντιστοιχεί στα σημεία του τόξου ΠΜ. Το σημείο M αντιστοιχεί στον αριθμό $3\frac(π)(4)$ (από τα δεδομένα του πίνακα). Αυτό σημαίνει οποιονδήποτε αριθμό της μορφής $-\frac(3π)(4) +2π*k$. Το σημείο P αντιστοιχεί στον αριθμό $-\frac(3π)(4)$, και επομένως σε οποιονδήποτε αριθμό της μορφής $-\frac(3π)(4) +2π*k$.

Τότε παίρνουμε $-\frac(3π)(4) +2 π*k ≤t≤\frac(3π)(4) +2πk$.

Απάντηση: $-\frac(3π)(4) +2 π*k ≤t≤\frac(3π)(4) +2πk$.

Προβλήματα προς επίλυση ανεξάρτητα

1) Βρείτε τη συντεταγμένη ενός σημείου στον αριθμητικό κύκλο: $P(\frac(61π)(6))$.
2) Βρείτε τη συντεταγμένη ενός σημείου στον αριθμητικό κύκλο: $P(-\frac(52π)(3))$.
3) Βρείτε σημεία στον κύκλο αριθμών με τεταγμένη $y = -\frac(1)(2)$ και γράψτε σε ποιους αριθμούς $t$ αντιστοιχούν.
4) Βρείτε σημεία στον κύκλο αριθμών με τεταγμένη $y ≥ -\frac(1)(2)$ και γράψτε σε ποιους αριθμούς $t$ αντιστοιχούν.
5) Βρείτε σημεία στον κύκλο αριθμών με την τετμημένη $x≥-\frac(\sqrt(3))(2)$ και γράψτε σε ποιους αριθμούς $t$ αντιστοιχούν.

Ημερομηνία: Μάθημα1
θέμα: Αριθμητικός κύκλος σε μια γραμμή συντεταγμένων

Στόχοι:Εισαγάγετε την έννοια ενός μοντέλου κύκλου αριθμών σε καρτεσιανά και καμπυλόγραμμα συστήματα συντεταγμένων. να αναπτύξει την ικανότητα να βρίσκει τις καρτεσιανές συντεταγμένες σημείων σε έναν κύκλο αριθμών και να εκτελεί την αντίθετη ενέργεια: γνωρίζοντας τις καρτεσιανές συντεταγμένες ενός σημείου, προσδιορίζει την αριθμητική του τιμή στον αριθμητικό κύκλο.

Κατά τη διάρκεια των μαθημάτων

Ι. Οργανωτική στιγμή.

II. Επεξήγηση νέου υλικού.

1. Έχοντας τοποθετήσει τον αριθμητικό κύκλο στο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων, αναλύουμε λεπτομερώς τις ιδιότητες των σημείων στον κύκλο αριθμών που βρίσκονται σε διαφορετικά τέταρτα συντεταγμένων.

Για ένα σημείο ΜΟ αριθμητικός κύκλος χρησιμοποιεί τον συμβολισμό Μ(t), αν μιλάμε για την καμπυλόγραμμη συντεταγμένη ενός σημείου Μ, ή εγγραφή Μ (Χ;στο), αν μιλάμε για καρτεσιανές συντεταγμένες ενός σημείου.

2. Εύρεση των καρτεσιανών συντεταγμένων των «καλών» σημείων στον αριθμητικό κύκλο. Είναι να προχωρήσουμε από το δίσκο Μ(t) Προς την Μ (Χ;στο).

3. Βρίσκοντας τα σημάδια των συντεταγμένων των «κακών» σημείων στον αριθμητικό κύκλο. Αν, για παράδειγμα, Μ(2) = Μ (Χ;στο), Οτι Χ 0; στο 0. (Τα παιδιά μαθαίνουν να προσδιορίζουν τα σημάδια των τριγωνομετρικών συναρτήσεων χρησιμοποιώντας τα τέταρτα του κύκλου των αριθμών.)

1. Αρ. 5.1 (α; β), αρ. 5.2 (α; β), αρ. 5.3 (α; β).

Αυτή η ομάδα εργασιών στοχεύει στην ανάπτυξη της ικανότητας εύρεσης των καρτεσιανών συντεταγμένων των «καλών» σημείων στον κύκλο αριθμών.

Λύση:

№ 5.1 (ΕΝΑ).

2. Αρ. 5.4 (α; β), Νο. 5.5 (α; β).

Αυτή η ομάδα εργασιών στοχεύει στην ανάπτυξη των δεξιοτήτων για την εύρεση των καμπυλόγραμμων συντεταγμένων ενός σημείου χρησιμοποιώντας τις καρτεσιανές συντεταγμένες του.

Λύση:

№ 5.5 (σι).

3. Αρ. 5.10 (α; β).

Αυτή η άσκηση στοχεύει στην ανάπτυξη της ικανότητας εύρεσης των καρτεσιανών συντεταγμένων των «κακών» σημείων.

V. Περίληψη μαθήματος.

Ερωτήσεις για μαθητές:

– Τι είναι ένα μοντέλο – ένας αριθμητικός κύκλος σε ένα επίπεδο συντεταγμένων;

– Πώς, γνωρίζοντας τις καμπυλόγραμμες συντεταγμένες ενός σημείου στον αριθμητικό κύκλο, βρίσκουμε τις καρτεσιανές συντεταγμένες του και το αντίστροφο;

Εργασία για το σπίτι:Νο. 5.1 (γ; δ) – 5.5 (γ; δ), Νο. 5.10 (γ; δ).

Ημερομηνία: Μάθημα2
ΘΕΜΑ: Επίλυση προβλημάτων χρησιμοποιώντας το μοντέλο «αριθμητικός κύκλος στο επίπεδο συντεταγμένων».

Στόχοι:να συνεχίσει να αναπτύσσει την ικανότητα να μετακινείται από τις καμπυλόγραμμες συντεταγμένες ενός σημείου σε έναν κύκλο αριθμών σε καρτεσιανές συντεταγμένες. αναπτύξουν την ικανότητα να βρίσκουν σημεία στον αριθμητικό κύκλο των οποίων οι συντεταγμένες ικανοποιούν μια δεδομένη εξίσωση ή ανισότητα.

Κατά τη διάρκεια των μαθημάτων

Ι. Οργανωτική στιγμή.

II. Προφορική εργασία.

1. Ονομάστε τις καμπυλόγραμμες και καρτεσιανές συντεταγμένες των σημείων στον αριθμητικό κύκλο.

2. Συγκρίνετε το τόξο στον κύκλο και την αναλυτική του σημειογραφία.

III. Επεξήγηση νέου υλικού.

2. Εύρεση σημείων στον αριθμητικό κύκλο των οποίων οι συντεταγμένες ικανοποιούν τη δεδομένη εξίσωση.

Ας δούμε τα παραδείγματα 2 και 3 με σελ. 41–42 σχολικά βιβλία.

Η σημασία αυτού του «παιχνιδιού» είναι προφανής: οι μαθητές προετοιμάζονται να λύσουν τις απλούστερες τριγωνομετρικές εξισώσεις της φόρμας Για να κατανοήσουν την ουσία του θέματος, οι μαθητές θα πρέπει πρώτα από όλα να διδαχθούν να λύνουν αυτές τις εξισώσεις χρησιμοποιώντας τον αριθμητικό κύκλο, χωρίς να προχωρήσουν. σε έτοιμες φόρμουλες.

Όταν εξετάζουμε ένα παράδειγμα εύρεσης σημείου με τετμημένη, εφιστούμε την προσοχή των μαθητών στη δυνατότητα συνδυασμού δύο σειρών απαντήσεων σε έναν τύπο:

3. Εύρεση σημείων στον αριθμητικό κύκλο των οποίων οι συντεταγμένες ικανοποιούν μια δεδομένη ανίσωση.

Ας δούμε τα παραδείγματα 4–7 από τη σελ. 43–44 σχολικά βιβλία. Επιλύοντας τέτοια προβλήματα προετοιμάζουμε τους μαθητές να λύσουν τριγωνομετρικές ανισότητες της μορφής

Αφού εξετάσουν τα παραδείγματα, οι μαθητές μπορούν να διατυπώσουν ανεξάρτητα αλγόριθμος λύσεις ανισοτήτων του υποδεικνυόμενου τύπου:

1) από το αναλυτικό μοντέλο περνάμε στο γεωμετρικό μοντέλο - τόξο ΚΥΡΙΟΣκύκλος αριθμών?

2) αποτελούν τον πυρήνα της αναλυτικής εγγραφής ΚΥΡΙΟΣ; για το τόξο που παίρνουμε

3) κάντε ένα γενικό αρχείο:

IV. Διαμόρφωση δεξιοτήτων και ικανοτήτων.

1η ομάδα. Εύρεση σημείου στον κύκλο αριθμών με συντεταγμένη που να ικανοποιεί μια δεδομένη εξίσωση.

Νο. 5.6 (α; β) – Αρ. 5.9 (α; β).

Κατά τη διαδικασία εργασίας σε αυτές τις ασκήσεις, εξασκούμε την εκτέλεση βήμα προς βήμα: καταγραφή του πυρήνα ενός σημείου, αναλυτική καταγραφή.

2η ομάδα. Εύρεση σημείων στον αριθμητικό κύκλο με συντεταγμένη που να ικανοποιεί μια δεδομένη ανισότητα.

Αρ. 5.11 (α; β) – 5.14 (α; β).

Η κύρια δεξιότητα που πρέπει να αποκτήσουν οι μαθητές όταν εκτελούν αυτές τις ασκήσεις είναι η κατάρτιση του πυρήνα μιας αναλυτικής σημειογραφίας του τόξου.

V. Ανεξάρτητη εργασία.

Επιλογή 1

1. Σημειώστε ένα σημείο στον κύκλο αριθμών που αντιστοιχεί σε έναν δεδομένο αριθμό και βρείτε τις καρτεσιανές συντεταγμένες του:

2. Βρείτε σημεία στον αριθμητικό κύκλο με δεδομένη τετμημένη και γράψτε ποιους αριθμούς tταιριάζουν.

3. Σημειώστε στους αριθμούς κύκλους σημεία με μια τεταγμένη που να ικανοποιεί την ανίσωση και σημειώστε, χρησιμοποιώντας τη διπλή ανισότητα, ποιους αριθμούς tταιριάζουν.

Επιλογή 2

1. Σημειώστε ένα σημείο στον αριθμητικό κύκλο που αντιστοιχεί σε έναν δεδομένο αριθμό και βρείτε τις καρτεσιανές συντεταγμένες του:

2. Βρείτε σημεία στον αριθμητικό κύκλο με μια δεδομένη τεταγμένη στο= 0,5 και γράψτε ποιους αριθμούς tταιριάζουν.

3. Σημειώστε στον αριθμό κύκλου τα σημεία με την τετμημένη που ικανοποιούν την ανίσωση και σημειώστε, χρησιμοποιώντας τη διπλή ανίσωση, ποιους αριθμούς tταιριάζουν.

VI. Περίληψη μαθήματος.

Ερωτήσεις για μαθητές:

– Πώς να βρείτε ένα σημείο σε έναν κύκλο του οποίου η τετμημένη ικανοποιεί μια δεδομένη εξίσωση;

– Πώς να βρείτε ένα σημείο σε έναν κύκλο του οποίου η τεταγμένη ικανοποιεί μια δεδομένη εξίσωση;

– Ονομάστε τον αλγόριθμο για την επίλυση ανισώσεων χρησιμοποιώντας τον αριθμητικό κύκλο.

Εργασία για το σπίτι:Νο. 5.6 (γ; δ) – Νο. 5.9 (γ; δ),

Νο. 5.11 (γ; δ) – Αρ. 5.14 (γ; δ).

Αρκετός χρόνος αφιερώνεται στον αριθμητικό κύκλο στη 10η τάξη. Αυτό οφείλεται στη σημασία αυτού του μαθηματικού αντικειμένου για ολόκληρο το μάθημα των μαθηματικών.

Η σωστή επιλογή των διδακτικών βοηθημάτων έχει μεγάλη σημασία για την καλή γνώση της ύλης. Τα πιο αποτελεσματικά τέτοια εργαλεία περιλαμβάνουν εκπαιδευτικά βίντεο. Πρόσφατα έχουν φτάσει στην κορυφή της δημοτικότητας. Ως εκ τούτου, ο συγγραφέας δεν έμεινε πίσω από τους χρόνους και ανέπτυξε ένα τόσο υπέροχο εγχειρίδιο για να βοηθήσει τους δασκάλους μαθηματικών - ένα μάθημα βίντεο με θέμα "Αριθμός κύκλος στο επίπεδο συντεταγμένων".

Αυτό το μάθημα διαρκεί 15:22 λεπτά. Αυτός είναι πρακτικά ο μέγιστος χρόνος που μπορεί να αφιερώσει ένας δάσκαλος για να εξηγήσει ανεξάρτητα υλικό για ένα θέμα. Δεδομένου ότι χρειάζεται τόσος χρόνος για να εξηγηθεί νέο υλικό, είναι απαραίτητο να επιλέξετε τις πιο αποτελεσματικές εργασίες και ασκήσεις για ενοποίηση και επίσης να επιλέξετε ένα άλλο μάθημα όπου οι μαθητές θα λύσουν εργασίες σχετικά με αυτό το θέμα.

Το μάθημα ξεκινά με μια εικόνα ενός κύκλου αριθμών σε ένα σύστημα συντεταγμένων. Ο συγγραφέας χτίζει αυτόν τον κύκλο και εξηγεί τις πράξεις του. Στη συνέχεια ο συγγραφέας ονομάζει τα σημεία τομής του αριθμητικού κύκλου με τους άξονες συντεταγμένων. Το παρακάτω εξηγεί τι συντεταγμένες θα έχουν τα σημεία του κύκλου σε διαφορετικά τέταρτα.

Μετά από αυτό, ο συγγραφέας σας υπενθυμίζει πώς μοιάζει η εξίσωση ενός κύκλου. Και οι ακροατές παρουσιάζονται με δύο μοντέλα που απεικονίζουν ορισμένα σημεία στον κύκλο. Χάρη σε αυτό, στο επόμενο βήμα ο συγγραφέας δείχνει πώς να βρει τις συντεταγμένες των σημείων στον κύκλο που αντιστοιχούν σε ορισμένους αριθμούς που σημειώνονται στα πρότυπα. Αυτό παράγει έναν πίνακα τιμών για τις μεταβλητές x και y στην εξίσωση ενός κύκλου.

Στη συνέχεια, προτείνουμε να εξετάσουμε ένα παράδειγμα όπου είναι απαραίτητο να προσδιοριστούν οι συντεταγμένες των σημείων σε έναν κύκλο. Πριν ξεκινήσει η επίλυση του παραδείγματος, εισάγεται κάποια παρατήρηση που βοηθά στην επίλυσή του. Και τότε μια ολοκληρωμένη, σαφώς δομημένη και εικονογραφημένη λύση εμφανίζεται στην οθόνη. Υπάρχουν επίσης πίνακες εδώ που διευκολύνουν την κατανόηση της ουσίας του παραδείγματος.

Στη συνέχεια εξετάζονται έξι ακόμη παραδείγματα, τα οποία είναι λιγότερο χρονοβόρα από το πρώτο, αλλά όχι λιγότερο σημαντικά και αντικατοπτρίζουν την κύρια ιδέα του μαθήματος. Εδώ οι λύσεις παρουσιάζονται πλήρεις, με αναλυτική ιστορία και στοιχεία σαφήνειας. Δηλαδή, η λύση περιέχει σχέδια που απεικονίζουν την πρόοδο της λύσης και μια μαθηματική σημειογραφία που σχηματίζει τον μαθηματικό γραμματισμό των μαθητών.

Ο δάσκαλος μπορεί να περιοριστεί στα παραδείγματα που συζητήθηκαν στο μάθημα, αλλά αυτό μπορεί να μην είναι αρκετό για μια ποιοτική εκμάθηση του υλικού. Επομένως, η επιλογή εργασιών για ενίσχυση είναι απλώς εξαιρετικά σημαντική.

Το μάθημα μπορεί να είναι χρήσιμο όχι μόνο για τους εκπαιδευτικούς, των οποίων ο χρόνος είναι συνεχώς περιορισμένος, αλλά και για τους μαθητές. Ειδικά για όσους λαμβάνουν οικογενειακή εκπαίδευση ή ασχολούνται με την αυτοεκπαίδευση. Τα υλικά μπορούν να χρησιμοποιηθούν από όσους μαθητές έχασαν ένα μάθημα σχετικά με αυτό το θέμα.

ΑΠΟΚΩΔΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ:

Το θέμα του μαθήματός μας είναι «ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΣΥΝΤΟΝΤΙΝΩΝ»

Γνωρίζουμε ήδη το καρτεσιανό ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων xOy (x o y). Σε αυτό το σύστημα συντεταγμένων, θα τοποθετήσουμε τον αριθμητικό κύκλο έτσι ώστε το κέντρο του κύκλου να ευθυγραμμίζεται με την αρχή των συντεταγμένων και η ακτίνα του θα λαμβάνεται ως τμήμα κλίμακας.

Το σημείο εκκίνησης Α του κύκλου αριθμών συνδυάζεται με ένα σημείο με συντεταγμένες (1;0), B - με σημείο (0;1), C - με (-1;0) (μείον ένα, μηδέν) και D - με (0; - 1) (μηδέν, μείον ένα).

(βλέπε σχήμα 1)

Εφόσον κάθε σημείο στον κύκλο αριθμών έχει τις δικές του συντεταγμένες στο σύστημα xOy (x o y), τότε για τα σημεία του πρώτου τετάρτου το yx είναι μεγαλύτερο από το μηδέν και το y είναι μεγαλύτερο από το μηδέν.

Δεύτερον, το ikx είναι μικρότερο από το μηδέν και το yk είναι μεγαλύτερο από το μηδέν,

για σημεία του τρίτου τετάρτου το ikx είναι μικρότερο από το μηδέν και το yk είναι μικρότερο από το μηδέν,

και για το τέταρτο τέταρτο το ikx είναι μεγαλύτερο από το μηδέν και το yk είναι μικρότερο από το μηδέν

Για οποιοδήποτε σημείο E (x;y) (με συντεταγμένες x, y) του αριθμητικού κύκλου, οι ανισώσεις -1≤ x≤ 1, -1≤y≤1 (το x είναι μεγαλύτερο ή ίσο με μείον ένα, αλλά μικρότερο από ή ίσο με ένα?

Θυμηθείτε ότι η εξίσωση ενός κύκλου ακτίνας R με κέντρο στην αρχή έχει τη μορφή x 2 + y 2 = R 2 (x τετράγωνο συν y τετράγωνο ισούται με er τετράγωνο). Και για τον μοναδιαίο κύκλο R = 1, άρα παίρνουμε x 2 + y 2 = 1

(x τετράγωνο συν y τετράγωνο ισούται με ένα).

Ας βρούμε τις συντεταγμένες των σημείων στον κύκλο αριθμών, οι οποίες παρουσιάζονται σε δύο διατάξεις (βλ. Εικ. 2, 3)

Έστω το σημείο Ε, που αντιστοιχεί στο

(pi με τέσσερα) - τα μέσα του πρώτου τριμήνου που φαίνεται στο σχήμα. Από το σημείο Ε χαμηλώνουμε την κάθετη ΕΚ στην ευθεία ΟΑ και θεωρούμε το τρίγωνο ΟΕΚ. Γωνία ΑΟΕ =45 0, αφού το τόξο ΑΕ είναι το μισό του τόξου ΑΒ. Επομένως, το τρίγωνο ΟΕΚ είναι ισοσκελές ορθογώνιο τρίγωνο, για το οποίο ΟΚ = ΕΚ. Αυτό σημαίνει ότι η τετμημένη και η τεταγμένη του σημείου Ε είναι ίσες, δηλ. x ισοδυναμεί με παιχνίδι. Για να βρούμε τις συντεταγμένες του σημείου Ε, λύνουμε το σύστημα των εξισώσεων: (το x ισούται με y - η πρώτη εξίσωση του συστήματος και το x τετράγωνο συν το τετράγωνο είναι ίσο με ένα - η δεύτερη εξίσωση του συστήματος). εξίσωση του συστήματος, αντί για x, αντικαθιστούμε το y, παίρνουμε 2y 2 = 1 (δύο y τετράγωνο είναι ίσο με ένα), από όπου y = = (το y είναι ίσο με ένα διαιρούμενο με τη ρίζα του δύο είναι ίσο με το ρίζα του δύο διαιρούμενο με δύο) (η τεταγμένη είναι θετική Αυτό σημαίνει ότι το σημείο Ε στο ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων έχει συντεταγμένες (,) (ρίζα δύο διαιρούμενα με δύο, ρίζα δύο διαιρούμενα με δύο).

Συλλογίζοντας με παρόμοιο τρόπο, βρίσκουμε τις συντεταγμένες για τα σημεία που αντιστοιχούν σε άλλους αριθμούς της πρώτης διάταξης και παίρνουμε: το αντίστοιχο σημείο είναι με συντεταγμένες (- ,) (μείον ρίζα δύο διαιρούμενο με δύο, ρίζα δύο διαιρούμενο με δύο) ; for - (- ,-) (μείον ρίζα δύο διαιρούμενο με δύο, μείον ρίζα δύο διαιρούμενο με δύο)· για (επτά πι πάνω από τέσσερα) (,)(ρίζα δύο διαιρούμενη με δύο, μείον τη ρίζα δύο διαιρούμενη με δύο).

Έστω το σημείο D αντιστοιχεί στο (Εικ. 5). Ας ρίξουμε την κάθετο από το DP(de pe) στο OA και ας θεωρήσουμε το τρίγωνο ODP. Η υποτείνουσα αυτού του τριγώνου OD είναι ίση με την ακτίνα του μοναδιαίου κύκλου, δηλαδή ένα, και η γωνία DOP είναι ίση με τριάντα μοίρες, αφού τόξο AD = digi AB (a de ισούται με το ένα τρίτο a be) και τόξο ΑΒ ισούται με ενενήντα μοίρες. Επομένως, DP = (de pe ισούται με το μισό O de είναι ίσο με το ένα μισό) Αφού το πόδι που βρίσκεται απέναντι από τη γωνία των τριάντα μοιρών είναι ίσο με το ήμισυ της υποτείνουσας, δηλαδή, y = (y είναι ίσο με το ένα μισό) . Εφαρμόζοντας το Πυθαγόρειο θεώρημα, λαμβάνουμε OR 2 = OD 2 - DP 2 (o pe τετράγωνο ισούται με o de τετράγωνο μείον de pe τετράγωνο), αλλά OR = x (o pe ίσον x). Αυτό σημαίνει x 2 = OD 2 - DP 2 =

Αυτό σημαίνει x 2 = (το x τετράγωνο είναι ίσο με τρία τέταρτα) και x = (το x είναι ίσο με τη ρίζα του τρεις φορές δύο).

Το Χ είναι θετικό, γιατί είναι στο πρώτο τρίμηνο. Βρήκαμε ότι το σημείο D σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων έχει συντεταγμένες (,) ρίζα τριών διαιρεμένων με δύο, ένα μισό.

Συλλογίζοντας με παρόμοιο τρόπο, θα βρούμε τις συντεταγμένες για τα σημεία που αντιστοιχούν σε άλλους αριθμούς της δεύτερης διάταξης και θα γράψουμε όλα τα δεδομένα που λαμβάνονται στους πίνακες:

Ας δούμε παραδείγματα.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1. Βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων στον κύκλο αριθμών: α) C 1 ();

β) C 2 (); c) C3 (41π); δ) C 4 (- 26π). (tse ένα αντιστοιχεί σε τριάντα πέντε pi επί τέσσερα, tse δύο που αντιστοιχούν σε μείον σαράντα εννέα pi επί τρία, tse τρία αντιστοιχούν σε σαράντα ένα pi, tse τέσσερα που αντιστοιχούν σε μείον είκοσι έξι pi).

Λύση. Ας χρησιμοποιήσουμε τη δήλωση που λήφθηκε νωρίτερα: αν το σημείο D του κύκλου αριθμών αντιστοιχεί στον αριθμό t, τότε αντιστοιχεί σε οποιονδήποτε αριθμό της μορφής t + 2πk(te συν δύο κορυφές), όπου ka είναι οποιοσδήποτε ακέραιος αριθμός, δηλ. kϵZ (το ka ανήκει στο z).

α) Παίρνουμε = ∙ π = (8 +) ∙π = + 2π ∙ 4. (τριάντα πέντε pi επί τέσσερα ίσον τριάντα πέντε επί τέσσερα, πολλαπλασιαζόμενο με π ισούται με το άθροισμα οκτώ και τρία τέταρτα, πολλαπλασιαζόμενο με το pi ίσον τρία pi επί τέσσερα συν το γινόμενο δύο pi επί τέσσερα Αυτό σημαίνει ότι ο αριθμός τριάντα πέντε pi επί τέσσερα αντιστοιχεί στο ίδιο σημείο στον κύκλο αριθμών με τον αριθμό τρία pi επί τέσσερα). Χρησιμοποιώντας τον Πίνακα 1, παίρνουμε C 1 () = C 1 (- ;) .

β) Παρόμοια με τις συντεταγμένες C 2: = ∙ π = - (16 + ∙π = + 2π ∙ (- 8) Αυτό σημαίνει ότι ο αριθμός

αντιστοιχεί στο ίδιο σημείο στον αριθμητικό κύκλο με τον αριθμό. Και ο αριθμός αντιστοιχεί στο ίδιο σημείο στον κύκλο αριθμών με τον αριθμό

(εμφάνιση δεύτερης διάταξης και πίνακα 2). Για ένα σημείο έχουμε x = , y =.

γ) 41π = 40π + π = π + 2π ∙ 20. Αυτό σημαίνει ότι ο αριθμός 41π αντιστοιχεί στο ίδιο σημείο στον αριθμητικό κύκλο με τον αριθμό π - αυτό είναι ένα σημείο με συντεταγμένες (-1; 0).

δ) - 26π = 0 + 2π ∙ (- 13), δηλαδή, ο αριθμός - 26π αντιστοιχεί στο ίδιο σημείο στον κύκλο αριθμών με τον αριθμό μηδέν - αυτό είναι ένα σημείο με συντεταγμένες (1;0).

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2. Βρείτε σημεία στον αριθμητικό κύκλο με τεταγμένη y =

Λύση. Η ευθεία y = τέμνει τον αριθμητικό κύκλο σε δύο σημεία. Η μία τελεία αντιστοιχεί σε έναν αριθμό, η δεύτερη τελεία αντιστοιχεί σε έναν αριθμό,

Επομένως, παίρνουμε όλα τα σημεία προσθέτοντας μια πλήρη περιστροφή 2πk όπου το k δείχνει πόσες πλήρεις στροφές κάνει το σημείο, δηλ. παίρνουμε

και για οποιονδήποτε αριθμό όλοι οι αριθμοί της μορφής + 2πk. Συχνά σε τέτοιες περιπτώσεις λένε ότι έλαβαν δύο σειρές τιμών: + 2πk, + 2πk.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 3. Βρείτε σημεία στον αριθμητικό κύκλο με τετμημένη x = και γράψτε σε ποιους αριθμούς t αντιστοιχούν.

Λύση. Ευθεία Χ= τέμνει τον αριθμητικό κύκλο σε δύο σημεία. Μία τελεία αντιστοιχεί σε έναν αριθμό (δείτε τη δεύτερη διάταξη),

και επομένως οποιοσδήποτε αριθμός της μορφής + 2πk. Και το δεύτερο σημείο αντιστοιχεί σε έναν αριθμό, και επομένως σε οποιονδήποτε αριθμό της μορφής + 2πk. Αυτές οι δύο σειρές τιμών μπορούν να καλυφθούν σε μία καταχώρηση: ± + 2πk (συν μείον δύο pi επί τρία συν δύο pi).

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 4. Βρείτε σημεία με τεταγμένη στον αριθμητικό κύκλο στο> και γράψτε σε ποιους αριθμούς t αντιστοιχούν.

Η ευθεία γραμμή y = τέμνει τον αριθμητικό κύκλο σε δύο σημεία M και P. Και η ανισότητα y > αντιστοιχεί στα σημεία του ανοιχτού τόξου MR, αυτό σημαίνει τόξα χωρίς άκρα (δηλαδή χωρίς u), όταν κινείται γύρω από τον κύκλο αριστερόστροφα , ξεκινώντας από το σημείο M και τελειώνοντας στο σημείο P. Αυτό σημαίνει ότι ο πυρήνας της αναλυτικής σημειογραφίας του τόξου MR είναι η ανισότητα< t < (тэ больше, чем пи на три, но меньше двух пи на три) , а сама аналитическая запись дуги имеет вид + 2πk < t < + 2πk(тэ больше, чем пи на три плюс два пи ка, но меньше двух пи на три плюс два пи ка).

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 5. Βρείτε τεταγμένες στον κύκλο αριθμών στο < и записать, каким числам t они соответствуют.

Η ευθεία y = τέμνει τον αριθμητικό κύκλο σε δύο σημεία M και P. Και η ανίσωση y< соответствуют точки открытой дуги РМ при движении по окружности против часовой стрелки, начиная с точки Р, а заканчивая в точке М. Значит, ядром аналитической записи дуги РМ является неравенство < t < (тэ больше, чем минус четыре пи на три, но меньше пи на три) , а сама аналитическая запись дуги имеет вид

2πk< t < + 2πk (тэ больше, чем минус четыре пи на три плюс два пи ка, но меньше пи на три плюс два пи ка).

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 6. Βρείτε σημεία με τετμημένη στον αριθμητικό κύκλο Χ> και γράψτε σε ποιους αριθμούς t αντιστοιχούν.

Η ευθεία x = τέμνει τον αριθμητικό κύκλο σε δύο σημεία M και P. Η ανισότητα x > αντιστοιχεί στα σημεία του ανοιχτού τόξου PM όταν κινείται κατά μήκος του κύκλου αριστερόστροφα με την αρχή στο σημείο P, που αντιστοιχεί, και το τέλος στο σημείο Μ, που αντιστοιχεί. Αυτό σημαίνει ότι ο πυρήνας της αναλυτικής σημειογραφίας του τόξου PM είναι η ανισότητα< t <

(το te είναι μεγαλύτερο από μείον δύο pi επί τρία, αλλά μικρότερο από δύο pi επί τρία), και η αναλυτική σημειογραφία του ίδιου του τόξου έχει τη μορφή + 2πk< t < + 2πk (тэ больше, чем минус два пи на три плюс два пи ка, но меньше двух пи на три плюс два пи ка).

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 7. Βρείτε σημεία με τετμημένη στον αριθμητικό κύκλο Χ < и записать, каким числам t они соответствуют.

Η ευθεία x = τέμνει τον αριθμητικό κύκλο σε δύο σημεία M και P. Ανισότητα x< соответствуют точки открытой дуги МР при движении по окружности против часовой стрелки с началом в точке М, которая соответствует, и концом в точке Р, которая соответствует. Значит, ядром аналитической записи дуги МР является неравенство < t <

(te είναι περισσότερο από δύο pi επί τρία, αλλά λιγότερο από τέσσερα pi επί τρία), και η αναλυτική σημείωση του ίδιου του τόξου έχει τη μορφή + 2πk< t < + 2πk (тэ больше, чем два пи на три плюс два пи ка, но меньше четырех пи на три плюс два пи ка).

 

---

Ανάγνωση:
Ονόματα λουλουδιών στα αγγλικά για παιδιά Διεθνή Πιστοποιητικά Αγγλικών Διεθνές Τεστ Αγγλικής Επάρκειας Modal verbs Necessity: have to, must, need to, should, ought to After πρέπει να χρησιμοποιείται Γιατί ονειρεύεστε νέες κάλτσες διαφορετικών χρωμάτων; Γιατί ονειρεύονται οι μεθυσμένοι: ερμηνεία του ονείρου Αν ονειρευτείτε έναν μεθυσμένο άνδρα