Η επίλυση γεωμετρικών προβλημάτων απαιτεί τεράστιο όγκο γνώσεων. Ένας από τους θεμελιώδεις ορισμούς αυτής της επιστήμης είναι ένα ορθογώνιο τρίγωνο.

Αυτή η έννοια σημαίνει ότι αποτελείται από τρεις γωνίες και

πλευρές, με μία από τις γωνίες να είναι 90 μοίρες. Οι πλευρές που σχηματίζουν μια ορθή γωνία ονομάζονται πόδια και η τρίτη πλευρά, που είναι απέναντι από αυτήν, ονομάζεται υποτείνουσα.

Εάν τα σκέλη σε ένα τέτοιο σχήμα είναι ίσα, ονομάζεται ισοσκελές ορθογώνιο τρίγωνο. Σε αυτή την περίπτωση, υπάρχει ένταξη σε δύο, που σημαίνει ότι τηρούνται οι ιδιότητες και των δύο ομάδων. Ας θυμηθούμε ότι οι γωνίες στη βάση ενός ισοσκελούς τριγώνου είναι απολύτως πάντα ίσες, επομένως οι οξείες γωνίες ενός τέτοιου σχήματος θα περιλαμβάνουν 45 μοίρες.

Η παρουσία μιας από τις ακόλουθες ιδιότητες μας επιτρέπει να δηλώσουμε ότι ένα ορθογώνιο τρίγωνο είναι ίσο με ένα άλλο:

1. οι πλευρές δύο τριγώνων είναι ίσες.
2. οι φιγούρες έχουν την ίδια υποτείνουσα και ένα από τα πόδια.
3. η υποτείνουσα και οποιαδήποτε από τις οξείες γωνίες είναι ίσες.
4. πληρούται η προϋπόθεση ισότητας του σκέλους και της οξείας γωνίας.

Το εμβαδόν ενός ορθογώνιου τριγώνου υπολογίζεται εύκολα τόσο χρησιμοποιώντας τυπικούς τύπους όσο και ως τιμή ίση με το μισό γινόμενο των ποδιών του.

Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο παρατηρούνται οι εξής σχέσεις:

1. το πόδι δεν είναι τίποτα άλλο παρά ο μέσος όρος ανάλογος της υποτείνουσας και της προβολής του πάνω της.
2. Εάν περιγράφετε έναν κύκλο γύρω από ένα ορθογώνιο τρίγωνο, το κέντρο του θα βρίσκεται στο μέσο της υποτείνουσας.
3. το ύψος που τραβιέται από τη σωστή γωνία είναι ο μέσος όρος ανάλογος των προεξοχών των σκελών του τριγώνου στην υποτείνυσή του.

Το ενδιαφέρον είναι ότι ανεξάρτητα από το ορθογώνιο τρίγωνο, αυτές οι ιδιότητες γίνονται πάντα σεβαστές.

Πυθαγόρειο θεώρημα

Εκτός από τις παραπάνω ιδιότητες, τα ορθογώνια τρίγωνα χαρακτηρίζονται από την ακόλουθη συνθήκη:

Αυτό το θεώρημα πήρε το όνομά του από τον ιδρυτή του - το Πυθαγόρειο θεώρημα. Ανακάλυψε αυτή τη σχέση όταν μελετούσε τις ιδιότητες των τετραγώνων που χτίστηκαν πάνω

Για να αποδείξουμε το θεώρημα, κατασκευάζουμε ένα τρίγωνο ΑΒΓ, τα σκέλη του οποίου συμβολίζουμε ως α και β και την υποτείνουσα ως γ. Στη συνέχεια θα φτιάξουμε δύο τετράγωνα. Για το ένα, η πλευρά θα είναι η υποτείνουσα, για την άλλη, το άθροισμα δύο ποδιών.

Τότε το εμβαδόν του πρώτου τετραγώνου μπορεί να βρεθεί με δύο τρόπους: ως το άθροισμα των εμβαδών τεσσάρων τριγώνων ABC και του δεύτερου τετραγώνου, ή ως το τετράγωνο της πλευράς, φυσικά, αυτοί οι λόγοι θα είναι ίσοι. Ήτοι:

με 2 + 4 (ab/2) = (a + b) 2, μετασχηματίζουμε την παράσταση που προκύπτει:

c 2 +2 ab = a 2 + b 2 + 2 ab

Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε: c 2 = a 2 + b 2

Έτσι, το γεωμετρικό σχήμα ενός ορθογωνίου τριγώνου αντιστοιχεί όχι μόνο σε όλες τις ιδιότητες που χαρακτηρίζουν τα τρίγωνα. Η παρουσία μιας ορθής γωνίας οδηγεί στο γεγονός ότι το σχήμα έχει άλλες μοναδικές σχέσεις. Η μελέτη τους θα είναι χρήσιμη όχι μόνο στην επιστήμη, αλλά και στην καθημερινή ζωή, αφού ένα τέτοιο σχήμα όπως ένα ορθογώνιο τρίγωνο βρίσκεται παντού.

Πλευρά έναμπορεί να αναγνωριστεί ως δίπλα στη γωνία ΒΚαι απέναντι από τη γωνία Α, και το πλάι σι- Πώς δίπλα στη γωνία ΑΚαι απέναντι από τη γωνία Β.

Τύποι ορθογώνιων τριγώνων

• Αν τα μήκη και των τριών πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι ακέραιοι, τότε το τρίγωνο λέγεται Πυθαγόρειο τρίγωνο, και τα μήκη των πλευρών του σχηματίζουν τα λεγόμενα Πυθαγόρειο τριπλό.

Σκηνικά θέατρου

Υψος

Ύψος ορθογωνίου τριγώνου.

Τριγωνομετρικοί λόγοι

Αφήνω ηΚαι μικρό (η>μικρό) πλευρές δύο τετραγώνων εγγεγραμμένων σε ορθογώνιο τρίγωνο με υποτείνουσα ντο. Τότε:

Η περίμετρος ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι ίση με το άθροισμα των ακτίνων των εγγεγραμμένων και τριών περιγεγραμμένων κύκλων.

Σημειώσεις

Εδαφος διά παιγνίδι γκολφ

• Weisstein, Eric W. Right Triangle (Αγγλικά) στον ιστότοπο Wolfram MathWorld.
• Wentworth G.A.Ένα Βιβλίο Γεωμετρίας. - Ginn & Co., 1895.

Ίδρυμα Wikimedia.

• 2010.
• Ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο

Άμεσο κόστος

ορθογώνιο τρίγωνο- - Θέματα βιομηχανίας πετρελαίου και φυσικού αερίου EN ορθογώνιο τρίγωνο ... Οδηγός Τεχνικού Μεταφραστή

ΤΡΙΓΩΝΟ- και (απλό) τρίγωνο, τρίγωνο, άνθρωπος. 1. Γεωμετρικό σχήμα, που οριοθετούνται από τρεις αμοιβαία τεμνόμενες γραμμές που σχηματίζουν τρεις εσωτερικές γωνίες(χαλάκι.). Αμβλύ τρίγωνο. Οξύ τρίγωνο. Ορθογώνιο τρίγωνο...... Επεξηγηματικό Λεξικό του Ουσάκοφ

ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΣ- Ορθογώνιο, ορθογώνιο, ορθογώνιο (γεωμ.). Έχοντας ορθή γωνία (ή ορθές γωνίες). Ορθογώνιο τρίγωνο. Ορθογώνια σχήματα. Επεξηγηματικό λεξικό του Ουσάκοφ. D.N. Ο Ουσάκοφ. 1935 1940... Επεξηγηματικό Λεξικό του Ουσάκοφ

Τρίγωνο- Αυτός ο όρος έχει άλλες έννοιες, βλέπε Τρίγωνο (έννοιες). Ένα τρίγωνο (στον Ευκλείδειο χώρο) είναι ένα γεωμετρικό σχήμα που σχηματίζεται από τρία τμήματα που συνδέουν τρία σημεία που δεν βρίσκονται στην ίδια ευθεία. Τρεις τελείες,... ...Βικιπαίδεια

τρίγωνο- ▲ ένα πολύγωνο με τρεις γωνίες, ένα τρίγωνο, το απλούστερο πολύγωνο. ορίζεται από 3 σημεία που δεν βρίσκονται στην ίδια ευθεία. τριγωνικός. οξεία γωνία. οξεία γωνία. ορθογώνιο τρίγωνο: πόδι. υποτείνουσα. ισοσκελές τρίγωνο. ▼…… Ιδεογραφικό λεξικό της ρωσικής γλώσσας

ΤΡΙΓΩΝΟ- ΤΡΙΓΩΝΟ, ε, σύζυγος. 1. Ένα γεωμετρικό σχήμα, ένα πολύγωνο με τρεις γωνίες, καθώς και οποιοδήποτε αντικείμενο ή συσκευή αυτού του σχήματος. Ορθογώνιο τ. Ξύλινο (για σχέδιο). Τ. Στρατιώτη (επιστολή στρατιώτη χωρίς φάκελο, διπλωμένο στη γωνία, πτυσσόμενο). 2... Επεξηγηματικό Λεξικό Ozhegov

Τρίγωνο (πολύγωνο)- Τρίγωνα: 1 οξύ, ορθογώνιο και αμβλύ. 2 κανονικές (ισόπλευρες) και ισοσκελές. 3 διχοτόμοι? 4 διάμεσοι και κέντρο βάρους. 5 ύψη? 6 ορθόκεντρο; 7 μεσαία γραμμή. ΤΡΙΓΩΝΟ, πολύγωνο με 3 πλευρές. Μερικές φορές κάτω από ... ... Εικονογραφημένο Εγκυκλοπαιδικό Λεξικό

τρίγωνο Εγκυκλοπαιδικό Λεξικό

τρίγωνο- Α; m 1) α) Γεωμετρικό σχήμα που οριοθετείται από τρεις τεμνόμενες ευθείες που σχηματίζουν τρεις εσωτερικές γωνίες. Ορθογώνιο, ισοσκελές τρίγωνο. Υπολογίστε το εμβαδόν του τριγώνου. β) εξωτ. τι ή με def. Μια φιγούρα ή αντικείμενο αυτού του σχήματος... ... Λεξικό πολλών εκφράσεων

Τρίγωνο- Α; m 1. Γεωμετρικό σχήμα που οριοθετείται από τρεις τεμνόμενες γραμμές που σχηματίζουν τρεις εσωτερικές γωνίες. Ορθογώνιο, ισοσκελές t Υπολογίστε το εμβαδόν του τριγώνου. // τι ή με def. Φιγούρα ή αντικείμενο αυτού του σχήματος. Τ. στέγες. Τ.…… Εγκυκλοπαιδικό Λεξικό

Ενδιάμεσο επίπεδο

Ορθογώνιο τρίγωνο. The Complete Illustrated Guide (2019)

ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ. ΕΠΙΠΕΔΟ ΕΙΣΟΔΟΥ.

Στα προβλήματα, η σωστή γωνία δεν είναι καθόλου απαραίτητη - η κάτω αριστερή, επομένως πρέπει να μάθετε να αναγνωρίζετε ένα ορθογώνιο τρίγωνο σε αυτήν τη μορφή,

και σε αυτό

και σε αυτό

Τι καλό έχει ένα ορθογώνιο τρίγωνο; Λοιπόν... πρώτα από όλα, υπάρχουν ειδικές όμορφα ονόματαγια τις πλευρές του.

Προσοχή στο σχέδιο!

Θυμηθείτε και μην μπερδεύετε: υπάρχουν δύο πόδια, και υπάρχει μόνο μία υποτείνουσα(ένα και μοναδικό, μοναδικό και μεγαλύτερο)!

Λοιπόν, συζητήσαμε τα ονόματα, τώρα το πιο σημαντικό πράγμα: το Πυθαγόρειο Θεώρημα.

Πυθαγόρειο θεώρημα.

Αυτό το θεώρημα είναι το κλειδί για την επίλυση πολλών προβλημάτων που αφορούν ένα ορθογώνιο τρίγωνο. Το απέδειξε ο Πυθαγόρας σε εντελώς αμνημονεύτων χρόνων, και από τότε έχει φέρει πολλά οφέλη σε όσους το γνωρίζουν. Και το καλύτερο είναι ότι είναι απλό.

Ετσι, Πυθαγόρειο θεώρημα:

Θυμάστε το αστείο: «Το πυθαγόρειο παντελόνι είναι ίσο από όλες τις πλευρές!»;

Ας σχεδιάσουμε αυτά τα ίδια πυθαγόρεια παντελόνια και ας τα δούμε.

Δεν μοιάζει με κάποιο σορτς; Λοιπόν, σε ποιες πλευρές και πού είναι ίσες; Γιατί και από πού προήλθε το αστείο; Και αυτό το αστείο συνδέεται ακριβώς με το Πυθαγόρειο θεώρημα, ή ακριβέστερα με τον τρόπο που ο ίδιος ο Πυθαγόρας διατύπωσε το θεώρημά του. Και το διατύπωσε ως εξής:

"Ποσό περιοχές των τετραγώνων, χτισμένο στα πόδια, ισούται με τετραγωνική έκταση, χτισμένο πάνω στην υποτείνουσα».

Αλήθεια ακούγεται λίγο διαφορετικό; Και έτσι, όταν ο Πυθαγόρας σχεδίασε τη δήλωση του θεωρήματός του, αυτή είναι ακριβώς η εικόνα που βγήκε.

Σε αυτήν την εικόνα, το άθροισμα των εμβαδών των μικρών τετραγώνων είναι ίσο με το εμβαδόν του μεγάλου τετραγώνου. Και για να θυμούνται καλύτερα τα παιδιά ότι το άθροισμα των τετραγώνων των ποδιών είναι ίσο με το τετράγωνο της υποτείνουσας, κάποιος πνευματώδης σκέφτηκε αυτό το αστείο για το πυθαγόρειο παντελόνι.

Γιατί διατυπώνουμε τώρα το Πυθαγόρειο θεώρημα;

Υπέφερε ο Πυθαγόρας και μίλησε για τετράγωνα;

Βλέπετε, στα αρχαία χρόνια δεν υπήρχε... άλγεβρα! Δεν υπήρχαν σημάδια και ούτω καθεξής. Δεν υπήρχαν επιγραφές. Μπορείτε να φανταστείτε πόσο τρομερό ήταν για τους φτωχούς αρχαίους μαθητές να θυμούνται τα πάντα με λέξεις;;! Και μπορούμε να χαιρόμαστε που έχουμε μια απλή διατύπωση του Πυθαγόρειου θεωρήματος. Ας το επαναλάβουμε για να το θυμόμαστε καλύτερα:

Θα πρέπει να είναι εύκολο τώρα:

Λοιπόν, το πιο σημαντικό θεώρημα για τα ορθογώνια τρίγωνα έχει συζητηθεί. Αν σας ενδιαφέρει πώς αποδεικνύεται, διαβάστε τα παρακάτω επίπεδα θεωρίας, και τώρα πάμε παρακάτω... στο σκοτεινό δάσος... τριγωνομετρία! Στις φοβερές λέξεις ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένη και συνεφαπτομένη.

Ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένη, συνεφαπτομένη σε ορθογώνιο τρίγωνο.

Στην πραγματικότητα, δεν είναι όλα τόσο τρομακτικά. Φυσικά, ο «πραγματικός» ορισμός του ημιτονοειδούς, συνημίτονος, εφαπτομένης και συνεφαπτομένης θα πρέπει να εξεταστεί στο άρθρο. Αλλά πραγματικά δεν θέλω, έτσι δεν είναι; Μπορούμε να χαρούμε: για να λύσετε προβλήματα σχετικά με ένα ορθογώνιο τρίγωνο, μπορείτε απλά να συμπληρώσετε τα ακόλουθα απλά πράγματα:

Γιατί όλα είναι στη γωνία; Πού είναι η γωνία; Για να το καταλάβετε αυτό, πρέπει να ξέρετε πώς γράφονται με λέξεις οι προτάσεις 1 - 4. Κοίτα, κατάλαβε και θυμήσου!

1.
Στην πραγματικότητα ακούγεται κάπως έτσι:

Τι γίνεται με τη γωνία; Υπάρχει πόδι που είναι απέναντι από τη γωνία, δηλαδή απέναντι (για γωνία) πόδι; Φυσικά και υπάρχει! Αυτό είναι ένα πόδι!

Τι γίνεται με τη γωνία; Κοιτάξτε προσεκτικά. Ποιο πόδι είναι δίπλα στη γωνία; Φυσικά, το πόδι. Αυτό σημαίνει ότι για τη γωνία το πόδι είναι γειτονικό, και

Τώρα, δώστε προσοχή! Δείτε τι έχουμε:

Δείτε πόσο cool είναι:

Τώρα ας περάσουμε στην εφαπτομένη και την συνεφαπτομένη.

Πώς μπορώ να το γράψω με λόγια τώρα; Τι είναι το πόδι σε σχέση με τη γωνία; Απέναντι, φυσικά - «βρίσκεται» απέναντι από τη γωνία. Τι γίνεται με το πόδι; Δίπλα στη γωνία. Τι έχουμε λοιπόν;

Δείτε πώς έχουν ανταλλάξει τις θέσεις ο αριθμητής και ο παρονομαστής;

Και τώρα πάλι οι γωνίες και έγινε ανταλλαγή:

Περίληψη

Ας γράψουμε εν συντομία όλα όσα μάθαμε.

Πυθαγόρειο θεώρημα:

Το κύριο θεώρημα για τα ορθογώνια τρίγωνα είναι το Πυθαγόρειο θεώρημα.

Πυθαγόρειο θεώρημα

Παρεμπιπτόντως, θυμάσαι καλά τι είναι τα πόδια και η υποτείνουσα; Εάν δεν είναι πολύ καλό, τότε δείτε την εικόνα - ανανεώστε τις γνώσεις σας

Είναι πολύ πιθανό να έχετε ήδη χρησιμοποιήσει το Πυθαγόρειο θεώρημα πολλές φορές, αλλά έχετε αναρωτηθεί ποτέ γιατί ισχύει ένα τέτοιο θεώρημα; Πώς μπορώ να το αποδείξω; Ας κάνουμε όπως οι αρχαίοι Έλληνες. Ας σχεδιάσουμε ένα τετράγωνο με μια πλευρά.

Δείτε πόσο έξυπνα χωρίσαμε τα πλαϊνά του σε μήκη και!

Τώρα ας συνδέσουμε τις σημειωμένες κουκκίδες

Εδώ, ωστόσο, σημειώσαμε κάτι άλλο, αλλά εσείς οι ίδιοι κοιτάτε το σχέδιο και σκέφτεστε γιατί συμβαίνει αυτό.

Ποιο είναι το εμβαδόν του μεγαλύτερου τετραγώνου;

Σωστά,.

Τι γίνεται με μια μικρότερη περιοχή;

Σίγουρα,.

Το συνολικό εμβαδόν των τεσσάρων γωνιών παραμένει. Φανταστείτε ότι τα πήραμε δύο τη φορά και τα ακουμπούσαμε το ένα πάνω στο άλλο με τις υποτείνυσές τους.

Τι συνέβη; Δύο ορθογώνια. Αυτό σημαίνει ότι η περιοχή των "κοψίματος" είναι ίση.

Ας τα βάλουμε όλα μαζί τώρα.

Ας μεταμορφώσουμε:

Επισκεφτήκαμε λοιπόν τον Πυθαγόρα - αποδείξαμε το θεώρημά του με αρχαίο τρόπο.

Ορθογώνιο τρίγωνο και τριγωνομετρία

Για ένα ορθογώνιο τρίγωνο ισχύουν οι ακόλουθες σχέσεις:

Το ημίτονο μιας οξείας γωνίας είναι ίσο με το λόγο της αντίθετης πλευράς προς την υποτείνουσα

Το συνημίτονο μιας οξείας γωνίας είναι ίσο με την αναλογία του διπλανού σκέλους προς την υποτείνουσα.

Η εφαπτομένη μιας οξείας γωνίας είναι ίση με τον λόγο της απέναντι πλευράς προς τη διπλανή πλευρά.

Η συνεφαπτομένη μιας οξείας γωνίας είναι ίση με την αναλογία της διπλανής πλευράς προς την αντίθετη πλευρά.

Και για άλλη μια φορά όλα αυτά με τη μορφή tablet:

Είναι πολύ βολικό!

Σημάδια ισότητας ορθογωνίων τριγώνων

I. Από δύο πλευρές

II. Με το πόδι και την υπόταση

III. Με υποτείνουσα και οξεία γωνία

IV. Κατά μήκος του ποδιού και οξεία γωνία

ένα)

σι)

Προσοχή! Είναι πολύ σημαντικό εδώ τα πόδια να είναι «κατάλληλα». Για παράδειγμα, αν πάει ως εξής:

ΤΟΤΕ ΤΑ ΤΡΙΓΩΝΑ ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ ΙΣΑ, παρά το γεγονός ότι έχουν μια ίδια οξεία γωνία.

Είναι απαραίτητο αυτό και στα δύο τρίγωνα το πόδι ήταν δίπλα, ή και στα δύο ήταν απέναντι.

Έχετε παρατηρήσει πώς διαφέρουν τα σημάδια ισότητας ορθογωνίων τριγώνων από τα συνηθισμένα σημάδια ισότητας τριγώνων;

Κοιτάξτε το θέμα «και δώστε προσοχή στο γεγονός ότι για την ισότητα των «συνηθισμένων» τριγώνων, τρία από τα στοιχεία τους πρέπει να είναι ίσα: δύο πλευρές και η μεταξύ τους γωνία, δύο γωνίες και η πλευρά μεταξύ τους ή τρεις πλευρές.

Για την ισότητα όμως των ορθογωνίων τριγώνων αρκούν μόνο δύο αντίστοιχα στοιχεία. Τέλεια, σωστά;

Η κατάσταση είναι περίπου η ίδια με τα σημάδια ομοιότητας των ορθογωνίων τριγώνων.

Σημάδια ομοιότητας ορθογωνίων τριγώνων

I. Κατά μήκος οξείας γωνίας

II. Σε δύο πλευρές

III. Με το πόδι και την υπόταση

Διάμεσος σε ορθογώνιο τρίγωνο

Γιατί συμβαίνει αυτό;

Αντί για ορθογώνιο τρίγωνο, σκεφτείτε ένα ολόκληρο ορθογώνιο.

Ας σχεδιάσουμε μια διαγώνιο και ας εξετάσουμε ένα σημείο - το σημείο τομής των διαγωνίων. Τι είναι γνωστό για τις διαγώνιες ενός ορθογωνίου;

Και τι προκύπτει από αυτό;

Έτσι αποδείχθηκε ότι

1. - διάμεσος:

Θυμηθείτε αυτό το γεγονός! Βοηθάει πολύ!

Αυτό που προκαλεί ακόμη μεγαλύτερη έκπληξη είναι ότι ισχύει και το αντίθετο.

Τι ωφέλιμο μπορεί να ληφθεί από το γεγονός ότι η διάμεσος που σύρεται στην υποτείνουσα είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας; Ας δούμε την εικόνα

Κοιτάξτε προσεκτικά. Έχουμε: , δηλαδή, οι αποστάσεις από το σημείο και στις τρεις κορυφές του τριγώνου αποδείχθηκαν ίσες. Αλλά υπάρχει μόνο ένα σημείο στο τρίγωνο, οι αποστάσεις από το οποίο και από τις τρεις κορυφές του τριγώνου είναι ίσες, και αυτό είναι το ΚΕΝΤΡΟ ΤΟΥ ΚΥΚΛΟΥ. Τι έγινε λοιπόν;

Ας ξεκινήσουμε λοιπόν με αυτό το «εκτός...».

Ας δούμε και.

Αλλά παρόμοια τρίγωνα έχουν όλες ίσες γωνίες!

Το ίδιο μπορεί να ειπωθεί για και

Τώρα ας το σχεδιάσουμε μαζί:

Τι όφελος μπορεί να αποκομίσει αυτή η «τριπλή» ομοιότητα;

Λοιπόν, για παράδειγμα - δύο τύποι για το ύψος ενός ορθογωνίου τριγώνου.

Ας γράψουμε τις σχέσεις των αντίστοιχων μερών:

Για να βρούμε το ύψος, λύνουμε την αναλογία και παίρνουμε ο πρώτος τύπος "Ύψος σε ορθογώνιο τρίγωνο":

Ας εφαρμόσουμε λοιπόν την ομοιότητα: .

Τι θα γίνει τώρα;

Και πάλι λύνουμε την αναλογία και παίρνουμε τον δεύτερο τύπο:

Πρέπει να θυμάστε και τους δύο αυτούς τύπους πολύ καλά και να χρησιμοποιήσετε αυτόν που είναι πιο βολικός.

Ας τα ξαναγράψουμε

Πυθαγόρειο θεώρημα:

Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο της υποτείνουσας είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των σκελών: .

Σημάδια ισότητας ορθογωνίων τριγώνων:

• σε δύο πλευρές:
• με το πόδι και την υποτείνουσα: ή
• κατά μήκος του σκέλους και της παρακείμενης οξείας γωνίας: ή
• κατά μήκος του σκέλους και της αντίθετης οξείας γωνίας: ή
• κατά υποτείνουσα και οξεία γωνία: ή.

Σημάδια ομοιότητας ορθογωνίων τριγώνων:

• μια οξεία γωνία: ή
• από την αναλογικότητα δύο ποδιών:
• από την αναλογικότητα του ποδιού και της υποτείνουσας: ή.

Ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένη, συνεφαπτομένη σε ορθογώνιο τρίγωνο

• Το ημίτονο οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου είναι ο λόγος της απέναντι πλευράς προς την υποτείνουσα:
• Το συνημίτονο οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου είναι ο λόγος του διπλανού σκέλους προς την υποτείνουσα:
• Η εφαπτομένη οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου είναι ο λόγος της απέναντι πλευράς προς τη διπλανή πλευρά:
• Η συνεφαπτομένη οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου είναι ο λόγος της διπλανής πλευράς προς την απέναντι πλευρά: .

Ύψος ορθογωνίου τριγώνου: ή.

Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, η διάμεσος που αντλείται από την κορυφή της ορθής γωνίας είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας: .

Εμβαδόν ορθογωνίου τριγώνου:

• μέσω των ποδιών:
• μέσω σκέλους και οξείας γωνίας: .

Λοιπόν, το θέμα τελείωσε. Εάν διαβάζετε αυτές τις γραμμές, σημαίνει ότι είστε πολύ κουλ.

Επειδή μόνο το 5% των ανθρώπων είναι σε θέση να κατακτήσουν κάτι μόνοι τους. Και αν διαβάσεις μέχρι το τέλος, τότε είσαι σε αυτό το 5%!

Τώρα το πιο σημαντικό.

Έχετε κατανοήσει τη θεωρία για αυτό το θέμα. Και, επαναλαμβάνω, αυτό... αυτό είναι απλά σούπερ! Είστε ήδη καλύτεροι από τη συντριπτική πλειοψηφία των συνομηλίκων σας.

Το πρόβλημα είναι ότι αυτό μπορεί να μην είναι αρκετό...

Για τι;

Για επιτυχημένη περνώντας από την Ενιαία Κρατική Εξέταση, για εισαγωγή στο κολέγιο με προϋπολογισμό και, ΤΟ ΠΙΟ ΣΗΜΑΝΤΙΚΟ, δια βίου.

Δεν θα σε πείσω για τίποτα, ένα μόνο θα πω…

Οι άνθρωποι που έχουν λάβει καλή εκπαίδευση κερδίζουν πολύ περισσότερα από εκείνους που δεν την έχουν λάβει. Αυτά είναι στατιστικά στοιχεία.

Αλλά αυτό δεν είναι το κύριο πράγμα.

Το κυριότερο είναι ότι είναι ΠΙΟ ΕΥΤΥΧΙΣΜΕΝΟΙ (υπάρχουν τέτοιες μελέτες). Ίσως γιατί υπάρχουν πολύ περισσότερα ανοιχτά μπροστά τους περισσότερες δυνατότητεςκαι η ζωή γίνεται πιο φωτεινή; Δεν ξέρω...

Σκέψου όμως και μόνος σου...

Τι χρειάζεται για να είσαι σίγουρος ότι θα είσαι καλύτερος από άλλους στις Εξετάσεις του Ενιαίου Κράτους και τελικά θα είσαι... πιο ευτυχισμένος;

ΚΕΡΔΙΣΤΕ ΤΟ ΧΕΡΙ ΣΑΣ ΛΥΝΟΝΤΑΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΑΥΤΟ ΤΟ ΘΕΜΑ.

Δεν θα σας ζητηθεί θεωρία κατά τη διάρκεια της εξέτασης.

θα χρειαστείτε λύνει προβλήματα με το χρόνο.

Και, αν δεν τα έχετε λύσει (ΠΟΛΥ!), σίγουρα θα κάνετε ένα ηλίθιο λάθος κάπου ή απλά δεν θα έχετε χρόνο.

Είναι όπως στον αθλητισμό - πρέπει να το επαναλάβετε πολλές φορές για να κερδίσετε σίγουρα.

Βρείτε τη συλλογή όπου θέλετε, αναγκαστικά με λύσεις, λεπτομερής ανάλυση και αποφασίστε, αποφασίστε, αποφασίστε!

Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τις εργασίες μας (προαιρετικά) και φυσικά τις προτείνουμε.

Προκειμένου να βελτιωθείτε στη χρήση των εργασιών μας, πρέπει να συμβάλετε στην παράταση της διάρκειας ζωής του εγχειριδίου YouClever που διαβάζετε αυτήν τη στιγμή.

Πως; Υπάρχουν δύο επιλογές:

1. Ξεκλειδώστε όλες τις κρυφές εργασίες σε αυτό το άρθρο - 299 τρίψτε.
2. Ξεκλειδώστε την πρόσβαση σε όλες τις κρυφές εργασίες και στα 99 άρθρα του σχολικού βιβλίου - 499 τρίψτε.

Ναι, έχουμε 99 τέτοια άρθρα στο σχολικό μας βιβλίο και η πρόσβαση σε όλες τις εργασίες και όλα τα κρυφά κείμενα σε αυτά μπορεί να ανοίξει αμέσως.

Παρέχεται πρόσβαση σε όλες τις κρυφές εργασίες για ΟΛΗ τη ζωή του ιστότοπου.

Και εν κατακλείδι...

Αν δεν σας αρέσουν οι εργασίες μας, βρείτε άλλες. Απλά μην σταματάς στη θεωρία.

Το «Κατανοούμενο» και το «Μπορώ να λύσω» είναι εντελώς διαφορετικές δεξιότητες. Χρειάζεσαι και τα δύο.

Βρείτε προβλήματα και λύστε τα!

Ορθογώνιο τρίγωνο είναι ένα τρίγωνο του οποίου η μία γωνία είναι ορθή (ίση με 90 0). Επομένως, οι άλλες δύο γωνίες αθροίζονται σε 90 0.

Πλευρές ορθογωνίου τριγώνου

Η πλευρά που βρίσκεται απέναντι από τη γωνία των ενενήντα μοιρών ονομάζεται υποτείνουσα. Οι άλλες δύο πλευρές ονομάζονται πόδια. Η υποτείνουσα είναι πάντα μεγαλύτερη από τα πόδια, αλλά μικρότερη από το άθροισμά τους.

Ορθογώνιο τρίγωνο. Ιδιότητες τριγώνου

Αν το σκέλος βρίσκεται απέναντι από γωνία τριάντα μοιρών, τότε το μήκος του αντιστοιχεί στο μισό μήκος της υποτείνουσας. Από αυτό προκύπτει ότι η γωνία απέναντι από το σκέλος, το μήκος της οποίας αντιστοιχεί στο μισό της υποτείνουσας, είναι ίση με τριάντα μοίρες. Το σκέλος ισούται με τον μέσο όρο της αναλογικής υποτείνουσας και την προβολή που δίνει το πόδι στην υποτείνουσα.

Πυθαγόρειο θεώρημα

Οποιοδήποτε ορθογώνιο τρίγωνο υπακούει στο Πυθαγόρειο θεώρημα. Αυτό το θεώρημα δηλώνει ότι το άθροισμα των τετραγώνων των ποδιών είναι ίσο με το τετράγωνο της υποτείνουσας. Αν υποθέσουμε ότι τα σκέλη είναι ίσα με a και b και η υποτείνουσα είναι c, τότε γράφουμε: a 2 + b 2 = c 2. Το Πυθαγόρειο θεώρημα χρησιμοποιείται για την επίλυση όλων των γεωμετρικών προβλημάτων που αφορούν ορθογώνια τρίγωνα. Θα βοηθήσει επίσης να σχεδιάσετε μια ορθή γωνία ελλείψει των απαραίτητων εργαλείων.

Ύψος και διάμεσος

Ένα ορθογώνιο τρίγωνο χαρακτηρίζεται από το γεγονός ότι τα δύο υψόμετρά του είναι ευθυγραμμισμένα με τα σκέλη του. Για να βρείτε την τρίτη πλευρά, πρέπει να βρείτε το άθροισμα των προβολών των ποδιών στην υποτείνουσα και να διαιρέσετε με δύο. Αν σχεδιάσουμε μια διάμεσο από την κορυφή μιας ορθής γωνίας, θα αποδειχθεί ότι είναι η ακτίνα του κύκλου που περιγράφεται γύρω από το τρίγωνο. Το κέντρο αυτού του κύκλου θα είναι το μέσο της υποτείνουσας.

Ορθογώνιο τρίγωνο. Το εμβαδόν και ο υπολογισμός του

Το εμβαδόν των ορθογωνίων τριγώνων υπολογίζεται χρησιμοποιώντας οποιονδήποτε τύπο για την εύρεση του εμβαδού ενός τριγώνου. Επιπλέον, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε έναν άλλο τύπο: S = a * b / 2, ο οποίος δηλώνει ότι για να βρείτε την περιοχή πρέπει να διαιρέσετε το γινόμενο των μηκών των ποδιών με δύο.

Συνημίτονο, ημίτονο και εφαπτομένη ορθογώνιο τρίγωνο

Το συνημίτονο μιας οξείας γωνίας είναι η αναλογία του σκέλους που βρίσκεται δίπλα στη γωνία προς την υποτείνουσα. Είναι πάντα λιγότερο από ένα. Ημιτόνου είναι η αναλογία του σκέλους που βρίσκεται απέναντι από τη γωνία προς την υποτείνουσα. Εφαπτομένη είναι η αναλογία του σκέλους απέναντι από τη γωνία προς το σκέλος που βρίσκεται δίπλα σε αυτή τη γωνία. Η συμεφαπτομένη είναι ο λόγος της πλευράς που γειτνιάζει με τη γωνία προς την πλευρά απέναντι από τη γωνία. Το συνημίτονο, το ημίτονο, η εφαπτομένη και η συνεφαπτομένη δεν εξαρτώνται από το μέγεθος του τριγώνου. Η τιμή τους επηρεάζεται μόνο από το μέτρο της μοίρας της γωνίας.

Τριγωνική λύση

Για να υπολογίσετε την τιμή του σκέλους απέναντι από τη γωνία, πρέπει να πολλαπλασιάσετε το μήκος της υποτείνουσας με το ημίτονο αυτής της γωνίας ή το μέγεθος του δεύτερου σκέλους με την εφαπτομένη της γωνίας. Για να βρείτε το σκέλος δίπλα σε μια γωνία, είναι απαραίτητο να υπολογίσετε το γινόμενο της υποτείνουσας και του συνημιτόνου της γωνίας.

Ισοσκελές ορθογώνιο τρίγωνο

Αν ένα τρίγωνο έχει ορθή γωνία και ίσες πλευρές, τότε ονομάζεται ισοσκελές ορθογώνιο τρίγωνο. Οι οξείες γωνίες ενός τέτοιου τριγώνου είναι επίσης ίσες - 45 0 η καθεμία. Η διάμεσος, η διχοτόμος και το υψόμετρο από τη σωστή γωνία ενός ισοσκελούς ορθογωνίου τριγώνου είναι τα ίδια.

Ένα τρίγωνο στη γεωμετρία αντιπροσωπεύει ένα από τα βασικά σχήματα. Από τα προηγούμενα μαθήματα, ξέρετε ότι ένα τρίγωνο είναι ένα πολυγωνικό σχήμα που έχει τρεις γωνίες και τρεις πλευρές.

Το τρίγωνο λέγεται ορθογώνιος, αν έχει ορθή γωνία 90 μοίρες.
Ένα ορθογώνιο τρίγωνο έχει δύο κάθετες πλευρές που ονομάζονται πόδια ; ονομάζεται η τρίτη πλευρά του υποτείνουσα . Η υποτείνουσα είναι η μεγαλύτερη πλευρά αυτού του τριγώνου.

• Σύμφωνα με τις ιδιότητες της κάθετης και της πλάγιας, η υποτείνουσα είναι μεγαλύτερη από κάθε σκέλος (αλλά μικρότερη από το άθροισμά τους).
• Το άθροισμα δύο οξειών γωνιών ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι ίσο με μια ορθή γωνία.
• Δύο υψόμετρα ενός ορθογωνίου τριγώνου συμπίπτουν με τα σκέλη του. Επομένως, ένα από τα τέσσερα αξιοσημείωτα σημεία πέφτει στις κορυφές της ορθής γωνίας του τριγώνου.
• Το περίκεντρο ενός ορθογωνίου τριγώνου βρίσκεται στο μέσο της υποτείνουσας.
• Η διάμεσος ενός ορθογωνίου τριγώνου που τραβιέται από την κορυφή της ορθής γωνίας προς την υποτείνουσα είναι η ακτίνα του κύκλου που περιγράφεται γύρω από αυτό το τρίγωνο.

Ιδιότητες και χαρακτηριστικά ορθογωνίων τριγώνων

I – είναι ιδιοκτησία. Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, το άθροισμα των οξειών γωνιών του είναι 90°. Απέναντι από τη μεγαλύτερη πλευρά ενός τριγώνου είναι η μεγαλύτερη γωνία και απέναντι από τη μεγαλύτερη γωνία είναι η μεγαλύτερη πλευρά. Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, η μεγαλύτερη γωνία είναι η ορθή γωνία. Εάν η μεγαλύτερη γωνία σε ένα τρίγωνο είναι μεγαλύτερη από 90°, τότε ένα τέτοιο τρίγωνο παύει να είναι ορθογώνιο, αφού το άθροισμα όλων των γωνιών υπερβαίνει τις 180 μοίρες. Από όλα αυτά προκύπτει ότι η υποτείνουσα είναι η μεγαλύτερη πλευρά του τριγώνου.

II είναι η ιδιοκτησία. Το σκέλος ενός ορθογωνίου τριγώνου, που βρίσκεται απέναντι από μια γωνία 30 μοιρών, είναι ίσο με το ήμισυ της υποτείνουσας.

III – e ιδιοκτησία. Εάν σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο το σκέλος είναι ίσο με το μισό της υποτείνουσας, τότε η γωνία που βρίσκεται απέναντι από αυτό το σκέλος θα είναι ίση με 30 μοίρες.