Η αριθμομηχανή στήλης για συσκευές Android θα είναι ένας υπέροχος βοηθός σύγχρονους μαθητές. Το πρόγραμμα όχι μόνο δίνει τη σωστή απάντηση σε μια μαθηματική πράξη, αλλά δείχνει επίσης ξεκάθαρα τη βήμα προς βήμα λύση της. Εάν χρειάζεστε πιο σύνθετες αριθμομηχανές, μπορείτε να δείτε μια προηγμένη αριθμομηχανή μηχανικής.

Ιδιαιτερότητες

Το κύριο χαρακτηριστικό του προγράμματος είναι η μοναδικότητα του υπολογισμού των μαθηματικών πράξεων. Η εμφάνιση της διαδικασίας υπολογισμού σε μια στήλη επιτρέπει στους μαθητές να εξοικειωθούν με αυτήν με περισσότερες λεπτομέρειες, να κατανοήσουν τον αλγόριθμο λύσης και όχι απλώς να λάβουν το τελικό αποτέλεσμα και να το αντιγράψουν σε ένα σημειωματάριο. Αυτή η δυνατότητα έχει τεράστιο πλεονέκτημα σε σχέση με άλλες αριθμομηχανές επειδή... Αρκετά συχνά στο σχολείο, οι δάσκαλοι απαιτούν να καταγράφονται οι ενδιάμεσοι υπολογισμοί για να βεβαιωθούν ότι ο μαθητής τους εκτελεί στο μυαλό του και ότι κατανοεί πραγματικά τον αλγόριθμο για την επίλυση προβλημάτων. Παρεμπιπτόντως, έχουμε ένα άλλο πρόγραμμα παρόμοιου είδους -.

Για να ξεκινήσετε να χρησιμοποιείτε το πρόγραμμα, πρέπει να κάνετε λήψη μιας αριθμομηχανής στήλης για Android. Μπορείτε να το κάνετε αυτό στην ιστοσελίδα μας εντελώς δωρεάν χωρίς επιπλέον εγγραφές ή SMS. Μετά την εγκατάσταση, θα ανοίξει η κύρια σελίδα με τη μορφή ενός φύλλου σημειωματάριου σε κλουβί, στο οποίο, μάλιστα, θα εμφανίζονται τα αποτελέσματα των υπολογισμών και η λεπτομερής επίλυσή τους. Στο κάτω μέρος υπάρχει ένας πίνακας με κουμπιά:

1. Αριθμοί.
2. Σημάδια αριθμητικών πράξεων.
3. Διαγραφή χαρακτήρων που έχετε εισαγάγει προηγουμένως.

Η είσοδος πραγματοποιείται σύμφωνα με την ίδια αρχή όπως και στο. Η μόνη διαφορά είναι στη διεπαφή της εφαρμογής - όλοι οι μαθηματικοί υπολογισμοί και τα αποτελέσματά τους εμφανίζονται σε ένα εικονικό σημειωματάριο μαθητή.

Η εφαρμογή σάς επιτρέπει να εκτελείτε γρήγορα και σωστά τυπικούς μαθηματικούς υπολογισμούς για ένα μαθητή:

• πολλαπλασιασμός;
• διαίρεση;
• πρόσθεση;
• αφαίρεση.

Μια ωραία προσθήκη στην εφαρμογή είναι η λειτουργία καθημερινής υπενθύμισης. εργασία για το σπίτιμαθηματικά. Αν θέλετε, κάντε την εργασία σας. Για να το ενεργοποιήσετε, μεταβείτε στις ρυθμίσεις (κάντε κλικ στο κουμπί σε σχήμα γραναζιού) και επιλέξτε το πλαίσιο υπενθύμισης.

Πλεονεκτήματα και μειονεκτήματα

1. Βοηθά τον μαθητή όχι μόνο να αποκτήσει γρήγορα το σωστό αποτέλεσμα των μαθηματικών υπολογισμών, αλλά και να κατανοήσει την ίδια την αρχή του υπολογισμού.
2. Μια πολύ απλή, διαισθητική διεπαφή για κάθε χρήστη.
3. Μπορείτε να εγκαταστήσετε την εφαρμογή ακόμα και στην πιο οικονομική συσκευή Android με λειτουργικό σύστημα 2.2 και νεότερη έκδοση.
4. Η αριθμομηχανή αποθηκεύει ένα ιστορικό των μαθηματικών υπολογισμών που πραγματοποιήθηκαν, το οποίο μπορεί να διαγραφεί ανά πάσα στιγμή.

Η αριθμομηχανή είναι περιορισμένη σε μαθηματικές πράξεις, επομένως δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί για σύνθετους υπολογισμούς που θα μπορούσε να χειριστεί μια αριθμομηχανή μηχανικής. Ωστόσο, δεδομένου του σκοπού της ίδιας της εφαρμογής - να αποδειχθεί ξεκάθαρα στους μαθητές του δημοτικού σχολείου η αρχή των στηλών υπολογισμών, αυτό δεν πρέπει να θεωρείται μειονέκτημα.

Η εφαρμογή θα είναι επίσης ένας εξαιρετικός βοηθός όχι μόνο για μαθητές σχολείου, αλλά και για γονείς που θέλουν να ενδιαφέρουν το παιδί τους στα μαθηματικά και να του διδάξουν να εκτελεί υπολογισμούς σωστά και με συνέπεια. Αν έχετε ήδη χρησιμοποιήσει την εφαρμογή Column Calculator, αφήστε τις εντυπώσεις σας παρακάτω στα σχόλια.

Σε αυτό το σεμινάριο θα εξετάσουμε κάθε μία από αυτές τις λειτουργίες ξεχωριστά.

Προσθήκη δεκαδικών αριθμών

Όπως γνωρίζουμε, ένα δεκαδικό κλάσμα αποτελείται από έναν ακέραιο και ένα κλασματικό μέρος. Κατά την προσθήκη δεκαδικών ψηφίων, το σύνολο και τα κλασματικά μέρη προστίθενται χωριστά.

Για παράδειγμα, ας προσθέσουμε δεκαδικά 3.2 και 5.3. Είναι πιο βολικό να προσθέτετε δεκαδικά κλάσματα σε μια στήλη.

Ας γράψουμε πρώτα αυτά τα δύο κλάσματα σε μια στήλη, με τα ακέραια μέρη να είναι κάτω από τους ακέραιους και τα κλάσματα κάτω από τα κλάσματα. Στο σχολείο αυτή η απαίτηση ονομάζεται "κόμμα κάτω από κόμμα" .

Ας γράψουμε τα κλάσματα σε μια στήλη έτσι ώστε το κόμμα να είναι κάτω από το κόμμα:

Προσθέτουμε τα κλασματικά μέρη: 2 + 3 = 5. Γράφουμε το πέντε στο κλασματικό μέρος της απάντησής μας:

Τώρα αθροίζουμε τα ολόκληρα μέρη: 3 + 5 = 8. Γράφουμε ένα οκτώ σε ολόκληρο το μέρος της απάντησής μας:

Τώρα χωρίζουμε ολόκληρο το μέρος από το κλασματικό μέρος με κόμμα. Για να γίνει αυτό, ακολουθούμε και πάλι τον κανόνα "κόμμα κάτω από κόμμα" :

Λάβαμε απάντηση 8,5. Αυτό σημαίνει ότι η έκφραση 3,2 + 5,3 ισούται με 8,5

3,2 + 5,3 = 8,5

Στην πραγματικότητα, δεν είναι όλα τόσο απλά όσο φαίνονται με την πρώτη ματιά. Υπάρχουν και παγίδες εδώ, για τις οποίες θα μιλήσουμε τώρα.

Θέσεις σε δεκαδικά ψηφία

Τα δεκαδικά κλάσματα, όπως και οι συνηθισμένοι αριθμοί, έχουν τα δικά τους ψηφία. Αυτές είναι θέσεις δέκατων, θέσεις εκατοστών, θέσεις χιλιοστών. Στην περίπτωση αυτή, τα ψηφία αρχίζουν μετά την υποδιαστολή.

Το πρώτο ψηφίο μετά την υποδιαστολή είναι υπεύθυνο για τα δέκατα, το δεύτερο ψηφίο μετά την υποδιαστολή για τα εκατοστά και το τρίτο ψηφίο μετά την υποδιαστολή για τα χιλιοστά.

Οι θέσεις στα δεκαδικά κλάσματα περιέχουν μερικά ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ. Συγκεκριμένα, σας λένε πόσα δέκατα, εκατοστά και χιλιοστά υπάρχουν σε ένα δεκαδικό κλάσμα.

Για παράδειγμα, θεωρήστε το δεκαδικό κλάσμα 0,345

Η θέση όπου βρίσκονται τα τρία λέγεται δέκατη θέση

Η θέση όπου βρίσκεται το τέσσερα ονομάζεται θέση εκατοστών

Η θέση όπου βρίσκεται η πεντάρα ονομάζεται χιλιοστή θέση

Ας δούμε αυτό το σχέδιο. Βλέπουμε ότι υπάρχει ένα τρία στη δέκατη θέση. Αυτό σημαίνει ότι υπάρχουν τρία δέκατα στο δεκαδικό κλάσμα 0,345.

Αν προσθέσουμε τα κλάσματα, παίρνουμε το αρχικό δεκαδικό κλάσμα 0,345

Στην αρχή πήραμε την απάντηση, αλλά τη μετατρέψαμε σε δεκαδικό κλάσμα και πήραμε 0,345.

Κατά την προσθήκη δεκαδικών κλασμάτων, ισχύουν οι ίδιοι κανόνες όπως και κατά την προσθήκη συνηθισμένων αριθμών. Η πρόσθεση δεκαδικών κλασμάτων γίνεται με ψηφία: τα δέκατα προστίθενται στα δέκατα, τα εκατοστά στα εκατοστά, τα χιλιοστά στα χιλιοστά.

Επομένως, όταν προσθέτετε δεκαδικά κλάσματα, πρέπει να ακολουθείτε τον κανόνα "κόμμα κάτω από κόμμα". Το κόμμα κάτω από το κόμμα παρέχει την ίδια τη σειρά με την οποία τα δέκατα προστίθενται στα δέκατα, τα εκατοστά στα εκατοστά, τα χιλιοστά στα χιλιοστά.

Παράδειγμα 1.Βρείτε την τιμή της παράστασης 1,5 + 3,4

Πρώτα απ 'όλα, αθροίζουμε τα κλασματικά μέρη 5 + 4 = 9. Γράφουμε εννέα στο κλασματικό μέρος της απάντησής μας:

Τώρα προσθέτουμε τα ακέραια μέρη 1 + 3 = 4. Γράφουμε τα τέσσερα στο ακέραιο μέρος της απάντησής μας:

Τώρα χωρίζουμε ολόκληρο το μέρος από το κλασματικό μέρος με κόμμα. Για να το κάνουμε αυτό, ακολουθούμε και πάλι τον κανόνα "κόμμα κάτω από κόμμα":

Λάβαμε απάντηση 4,9. Αυτό σημαίνει ότι η τιμή της παράστασης 1,5 + 3,4 είναι 4,9

Παράδειγμα 2.Βρείτε την τιμή της παράστασης: 3,51 + 1,22

Γράφουμε αυτήν την έκφραση σε μια στήλη, τηρώντας τον κανόνα «κόμμα κάτω από κόμμα».

Πρώτα απ 'όλα, αθροίζουμε το κλασματικό μέρος, δηλαδή τα εκατοστά του 1+2=3. Γράφουμε ένα τριπλό στο εκατοστό μέρος της απάντησής μας:

Τώρα προσθέστε τα δέκατα 5+2=7. Γράφουμε ένα επτά στο δέκατο μέρος της απάντησής μας:

Τώρα προσθέτουμε τα ολόκληρα μέρη 3+1=4. Γράφουμε τα τέσσερα σε ολόκληρο το μέρος της απάντησής μας:

Διαχωρίζουμε ολόκληρο το μέρος από το κλασματικό μέρος με κόμμα, τηρώντας τον κανόνα «κόμμα κάτω από κόμμα»:

Η απάντηση που λάβαμε ήταν 4,73. Αυτό σημαίνει ότι η τιμή της παράστασης 3,51 + 1,22 είναι ίση με 4,73

3,51 + 1,22 = 4,73

Όπως και με τους κανονικούς αριθμούς, κατά την προσθήκη δεκαδικών, . Στην περίπτωση αυτή, στην απάντηση γράφεται ένα ψηφίο και τα υπόλοιπα μεταφέρονται στο επόμενο ψηφίο.

Παράδειγμα 3.Βρείτε την τιμή της παράστασης 2,65 + 3,27

Γράφουμε αυτή την έκφραση στη στήλη:

Προσθέστε τα εκατοστά μέρη 5+7=12. Ο αριθμός 12 δεν θα χωρέσει στο εκατοστό μέρος της απάντησής μας. Επομένως, στο εκατοστό μέρος γράφουμε τον αριθμό 2 και μετακινούμε τη μονάδα στο επόμενο ψηφίο:

Τώρα προσθέτουμε τα δέκατα του 6+2=8 συν τη μονάδα που πήραμε από την προηγούμενη πράξη, παίρνουμε 9. Γράφουμε τον αριθμό 9 στο δέκατο της απάντησής μας:

Τώρα προσθέτουμε τα ολόκληρα μέρη 2+3=5. Γράφουμε τον αριθμό 5 στο ακέραιο μέρος της απάντησής μας:

Λάβαμε απάντηση 5,92. Αυτό σημαίνει ότι η τιμή της παράστασης 2,65 + 3,27 είναι ίση με 5,92

2,65 + 3,27 = 5,92

Παράδειγμα 4.Βρείτε την τιμή της παράστασης 9,5 + 2,8

Γράφουμε αυτή την έκφραση στη στήλη

Προσθέτουμε τα κλασματικά μέρη 5 + 8 = 13. Ο αριθμός 13 δεν θα χωρέσει στο κλασματικό μέρος της απάντησής μας, επομένως γράφουμε πρώτα τον αριθμό 3 και μετακινούμε τη μονάδα στο επόμενο ψηφίο ή μάλλον τη μεταφέρουμε στο ακέραιο μέρος:

Τώρα προσθέτουμε τα ακέραια μέρη 9+2=11 συν τη μονάδα που πήραμε από την προηγούμενη πράξη, παίρνουμε 12. Γράφουμε τον αριθμό 12 στο ακέραιο μέρος της απάντησής μας:

Διαχωρίστε ολόκληρο το μέρος από το κλασματικό μέρος με κόμμα:

Λάβαμε την απάντηση 12.3. Αυτό σημαίνει ότι η τιμή της παράστασης 9,5 + 2,8 είναι 12,3

9,5 + 2,8 = 12,3

Κατά την προσθήκη δεκαδικών ψηφίων, ο αριθμός των ψηφίων μετά την υποδιαστολή και στα δύο κλάσματα πρέπει να είναι ο ίδιος. Εάν δεν υπάρχουν αρκετοί αριθμοί, τότε αυτές οι θέσεις στο κλασματικό μέρος γεμίζουν με μηδενικά.

Παράδειγμα 5. Βρείτε την τιμή της παράστασης: 12,725 + 1,7

Πριν γράψουμε αυτήν την έκφραση σε μια στήλη, ας κάνουμε τον αριθμό των ψηφίων μετά την υποδιαστολή και στα δύο κλάσματα ίδιο. Το δεκαδικό κλάσμα 12.725 έχει τρία ψηφία μετά την υποδιαστολή, αλλά το κλάσμα 1.7 έχει μόνο ένα. Αυτό σημαίνει ότι στο κλάσμα 1,7 πρέπει να προσθέσετε δύο μηδενικά στο τέλος. Τότε παίρνουμε το κλάσμα 1.700. Τώρα μπορείτε να γράψετε αυτήν την έκφραση σε μια στήλη και να αρχίσετε να υπολογίζετε:

Προσθέστε τα χιλιοστά μέρη 5+0=5. Γράφουμε τον αριθμό 5 στο χιλιοστό μέρος της απάντησής μας:

Προσθέστε τα εκατοστά μέρη 2+0=2. Γράφουμε τον αριθμό 2 στο εκατοστό μέρος της απάντησής μας:

Προσθέστε τα δέκατα 7+7=14. Ο αριθμός 14 δεν χωράει στο ένα δέκατο της απάντησής μας. Επομένως, γράφουμε πρώτα τον αριθμό 4 και μετακινούμε τη μονάδα στο επόμενο ψηφίο:

Τώρα προσθέτουμε τα ακέραια μέρη 12+1=13 συν τη μονάδα που πήραμε από την προηγούμενη πράξη, παίρνουμε 14. Γράφουμε τον αριθμό 14 στο ακέραιο μέρος της απάντησής μας:

Διαχωρίστε ολόκληρο το μέρος από το κλασματικό μέρος με κόμμα:

Λάβαμε απάντηση 14.425. Αυτό σημαίνει ότι η τιμή της έκφρασης 12,725+1,700 είναι 14,425

12,725+ 1,700 = 14,425

Αφαίρεση δεκαδικών αριθμών

Όταν αφαιρείτε δεκαδικά κλάσματα, πρέπει να ακολουθείτε τους ίδιους κανόνες όπως όταν προσθέτετε: «κόμμα κάτω από την υποδιαστολή» και «ίσος αριθμός ψηφίων μετά την υποδιαστολή».

Παράδειγμα 1.Να βρείτε την τιμή της παράστασης 2,5 − 2,2

Γράφουμε αυτήν την έκφραση σε μια στήλη, τηρώντας τον κανόνα "κόμμα κάτω από κόμμα":

Υπολογίζουμε το κλασματικό μέρος 5−2=3. Γράφουμε τον αριθμό 3 στο δέκατο μέρος της απάντησής μας:

Υπολογίζουμε το ακέραιο μέρος 2−2=0. Γράφουμε μηδέν στο ακέραιο μέρος της απάντησής μας:

Διαχωρίστε ολόκληρο το μέρος από το κλασματικό μέρος με κόμμα:

Λάβαμε απάντηση 0,3. Αυτό σημαίνει ότι η τιμή της παράστασης 2,5 − 2,2 είναι ίση με 0,3

2,5 − 2,2 = 0,3

Παράδειγμα 2.Βρείτε την τιμή της παράστασης 7.353 - 3.1

Σε αυτή την έκφραση διαφορετικές ποσότητεςαριθμοί μετά την υποδιαστολή. Το κλάσμα 7.353 έχει τρία ψηφία μετά την υποδιαστολή, αλλά το κλάσμα 3.1 έχει μόνο ένα. Αυτό σημαίνει ότι στο κλάσμα 3.1 πρέπει να προσθέσετε δύο μηδενικά στο τέλος για να κάνετε τον αριθμό των ψηφίων και στα δύο κλάσματα ίδιο. Τότε παίρνουμε 3.100.

Τώρα μπορείτε να γράψετε αυτήν την έκφραση σε μια στήλη και να την υπολογίσετε:

Λάβαμε απάντηση 4.253. Αυτό σημαίνει ότι η τιμή της παράστασης 7,353 − 3,1 είναι ίση με 4,253

7,353 — 3,1 = 4,253

Όπως και με τους συνηθισμένους αριθμούς, μερικές φορές θα πρέπει να δανειστείτε έναν από ένα διπλανό ψηφίο εάν η αφαίρεση καταστεί αδύνατη.

Παράδειγμα 3.Να βρείτε την τιμή της παράστασης 3,46 − 2,39

Αφαιρέστε τα εκατοστά του 6−9. Δεν μπορείτε να αφαιρέσετε τον αριθμό 9 από τον αριθμό 6. Επομένως, πρέπει να δανειστείτε έναν από το διπλανό ψηφίο. Με δανεισμό ενός από το διπλανό ψηφίο, ο αριθμός 6 μετατρέπεται στον αριθμό 16. Τώρα μπορείτε να υπολογίσετε τα εκατοστά του 16−9=7. Γράφουμε επτά στο εκατοστό μέρος της απάντησής μας:

Τώρα αφαιρούμε δέκατα. Δεδομένου ότι πήραμε μια μονάδα στη δέκατη θέση, ο αριθμός που βρισκόταν εκεί μειώθηκε κατά μία μονάδα. Με άλλα λόγια, στη θέση των δέκατων δεν υπάρχει πλέον ο αριθμός 4, αλλά ο αριθμός 3. Ας υπολογίσουμε τα δέκατα του 3−3=0. Γράφουμε μηδέν στο δέκατο μέρος της απάντησής μας:

Τώρα αφαιρούμε τα ολόκληρα μέρη 3−2=1. Γράφουμε ένα στο ακέραιο μέρος της απάντησής μας:

Διαχωρίστε ολόκληρο το μέρος από το κλασματικό μέρος με κόμμα:

Λάβαμε απάντηση 1.07. Αυτό σημαίνει ότι η τιμή της παράστασης 3,46−2,39 είναι ίση με 1,07

3,46−2,39=1,07

Παράδειγμα 4. Να βρείτε την τιμή της παράστασης 3−1.2

Αυτό το παράδειγμα αφαιρεί ένα δεκαδικό από έναν ακέραιο αριθμό. Ας γράψουμε αυτήν την έκφραση σε μια στήλη έτσι ώστε ολόκληρο το τμήμα του δεκαδικού κλάσματος 1,23 να βρίσκεται κάτω από τον αριθμό 3

Τώρα ας κάνουμε τον αριθμό των ψηφίων μετά την υποδιαστολή ίδιο. Για να γίνει αυτό, μετά τον αριθμό 3 βάζουμε κόμμα και προσθέτουμε ένα μηδέν:

Τώρα αφαιρούμε δέκατα: 0−2. Δεν μπορείτε να αφαιρέσετε τον αριθμό 2 από το μηδέν, επομένως, πρέπει να δανειστείτε ένα από το διπλανό ψηφίο. Έχοντας δανειστεί ένα από το διπλανό ψηφίο, το 0 μετατρέπεται στον αριθμό 10. Τώρα μπορείτε να υπολογίσετε τα δέκατα του 10−2=8. Γράφουμε ένα οκτώ στο δέκατο μέρος της απάντησής μας:

Τώρα αφαιρούμε τα ολόκληρα μέρη. Προηγουμένως, ο αριθμός 3 βρισκόταν στο σύνολο, αλλά πήραμε μια μονάδα από αυτό. Ως αποτέλεσμα, μετατράπηκε στον αριθμό 2. Επομένως, από το 2 αφαιρούμε 1. 2−1=1. Γράφουμε ένα στο ακέραιο μέρος της απάντησής μας:

Διαχωρίστε ολόκληρο το μέρος από το κλασματικό μέρος με κόμμα:

Η απάντηση που λάβαμε ήταν 1,8. Αυτό σημαίνει ότι η τιμή της παράστασης 3−1,2 είναι 1,8

Πολλαπλασιασμός δεκαδικών

Ο πολλαπλασιασμός των δεκαδικών είναι απλός και ακόμη και διασκεδαστικός. Για να πολλαπλασιάσετε δεκαδικούς αριθμούς, τους πολλαπλασιάζετε σαν κανονικούς αριθμούς, αγνοώντας τα κόμματα.

Έχοντας λάβει την απάντηση, πρέπει να διαχωρίσετε ολόκληρο το μέρος από το κλασματικό μέρος με κόμμα. Για να το κάνετε αυτό, πρέπει να μετρήσετε τον αριθμό των ψηφίων μετά την υποδιαστολή και στα δύο κλάσματα, στη συνέχεια να μετρήσετε τον ίδιο αριθμό ψηφίων από τα δεξιά στην απάντηση και να βάλετε κόμμα.

Παράδειγμα 1.Βρείτε την τιμή της παράστασης 2,5 × 1,5

Ας πολλαπλασιάσουμε αυτά τα δεκαδικά κλάσματα όπως οι συνηθισμένοι αριθμοί, αγνοώντας τα κόμματα. Για να αγνοήσετε τα κόμματα, μπορείτε προσωρινά να φανταστείτε ότι απουσιάζουν εντελώς:

Πήραμε 375. Σε αυτόν τον αριθμό, πρέπει να διαχωρίσετε ολόκληρο το τμήμα από το κλασματικό μέρος με κόμμα. Για να γίνει αυτό, πρέπει να μετρήσετε τον αριθμό των ψηφίων μετά την υποδιαστολή στα κλάσματα 2,5 και 1,5. Το πρώτο κλάσμα έχει ένα ψηφίο μετά την υποδιαστολή και το δεύτερο κλάσμα έχει επίσης ένα. Συνολικά δύο αριθμοί.

Επιστρέφουμε στον αριθμό 375 και αρχίζουμε να κινούμαστε από δεξιά προς τα αριστερά. Πρέπει να μετρήσουμε δύο ψηφία στα δεξιά και να βάλουμε κόμμα:

Λάβαμε απάντηση 3,75. Άρα η τιμή της παράστασης 2,5 × 1,5 είναι 3,75

2,5 × 1,5 = 3,75

Παράδειγμα 2.Βρείτε την τιμή της παράστασης 12,85 × 2,7

Ας πολλαπλασιάσουμε αυτά τα δεκαδικά κλάσματα, αγνοώντας τα κόμματα:

Πήραμε 34695. Σε αυτόν τον αριθμό πρέπει να διαχωρίσετε το ακέραιο από το κλασματικό μέρος με κόμμα. Για να γίνει αυτό, πρέπει να μετρήσετε τον αριθμό των ψηφίων μετά την υποδιαστολή στα κλάσματα 12,85 και 2,7. Το κλάσμα 12,85 έχει δύο ψηφία μετά την υποδιαστολή και το κλάσμα 2,7 έχει ένα ψηφίο - συνολικά τρία ψηφία.

Επιστρέφουμε στον αριθμό 34695 και αρχίζουμε να κινούμαστε από δεξιά προς τα αριστερά. Πρέπει να μετρήσουμε τρία ψηφία από τα δεξιά και να βάλουμε κόμμα:

Λάβαμε απάντηση 34.695. Άρα η τιμή της παράστασης 12,85 × 2,7 είναι 34,695

12,85 × 2,7 = 34,695

Πολλαπλασιασμός δεκαδικού με κανονικό αριθμό

Μερικές φορές προκύπτουν καταστάσεις όταν χρειάζεται να πολλαπλασιάσετε ένα δεκαδικό κλάσμα με έναν κανονικό αριθμό.

Για να πολλαπλασιάσετε έναν δεκαδικό και έναν αριθμό, τους πολλαπλασιάζετε χωρίς να δίνετε προσοχή στο κόμμα στο δεκαδικό. Έχοντας λάβει την απάντηση, πρέπει να διαχωρίσετε ολόκληρο το μέρος από το κλασματικό μέρος με κόμμα. Για να το κάνετε αυτό, πρέπει να μετρήσετε τον αριθμό των ψηφίων μετά την υποδιαστολή στο δεκαδικό κλάσμα, στη συνέχεια να μετρήσετε τον ίδιο αριθμό ψηφίων από τα δεξιά στην απάντηση και να βάλετε κόμμα.

Για παράδειγμα, πολλαπλασιάστε το 2,54 επί 2

Πολλαπλασιάστε το δεκαδικό κλάσμα 2,54 με τον συνηθισμένο αριθμό 2, αγνοώντας το κόμμα:

Πήραμε τον αριθμό 508. Σε αυτόν τον αριθμό πρέπει να διαχωρίσετε το ακέραιο μέρος από το κλασματικό μέρος με κόμμα. Για να γίνει αυτό, πρέπει να μετρήσετε τον αριθμό των ψηφίων μετά την υποδιαστολή στο κλάσμα 2,54. Το κλάσμα 2,54 έχει δύο ψηφία μετά την υποδιαστολή.

Επιστρέφουμε στον αριθμό 508 και αρχίζουμε να κινούμαστε από δεξιά προς τα αριστερά. Πρέπει να μετρήσουμε δύο ψηφία στα δεξιά και να βάλουμε κόμμα:

Λάβαμε απάντηση 5.08. Άρα η τιμή της παράστασης 2,54 × 2 είναι 5,08

2,54 × 2 = 5,08

Πολλαπλασιασμός δεκαδικών με 10, 100, 1000

Ο πολλαπλασιασμός των δεκαδικών με το 10, το 100 ή το 1000 γίνεται με τον ίδιο τρόπο όπως ο πολλαπλασιασμός των δεκαδικών με κανονικούς αριθμούς. Πρέπει να εκτελέσετε τον πολλαπλασιασμό, χωρίς να δίνετε προσοχή στο κόμμα στο δεκαδικό κλάσμα, στη συνέχεια στην απάντηση, διαχωρίστε ολόκληρο το μέρος από το κλασματικό μέρος, μετρώντας από τα δεξιά τον ίδιο αριθμό ψηφίων με τα ψηφία μετά την υποδιαστολή.

Για παράδειγμα, πολλαπλασιάστε το 2,88 επί 10

Πολλαπλασιάστε το δεκαδικό κλάσμα 2,88 επί 10, αγνοώντας το κόμμα στο δεκαδικό κλάσμα:

Πήραμε 2880. Σε αυτόν τον αριθμό πρέπει να διαχωρίσετε το ακέραιο μέρος από το κλασματικό μέρος με κόμμα. Για να γίνει αυτό, πρέπει να μετρήσετε τον αριθμό των ψηφίων μετά την υποδιαστολή στο κλάσμα 2,88. Βλέπουμε ότι το κλάσμα 2,88 έχει δύο ψηφία μετά την υποδιαστολή.

Επιστρέφουμε στον αριθμό 2880 και αρχίζουμε να κινούμαστε από δεξιά προς τα αριστερά. Πρέπει να μετρήσουμε δύο ψηφία στα δεξιά και να βάλουμε κόμμα:

Λάβαμε απάντηση 28,80. Ας ρίξουμε το τελευταίο μηδέν και ας πάρουμε 28,8. Αυτό σημαίνει ότι η τιμή της παράστασης 2,88×10 είναι 28,8

2,88 × 10 = 28,8

Υπάρχει ένας δεύτερος τρόπος πολλαπλασιασμού των δεκαδικών κλασμάτων με 10, 100, 1000. Αυτή η μέθοδος είναι πολύ απλούστερη και πιο βολική. Συνίσταται στη μετακίνηση της υποδιαστολής προς τα δεξιά κατά τόσα ψηφία όσα μηδενικά υπάρχουν στον παράγοντα.

Για παράδειγμα, ας λύσουμε το προηγούμενο παράδειγμα 2,88×10 με αυτόν τον τρόπο. Χωρίς να δώσουμε κανέναν υπολογισμό, κοιτάμε αμέσως τον παράγοντα 10. Μας ενδιαφέρει πόσα μηδενικά υπάρχουν σε αυτόν. Βλέπουμε ότι υπάρχει ένα μηδέν σε αυτό. Τώρα στο κλάσμα 2,88 μετακινούμε την υποδιαστολή στο δεξί ένα ψηφίο, παίρνουμε 28,8.

2,88 × 10 = 28,8

Ας προσπαθήσουμε να πολλαπλασιάσουμε το 2,88 με το 100. Εξετάζουμε αμέσως τον παράγοντα 100. Μας ενδιαφέρει πόσα μηδενικά υπάρχουν σε αυτόν. Βλέπουμε ότι υπάρχουν δύο μηδενικά σε αυτό. Τώρα στο κλάσμα 2,88 μετακινούμε την υποδιαστολή στα δεξιά δύο ψηφία, παίρνουμε 288

2,88 × 100 = 288

Ας προσπαθήσουμε να πολλαπλασιάσουμε το 2,88 με το 1000. Εξετάζουμε αμέσως τον παράγοντα 1000. Μας ενδιαφέρει πόσα μηδενικά υπάρχουν σε αυτόν. Βλέπουμε ότι υπάρχουν τρία μηδενικά σε αυτό. Τώρα στο κλάσμα 2,88 μετακινούμε την υποδιαστολή προς τα δεξιά κατά τρία ψηφία. Δεν υπάρχει τρίτο ψηφίο εκεί, οπότε προσθέτουμε άλλο ένα μηδέν. Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε 2880.

2,88 × 1000 = 2880

Πολλαπλασιασμός δεκαδικών με 0,1 0,01 και 0,001

Ο πολλαπλασιασμός των δεκαδικών με 0,1, 0,01 και 0,001 λειτουργεί με τον ίδιο τρόπο όπως ο πολλαπλασιασμός ενός δεκαδικού με ένα δεκαδικό. Είναι απαραίτητο να πολλαπλασιάσουμε τα κλάσματα όπως οι συνηθισμένοι αριθμοί και να βάλουμε κόμμα στην απάντηση, μετρώντας τόσα ψηφία προς τα δεξιά όσα και τα ψηφία μετά την υποδιαστολή και στα δύο κλάσματα.

Για παράδειγμα, πολλαπλασιάστε το 3,25 με 0,1

Πολλαπλασιάζουμε αυτά τα κλάσματα σαν συνηθισμένους αριθμούς, αγνοώντας τα κόμματα:

Πήραμε 325. Σε αυτόν τον αριθμό πρέπει να διαχωρίσετε το ακέραιο μέρος από το κλασματικό μέρος με κόμμα. Για να γίνει αυτό, πρέπει να μετρήσετε τον αριθμό των ψηφίων μετά την υποδιαστολή στα κλάσματα 3,25 και 0,1. Το κλάσμα 3,25 έχει δύο ψηφία μετά την υποδιαστολή και το κλάσμα 0,1 έχει ένα ψηφίο. Σύνολο τρεις αριθμοί.

Επιστρέφουμε στον αριθμό 325 και αρχίζουμε να κινούμαστε από δεξιά προς τα αριστερά. Πρέπει να μετρήσουμε τρία ψηφία από τα δεξιά και να βάλουμε κόμμα. Αφού μετρήσουμε αντίστροφα τρία ψηφία, διαπιστώνουμε ότι οι αριθμοί έχουν τελειώσει. Σε αυτήν την περίπτωση, πρέπει να προσθέσετε ένα μηδέν και να προσθέσετε κόμμα:

Λάβαμε απάντηση 0,325. Αυτό σημαίνει ότι η τιμή της παράστασης 3,25 × 0,1 είναι 0,325

3,25 × 0,1 = 0,325

Υπάρχει ένας δεύτερος τρόπος πολλαπλασιασμού των δεκαδικών με 0,1, 0,01 και 0,001. Αυτή η μέθοδος είναι πολύ πιο απλή και πιο βολική. Συνίσταται στη μετακίνηση της υποδιαστολής προς τα αριστερά κατά τόσα ψηφία όσα μηδενικά υπάρχουν στον παράγοντα.

Για παράδειγμα, ας λύσουμε το προηγούμενο παράδειγμα 3,25 × 0,1 με αυτόν τον τρόπο. Χωρίς να δώσουμε κανέναν υπολογισμό, κοιτάμε αμέσως τον πολλαπλασιαστή του 0,1. Μας ενδιαφέρει πόσα μηδενικά περιέχει. Βλέπουμε ότι υπάρχει ένα μηδέν σε αυτό. Τώρα στο κλάσμα 3,25 μετακινούμε την υποδιαστολή προς τα αριστερά κατά ένα ψηφίο. Μετακινώντας το κόμμα ένα ψηφίο προς τα αριστερά, βλέπουμε ότι δεν υπάρχουν άλλα ψηφία πριν από τα τρία. Σε αυτή την περίπτωση, προσθέστε ένα μηδέν και βάλτε κόμμα. Το αποτέλεσμα είναι 0,325

3,25 × 0,1 = 0,325

Ας προσπαθήσουμε να πολλαπλασιάσουμε το 3,25 επί 0,01. Αμέσως κοιτάμε τον πολλαπλασιαστή του 0,01. Μας ενδιαφέρει πόσα μηδενικά περιέχει. Βλέπουμε ότι υπάρχουν δύο μηδενικά σε αυτό. Τώρα στο κλάσμα 3,25 μετακινούμε την υποδιαστολή στα αριστερά δύο ψηφία, παίρνουμε 0,0325

3,25 × 0,01 = 0,0325

Ας προσπαθήσουμε να πολλαπλασιάσουμε το 3,25 με το 0,001. Αμέσως κοιτάμε τον πολλαπλασιαστή του 0,001. Μας ενδιαφέρει πόσα μηδενικά περιέχει. Βλέπουμε ότι υπάρχουν τρία μηδενικά σε αυτό. Τώρα στο κλάσμα 3,25 μετακινούμε την υποδιαστολή προς τα αριστερά κατά τρία ψηφία, παίρνουμε 0,00325

3,25 × 0,001 = 0,00325

Μην συγχέετε τον πολλαπλασιασμό των δεκαδικών κλασμάτων με 0,1, 0,001 και 0,001 με τον πολλαπλασιασμό επί 10, 100, 1000. Κοινό λάθοςοι περισσότεροι άνθρωποι.

Κατά τον πολλαπλασιασμό με 10, 100, 1000, η ​​υποδιαστολή μετακινείται προς τα δεξιά με τον ίδιο αριθμό ψηφίων που υπάρχουν μηδενικά στον πολλαπλασιαστή.

Και κατά τον πολλαπλασιασμό με 0,1, 0,01 και 0,001, η υποδιαστολή μετακινείται προς τα αριστερά με τον ίδιο αριθμό ψηφίων που υπάρχουν μηδενικά στον πολλαπλασιαστή.

Εάν στην αρχή είναι δύσκολο να θυμηθείτε, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε την πρώτη μέθοδο, στην οποία ο πολλαπλασιασμός εκτελείται όπως με τους συνηθισμένους αριθμούς. Στην απάντηση, θα χρειαστεί να διαχωρίσετε ολόκληρο το μέρος από το κλασματικό μέρος, μετρώντας τον ίδιο αριθμό ψηφίων στα δεξιά όπως υπάρχουν ψηφία μετά την υποδιαστολή και στα δύο κλάσματα.

Διαιρώντας έναν μικρότερο αριθμό με έναν μεγαλύτερο αριθμό. Προχωρημένο επίπεδο.

Σε ένα από τα προηγούμενα μαθήματα, είπαμε ότι όταν διαιρούμε έναν μικρότερο αριθμό με έναν μεγαλύτερο αριθμό, προκύπτει ένα κλάσμα, ο αριθμητής του οποίου είναι το μέρισμα και ο παρονομαστής είναι ο διαιρέτης.

Για παράδειγμα, για να διαιρέσετε ένα μήλο μεταξύ δύο, πρέπει να γράψετε 1 (ένα μήλο) στον αριθμητή και να γράψετε 2 (δύο φίλους) στον παρονομαστή. Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε το κλάσμα . Αυτό σημαίνει ότι κάθε φίλος θα πάρει ένα μήλο. Με άλλα λόγια, μισό μήλο. Το κλάσμα είναι η απάντηση στο πρόβλημα «Πώς να χωρίσεις ένα μήλο στα δύο»

Αποδεικνύεται ότι μπορείτε να λύσετε αυτό το πρόβλημα περαιτέρω εάν διαιρέσετε το 1 με το 2. Εξάλλου, η κλασματική γραμμή σε οποιοδήποτε κλάσμα σημαίνει διαίρεση, και επομένως αυτή η διαίρεση επιτρέπεται στο κλάσμα. Αλλά πως; Έχουμε συνηθίσει στο γεγονός ότι το μέρισμα είναι πάντα μεγαλύτερο από το διαιρέτη. Εδώ όμως, αντίθετα, το μέρισμα είναι μικρότερο από το διαιρέτη.

Όλα θα ξεκαθαρίσουν αν θυμηθούμε ότι κλάσμα σημαίνει συντριβή, διαίρεση, διαίρεση. Αυτό σημαίνει ότι η μονάδα μπορεί να χωριστεί σε όσα μέρη επιθυμείτε και όχι μόνο σε δύο μέρη.

Όταν διαιρείτε έναν μικρότερο αριθμό με έναν μεγαλύτερο αριθμό, παίρνετε ένα δεκαδικό κλάσμα στο οποίο το ακέραιο μέρος είναι 0 (μηδέν). Το κλασματικό μέρος μπορεί να είναι οτιδήποτε.

Λοιπόν, ας διαιρέσουμε το 1 με το 2. Ας λύσουμε αυτό το παράδειγμα με μια γωνία:

Δεν μπορεί κανείς να χωριστεί εντελώς στα δύο. Αν κάνετε μια ερώτηση "Πόσα δύο υπάρχουν σε ένα" , τότε η απάντηση θα είναι 0. Επομένως, στο πηλίκο γράφουμε 0 και βάζουμε κόμμα:

Τώρα, ως συνήθως, πολλαπλασιάζουμε το πηλίκο με τον διαιρέτη για να πάρουμε το υπόλοιπο:

Ήρθε η στιγμή που η μονάδα μπορεί να χωριστεί σε δύο μέρη. Για να το κάνετε αυτό, προσθέστε ένα άλλο μηδέν στα δεξιά του προκύπτοντος:

Πήραμε 10. Διαιρούμε το 10 με το 2, παίρνουμε 5. Γράφουμε το πέντε στο κλασματικό μέρος της απάντησής μας:

Τώρα βγάζουμε το τελευταίο υπόλοιπο για να ολοκληρώσουμε τον υπολογισμό. Πολλαπλασιάστε το 5 με το 2 για να πάρετε το 10

Λάβαμε απάντηση 0,5. Άρα το κλάσμα είναι 0,5

Μισό μήλο μπορεί επίσης να γραφτεί χρησιμοποιώντας το δεκαδικό κλάσμα 0,5. Αν προσθέσουμε αυτά τα δύο μισά (0,5 και 0,5), παίρνουμε πάλι το αρχικό ένα ολόκληρο μήλο:

Αυτό το σημείο μπορεί επίσης να γίνει κατανοητό αν φανταστείτε πώς χωρίζεται 1 cm σε δύο μέρη. Αν χωρίσετε 1 εκατοστό σε 2 μέρη, παίρνετε 0,5 cm

Παράδειγμα 2.Βρείτε την τιμή της έκφρασης 4:5

Πόσα πεντάρια υπάρχουν σε ένα τέσσερα; Καθόλου. Γράφουμε 0 στο πηλίκο και βάζουμε κόμμα:

Πολλαπλασιάζουμε το 0 με το 5, παίρνουμε 0. Γράφουμε ένα μηδέν κάτω από τα τέσσερα. Αφαιρέστε αμέσως αυτό το μηδέν από το μέρισμα:

Τώρα ας αρχίσουμε να χωρίζουμε (χωρίζουμε) τα τέσσερα σε 5 μέρη. Για να το κάνετε αυτό, προσθέστε ένα μηδέν στα δεξιά του 4 και διαιρέστε το 40 με το 5, παίρνουμε 8. Γράφουμε οκτώ στο πηλίκο.

Ολοκληρώνουμε το παράδειγμα πολλαπλασιάζοντας το 8 επί 5 για να έχουμε 40:

Λάβαμε απάντηση 0,8. Αυτό σημαίνει ότι η τιμή της έκφρασης 4:5 είναι 0,8

Παράδειγμα 3.Βρείτε την τιμή της παράστασης 5: 125

Πόσοι αριθμοί είναι το 125 στα πέντε; Καθόλου. Γράφουμε 0 στο πηλίκο και βάζουμε κόμμα:

Πολλαπλασιάζουμε το 0 με το 5, παίρνουμε 0. Γράφουμε 0 κάτω από το πέντε. Αφαιρέστε αμέσως το 0 από το πέντε

Τώρα ας αρχίσουμε να χωρίζουμε (διαιρούμε) τα πέντε σε 125 μέρη. Για να γίνει αυτό, γράφουμε ένα μηδέν στα δεξιά αυτού του πέντε:

Διαιρέστε το 50 με το 125. Πόσοι αριθμοί είναι το 125 στον αριθμό 50; Καθόλου. Άρα στο πηλίκο γράφουμε πάλι 0

Πολλαπλασιάζουμε το 0 με το 125, παίρνουμε 0. Γράψτε αυτό το μηδέν κάτω από το 50. Αφαιρέστε αμέσως το 0 από το 50

Τώρα χωρίστε τον αριθμό 50 σε 125 μέρη. Για να γίνει αυτό, γράφουμε ένα άλλο μηδέν στα δεξιά του 50:

Διαιρέστε το 500 με το 125. Πόσοι αριθμοί είναι το 125 στον αριθμό 500 Υπάρχουν τέσσερις αριθμοί 125 στον αριθμό 500. Γράψτε τους τέσσερις στο πηλίκο:

Ολοκληρώνουμε το παράδειγμα πολλαπλασιάζοντας το 4 επί 125 για να πάρουμε το 500

Λάβαμε απάντηση 0,04. Αυτό σημαίνει ότι η τιμή της έκφρασης 5: 125 είναι 0,04

Διαίρεση αριθμών χωρίς υπόλοιπο

Λοιπόν, ας βάλουμε κόμμα στο πηλίκο μετά τη μονάδα, υποδεικνύοντας έτσι ότι η διαίρεση των ακέραιων μερών έχει τελειώσει και προχωράμε στο κλασματικό μέρος:

Ας προσθέσουμε μηδέν στο υπόλοιπο 4

Τώρα διαιρέστε το 40 με το 5, παίρνουμε 8. Γράφουμε οκτώ στο πηλίκο:

40−40=0. Μας έμειναν 0. Αυτό σημαίνει ότι η διαίρεση έχει ολοκληρωθεί πλήρως. Διαιρώντας το 9 με το 5 προκύπτει το δεκαδικό κλάσμα 1,8:

9: 5 = 1,8

Παράδειγμα 2. Διαιρέστε το 84 με το 5 χωρίς υπόλοιπο

Αρχικά, διαιρέστε το 84 με το 5 ως συνήθως με ένα υπόλοιπο:

Πήραμε 16 ιδιωτικά και άλλα 4 έμειναν. Τώρα ας διαιρέσουμε αυτό το υπόλοιπο με το 5. Βάλτε κόμμα στο πηλίκο και προσθέστε 0 στο υπόλοιπο 4

Τώρα διαιρούμε το 40 με το 5, παίρνουμε 8. Γράφουμε το οκτώ στο πηλίκο μετά την υποδιαστολή:

και συμπληρώστε το παράδειγμα ελέγχοντας αν υπάρχει ακόμα υπόλοιπο:

Διαίρεση δεκαδικού με κανονικό αριθμό

Ένα δεκαδικό κλάσμα, όπως γνωρίζουμε, αποτελείται από έναν ακέραιο και ένα κλασματικό μέρος. Όταν διαιρείτε ένα δεκαδικό κλάσμα με έναν κανονικό αριθμό, πρέπει πρώτα να:

• διαιρέστε ολόκληρο το τμήμα του δεκαδικού κλάσματος με αυτόν τον αριθμό.
• αφού διαιρεθεί ολόκληρο το μέρος, πρέπει να βάλετε αμέσως κόμμα στο πηλίκο και να συνεχίσετε τον υπολογισμό, όπως στην κανονική διαίρεση.

Για παράδειγμα, διαιρέστε το 4,8 με το 2

Ας γράψουμε αυτό το παράδειγμα σε μια γωνία:

Τώρα ας διαιρέσουμε ολόκληρο το μέρος με το 2. Τέσσερα διαιρούμενα με δύο ισούται με δύο. Γράφουμε δύο στο πηλίκο και αμέσως βάζουμε κόμμα:

Τώρα πολλαπλασιάζουμε το πηλίκο με τον διαιρέτη και βλέπουμε αν υπάρχει υπόλοιπο από τη διαίρεση:

4−4=0. Το υπόλοιπο είναι μηδέν. Δεν σημειώνουμε ακόμη το μηδέν, αφού η λύση δεν έχει ολοκληρωθεί. Στη συνέχεια, συνεχίζουμε να υπολογίζουμε όπως στην κανονική διαίρεση. Αφαιρέστε το 8 και διαιρέστε το με το 2

8: 2 = 4. Γράφουμε το τέσσερα στο πηλίκο και το πολλαπλασιάζουμε αμέσως με τον διαιρέτη:

Λάβαμε απάντηση 2,4. Η τιμή της έκφρασης 4,8:2 είναι 2,4

Παράδειγμα 2.Βρείτε την τιμή της παράστασης 8.43: 3

Διαιρέστε το 8 με το 3, παίρνουμε 2. Βάλτε αμέσως κόμμα μετά το 2:

Τώρα πολλαπλασιάζουμε το πηλίκο με τον διαιρέτη 2 × 3 = 6. Γράφουμε το έξι κάτω από το οκτώ και βρίσκουμε το υπόλοιπο:

Διαιρούμε το 24 με το 3, παίρνουμε 8. Γράφουμε οκτώ στο πηλίκο. Πολλαπλασιάστε το αμέσως με τον διαιρέτη για να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης:

24−24=0. Το υπόλοιπο είναι μηδέν. Δεν γράφουμε ακόμη το μηδέν. Αφαιρούμε τα τρία τελευταία από το μέρισμα και διαιρούμε με το 3, παίρνουμε 1. Πολλαπλασιάζουμε αμέσως το 1 με το 3 για να ολοκληρώσουμε αυτό το παράδειγμα:

Η απάντηση που λάβαμε ήταν 2,81. Αυτό σημαίνει ότι η τιμή της έκφρασης 8,43: 3 είναι 2,81

Διαίρεση δεκαδικού με δεκαδικό

Για να διαιρέσετε ένα δεκαδικό κλάσμα με ένα δεκαδικό κλάσμα, πρέπει να μετακινήσετε την υποδιαστολή στο μέρισμα και τον διαιρέτη προς τα δεξιά με τον ίδιο αριθμό ψηφίων που υπάρχουν μετά την υποδιαστολή στον διαιρέτη και, στη συνέχεια, να διαιρέσετε με τον συνηθισμένο αριθμό.

Για παράδειγμα, διαιρέστε το 5,95 με το 1,7

Ας γράψουμε αυτή την έκφραση με μια γωνία

Τώρα στο μέρισμα και στον διαιρέτη μετακινούμε το κόμμα προς τα δεξιά κατά τον ίδιο αριθμό ψηφίων που υπάρχουν μετά την υποδιαστολή στον διαιρέτη. Ο διαιρέτης έχει ένα ψηφίο μετά την υποδιαστολή. Αυτό σημαίνει ότι στο μέρισμα και στον διαιρέτη πρέπει να μετακινήσουμε την υποδιαστολή προς τα δεξιά κατά ένα ψηφίο. Μεταφέρουμε:

Μετά τη μετακίνηση της υποδιαστολής προς τα δεξιά ένα ψηφίο, το δεκαδικό κλάσμα 5,95 έγινε το κλάσμα 59,5. Και το δεκαδικό κλάσμα 1,7, αφού μετακινήσετε την υποδιαστολή προς τα δεξιά κατά ένα ψηφίο, μετατράπηκε στον συνηθισμένο αριθμό 17. Και ξέρουμε ήδη πώς να διαιρέσουμε ένα δεκαδικό κλάσμα με έναν κανονικό αριθμό. Ο περαιτέρω υπολογισμός δεν είναι δύσκολος:

Το κόμμα μετακινείται προς τα δεξιά για να διευκολυνθεί η διαίρεση. Αυτό επιτρέπεται γιατί κατά τον πολλαπλασιασμό ή τη διαίρεση του μερίσματος και του διαιρέτη με τον ίδιο αριθμό, το πηλίκο δεν αλλάζει. Τι σημαίνει;

Αυτό είναι ένα από ενδιαφέροντα χαρακτηριστικάδιαίρεση. Ονομάζεται ιδιότητα πηλίκου. Θεωρήστε την παράσταση 9: 3 = 3. Εάν σε αυτήν την παράσταση το μέρισμα και ο διαιρέτης πολλαπλασιαστούν ή διαιρεθούν με τον ίδιο αριθμό, τότε το πηλίκο 3 δεν θα αλλάξει.

Ας πολλαπλασιάσουμε το μέρισμα και τον διαιρέτη επί 2 και ας δούμε τι βγαίνει από αυτό:

(9 × 2) : (3 × 2) = 18: 6 = 3

Όπως φαίνεται από το παράδειγμα, το πηλίκο δεν έχει αλλάξει.

Το ίδιο συμβαίνει όταν μετακινούμε το κόμμα στο μέρισμα και στο διαιρέτη. Στο προηγούμενο παράδειγμα, όπου διαιρέσαμε το 5,91 με το 1,7, μετακινήσαμε το κόμμα στο μέρισμα και τον διαιρέτη ένα ψηφίο προς τα δεξιά. Μετά τη μετακίνηση της υποδιαστολής, το κλάσμα 5,91 μετατράπηκε στο κλάσμα 59,1 και το κλάσμα 1,7 μετατράπηκε στον συνηθισμένο αριθμό 17.

Στην πραγματικότητα, μέσα σε αυτή τη διαδικασία υπήρχε ένας πολλαπλασιασμός με το 10. Έτσι φαινόταν:

5,91 × 10 = 59,1

Επομένως, ο αριθμός των ψηφίων μετά την υποδιαστολή στον διαιρέτη καθορίζει με τι θα πολλαπλασιαστεί το μέρισμα και ο διαιρέτης. Με άλλα λόγια, ο αριθμός των ψηφίων μετά την υποδιαστολή στον διαιρέτη θα καθορίσει πόσα ψηφία στο μέρισμα και στον διαιρέτη η υποδιαστολή θα μετακινηθεί προς τα δεξιά.

Διαίρεση δεκαδικού με 10, 100, 1000

Η διαίρεση ενός δεκαδικού με το 10, το 100 ή το 1000 γίνεται με τον ίδιο τρόπο όπως το . Για παράδειγμα, διαιρέστε το 2.1 με το 10. Λύστε αυτό το παράδειγμα χρησιμοποιώντας μια γωνία:

Υπάρχει όμως και δεύτερος τρόπος. Είναι πιο ελαφρύ. Η ουσία αυτής της μεθόδου είναι ότι το κόμμα στο μέρισμα μετακινείται προς τα αριστερά κατά τόσα ψηφία όσα μηδενικά υπάρχουν στον διαιρέτη.

Ας λύσουμε το προηγούμενο παράδειγμα με αυτόν τον τρόπο. 2.1: 10. Κοιτάμε τον διαιρέτη. Μας ενδιαφέρει πόσα μηδενικά υπάρχουν σε αυτό. Βλέπουμε ότι υπάρχει ένα μηδέν. Αυτό σημαίνει ότι στο μέρισμα του 2,1 πρέπει να μετακινήσετε την υποδιαστολή προς τα αριστερά κατά ένα ψηφίο. Μετακινούμε το κόμμα στο αριστερό μονοψήφιο και βλέπουμε ότι δεν έχουν μείνει άλλα ψηφία. Σε αυτήν την περίπτωση, προσθέστε άλλο ένα μηδέν πριν από τον αριθμό. Ως αποτέλεσμα παίρνουμε 0,21

Ας προσπαθήσουμε να διαιρέσουμε το 2,1 με το 100. Υπάρχουν δύο μηδενικά στο 100. Αυτό σημαίνει ότι στο μέρισμα 2.1 πρέπει να μετακινήσουμε το κόμμα προς τα αριστερά κατά δύο ψηφία:

2,1: 100 = 0,021

Ας προσπαθήσουμε να διαιρέσουμε το 2,1 με το 1000. Υπάρχουν τρία μηδενικά στο 1000. Αυτό σημαίνει ότι στο μέρισμα 2.1 πρέπει να μετακινήσετε το κόμμα προς τα αριστερά κατά τρία ψηφία:

2,1: 1000 = 0,0021

Διαιρώντας ένα δεκαδικό με 0,1, 0,01 και 0,001

Η διαίρεση ενός δεκαδικού κλάσματος με 0,1, 0,01 και 0,001 γίνεται με τον ίδιο τρόπο όπως . Στο μέρισμα και στον διαιρέτη, πρέπει να μετακινήσετε την υποδιαστολή προς τα δεξιά κατά τόσα ψηφία όσα υπάρχουν μετά την υποδιαστολή στον διαιρέτη.

Για παράδειγμα, ας διαιρέσουμε το 6,3 με το 0,1. Πρώτα απ 'όλα, ας μετακινήσουμε τα κόμματα στο μέρισμα και στο διαιρέτη προς τα δεξιά κατά τον ίδιο αριθμό ψηφίων που υπάρχουν μετά την υποδιαστολή στον διαιρέτη. Ο διαιρέτης έχει ένα ψηφίο μετά την υποδιαστολή. Αυτό σημαίνει ότι μετακινούμε τα κόμματα στο μέρισμα και τον διαιρέτη προς τα δεξιά κατά ένα ψηφίο.

Αφού μετακινήσετε την υποδιαστολή προς τα δεξιά ένα ψηφίο, το δεκαδικό κλάσμα 6,3 γίνεται ο συνηθισμένος αριθμός 63 και το δεκαδικό κλάσμα 0,1 μετά τη μετακίνηση της υποδιαστολής προς τα δεξιά ένα ψηφίο μετατρέπεται σε ένα. Και η διαίρεση 63 με 1 είναι πολύ απλή:

Αυτό σημαίνει ότι η τιμή της έκφρασης 6.3: 0.1 είναι 63

Υπάρχει όμως και δεύτερος τρόπος. Είναι πιο ελαφρύ. Η ουσία αυτής της μεθόδου είναι ότι το κόμμα στο μέρισμα μετακινείται προς τα δεξιά κατά τόσα ψηφία όσα μηδενικά υπάρχουν στον διαιρέτη.

Ας λύσουμε το προηγούμενο παράδειγμα με αυτόν τον τρόπο. 6,3: 0,1. Ας δούμε τον διαιρέτη. Μας ενδιαφέρει πόσα μηδενικά υπάρχουν σε αυτό. Βλέπουμε ότι υπάρχει ένα μηδέν. Αυτό σημαίνει ότι στο μέρισμα του 6,3 πρέπει να μετακινήσετε την υποδιαστολή προς τα δεξιά κατά ένα ψηφίο. Μετακινήστε το κόμμα στα δεξιά ένα ψηφίο και λάβετε 63

Ας προσπαθήσουμε να διαιρέσουμε το 6,3 με το 0,01. Ο διαιρέτης του 0,01 έχει δύο μηδενικά. Αυτό σημαίνει ότι στο μέρισμα 6.3 πρέπει να μετακινήσουμε την υποδιαστολή προς τα δεξιά κατά δύο ψηφία. Αλλά στο μέρισμα υπάρχει μόνο ένα ψηφίο μετά την υποδιαστολή. Σε αυτήν την περίπτωση, πρέπει να προσθέσετε ένα άλλο μηδέν στο τέλος. Ως αποτέλεσμα παίρνουμε 630

Ας προσπαθήσουμε να διαιρέσουμε το 6,3 με το 0,001. Ο διαιρέτης του 0,001 έχει τρία μηδενικά. Αυτό σημαίνει ότι στο μέρισμα 6.3 πρέπει να μετακινήσουμε την υποδιαστολή προς τα δεξιά κατά τρία ψηφία:

6,3: 0,001 = 6300

Εργασίες για ανεξάρτητη λύση

Σας άρεσε το μάθημα;
Γίνετε μέλος μας νέα ομάδα VKontakte και αρχίστε να λαμβάνετε ειδοποιήσεις για νέα μαθήματα

Οδηγίες

Μάθετε να μετατρέπετε δεκαδικά κλάσματα σε συνηθισμένα κλάσματα. Μετρήστε πόσους χαρακτήρες χωρίζονται με κόμμα. Ένα ψηφίο στα δεξιά της υποδιαστολής σημαίνει ότι ο παρονομαστής είναι 10, δύο σημαίνει 100, τρία σημαίνει 1000, κ.ο.κ. Για παράδειγμα, το δεκαδικό κλάσμα 6,8 είναι σαν "έξι σημείο οκτώ". Κατά τη μετατροπή του, γράψτε πρώτα τον αριθμό των ακέραιων μονάδων - 6. Γράψτε 10 στον παρονομαστή Ο αριθμός 8 θα εμφανιστεί στον αριθμητή. Θυμηθείτε τους κανόνες της συντομογραφίας. Εάν ο αριθμητής και ο παρονομαστής διαιρούνται με τον ίδιο αριθμό, τότε το κλάσμα μπορεί να μειωθεί κατά κοινός διαιρέτης. Σε αυτή την περίπτωση, ο αριθμός είναι 2. 6 8/10 = 6 2/5.

Δοκιμάστε να προσθέσετε δεκαδικούς αριθμούς. Εάν το κάνετε αυτό σε στήλη, τότε να είστε προσεκτικοί. Τα ψηφία όλων των αριθμών πρέπει να είναι αυστηρά το ένα κάτω από το άλλο - κάτω από το κόμμα. Οι κανόνες προσθήκης είναι ακριβώς οι ίδιοι όπως όταν λειτουργείτε με . Προσθέστε ένα άλλο δεκαδικό κλάσμα στον ίδιο αριθμό 6,8 - για παράδειγμα, 7,3. Γράψτε ένα τρία κάτω από ένα οκτώ, ένα κόμμα κάτω από ένα κόμμα και ένα επτά κάτω από ένα έξι. Ξεκινήστε να προσθέτετε από το τελευταίο ψηφίο. 3+8=11, δηλαδή γράψτε 1, θυμηθείτε 1. Στη συνέχεια, προσθέστε 6+7, παίρνετε 13. Προσθέστε ό,τι έμεινε στο μυαλό σας και σημειώστε το αποτέλεσμα - 14.1.

Η αφαίρεση ακολουθεί την ίδια αρχή. Γράψτε τα ψηφία το ένα κάτω από το άλλο και το κόμμα κάτω από το κόμμα. Πάντα να το χρησιμοποιείτε ως οδηγό, ειδικά εάν ο αριθμός των ψηφίων μετά από αυτό στο minuend είναι μικρότερος από το subtrahend. Αφαιρέστε από τον δεδομένο αριθμό, για παράδειγμα, 2.139. Γράψτε τα δύο κάτω από το έξι, το ένα κάτω από το οκτώ και τα υπόλοιπα δύο ψηφία κάτω από τα επόμενα ψηφία, τα οποία μπορούν να χαρακτηριστούν μηδενικά. Αποδεικνύεται ότι το minuend δεν είναι 6,8, αλλά 6,800. Εκτελώντας αυτήν την ενέργεια, θα λάβετε συνολικά 4.661.

Οι πράξεις με αρνητικούς δεκαδικούς εκτελούνται με τον ίδιο τρόπο όπως και με ακέραιους αριθμούς. Κατά την πρόσθεση, το μείον τοποθετείται έξω από τις αγκύλες και οι αριθμοί που δίνονται γράφονται στις αγκύλες και μεταξύ τους τοποθετείται ένα συν. Το αποτέλεσμα είναι ένας αρνητικός αριθμός. Δηλαδή, όταν προσθέσετε -6,8 και -7,3 θα έχετε το ίδιο αποτέλεσμα 14,1, αλλά με ένα σύμβολο "-" μπροστά. Εάν το subtrahend είναι μεγαλύτερο από το minuend, τότε το μείον αφαιρείται επίσης από την αγκύλη και ο μικρότερος αριθμός αφαιρείται από τον μεγαλύτερο αριθμό. Αφαιρέστε -7,3 από 6,8. Μετατρέψτε την έκφραση ως εξής. 6,8 - 7,3= -(7,3 - 6,8) = -0,5.

Για να πολλαπλασιάσετε δεκαδικούς αριθμούς, ξεχάστε για λίγο την υποδιαστολή. Πολλαπλασιάστε τα σαν να κοιτάζατε ακέραιους αριθμούς. Μετά από αυτό, μετρήστε τον αριθμό των ψηφίων προς τα δεξιά μετά την υποδιαστολή και στους δύο παράγοντες. Διαχωρίστε τον ίδιο αριθμό χαρακτήρων στο έργο. Ο πολλαπλασιασμός του 6,8 και του 7,3 δίνει συνολικά 49,64. Δηλαδή στα δεξιά της υποδιαστολής θα έχετε 2 πρόσημα, ενώ στον πολλαπλασιαστή και στον πολλαπλασιαστή ήταν από ένα.

Διαιρέστε το δοσμένο κλάσμα με κάποιον ακέραιο. Αυτή η ενέργεια εκτελείται με τον ίδιο ακριβώς τρόπο όπως και με τους ακέραιους αριθμούς. Το κύριο πράγμα είναι να μην ξεχάσετε το κόμμα και να βάλετε 0 στην αρχή εάν ο αριθμός των ολόκληρων μονάδων δεν διαιρείται με τον διαιρέτη. Για παράδειγμα, δοκιμάστε να διαιρέσετε το ίδιο 6,8 με το 26. Βάλτε 0 στην αρχή, αφού το 6 είναι μικρότερο από το 26. Διαχωρίστε το με κόμμα και μετά θα ακολουθήσουν τα δέκατα και τα εκατοστά. Το αποτέλεσμα θα είναι περίπου 0,26. Στην πραγματικότητα, σε αυτή την περίπτωση, προκύπτει ένα άπειρο μη περιοδικό κλάσμα, το οποίο μπορεί να στρογγυλοποιηθεί στον επιθυμητό βαθμό ακρίβειας.

Κατά τη διαίρεση δύο δεκαδικών κλασμάτων, χρησιμοποιήστε την ιδιότητα ότι όταν το μέρισμα και ο διαιρέτης πολλαπλασιάζονται με τον ίδιο αριθμό, το πηλίκο δεν αλλάζει. Δηλαδή, μετατρέψτε και τα δύο κλάσματα σε ακέραιους αριθμούς, ανάλογα με το πόσα δεκαδικά ψηφία υπάρχουν. Εάν θέλετε να διαιρέσετε το 6,8 με το 7,3, απλώς πολλαπλασιάστε και τους δύο αριθμούς με το 10. Αποδεικνύεται ότι πρέπει να διαιρέσετε το 68 με το 73. Εάν ένας από τους αριθμούς έχει περισσότερα δεκαδικά ψηφία, μετατρέψτε τον σε έναν ακέραιο πρώτα και μετά σε δεύτερο αριθμό. Πολλαπλασιάστε το με τον ίδιο αριθμό. Δηλαδή, όταν διαιρείτε το 6,8 με το 4,136, αυξήστε το μέρισμα και τον διαιρέτη όχι κατά 10, αλλά κατά 1000 φορές. Διαιρέστε το 6800 με το 1436 για να πάρετε 4,735.

Ήδη μέσα δημοτικό σχολείοοι μαθητές συναντούν κλάσματα. Και μετά εμφανίζονται σε κάθε θέμα. Δεν μπορείτε να ξεχάσετε ενέργειες με αυτούς τους αριθμούς. Επομένως, πρέπει να γνωρίζετε όλες τις πληροφορίες για τα συνηθισμένα και δεκαδικά κλάσματα. Αυτές οι έννοιες δεν είναι περίπλοκες, το κύριο πράγμα είναι να κατανοήσουμε τα πάντα με τη σειρά.

Γιατί χρειάζονται τα κλάσματα;

Ο κόσμος γύρω μας αποτελείται από ολόκληρα αντικείμενα. Επομένως, δεν υπάρχει ανάγκη για μετοχές. Αλλά καθημερινή ζωήωθεί συνεχώς τους ανθρώπους να εργάζονται με μέρη αντικειμένων και πραγμάτων.

Για παράδειγμα, η σοκολάτα αποτελείται από πολλά κομμάτια. Σκεφτείτε μια κατάσταση όπου το κεραμίδι του σχηματίζεται από δώδεκα ορθογώνια. Αν το χωρίσεις στα δύο, βγάζεις 6 μέρη. Μπορεί εύκολα να χωριστεί σε τρία. Αλλά δεν θα είναι δυνατό να δώσουμε σε πέντε άτομα έναν ακέραιο αριθμό φέτες σοκολάτας.

Παρεμπιπτόντως, αυτές οι φέτες είναι ήδη κλάσματα. Και η περαιτέρω διαίρεση τους οδηγεί στην εμφάνιση πιο σύνθετων αριθμών.

Τι είναι το «κλάσμα»;

Αυτός είναι ένας αριθμός που αποτελείται από μέρη μιας μονάδας. Εξωτερικά, μοιάζει με δύο αριθμούς που χωρίζονται από μια οριζόντια ή κάθετο. Αυτό το χαρακτηριστικό ονομάζεται κλασματικό. Ο αριθμός που γράφεται στην κορυφή (αριστερά) ονομάζεται αριθμητής. Αυτό που βρίσκεται στο κάτω μέρος (δεξιά) είναι ο παρονομαστής.

Ουσιαστικά, η κάθετο αποδεικνύεται σημάδι διαίρεσης. Δηλαδή, ο αριθμητής μπορεί να ονομαστεί μέρισμα και ο παρονομαστής μπορεί να ονομαστεί διαιρέτης.

Τι κλάσματα υπάρχουν;

Στα μαθηματικά υπάρχουν μόνο δύο τύποι: τα συνηθισμένα και τα δεκαδικά κλάσματα. Οι μαθητές συναντώνται για πρώτη φορά στο δημοτικό σχολείο, αποκαλώντας τα απλά «κλάσματα». Το τελευταίο θα μαθευτεί στην Ε' τάξη. Τότε είναι που εμφανίζονται αυτά τα ονόματα.

Κοινά κλάσματα είναι όλα αυτά που γράφονται ως δύο αριθμοί που χωρίζονται από μια γραμμή. Για παράδειγμα, 4/7. Δεκαδικός είναι ένας αριθμός στον οποίο το κλασματικό μέρος έχει σημειογραφία θέσης και διαχωρίζεται από τον ακέραιο αριθμό με κόμμα. Για παράδειγμα, 4.7. Οι μαθητές πρέπει να κατανοήσουν ξεκάθαρα ότι τα δύο παραδείγματα που δίνονται είναι εντελώς διαφορετικοί αριθμοί.

Κάθε απλό κλάσμα μπορεί να γραφτεί ως δεκαδικό. Αυτή η δήλωση ισχύει σχεδόν πάντα αντίστροφα. Υπάρχουν κανόνες που σας επιτρέπουν να γράψετε ένα δεκαδικό κλάσμα ως κοινό κλάσμα.

Τι υποτύπους έχουν αυτοί οι τύποι κλασμάτων;

Είναι καλύτερα να ξεκινήσετε με χρονολογική σειρά, όπως μελετώνται. Τα κοινά κλάσματα έρχονται πρώτα. Μεταξύ αυτών, διακρίνονται 5 υποείδη.

Σωστός. Ο αριθμητής του είναι πάντα μικρότερος από τον παρονομαστή του.

Λανθασμένος. Ο αριθμητής του είναι μεγαλύτερος ή ίσος με τον παρονομαστή του.

Μειώσιμο/μη αναγώσιμο. Μπορεί να αποδειχθεί είτε σωστό είτε λάθος. Ένα άλλο σημαντικό πράγμα είναι αν ο αριθμητής και ο παρονομαστής έχουν κοινούς παράγοντες. Εάν υπάρχουν, τότε είναι απαραίτητο να διαιρέσετε και τα δύο μέρη του κλάσματος με αυτά, δηλαδή να το μειώσετε.

Μικτός. Ένας ακέραιος αντιστοιχίζεται στο συνηθισμένο κανονικό (ακανόνιστο) κλασματικό μέρος του. Επιπλέον, είναι πάντα στα αριστερά.

Σύνθετος. Σχηματίζεται από δύο κλάσματα που διαιρούνται μεταξύ τους. Δηλαδή περιέχει τρεις κλασματικές γραμμές ταυτόχρονα.

Τα δεκαδικά κλάσματα έχουν μόνο δύο υποτύπους:

πεπερασμένος, δηλαδή εκείνος του οποίου το κλασματικό μέρος είναι περιορισμένο (έχει τέλος).

άπειρος - ένας αριθμός του οποίου τα ψηφία μετά την υποδιαστολή δεν τελειώνουν (μπορούν να γραφτούν ατελείωτα).

Πώς να μετατρέψετε ένα δεκαδικό κλάσμα σε κοινό κλάσμα;

Εάν αυτός είναι ένας πεπερασμένος αριθμός, τότε εφαρμόζεται ένας συσχετισμός που βασίζεται στον κανόνα - όπως ακούω, έτσι γράφω. Δηλαδή, πρέπει να το διαβάσετε σωστά και να το γράψετε, αλλά χωρίς κόμμα, αλλά με κλασματική γραμμή.

Ως υπόδειξη για τον απαιτούμενο παρονομαστή, πρέπει να θυμάστε ότι είναι πάντα ένα και πολλά μηδενικά. Πρέπει να γράψετε τόσα από τα τελευταία όσα ψηφία υπάρχουν στο κλασματικό μέρος του εν λόγω αριθμού.

Πώς να μετατρέψετε δεκαδικά κλάσματα σε συνηθισμένα κλάσματα εάν λείπει το ακέραιο μέρος τους, δηλαδή ίσο με το μηδέν; Για παράδειγμα, 0,9 ή 0,05. Αφού εφαρμόσετε τον καθορισμένο κανόνα, αποδεικνύεται ότι πρέπει να γράψετε μηδενικούς ακέραιους αριθμούς. Αλλά δεν ενδείκνυται. Το μόνο που μένει είναι να γράψουμε τα κλασματικά μέρη. Ο πρώτος αριθμός θα έχει παρονομαστή το 10, ο δεύτερος θα έχει παρονομαστή 100. Δηλαδή, τα παραδείγματα που δίνονται θα έχουν ως απαντήσεις τους ακόλουθους αριθμούς: 9/10, 5/100. Επιπλέον, αποδεικνύεται ότι το τελευταίο μπορεί να μειωθεί κατά 5. Επομένως, το αποτέλεσμα για αυτό πρέπει να γραφτεί ως 1/20.

Πώς μπορείτε να μετατρέψετε ένα δεκαδικό κλάσμα σε συνηθισμένο κλάσμα εάν το ακέραιο μέρος του είναι διαφορετικό από το μηδέν; Για παράδειγμα, 5.23 ή 13.00108. Και στα δύο παραδείγματα διαβάζεται ολόκληρο το μέρος και γράφεται η αξία του. Στην πρώτη περίπτωση είναι 5, στη δεύτερη είναι 13. Στη συνέχεια, πρέπει να προχωρήσετε στο κλασματικό μέρος. Η ίδια επέμβαση υποτίθεται ότι θα γίνει και με αυτούς. Ο πρώτος αριθμός εμφανίζεται 23/100, ο δεύτερος - 108/100000. Η δεύτερη τιμή πρέπει να μειωθεί ξανά. Η απάντηση δίνει τα ακόλουθα μικτά κλάσματα: 5 23/100 και 13 27/25000.

Πώς να μετατρέψετε ένα άπειρο δεκαδικό κλάσμα σε ένα συνηθισμένο κλάσμα;

Εάν δεν είναι περιοδική, τότε μια τέτοια λειτουργία δεν θα είναι δυνατή. Το γεγονός αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι κάθε δεκαδικό κλάσμα μετατρέπεται πάντα είτε σε πεπερασμένο είτε σε περιοδικό κλάσμα.

Το μόνο πράγμα που μπορείτε να κάνετε με ένα τέτοιο κλάσμα είναι να το στρογγυλοποιήσετε. Αλλά τότε το δεκαδικό θα είναι περίπου ίσο με αυτό το άπειρο. Μπορεί ήδη να μετατραπεί σε συνηθισμένο. Αλλά η αντίστροφη διαδικασία: η μετατροπή σε δεκαδικό δεν θα δώσει ποτέ την αρχική τιμή. Δηλαδή, άπειρα μη περιοδικά κλάσματα δεν μετατρέπονται σε συνηθισμένα κλάσματα. Αυτό πρέπει να το θυμόμαστε.

Πώς να γράψετε ένα άπειρο περιοδικό κλάσμα ως συνηθισμένο κλάσμα;

Σε αυτούς τους αριθμούς, υπάρχουν πάντα ένα ή περισσότερα ψηφία μετά την υποδιαστολή που επαναλαμβάνονται. Ονομάζονται περίοδος. Για παράδειγμα, 0,3(3). Εδώ το «3» είναι στην περίοδο. Ταξινομούνται ως ορθολογικά επειδή μπορούν να μετατραπούν σε συνηθισμένα κλάσματα.

Όσοι έχουν συναντήσει περιοδικά κλάσματα γνωρίζουν ότι μπορεί να είναι καθαρά ή μικτά. Στην πρώτη περίπτωση, η περίοδος ξεκινά αμέσως από το κόμμα. Στο δεύτερο, το κλασματικό μέρος αρχίζει με κάποιους αριθμούς και μετά αρχίζει η επανάληψη.

Ο κανόνας με τον οποίο πρέπει να γράψετε ένα άπειρο δεκαδικό ως κοινό κλάσμα θα είναι διαφορετικός για τους δύο τύπους αριθμών που υποδεικνύονται. Είναι πολύ εύκολο να γράψουμε καθαρά περιοδικά κλάσματα ως συνηθισμένα κλάσματα. Όπως και με τα πεπερασμένα, πρέπει να μετατραπούν: γράψτε την περίοδο στον αριθμητή και ο παρονομαστής θα είναι ο αριθμός 9, επαναλαμβανόμενος όσες φορές ο αριθμός των ψηφίων που περιέχει η περίοδος.

Για παράδειγμα, 0, (5). Ο αριθμός δεν έχει ακέραιο μέρος, επομένως πρέπει να ξεκινήσετε αμέσως με το κλασματικό μέρος. Γράψε το 5 ως αριθμητή και το 9 ως παρονομαστή, δηλαδή η απάντηση θα είναι το κλάσμα 5/9.

Ο κανόνας για το πώς να γράψετε ένα συνηθισμένο δεκαδικό περιοδικό κλάσμα που είναι μικτό.

Δείτε τη διάρκεια της περιόδου. Τόσα 9 θα έχει ο παρονομαστής.

Γράψτε τον παρονομαστή: πρώτα εννιά και μετά μηδενικά.

Για να προσδιορίσετε τον αριθμητή, πρέπει να γράψετε τη διαφορά δύο αριθμών. Όλοι οι αριθμοί μετά την υποδιαστολή θα ελαχιστοποιηθούν, μαζί με την τελεία. Εκπίπτει - είναι χωρίς περίοδο.

Για παράδειγμα, 0,5(8) - γράψτε το περιοδικό δεκαδικό κλάσμα ως κοινό κλάσμα. Το κλασματικό μέρος πριν από την περίοδο περιέχει ένα ψηφίο. Άρα θα υπάρχει ένα μηδέν. Υπάρχει επίσης μόνο ένας αριθμός στην περίοδο - 8. Δηλαδή, υπάρχει μόνο ένα εννιά. Δηλαδή, πρέπει να γράψετε 90 στον παρονομαστή.

Για να προσδιορίσετε τον αριθμητή, πρέπει να αφαιρέσετε το 5 από το 58. Αποδεικνύεται 53. Για παράδειγμα, θα πρέπει να γράψετε την απάντηση ως 53/90.

Πώς μετατρέπονται τα κλάσματα σε δεκαδικά;

Η απλούστερη επιλογή είναι ένας αριθμός του οποίου ο παρονομαστής είναι ο αριθμός 10, 100 κ.λπ. Στη συνέχεια, ο παρονομαστής απλώς απορρίπτεται και τοποθετείται κόμμα μεταξύ των κλασματικών και ακέραιων μερών.

Υπάρχουν περιπτώσεις που ο παρονομαστής μετατρέπεται εύκολα σε 10, 100 κλπ. Για παράδειγμα, οι αριθμοί 5, 20, 25. Αρκεί να τους πολλαπλασιάσουμε με 2, 5 και 4, αντίστοιχα. Απλά πρέπει να πολλαπλασιάσετε όχι μόνο τον παρονομαστή, αλλά και τον αριθμητή με τον ίδιο αριθμό.

Για όλες τις άλλες περιπτώσεις, ένας απλός κανόνας είναι χρήσιμος: διαιρέστε τον αριθμητή με τον παρονομαστή. Σε αυτήν την περίπτωση, μπορεί να λάβετε δύο πιθανές απαντήσεις: ένα πεπερασμένο ή περιοδικό δεκαδικό κλάσμα.

Πράξεις με συνηθισμένα κλάσματα

Πρόσθεση και αφαίρεση

Οι μαθητές τους γνωρίζουν νωρίτερα από τους άλλους. Επιπλέον, στην αρχή τα κλάσματα έχουν τους ίδιους παρονομαστές και μετά έχουν διαφορετικούς. Γενικοί κανόνεςμπορεί να περιοριστεί σε ένα τέτοιο σχέδιο.

Βρείτε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των παρονομαστών.

Γράψτε πρόσθετους παράγοντες για όλα τα συνηθισμένα κλάσματα.

Πολλαπλασιάστε τους αριθμητές και τους παρονομαστές με τους παράγοντες που καθορίζονται για αυτούς.

Προσθέστε (αφαιρέστε) τους αριθμητές των κλασμάτων και αφήστε τον κοινό παρονομαστή αμετάβλητο.

Αν ο αριθμητής του minuend είναι μικρότερος από το subtrahend, τότε πρέπει να μάθουμε αν έχουμε μικτό αριθμό ή σωστό κλάσμα.

Στην πρώτη περίπτωση, πρέπει να δανειστείτε ένα από ολόκληρο το μέρος. Προσθέστε τον παρονομαστή στον αριθμητή του κλάσματος. Και μετά κάντε την αφαίρεση.

Στο δεύτερο, είναι απαραίτητο να εφαρμοστεί ο κανόνας της αφαίρεσης ενός μεγαλύτερου αριθμού από έναν μικρότερο αριθμό. Δηλαδή, από την ενότητα του subtrahend, αφαιρέστε την ενότητα του minuend και ως απάντηση βάλτε ένα σύμβολο "-".

Δείτε προσεκτικά το αποτέλεσμα της πρόσθεσης (αφαίρεσης). Εάν λάβετε ένα ακατάλληλο κλάσμα, τότε πρέπει να επιλέξετε ολόκληρο το τμήμα. Δηλαδή, διαιρέστε τον αριθμητή με τον παρονομαστή.

Πολλαπλασιασμός και διαίρεση

Για να τα εκτελέσετε, τα κλάσματα δεν χρειάζεται να μειωθούν σε κοινό παρονομαστή. Αυτό διευκολύνει την εκτέλεση ενεργειών. Αλλά εξακολουθούν να απαιτούν από εσάς να ακολουθείτε τους κανόνες.

Κατά τον πολλαπλασιασμό των κλασμάτων, πρέπει να κοιτάξετε τους αριθμούς στους αριθμητές και στους παρονομαστές. Εάν οποιοσδήποτε αριθμητής και παρονομαστής έχει έναν κοινό παράγοντα, τότε μπορούν να μειωθούν.

Πολλαπλασιάστε τους αριθμητές.

Πολλαπλασιάστε τους παρονομαστές.

Εάν το αποτέλεσμα είναι ένα αναγώγιμο κλάσμα, τότε πρέπει να απλοποιηθεί ξανά.

Κατά τη διαίρεση, πρέπει πρώτα να αντικαταστήσετε τη διαίρεση με πολλαπλασιασμό και τον διαιρέτη (δεύτερο κλάσμα) με το αμοιβαίο κλάσμα (ανταλλάξτε τον αριθμητή και τον παρονομαστή).

Στη συνέχεια προχωρήστε όπως με τον πολλαπλασιασμό (ξεκινώντας από το σημείο 1).

Σε εργασίες όπου χρειάζεται να πολλαπλασιάσετε (διαιρέσετε) με έναν ακέραιο αριθμό, ο τελευταίος θα πρέπει να γράφεται ως ακατάλληλο κλάσμα. Δηλαδή με παρονομαστή 1. Στη συνέχεια, ενεργήστε όπως περιγράφεται παραπάνω.



Πράξεις με δεκαδικούς αριθμούς

Πρόσθεση και αφαίρεση

Φυσικά, μπορείτε πάντα να μετατρέψετε ένα δεκαδικό σε κλάσμα. Και ενεργήστε σύμφωνα με το σχέδιο που έχει ήδη περιγραφεί. Αλλά μερικές φορές είναι πιο βολικό να ενεργείτε χωρίς αυτή τη μετάφραση. Τότε οι κανόνες για την πρόσθεση και την αφαίρεση τους θα είναι ακριβώς οι ίδιοι.

Εξισώστε τον αριθμό των ψηφίων στο κλασματικό μέρος του αριθμού, δηλαδή μετά την υποδιαστολή. Προσθέστε τον αριθμό των μηδενικών που λείπουν σε αυτό.

Γράψτε τα κλάσματα έτσι ώστε το κόμμα να είναι κάτω από το κόμμα.

Προσθέστε (αφαιρέστε) όπως φυσικούς αριθμούς.

Αφαιρέστε το κόμμα.

Πολλαπλασιασμός και διαίρεση

Είναι σημαντικό ότι δεν χρειάζεται να προσθέσετε μηδενικά εδώ. Τα κλάσματα πρέπει να μείνουν όπως δίνονται στο παράδειγμα. Και μετά πηγαίνετε σύμφωνα με το σχέδιο.

Για να πολλαπλασιάσετε, πρέπει να γράψετε τα κλάσματα το ένα κάτω από το άλλο, αγνοώντας τα κόμματα.

Πολλαπλασιάστε όπως οι φυσικοί αριθμοί.

Βάλτε κόμμα στην απάντηση, μετρώντας από το δεξί άκρο της απάντησης τόσα ψηφία όσα είναι στα κλασματικά μέρη και των δύο παραγόντων.

Για να διαιρέσετε, πρέπει πρώτα να μετατρέψετε τον διαιρέτη: να τον κάνετε φυσικό αριθμό. Δηλαδή πολλαπλασιάστε το με 10, 100 κ.λπ., ανάλογα με το πόσα ψηφία υπάρχουν στο κλασματικό μέρος του διαιρέτη.

Πολλαπλασιάστε το μέρισμα με τον ίδιο αριθμό.

Διαιρέστε ένα δεκαδικό κλάσμα με έναν φυσικό αριθμό.

Βάλτε κόμμα στην απάντησή σας τη στιγμή που τελειώνει η διαίρεση ολόκληρου του μέρους.



Τι γίνεται αν ένα παράδειγμα περιέχει και τους δύο τύπους κλασμάτων;

Ναι, στα μαθηματικά υπάρχουν συχνά παραδείγματα στα οποία πρέπει να εκτελέσετε πράξεις σε συνηθισμένα και δεκαδικά κλάσματα. Σε τέτοιες εργασίες υπάρχουν δύο πιθανές λύσεις. Πρέπει να ζυγίσετε αντικειμενικά τους αριθμούς και να επιλέξετε τον βέλτιστο.

Πρώτος τρόπος: αναπαράσταση συνηθισμένων δεκαδικών

Είναι κατάλληλο εάν η διαίρεση ή η μετάφραση έχει ως αποτέλεσμα πεπερασμένα κλάσματα. Εάν τουλάχιστον ένας αριθμός δίνει ένα περιοδικό μέρος, τότε αυτή η τεχνική απαγορεύεται. Επομένως, ακόμα κι αν δεν σας αρέσει να εργάζεστε με συνηθισμένα κλάσματα, θα πρέπει να τα μετρήσετε.

Δεύτερος τρόπος: γράψτε τα δεκαδικά κλάσματα ως συνηθισμένα

Αυτή η τεχνική αποδεικνύεται βολική εάν το τμήμα μετά την υποδιαστολή περιέχει 1-2 ψηφία. Εάν υπάρχουν περισσότερα από αυτά, μπορεί να καταλήξετε με ένα πολύ μεγάλο κοινό κλάσμα και ο δεκαδικός συμβολισμός θα κάνει την εργασία πιο γρήγορη και ευκολότερη στον υπολογισμό. Επομένως, πρέπει πάντα να αξιολογείτε νηφάλια την εργασία και να επιλέξετε την απλούστερη μέθοδο λύσης.

Η διαίρεση με δεκαδικό κλάσμα ανάγεται σε διαίρεση με φυσικό αριθμό.

Ο κανόνας για τη διαίρεση ενός αριθμού με ένα δεκαδικό κλάσμα

Για να διαιρέσετε έναν αριθμό με ένα δεκαδικό κλάσμα, πρέπει να μετακινήσετε το κόμμα τόσο στο μέρισμα όσο και στο διαιρέτη προς τα δεξιά τόσα ψηφία όσα υπάρχουν στον διαιρέτη μετά την υποδιαστολή. Μετά από αυτό, διαιρέστε με έναν φυσικό αριθμό.

Παραδείγματα.

Διαιρέστε με δεκαδικό κλάσμα:

Για να διαιρέσετε με δεκαδικό, πρέπει να μετακινήσετε την υποδιαστολή τόσο στο μέρισμα όσο και στο διαιρέτη με τόσα ψηφία προς τα δεξιά όσα υπάρχουν μετά την υποδιαστολή στον διαιρέτη, δηλαδή κατά ένα ψηφίο. Παίρνουμε: 35,1: 1,8 = 351: 18. Τώρα εκτελούμε τη διαίρεση με γωνία. Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε: 35,1: 1,8 = 19,5.

2) 14,76: 3,6

Για να διαιρέσουμε δεκαδικά κλάσματα, τόσο στο μέρισμα όσο και στο διαιρέτη μετακινούμε την υποδιαστολή προς τα δεξιά: 14,76: 3,6 = 147,6: 36. Τώρα εκτελούμε έναν φυσικό αριθμό. Αποτέλεσμα: 14,76: 3,6 = 4,1.

Για να διαιρέσετε έναν φυσικό αριθμό με ένα δεκαδικό κλάσμα, πρέπει να μετακινήσετε τόσο το μέρισμα όσο και το διαιρέτη προς τα δεξιά τόσες θέσεις όσες υπάρχουν στον διαιρέτη μετά την υποδιαστολή. Δεδομένου ότι σε αυτή την περίπτωση δεν γράφεται κόμμα στον διαιρέτη, συμπληρώνουμε τον αριθμό των χαρακτήρων που λείπουν με μηδενικά: 70: 1,75 = 7000: 175. Διαιρούμε τους φυσικούς αριθμούς που προκύπτουν με μια γωνία: 70: 1,75 = 7000: 175 = 40 .

4) 0,1218: 0,058

Για να διαιρέσουμε ένα δεκαδικό κλάσμα με ένα άλλο, μετακινούμε την υποδιαστολή προς τα δεξιά και στο μέρισμα και στο διαιρέτη με τόσα ψηφία όσα υπάρχουν στον διαιρέτη μετά την υποδιαστολή, δηλαδή με τρία δεκαδικά ψηφία. Έτσι, 0,1218: 0,058 = 121,8: 58. Η διαίρεση με ένα δεκαδικό κλάσμα αντικαταστάθηκε από τη διαίρεση με έναν φυσικό αριθμό. Μοιραζόμαστε μια γωνιά. Έχουμε: 0,1218: 0,058 = 121,8: 58 = 2,1.

5) 0,0456: 3,8