Ορισμός τετραέδρου

Τετράεδρο– το απλούστερο πολυεδρικό σώμα, του οποίου οι όψεις και η βάση είναι τρίγωνα.

Ηλεκτρονική αριθμομηχανή

Ένα τετράεδρο έχει τέσσερις όψεις, καθεμία από τις οποίες σχηματίζεται από τρεις πλευρές. Το τετράεδρο έχει τέσσερις κορυφές, με τρεις ακμές να βγαίνουν από την καθεμία.

Αυτό το σώμα χωρίζεται σε διάφορους τύπους. Παρακάτω είναι η ταξινόμησή τους.

1. Ισοεδρικό τετράεδρο- όλες οι όψεις του είναι πανομοιότυπα τρίγωνα.
2. Ορθόκεντρο τετράεδρο- όλα τα ύψη που λαμβάνονται από κάθε κορυφή προς την αντίθετη όψη είναι ίσα σε μήκος.
3. Ορθογώνιο τετράεδρο- οι άκρες που προέρχονται από μια κορυφή σχηματίζουν γωνία 90 μοιρών μεταξύ τους.
4. Πλαίσιο;
5. Ανάλογος;
6. Ενκεντρική.

Τύποι όγκου τετραέδρου

Ο όγκος ενός δεδομένου σώματος μπορεί να βρεθεί με διάφορους τρόπους. Ας τα δούμε πιο αναλυτικά.

Μέσω του μικτού γινόμενου διανυσμάτων

Εάν ένα τετράεδρο είναι χτισμένο σε τρία διανύσματα με συντεταγμένες:

A ⃗ = (a x , a y , a z) \vec(a)=(a_x, a_y, a_z)ένα= (ένα Χ​ , ένα y​ , ένα z​ )
b ⃗ = (b x, b y, b z) \vec(b)=(b_x, b_y, b_z)σι= (σι Χ​ , σι y​ , σι z​ )
c ⃗ = (c x, c y, c z) \vec(c)=(c_x, c_y, c_z)ντο= (ντο Χ​ , ντο y​ , ντο z​ ) ,

τότε ο όγκος αυτού του τετραέδρου είναι το μικτό γινόμενο αυτών των διανυσμάτων, δηλαδή η ακόλουθη ορίζουσα:

V = 1 6 ⋅ ∣ a x a y a z b x b y b z c x c y c z ∣ V=\frac(1)(6)\cdot\begin(vmatrix) a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c__z & c_xy )V=6 1 ​ ⋅ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ ένα Χ​ σι Χ​ ντο Χ​ ​ ένα y​ σι y​ ντο y​ ​ ένα z​ σι z​ ντο z​ ​ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​

Οι συντεταγμένες των τεσσάρων κορυφών του οκταέδρου είναι γνωστές. A(1, 4, 9) A(1,4,9) A(1, 4, 9), B (8, 7, 3) B(8,7,3) B(8, 7, 3), C (1 , 2 , 3) ​​C (1,2,3) Γ(1, 2, 3), D(7, 12, 1) D(7,12,1) D(7, 1 2, 1). Βρείτε τον όγκο του.

Λύση

A(1, 4, 9) A(1,4,9) A(1, 4, 9)
B (8, 7, 3) B(8,7,3) B(8, 7, 3)
C (1 , 2 , 3) ​​C (1,2,3) Γ(1, 2, 3)
D(7, 12, 1) D(7,12,1) D(7, 1 2, 1)

Το πρώτο βήμα είναι να προσδιοριστούν οι συντεταγμένες των διανυσμάτων πάνω στα οποία είναι δομημένο αυτό το σώμα.
Για να γίνει αυτό, πρέπει να βρείτε κάθε διανυσματική συντεταγμένη αφαιρώντας τις αντίστοιχες συντεταγμένες των δύο σημείων. Για παράδειγμα, οι συντεταγμένες του διανύσματος A B → \overrightarrow(AB) Α Β, δηλαδή ένα διάνυσμα κατευθυνόμενο από το σημείο Α Α ΕΝΑμέχρι κάποιο σημείο Β Β σι, αυτές είναι οι διαφορές μεταξύ των αντίστοιχων συντεταγμένων των σημείων Β Β σιΚαι Α Α ΕΝΑ:

A B → = (8 − 1 , 7 − 4 , 3 − 9) = (7 , 3 , − 6) \overrightarrow(AB)=(8-1, 7-4, 3-9)=(7, 3, -6)Α Β= (8 − 1 , 7 − 4 , 3 − 9 ) = (7 , 3 , − 6 )

A C → = (1 − 1 , 2 − 4 , 3 − 9) = (0 , − 2 , − 6) \overrightarrow(AC)=(1-1, 2-4, 3-9)=(0, - 2, -6)ΜΕΤΑ ΧΡΙΣΤΟΝ= (1 − 1 , 2 − 4 , 3 − 9 ) = (0 , − 2 , − 6 )
A D → = (7 − 1 , 12 − 4 , 1 − 9) = (6 , 8 , − 8) \overrightarrow(AD)=(7-1, 12-4, 1-9)=(6, 8, -8)ΕΝΑ Δ= (7 − 1 , 1 2 − 4 , 1 − 9 ) = (6 , 8 , − 8 )

Τώρα ας βρούμε το μικτό γινόμενο αυτών των διανυσμάτων για να το κάνουμε αυτό, θα συνθέσουμε μια ορίζουσα τρίτης τάξης, ενώ θα την αποδεχθούμε A B → = a ⃗ \overrightarrow(AB)=\vec(a)Α Β= ένα, A C → = b ⃗ \overrightarrow(AC)=\vec(b)ΜΕΤΑ ΧΡΙΣΤΟΝ= σι, A D → = c ⃗ \overrightarrow(AD)=\vec(c)ΕΝΑ Δ= ντο.

a x a y a z b x b y b z c x c y c z (− 6) ⋅ (− 2) ⋅ 6 − 7 ⋅ (− 6) ⋅ 8 − 3 ⋅ 0 ⋅ (− 8) = 112 − 108 − 0 − 3 mat x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \\ \end(vmatrix)= \begin(vmatrix) 7 & 3 & -6 \\ 0 & -2 & -6 \\ 6 & 8 & -8 \\ \end(vmatrix)=7\cdot(-2)\cdot(-8) + 3\cdot(-6)\cdot6 + (-6)\cdot0\cdot8 - (-6)\ cdot (-2)\cdot6 - 7\cdot(-6)\cdot8 - 3\cdot0\cdot(-8) = 112 - 108 - 0 - 72 + 336 + 0 = 268∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ ένα Χ​ σι Χ​ ντοΧ​ ​ έναy​ σιy​ ντοy​ ​ έναz​ σιz​ ντοz​ ​ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ 7 0 6 ​ 3 − 2 8 ​ − 6 − 6 − 8 ​ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ = 7 ⋅ (− 2 ) ⋅ (− 8 ) + 3 ⋅ (− 6 ) ⋅ 6 + (− 6 ) ⋅ 0 ⋅ 8 − (− 6 ) ⋅ (− 2 ) ⋅ 6 − 7 ⋅ (− 6 ) ⋅ 8 − 3 ⋅ 0 ⋅ (− 8 ) = 1 1 2 − 1 0 8 − 0 − 7 2 + 3 3 6 + 0 = 2 6 8

Δηλαδή, ο όγκος του τετραέδρου είναι ίσος με:

$V=61\cdot |$

Απάντηση

$44.8\text{εκ3 .}$

Τύπος για τον όγκο ενός ισοεδρικού τετραέδρου κατά μήκος της πλευράς του

Αυτός ο τύπος ισχύει μόνο για τον υπολογισμό του όγκου ενός ισοεδρικού τετραέδρου, δηλαδή ενός τετραέδρου στο οποίο όλες οι όψεις είναι πανομοιότυπα κανονικά τρίγωνα.

$V=12\sqrt{2\cdot {έ\nu \alpha }^3}$

α αένα- μήκος της άκρης του τετραέδρου.

Προσδιορίστε τον όγκο ενός τετραέδρου με την πλευρά του ίση με $11\text{εκ.}$

Λύση

$έ\nu \alpha =11$

Ας αντικαταστήσουμε α αέναστον τύπο για τον όγκο ενός τετραέδρου:

$V=12\sqrt{2\cdot {έ\nu \alpha }^{3=12\sqrt{2\cdot 11^{3\approx 156.8\text{εκ3}}}}}$

Απάντηση

$156.8\text{εκ3 .}$

Από τον βασικό τύπο για τον όγκο ενός τετραέδρου

Οπου μικρόείναι η περιοχή οποιουδήποτε προσώπου και H– το ύψος που χαμηλώνει, μπορεί να προκύψει μια ολόκληρη σειρά τύπων που εκφράζουν τον όγκο μέσω διαφόρων στοιχείων του τετραέδρου. Ας παρουσιάσουμε αυτούς τους τύπους για το τετράεδρο Α Β Γ Δ.

(2) ,

που ∠ ( ΕΝΑ Δ,αλφάβητο) – γωνία μεταξύ της άκρης ΕΝΑ Δκαι το επίπεδο του προσώπου αλφάβητο;

(3) ,

που ∠ ( αλφάβητο,ABD) – γωνία μεταξύ των προσώπων αλφάβητοΚαι ABD;

όπου | ΑΒ,CD| – απόσταση μεταξύ των αντίθετων πλευρών ΑΒΚαι CD, ∠ (ΑΒ,CD) είναι η γωνία μεταξύ αυτών των άκρων.

Οι τύποι (2)–(4) μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την εύρεση των γωνιών μεταξύ ευθειών και επιπέδων. Ο τύπος (4) είναι ιδιαίτερα χρήσιμος, με τον οποίο μπορείτε να βρείτε την απόσταση μεταξύ των γραμμών διέλευσης ΑΒΚαι CD.

Οι τύποι (2) και (3) είναι παρόμοιοι με τον τύπο μικρό = (1/2)αβαμαρτία ντογια το εμβαδόν του τριγώνου. Τύπος μικρό = rpπαρόμοια φόρμουλα

Οπου rείναι η ακτίνα της εγγεγραμμένης σφαίρας του τετραέδρου, Σ είναι η συνολική του επιφάνεια (το άθροισμα των εμβαδών όλων των όψεων). Υπάρχει επίσης μια όμορφη φόρμουλα που συνδέει τον όγκο ενός τετραέδρου με την ακτίνα Rη περιγραφόμενη σφαίρα του ( Φόρμουλα Crellet):

όπου Δ είναι το εμβαδόν ενός τριγώνου του οποίου οι πλευρές είναι αριθμητικά ίσες με τα γινόμενα των απέναντι άκρων ( ΑΒ× CD, ΜΕΤΑ ΧΡΙΣΤΟΝ.× BD,ΕΝΑ Δ× ΠΡΟ ΧΡΙΣΤΟΥ.). Από τον τύπο (2) και το θεώρημα συνημιτόνου για τις τριεδρικές γωνίες (βλ. Σφαιρική τριγωνομετρία), μπορούμε να εξαγάγουμε έναν τύπο παρόμοιο με τον τύπο του Ήρωνα για τα τρίγωνα.

Θεωρήστε ένα αυθαίρετο τρίγωνο ABC και ένα σημείο D που δεν βρίσκεται στο επίπεδο αυτού του τριγώνου. Ας συνδέσουμε αυτό το σημείο με τις κορυφές του τριγώνου ABC χρησιμοποιώντας τμήματα. Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε τρίγωνα ADC, CDB, ABD. Η επιφάνεια που οριοθετείται από τέσσερα τρίγωνα ABC, ADC, CDB και ABD ονομάζεται τετράεδρο και ονομάζεται DABC.
Τα τρίγωνα που αποτελούν ένα τετράεδρο ονομάζονται όψεις του.
Οι πλευρές αυτών των τριγώνων ονομάζονται άκρες του τετραέδρου. Και οι κορυφές τους είναι οι κορυφές ενός τετραέδρου

Το τετράεδρο έχει 4 πρόσωπα, 6 παϊδάκιαΚαι 4 κορυφές.
Δύο ακμές που δεν έχουν κοινή κορυφή ονομάζονται αντίθετες.
Συχνά, για ευκολία, ονομάζεται ένα από τα πρόσωπα του τετραέδρου βάση, και οι υπόλοιπες τρεις όψεις είναι πλευρικές όψεις.

Έτσι, ένα τετράεδρο είναι το απλούστερο πολύεδρο του οποίου οι όψεις είναι τέσσερα τρίγωνα.

Αλλά είναι επίσης αλήθεια ότι κάθε αυθαίρετη τριγωνική πυραμίδα είναι ένα τετράεδρο. Τότε είναι επίσης αλήθεια ότι ονομάζεται τετράεδρο μια πυραμίδα με ένα τρίγωνο στη βάση της.

Ύψος τετραέδρουονομάζεται τμήμα που συνδέει μια κορυφή με ένα σημείο που βρίσκεται στην απέναντι όψη και κάθετο σε αυτήν.
Διάμεσος τετραέδρουονομάζεται τμήμα που συνδέει μια κορυφή με το σημείο τομής των διαμέσου της απέναντι όψης.
Διμέσο ενός τετραέδρουονομάζεται τμήμα που συνδέει τα μέσα των τεμνόμενων άκρων ενός τετραέδρου.

Δεδομένου ότι ένα τετράεδρο είναι μια πυραμίδα με τριγωνική βάση, ο όγκος οποιουδήποτε τετραέδρου μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο

• μικρό– περιοχή οποιουδήποτε προσώπου,
• H– ύψος χαμηλωμένο σε αυτό το πρόσωπο

Κανονικό τετράεδρο - ένας ειδικός τύπος τετραέδρου

Ένα τετράεδρο στο οποίο όλες οι όψεις είναι ισόπλευρες ονομάζεται τρίγωνο. σωστός.
Ιδιότητες ενός κανονικού τετραέδρου:

• Όλες οι άκρες είναι ίσες.
• Όλες οι επίπεδες γωνίες ενός κανονικού τετραέδρου είναι 60°
• Δεδομένου ότι κάθε κορυφή του είναι η κορυφή τριών κανονικών τριγώνων, το άθροισμα των επίπεδων γωνιών σε κάθε κορυφή είναι 180°
• Οποιαδήποτε κορυφή ενός κανονικού τετραέδρου προβάλλεται στο ορθόκεντρο της απέναντι όψης (στο σημείο τομής των υψομέτρων του τριγώνου).

Ας μας δοθεί ένα κανονικό τετράεδρο ABCD με ακμές ίσες με a. DH είναι το ύψος του.
Ας κάνουμε επιπλέον κατασκευές BM - το ύψος του τριγώνου ABC και DM - το ύψος του τριγώνου ACD.
Το ύψος του ΒΜ ισούται με ΒΜ και ισούται με
Θεωρήστε το τρίγωνο BDM, όπου DH, που είναι το ύψος του τετραέδρου, είναι επίσης το ύψος αυτού του τριγώνου.
Το ύψος του τριγώνου που έπεσε στην πλευρά MB μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας τον τύπο

, Οπου
BM=, DM=, BD=a,
p=1/2 (BM+BD+DM)=
Ας αντικαταστήσουμε αυτές τις τιμές στον τύπο ύψους. Παίρνουμε


Ας βγάλουμε 1/2α. Παίρνουμε

Ας εφαρμόσουμε τον τύπο διαφοράς τετραγώνων

Μετά από μικρές μεταμορφώσεις παίρνουμε


Ο όγκος οποιουδήποτε τετραέδρου μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο
,
Οπου ,

Αντικαθιστώντας αυτές τις τιμές, παίρνουμε

Έτσι, ο τύπος όγκου για ένα κανονικό τετράεδρο είναι

Οπου ένα– ακμή τετραέδρου

Υπολογισμός του όγκου ενός τετραέδρου αν είναι γνωστές οι συντεταγμένες των κορυφών του

Ας μας δοθούν οι συντεταγμένες των κορυφών του τετραέδρου

Από την κορυφή σχεδιάζουμε τα διανύσματα , , .
Για να βρείτε τις συντεταγμένες καθενός από αυτά τα διανύσματα, αφαιρέστε την αντίστοιχη συντεταγμένη έναρξης από την συντεταγμένη τέλους. Παίρνουμε