Εύρος αποδεκτών τιμών (APV) του λογαρίθμου

Τώρα ας μιλήσουμε για περιορισμούς (ODZ - το εύρος των επιτρεπόμενων τιμών των μεταβλητών).

Θυμόμαστε ότι, για παράδειγμα, η τετραγωνική ρίζα δεν μπορεί να ληφθεί από αρνητικούς αριθμούς. ή αν έχουμε κλάσμα, τότε ο παρονομαστής δεν μπορεί να είναι ίσος με μηδέν. Οι λογάριθμοι έχουν παρόμοιους περιορισμούς:

Δηλαδή, τόσο το όρισμα όσο και η βάση πρέπει να είναι μεγαλύτερα από το μηδέν, αλλά η βάση δεν μπορεί ακόμη να είναι ίση.

Γιατί συμβαίνει αυτό;

Ας ξεκινήσουμε με ένα απλό πράγμα: ας το πούμε αυτό. Τότε, για παράδειγμα, ο αριθμός δεν υπάρχει, αφού σε όποια δύναμη και να ανεβάζουμε, πάντα βγαίνει. Επιπλέον, δεν υπάρχει για κανέναν. Αλλά ταυτόχρονα μπορεί να είναι ίσο με οτιδήποτε (για τον ίδιο λόγο - είναι ίσο σε οποιοδήποτε βαθμό). Επομένως, το αντικείμενο δεν παρουσιάζει κανένα ενδιαφέρον και απλώς πετάχτηκε έξω από τα μαθηματικά.

Έχουμε ένα παρόμοιο πρόβλημα στην περίπτωση: σε οποιαδήποτε θετική δύναμη είναι, αλλά δεν μπορεί να ανυψωθεί σε αρνητική ισχύ καθόλου, αφού αυτό θα έχει ως αποτέλεσμα τη διαίρεση με το μηδέν (να σας το θυμίσω αυτό).

Όταν βρισκόμαστε αντιμέτωποι με το πρόβλημα της αύξησης σε μια κλασματική δύναμη (η οποία αναπαρίσταται ως ρίζα: . Για παράδειγμα, (δηλαδή), αλλά δεν υπάρχει.

Ως εκ τούτου, είναι πιο εύκολο να πετάξετε τους αρνητικούς λόγους παρά να τους πειράξετε.

Λοιπόν, δεδομένου ότι η βάση μας α μπορεί να είναι μόνο θετική, τότε όποια δύναμη κι αν την ανεβάζουμε, θα παίρνουμε πάντα έναν αυστηρά θετικό αριθμό. Άρα το επιχείρημα πρέπει να είναι θετικό. Για παράδειγμα, δεν υπάρχει, αφού δεν θα είναι αρνητικός αριθμός σε κανένα βαθμό (ή ακόμα και μηδέν, άρα και δεν υπάρχει).

Σε προβλήματα με λογάριθμους, το πρώτο πράγμα που πρέπει να κάνετε είναι να γράψετε το ODZ. Επιτρέψτε μου να σας δώσω ένα παράδειγμα:

Ας λύσουμε την εξίσωση.

Ας θυμηθούμε τον ορισμό: λογάριθμος είναι η δύναμη στην οποία πρέπει να ανυψωθεί η βάση για να ληφθεί ένα όρισμα. Και σύμφωνα με την προϋπόθεση, ο βαθμός αυτός ισούται με: .

Παίρνουμε τη συνηθισμένη τετραγωνική εξίσωση: . Ας το λύσουμε χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Vieta: το άθροισμα των ριζών είναι ίσο και το γινόμενο. Εύκολο στην παραλαβή, αυτοί είναι αριθμοί και.

Αλλά αν πάρετε αμέσως και γράψετε και τους δύο αυτούς αριθμούς στην απάντηση, μπορείτε να πάρετε 0 βαθμούς για το πρόβλημα. Γιατί; Ας σκεφτούμε τι θα συμβεί αν αντικαταστήσουμε αυτές τις ρίζες στην αρχική εξίσωση;

Αυτό είναι σαφώς λανθασμένο, αφού η βάση δεν μπορεί να είναι αρνητική, δηλαδή η ρίζα είναι "τρίτο μέρος".

Για να αποφύγετε τέτοιες δυσάρεστες παγίδες, πρέπει να γράψετε το ODZ ακόμη και πριν αρχίσετε να λύνετε την εξίσωση:

Στη συνέχεια, έχοντας λάβει τις ρίζες και, πετάμε αμέσως τη ρίζα και γράφουμε τη σωστή απάντηση.

Παράδειγμα 1(προσπάθησε να το λύσεις μόνος σου) :

Βρείτε τη ρίζα της εξίσωσης. Εάν υπάρχουν πολλές ρίζες, υποδείξτε τη μικρότερη από αυτές στην απάντησή σας.

Διάλυμα:

Πρώτα απ 'όλα, ας γράψουμε το ODZ:

Τώρα ας θυμηθούμε τι είναι ο λογάριθμος: σε ποια δύναμη χρειάζεστε για να αυξήσετε τη βάση για να λάβετε το όρισμα; Στο δεύτερο. Ήτοι:

Φαίνεται ότι η μικρότερη ρίζα είναι ίση. Αλλά αυτό δεν είναι έτσι: σύμφωνα με το ODZ, η ρίζα είναι ξένη, δηλαδή δεν είναι καθόλου η ρίζα αυτής της εξίσωσης. Έτσι, η εξίσωση έχει μόνο μία ρίζα: .

Απάντηση: .

Βασική λογαριθμική ταυτότητα

Ας θυμηθούμε τον ορισμό του λογάριθμου σε γενική μορφή:

Ας αντικαταστήσουμε τον λογάριθμο με τη δεύτερη ισότητα:

Αυτή η ισότητα ονομάζεται βασική λογαριθμική ταυτότητα. Αν και στην ουσία αυτό είναι ισότητα - απλώς γράφεται διαφορετικά ορισμός του λογάριθμου:

Αυτή είναι η δύναμη στην οποία πρέπει να αυξήσετε για να φτάσετε.

Για παράδειγμα:

Λύστε τα παρακάτω παραδείγματα:

Παράδειγμα 2.

Βρείτε το νόημα της έκφρασης.

Διάλυμα:

Ας θυμηθούμε τον κανόνα από την ενότητα:, δηλαδή, όταν ανεβάζουμε μια δύναμη σε δύναμη, οι εκθέτες πολλαπλασιάζονται. Ας το εφαρμόσουμε:

Παράδειγμα 3.

Αποδείξτε το.

Διάλυμα:

Ιδιότητες λογαρίθμων

Δυστυχώς, οι εργασίες δεν είναι πάντα τόσο απλές - συχνά πρέπει πρώτα να απλοποιήσετε την έκφραση, να τη φέρετε στη συνηθισμένη της μορφή και μόνο τότε θα είναι δυνατός ο υπολογισμός της τιμής. Αυτό είναι πιο εύκολο να το κάνετε αν γνωρίζετε ιδιότητες των λογαρίθμων. Ας μάθουμε λοιπόν τις βασικές ιδιότητες των λογαρίθμων. Θα αποδείξω το καθένα από αυτά, γιατί οποιοσδήποτε κανόνας είναι πιο εύκολο να θυμηθείς αν ξέρεις από πού προέρχεται.

Όλες αυτές οι ιδιότητες πρέπει να θυμόμαστε χωρίς αυτές, τα περισσότερα προβλήματα με τους λογάριθμους δεν μπορούν να λυθούν.

Και τώρα για όλες τις ιδιότητες των λογαρίθμων με περισσότερες λεπτομέρειες.

Ιδιοκτησία 1:

Απόδειξη:

Ας είναι τότε.

Έχουμε: , κ.λπ.

Ιδιότητα 2: Άθροισμα λογαρίθμων

Το άθροισμα των λογαρίθμων με τις ίδιες βάσεις είναι ίσο με τον λογάριθμο του γινομένου: .

Απόδειξη:

Ας είναι τότε. Ας είναι τότε.

Παράδειγμα:Βρείτε τη σημασία της έκφρασης: .

Λύση: .

Ο τύπος που μόλις μάθατε βοηθά στην απλοποίηση του αθροίσματος των λογαρίθμων και όχι της διαφοράς, επομένως αυτοί οι λογάριθμοι δεν μπορούν να συνδυαστούν αμέσως. Αλλά μπορείτε να κάνετε το αντίθετο - «διαχωρίστε» τον πρώτο λογάριθμο στα δύο: Και εδώ είναι η υποσχεμένη απλοποίηση:
.
Γιατί είναι απαραίτητο αυτό; Λοιπόν, για παράδειγμα: τι ισούται;

Τώρα είναι φανερό ότι.

Τώρα απλοποιήστε το μόνοι σας:

Καθήκοντα:

Απαντήσεις:

Ιδιότητα 3: Διαφορά λογαρίθμων:

Απόδειξη:

Όλα είναι ακριβώς τα ίδια όπως στο σημείο 2:

Ας είναι τότε.

Ας είναι τότε. Έχουμε:

Το παράδειγμα από την προηγούμενη παράγραφο γίνεται τώρα ακόμα πιο απλό:

Ένα πιο περίπλοκο παράδειγμα: . Μπορείτε να βρείτε πώς να το λύσετε μόνοι σας;

Εδώ πρέπει να σημειωθεί ότι δεν έχουμε έναν ενιαίο τύπο για τους λογάριθμους στο τετράγωνο. Αυτό είναι κάτι παρόμοιο με μια έκφραση - δεν μπορεί να απλοποιηθεί αμέσως.

Επομένως, ας κάνουμε ένα διάλειμμα από τους τύπους για τους λογάριθμους και ας σκεφτούμε τι είδους τύπους χρησιμοποιούμε πιο συχνά στα μαθηματικά; Από την 7η δημοτικού!

Αυτό - . Πρέπει να συνηθίσεις το γεγονός ότι υπάρχουν παντού! Εμφανίζονται σε εκθετικά, τριγωνομετρικά και παράλογα προβλήματα. Επομένως, πρέπει να θυμόμαστε.

Αν κοιτάξετε προσεκτικά τους δύο πρώτους όρους, γίνεται σαφές ότι αυτό διαφορά τετραγώνων:

Απάντηση για έλεγχο:

Απλοποιήστε το μόνοι σας.

Παραδείγματα

Απαντήσεις.

Ιδιότητα 4: Αφαίρεση του εκθέτη από το όρισμα του λογάριθμου:

Απόδειξη:Και εδώ χρησιμοποιούμε επίσης τον ορισμό του λογάριθμου: ας, τότε. Έχουμε: , κ.λπ.

Αυτός ο κανόνας μπορεί να γίνει κατανοητός ως εξής:

Δηλαδή, ο βαθμός του επιχειρήματος μετακινείται μπροστά από τον λογάριθμο ως συντελεστής.

Παράδειγμα:Βρείτε το νόημα της έκφρασης.

Διάλυμα: .

Αποφασίστε μόνοι σας:

Παραδείγματα:

Απαντήσεις:

Ιδιότητα 5: Λαμβάνοντας τον εκθέτη από τη βάση του λογάριθμου:

Απόδειξη:Ας είναι τότε.

Έχουμε: , κ.λπ.
Θυμηθείτε: από λόγουςο βαθμός εκφράζεται ως το αντίθετονούμερο, σε αντίθεση με την προηγούμενη περίπτωση!

Ιδιότητα 6: Αφαίρεση του εκθέτη από τη βάση και το όρισμα του λογάριθμου:

Ή αν οι βαθμοί είναι ίδιοι: .

Ιδιότητα 7: Μετάβαση σε νέα βάση:

Απόδειξη:Ας είναι τότε.

Έχουμε: , κ.λπ.

Ιδιότητα 8: Αλλάξτε τη βάση και το όρισμα του λογάριθμου:

Απόδειξη:Αυτή είναι μια ειδική περίπτωση του τύπου 7: αν αντικαταστήσουμε, παίρνουμε: , κ.λπ.

Ας δούμε μερικά ακόμη παραδείγματα.

Παράδειγμα 4.

Βρείτε το νόημα της έκφρασης.

Χρησιμοποιούμε την ιδιότητα των λογαρίθμων Νο. 2 - το άθροισμα των λογαρίθμων με την ίδια βάση είναι ίσο με τον λογάριθμο του γινομένου:

Παράδειγμα 5.

Βρείτε το νόημα της έκφρασης.

Διάλυμα:

Χρησιμοποιούμε την ιδιότητα των λογαρίθμων Νο. 3 και Νο. 4:

Παράδειγμα 6.

Βρείτε το νόημα της έκφρασης.

Διάλυμα:

Ας χρησιμοποιήσουμε την ιδιότητα Νο. 7 - προχωρήστε στη βάση 2:

Παράδειγμα 7.

Βρείτε το νόημα της έκφρασης.

Διάλυμα:

Πώς σας φαίνεται το άρθρο;

Εάν διαβάζετε αυτές τις γραμμές, τότε έχετε διαβάσει ολόκληρο το άρθρο.

Και αυτό είναι ωραίο!

Τώρα πείτε μας πώς σας αρέσει το άρθρο;

Έχεις μάθει πώς να λύνεις λογάριθμους; Αν όχι, ποιο είναι το πρόβλημα;

Γράψτε μας στα σχόλια παρακάτω.

Και, ναι, καλή επιτυχία στις εξετάσεις σας.

Στην Ενιαία Κρατική Εξέταση και στην Ενιαία Κρατική Εξέταση και στη ζωή γενικότερα

Οι λογάριθμοι, όπως κάθε αριθμός, μπορούν να προστεθούν, να αφαιρεθούν και να μετασχηματιστούν με κάθε τρόπο. Αλλά επειδή οι λογάριθμοι δεν είναι ακριβώς συνηθισμένοι αριθμοί, υπάρχουν κανόνες εδώ, οι οποίοι καλούνται κύριες ιδιότητες.

Πρέπει οπωσδήποτε να γνωρίζετε αυτούς τους κανόνες - χωρίς αυτούς, δεν μπορεί να λυθεί ούτε ένα σοβαρό λογαριθμικό πρόβλημα. Επιπλέον, υπάρχουν πολύ λίγα από αυτά - μπορείτε να μάθετε τα πάντα σε μια μέρα. Ας ξεκινήσουμε λοιπόν.

Πρόσθεση και αφαίρεση λογαρίθμων

Θεωρήστε δύο λογάριθμους με τις ίδιες βάσεις: log ένα xκαι ημερολόγιο ένα y. Στη συνέχεια μπορούν να προστεθούν και να αφαιρεθούν και:

1. κούτσουρο ένα x+ ημερολόγιο ένα y=log ένα (x · y);
2. κούτσουρο ένα x− ημερολόγιο ένα y=log ένα (x : y).

Άρα, το άθροισμα των λογαρίθμων είναι ίσο με τον λογάριθμο του γινομένου και η διαφορά είναι ίση με τον λογάριθμο του πηλίκου. Παρακαλώ σημειώστε: το βασικό σημείο εδώ είναι πανομοιότυπους λόγους. Εάν οι λόγοι είναι διαφορετικοί, αυτοί οι κανόνες δεν λειτουργούν!

Αυτοί οι τύποι θα σας βοηθήσουν να υπολογίσετε μια λογαριθμική παράσταση ακόμα και όταν δεν λαμβάνονται υπόψη τα μεμονωμένα μέρη της (βλ. μάθημα «Τι είναι λογάριθμος»). Ρίξτε μια ματιά στα παραδείγματα και δείτε:

Μητρώο 6 4 + ημερολόγιο 6 9.

Επειδή οι λογάριθμοι έχουν τις ίδιες βάσεις, χρησιμοποιούμε τον τύπο αθροίσματος:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Εργο. Βρείτε την τιμή της παράστασης: log 2 48 − log 2 3.

Οι βάσεις είναι ίδιες, χρησιμοποιούμε τον τύπο διαφοράς:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Εργο. Βρείτε την τιμή της παράστασης: log 3 135 − log 3 5.

Και πάλι οι βάσεις είναι ίδιες, οπότε έχουμε:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Όπως μπορείτε να δείτε, οι αρχικές εκφράσεις αποτελούνται από «κακούς» λογάριθμους, οι οποίοι δεν υπολογίζονται χωριστά. Όμως μετά τους μετασχηματισμούς προκύπτουν εντελώς κανονικοί αριθμοί. Πολλά τεστ βασίζονται σε αυτό το γεγονός. Ναι, οι εκφράσεις που μοιάζουν με τεστ προσφέρονται με κάθε σοβαρότητα (μερικές φορές χωρίς σχεδόν καμία αλλαγή) στην Εξέταση Ενιαίου Κράτους.

Εξαγωγή του εκθέτη από τον λογάριθμο

Τώρα ας περιπλέκουμε λίγο το έργο. Τι γίνεται αν η βάση ή το όρισμα ενός λογαρίθμου είναι δύναμη; Τότε ο εκθέτης αυτού του βαθμού μπορεί να αφαιρεθεί από το πρόσημο του λογαρίθμου σύμφωνα με τους ακόλουθους κανόνες:

Είναι εύκολο να δει κανείς ότι ο τελευταίος κανόνας ακολουθεί τους δύο πρώτους. Αλλά είναι καλύτερα να το θυμάστε ούτως ή άλλως - σε ορισμένες περιπτώσεις θα μειώσει σημαντικά τον αριθμό των υπολογισμών.

Φυσικά, όλοι αυτοί οι κανόνες έχουν νόημα εάν τηρηθεί το ODZ του λογαρίθμου: ένα > 0, ένα ≠ 1, x> 0. Και κάτι ακόμα: μάθετε να εφαρμόζετε όλους τους τύπους όχι μόνο από αριστερά προς τα δεξιά, αλλά και αντίστροφα, π.χ. Μπορείτε να εισάγετε τους αριθμούς πριν από το σύμβολο του λογάριθμου στον ίδιο τον λογάριθμο. Αυτό είναι που απαιτείται συχνότερα.

Εργο. Βρείτε την τιμή της παράστασης: log 7 49 6 .

Ας απαλλαγούμε από το βαθμό στο όρισμα χρησιμοποιώντας τον πρώτο τύπο:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Εργο. Βρείτε το νόημα της έκφρασης:

[Λεζάντα για την εικόνα]

Σημειώστε ότι ο παρονομαστής περιέχει έναν λογάριθμο, η βάση και το όρισμα του οποίου είναι ακριβείς δυνάμεις: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Έχουμε:

Νομίζω ότι το τελευταίο παράδειγμα απαιτεί κάποια διευκρίνιση. Πού πήγαν οι λογάριθμοι; Μέχρι την τελευταία στιγμή δουλεύουμε μόνο με τον παρονομαστή. Παρουσιάσαμε τη βάση και το όρισμα του λογάριθμου που στέκεται εκεί με τη μορφή δυνάμεων και βγάλαμε τους εκθέτες - πήραμε ένα κλάσμα "τριώροφο".

Τώρα ας δούμε το κύριο κλάσμα. Ο αριθμητής και ο παρονομαστής περιέχουν τον ίδιο αριθμό: log 2 7. Εφόσον το log 2 7 ≠ 0, μπορούμε να μειώσουμε το κλάσμα - τα 2/4 θα παραμείνουν στον παρονομαστή. Σύμφωνα με τους κανόνες της αριθμητικής, τα τέσσερα μπορούν να μεταφερθούν στον αριθμητή, πράγμα που έγινε. Το αποτέλεσμα ήταν η απάντηση: 2.

Μετάβαση σε νέα βάση

Μιλώντας για τους κανόνες πρόσθεσης και αφαίρεσης λογαρίθμων, τόνισα συγκεκριμένα ότι λειτουργούν μόνο με τις ίδιες βάσεις. Κι αν οι λόγοι είναι διαφορετικοί; Τι γίνεται αν δεν είναι ακριβείς δυνάμεις του ίδιου αριθμού;

Οι φόρμουλες για τη μετάβαση σε ένα νέο θεμέλιο έρχονται στη διάσωση. Ας τα διατυπώσουμε με τη μορφή ενός θεωρήματος:

Αφήστε το αρχείο καταγραφής λογαρίθμου να δοθεί ένα x. Στη συνέχεια για οποιοδήποτε αριθμό ντοτέτοια που ντο> 0 και ντο≠ 1, η ισότητα είναι αληθής:

[Λεζάντα για την εικόνα]

Συγκεκριμένα, αν βάλουμε ντο = x, παίρνουμε:

[Λεζάντα για την εικόνα]

Από τον δεύτερο τύπο προκύπτει ότι η βάση και το όρισμα του λογάριθμου μπορούν να αντικατασταθούν, αλλά σε αυτήν την περίπτωση ολόκληρη η έκφραση "αναποδογυρίζεται", δηλ. ο λογάριθμος εμφανίζεται στον παρονομαστή.

Αυτοί οι τύποι βρίσκονται σπάνια σε συνηθισμένες αριθμητικές εκφράσεις. Είναι δυνατό να αξιολογηθεί πόσο βολικές είναι μόνο όταν επιλύονται λογαριθμικές εξισώσεις και ανισώσεις.

Ωστόσο, υπάρχουν προβλήματα που δεν μπορούν να λυθούν καθόλου παρά μόνο με τη μετάβαση σε ένα νέο θεμέλιο. Ας δούμε μερικά από αυτά:

Εργο. Βρείτε την τιμή της παράστασης: log 5 16 log 2 25.

Σημειώστε ότι τα ορίσματα και των δύο λογαρίθμων περιέχουν ακριβείς δυνάμεις. Ας βγάλουμε τους δείκτες: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

Τώρα ας «αντιστρέψουμε» τον δεύτερο λογάριθμο:

Δεδομένου ότι το γινόμενο δεν αλλάζει κατά την αναδιάταξη των παραγόντων, πολλαπλασιάσαμε ήρεμα τέσσερα και δύο και στη συνέχεια ασχοληθήκαμε με τους λογάριθμους.

Εργο. Βρείτε την τιμή της παράστασης: log 9 100 lg 3.

Η βάση και το όρισμα του πρώτου λογάριθμου είναι ακριβείς δυνάμεις. Ας το γράψουμε αυτό και ας απαλλαγούμε από τους δείκτες:

Τώρα ας απαλλαγούμε από τον δεκαδικό λογάριθμο μεταβαίνοντας σε μια νέα βάση:

Βασική λογαριθμική ταυτότητα

Συχνά στη διαδικασία επίλυσης είναι απαραίτητο να αναπαραστήσουμε έναν αριθμό ως λογάριθμο σε μια δεδομένη βάση. Σε αυτήν την περίπτωση, οι παρακάτω τύποι θα μας βοηθήσουν:

Στην πρώτη περίπτωση, ο αριθμός nγίνεται δείκτης του βαθμού που βρίσκεται στο επιχείρημα. Αριθμός nμπορεί να είναι απολύτως οτιδήποτε, γιατί είναι απλώς μια λογαριθμική τιμή.

Ο δεύτερος τύπος είναι στην πραγματικότητα ένας παραφρασμένος ορισμός. Αυτό ονομάζεται: η βασική λογαριθμική ταυτότητα.

Στην πραγματικότητα, τι θα συμβεί εάν ο αριθμός σιαυξήσει σε τέτοια δύναμη ώστε ο αριθμός σισε αυτή τη δύναμη δίνει τον αριθμό ένα? Αυτό είναι σωστό: παίρνετε τον ίδιο αριθμό ένα. Διαβάστε ξανά προσεκτικά αυτήν την παράγραφο - πολλοί άνθρωποι κολλάνε σε αυτήν.

Όπως οι τύποι για τη μετάβαση σε μια νέα βάση, η βασική λογαριθμική ταυτότητα είναι μερικές φορές η μόνη δυνατή λύση.

Εργο. Βρείτε το νόημα της έκφρασης:

[Λεζάντα για την εικόνα]

Σημειώστε ότι log 25 64 = log 5 8 - απλά πήραμε το τετράγωνο από τη βάση και το όρισμα του λογαρίθμου. Λαμβάνοντας υπόψη τους κανόνες για τον πολλαπλασιασμό των δυνάμεων με την ίδια βάση, παίρνουμε:

Αν κάποιος δεν ξέρει, αυτό ήταν μια πραγματική εργασία από την Ενιαία Κρατική Εξέταση :)

Λογαριθμική μονάδα και λογαριθμικό μηδέν

Εν κατακλείδι, θα δώσω δύο ταυτότητες που δύσκολα μπορούν να ονομαστούν ιδιότητες - μάλλον είναι συνέπειες του ορισμού του λογαρίθμου. Εμφανίζονται συνεχώς σε προβλήματα και, παραδόξως, δημιουργούν προβλήματα ακόμη και σε «προχωρημένους» μαθητές.

1. κούτσουρο ένα ένα= 1 είναι μια λογαριθμική μονάδα. Θυμηθείτε μια για πάντα: λογάριθμος σε οποιαδήποτε βάση ένααπό αυτήν ακριβώς τη βάση ισούται με ένα.
2. κούτσουρο ένα 1 = 0 είναι λογαριθμικό μηδέν. Βάση έναμπορεί να είναι οτιδήποτε, αλλά αν το όρισμα περιέχει ένα, ο λογάριθμος είναι ίσος με μηδέν! Επειδή έναΤο 0 = 1 είναι άμεση συνέπεια του ορισμού.

Αυτά είναι όλα τα ακίνητα. Φροντίστε να εξασκηθείτε στην εφαρμογή τους! Κατεβάστε το cheat sheet στην αρχή του μαθήματος, εκτυπώστε το και λύστε τα προβλήματα.

Θα εξετάσουμε τώρα τη μετατροπή παραστάσεων που περιέχουν λογάριθμους από μια γενική προοπτική. Εδώ θα αναλύσουμε όχι μόνο τον μετασχηματισμό των παραστάσεων χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες των λογαρίθμων, αλλά θα εξετάσουμε και τον μετασχηματισμό παραστάσεων με γενικούς λογάριθμους, οι οποίοι περιέχουν όχι μόνο λογάριθμους, αλλά και δυνάμεις, κλάσματα, ρίζες κ.λπ. Ως συνήθως, θα παρέχουμε όλο το υλικό με χαρακτηριστικά παραδείγματα με λεπτομερείς περιγραφές λύσεων.

Πλοήγηση στη σελίδα.

Εκφράσεις με λογάριθμους και λογαριθμικές εκφράσεις

Κάνοντας πράγματα με κλάσματα

Στην προηγούμενη παράγραφο, εξετάσαμε τους βασικούς μετασχηματισμούς που πραγματοποιούνται με επιμέρους κλάσματα που περιέχουν λογάριθμους. Αυτοί οι μετασχηματισμοί, φυσικά, μπορούν να πραγματοποιηθούν με κάθε μεμονωμένο κλάσμα που αποτελεί μέρος μιας πιο σύνθετης έκφρασης, για παράδειγμα, που αντιπροσωπεύει το άθροισμα, τη διαφορά, το γινόμενο και το πηλίκο παρόμοιων κλασμάτων. Αλλά εκτός από την εργασία με μεμονωμένα κλάσματα, η μετατροπή εκφράσεων αυτού του τύπου συχνά περιλαμβάνει την εκτέλεση αντίστοιχων πράξεων με κλάσματα. Στη συνέχεια θα δούμε τους κανόνες με τους οποίους πραγματοποιούνται αυτές οι ενέργειες.

Από την 5η-6η τάξη γνωρίζουμε τους κανόνες με τους οποίους διεξάγονται. Στο άρθρο μια γενική ματιά στις πράξεις με κλάσματαέχουμε επεκτείνει αυτούς τους κανόνες με συνηθισμένα κλάσματασε ένα γενικό κλάσμα Α/Β, όπου τα Α και Β είναι ορισμένες αριθμητικές, κυριολεκτικές εκφράσεις ή εκφράσεις με μεταβλητές και το Β δεν είναι ταυτόσημα ίσο με μηδέν. Είναι σαφές ότι τα κλάσματα με λογάριθμους είναι ειδικές περιπτώσεις γενικών κλασμάτων. Και από αυτή την άποψη, είναι σαφές ότι οι πράξεις με κλάσματα που περιέχουν λογάριθμους στις σημειώσεις τους εκτελούνται σύμφωνα με τους ίδιους κανόνες. Δηλαδή:

• Για να προσθέσετε ή να αφαιρέσετε δύο κλάσματα με τους ίδιους παρονομαστές, πρέπει να προσθέσετε ή να αφαιρέσετε τους αριθμητές ανάλογα, αλλά να αφήσετε τον παρονομαστή ίδιο.
• Για να προσθέσετε ή να αφαιρέσετε δύο κλάσματα με διαφορετικούς παρονομαστές, πρέπει να τα φέρετε σε έναν κοινό παρονομαστή και να εκτελέσετε τις κατάλληλες ενέργειες σύμφωνα με τον προηγούμενο κανόνα.
• Για να πολλαπλασιάσετε δύο κλάσματα, πρέπει να γράψετε ένα κλάσμα του οποίου ο αριθμητής είναι το γινόμενο των αριθμητών των αρχικών κλασμάτων και ο παρονομαστής είναι το γινόμενο των παρονομαστών.
• Για να διαιρέσετε ένα κλάσμα σε ένα κλάσμα, πρέπει να πολλαπλασιάσετε το κλάσμα που διαιρείται με το κλάσμα που είναι το αντίστροφο του διαιρέτη, δηλαδή με ένα κλάσμα με τον αριθμητή και τον παρονομαστή να ανταλλάσσονται.

Ακολουθούν μερικά παραδείγματα για τον τρόπο εκτέλεσης πράξεων με κλάσματα που περιέχουν λογάριθμους.

Παράδειγμα.

Εκτελέστε πράξεις με κλάσματα που περιέχουν λογάριθμους: α) , β) , V) , Ζ) .

Διάλυμα.

α) Οι παρονομαστές των κλασμάτων που προστίθενται είναι προφανώς ίδιοι. Επομένως, σύμφωνα με τον κανόνα για την πρόσθεση κλασμάτων με τους ίδιους παρονομαστές, προσθέτουμε τους αριθμητές και αφήνουμε τον παρονομαστή ίδιο: .

β) Εδώ οι παρονομαστές είναι διαφορετικοί. Επομένως, πρώτα χρειάζεστε μετατρέπουν τα κλάσματα στον ίδιο παρονομαστή. Στην περίπτωσή μας, οι παρονομαστές παρουσιάζονται ήδη με τη μορφή προϊόντων και το μόνο που έχουμε να κάνουμε είναι να πάρουμε τον παρονομαστή του πρώτου κλάσματος και να προσθέσουμε σε αυτό τους συντελεστές που λείπουν από τον παρονομαστή του δεύτερου κλάσματος. Έτσι παίρνουμε έναν κοινό παρονομαστή της φόρμας . Στην περίπτωση αυτή, τα αφαιρούμενα κλάσματα φέρονται σε έναν κοινό παρονομαστή χρησιμοποιώντας πρόσθετους παράγοντες με τη μορφή λογαρίθμου και την έκφραση x 2 ·(x+1), αντίστοιχα. Μετά από αυτό, το μόνο που μένει είναι να αφαιρέσουμε κλάσματα με τους ίδιους παρονομαστές, κάτι που δεν είναι δύσκολο.

Η λύση λοιπόν είναι:

γ) Είναι γνωστό ότι το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού των κλασμάτων είναι ένα κλάσμα, ο αριθμητής του οποίου είναι το γινόμενο των αριθμητών και ο παρονομαστής είναι το γινόμενο των παρονομαστών, επομένως

Είναι εύκολο να δεις ότι μπορείς μειώνοντας ένα κλάσμακατά δύο και κατά τον δεκαδικό λογάριθμο, ως αποτέλεσμα έχουμε .

δ) Περνάμε από τη διαίρεση των κλασμάτων στον πολλαπλασιασμό, αντικαθιστώντας το διαιρετικό κλάσμα με το αντίστροφο κλάσμα του. Ετσι

Ο αριθμητής του κλάσματος που προκύπτει μπορεί να αναπαρασταθεί ως , από το οποίο είναι σαφώς ορατός ο κοινός παράγοντας του αριθμητή και του παρονομαστή - παράγοντας x, μπορείτε να μειώσετε το κλάσμα με αυτόν:

Απάντηση:

α), β) , V) , Ζ) .

Θα πρέπει να θυμόμαστε ότι οι πράξεις με κλάσματα εκτελούνται λαμβάνοντας υπόψη τη σειρά με την οποία εκτελούνται οι ενέργειες: πρώτα, πολλαπλασιασμός και διαίρεση, μετά πρόσθεση και αφαίρεση, και εάν υπάρχουν παρενθέσεις, τότε εκτελούνται πρώτα οι ενέργειες σε παρενθέσεις.

Παράδειγμα.

Κάνε πράγματα με κλάσματα .

Διάλυμα.

Αρχικά, προσθέτουμε τα κλάσματα σε αγκύλες και μετά θα πολλαπλασιάσουμε:

Απάντηση:

Σε αυτό το σημείο, μένει να πούμε δυνατά τρία μάλλον προφανή, αλλά ταυτόχρονα σημαντικά σημεία:

Μετατροπή παραστάσεων με χρήση ιδιοτήτων λογαρίθμων

Τις περισσότερες φορές, ο μετασχηματισμός εκφράσεων με λογάριθμους περιλαμβάνει τη χρήση ταυτοτήτων που εκφράζουν τον ορισμό του λογάριθμου και. Για παράδειγμα, γυρίζοντας στην κύρια λογαριθμική ταυτότητα a log a b =b , a>0 , a≠1 , b>0 , μπορούμε να αναπαραστήσουμε την παράσταση x−5 log 5 7 ως x−7 και τον τύπο για τη μετάβαση σε νέα λογαριθμική βάση , όπου a>0, a≠1, b>0, c>0, c≠1 καθιστά δυνατή τη μετάβαση από την παράσταση στη διαφορά 1−lnx.

Εφαρμογή των ιδιοτήτων των ριζών, των δυνάμεων, των τριγωνομετρικών ταυτοτήτων κ.λπ.

Οι εκφράσεις με λογάριθμους, εκτός από τους ίδιους τους λογάριθμους, σχεδόν πάντα περιέχουν δυνάμεις, ρίζες, τριγωνομετρικές συναρτήσεις κ.λπ. Είναι σαφές ότι για τον μετασχηματισμό τέτοιων εκφράσεων, μαζί με τις ιδιότητες των λογαρίθμων, μπορεί να απαιτούνται οι ιδιότητες των δυνάμεων, των ριζών κ.λπ. Εξετάσαμε ξεχωριστά την εφαρμογή κάθε μπλοκ ιδιοτήτων στη μετατροπή των εκφράσεων που μπορείτε να βρείτε στην ενότητα του ιστότοπου www.site εκφράσεις και τον μετασχηματισμό τους. Εδώ θα δείξουμε τη λύση σε μερικά παραδείγματα σχετικά με τη χρήση ιδιοτήτων σε συνδυασμό με λογάριθμους.

Παράδειγμα.

Απλοποιήστε μια έκφραση .

Διάλυμα.

Αρχικά, ας μετατρέψουμε εκφράσεις με ρίζες. Στο ODZ της μεταβλητής x για την αρχική παράσταση (που στην περίπτωσή μας είναι το σύνολο των θετικών πραγματικούς αριθμούς) από τις ρίζες μπορείτε να μεταβείτε σε δυνάμεις με κλασματικούς εκθέτες και στη συνέχεια να χρησιμοποιήσετε την ιδιότητα του πολλαπλασιασμού των δυνάμεων με τις ίδιες βάσεις: . Ετσι,

Τώρα αντιπροσωπεύουμε τον αριθμητή ως (τι μας επιτρέπει να κάνουμε η ιδιότητα μιας δύναμης σε μια δύναμη, εάν χρειάζεται, δείτε τον μετασχηματισμό των εκφράσεων χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες των δυνάμεων, καθώς και την αναπαράσταση ενός αριθμού, που μας επιτρέπει να αντικαταστήσουμε το άθροισμα των τετραγώνων του ημίτονο και συνημίτονο του ίδιου ορίσματος με ένα Με αυτόν τον τρόπο παίρνουμε ένα κάτω από το πρόσημο του λογαρίθμου, όπως γνωρίζετε, ο λογάριθμος της ενότητας είναι μηδέν.

Ας γράψουμε τους μετασχηματισμούς που έγιναν:

Το μηδέν σε κύβους είναι μηδέν, οπότε ας προχωρήσουμε στην έκφραση .

Ένα κλάσμα του οποίου ο αριθμητής είναι μηδέν και του οποίου ο παρονομαστής είναι διαφορετικός από το μηδέν (στην περίπτωσή μας αυτό είναι πράγματι έτσι, επειδή είναι εύκολο να δικαιολογηθεί ότι η τιμή της παράστασης κάτω από το πρόσημο του φυσικού λογάριθμου είναι διαφορετική από ένα) είναι ίσο με μηδέν. Ετσι,

Περαιτέρω μετασχηματισμοί πραγματοποιούνται με βάση τον ορισμό της περιττής ρίζας ενός αρνητικού αριθμού: .

Επειδή το 2 15 είναι θετικός αριθμός, μπορούμε να εφαρμόσουμε τις ιδιότητες των ριζών που οδηγούν στο τελικό αποτέλεσμα: .

Απάντηση:

Το πρόβλημα Β7 δίνει κάποια έκφραση που πρέπει να απλοποιηθεί. Το αποτέλεσμα θα πρέπει να είναι ένας κανονικός αριθμός που μπορεί να γραφτεί στο φύλλο απαντήσεων. Όλες οι εκφράσεις χωρίζονται συμβατικά σε τρεις τύπους:

1. Λογαριθμική,
2. Ενδεικτικός,
3. Συνδυασμένη.

Εκθετικές και λογαριθμικές εκφράσεις σε καθαρή μορφήπρακτικά δεν συμβαίνει ποτέ. Ωστόσο, είναι απολύτως απαραίτητο να γνωρίζουμε πώς υπολογίζονται.

Γενικά, το πρόβλημα Β7 λύνεται πολύ απλά και είναι αρκετά εντός των δυνατοτήτων του μέσου πτυχιούχου. Η έλλειψη σαφών αλγορίθμων αντισταθμίζεται από την τυποποίηση και τη μονοτονία του. Μπορείτε να μάθετε να λύνετε τέτοια προβλήματα απλά μέσω πολλής εκπαίδευσης.

Λογαριθμικές εκφράσεις

Η συντριπτική πλειοψηφία των προβλημάτων Β7 περιλαμβάνει λογάριθμους με τη μια ή την άλλη μορφή. Αυτό το θέμα θεωρείται παραδοσιακά δύσκολο, αφού η μελέτη του γίνεται συνήθως στην 11η τάξη - την εποχή της μαζικής προετοιμασίας για τις τελικές εξετάσεις. Ως αποτέλεσμα, πολλοί απόφοιτοι έχουν μια πολύ ασαφή κατανόηση των λογαρίθμων.

Αλλά σε αυτό το έργο κανείς δεν απαιτεί βαθιά θεωρητική γνώση. Θα συναντήσουμε μόνο τις απλούστερες εκφράσεις που απαιτούν απλό συλλογισμό και μπορούν εύκολα να κατακτηθούν ανεξάρτητα. Παρακάτω είναι οι βασικοί τύποι που πρέπει να γνωρίζετε για να αντιμετωπίσετε τους λογάριθμους:

Επιπλέον, πρέπει να μπορείτε να αντικαταστήσετε τις ρίζες και τα κλάσματα με δυνάμεις με έναν λογικό εκθέτη, διαφορετικά σε ορισμένες εκφράσεις δεν θα υπάρχει τίποτα να αφαιρέσετε κάτω από το σύμβολο του λογάριθμου. Τύποι αντικατάστασης:

Εργο. Βρείτε τη σημασία των εκφράσεων:
log 6 270 − log 6 7.5
log 5 775 − log 5 6.2

Οι δύο πρώτες εκφράσεις μετατρέπονται ως διαφορά λογαρίθμων:
log 6 270 − log 6 7,5 = log 6 (270: 7,5) = log 6 36 = 2;
log 5 775 − log 5 6.2 = log 5 (775: 6.2) = log 5 125 = 3.

Για να υπολογίσετε την τρίτη έκφραση, θα πρέπει να απομονώσετε δυνάμεις - τόσο στη βάση όσο και στο όρισμα. Αρχικά, ας βρούμε τον εσωτερικό λογάριθμο:

Στη συνέχεια - εξωτερικό:

Οι κατασκευές της φόρμας log a log b x φαίνονται σύνθετες και παρεξηγημένες σε πολλούς. Εν τω μεταξύ, αυτός είναι απλώς ένας λογάριθμος του λογάριθμου, δηλ. log a (log b x ). Αρχικά υπολογίζεται ο εσωτερικός λογάριθμος (βάλε log b x = c) και μετά ο εξωτερικός: log a c.

Επιδεικτικές Εκφράσεις

Θα ονομάσουμε εκθετική έκφραση κάθε κατασκευή της μορφής k, όπου οι αριθμοί a και k είναι αυθαίρετες σταθερές, και a > 0. Οι μέθοδοι εργασίας με τέτοιες εκφράσεις είναι αρκετά απλές και συζητούνται στα μαθήματα άλγεβρας της 8ης τάξης.

Παρακάτω είναι οι βασικοί τύποι που πρέπει οπωσδήποτε να γνωρίζετε. Η εφαρμογή αυτών των τύπων στην πράξη, κατά κανόνα, δεν προκαλεί προβλήματα.

1. a n · a m = a n + m ;
2. a n / a m = a n − m ;
3. (a n ) m = a n · m ;
4. (a · b ) n = a n · b n ;
5. (a : b ) n = a n : b n .

Εάν συναντήσετε μια σύνθετη έκφραση με δυνάμεις και δεν είναι σαφές πώς να την προσεγγίσετε, χρησιμοποιήστε μια καθολική τεχνική - αποσύνθεση σε απλούς παράγοντες. Ως αποτέλεσμα, μεγάλοι αριθμοί στις βάσεις των εξουσιών αντικαθίστανται από απλά και κατανοητά στοιχεία. Τότε το μόνο που μένει είναι να εφαρμόσετε τους παραπάνω τύπους - και το πρόβλημα θα λυθεί.

Εργο. Βρείτε τις τιμές των παραστάσεων: 7 9 · 3 11: 21 8, 24 7: 3 6: 16 5, 30 6: 6 5: 25 2.

Διάλυμα. Ας αποσυνθέσουμε όλες τις βάσεις των δυνάμεων σε απλούς παράγοντες:
7 9 3 11: 21 8 = 7 9 3 11: (7 3) 8 = 7 9 3 11: (7 8 3 8) = 7 9 3 11: 7 8: 3 8 = 7 3 3 = 189.
24 7: 3 6: 16 5 = (3 2 3) 7: 3 6: (2 4) 5 = 3 7 2 21: 3 6: 2 20 = 3 2 = 6.
30 6: 6 5: 25 2 = (5 3 2) 6: (3 2) 5: (5 2) 2 = 5 6 3 6 2 6: 3 5: 2 5: 5 4 = 5 2 3 2 = 150 .

Συνδυασμένες εργασίες

Εάν γνωρίζετε τους τύπους, τότε όλες οι εκθετικές και λογαριθμικές παραστάσεις μπορούν να λυθούν κυριολεκτικά σε μία γραμμή. Ωστόσο, στο πρόβλημα Β7 δυνάμεις και λογάριθμοι μπορούν να συνδυαστούν για να σχηματίσουν αρκετά ισχυρούς συνδυασμούς.