Στατικά απροσδιόριστα συστήματα είναι εκείνα τα συστήματα στα οποία οι εσωτερικές δυνάμεις δεν μπορούν να προσδιοριστούν μόνο από τις εξισώσεις ισορροπίας (στατικές εξισώσεις).

Στατικά ακαθόριστες κατασκευές έχουν τα λεγόμενα επιπλέονδιαβιβάσεις. Μπορούν να εμφανιστούν σε στηρίγματα, ράβδους και άλλα στοιχεία. Τέτοιες συνδέσεις ονομάζονται "περιττές" επειδή δεν είναι απαραίτητες για τη διασφάλιση της ισορροπίας της δομής, αλλά καθορίζονται από τις απαιτήσεις για την αντοχή και την ακαμψία της. Τέτοιες επιπλέον συνδέσεις ονομάζονται εξωτερικός.Επιπλέον, μπορεί να προκύψουν περιττές συνδέσεις λόγω των ιδιαιτεροτήτων του ίδιου του σχεδίου. Για παράδειγμα, ένα περίγραμμα κλειστού πλαισίου (Εικ. 46, ΣΟΛ)έχει τρεις άγνωστες εσωτερικές δυνάμεις σε κάθε τμήμα, δηλ. είναι έξι συνολικά, και τρία από αυτά είναι «έξτρα». Αυτή η επιπλέον προσπάθεια ονομάζεται εσωτερικός.Με βάση τον αριθμό των εξωτερικών ή εσωτερικών «έξτρα» συνδέσεων, δημιουργούνται ο βαθμός στατικής απροσδιοριστίας του συστήματος.Είναι ίσο με τη διαφορά μεταξύ του αριθμού των προς προσδιορισμό αγνώστων και του αριθμού των στατικών εξισώσεων. Με ένα «επιπλέον» άγνωστο, το σύστημα ονομάζεται μία φορά, ή μία φορά στατικά απροσδιόριστο, με δύο - δύο στατικά απροσδιόριστο κ.λπ.

Το σχέδιο που φαίνεται στο Σχ. 46, ΕΝΑ, είναι μια φορά στατικά απροσδιόριστη και οι δομές που φαίνονται στο Σχ. 46, σιΚαι V, -δύο φορές στατικά απροσδιόριστο, στο Σχ. 46, g - τρεις φορές με στατικά απροσδιόριστη δομή.

Κατά την επίλυση στατικά απροσδιόριστων προβλημάτων, εκτός από στατικές εξισώσεις, χρησιμοποιούνται εξισώσεις που λαμβάνουν υπόψη τις παραμορφώσεις των δομικών στοιχείων.

Υπάρχουν διάφορες μέθοδοι για την επίλυση στατικά απροσδιόριστων προβλημάτων: μέθοδος σύγκρισης μετατόπισης, μέθοδος δύναμης, μέθοδος μετατόπισης.

Μέθοδος δύναμης

Κατά τον υπολογισμό των στατικά απροσδιόριστων συστημάτων, οι δυνάμεις λαμβάνονται ως άγνωστες.

Υπολογισμός από μέθοδος δύναμηςπραγματοποιούνται με την ακόλουθη σειρά:

• 1. Καθορίστε τον βαθμό στατικής απροσδιοριστίας.
• 2. Αφαιρώντας τις «επιπλέον» συνδέσεις, αντικαταστήστε το αρχικό σύστημα με ένα στατικά καθορισμένο, που ονομάζεται κύριο σύστημα.Μπορούν να κατασκευαστούν αρκετά τέτοια συστήματα, παρατηρώντας παράλληλα την κατάσταση της γεωγραφικής τους κατάστασης

μετρική αμετάβλητη.

• 3. Το κύριο σύστημα είναι φορτωμένο με δεδομένες εξωτερικές δυνάμεις και «επιπλέον» άγνωστες δυνάμεις που αντικαθιστούν τη δράση των απομακρυσμένων συνδέσεων, με αποτέλεσμα ισοδύναμο σύστημα.
• 4. Για να εξασφαλιστεί η ισοδυναμία του αρχικού και του κύριου συστήματος, οι άγνωστες δυνάμεις πρέπει να επιλέγονται έτσι ώστε οι παραμορφώσεις του κύριου συστήματος να μην διαφέρουν από τις παραμορφώσεις του αρχικού στατικά απροσδιόριστου συστήματος. Για αυτή την κίνηση των σημείων εφαρμογής, οι «επιπλέον» άγνωστοι προς την κατεύθυνση της δράσης τους είναι ίσοι με μηδέν. Από τις πρόσθετες εξισώσεις που λαμβάνονται με αυτόν τον τρόπο, προσδιορίζονται οι τιμές των «επιπλέον» άγνωστων προσπαθειών. Ο προσδιορισμός των μετατοπίσεων των αντίστοιχων σημείων μπορεί να γίνει με οποιονδήποτε τρόπο, αλλά είναι προτιμότερο να χρησιμοποιηθεί η πιο γενική μέθοδος Mohr.
• 5. Μετά τον προσδιορισμό των τιμών των «επιπλέον» άγνωστων δυνάμεων, προσδιορίζονται οι αντιδράσεις και κατασκευάζονται διαγράμματα εσωτερικών δυνάμεων, επιλέγονται τομές και ελέγχεται η ισχύς με τον συνήθη τρόπο.

Κανονικές εξισώσεις της μεθόδου δύναμης

Πρόσθετες εξισώσεις μετατόπισης, που εκφράζουν την ισότητα προς το μηδέν της μετατόπισης προς τις κατευθύνσεις των «πρόσθετων» αγνώστων, συντάσσονται βολικά στο λεγόμενο κανονική μορφή,εκείνοι. σύμφωνα με ένα συγκεκριμένο πρότυπο. Ας το δείξουμε αυτό χρησιμοποιώντας το παράδειγμα της επίλυσης του απλούστερου στατικά απροσδιόριστου συστήματος (Εικ. 47, ΕΝΑ).

Ας επιλέξουμε την κονσόλα ως κύριο σύστημα, απορρίπτοντας το στήριγμα μεντεσέδων. Λαμβάνουμε ένα ισοδύναμο σύστημα μετά την εφαρμογή της εξωτερικής του δύναμης Τ 7 και του «επιπλέον» άγνωστου Χ(Εικ. 47, σι).

Κανονική εξίσωση, εκφράζοντας την ισότητα της μετατόπισης σημείου στο μηδέν ΣΕαπό τις δυνάμεις του Φ X,θα

Από την εξίσωση που έχουμε

Για ένα σύστημα που έχει δύο «επιπλέον» συνδέσεις, το σύστημα των κανονικών εξισώσεων έχει τη μορφή:

• 8 11 X 1 + b 12 ^2 + ^1
• 621-^1 + 622^2 "I" ^20-

κινήσεις A[rΚαι τα b[y, που περιλαμβάνονται στις κανονικές εξισώσεις, προσδιορίζονται με τη μέθοδο του Mohr.

Για συστήματα που αποτελούνται από ευθύγραμμα στοιχεία, είναι βολικό να υπολογίζονται οι μετατοπίσεις χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του Vereshchagin.

Για παράδειγμα, για το πρόβλημα που φαίνεται στο Σχ. 47, πολλαπλασιάζοντας τα διαγράμματα (Εικ. 48), λαμβάνουμε τους συντελεστές της κανονικής εξίσωσης:

1 2 I 3 1 I/I 2 1 5 Ι1 3

E]b LL =-/ / -/ = -, E]A LR =-------- +-------.

1 11 2 3 3 1 1Р 2 2 2 2 3 2/ 48 ΜΙ]

παίρνουμε Hl - - = - ΜΙ.

Έχοντας καθορίσει τη δύναμη X,βρήκαμε πραγματικά την αντίδραση υποστήριξης είμαι μέσα.Στη συνέχεια, το πρόβλημα του προσδιορισμού των συντελεστών εσωτερικών δυνάμεων μπορεί να λυθεί, ως συνήθως, χρησιμοποιώντας τη μέθοδο διατομής.

Στατικά απροσδιόριστα συστήματα είναι συστήματα ράβδων στα οποία οι εξισώσεις ισορροπίας από μόνες τους δεν επαρκούν για τον προσδιορισμό των αντιδράσεων των στηρίξεων. Από κινηματικής άποψης, πρόκειται για συστήματα ράβδων των οποίων ο αριθμός βαθμών ελευθερίας είναι μικρότερος από τον αριθμό των συνδέσεων. Για να αποκαλυφθεί η στατική απροσδιοριστία τέτοιων συστημάτων, είναι απαραίτητο να κατασκευαστούν πρόσθετες εξισώσεις για τη συμβατότητα των παραμορφώσεων. Ο αριθμός τέτοιων εξισώσεων καθορίζεται από τον στατικό αριθμό απροσδιοριστίας του συστήματος ράβδων. Το σχήμα 8.14 δείχνει παραδείγματα στατικά απροσδιόριστων δοκών και πλαισίων.

Η δέσμη που φαίνεται στο Σχ. 8.14β καλείται συνεχήςδέσμη. Αυτό το όνομα προέρχεται από το γεγονός ότι το ενδιάμεσο στήριγμα υποστηρίζει μόνο τη δοκό. Στο σημείο στήριξης, η δοκός δεν κόβεται από τον μεντεσέ, η άρθρωση δεν κόβεται στο σώμα της δοκού. Επομένως, η επίδραση των τάσεων και των παραμορφώσεων που υφίσταται η δοκός στο αριστερό άνοιγμα επηρεάζει επίσης το δεξιό άνοιγμα. Εάν στη θέση της ενδιάμεσης στήριξης κόψουμε μια άρθρωση στο σώμα της δοκού, τότε ως αποτέλεσμα το σύστημα θα γίνει στατικά καθορισμένο - από τη μία δοκό θα πάρουμε δύο δοκούς ανεξάρτητες η μία από την άλλη, καθεμία από τις οποίες θα είναι στατικά καθορισμένη . Πρέπει να σημειωθεί ότι οι συνεχείς δοκοί έχουν μικρότερη ένταση υλικού από τις διαιρούμενες δοκούς, καθώς κατανέμουν πιο ορθολογικά τις ροπές κάμψης στο μήκος τους. Από αυτή την άποψη, οι συνεχείς δοκοί χρησιμοποιούνται ευρέως στην κατασκευή και τη μηχανολογία. Ωστόσο, οι συνεχείς δοκοί, καθώς είναι στατικά απροσδιόριστες, απαιτούν μια ειδική τεχνική υπολογισμού, η οποία περιλαμβάνει τη χρήση παραμορφώσεων του συστήματος.

Πριν αρχίσουμε να υπολογίζουμε στατικά ακαθόριστα συστήματα, είναι απαραίτητο να μάθουμε πώς να προσδιορίζουμε το βαθμό του στατικού τους ακαθορισμού. Ένα από τα πιο απλούς κανόνεςΟ προσδιορισμός του βαθμού στατικής απροσδιοριστίας έχει ως εξής:

, (8.3)

Οπου  αριθμός συνδέσεων που επιβάλλονται στη δομή.  τον αριθμό των πιθανών ανεξάρτητων εξισώσεων ισορροπίας που μπορούν να μεταγλωττιστούν για το υπό εξέταση σύστημα.

Ας χρησιμοποιήσουμε την εξίσωση (8.3) για να προσδιορίσουμε το βαθμό στατικής απροσδιοριστίας των συστημάτων που απεικονίζονται στο Σχ. 8.14.

Η δοκός που φαίνεται στο Σχ. 8.14α είναι κάποτε στατικά απροσδιόριστη, αφού έχει τρεις συνδέσεις στο αριστερό στήριγμα και μία σύνδεση στο δεξιό στήριγμα. Μόνο τρεις ανεξάρτητες εξισώσεις ισορροπίας μπορούν να κατασκευαστούν για μια τέτοια δέσμη. Έτσι, ο βαθμός στατικής απροσδιοριστίας της δοκού
. Η συνεχής δοκός που φαίνεται στο Σχ. 8.14β είναι επίσης μια φορά στατικά απροσδιόριστη, αφού έχει δύο συνδέσεις στο αριστερό στήριγμα και μία σύνδεση η καθεμία στο ενδιάμεσο στήριγμα και στη δεξιά στήριξη - συνολικά τέσσερις συνδέσεις. Έτσι, ο βαθμός της στατικής απροσδιοριστίας του
.

Το πλαίσιο που φαίνεται στο Σχ. 8.14c, είναι τρεις φορές στατικά απροσδιόριστο, αφού έχει έξι συνδέσεις στα στηρίγματα. Μόνο τρεις ανεξάρτητες εξισώσεις ισορροπίας μπορούν να κατασκευαστούν για αυτό το πλαίσιο. Έτσι, ο βαθμός στατικής απροσδιοριστίας για αυτό το πλαίσιο από την εξίσωση (8.3) είναι ίσος με:
. Ο βαθμός στατικής απροσδιοριστίας του πλαισίου που φαίνεται στο Σχ. 8.18δ είναι ίσος με τέσσερις, αφού το πλαίσιο έχει επτά συνδέσεις στα στηρίγματα. Κατά συνέπεια, ο βαθμός του στατικού του απροσδιορισμού είναι ίσος με
.

Ο κανόνας (8.3) για τον προσδιορισμό του βαθμού στατικής απροσδιοριστίας χρησιμοποιείται μόνο για απλά συστήματα. Σε πιο περίπλοκες περιπτώσεις αυτός ο κανόνας δεν λειτουργεί. Το σχήμα 8.15 δείχνει ένα πλαίσιο, του οποίου ο βαθμός στατικής απροσδιοριστίας δεν μπορεί να προσδιοριστεί χρησιμοποιώντας την εξίσωση (8.3).

Εξωτερικά, το σύστημα που φαίνεται στο Σχήμα 8.15 είναι στατικά απροσδιόριστο πέντε φορές. Αυτό μπορεί εύκολα να καθοριστεί χρησιμοποιώντας την εξίσωση (8.3): από έξι εξωτερικές συνδέσεις (τρεις στην ενότητα Α, τρεις στην ενότητα Β και δύο στην ενότητα Γ), αφαιρούνται τρεις πιθανές εξισώσεις ισορροπίας. Ωστόσο, αυτό το σύστημα έχει επίσης εσωτερική στατική απροσδιοριστία. Είναι αδύνατο να ληφθεί υπόψη ο εσωτερικός στατικός απροσδιορισμός χρησιμοποιώντας την εξίσωση (8.3). Πριν προχωρήσουμε στον προσδιορισμό του βαθμού στατικής απροσδιοριστίας του πλαισίου που φαίνεται στο Σχ. 8.15, εισάγουμε αρκετούς ορισμούς. Ο πρώτος από αυτούς τους ορισμούς περιλαμβάνει την έννοια της απλής άρθρωσης.

Απλόςονομάζεται μεντεσέ που συνδέει δύο ράβδους (Εικ. 8.16).

Εικ.8.16. Απλός μεντεσέ

Ονομάζεται μεντεσέ που συνδέει πολλές ράβδους συγκρότημα(Εικ.8.17).

Εικ.8.17. Σύνθετος μεντεσέ

Ο αριθμός των απλών μεντεσέδων που μπορούν να αντικαταστήσουν έναν σύνθετο μεντεσέ καθορίζεται από τον τύπο:

, (8.4)

Οπου
- αριθμός ράβδων που περιλαμβάνονται στο συγκρότημα.

Ας υπολογίσουμε ξανά τον σύνθετο μεντεσέ που φαίνεται στο Σχ. 8.17 στον αριθμό των απλών μεντεσέδων χρησιμοποιώντας τον τύπο (8.4):
. Έτσι, η σύνθετη άρθρωση που φαίνεται στο Σχ. 8.17 μπορεί να αντικατασταθεί με τέσσερις απλούς μεντεσέδες.

Ας εισαγάγουμε μια ακόμη έννοια - κλειστό βρόχο.

Ας αποδείξουμε το θεώρημα: οποιοδήποτε κλειστό περίγραμμα είναι τρεις φορές στατικά απροσδιόριστο.

Για να αποδείξετε το θεώρημα, θεωρήστε έναν κλειστό βρόχο φορτισμένο με εξωτερικές δυνάμεις (Εικ. 8.18).

Ας κόψουμε ένα κλειστό περίγραμμα με μια κατακόρυφη τομή και ας δείξουμε τους εσωτερικούς παράγοντες δύναμης που προκύπτουν στο τμήμα. Τρεις εσωτερικοί παράγοντες προκύπτουν σε κάθε τμήμα: δύναμη διάτμησης , ροπή κάμψης
και διαμήκης δύναμη
. Συνολικά, σε καθένα από τα αποκομμένα μέρη του περιγράμματος, εκτός από τις εξωτερικές δυνάμεις, δρουν έξι εσωτερικοί παράγοντες (Εικ. 8.18, β, γ). Λαμβάνοντας υπόψη την ισορροπία ενός από τα αποκομμένα μέρη, για παράδειγμα, του αριστερού (Εικ. 8.18, β), διαπιστώνουμε ότι το πρόβλημα είναι τρεις φορές στατικά απροσδιόριστο, αφού για το αποκομμένο τμήμα είναι δυνατή η κατασκευή μόνο τρεις ανεξάρτητες εξισώσεις ισορροπίας, και υπάρχουν έξι άγνωστες δυνάμεις που δρουν στο τμήμα αποκοπής. Έτσι, ο βαθμός στατικής απροσδιοριστίας ενός κλειστού βρόχου είναι ίσος με
. Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.

Τώρα, χρησιμοποιώντας την έννοια της απλής άρθρωσης και ενός κλειστού βρόχου, μπορούμε να διατυπώσουμε έναν άλλο κανόνα για τον προσδιορισμό του βαθμού στατικής απροσδιοριστίας:

, (8.5)

Οπου
 αριθμός κλειστών βρόχων.
 αριθμός μεντεσέδων ως προς τους απλούς (8.4).

Χρησιμοποιώντας την εξίσωση (8.5), προσδιορίζουμε τον βαθμό στατικού απροσδιορισμού του πλαισίου που φαίνεται στο Σχ. 8.15. Το πλαίσιο έχει πέντε περιγράμματα
, συμπεριλαμβανομένου του περιγράμματος που σχηματίζεται από τις ράβδους στήριξης. Η άρθρωση στον κόμβο D είναι απλή καθώς συνδέει δύο ράβδους. Ο μεντεσές στο τμήμα Κ είναι πολύπλοκος γιατί συνδέει τέσσερις ράβδους. Ο αριθμός των απλών μεντεσέδων που θα μπορούσαν να αντικαταστήσουν τον μεντεσέ στο τμήμα Κ είναι ίσος σύμφωνα με τον τύπο (8.4):
. Η άρθρωση C είναι επίσης πολύπλοκη επειδή συνδέει τρεις ράβδους. Για αυτόν τον μεντεσέ
. Επιπλέον, το σύστημα διαθέτει δύο ακόμη απλούς μεντεσέδες, με τους οποίους στερεώνεται στη βάση. Έτσι, ο αριθμός των απλών μεντεσέδων στο σύστημα είναι ίσος με
. Αντικατάσταση του αριθμού των κλειστών περιγραμμάτων
και τον αριθμό των απλών μεντεσέδων
στον τύπο (8.5) προσδιορίζουμε τον βαθμό στατικού απροσδιορισμού του πλαισίου:
. Έτσι, φαίνεται στο Σχ. 8,15 καρέ, επτά φορές στατικά απροσδιόριστο. Αυτό σημαίνει ότι για τον υπολογισμό ενός τέτοιου συστήματος, είναι απαραίτητο να συνθέσουμε, εκτός από τις τρεις εξισώσεις ισορροπίας, επτά εξισώσεις συμβατότητας παραμορφώσεων. Επιλύοντας έτσι το σύστημα των 10 εξισώσεων για τους αγνώστους που περιλαμβάνονται σε αυτές τις εξισώσεις, είναι δυνατό να προσδιοριστεί τόσο το μέγεθος των αντιδράσεων στις εξωτερικές συνδέσεις όσο και οι εσωτερικές δυνάμεις που προκύπτουν στο πλαίσιο. Η διαδικασία για την επίλυση αυτού του προβλήματος μπορεί να απλοποιηθεί κάπως με την εξάλειψη των εξισώσεων ισορροπίας από το σύστημα των εξισώσεων. Ωστόσο, αυτή η προσέγγιση απαιτεί τη χρήση ειδικών μεθόδων λύσης, μία από τις οποίες είναι η μέθοδος των δυνάμεων.

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΤΗΣ ΡΩΣΙΚΗΣ ΟΜΟΣΠΟΝΔΙΑΣ

ΚΥΒΕΡΝΗΤΙΚΟ ΟΡΓΑΝΟ

ΚΡΑΤΙΚΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ KUZBASS

Τμήμα Αντοχής Υλικών

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΤΑΤΙΚΑ ΑΣΦΑΛΙΣΜΕΝΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕΝΤΣΕΣ-ΣΥΜΠΙΕΣΗΣ

Οδηγίες για την εκτέλεση εργασιών υπολογισμού και γραφικών αντοχών υλικών για μαθητές όλων των ειδικοτήτων

Συντάχθηκε από: V.D. Moiseenko

Εγκρίθηκε σε συνεδρίαση του τμήματος Πρακτικό Αρ. 8 της 29ης Ιουνίου 2001

Ένα ηλεκτρονικό αντίγραφο βρίσκεται στη βιβλιοθήκη του κεντρικού κτηρίου του Κρατικού Πανεπιστημίου KuzGTU

Κεμέροβο 2002

Εισαγωγή. Πεδίο και σκοπός της εργασίας

Ένα στατικά απροσδιόριστο σύστημα άρθρωσης-ράβδου είναι αυτό στο οποίο οι δυνάμεις στις ράβδους και οι αντιδράσεις στα στηρίγματα δεν μπορούν να προσδιοριστούν μόνο από την κατάσταση ισορροπίας.

Το σχήμα 1 δείχνει ένα συμβατικό βραχίονα που αποτελείται από δύο ράβδους. Οι δυνάμεις N 1 και N 2 στις ράβδους αυτού του βραχίονα προσδιορίζονται εύκολα από την κατάσταση ισορροπίας του συστήματος συγκλίνουσας δυνάμεων που εφαρμόζεται στον κόμβο αποκοπής C, αφού λύνονται δύο εξισώσεις για αυτό το σύστημα δυνάμεων με δύο άγνωστα.

Εάν ο σχεδιασμός του βραχίονα είναι πολύπλοκος με την προσθήκη μιας άλλης ράβδου (Εικ. 1, β), τότε οι δυνάμεις στις ράβδους δεν μπορούν να προσδιοριστούν με τον ίδιο τρόπο, καθώς για τον κόμβο C είναι ακόμα δυνατό να δημιουργηθούν μόνο δύο εξισώσεις στατικής ισορροπίας. ΣΧ = 0, ΣY = 0), και ο αριθμός των άγνωστων προσπαθειών είναι τρεις. Έχουμε ένα κάποτε στατικά απροσδιόριστο σύστημα.

Περιπλέκοντας τον σχεδιασμό και εισάγοντας νέες ράβδους, είναι δυνατό να ληφθεί ένα στατικά απροσδιόριστο σύστημα δύο φορές (βλ. Εικ. 1, γ), τρεις φορές κ.λπ. Κατά συνέπεια, με n επί ενός στατικά απροσδιόριστου συστήματος εννοούμε ένα σύστημα στο οποίο ο αριθμός των συνδέσεων υπερβαίνει τον αριθμό των ανεξάρτητων στατικών εξισώσεων κατά n μονάδες.

Οι πρόσθετες εξισώσεις που είναι απαραίτητες για την επίλυση του προβλήματος μπορούν να βρεθούν εξετάζοντας το σύστημα σε παραμορφωμένη κατάσταση και καθιερώνοντας συνδέσεις μεταξύ των μετατοπίσεων και των παραμορφώσεων των δομικών στοιχείων. Οι εξισώσεις που προκύπτουν ονομάζονται εξισώσεις συμβατότητας παραμόρφωσης.

Το Σχήμα 2 δείχνει διαγράμματα ορισμένων στατικά απροσδιόριστων συστημάτων.

Εικ.2. Μερικοί τύποι στατικά απροσδιόριστων συστημάτων

Κατά τη μελέτη της ενότητας «Στατικά ακαθόριστα συστήματα ράβδων» και την ολοκλήρωση αυτής της υπολογιστικής και γραφικής εργασίας, ο μαθητής πρέπει να μάθει τα χαρακτηριστικά των στατικά απροσδιόριστων συστημάτων. αποκτήσουν δεξιότητες αποκάλυψης στατικής απροσδιοριστίας, προσδιορισμού δυνάμεων σε δομικά στοιχεία και επιλογής επιφανειών διατομής από συνθήκες αντοχής.

Στην εργασία, ο μαθητής πρέπει να ολοκληρώσει τις ακόλουθες εργασίες:

- προσδιορίστε τις δυνάμεις στις ράβδους και επιλέξτε τις περιοχές διατομής από τη δράση εξωτερικών φορτίων.

- προσδιορίστε πρόσθετες τάσεις στις ράβδους λόγω αλλαγών θερμοκρασίας.

- Προσδιορισμός πρόσθετων τάσεων εγκατάστασης που προκαλούνται από ανακριβή κατασκευή ράβδων.

- επιλέξτε διατομές ράβδων σύμφωνα με την οριακή κατάσταση.

Ο όγκος και η μορφή εκτέλεσης του υπολογισμού και της γραφικής εργασίας εξαρτώνται από τον όγκο του μαθήματος που μελετάται και συζητούνται από τον δάσκαλο κατά τη διάρκεια των πρακτικών μαθημάτων.

1. Σύντομες θεωρητικές πληροφορίες

Κατά την επίλυση στατικά απροσδιόριστων προβλημάτων, πρέπει να ακολουθείται η ακόλουθη σειρά:

1.1. Εξετάστε τη στατική πλευρά του προβλήματος. Κατασκευάστε ένα σχέδιο δυνάμεων και συνθέστε στατικές εξισώσεις.

1.2. Εξετάστε τη γεωμετρική πλευρά του προβλήματος. Κατασκευάστε ένα ταξιδιωτικό σχέδιο. Δημιουργήστε πρόσθετες εξισώσεις συμβατότητας παραμόρφωσης σε τέτοια ποσότητα ώστε να μπορούν να βρεθούν όλες οι άγνωστες δυνάμεις.

1.3. Σκεφτείτε τη φυσική πλευρά του προβλήματος. Σύμφωνα με τους νόμους της φυσικής (σε υπολογισμούς θερμοκρασίας) και σύμφωνα με το νόμο του Hooke, εκφράστε τις παραμορφώσεις στις εξισώσεις της συμβατότητάς τους μέσω άγνωστων δυνάμεων που δρουν στις ράβδους:

1.4. Εκτελέστε μια κοινή λύση των εξισώσεων στατικής, γεωμετρίας, φυσικής και προσδιορίστε τις άγνωστες δυνάμεις.

1.5. Χρησιμοποιώντας συνθήκες αντοχής σε θλίψη ή εφελκυσμό N/F = [σ], επιλέξτε τις διατομές των ράβδων.

1.6. Με γνωστές δυνάμεις στις ράβδους και αποδεκτές περιοχές διατομής, υπολογίστε τις κανονικές τάσεις χρησιμοποιώντας τον τύπο

σ = N F .

2. Παράδειγμα

Δίνεται: Υποστηρίζεται μια απολύτως άκαμπτη δοκός ΑΒ, όπως φαίνεται στο Σχ. 3, φορτωμένη με ομοιόμορφα κατανεμημένο φορτίο και δύναμη P.

Εικ.3. Διάγραμμα ενός στατικά απροσδιόριστου συστήματος

Αρχικά στοιχεία για τον υπολογισμό

4. Προσδιορίστε τις συνολικές τάσεις στις ράβδους λόγω φορτίων, μεταβολών θερμοκρασίας και κατασκευαστικές ανακρίβειες.

2.1. Υπολογισμός συστήματος στατικά απροσδιόριστου αρθρωτών ράβδων για εξωτερική φόρτιση

P = 30 kN q = 15 kN/m

Α Γ Β

Εικ.4. Αρχικό σχήμα υπολογισμού

2.1.1. Στατική πλευρά του προβλήματος

Η στατική πλευρά του προβλήματος εξετάζεται από το σχέδιο δύναμης. Το σχέδιο δυνάμεων είναι ένα διάγραμμα υπολογισμού που δείχνει όλες τις δυνάμεις (γνωστές και άγνωστες) που εφαρμόζονται στο στοιχείο του συστήματος άρθρωσης-ράβδου του οποίου εξετάζεται η ισορροπία (στην περίπτωσή μας, αυτή είναι η άκαμπτη δοκός AB). Ας κόψουμε τις χαλύβδινες και χάλκινες ράβδους και ας αντικαταστήσουμε τα πεταμένα κάτω μέρη τους με εσωτερικές δυνάμεις (Εικ. 5).

P = 30 kN q = 15 kN/m

Α Γ Β

60°

Ρύζι. 5. Σχέδιο δυνάμεων από εξωτερικά φορτία

Από το σχέδιο δυνάμεων (βλ. Εικ. 5) γράφουμε τις εξισώσεις στατικής ισορροπίας. Για να απαντήσετε στην πρώτη ερώτηση του προβλήματος, πρέπει να γνωρίζετε τις δυνάμεις στις ράβδους - χάλυβας και χαλκού. Σε αυτή την περίπτωση, δεν χρειάζεται να υπολογιστεί η αντίδραση του αρθρωτού σταθερού στηρίγματος. Επομένως, από τα τρία

πιθανές στατικές εξισώσεις (ΣX = 0; ΣY = 0; Σm c = 0) γράφουμε

ένα που δεν περιλαμβάνει τις αντιδράσεις του αρθρωτού-σταθερού στηρίγματος C:

∑ mC = 0

− N CT a + q a 2 2 + p a + NM sin60o b = 0,

− N ST 2 + 15 2 2 2 + 30 2 − NM 0,866 4 = 0,

Μετά τις αλγεβρικές πράξεις, η εξίσωση ισορροπίας παίρνει τη μορφή

2.1.2. Η γεωμετρική πλευρά του προβλήματος

Η γεωμετρική πλευρά του προβλήματος εξετάζεται από το σχέδιο μετατόπισης. Το σχέδιο μετατόπισης είναι ένα υπολογιστικό διάγραμμα που δείχνει τη θέση του συστήματος μεντεσέ-ράβδου πριν και μετά τη φόρτωση. Στο σχέδιο κίνησης υποδεικνύουμε τις κινήσεις των σημείων δέσμης (AA1 και BB1),

απόλυτες παραμορφώσεις ράβδων χαλκού και χάλυβα (Δ l ST; ∆ l M)

(Εικ. 6). Επιπλέον, λόγω μικρών παραμορφώσεων, μετακινούμε τα σημεία της δοκού κατακόρυφα πάνω ή κάτω και σημειώνουμε τις παραμορφώσεις των κεκλιμένων ράβδων με μια κάθετη.

Ρύζι. 6. Σχέδιο μετατοπίσεων λόγω εξωτερικών φορτίων

Χρησιμοποιώντας το σχέδιο μετατόπισης, συντάσσουμε μια εξίσωση συμβατότητας παραμόρφωσης. Πρώτα απ 'όλα, ας γράψουμε τον λόγο των μετατοπίσεων των σημείων της δοκού από την ομοιότητα των τριγώνων AA1 C και CBB1 (Εικ. 6):

Εκφράζουμε τις μετατοπίσεις των σημείων της δοκού (ΑΑ1 και ΒΒ1) ως προς τις παραμορφώσεις

Αντικαθιστούμε τις παραστάσεις (2.3) και (2.4) στη σχέση (2.2):

2.1.3. Η φυσική πλευρά του προβλήματος

Η προκύπτουσα εξίσωση συμβατότητας παραμόρφωσης (2.5) σε αυτή τη μορφή δεν μπορεί να λυθεί με την εξίσωση ισορροπίας (2.1), επειδή οι άγνωστες ποσότητες που περιλαμβάνονται σε αυτές είναι διαφορετικής φύσης.

Οι απόλυτες παραμορφώσεις ∆ l CT και ∆ l M στην εξίσωση (2.5) μπορούν να εκφραστούν

Λάβαμε μια εξίσωση συμβατότητας παραμόρφωσης γραμμένη ως προς τις δυνάμεις στις ράβδους.

2.1.4. Σύνθεση

Ας λύσουμε μαζί την εξίσωση ισορροπίας (2.1) και την εξίσωση συμβατότητας παραμόρφωσης (2.6).

NCT + 1,73 NM = 45

0,67NST = 0,95NΜ.

Από τη δεύτερη εξίσωση του συστήματος εκφράζουμε τη δύναμη N ST:

και αντικαταστήστε το στην πρώτη εξίσωση του συστήματος.

Το θετικό αποτέλεσμα των N ST και N M επιβεβαιώνει τις υποθέσεις μας για τη συμπίεση της χαλύβδινης ράβδου και την τάση της χάλκινης ράβδου, πράγμα που σημαίνει ότι οι δυνάμεις στις ράβδους θα είναι:

2.1.5. Επιλογή διατομών ράβδων

Η επιλογή των διατομών των ράβδων πραγματοποιείται σύμφωνα με τις συνθήκες αντοχής σε εφελκυσμό - συμπίεση:

N F ≤ [σ] .

α) Η επιφάνεια διατομής της χαλύβδινης ράβδου που απαιτείται από την κατάσταση αντοχής θα προσδιοριστεί:

β) Το εμβαδόν διατομής της χάλκινης ράβδου που απαιτείται από την κατάσταση αντοχής θα προσδιοριστεί:

Σε αυτή την περίπτωση, σύμφωνα με τη δεδομένη αναλογία επιφάνειας, η περιοχή της χαλύβδινης ράβδου πρέπει να είναι ίση με:

FST = 4 3 FM = 4 3 1,7 10− 4 = 1,275 10− 4 m2 ..

Δεχόμαστε μεγάλες διατομές ράβδων:

Λαμβάνοντας υπόψη τις αποδεκτές περιοχές διατομής των ράβδων από χαλκό και χάλυβα, προσδιορίζουμε τις τάσεις σε αυτές τις ράβδους.

2.2. Υπολογισμός θερμοκρασίας ενός στατικά απροσδιόριστου συστήματος άρθρωσης-ράβδου

Ο σκοπός του υπολογισμού της θερμοκρασίας είναι να προσδιοριστούν οι πρόσθετες τάσεις σε ράβδους χαλκού και χάλυβα λόγω μεταβολών της θερμοκρασίας.

Ας υποθέσουμε ότι το σύστημα θερμαίνεται κατά ∆ t = 20 o C. Ο αλγόριθμος λύσης παραμένει ο ίδιος. Το αρχικό διάγραμμα σχεδίασης φαίνεται στο Σχ. 7.

Τα συστήματα ράβδων, οι αντιδράσεις στήριξης και οι εσωτερικοί παράγοντες δύναμης στους οποίους δεν μπορούν να βρεθούν μόνο από εξισώσεις ισορροπίας ονομάζονται στατικά απροσδιόριστος.

Η διαφορά μεταξύ του αριθμού των άγνωστων δυνάμεων και των ανεξάρτητων εξισώσεων ισορροπίας καθορίζει βαθμός στατικής απροσδιοριστίας του συστήματος. Ο βαθμός στατικού ακαθορισμού είναι πάντα ίσος με τον αριθμό των περιττών (περιττών) συνδέσεων, η αφαίρεση των οποίων μετατρέπει ένα στατικά απροσδιόριστο σύστημα σε ένα στατικά οριζόμενο γεωμετρικά αμετάβλητο σύστημα. Τόσο οι εξωτερικές (υποστήριξη) συνδέσεις όσο και οι εσωτερικές μπορεί να είναι περιττές, επιβάλλοντας ορισμένους περιορισμούς στην κίνηση των τμημάτων του συστήματος μεταξύ τους.

Γεωμετρικά αμετάβλητοείναι ένα σύστημα του οποίου το σχήμα μπορεί να αλλάξει μόνο λόγω παραμορφώσεων των στοιχείων του.

Γεωμετρικά μεταβλητήείναι ένα σύστημα του οποίου τα στοιχεία μπορούν να κινούνται υπό την επίδραση εξωτερικών δυνάμεων χωρίς παραμόρφωση (μηχανισμός).

Εμφανίζεται στο Σχ. 12.1 το πλαίσιο έχει επτά εξωτερικούς (υποστήριξη) συνδέσμους. Για να προσδιορίσετε τις δυνάμεις σε αυτές τις συνδέσεις (αντιδράσεις υποστήριξης), μπορείτε να δημιουργήσετε μόνο τρεις ανεξάρτητες εξισώσεις ισορροπίας. Κατά συνέπεια, αυτό το σύστημα έχει τέσσερις περιττές συνδέσεις, που σημαίνει ότι είναι στατικά απροσδιόριστο τέσσερις φορές. Έτσι, ο βαθμός στατικής απροσδιοριστίας για επίπεδα πλαίσια είναι ίσος με:

Οπου R- αριθμός αντιδράσεων υποστήριξης.

Ένα περίγραμμα που αποτελείται από έναν αριθμό στοιχείων (ίσια ή καμπύλα), άκαμπτα (χωρίς μεντεσέδες) συνδεδεμένα μεταξύ τους και σχηματίζοντας ένα κλειστό κύκλωμα ονομάζεται κλειστό . Το ορθογώνιο πλαίσιο που φαίνεται στο Σχήμα 12.2 είναι ένας κλειστός βρόχος. Είναι τρεις φορές στατικά απροσδιόριστο, αφού για να μετατραπεί σε στατικά οριζόμενο είναι απαραίτητο να κοπεί ένα από τα στοιχεία του και να εξαλειφθούν τρεις επιπλέον συνδέσεις. Οι αντιδράσεις αυτών των συνδέσεων είναι: διαμήκης δύναμη, εγκάρσια δύναμη και ροπή κάμψης που ενεργούν στο σημείο κοπής. δεν μπορούν να προσδιοριστούν χρησιμοποιώντας στατικές εξισώσεις. Κάτω από παρόμοιες συνθήκες, με την έννοια της στατικής απροσδιοριστίας, υπάρχει οποιοδήποτε κλειστό περίγραμμα που είναι πάντα τρεις φορές στατικά απροσδιόριστο.

Η συμπερίληψη ενός μεντεσέ σε ένα συγκρότημα πλαισίου στο οποίο συναντώνται δύο ράβδοι ή η τοποθέτησή του οπουδήποτε στον άξονα της ράβδου, αφαιρεί μία σύνδεση και μειώνει τον συνολικό βαθμό στατικής απροσδιοριστίας κατά μία. Μια τέτοια άρθρωση ονομάζεται μονή ή απλή (Εικ. 12.3).

Σε γενικές γραμμές, κάθε άρθρωση περιλαμβάνεται σε έναν κόμβο σύνδεσης ντοράβδους, μειώνει τον βαθμό στατικής αβεβαιότητας κατά ντο-1 , αφού μια τέτοια άρθρωση αντικαθιστά ντο-1 μονούς μεντεσέδες (Εικ. 12.3). Έτσι, ο βαθμός στατικής απροσδιοριστίας του συστήματος παρουσία κλειστών περιγραμμάτων καθορίζεται από τον τύπο.

Οι δοκοί και τα συστήματα αρθρωτών ράβδων στα οποία οι εσωτερικές δυνάμεις από ένα δεδομένο φορτίο μπορούν να προσδιοριστούν χρησιμοποιώντας εξισώσεις ισορροπίας (στατικές εξισώσεις) ονομάζονται στατικά προσδιοριστέες.

Αντίθετα, οι δοκοί και τα συστήματα ονομάζονται στατικά απροσδιόριστα, οι εσωτερικές δυνάμεις στις οποίες δεν μπορούν να προσδιοριστούν χρησιμοποιώντας μόνο εξισώσεις ισορροπίας. Επομένως, κατά τον υπολογισμό τους, είναι απαραίτητο να συνθέσετε πρόσθετες εξισώσεις (εξισώσεις μετατόπισης που λαμβάνουν υπόψη τη φύση της παραμόρφωσης του συστήματος. Ο αριθμός των πρόσθετων εξισώσεων που απαιτούνται για τον υπολογισμό του συστήματος χαρακτηρίζει τον βαθμό του στατικού του απροσδιορισμού. Μπορείτε να συνθέσετε όσες πρόσθετες εξισώσεις απαιτούνται για την επίλυση του προβλήματος.

Οι δυνάμεις στα στοιχεία των στατικά καθορισμένων συστημάτων προκύπτουν μόνο από τη δράση ενός εξωτερικού φορτίου (συμπεριλαμβανομένου του νεκρού βάρους της κατασκευής). Σε στοιχεία στατικά απροσδιόριστων συστημάτων, δυνάμεις μπορεί να προκύψουν ακόμη και απουσία εξωτερικού φορτίου - ως αποτέλεσμα, για παράδειγμα, μεταβολών θερμοκρασίας, μετατόπισης συνδετήρων στήριξης ή ανακρίβειας στην κατασκευή μεμονωμένων δομικών στοιχείων.

Το πιο σημαντικό στάδιο στον υπολογισμό των στατικά απροσδιόριστων συστημάτων είναι η κατάρτιση πρόσθετων (στις εξισώσεις ισορροπίας) εξισώσεων μετατόπισης. Θα εξετάσουμε μεθόδους για τη σύνταξή τους χρησιμοποιώντας παραδείγματα επίλυσης διαφόρων προβλημάτων υπολογισμού στατικά απροσδιόριστων συστημάτων.

Ας εξετάσουμε μια ράβδο σφιγμένη (ενσωματωμένη) και στα δύο άκρα και φορτωμένη με δύναμη P (Εικ. 26.2, α). Υπό την επίδραση της δύναμης P, εμφανίζονται αντιδράσεις στις σφραγίδες και είναι απαραίτητο να προσδιοριστεί το μέγεθος αυτών των δυνάμεων. Για αυτήν την περίπτωση (όταν όλες οι δυνάμεις ενεργούν κατά μήκος μιας ευθείας γραμμής), η στατική μας επιτρέπει να συνθέσουμε μόνο μία εξίσωση ισορροπίας:

Επομένως, για τον προσδιορισμό δύο αγνώστων, είναι απαραίτητο να δημιουργηθεί μία επιπλέον εξίσωση. Επομένως, η εν λόγω ράβδος είναι μια φορά στατικά απροσδιόριστη (δηλαδή, ο βαθμός του στατικού της ακαθορισμού είναι ίσος με τη μονάδα). Για να δημιουργήσουμε μια πρόσθετη εξίσωση, ας απορρίψουμε την κάτω ενσωμάτωση και ας αντικαταστήσουμε την επιρροή της στη ράβδο με μια αντίδραση (Εικ. 26.2, β). Ας υποθέσουμε ότι μόνο μία δύναμη P δρα, αλλά δεν υπάρχει δύναμη. Υπό τη δράση της δύναμης I, παραμορφώνεται μόνο το άνω τμήμα της ράβδου μήκους a, με αποτέλεσμα το τμήμα όπου εφαρμόζεται η δύναμη P να μετακινείται προς τα κάτω κατά ένα ποσό παραμορφώνεται, αλλά κινείται προς τα κάτω, όπως ένα άκαμπτο σώμα, κατά την ίδια ποσότητα, με ποιο τμήμα κινείται όπου εφαρμόζεται η δύναμη R. Συγκεκριμένα, το κάτω άκρο της ράβδου κινείται προς τα κάτω κατά την ίδια ποσότητα.

Ας υποθέσουμε τώρα ότι μόνο η δύναμη δρα και δεν υπάρχει δύναμη P.

Υπό τη δράση της δύναμης, ολόκληρη η ράβδος παραμορφώνεται, με αποτέλεσμα το κάτω άκρο της ράβδου να κινείται προς τα πάνω κατά ένα ποσό.

Στην πραγματικότητα, το κάτω άκρο της ράβδου, που είναι ενσωματωμένο, δεν δέχεται κίνηση. Επομένως, η κίνησή του προς τα κάτω που προκαλείται από τη δύναμη P πρέπει να είναι ίση με την ανοδική κίνηση που προκαλείται από τη δύναμη από. Γνωρίζοντας την τιμή από την εξίσωση (46.2), μπορούμε να βρούμε .

Μετά τον προσδιορισμό των αντιδράσεων που προκαλούνται από τη δράση της δύναμης P, πραγματοποιείται η κατασκευή ενός διαγράμματος διαμήκων δυνάμεων και ο υπολογισμός της αντοχής, όπως στην περίπτωση ενός στατικά καθορισμένου προβλήματος.

Πρέπει να σημειωθεί ότι οι κατευθύνσεις άγνωστων αντιδράσεων, κινήσεων κ.λπ. μπορούν να ληφθούν εντελώς αυθαίρετα. Στο εξεταζόμενο παράδειγμα, η ανοδική κατεύθυνση θεωρείται για τις αντιδράσεις. Ως αποτέλεσμα του υπολογισμού, οι τιμές και των δύο αντιδράσεων ήταν θετικές. Αυτό σημαίνει ότι οι πραγματικές κατευθύνσεις τους συμπίπτουν με εκείνες που είχαν προηγουμένως αποδεκτεί. Εάν, για παράδειγμα, πάρουμε την καθοδική κατεύθυνση για την αντίδραση, τότε ως αποτέλεσμα της επίλυσης της πρόσθετης εξίσωσης θα λάβουμε το σύμβολο μείον ότι η πραγματική κατεύθυνση της αντίδρασης της κάτω ενσωμάτωσης είναι η αντίθετη από την αποδεκτή κατεύθυνση. δηλ. ότι κατευθύνεται προς τα πάνω. Έτσι, το τελικό αποτέλεσμα του υπολογισμού δεν εξαρτάται από το ποια κατεύθυνση αντίδρασης ήταν προηγουμένως αποδεκτή.

Ας εξετάσουμε ένα στατικά απροσδιόριστο σύστημα επίπεδου μεντεσέ-ράβδου που αποτελείται από τρεις ράβδους, τα κάτω άκρα των οποίων συνδέονται με έναν κοινό μεντεσέ D (Εικ. 27.2). Η περιοχή διατομής της μεσαίας ράβδου είναι ίση με αυτή των εξωτερικών ράβδων

Μια κατακόρυφη δύναμη P ασκείται στον μεντεσέ D. Απαιτείται ο προσδιορισμός των δυνάμεων στις ράβδους λόγω της δράσης αυτής της δύναμης.

Δεδομένου ότι οι συνδέσεις όλων των άκρων των ράβδων είναι αρθρωτές, οι αντιδράσεις των μεντεσέδων A, B και C κατευθύνονται κατά μήκος των αξόνων των ράβδων και, επομένως, τέμνονται στο σημείο D.

Ο αριθμός των αντιδράσεων είναι τρεις. Επειδή όμως το σύστημα και το φορτίο είναι συμμετρικά ως προς τον κατακόρυφο άξονα, οι αντιδράσεις RA και είναι ίσες μεταξύ τους, και επομένως για να λυθεί το πρόβλημα αρκεί να προσδιορίσουμε δύο αντιδράσεις RA και RA και

Για ένα επίπεδο σύστημα δυνάμεων που τέμνονται σε ένα σημείο, είναι γνωστό ότι μπορούν να κατασκευαστούν δύο εξισώσεις ισορροπίας: και ωστόσο, αυτές οι δύο εξισώσεις δεν επαρκούν για τον προσδιορισμό των αντιδράσεων και του RB, καθώς η συνθήκη συμμετρίας έχει ήδη χρησιμοποιηθεί, και αυτό είναι ισοδύναμο με τη χρήση της εξίσωσης ισορροπίας Απομένει μόνο μία εξίσωση ισορροπίας και ο αριθμός των άγνωστων προσπαθειών είναι δύο. Έτσι, για να λυθεί το πρόβλημα είναι απαραίτητο να κατασκευαστεί μια επιπλέον εξίσωση και, επομένως, το πρόβλημα είναι μια φορά στατικά απροσδιόριστο.

Η εξίσωση ισορροπίας έχει τη μορφή

Για να δημιουργήσετε μια επιπλέον εξίσωση, εξετάστε τις μετατοπίσεις του συστήματος.

Στις ράβδους AD, BD και CD, οι διαμήκεις δυνάμεις προκύπτουν ίσες με, αντίστοιχα, με τη δράση μιας διαμήκους δύναμης, η ράβδος AD θα επιμηκυνθεί κατά ένα ποσό

Ο μεντεσές D θα χαμηλώσει κατά ένα ποσό και θα πάρει τη θέση D (Εικ. 27.2).

Για να εκφραστεί η επιμήκυνση της ράβδου AD μέσω μετατόπισης, είναι απαραίτητο να προβληθεί αυτή η κίνηση προς την κατεύθυνση του άξονα της ράβδου:

Εδώ, λόγω του γεγονότος ότι η μετατόπιση είναι μικρή σε σύγκριση με τα μήκη των ράβδων, η γωνία ADB (Εικ. 27.2) λαμβάνεται ίση με a, δηλ. η γωνία ADB (μεταξύ των αξόνων των ράβδων AD και BD σε ένα απαραμόρφωτη δομή).

Ας αντικαταστήσουμε τις εκφράσεις και το DB που λήφθηκαν παραπάνω στην εξίσωση (48.2):

Λύνοντας αυτή την εξίσωση μαζί με την εξίσωση ισορροπίας (47.2), παίρνουμε

Από τις εκφράσεις (49.2) είναι σαφές ότι με την αύξηση των επιφανειών διατομής των ράβδων AD και CD (δηλαδή με αύξηση ), οι δυνάμεις σε αυτές αυξάνονται και η δύναμη στη ράβδο BD μειώνεται.

Αυτό το αποτέλεσμα αντανακλά τα χαρακτηριστικά των στατικά απροσδιόριστων συστημάτων, στα οποία η αύξηση της ακαμψίας ορισμένων στοιχείων οδηγεί σε αύξηση των δυνάμεων σε αυτά και συνήθως σε μείωση των δυνάμεων σε άλλα στοιχεία. Σε στατικά προσδιορισμένα συστήματα, η κατανομή των δυνάμεων σε μια κατασκευή δεν εξαρτάται από τις ακαμψίες των στοιχείων της.

Ας εξετάσουμε ένα σύστημα που αποτελείται από τρεις ράβδους: έναν σωλήνα αλουμινίου, έναν χαλύβδινο σωλήνα 2 που εισάγεται σε έναν αλουμινένιο σωλήνα και μια συμπαγή ράβδο από χυτοσίδηρο 3 που βρίσκεται μέσα στον χαλύβδινο σωλήνα (Εικ. 28.2, α).

Τόσο οι σωλήνες όσο και μια ράβδος από χυτοσίδηρο τοποθετούνται ανάμεσα σε απολύτως άκαμπτες πλάκες και συμπιέζονται από μια δύναμη P. Απαιτείται ο προσδιορισμός των τάσεων στις διατομές καθεμιάς από τις ράβδους που προκαλούνται από τη δύναμη P.

Ας σχεδιάσουμε μια οριζόντια τομή και ας συντάξουμε μια εξίσωση ισορροπίας για το πάνω μέρος του συστήματος (Εικ. 28.2, β):

πού είναι οι κανονικές τάσεις στις διατομές των ράβδων αλουμινίου, χάλυβα και χυτοσιδήρου, αντίστοιχα (οι κανονικές θλιπτικές τάσεις θεωρούνται θετικές εδώ). - περιοχή διατομής αυτών των ράβδων.

Τα προϊόντα αντιπροσωπεύουν τις διαμήκεις δυνάμεις στις διατομές των ράβδων.

Είναι αδύνατο να κατασκευαστούν άλλες εξισώσεις ισορροπίας για το υπό εξέταση σύστημα παράλληλων δυνάμεων και επομένως, για τον προσδιορισμό των τριών άγνωστων τάσεων, εκτός από την εξίσωση ισορροπίας (50.2), είναι απαραίτητο να κατασκευαστούν δύο επιπλέον εξισώσεις. Σύμφωνα με αυτό, το υπό εξέταση σύστημα είναι δύο φορές (δύο φορές) στατικά απροσδιόριστο.

Για να συνθέσουμε πρόσθετες εξισώσεις, χρησιμοποιούμε το γεγονός ότι και οι τρεις ράβδοι τοποθετούνται μεταξύ δύο άκαμπτων πλακών και επομένως οι διαμήκεις παραμορφώσεις όλων των ράβδων είναι οι ίδιες. Ας υποδηλώσουμε τη σχετική διαμήκη παραμόρφωση των ράβδων.

Με βάση το νόμο του Χουκ

όπου είναι τα ελαστικά συντελεστές των υλικών της ράβδου.

Από αυτή την ισότητα παίρνουμε δύο επιπλέον εξισώσεις:

Αντικαθιστώντας τις τιμές από τις εξισώσεις (52.2) στην εξίσωση (50.2), βρίσκουμε

πού είναι η διατομή ολόκληρης της σύνθετης ράβδου μειωμένη σε αλουμίνιο:

Στο Σχ. 28.2, b δείχνει το διάγραμμα των κανονικών τάσεων στο υπό εξέταση σύστημα με αναλογία μεταξύ συντελεστών ελαστικότητας ίση με 1:3:2.

Οι δεδομένες περιοχές χρησιμοποιούνται κατά το σχεδιασμό δοκών ετερογενούς ελαστικότητας, για παράδειγμα, κολώνες από οπλισμένο σκυρόδεμα που αποτελούνται από χαλύβδινες ράβδους (οπλισμός) που βρίσκονται σε σκυρόδεμα. Η πρόσφυση μεταξύ του οπλισμού και του σκυροδέματος εξαλείφει τη δυνατότητα κίνησης του οπλισμού σε σχέση με το γύρω σκυρόδεμα. Επομένως, οι διαμήκεις παραμορφώσεις του σκυροδέματος και του οπλισμού είναι οι ίδιες και ο λόγος των κανονικών τάσεων στον οπλισμό προς τις τάσεις στο σκυρόδεμα είναι ίσος με τον λόγο των συντελεστών ελαστικότητας αυτών των υλικών.

Ας εξετάσουμε τώρα το σύστημα που φαίνεται στο Σχ. 29.2, α, που αποτελείται από μια απολύτως άκαμπτη δοκό που στηρίζεται σε αρθρωτό στήριγμα και συνδέεται σε δύο ράβδους AAX και CCX (από όλκιμο χάλυβα) χρησιμοποιώντας μεντεσέδες.

Ας προσδιορίσουμε από τις συνθήκες αντοχής των χαλύβδινων ράβδων το επιτρεπόμενο φορτίο, το μέγιστο φορτίο και το μέγιστο επιτρεπόμενο φορτίο.

Οι αντιδράσεις των ράβδων που είναι αρθρωτές στα άκρα κατευθύνονται κατά μήκος των αξόνων αυτών των ράβδων. Η αντίδραση του στηρίγματος Β έχει μια οριζόντια συνιστώσα και μια κατακόρυφη συνιστώσα, καθώς αυτή η στήριξη εμποδίζει τις οριζόντιες και κάθετες κινήσεις του σημείου Β της δοκού.

Έτσι, υπάρχουν συνολικά τέσσερις άγνωστες αντιδράσεις (Εικ. 29.2, β) και μόνο τρεις εξισώσεις ισορροπίας μπορούν να συνταχθούν για ένα επίπεδο σύστημα δυνάμεων. Κατά συνέπεια, αυτό το σύστημα είναι κάποτε στατικά απροσδιόριστο και για την επίλυσή του είναι απαραίτητο να δημιουργηθεί μία επιπλέον εξίσωση.

Σύμφωνα με τις συνθήκες του προβλήματος, είναι απαραίτητο να προσδιοριστούν οι αντιδράσεις των χαλύβδινων ράβδων AAX και CCX (ίσες με τις διαμήκεις δυνάμεις στις διατομές αυτών των ράβδων), αλλά δεν χρειάζεται να προσδιοριστούν οι αντιδράσεις. Επομένως, αρκεί να χρησιμοποιηθεί μία από τις τρεις πιθανές εξισώσεις ισορροπίας, οι οποίες δεν θα περιλαμβάνουν τις αντιδράσεις και .

Αυτή είναι η εξίσωση με τη μορφή του αθροίσματος των ροπών όλων των δυνάμεων σε σχέση με την άρθρωση Β:

Για να δημιουργήσετε μια πρόσθετη εξίσωση, εξετάστε την παραμόρφωση του συστήματος. Στο Σχ. 29.2, b η διακεκομμένη γραμμή δείχνει τον άξονα της δοκού μετά την παραμόρφωση του συστήματος. Αυτός ο άξονας παραμένει ευθύγραμμος, αφού η δοκός είναι απολύτως άκαμπτη και, επομένως, δεν παραμορφώνεται, αλλά μπορεί να περιστραφεί μόνο γύρω από το σημείο Β. Οι μεντεσέδες Α και Γ μετά την παραμόρφωση μετακινούνται στις θέσεις Α και Γ, αντίστοιχα, δηλ. κινούνται κάθετα κατά ποσά. Από την ομοιότητα των τριγώνων AAB και CCB βρίσκουμε

Ας εκφράσουμε την επιμήκυνση της ράβδου και την επιμήκυνση της ράβδου μέσω μετατοπίσεων. Για να γίνει αυτό, προβάλλουμε μετατοπίσεις στις κατευθύνσεις των ράβδων:

ή λαμβάνοντας υπόψη την ισότητα (56.2)

Αλλά σύμφωνα με το νόμο του Hooke [σύμφωνα με τον τύπο (13.2)]

και, επομένως, με βάση την ισότητα (57.2)

Έχοντας λύσει την εξίσωση (58.2) μαζί με την εξίσωση ισορροπίας (55.2), βρίσκουμε τις τιμές των διαμήκων δυνάμεων που εκφράζονται μέσω του φορτίου Q. Διαιρώντας τις δυνάμεις με τις περιοχές διατομής, αντίστοιχα, προσδιορίζουμε τις κανονικές τάσεις στον χάλυβα ράβδους. Στη συνέχεια, εξισώνοντας τη μεγαλύτερη από αυτές τις τάσεις με την επιτρεπόμενη τάση, βρίσκουμε την τιμή του Q ίση με την τιμή του επιτρεπόμενου φορτίου

Καθώς το φορτίο Q αυξάνεται πέρα ​​από τις τιμές τάσης και στις δύο ράβδους, αυτές αρχικά αυξάνονται σε ευθεία αναλογία με το φορτίο. Εάν, για παράδειγμα, και, επομένως, η τιμή βρεθεί από την προϋπόθεση ότι όταν το φορτίο αυξάνεται σε μια ορισμένη τιμή, οι τάσεις στην πρώτη ράβδο φθάνουν στο σημείο διαρροής. Ταυτόχρονα, οι τάσεις στη δεύτερη ράβδο παραμένουν μικρότερες

Κατά τη διαδικασία περαιτέρω αύξησης του φορτίου, οι τάσεις στην πρώτη ράβδο παραμένουν σταθερές, ίσες με την αντοχή διαρροής, και στη δεύτερη αυξάνονται μέχρι να γίνουν ίσες. Αυτή η κατάσταση του συστήματος ονομάζεται οριακή κατάσταση, που αντιστοιχεί στο εξάντληση της ικανότητας μεταφοράς φορτίου του· μια περαιτέρω, έστω και ελαφρά αύξηση του φορτίου σχετίζεται με πολύ μεγάλες παραμορφώσεις του συστήματος. Η ποσότητα Q που προκαλεί την οριακή κατάσταση ορίζεται και ονομάζεται τελικό φορτίο.

Για να προσδιορίσουμε την τιμή, συντάσσουμε μια εξίσωση ισορροπίας με τη μορφή του αθροίσματος των ροπών (σε σχέση με την άρθρωση Β) όλων των δυνάμεων που ασκούνται σε μια άκαμπτη δοκό στην οριακή κατάσταση, όταν

Διαιρώντας με τον τυπικό συντελεστή ασφάλειας φέρουσας ικανότητας, λαμβάνουμε την τιμή του μέγιστου επιτρεπόμενου φορτίου:

Εάν η τιμή στον τύπο (59.2) ληφθεί ίση με την τιμή [βλ. τύπος (42.2)], τότε η τιμή του μέγιστου επιτρεπόμενου φορτίου θα είναι μεγαλύτερη από την τιμή του επιτρεπόμενου φορτίου που προκύπτει από τον υπολογισμό με βάση τις επιτρεπόμενες τάσεις.

Τα θέματα καθορισμού των μέγιστων και μέγιστων επιτρεπόμενων φορτίων αναλύονται λεπτομερέστερα στο Κεφάλαιο. 17.

Ας καθιερώσουμε τώρα μια μέθοδο για τον προσδιορισμό των τάσεων συναρμολόγησης σε μια στατικά απροσδιόριστη δομή που προκαλείται από ανακρίβεια στην κατασκευή των στοιχείων της. Ας εξετάσουμε, για παράδειγμα, μια κατασκευή που αποτελείται από τρεις χαλύβδινες ράβδους με επιφάνειες διατομής, τα άκρα των οποίων είναι αρθρωμένα σε δύο άκαμπτες πλάκες (Εικ. 30.2, α). Όλες οι ράβδοι υποτίθεται ότι είχαν το ίδιο μήκος l, αλλά η πρώτη ράβδος ήταν μεγαλύτερη και η δεύτερη 68 πιο κοντή από ότι σύμφωνα με το σχέδιο είναι πολύ μικρές σε σύγκριση με το I). Από αυτή την άποψη, μετά την εγκατάσταση, οι λεγόμενες αρχικές (ή εγκατάστασης) τάσεις προέκυψαν στις ράβδους. Ας προσδιορίσουμε αυτές τις τάσεις.

Ας υποθέσουμε ότι μετά την εγκατάσταση της κατασκευής η κάτω πλάκα παίρνει τη θέση που φαίνεται στο Σχ. 30.2, αλλά με διακεκομμένη γραμμή, δηλαδή ότι κατά την εγκατάσταση όλες οι ράβδοι επιμηκύνονται και, επομένως, είναι όλες τεντωμένες.

Ας τραβήξουμε μια τομή μέσα από τις ράβδους (Εικ. 30.2, o) και διαμορφώνουμε συνθήκες ισορροπίας για το κάτω (κομμένο) τμήμα της κατασκευής (Εικ. 30.2, β):

α) το άθροισμα των προβολών των δυνάμεων στην κατακόρυφο

β) το άθροισμα των ροπών των δυνάμεων σε σχέση με τον κάτω αριστερό μεντεσέ Α

Από την εξίσωση (61.2) είναι σαφές ότι οι δυνάμεις στη δεύτερη και τρίτη ράβδο έχουν διαφορετικά πρόσημα, δηλαδή, η μία από αυτές τεντώνεται και η άλλη συμπιέζεται.

Επομένως, η υπόθεση που έγινε ότι όλες οι ράβδοι είναι σε τάση είναι εσφαλμένη. Ωστόσο, απλοποιεί περαιτέρω τον συλλογισμό και δεν εισάγει σφάλματα στα αποτελέσματα υπολογισμού.

Οι δύο εξισώσεις ισορροπίας (60.2) και (61.2) περιλαμβάνουν τρεις άγνωστες δυνάμεις. Κατά συνέπεια, η υπό εξέταση κατασκευή είναι κάποτε στατικά απροσδιόριστη.

Για να δημιουργήσετε μια πρόσθετη εξίσωση, εξετάστε την προέκταση των ράβδων κατά την εγκατάσταση. Ας υποδηλώσουμε τις επιμηκύσεις της πρώτης, δεύτερης και τρίτης ράβδου αντίστοιχα (Εικ. 30.2, α). Με βάση την υπόθεση της απόλυτης ακαμψίας των πλακών, συμπεραίνουμε ότι και οι τρεις κάτω μεντεσέδες βρίσκονται στην ίδια ευθεία. Αυτό μας επιτρέπει να συντάξουμε την ακόλουθη σχέση για παρόμοια τρίγωνα ACE και BCD (Εικ. 30.2, α):

Αλλά από το Σχ. 30.2, αλλά συνάγεται ότι

Με βάση το νόμο του Χουκ