ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ - μια αναπαράσταση ενός φαινομένου ή μιας διαδικασίας που μελετάται σε συγκεκριμένες επιστημονικές γνώσεις στη γλώσσα των μαθηματικών εννοιών. Σε αυτή την περίπτωση, ένας αριθμός ιδιοτήτων του υπό μελέτη φαινομένου αναμένεται να προκύψει με τη μελέτη των πραγματικών μαθηματικών χαρακτηριστικών του μοντέλου. Κατασκευή Μ.μ. τις περισσότερες φορές υπαγορεύεται από την ανάγκη να υπάρξει μια ποσοτική ανάλυση των φαινομένων και των διαδικασιών που μελετώνται, χωρίς την οποία, με τη σειρά της, είναι αδύνατο να γίνουν πειραματικά επαληθεύσιμες προβλέψεις για την πορεία τους.

Η διαδικασία της μαθηματικής μοντελοποίησης, κατά κανόνα, περνά από τα ακόλουθα στάδια. Στο πρώτο στάδιο, προσδιορίζονται οι συνδέσεις μεταξύ των κύριων παραμέτρων του μελλοντικού M.m. Μιλάμε πρωτίστως για ποιοτική ανάλυση των υπό μελέτη φαινομένων και διαμόρφωση προτύπων που συνδέουν τα κύρια αντικείμενα της έρευνας. Σε αυτή τη βάση, προσδιορίζονται αντικείμενα που μπορούν να περιγραφούν ποσοτικά. Το στάδιο τελειώνει με την κατασκευή ενός υποθετικού μοντέλου, με άλλα λόγια, καταγράφοντας στη γλώσσα των μαθηματικών εννοιών ποιοτικές ιδέες για τις σχέσεις μεταξύ των κύριων αντικειμένων του μοντέλου, οι οποίες μπορούν να χαρακτηριστούν ποσοτικά.

Στο δεύτερο στάδιο μελετώνται τα πραγματικά μαθηματικά προβλήματα στα οποία οδηγεί το κατασκευασμένο υποθετικό μοντέλο. Το κύριο πράγμα σε αυτό το στάδιο είναι να ληφθούν εμπειρικά επαληθεύσιμες θεωρητικές συνέπειες (λύση του άμεσου προβλήματος) ως αποτέλεσμα μαθηματικής ανάλυσης του μοντέλου. Ταυτόχρονα, δεν είναι λίγες οι περιπτώσεις που για την κατασκευή και μελέτη Μ.μ. σε διαφορετικούς τομείς συγκεκριμένης επιστημονικής γνώσης, χρησιμοποιείται η ίδια μαθηματική συσκευή (για παράδειγμα, διαφορικές εξισώσεις) και προκύπτουν μαθηματικά προβλήματα του ίδιου τύπου, αν και πολύ μη ασήμαντα σε κάθε συγκεκριμένη περίπτωση. Επιπλέον, σε αυτό το στάδιο, η χρήση υπολογιστών υψηλής ταχύτητας (υπολογιστές) αποκτά μεγάλη σημασία, γεγονός που καθιστά δυνατή την απόκτηση κατά προσέγγιση λύσεων σε προβλήματα, συχνά αδύνατη στο πλαίσιο των καθαρών μαθηματικών, με βαθμό ακρίβειας που προηγουμένως ήταν απρόσιτος ( χωρίς τη χρήση υπολογιστή).

Το τρίτο στάδιο χαρακτηρίζεται από δραστηριότητες εντοπισμού του βαθμού επάρκειας της κατασκευασμένης υποθετικής Μ.Μ. εκείνα τα φαινόμενα και τις διαδικασίες για τις οποίες προοριζόταν να μελετηθεί. Δηλαδή, εάν έχουν καθοριστεί όλες οι παράμετροι του μοντέλου, οι ερευνητές προσπαθούν να βρουν σε ποιο βαθμό, εντός των ορίων της παρατηρητικής ακρίβειας, τα αποτελέσματά τους συνάδουν με τις θεωρητικές συνέπειες του μοντέλου. Αποκλίσεις πέρα ​​από τα όρια της ακρίβειας παρατήρησης υποδηλώνουν την ανεπάρκεια του μοντέλου. Ωστόσο, υπάρχουν συχνά περιπτώσεις που, κατά την κατασκευή ενός μοντέλου, παραμένουν ορισμένες από τις παραμέτρους του

αβέβαιος. Τα προβλήματα στα οποία τα παραμετρικά χαρακτηριστικά του μοντέλου καθορίζονται με τέτοιο τρόπο ώστε οι θεωρητικές συνέπειες να είναι συγκρίσιμες, εντός των ορίων της παρατηρητικής ακρίβειας, με τα αποτελέσματα των εμπειρικών δοκιμών ονομάζονται αντίστροφα προβλήματα.

Στο τέταρτο στάδιο, λαμβάνοντας υπόψη τον προσδιορισμό του βαθμού επάρκειας του κατασκευασμένου υποθετικού μοντέλου και την εμφάνιση νέων πειραματικών δεδομένων για τα υπό μελέτη φαινόμενα, λαμβάνει χώρα μεταγενέστερη ανάλυση και τροποποίηση του μοντέλου. Εδώ η απόφαση που λαμβάνεται ποικίλλει από την άνευ όρων απόρριψη των εφαρμοσμένων μαθηματικών εργαλείων έως την αποδοχή του κατασκευασμένου μοντέλου ως θεμέλιο για την κατασκευή μιας θεμελιωδώς νέας επιστημονικής θεωρίας.

Πρώτη Μ.μ. εμφανίστηκε στην αρχαία επιστήμη. Έτσι, για να μοντελοποιήσει το ηλιακό σύστημα, ο Έλληνας μαθηματικός και αστρονόμος Εύδοξος έδωσε σε κάθε πλανήτη τέσσερις σφαίρες, ο συνδυασμός των κινήσεων των οποίων δημιούργησε έναν ιππόποδα - μια μαθηματική καμπύλη παρόμοια με την παρατηρούμενη κίνηση του πλανήτη. Επειδή, όμως, αυτό το μοντέλο δεν μπορούσε να εξηγήσει όλες τις παρατηρούμενες ανωμαλίες στην κίνηση των πλανητών, αντικαταστάθηκε αργότερα από το επικυκλικό μοντέλο του Απολλώνιου της Πέργας. Το τελευταίο μοντέλο χρησιμοποιήθηκε στις μελέτες του από τον Ίππαρχο και στη συνέχεια, αφού το υπέβαλε σε κάποια τροποποίηση, από τον Πτολεμαίο. Αυτό το μοντέλο, όπως και οι προκάτοχοί του, βασίστηκε στην πεποίθηση ότι οι πλανήτες υφίστανται ομοιόμορφες κυκλικές κινήσεις, η επικάλυψη των οποίων εξηγούσε τις φαινομενικές ανωμαλίες. Πρέπει να σημειωθεί ότι το μοντέλο του Κοπέρνικου ήταν θεμελιωδώς νέο μόνο με ποιοτική έννοια (αλλά όχι ως Μ.Μ.). Και μόνο ο Kepler, με βάση τις παρατηρήσεις του Tycho Brahe, κατασκεύασε ένα νέο M.M. Ηλιακό σύστημα, αποδεικνύοντας ότι οι πλανήτες κινούνται όχι σε κυκλικές, αλλά σε ελλειπτικές τροχιές.

Επί του παρόντος, τα πιο κατάλληλα θεωρούνται αυτά που κατασκευάζονται για να περιγράφουν μηχανικά και φυσικά φαινόμενα. Επί της επάρκειας του Μ.μ. εκτός της φυσικής μπορεί κανείς, με ορισμένες εξαιρέσεις, να μιλήσει με αρκετή προσοχή. Ωστόσο, η διόρθωση της υποθετικής φύσης, και συχνά απλώς της ανεπάρκειας του Μ.μ. σε διάφορους γνωστικούς τομείς, δεν πρέπει να υποτιμάται ο ρόλος τους στην ανάπτυξη της επιστήμης. Υπάρχουν συχνά περιπτώσεις όπου ακόμη και μοντέλα που δεν είναι επαρκή έχουν οργανώσει και υποκινήσει σημαντικά περαιτέρω έρευνα, μαζί με λανθασμένα συμπεράσματα που περιείχαν επίσης κόκκους αλήθειας που δικαιολογούσαν πλήρως τις προσπάθειες που καταβλήθηκαν για την ανάπτυξη αυτών των μοντέλων.

Βιβλιογραφία:

Μαθηματική μοντελοποίηση. Μ., 1979;

Ruzavin G.I. Μαθηματοποίηση της επιστημονικής γνώσης. Μ., 1984;

Tutubalin V.N., Barabasheva Yu.M., Grigoryan A.A., Devyatkova G.N., Uger E.G. Διαφορικές εξισώσεις στην οικολογία: ιστορικός και μεθοδολογικός προβληματισμός // Ερωτήσεις της ιστορίας της φυσικής επιστήμης και της τεχνολογίας. 1997. Νο 3.

Λεξικό φιλοσοφικών όρων. Επιστημονική έκδοση του Καθηγητή Β.Γ. Κουζνέτσοβα. Μ., INFRA-M, 2007, σελ. 310-311.

Τέσσερις μαθητές της έβδομης τάξης.

Υπάρχουν 15 κορίτσια και 13 αγόρια στο 7Α,

σε 7Β - 12 κορίτσια και 12 αγόρια,

σε 7Β - 9 κορίτσια και 18 αγόρια,

σε 7G - 20 κορίτσια και 10 αγόρια.

Αν χρειαστεί να απαντήσουμε στην ερώτηση πόσοι μαθητές είναι σε καθεμία από τις έβδομες τάξεις, τότε θα πρέπει να εκτελέσουμε την ίδια πράξη πρόσθεσης 4 φορές:

σε 7Α 15 + 13 = 28 μαθητές?
στο 7Β 12 +12 = 24 μαθητές?
στο 7Β 9 + 18 = 27 μαθητές?
σε 7G 20 + 10 = 30 μαθητές.

A. V. Pogorelov, Γεωμετρία για τάξεις 7-11, Εγχειρίδιο για εκπαιδευτικά ιδρύματα

Μαθηματικά μοντέλα

Μαθηματικό μοντέλο - κατά προσέγγιση opiτην έννοια του αντικειμένου μοντελοποίησης, που εκφράζεται χρησιμοποιώνταςτου μαθηματικού συμβολισμού.

Τα μαθηματικά μοντέλα εμφανίστηκαν μαζί με τα μαθηματικά πολλούς αιώνες πριν. Η έλευση των υπολογιστών έδωσε τεράστια ώθηση στην ανάπτυξη της μαθηματικής μοντελοποίησης. Η χρήση των υπολογιστών κατέστησε δυνατή την ανάλυση και την εφαρμογή στην πράξη πολλών μαθηματικών μοντέλων που προηγουμένως δεν ήταν επιδεκτικά αναλυτικής έρευνας. Υλοποιήθηκε σε υπολογιστή μαθηματικάμοντέλο του ουρανούπου ονομάζεται μαθηματικό μοντέλο υπολογιστή, ΕΝΑ διεξαγωγή στοχευμένων υπολογισμών χρησιμοποιώντας ένα μοντέλο υπολογιστήπου ονομάζεται υπολογιστικό πείραμα.

Στάδια μαθηματικής επιστήμης υπολογιστώνδιαίρεσηφαίνονται στο σχήμα. Πρώταστάδιο - καθορισμός στόχων μοντελοποίησης.Αυτοί οι στόχοι μπορεί να είναι διαφορετικοί:

1. ένα μοντέλο χρειάζεται για να κατανοήσουμε πώς λειτουργεί ένα συγκεκριμένο αντικείμενο, ποια είναι η δομή του, οι βασικές του ιδιότητες, οι νόμοι ανάπτυξης και αλληλεπίδρασης
   με τον έξω κόσμο (κατανόηση)?
2. χρειάζεται ένα μοντέλο για να μάθουμε πώς να διαχειριζόμαστε ένα αντικείμενο (ή διαδικασία) και να προσδιορίζουμε τις καλύτερες μεθόδους διαχείρισης για δεδομένους στόχους και κριτήρια (διαχείριση).
3. το μοντέλο χρειάζεται για να προβλέψει τις άμεσες και έμμεσες συνέπειες της εφαρμογής δεδομένων μεθόδων και μορφών επιρροής στο αντικείμενο (πρόβλεψη).

Ένα παράδειγμα από μια τελείως διαφορετική περιοχή: πληθυσμοί δύο ειδών ατόμων που συνυπήρχαν ειρηνικά με σταθερούς αριθμούς και είχαν κοινό απόθεμα τροφής, αρχίζουν «ξαφνικά» να αλλάζουν απότομα τον αριθμό τους. Και εδώ η μαθηματική μοντελοποίηση επιτρέπει (με έναν ορισμένο βαθμό αξιοπιστίας) να εδραιώσει την αιτία (ή τουλάχιστον να αντικρούσει μια συγκεκριμένη υπόθεση).

Η ανάπτυξη μιας ιδέας για τη διαχείριση ενός αντικειμένου είναι ένας άλλος πιθανός στόχος της μοντελοποίησης. Ποιο τρόπο πτήσης αεροσκάφους πρέπει να επιλέξω για να διασφαλίσω ότι η πτήση είναι ασφαλής και οικονομικά αποδοτικότερη; Πώς να προγραμματίσετε εκατοντάδες είδη εργασιών για την κατασκευή μιας μεγάλης εγκατάστασης ώστε να ολοκληρωθεί στο συντομότερο δυνατό χρόνο; Πολλά τέτοια προβλήματα ανακύπτουν συστηματικά ενώπιον οικονομολόγων, σχεδιαστών και επιστημόνων.

Τέλος, η πρόβλεψη των συνεπειών ορισμένων επιπτώσεων σε ένα αντικείμενο μπορεί να είναι σχετικά απλή υπόθεση σε απλά φυσικά συστήματα και εξαιρετικά περίπλοκη - στα όρια της εφικτότητας - σε βιολογικά, οικονομικά και κοινωνικά συστήματα. Ενώ είναι σχετικά εύκολο να απαντηθεί το ερώτημα σχετικά με τις αλλαγές στον τρόπο κατανομής της θερμότητας σε μια λεπτή ράβδο λόγω αλλαγών στο κράμα που την αποτελείται, είναι ασύγκριτα πιο δύσκολο να εντοπιστούν (προβλεφθούν) οι περιβαλλοντικές και κλιματικές συνέπειες της κατασκευής ενός μεγάλου υδροηλεκτρικού σταθμού ή τις κοινωνικές συνέπειες των αλλαγών στη φορολογική νομοθεσία. Ίσως και εδώ, οι μέθοδοι μαθηματικής μοντελοποίησης να προσφέρουν πιο σημαντική βοήθεια στο μέλλον.

Δεύτερη φάση:Προσδιορισμός των παραμέτρων εισόδου και εξόδου του μοντέλου. διαίρεση των παραμέτρων εισόδου ανάλογα με το βαθμό σημασίας της επίδρασης των αλλαγών τους στην έξοδο. Αυτή η διαδικασία ονομάζεται κατάταξη ή διαχωρισμός με κατάταξη (βλ. «Επισημοποίησηλειτουργία και μοντελοποίηση").

Τρίτο στάδιο:κατασκευή μαθηματικού μοντέλου. Σε αυτό το στάδιο, υπάρχει μια μετάβαση από μια αφηρημένη διατύπωση του μοντέλου σε μια διατύπωση που έχει μια συγκεκριμένη μαθηματική αναπαράσταση. Ένα μαθηματικό μοντέλο είναι εξισώσεις, συστήματα εξισώσεων, συστήματα ανισώσεων, διαφορικές εξισώσεις ή συστήματα τέτοιων εξισώσεων κ.λπ.

Τέταρτο στάδιο:επιλογή μεθόδου για τη μελέτη ενός μαθηματικού μοντέλου. Τις περισσότερες φορές, εδώ χρησιμοποιούνται αριθμητικές μέθοδοι, οι οποίες προσφέρονται καλά στον προγραμματισμό. Κατά κανόνα, πολλές μέθοδοι είναι κατάλληλες για την επίλυση του ίδιου προβλήματος, που διαφέρουν ως προς την ακρίβεια, τη σταθερότητα κ.λπ. Η επιτυχία ολόκληρης της διαδικασίας μοντελοποίησης εξαρτάται συχνά από τη σωστή επιλογή της μεθόδου.

Πέμπτο στάδιο:Η ανάπτυξη ενός αλγορίθμου, η μεταγλώττιση και ο εντοπισμός σφαλμάτων ενός προγράμματος υπολογιστή είναι μια δύσκολη διαδικασία για επισημοποίηση. Μεταξύ των γλωσσών προγραμματισμού, πολλοί επαγγελματίες προτιμούν το FORTRAN για μαθηματική μοντελοποίηση: τόσο λόγω των παραδόσεων όσο και λόγω της αξεπέραστης αποτελεσματικότητας των μεταγλωττιστών (για υπολογιστική εργασία) και της διαθεσιμότητας τεράστιων, προσεκτικά διορθωμένων και βελτιστοποιημένων βιβλιοθηκών τυπικών προγραμμάτων για μαθηματικές μεθόδους που είναι γραμμένες σε αυτό . Γλώσσες όπως PASCAL, BASIC, C χρησιμοποιούνται επίσης, ανάλογα με τη φύση της εργασίας και τις κλίσεις του προγραμματιστή.

Έκτο στάδιο:δοκιμή προγράμματος. Η λειτουργία του προγράμματος ελέγχεται σε ένα δοκιμαστικό πρόβλημα με μια προηγουμένως γνωστή απάντηση. Αυτή είναι μόνο η αρχή μιας διαδικασίας δοκιμών που είναι δύσκολο να περιγραφεί με επίσημα ολοκληρωμένο τρόπο. Τυπικά, οι δοκιμές τελειώνουν όταν ο χρήστης, με βάση τα επαγγελματικά του χαρακτηριστικά, θεωρήσει το πρόγραμμα σωστό.

Έβδομο στάδιο:το πραγματικό υπολογιστικό πείραμα, κατά το οποίο προσδιορίζεται εάν το μοντέλο αντιστοιχεί σε πραγματικό αντικείμενο (διαδικασία). Το μοντέλο είναι επαρκώς επαρκές για την πραγματική διαδικασία εάν ορισμένα χαρακτηριστικά της διαδικασίας που ελήφθησαν σε έναν υπολογιστή συμπίπτουν με τα πειραματικά ληφθέντα χαρακτηριστικά με δεδομένο βαθμό ακρίβειας. Εάν το μοντέλο δεν αντιστοιχεί στην πραγματική διαδικασία, επιστρέφουμε σε ένα από τα προηγούμενα στάδια.

Ταξινόμηση μαθηματικών μοντέλων

Η ταξινόμηση των μαθηματικών μοντέλων μπορεί να βασίζεται σε διάφορες αρχές. Μπορείτε να ταξινομήσετε μοντέλα ανά κλάδους της επιστήμης (μαθηματικά μοντέλα στη φυσική, βιολογία, κοινωνιολογία κ.λπ.). Μπορεί να ταξινομηθεί σύμφωνα με τη μαθηματική συσκευή που χρησιμοποιείται (μοντέλα που βασίζονται στη χρήση συνηθισμένων διαφορικών εξισώσεων, μερικών διαφορικών εξισώσεων, στοχαστικών μεθόδων, διακριτών αλγεβρικών μετασχηματισμών κ.λπ.). Τέλος, αν προχωρήσουμε από τα γενικά προβλήματα μοντελοποίησης σε διάφορες επιστήμες, ανεξάρτητα από τη μαθηματική συσκευή, η ακόλουθη ταξινόμηση είναι πιο φυσική:

• περιγραφικά (περιγραφικά) μοντέλα.
• μοντέλα βελτιστοποίησης·
• πολυκριτηριακά μοντέλα.
• μοντέλα παιχνιδιών.

Ας το εξηγήσουμε αυτό με παραδείγματα.

Περιγραφικά (περιγραφικά) μοντέλα. Για παράδειγμα, η μοντελοποίηση της κίνησης ενός κομήτη που έχει εισβάλει στο ηλιακό σύστημα πραγματοποιείται για να προβλεφθεί η διαδρομή πτήσης του, η απόσταση στην οποία θα περάσει από τη Γη κ.λπ. Σε αυτή την περίπτωση, οι στόχοι μοντελοποίησης είναι περιγραφικοί, αφού δεν υπάρχει τρόπος να επηρεαστεί η κίνηση του κομήτη ή να αλλάξει κάτι σε αυτόν.

Μοντέλα βελτιστοποίησηςχρησιμοποιούνται για να περιγράψουν διαδικασίες που μπορούν να επηρεαστούν σε μια προσπάθεια επίτευξης ενός δεδομένου στόχου. Σε αυτήν την περίπτωση, το μοντέλο περιλαμβάνει μία ή περισσότερες παραμέτρους που μπορούν να επηρεαστούν. Για παράδειγμα, όταν αλλάζετε το θερμικό καθεστώς σε έναν σιτοβολώνα, μπορείτε να θέσετε ως στόχο να επιλέξετε ένα καθεστώς που θα επιτύχει τη μέγιστη ασφάλεια των κόκκων, δηλ. βελτιστοποίηση της διαδικασίας αποθήκευσης.

Πολυκριτηριακά μοντέλα. Είναι συχνά απαραίτητο να βελτιστοποιηθεί μια διαδικασία σε πολλές παραμέτρους ταυτόχρονα, και οι στόχοι μπορεί να είναι αρκετά αντιφατικοί. Για παράδειγμα, γνωρίζοντας τις τιμές των τροφίμων και τις ανάγκες ενός ατόμου για φαγητό, είναι απαραίτητο να οργανωθεί η διατροφή για μεγάλες ομάδες ανθρώπων (στο στρατό, στην παιδική κατασκήνωση κ.λπ.) σωστά φυσιολογικά και, ταυτόχρονα, τόσο φθηνά όσο δυνατόν. Είναι σαφές ότι αυτοί οι στόχοι δεν συμπίπτουν καθόλου, δηλ. Κατά τη μοντελοποίηση, θα χρησιμοποιηθούν διάφορα κριτήρια, μεταξύ των οποίων πρέπει να αναζητηθεί μια ισορροπία.

Μοντέλα παιχνιδιώνμπορεί να σχετίζεται όχι μόνο με παιχνίδια στον υπολογιστή, αλλά και με πολύ σοβαρά πράγματα. Για παράδειγμα, πριν από μια μάχη, ένας διοικητής, εάν υπάρχουν ελλιπείς πληροφορίες για τον αντίπαλο στρατό, πρέπει να αναπτύξει ένα σχέδιο: με ποια σειρά θα εισαγάγουν ορισμένες μονάδες στη μάχη κ.λπ., λαμβάνοντας υπόψη την πιθανή αντίδραση του εχθρού. Υπάρχει ένας ειδικός κλάδος των σύγχρονων μαθηματικών - η θεωρία παιγνίων - που μελετά μεθόδους λήψης αποφάσεων υπό συνθήκες ελλιπούς πληροφόρησης.

Στο σχολικό μάθημα της επιστήμης των υπολογιστών, οι μαθητές λαμβάνουν μια αρχική κατανόηση της μαθηματικής μοντελοποίησης υπολογιστών ως μέρος του βασικού μαθήματος. Στο γυμνάσιο, η μαθηματική μοντελοποίηση μπορεί να μελετηθεί σε βάθος σε ένα μάθημα γενικής εκπαίδευσης για μαθήματα φυσικής και μαθηματικών, καθώς και ως μέρος ενός εξειδικευμένου μαθήματος επιλογής.

Οι κύριες μορφές διδασκαλίας της μαθηματικής μοντελοποίησης υπολογιστή στο γυμνάσιο είναι οι διαλέξεις, τα εργαστηριακά και τα τεστ. Συνήθως, η εργασία δημιουργίας και προετοιμασίας για τη μελέτη κάθε νέου μοντέλου διαρκεί 3-4 μαθήματα. Κατά την παρουσίαση της ύλης τίθενται προβλήματα που πρέπει να επιλύσουν οι μαθητές ανεξάρτητα στο μέλλον και σκιαγραφούνται γενικά τρόποι επίλυσής τους. Διατυπώνονται ερωτήσεις, οι απαντήσεις στις οποίες πρέπει να ληφθούν κατά την ολοκλήρωση των εργασιών. Υποδεικνύεται πρόσθετη βιβλιογραφία που σας επιτρέπει να λαμβάνετε βοηθητικές πληροφορίες για πιο επιτυχημένη ολοκλήρωση εργασιών.

Η μορφή οργάνωσης των μαθημάτων κατά τη μελέτη νέου υλικού είναι συνήθως μια διάλεξη. Μετά την ολοκλήρωση της συζήτησης για το επόμενο μοντέλο Φοιτητέςέχουν στη διάθεσή τους τις απαραίτητες θεωρητικές πληροφορίες και ένα σύνολο εργασιών για περαιτέρω εργασία. Κατά την προετοιμασία για την ολοκλήρωση μιας εργασίας, οι μαθητές επιλέγουν μια κατάλληλη μέθοδο λύσης και δοκιμάζουν το αναπτυγμένο πρόγραμμα χρησιμοποιώντας κάποια γνωστή ιδιωτική λύση. Σε περίπτωση πολύ πιθανών δυσκολιών κατά την ολοκλήρωση των εργασιών, γίνεται διαβούλευση και γίνεται πρόταση για λεπτομερέστερη μελέτη αυτών των τμημάτων σε λογοτεχνικές πηγές.

Το πιο κατάλληλο για το πρακτικό μέρος της διδασκαλίας μοντελοποίησης υπολογιστή είναι η μέθοδος έργου. Η εργασία διαμορφώνεται για τον μαθητή με τη μορφή εκπαιδευτικού έργου και πραγματοποιείται σε πολλά μαθήματα, με κύρια οργανωτική μορφή την εργασία στο εργαστήριο υπολογιστών. Η μοντελοποίηση διδασκαλίας με τη μέθοδο του εκπαιδευτικού έργου μπορεί να εφαρμοστεί σε διαφορετικά επίπεδα. Το πρώτο είναι μια προβληματική παρουσίαση της διαδικασίας ολοκλήρωσης του έργου, την οποία ηγείται ο δάσκαλος. Το δεύτερο είναι η υλοποίηση του έργου από μαθητές υπό την καθοδήγηση δασκάλου. Το τρίτο είναι να ολοκληρώσουν οι μαθητές ανεξάρτητα ένα εκπαιδευτικό ερευνητικό έργο.

Τα αποτελέσματα της εργασίας πρέπει να παρουσιάζονται σε αριθμητική μορφή, με τη μορφή γραφημάτων και διαγραμμάτων. Εάν είναι δυνατόν, η διαδικασία παρουσιάζεται στην οθόνη του υπολογιστή σε δυναμική. Με την ολοκλήρωση των υπολογισμών και τη λήψη των αποτελεσμάτων, αναλύονται, συγκρίνονται με γνωστά δεδομένα από τη θεωρία, επιβεβαιώνεται η αξιοπιστία και πραγματοποιείται ουσιαστική ερμηνεία, η οποία στη συνέχεια αποτυπώνεται σε γραπτή αναφορά.

Αν τα αποτελέσματα ικανοποιούν μαθητή και δάσκαλο, τότε η δουλειά μετράειολοκληρώθηκε και το τελικό του στάδιο είναι η προετοιμασία μιας έκθεσης. Η έκθεση περιλαμβάνει σύντομες θεωρητικές πληροφορίες για το υπό μελέτη θέμα, μαθηματική διατύπωση του προβλήματος, αλγόριθμο λύσης και την αιτιολόγησή του, πρόγραμμα υπολογιστή, τα αποτελέσματα του προγράμματος, ανάλυση των αποτελεσμάτων και συμπερασμάτων και κατάλογο αναφορών.

Όταν έχουν συνταχθεί όλες οι εκθέσεις, κατά τη διάρκεια του δοκιμαστικού μαθήματος, οι μαθητές δίνουν σύντομες αναφορές για την εργασία που έχουν γίνει και υπερασπίζονται το έργο τους. Αυτή είναι μια αποτελεσματική μορφή αναφοράς από την ομάδα που εκτελεί το έργο στην τάξη, συμπεριλαμβανομένης της ρύθμισης του προβλήματος, της δημιουργίας ενός επίσημου μοντέλου, της επιλογής μεθόδων εργασίας με το μοντέλο, της εφαρμογής του μοντέλου σε υπολογιστή, της εργασίας με το ολοκληρωμένο μοντέλο, της ερμηνείας τα αποτελέσματα και κάνοντας προβλέψεις. Ως αποτέλεσμα, οι μαθητές μπορούν να λάβουν δύο βαθμούς: τον πρώτο - για την επεξεργασία του έργου και την επιτυχία της υπεράσπισής του, τον δεύτερο - για το πρόγραμμα, τη βέλτιστη χρήση του αλγορίθμου, τη διεπαφή κ.λπ. Οι μαθητές λαμβάνουν επίσης βαθμούς κατά τη διάρκεια των θεωρητικών κουίζ.

Ένα ουσιαστικό ερώτημα είναι ποια εργαλεία να χρησιμοποιήσετε σε ένα σχολικό μάθημα επιστήμης υπολογιστών για μαθηματική μοντελοποίηση; Η εφαρμογή μοντέλων μέσω υπολογιστή μπορεί να πραγματοποιηθεί:

• χρησιμοποιώντας επεξεργαστή υπολογιστικών φύλλων (συνήθως MS Excel).
• με τη δημιουργία προγραμμάτων σε παραδοσιακές γλώσσες προγραμματισμού (Pascal, BASIC κ.λπ.), καθώς και σε σύγχρονες εκδόσεις τους (Delphi, Visual
  Βασικό για Εφαρμογή, κ.λπ.);
• χρησιμοποιώντας ειδικά πακέτα εφαρμογών για την επίλυση μαθηματικών προβλημάτων (MathCAD κ.λπ.).

Στο βασικό σχολικό επίπεδο, η πρώτη μέθοδος φαίνεται να είναι προτιμότερη. Ωστόσο, στο γυμνάσιο, όταν ο προγραμματισμός είναι, μαζί με το μοντελοποίηση, βασικό θέμα στην επιστήμη των υπολογιστών, καλό είναι να χρησιμοποιείται ως εργαλείο μοντελοποίησης. Κατά τη διάρκεια της διαδικασίας προγραμματισμού, οι λεπτομέρειες των μαθηματικών διαδικασιών γίνονται διαθέσιμες στους μαθητές. Επιπλέον, απλώς αναγκάζονται να τα κατακτήσουν, και αυτό συμβάλλει επίσης στη μαθηματική εκπαίδευση. Όσον αφορά τη χρήση ειδικών πακέτων λογισμικού, αυτό ενδείκνυται σε ένα εξειδικευμένο μάθημα πληροφορικής ως συμπλήρωμα σε άλλα εργαλεία.

Ασκηση :

• Κάντε ένα διάγραμμα βασικών εννοιών.

Παράδειγμα 1.5.1.

Αφήστε μια συγκεκριμένη οικονομική περιοχή να παράγει πολλά (ν) είδη προϊόντων αποκλειστικά μόνη της και μόνο για τον πληθυσμό αυτής της περιοχής. Υποτίθεται ότι η τεχνολογική διαδικασία έχει επεξεργαστεί και η ζήτηση του πληθυσμού για αυτά τα αγαθά έχει μελετηθεί. Είναι απαραίτητο να προσδιοριστεί ο ετήσιος όγκος της παραγωγής προϊόντος, λαμβάνοντας υπόψη το γεγονός ότι αυτός ο όγκος πρέπει να παρέχει τόσο την τελική όσο και τη βιομηχανική κατανάλωση.

Ας δημιουργήσουμε ένα μαθηματικό μοντέλο αυτού του προβλήματος. Σύμφωνα με τους όρους του, δίνονται τα ακόλουθα: τύποι προϊόντων, ζήτηση για αυτά και η τεχνολογική διαδικασία. πρέπει να βρείτε τον όγκο παραγωγής κάθε τύπου προϊόντος.

Ας υποδηλώσουμε τις γνωστές ποσότητες:

ντο Εγώ– πληθυσμιακή ζήτηση για Εγώτο προϊόν ( Εγώ=1,...,n); ένα ij- ποσότητα Εγώτο προϊόν που απαιτείται για την παραγωγή μιας μονάδας ιου προϊόντος χρησιμοποιώντας μια δεδομένη τεχνολογία ( Εγώ=1,...,n ; ι=1,...,n);

Χ Εγώ – ένταση εξόδου Εγώ-ο προϊόν ( Εγώ=1,...,n) ολότητα Με =(ντο 1 ,..., ντο n ) ονομάζεται διάνυσμα ζήτησης, αριθμοί ένα ij– τεχνολογικοί συντελεστές και το σύνολο Χ =(Χ 1 ,..., Χ n ) – διάνυσμα απελευθέρωσης.

Σύμφωνα με τις συνθήκες του προβλήματος, το διάνυσμα Χ κατανέμεται σε δύο μέρη: για τελική κατανάλωση (διάνυσμα Με ) και για αναπαραγωγή (διάνυσμα x-s ). Ας υπολογίσουμε αυτό το μέρος του διανύσματος Χ που περνά στην αναπαραγωγή. Σύμφωνα με τις ονομασίες μας για παραγωγή Χ ιπηγαίνει η ποσότητα του jου προϊόντος ένα ij · Χ ιποσότητες Εγώ-ο προϊόν.

Μετά το ποσό ένα i1 · Χ 1 +...+ ένα σε · Χ nδείχνει αυτή την αξία Εγώ-ο προϊόν, το οποίο χρειάζεται για όλη την κυκλοφορία Χ =(Χ 1 ,..., Χ n ).

Επομένως, η ισότητα πρέπει να ικανοποιείται:

Επεκτείνοντας αυτό το σκεπτικό σε όλους τους τύπους προϊόντων, φτάνουμε στο επιθυμητό μοντέλο:

Επίλυση αυτού του συστήματος n γραμμικών εξισώσεων για Χ 1 ,...,Χ nκαι βρείτε το απαιτούμενο διάνυσμα απελευθέρωσης.

Για να γράψουμε αυτό το μοντέλο σε πιο συμπαγή (διανυσματική) μορφή, εισάγουμε την ακόλουθη σημείωση:

Τετράγωνο (
) -μήτρα ΕΝΑονομάζεται μήτρα τεχνολογίας. Είναι εύκολο να ελέγξουμε ότι το μοντέλο μας θα γραφτεί ως εξής: x-s=Αχή

(1.6)

Λάβαμε το κλασικό μοντέλο" Εισόδου-εξόδου », συγγραφέας του οποίου είναι ο διάσημος Αμερικανός οικονομολόγος V. Leontiev.

Παράδειγμα 1.5.2.

Το διυλιστήριο πετρελαίου έχει δύο ποιότητες λαδιού: βαθμού ΕΝΑστο ποσό των 10 μονάδων, βαθμός ΣΕ- 15 μονάδες. Κατά τη διύλιση του λαδιού, λαμβάνονται δύο υλικά: βενζίνη (σημαίνουν σι) και μαζούτ ( Μ). Υπάρχουν τρεις επιλογές για τη διαδικασία τεχνολογίας επεξεργασίας:

Εγώ: 1 μονάδα ΕΝΑ+ 2 μονάδες ΣΕδίνει 3 μονάδες. σι+ 2 μονάδες Μ

II: 2 μονάδες. ΕΝΑ+ 1 μονάδα ΣΕδίνει 1 μονάδα. σι+ 5 μονάδες Μ

III: 2 μονάδες ΕΝΑ+ 2 μονάδες ΣΕδίνει 1 μονάδα. σι+ 2 μονάδες Μ

Η τιμή της βενζίνης είναι $10 ανά μονάδα, το μαζούτ είναι $1 ανά μονάδα.

Είναι απαραίτητο να προσδιοριστεί ο πιο πλεονεκτικός συνδυασμός τεχνολογικών διαδικασιών για την επεξεργασία της διαθέσιμης ποσότητας λαδιού.

Πριν από τη μοντελοποίηση, ας διευκρινίσουμε τα ακόλουθα σημεία. Από τις συνθήκες του προβλήματος προκύπτει ότι η «κερδοφορία» της τεχνολογικής διαδικασίας για το εργοστάσιο θα πρέπει να γίνει κατανοητή με την έννοια της απόκτησης μέγιστου εισοδήματος από την πώληση των τελικών προϊόντων του (βενζίνη και μαζούτ). Από αυτή την άποψη, είναι σαφές ότι η «απόφαση επιλογής (λήψης)» του εργοστασίου συνίσταται στον καθορισμό της τεχνολογίας που θα εφαρμοστεί και πόσες φορές. Προφανώς, υπάρχουν πολλές τέτοιες πιθανές επιλογές.

Ας υποδηλώσουμε τις άγνωστες ποσότητες:

Χ Εγώ– ποσότητα χρήσης Εγώη τεχνολογική διαδικασία (i=1,2,3). Άλλες παράμετροι μοντέλου (αποθέματα πετρελαίου, τιμές βενζίνης και μαζούτ) γνωστός.

Τώρα μια συγκεκριμένη φυτική απόφαση καταλήγει στην επιλογή ενός φορέα Χ =(χ 1 ,Χ 2 ,Χ 3 ) , για τα οποία τα έσοδα του εργοστασίου είναι ίσα με (32x 1 +15x 2 +12x 3 ) δολάρια Εδώ, 32 δολάρια είναι το εισόδημα που λαμβάνεται από μία εφαρμογή της πρώτης τεχνολογικής διαδικασίας ($10 3 μονάδες. σι+ 1 δολάριο · 2 μονάδες. Μ= 32 $). Οι συντελεστές 15 και 12 για τη δεύτερη και τρίτη τεχνολογική διαδικασία, αντίστοιχα, έχουν παρόμοια σημασία. Η λογιστική για τα αποθέματα πετρελαίου οδηγεί στις ακόλουθες συνθήκες:

για ποικιλία ΕΝΑ:

για ποικιλία ΣΕ:,

όπου στους πρώτους συντελεστές ανισότητας 1, 2, 2 είναι τα ποσοστά κατανάλωσης λαδιού βαθμού Α για εφάπαξ χρήση τεχνολογικών διεργασιών Εγώ,II,IIIαντίστοιχα. Οι συντελεστές της δεύτερης ανισότητας έχουν παρόμοια σημασία για λάδι βαθμού Β.

Το μαθηματικό μοντέλο στο σύνολό του έχει τη μορφή:

Βρείτε ένα τέτοιο διάνυσμα x = (x 1 ,Χ 2 ,Χ 3 ) για μεγιστοποίηση

f(x) =32x 1 +15x 2 +12x 3

υπό τις ακόλουθες προϋποθέσεις:

Η συντομευμένη μορφή αυτής της καταχώρησης είναι:

υπό περιορισμούς

(1.7)

Πήραμε το λεγόμενο πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού.

Το μοντέλο (1.7.) είναι ένα παράδειγμα μοντέλου βελτιστοποίησης ντετερμινιστικού τύπου (με καλά καθορισμένα στοιχεία).

Παράδειγμα 1.5.3.

Ένας επενδυτής πρέπει να καθορίσει τον καλύτερο συνδυασμό μετοχών, ομολόγων και άλλων τίτλων για να αγοράσει για ένα συγκεκριμένο ποσό, προκειμένου να αποκτήσει ένα συγκεκριμένο κέρδος με ελάχιστο κίνδυνο για τον εαυτό του. Κέρδος ανά δολάριο που επενδύεται σε τίτλο ι- τύπος, που χαρακτηρίζεται από δύο δείκτες: αναμενόμενο κέρδος και πραγματικό κέρδος. Για έναν επενδυτή, είναι επιθυμητό το αναμενόμενο κέρδος ανά δολάριο επένδυσης να μην είναι χαμηλότερο από μια δεδομένη αξία για ολόκληρο το σύνολο των τίτλων σι.

Σημειώστε ότι για τη σωστή μοντελοποίηση αυτού του προβλήματος, ένας μαθηματικός απαιτείται να έχει ορισμένες βασικές γνώσεις στον τομέα της θεωρίας χαρτοφυλακίου κινητών αξιών.

Ας υποδηλώσουμε τις γνωστές παραμέτρους του προβλήματος:

n– αριθμός τύπων τίτλων· ΕΝΑ ι– πραγματικό κέρδος (τυχαίος αριθμός) από τον j-ο τύπο τίτλου. – αναμενόμενο κέρδος από ι-ο είδος ασφάλειας.

Ας υποδηλώσουμε τις άγνωστες ποσότητες :

y ι - κεφάλαια που διατίθενται για την αγορά τίτλων του τύπου ι.

Χρησιμοποιώντας τη σημείωση μας, ολόκληρο το επενδυμένο ποσό εκφράζεται ως . Για να απλοποιήσουμε το μοντέλο, εισάγουμε νέες ποσότητες

.

Ετσι, Χ Εγώ- αυτό είναι το μερίδιο όλων των κεφαλαίων που διατίθενται για την απόκτηση τίτλων του είδους ι.

Είναι ξεκάθαρο ότι

Από τις συνθήκες του προβλήματος είναι σαφές ότι ο στόχος του επενδυτή είναι να επιτύχει ένα ορισμένο επίπεδο κέρδους με ελάχιστο κίνδυνο. Ουσιαστικά, ο κίνδυνος είναι ένα μέτρο της απόκλισης του πραγματικού κέρδους από το αναμενόμενο. Επομένως, μπορεί να ταυτιστεί με τη συνδιακύμανση των κερδών για τίτλους τύπου i και τύπου j. Εδώ το M είναι ο προσδιορισμός της μαθηματικής προσδοκίας.

Το μαθηματικό μοντέλο του αρχικού προβλήματος έχει τη μορφή:

υπό περιορισμούς

,
,
,
. (1.8)

Αποκτήσαμε το γνωστό μοντέλο Markowitz για τη βελτιστοποίηση της δομής ενός χαρτοφυλακίου χρεογράφων.

Το μοντέλο (1.8.) είναι ένα παράδειγμα μοντέλου βελτιστοποίησης στοχαστικού τύπου (με στοιχεία τυχαίας).

Παράδειγμα 1.5.4.

Με βάση μια εμπορική οργάνωση, υπάρχουν n τύποι ενός από τα προϊόντα της ελάχιστης ποικιλίας. Μόνο ένας τύπος συγκεκριμένου προϊόντος πρέπει να φέρεται στο κατάστημα. Πρέπει να επιλέξετε τον τύπο του προϊόντος που είναι κατάλληλο να φέρετε στο κατάστημα. Εάν ο τύπος προϊόντος ιθα έχει ζήτηση, το κατάστημα θα έχει κέρδος από την πώλησή του R ι, εάν δεν είναι σε ζήτηση - μια απώλεια q ι .

Πριν από τη μοντελοποίηση, θα συζητήσουμε ορισμένα βασικά σημεία. Σε αυτό το πρόβλημα, ο υπεύθυνος λήψης αποφάσεων (DM) είναι το κατάστημα. Ωστόσο, το αποτέλεσμα (μέγιστο κέρδος) εξαρτάται όχι μόνο από την απόφασή του, αλλά και από το αν το εισαγόμενο προϊόν θα έχει ζήτηση, δηλαδή αν θα αγοραστεί από τον πληθυσμό (υποτίθεται ότι για κάποιο λόγο το κατάστημα δεν έχουν την ευκαιρία να μελετήσουν τη ζήτηση του πληθυσμού ). Επομένως, ο πληθυσμός μπορεί να θεωρηθεί ως δεύτερος λήπτης αποφάσεων, επιλέγοντας το είδος του προϊόντος σύμφωνα με τις προτιμήσεις του. Η χειρότερη «απόφαση» του πληθυσμού για ένα κατάστημα είναι: «τα εισαγόμενα αγαθά δεν έχουν ζήτηση». Έτσι, για να ληφθούν υπόψη όλες οι πιθανές καταστάσεις, το κατάστημα πρέπει να θεωρεί τον πληθυσμό ως «εχθρό» του (υπό όρους), επιδιώκοντας τον αντίθετο στόχο - να ελαχιστοποιήσει το κέρδος του καταστήματος.

Έτσι, έχουμε πρόβλημα λήψης αποφάσεων με δύο συμμετέχοντες που επιδιώκουν αντίθετους στόχους. Ας διευκρινίσουμε ότι το κατάστημα επιλέγει έναν από τους τύπους αγαθών προς πώληση (υπάρχουν n επιλογές απόφασης) και ο πληθυσμός επιλέγει έναν από τους τύπους αγαθών που έχει τη μεγαλύτερη ζήτηση ( nεπιλογές λύσης).

Για να συντάξουμε ένα μαθηματικό μοντέλο, ας σχεδιάσουμε έναν πίνακα με nγραμμές και nστήλες (σύνολο n 2 κελιά) και συμφωνούν ότι οι σειρές αντιστοιχούν στην επιλογή του καταστήματος και οι στήλες στην επιλογή του πληθυσμού. Μετά το κελί (i, j)αντιστοιχεί στην κατάσταση που επιλέγει το κατάστημα Εγώο τύπος προϊόντος ( Εγώ-η γραμμή), και ο πληθυσμός επιλέγει ιο τύπος προϊόντος ( j-η στήλη). Σε κάθε κελί καταγράφουμε μια αριθμητική εκτίμηση (κέρδος ή ζημιά) της αντίστοιχης κατάστασης από την πλευρά του καταστήματος:

Αριθμοί q Εγώγραμμένο με ένα μείον για να αντικατοπτρίζει την απώλεια του καταστήματος. σε κάθε περίπτωση, το «κέρδος» του πληθυσμού (υπό όρους) ισούται με το «κέρδος» του καταστήματος, που λαμβάνεται με το αντίθετο πρόσημο.

Μια συντομευμένη μορφή αυτού του μοντέλου είναι:

(1.9)

Πήραμε το λεγόμενο παιχνίδι matrix. Το μοντέλο (1.9.) είναι ένα παράδειγμα μοντέλων λήψης αποφάσεων παιχνιδιών.

Για να δημιουργήσετε ένα μαθηματικό μοντέλο χρειάζεστε:

1. να αναλύσει προσεκτικά ένα πραγματικό αντικείμενο ή διαδικασία.
2. επισημάνετε τα πιο σημαντικά χαρακτηριστικά και ιδιότητές του·
3. ορίζει μεταβλητές, δηλ. παραμέτρους των οποίων οι τιμές επηρεάζουν τα κύρια χαρακτηριστικά και ιδιότητες του αντικειμένου.
4. περιγράφουν την εξάρτηση των βασικών ιδιοτήτων ενός αντικειμένου, διεργασίας ή συστήματος από τις τιμές των μεταβλητών χρησιμοποιώντας λογικομαθηματικές σχέσεις (εξισώσεις, ισότητες, ανισότητες, λογικομαθηματικές κατασκευές).
5. επισημάνετε τις εσωτερικές συνδέσεις ενός αντικειμένου, διεργασίας ή συστήματος χρησιμοποιώντας περιορισμούς, εξισώσεις, ισότητες, ανισότητες, λογικές και μαθηματικές κατασκευές.
6. να εντοπίσετε εξωτερικές συνδέσεις και να τις περιγράψετε χρησιμοποιώντας περιορισμούς, εξισώσεις, ισότητες, ανισότητες, λογικές και μαθηματικές κατασκευές.

Η μαθηματική μοντελοποίηση, εκτός από τη μελέτη ενός αντικειμένου, διεργασίας ή συστήματος και τη σύνταξη μιας μαθηματικής περιγραφής του, περιλαμβάνει επίσης:

1. κατασκευή ενός αλγορίθμου που μοντελοποιεί τη συμπεριφορά ενός αντικειμένου, διαδικασίας ή συστήματος.
2. έλεγχος της επάρκειας του μοντέλου και του αντικειμένου, της διαδικασίας ή του συστήματος με βάση υπολογιστικά και πλήρους κλίμακας πειράματα·
3. προσαρμογή μοντέλου?
4. χρησιμοποιώντας το μοντέλο.

Η μαθηματική περιγραφή των υπό μελέτη διεργασιών και συστημάτων εξαρτάται από:

1. τη φύση μιας πραγματικής διαδικασίας ή συστήματος και συντάσσεται με βάση τους νόμους της φυσικής, της χημείας, της μηχανικής, της θερμοδυναμικής, της υδροδυναμικής, της ηλεκτρικής μηχανικής, της θεωρίας πλαστικότητας, της θεωρίας ελαστικότητας κ.λπ.
2. την απαιτούμενη αξιοπιστία και ακρίβεια της μελέτης και της έρευνας πραγματικών διαδικασιών και συστημάτων.

Η κατασκευή ενός μαθηματικού μοντέλου ξεκινά συνήθως με την κατασκευή και ανάλυση του απλούστερου, πιο χονδροειδούς μαθηματικού μοντέλου του υπό εξέταση αντικειμένου, διαδικασίας ή συστήματος. Στο μέλλον, εάν χρειαστεί, το μοντέλο τελειοποιείται και η αντιστοιχία του με το αντικείμενο γίνεται πιο ολοκληρωμένη.

Ας πάρουμε ένα απλό παράδειγμα. Είναι απαραίτητο να προσδιοριστεί η επιφάνεια του γραφείου. Συνήθως, αυτό γίνεται μετρώντας το μήκος και το πλάτος του και, στη συνέχεια, πολλαπλασιάζοντας τους αριθμούς που προκύπτουν. Αυτή η στοιχειώδης διαδικασία σημαίνει στην πραγματικότητα το εξής: ένα πραγματικό αντικείμενο (επιφάνεια πίνακα) αντικαθίσταται από ένα αφηρημένο μαθηματικό μοντέλο - ένα ορθογώνιο. Οι διαστάσεις που λαμβάνονται με τη μέτρηση του μήκους και του πλάτους της επιφάνειας του τραπεζιού αντιστοιχίζονται στο ορθογώνιο και η περιοχή ενός τέτοιου ορθογωνίου θεωρείται περίπου η απαιτούμενη περιοχή του τραπεζιού. Ωστόσο, το ορθογώνιο μοντέλο για ένα γραφείο είναι το απλούστερο, πιο ακατέργαστο μοντέλο. Εάν προσεγγίσετε πιο σοβαρά το πρόβλημα, πριν χρησιμοποιήσετε ένα ορθογώνιο μοντέλο για να προσδιορίσετε την περιοχή του πίνακα, αυτό το μοντέλο πρέπει να ελεγχθεί. Οι έλεγχοι μπορούν να πραγματοποιηθούν ως εξής: μετρήστε τα μήκη των απέναντι πλευρών του πίνακα, καθώς και τα μήκη των διαγωνίων του και συγκρίνετε τα μεταξύ τους. Εάν, με τον απαιτούμενο βαθμό ακρίβειας, τα μήκη των απέναντι πλευρών και τα μήκη των διαγωνίων είναι ίσα σε ζεύγη, τότε η επιφάνεια του τραπεζιού μπορεί πραγματικά να θεωρηθεί ως ορθογώνιο. Διαφορετικά, το μοντέλο ορθογωνίου θα πρέπει να απορριφθεί και να αντικατασταθεί με ένα γενικό τετράπλευρο μοντέλο. Με μεγαλύτερη απαίτηση ακρίβειας, μπορεί να είναι απαραίτητο να βελτιωθεί ακόμη περισσότερο το μοντέλο, για παράδειγμα, για να ληφθεί υπόψη η στρογγυλοποίηση των γωνιών του τραπεζιού.

Χρησιμοποιώντας αυτό το απλό παράδειγμα, αποδείχθηκε ότι το μαθηματικό μοντέλο δεν καθορίζεται μοναδικά από το αντικείμενο, τη διαδικασία ή Σύστημα.

Ή (θα διευκρινιστεί αύριο)

Τρόποι επίλυσης μαθηματικών. Μοντέλα:

1, Κατασκευή μοντέλου με βάση τους νόμους της φύσης (αναλυτική μέθοδος)

2. Ο επίσημος τρόπος με χρήση στατιστικών μεθόδων. Αποτελέσματα επεξεργασίας και μέτρησης (στατιστική προσέγγιση)

3. Κατασκευή μοντέλου βασισμένου σε μοντέλο στοιχείων (σύνθετα συστήματα)

1, Αναλυτική - χρήση με επαρκή μελέτη. Το γενικό μοτίβο είναι γνωστό. Μοντέλα.

2. πείραμα. Ελλείψει πληροφοριών.

3. Μίμηση m - διερευνά τις ιδιότητες του αντικειμένου. Γενικά.

Ένα παράδειγμα κατασκευής μαθηματικού μοντέλου.

Μαθηματικό μοντέλοείναι μια μαθηματική αναπαράσταση της πραγματικότητας.

Μαθηματική μοντελοποίησηείναι η διαδικασία κατασκευής και μελέτης μαθηματικών μοντέλων.

Όλες οι φυσικές και κοινωνικές επιστήμες που χρησιμοποιούν τα μαθηματικά ασχολούνται ουσιαστικά με τη μαθηματική μοντελοποίηση: αντικαθιστούν ένα αντικείμενο με το μαθηματικό του μοντέλο και στη συνέχεια μελετούν το τελευταίο. Η σύνδεση μεταξύ ενός μαθηματικού μοντέλου και της πραγματικότητας πραγματοποιείται χρησιμοποιώντας μια αλυσίδα υποθέσεων, εξιδανικεύσεων και απλουστεύσεων. Χρησιμοποιώντας μαθηματικές μεθόδους, κατά κανόνα, περιγράφεται ένα ιδανικό αντικείμενο που κατασκευάστηκε στο στάδιο της ουσιαστικής μοντελοποίησης.

Γιατί χρειάζονται μοντέλα;

Πολύ συχνά, κατά τη μελέτη οποιουδήποτε αντικειμένου, προκύπτουν δυσκολίες. Το ίδιο το πρωτότυπο μερικές φορές δεν είναι διαθέσιμο ή η χρήση του δεν συνιστάται ή η προσέλκυση του πρωτοτύπου είναι ακριβή. Όλα αυτά τα προβλήματα μπορούν να λυθούν χρησιμοποιώντας προσομοίωση. Υπό μια ορισμένη έννοια, ένα μοντέλο μπορεί να αντικαταστήσει το υπό μελέτη αντικείμενο.

Τα πιο απλά παραδείγματα μοντέλων

§ Μια φωτογραφία μπορεί να ονομαστεί μοντέλο ανθρώπου. Για να αναγνωρίσετε ένα άτομο, αρκεί να δείτε τη φωτογραφία του.

§ Ο αρχιτέκτονας δημιούργησε ένα μοντέλο νέας οικιστικής περιοχής. Μπορεί να μετακινήσει ένα πολυώροφο κτίριο από το ένα μέρος στο άλλο με μια κίνηση του χεριού του. Στην πραγματικότητα αυτό δεν θα ήταν δυνατό.

Τύποι μοντέλων

Τα μοντέλα μπορούν να χωριστούν σε υλικό"Και τέλειος. Τα παραπάνω παραδείγματα είναι μοντέλα υλικών. Τα ιδανικά μοντέλα έχουν συχνά εικονικά σχήματα. Οι πραγματικές έννοιες αντικαθίστανται από κάποια σημάδια, τα οποία μπορούν εύκολα να καταγραφούν σε χαρτί, στη μνήμη του υπολογιστή κ.λπ.

Μαθηματική μοντελοποίηση

Η μαθηματική μοντελοποίηση ανήκει στην κατηγορία της συμβολικής μοντελοποίησης. Επιπλέον, τα μοντέλα μπορούν να δημιουργηθούν από οποιαδήποτε μαθηματικά αντικείμενα: αριθμούς, συναρτήσεις, εξισώσεις κ.λπ.

Κατασκευή μαθηματικού μοντέλου

§ Μπορούν να σημειωθούν διάφορα στάδια κατασκευής ενός μαθηματικού μοντέλου:

1. Κατανοώντας το πρόβλημα, εντοπίζοντας τις πιο σημαντικές ιδιότητες, ιδιότητες, ποσότητες και παραμέτρους για εμάς.

2. Εισαγωγή σημειογραφίας.

3. Κατάρτιση συστήματος περιορισμών που πρέπει να πληρούν οι εισαγόμενες τιμές.

4. Διατύπωση και καταγραφή συνθηκών που πρέπει να ικανοποιούνται από την επιθυμητή βέλτιστη λύση.

Η διαδικασία μοντελοποίησης δεν τελειώνει με τη δημιουργία ενός μοντέλου, αλλά ξεκινά μόνο με αυτό. Έχοντας συντάξει ένα μοντέλο, επιλέγουν μια μέθοδο για να βρουν την απάντηση και λύνουν το πρόβλημα. αφού βρεθεί η απάντηση, συγκρίνεται με την πραγματικότητα. Και είναι πιθανό η απάντηση να μην είναι ικανοποιητική, οπότε το μοντέλο τροποποιείται ή έστω επιλέγεται ένα εντελώς διαφορετικό μοντέλο.

Παράδειγμα μαθηματικού μοντέλου

Εργο

Ο σύλλογος παραγωγής, που περιλαμβάνει δύο εργοστάσια επίπλων, πρέπει να ενημερώσει το μηχανοστάσιο του. Επιπλέον, το πρώτο εργοστάσιο επίπλων πρέπει να αντικαταστήσει τρία μηχανήματα και το δεύτερο - επτά. Οι παραγγελίες μπορούν να γίνουν σε δύο εργοστάσια εργαλειομηχανών. Το πρώτο εργοστάσιο δεν μπορεί να παράγει περισσότερες από 6 μηχανές και το δεύτερο εργοστάσιο θα δεχτεί παραγγελία εάν υπάρχουν τουλάχιστον τρία από αυτά. Πρέπει να καθορίσετε πώς να κάνετε παραγγελίες.