Η θεωρία πιθανοτήτων στις εξετάσεις του Ενιαίου Κράτους στα μαθηματικά μπορεί να παρουσιαστεί τόσο με τη μορφή απλών προβλημάτων σχετικά με τον κλασικό ορισμό των πιθανοτήτων όσο και με τη μορφή αρκετά περίπλοκων προβλημάτων σχετικά με την εφαρμογή των αντίστοιχων θεωρημάτων.

Σε αυτό το μέρος, θα εξετάσουμε προβλήματα για τα οποία αρκεί να χρησιμοποιήσουμε τον ορισμό της πιθανότητας. Μερικές φορές εδώ θα χρησιμοποιήσουμε επίσης έναν τύπο για να υπολογίσουμε την πιθανότητα του αντίθετου γεγονότος. Παρόλο που μπορείτε να κάνετε χωρίς αυτόν τον τύπο εδώ, θα εξακολουθείτε να τον χρειάζεστε κατά την επίλυση των παρακάτω προβλημάτων.

Θεωρητικό μέρος

Το τυχαίο είναι ένα γεγονός που μπορεί να συμβεί ή να μην συμβεί (αδύνατον να προβλεφθεί εκ των προτέρων) κατά τη διάρκεια μιας παρατήρησης ή δοκιμής.

Αφήστε να υπάρχουν εξίσου πιθανά αποτελέσματα κατά τη διεξαγωγή ενός τεστ (ρίψη νομίσματος ή ζαριού, τράβηγμα κάρτας εξέτασης κ.λπ.). Για παράδειγμα, όταν πετάτε ένα κέρμα, ο αριθμός όλων των αποτελεσμάτων είναι 2, καθώς δεν μπορούν να υπάρξουν άλλα αποτελέσματα εκτός από κεφάλια ή ουρές. Κατά τη ρίψη ενός ζαριού, είναι δυνατά 6 αποτελέσματα, καθώς οποιοσδήποτε αριθμός από το 1 έως το 6 είναι εξίσου πιθανό να εμφανιστεί στην επάνω όψη του ζαριού.

Η πιθανότητα του γεγονότος Α είναι ο λόγος του αριθμού των ευνοϊκών αποτελεσμάτων για αυτό το γεγονός προς τον συνολικό αριθμό εξίσου πιθανών αποτελεσμάτων (αυτός είναι ο κλασικός ορισμός της πιθανότητας). Γράφουμε

Για παράδειγμα, έστω ότι το γεγονός Α αποτελείται από τη λήψη περιττού αριθμού πόντων κατά τη ρίψη ενός ζαριού. Υπάρχουν συνολικά 6 πιθανά αποτελέσματα: 1, 2, 3, 4, 5, 6 εμφανίζονται στην επάνω όψη του κύβου. , 5. Έτσι, .

Σημειώστε ότι η διπλή ανισότητα ικανοποιείται πάντα, επομένως η πιθανότητα οποιουδήποτε γεγονότος Α βρίσκεται στο διάστημα, δηλαδή . Εάν η απάντησή σας έχει πιθανότητα μεγαλύτερη από μία, σημαίνει ότι κάνατε λάθος κάπου και η λύση πρέπει να ελεγχθεί ξανά.

Τα γεγονότα Α και Β ονομάζονται απεναντι αποο ένας τον άλλον εάν κάποιο αποτέλεσμα είναι ευνοϊκό για ακριβώς ένα από αυτά.

Για παράδειγμα, κατά τη ρίψη ενός ζαριού, το γεγονός "ένας περιττός αριθμός κυλίεται" είναι το αντίθετο από το γεγονός "ένας ζυγός αριθμός κυλίεται".

Το γεγονός απέναντι από το γεγονός Α ορίζεται. Από τον ορισμό των αντίθετων γεγονότων προκύπτει
, Που σημαίνει,
.

Προβλήματα σχετικά με την επιλογή αντικειμένων από ένα σύνολο

Εργασία 1.Στο Παγκόσμιο Πρωτάθλημα συμμετέχουν 24 ομάδες. Χρησιμοποιώντας παρτίδες, πρέπει να χωριστούν σε τέσσερις ομίλους των έξι ομάδων ο καθένας. Υπάρχουν κάρτες με ομαδικούς αριθμούς ανακατεμένους στο πλαίσιο:

1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4.

Οι αρχηγοί των ομάδων τραβούν από ένα φύλλο ο καθένας. Ποια είναι η πιθανότητα η ρωσική ομάδα να βρεθεί στον τρίτο όμιλο;

Ο συνολικός αριθμός των αποτελεσμάτων είναι ίσος με τον αριθμό των φύλλων - υπάρχουν 24 από αυτά Υπάρχουν 6 ευνοϊκά αποτελέσματα (αφού ο αριθμός 3 είναι γραμμένος σε έξι φύλλα). Η απαιτούμενη πιθανότητα είναι ίση με .

Απάντηση: 0,25.

Εργασία 2.Υπάρχουν 14 κόκκινες, 9 κίτρινες και 7 πράσινες μπάλες σε ένα δοχείο. Μία μπάλα τραβιέται τυχαία από το δοχείο. Ποια είναι η πιθανότητα αυτή η μπάλα να είναι κίτρινη;

Ο συνολικός αριθμός των αποτελεσμάτων είναι ίσος με τον αριθμό των σφαιρών: 14 + 9 + 7 = 30. Ο αριθμός των ευνοϊκών αποτελεσμάτων για αυτό το γεγονός είναι 9. Η απαιτούμενη πιθανότητα είναι ίση με .

Εργασία 3.Υπάρχουν 10 αριθμοί στο πληκτρολόγιο του τηλεφώνου, από το 0 έως το 9. Ποια είναι η πιθανότητα ένας τυχαία πατημένος αριθμός να είναι ζυγός και μεγαλύτερος από 5;

Το αποτέλεσμα εδώ είναι το πάτημα ενός συγκεκριμένου πλήκτρου, επομένως υπάρχουν συνολικά 10 εξίσου πιθανά αποτελέσματα. Το καθορισμένο συμβάν ευνοείται από αποτελέσματα που σημαίνουν πάτημα του πλήκτρου 6 ή 8. Υπάρχουν δύο τέτοια αποτελέσματα. Η απαιτούμενη πιθανότητα είναι ίση με .

Απάντηση: 0,2.

Πρόβλημα 4. Ποια είναι η πιθανότητα ένας τυχαία επιλεγμένος φυσικός αριθμός από το 4 έως το 23 να διαιρείται με το τρία;

Στο τμήμα από το 4 έως το 23 υπάρχουν 23 – 4 + 1 = 20 φυσικοί αριθμοί, που σημαίνει ότι υπάρχουν συνολικά 20 πιθανά αποτελέσματα. Σε αυτό το τμήμα, οι ακόλουθοι αριθμοί είναι πολλαπλάσια των τριών: 6, 9, 12, 15, 18, 21. Υπάρχουν 6 τέτοιοι αριθμοί συνολικά, επομένως το εν λόγω γεγονός ευνοείται από 6 αποτελέσματα. Η απαιτούμενη πιθανότητα είναι ίση με .

Απάντηση: 0,3.

Εργασία 5.Από τα 20 εισιτήρια που προσφέρονται στην εξέταση, ο μαθητής μπορεί να απαντήσει μόνο στα 17. Ποια είναι η πιθανότητα ο μαθητής να μην μπορεί να απαντήσει στο εισιτήριο που επιλέχθηκε τυχαία;

1η μέθοδος.

Εφόσον ένας μαθητής μπορεί να απαντήσει σε 17 δελτία, δεν μπορεί να απαντήσει σε 3 εισιτήρια. Η πιθανότητα να αποκτήσετε ένα από αυτά τα εισιτήρια είναι εξ ορισμού ίση με .

2η μέθοδος.

Ας υποδηλώσουμε με Α το γεγονός «ο μαθητής μπορεί να απαντήσει στο εισιτήριο». Επειτα . Η πιθανότητα του αντίθετου γεγονότος είναι =1 – 0,85 = 0,15.

Απάντηση: 0,15.

Πρόβλημα 6. Στο πρωτάθλημα ρυθμικής γυμναστικής συμμετέχουν 20 αθλητές: 6 από τη Ρωσία, 5 από τη Γερμανία, οι υπόλοιποι από τη Γαλλία. Η σειρά με την οποία αγωνίζονται οι αθλήτριες καθορίζεται με κλήρωση. Βρείτε την πιθανότητα ο αθλητής που αγωνίζεται έβδομος να είναι από τη Γαλλία.

Υπάρχουν 20 αθλητές συνολικά, όλοι έχουν ίσες πιθανότητες να αγωνιστούν έβδομοι. Επομένως, υπάρχουν 20 εξίσου πιθανά αποτελέσματα. Υπάρχουν 20 – 6 – 5 = 9 αθλητές από τη Γαλλία, άρα υπάρχουν 9 ευνοϊκές εκβάσεις για το συγκεκριμένο αγώνισμα. Η απαιτούμενη πιθανότητα είναι ίση με .

Απάντηση: 0,45.

Εργασία 7.Το επιστημονικό συνέδριο διεξάγεται σε διάστημα 5 ημερών. Συνολικά έχουν προγραμματιστεί 50 αναφορές - οι πρώτες τρεις ημέρες έχουν 12 αναφορές η καθεμία, οι υπόλοιπες κατανέμονται εξίσου μεταξύ της τέταρτης και της πέμπτης ημέρας. Η σειρά των εκθέσεων καθορίζεται με κλήρωση. Ποια είναι η πιθανότητα η έκθεση του καθηγητή Ν. να προγραμματιστεί για την τελευταία ημέρα του συνεδρίου;

Αρχικά, ας βρούμε πόσες αναφορές έχουν προγραμματιστεί για την τελευταία ημέρα. Οι παρουσιάσεις έχουν προγραμματιστεί για τις πρώτες τρεις ημέρες. Απομένουν ακόμη 50 – 36 = 14 αναφορές, οι οποίες κατανέμονται ισόποσα στις υπόλοιπες δύο ημέρες, επομένως υπάρχουν προγραμματισμένες αναφορές την τελευταία ημέρα.

Θα θεωρήσουμε το αποτέλεσμα ως τον αύξοντα αριθμό της αναφοράς του καθηγητή N. Υπάρχουν 50 τέτοια αποτελέσματα που ευνοούν το καθορισμένο συμβάν (οι τελευταίοι 7 αριθμοί στη λίστα των αναφορών). Η απαιτούμενη πιθανότητα είναι ίση με .

Απάντηση: 0,14.

Πρόβλημα 8. Υπάρχουν 10 θέσεις στο αεροσκάφος δίπλα στις εξόδους κινδύνου και 15 θέσεις πίσω από τα χωρίσματα που χωρίζουν τις καμπίνες. Οι υπόλοιπες θέσεις είναι άβολες για ψηλούς επιβάτες. Ο επιβάτης Κ. είναι ψηλός. Βρείτε την πιθανότητα ότι κατά το check-in, εάν επιλεγεί τυχαία μια θέση, ο επιβάτης Κ θα πάρει μια άνετη θέση εάν υπάρχουν 200 θέσεις στο αεροπλάνο.

Το αποτέλεσμα σε αυτή την εργασία είναι η επιλογή της τοποθεσίας. Υπάρχουν συνολικά 200 εξίσου πιθανά αποτελέσματα. Το γεγονός «το επιλεγμένο μέρος είναι βολικό» ευνοείται από 15 + 10 = 25 αποτελέσματα. Η απαιτούμενη πιθανότητα είναι ίση με .

Απάντηση: 0,125.

Πρόβλημα 9. Από τους 1000 μύλους καφέ που συναρμολογήθηκαν στο εργοστάσιο, οι 7 ήταν ελαττωματικοί. Ένας ειδικός δοκιμάζει έναν μύλο καφέ που επιλέγεται τυχαία από αυτούς τους 1000. Βρείτε την πιθανότητα ο μύλος καφέ που δοκιμάζεται να είναι ελαττωματικός.

Όταν επιλέγετε έναν μύλο καφέ τυχαία, είναι δυνατά 1000 αποτελέσματα για το συμβάν A «ο επιλεγμένος μύλος καφέ είναι ελαττωματικός», 7 αποτελέσματα είναι ευνοϊκά. Εξ ορισμού της πιθανότητας.

Απάντηση: 0,007.

Πρόβλημα 10.Το εργοστάσιο παράγει ψυγεία. Κατά μέσο όρο, για κάθε 100 ψυγεία υψηλής ποιότητας, υπάρχουν 15 ψυγεία με κρυφά ελαττώματα. Βρείτε την πιθανότητα το αγορασμένο ψυγείο να είναι υψηλής ποιότητας. Στρογγυλοποιήστε το αποτέλεσμα στα εκατοστά.

Αυτή η εργασία είναι παρόμοια με την προηγούμενη. Ωστόσο, η διατύπωση «για 100 ψυγεία υψηλής ποιότητας, υπάρχουν 15 με ελαττώματα» μας δείχνει ότι 15 ελαττωματικά κομμάτια δεν περιλαμβάνονται στα 100 ποιοτικά. Επομένως, ο συνολικός αριθμός των αποτελεσμάτων είναι 100 + 15 = 115 (ίσος με τον συνολικό αριθμό των ψυγείων), υπάρχουν 100 ευνοϊκά αποτελέσματα Η απαιτούμενη πιθανότητα είναι ίση με . Για να υπολογίσετε την κατά προσέγγιση τιμή ενός κλάσματος, είναι βολικό να χρησιμοποιήσετε τη διαίρεση γωνίας. Παίρνουμε 0,869... που είναι 0,87.

Απάντηση: 0,87.

Πρόβλημα 11. Πριν από την έναρξη του πρώτου γύρου του πρωταθλήματος τένις, οι συμμετέχοντες χωρίζονται τυχαία σε ζευγάρια με κλήρωση. Συνολικά στο πρωτάθλημα συμμετέχουν 16 τενίστες, μεταξύ των οποίων 7 συμμετέχοντες από τη Ρωσία, μεταξύ των οποίων και ο Μαξίμ Ζάιτσεφ. Βρείτε την πιθανότητα στον πρώτο γύρο ο Maxim Zaitsev να παίξει με οποιονδήποτε τενίστα από τη Ρωσία.

Όπως και στην προηγούμενη εργασία, πρέπει να διαβάσετε προσεκτικά τη συνθήκη και να κατανοήσετε ποιο είναι το αποτέλεσμα και ποιο το ευνοϊκό αποτέλεσμα (για παράδειγμα, η αλόγιστη εφαρμογή του τύπου πιθανοτήτων οδηγεί σε εσφαλμένη απάντηση).

Εδώ το αποτέλεσμα είναι ο αντίπαλος του Μαξίμ Ζάιτσεφ. Εφόσον υπάρχουν 16 τενίστες συνολικά και ο Μαξίμ δεν μπορεί να παίξει εναντίον του, υπάρχουν 16 – 1 = 15 εξίσου πιθανά αποτελέσματα. Ευνοϊκή έκβαση είναι ένας αντίπαλος από τη Ρωσία. Υπάρχουν 7 – 1 = 6 τέτοια ευνοϊκά αποτελέσματα (εξαιρούμε τον ίδιο τον Μαξίμ από τον αριθμό των Ρώσων). Η απαιτούμενη πιθανότητα είναι ίση με .

Απάντηση: 0,4.

Πρόβλημα 12.Στο τμήμα ποδοσφαίρου συμμετέχουν 33 άτομα, μεταξύ των οποίων δύο αδέρφια - ο Άντον και ο Ντμίτρι. Όσοι παρακολουθήσουν το τμήμα χωρίζονται τυχαία σε τρεις ομάδες των 11 ατόμων η καθεμία. Βρείτε την πιθανότητα ο Άντον και ο Ντμίτρι να είναι στην ίδια ομάδα.

Θα σχηματίσουμε ομάδες, τοποθετώντας διαδοχικά τους παίκτες σε κενές θέσεις, ξεκινώντας από τον Άντον και τον Ντμίτρι. Αρχικά, ας τοποθετήσουμε τον Anton σε μια τυχαία επιλεγμένη θέση από τα ελεύθερα 33. Τώρα τοποθετούμε τον Ντμίτρι στην ελεύθερη θέση (θα θεωρήσουμε ότι η επιλογή μιας θέσης για αυτόν είναι το αποτέλεσμα). Υπάρχουν 32 ελεύθερες θέσεις συνολικά (ο Anton έχει ήδη λάβει μία), άρα υπάρχουν 32 πιθανά αποτελέσματα συνολικά. Απομένουν 10 κενές θέσεις στην ίδια ομάδα με τον Anton, επομένως η εκδήλωση "Anton and Dmitry στην ίδια ομάδα" ευνοείται από 10 αποτελέσματα. Η πιθανότητα αυτού του γεγονότος είναι .

Απάντηση: 0,3125.

Πρόβλημα 13. Ένα μηχανικό ρολόι με καντράν δώδεκα ωρών χάλασε κάποια στιγμή και σταμάτησε να λειτουργεί. Βρείτε την πιθανότητα ο ωροδείκτης να είναι παγωμένος, φτάνοντας την 11η ώρα, αλλά όχι τη 2 η ώρα.

Συμβατικά, ο επιλογέας μπορεί να χωριστεί σε 12 τομείς, που βρίσκονται ανάμεσα στα σημάδια γειτονικών αριθμών (μεταξύ 12 και 1, 1 και 2, 2 και 3, ..., 11 και 12). Θα θεωρήσουμε ότι το αποτέλεσμα είναι η στάση του δείκτη του ρολογιού σε έναν από τους υποδεικνυόμενους τομείς. Υπάρχουν συνολικά 12 εξίσου πιθανά αποτελέσματα. Αυτό το γεγονός ευνοείται από τρία αποτελέσματα (τομείς μεταξύ 11 και 12, 12 και 1, 1 και 2). Η απαιτούμενη πιθανότητα είναι ίση με .

Απάντηση: 0,25.

Συνοψίζω

Μετά τη μελέτη του υλικού για την επίλυση απλών προβλημάτων στη θεωρία πιθανοτήτων, προτείνω να ολοκληρώσετε τις εργασίες για ανεξάρτητη λύση, τις οποίες δημοσιεύουμε στο το κανάλι μας στο Telegram. Μπορείτε επίσης να ελέγξετε εάν έχουν συμπληρωθεί σωστά εισάγοντας το δικό σας απαντήσεις στη φόρμα που παρέχεται.

Σας ευχαριστούμε που μοιραστήκατε το άρθρο στα κοινωνικά δίκτυα.

Πηγή «Προετοιμασία για την Ενιαία Κρατική Εξέταση. Μαθηματικά. Επιμέλεια F.F. Lysenko, S.Yu. Κουλαμούκοβα

Σχέδιο για ένα εργαστήριο για καθηγητές μαθηματικών στο εκπαιδευτικό ίδρυμα της πόλης Τούλα με θέμα «Επίλυση εργασιών Ενιαίας Κρατικής Εξέτασης στα μαθηματικά από τις ενότητες: συνδυαστική, θεωρία πιθανοτήτων. Διδακτική Μεθοδολογία»

Δαπάνη χρόνου: 12 00 ; 15 00

Τοποθεσία: ΜΠΟΥ «Λύκειο Νο 1», γραφείο. Νο 8

ΕΓΩ. Επίλυση προβλημάτων πιθανοτήτων

1. Επίλυση προβλημάτων που περιλαμβάνουν τον κλασικό προσδιορισμό της πιθανότητας

Εμείς, ως δάσκαλοι, γνωρίζουμε ήδη ότι τα κύρια είδη προβλημάτων στην Ενιαία Κρατική Εξέταση στη θεωρία πιθανοτήτων βασίζονται στον κλασικό ορισμό της πιθανότητας. Ας θυμηθούμε τι λέγεται πιθανότητα ενός συμβάντος;

Πιθανότητα του συμβάντοςείναι ο λόγος του αριθμού των ευνοϊκών αποτελεσμάτων για ένα δεδομένο γεγονός προς τον συνολικό αριθμό των αποτελεσμάτων.

Η επιστημονική και μεθοδολογική μας ένωση καθηγητών μαθηματικών έχει αναπτύξει ένα γενικό σχήμα για την επίλυση προβλημάτων πιθανοτήτων. Θα ήθελα να το παρουσιάσω στην προσοχή σας. Παρεμπιπτόντως, μοιραστήκαμε την εργασιακή μας εμπειρία και στα υλικά που δώσαμε στην προσοχή σας για κοινή συζήτηση για την επίλυση προβλημάτων, δώσαμε αυτό το διάγραμμα. Ωστόσο, θέλω να το εκφράσω.

Κατά τη γνώμη μας, αυτό το σχήμα βοηθά στη γρήγορη λογική ταξινόμηση όλων σε κομμάτια και μετά από αυτό το πρόβλημα μπορεί να λυθεί πολύ πιο εύκολα τόσο για τον δάσκαλο όσο και για τους μαθητές.

Θέλω λοιπόν να αναλύσω λεπτομερώς την παρακάτω εργασία.

Ήθελα να μιλήσω μαζί σας για να εξηγήσω τη μεθοδολογία, πώς να μεταφέρω στα παιδιά μια τέτοια λύση, κατά την οποία τα παιδιά θα κατανοούσαν αυτό το τυπικό πρόβλημα και στη συνέχεια θα κατανοούσαν αυτά τα προβλήματα.

Τι είναι ένα τυχαίο πείραμα σε αυτό το πρόβλημα; Τώρα πρέπει να απομονώσουμε ένα στοιχειώδες γεγονός σε αυτό το πείραμα. Ποιο είναι αυτό το στοιχειώδες γεγονός; Ας τα απαριθμήσουμε.

Ερωτήσεις σχετικά με την εργασία;

Αγαπητοί συνάδελφοι, και εσείς προφανώς έχετε σκεφτεί προβλήματα πιθανοτήτων με ζάρια. Νομίζω ότι πρέπει να το αναλύσουμε, γιατί έχει τις δικές του αποχρώσεις. Ας αναλύσουμε αυτό το πρόβλημα σύμφωνα με το σχήμα που σας προτείναμε. Εφόσον σε κάθε πλευρά του κύβου υπάρχει ένας αριθμός από το 1 έως το 6, τότε τα στοιχειώδη γεγονότα είναι οι αριθμοί 1, 2, 3, 4, 5, 6. Βρήκαμε ότι ο συνολικός αριθμός των στοιχειωδών γεγονότων είναι 6. Ας προσδιορίσουμε ποια στοιχειώδη γεγονότα ευνοούν το γεγονός. Μόνο δύο γεγονότα ευνοούν αυτό το γεγονός - 5 και 6 (αφού προκύπτει από την προϋπόθεση ότι 5 και 6 βαθμοί πρέπει να πέσουν έξω).

Εξηγήστε ότι όλα τα στοιχειώδη γεγονότα είναι εξίσου πιθανά. Ποιες ερωτήσεις θα υπάρχουν σχετικά με την εργασία;

Πώς ξέρετε ότι ένα νόμισμα είναι συμμετρικό; Ας το ξεκαθαρίσουμε, μερικές φορές ορισμένες φράσεις προκαλούν παρεξηγήσεις. Ας κατανοήσουμε αυτό το πρόβλημα εννοιολογικά. Ας καταλάβουμε μαζί σας στο πείραμα που περιγράφεται ποια θα μπορούσαν να είναι τα στοιχειώδη αποτελέσματα. Έχετε όλοι ιδέα πού είναι τα κεφάλια και πού οι ουρές; Ποιες είναι οι πιθανές επιλογές εγκατάλειψης; Υπάρχουν άλλες εκδηλώσεις; Ποιος είναι ο συνολικός αριθμός των εκδηλώσεων; Σύμφωνα με το πρόβλημα, είναι γνωστό ότι τα κεφάλια ανέβηκαν ακριβώς μία φορά. Αυτό σημαίνει ότι αυτή η εκδήλωσηστοιχειώδη γεγονότα από αυτά τα τέσσερα OR και RO είναι ευνοϊκά αυτό δεν μπορεί να συμβεί δύο φορές. Χρησιμοποιούμε τον τύπο που υπολογίζει την πιθανότητα ενός γεγονότος. Υπενθυμίζουμε ότι οι απαντήσεις στο Μέρος Β πρέπει να είναι είτε ακέραιος είτε δεκαδικός.

Το δείχνουμε στον διαδραστικό πίνακα. Διαβάσαμε το πρόβλημα. Ποιο είναι το στοιχειώδες αποτέλεσμα σε αυτό το πείραμα; Διευκρινίστε ότι το ζευγάρι έχει παραγγελθεί - δηλαδή, ο αριθμός έπεσε στο πρώτο ζάρι και στο δεύτερο ζάρι. Σε κάθε πρόβλημα υπάρχουν στιγμές που πρέπει να επιλέξετε ορθολογικές μεθόδους, φόρμες και να παρουσιάσετε τη λύση με τη μορφή πινάκων, διαγραμμάτων κ.λπ. Σε αυτό το πρόβλημα είναι βολικό να χρησιμοποιήσετε έναν τέτοιο πίνακα. Σας δίνω μια έτοιμη λύση, αλλά κατά τη διάρκεια της λύσης αποδεικνύεται ότι σε αυτό το πρόβλημα είναι λογικό να χρησιμοποιήσετε μια λύση με τη μορφή πίνακα. Εξηγούμε τι σημαίνει ο πίνακας. Μπορείτε να καταλάβετε γιατί οι στήλες λένε 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Ας σχεδιάσουμε ένα τετράγωνο. Οι γραμμές αντιστοιχούν στα αποτελέσματα της πρώτης ρίψης - υπάρχουν έξι από αυτές, επειδή η μήτρα έχει έξι πλευρές. Το ίδιο και οι στήλες. Σε κάθε κελί γράφουμε το άθροισμα των σημείων που σχεδιάστηκαν. Δείχνουμε τον συμπληρωμένο πίνακα. Ας χρωματίσουμε τα κελιά όπου το άθροισμα είναι ίσο με οκτώ (όπως αυτό απαιτείται στη συνθήκη).

Πιστεύω ότι το επόμενο πρόβλημα, αφού αναλύσουμε τα προηγούμενα, μπορεί να δοθεί στα παιδιά να το λύσουν μόνα τους.

Στα παρακάτω προβλήματα δεν χρειάζεται να σημειωθούν όλα τα στοιχειώδη αποτελέσματα. Αρκεί απλώς να μετρήσετε τον αριθμό τους.

(Καμία λύση) Έδωσα αυτό το πρόβλημα στα παιδιά να το λύσουν μόνοι τους. Αλγόριθμος για την επίλυση του προβλήματος

1. Ορίστε τι αποτελείται ένα τυχαίο πείραμα και τι είναι ένα τυχαίο γεγονός.

2. Βρείτε τον συνολικό αριθμό των στοιχειωδών γεγονότων.

3. Βρείτε τον αριθμό των συμβάντων που είναι ευνοϊκά για το συμβάν που καθορίζεται στη δήλωση προβλήματος.

4. Βρείτε την πιθανότητα ενός συμβάντος χρησιμοποιώντας τον τύπο.

Μπορεί να τεθεί μια ερώτηση στους μαθητές: εάν πωλούνται 1000 μπαταρίες, και μεταξύ αυτών οι 6 είναι ελαττωματικές, τότε η επιλεγμένη μπαταρία καθορίζεται από το πώς; Τι είναι στο καθήκον μας; Στη συνέχεια θέτω το ερώτημα να βρω τι χρησιμοποιείται ως αριθμός εδώκαι σου προτείνω να το βρειςαριθμός. Στη συνέχεια ρωτάω, ποιο είναι το γεγονός εδώ; Πόσοι συσσωρευτές είναι ευνοϊκοί για την ολοκλήρωση ενός συμβάντος; Στη συνέχεια, χρησιμοποιώντας τον τύπο, υπολογίζουμε αυτή την πιθανότητα.

Εδώ στα παιδιά μπορεί να προσφερθεί μια δεύτερη λύση. Ας συζητήσουμε ποια θα μπορούσε να είναι αυτή η μέθοδος;

1. Ποιο γεγονός μπορούμε να εξετάσουμε τώρα;

2. Πώς να βρείτε την πιθανότητα ενός δεδομένου γεγονότος;

Τα παιδιά πρέπει να ενημερωθούν για αυτούς τους τύπους. Είναι οι εξής

Το όγδοο πρόβλημα μπορεί να προσφερθεί στα παιδιά μόνα τους, αφού είναι παρόμοιο με το έκτο πρόβλημα. Μπορεί να τους προσφερθεί ως ανεξάρτητη εργασία ή σε κάρτα στο ταμπλό.

Αυτό το πρόβλημα μπορεί να λυθεί σε σχέση με την Ολυμπιάδα που διεξάγεται αυτή τη στιγμή. Παρά το γεγονός ότι εμπλέκονται διαφορετικά γεγονότα στις εργασίες, οι εργασίες είναι τυπικές.

2. Οι απλούστεροι κανόνες και τύποι για τον υπολογισμό των πιθανοτήτων (αντίθετα γεγονότα, άθροισμα γεγονότων, γινόμενο γεγονότων)

Αυτό είναι ένα πρόβλημα από τη συλλογή Unified State Exam. Εμφανίζουμε τη λύση στον πίνακα. Ποιες ερωτήσεις πρέπει να κάνουμε στους μαθητές για να κατανοήσουν αυτό το πρόβλημα;

1. Πόσα μηχανήματα υπήρχαν; Εάν υπάρχουν δύο μηχανές, τότε υπάρχουν ήδη δύο συμβάντα. Κάνω μια ερώτηση στα παιδιά - πώς θα είναι η εκδήλωση;? Ποια θα είναι η δεύτερη εκδήλωση;

2. είναι η πιθανότητα ενός γεγονότος. Δεν χρειάζεται να το υπολογίσουμε, αφού δίνεται στη συνθήκη. Σύμφωνα με τις συνθήκες του προβλήματος, η πιθανότητα «ο καφές να τελειώσει και στις δύο μηχανές» είναι 0,12. Υπήρξε γεγονός Α, υπήρξε γεγονός Β. Και εμφανίζεται ένα νέο γεγονός; Κάνω μια ερώτηση στα παιδιά - ποια; Αυτό είναι το συμβάν όταν και τα δύο μηχανήματα ξεμένουν από καφέ. Στην περίπτωση αυτή, στη θεωρία πιθανοτήτων, πρόκειται για ένα νέο γεγονός, το οποίο ονομάζεται τομή δύο γεγονότων Α και Β και ορίζεται με αυτόν τον τρόπο.

Ας χρησιμοποιήσουμε τον τύπο πρόσθεσης πιθανότητας. Ο τύπος έχει ως εξής

Σας το δίνουμε στο υλικό αναφοράς και στα παιδιά μπορεί να δοθεί αυτός ο τύπος. Σας επιτρέπει να βρείτε την πιθανότητα ενός αθροίσματος γεγονότων. Μας ρωτήθηκε η πιθανότητα του αντίθετου γεγονότος, η πιθανότητα του οποίου βρίσκεται χρησιμοποιώντας τον τύπο.

Το πρόβλημα 13 χρησιμοποιεί την έννοια του γινομένου γεγονότων, ο τύπος για την εύρεση της πιθανότητας του οποίου δίνεται στο παράρτημα.

3. Προβλήματα που αφορούν τη χρήση ενός δέντρου πιθανών επιλογών

Με βάση τις συνθήκες του προβλήματος, είναι εύκολο να συντάξετε ένα διάγραμμα και να βρείτε τις υποδεικνυόμενες πιθανότητες.

Ποιο θεωρητικό υλικό χρησιμοποιήσατε για να βοηθήσετε τους μαθητές να λύσουν προβλήματα αυτού του είδους; Έχετε χρησιμοποιήσει ένα πιθανό δέντρο ή άλλες μεθόδους για να λύσετε τέτοια προβλήματα; Έχετε δώσει την έννοια των γραφημάτων; Στην πέμπτη ή έκτη δημοτικού τα παιδιά έχουν τέτοια προβλήματα, η ανάλυση των οποίων δίνει την έννοια των γραφημάτων.

Θα ήθελα να σας ρωτήσω, έχετε σκεφτεί εσείς και οι μαθητές σας να χρησιμοποιήσετε ένα δέντρο πιθανών επιλογών κατά την επίλυση προβλημάτων πιθανοτήτων; Γεγονός είναι ότι όχι μόνο η Ενιαία Κρατική Εξέταση έχει τέτοια καθήκοντα, αλλά έχουν εμφανιστεί αρκετά περίπλοκα προβλήματα που τώρα θα λύσουμε.

Ας συζητήσουμε μαζί σας τη μεθοδολογία για την επίλυση τέτοιων προβλημάτων - εάν συμπίπτει με τη μεθοδολογία μου, όπως εξηγώ στα παιδιά, τότε θα είναι πιο εύκολο για μένα να συνεργαστώ μαζί σας, εάν όχι, τότε θα σας βοηθήσω να αντιμετωπίσετε αυτό το πρόβλημα.

Ας συζητήσουμε τα γεγονότα. Ποια γεγονότα στο πρόβλημα 17 μπορούν να απομονωθούν;

Κατά την κατασκευή ενός δέντρου σε ένα επίπεδο, ορίζεται ένα σημείο, το οποίο ονομάζεται ρίζα του δέντρου. Στη συνέχεια αρχίζουμε να εξετάζουμε τα γεγονόταΚαι. Θα κατασκευάσουμε ένα τμήμα (στη θεωρία πιθανοτήτων ονομάζεται κλάδος). Σύμφωνα με την προϋπόθεση, λέγεται ότι το πρώτο εργοστάσιο παράγει το 30% των κινητών αυτής της μάρκας (ποιο; Αυτό που παράγουν), πράγμα που σημαίνει ότι αυτή τη στιγμή ρωτάω φοιτητές, ποια είναι η πιθανότητα του πρώτου εργοστασίου παράγουν τηλέφωνα αυτής της μάρκας, αυτά που παράγουν; Δεδομένου ότι το συμβάν είναι η κυκλοφορία ενός τηλεφώνου στο πρώτο εργοστάσιο, η πιθανότητα αυτού του συμβάντος είναι 30% ή 0,3. Τα υπόλοιπα τηλέφωνα κατασκευάστηκαν στο δεύτερο εργοστάσιο - κατασκευάζουμε το δεύτερο τμήμα και η πιθανότητα αυτού του συμβάντος είναι 0,7.

Οι μαθητές τίθενται η ερώτηση: τι είδους τηλέφωνο θα μπορούσε να παραχθεί από το πρώτο εργοστάσιο; Με ή χωρίς ελάττωμα. Ποια είναι η πιθανότητα ένα τηλέφωνο που παράγεται από το πρώτο εργοστάσιο να έχει ελάττωμα; Η συνθήκη λέει ότι ισούται με 0,01. Ερώτηση: Ποια είναι η πιθανότητα να μην έχει κάποιο ελάττωμα το τηλέφωνο που παρήγαγε το πρώτο εργοστάσιο; Εφόσον αυτό το γεγονός είναι αντίθετο από το δεδομένο, η πιθανότητα του είναι ίση.

Πρέπει να βρείτε την πιθανότητα ότι το τηλέφωνο είναι ελαττωματικό. Μπορεί να είναι από το πρώτο εργοστάσιο ή ίσως από το δεύτερο. Στη συνέχεια χρησιμοποιούμε τον τύπο για την προσθήκη πιθανοτήτων και βρίσκουμε ότι ολόκληρη η πιθανότητα είναι το άθροισμα των πιθανοτήτων ότι το τηλέφωνο με ελάττωμα είναι από το πρώτο εργοστάσιο και ότι το τηλέφωνο με ελάττωμα είναι από το δεύτερο εργοστάσιο. Θα βρούμε την πιθανότητα το τηλέφωνο να έχει ελάττωμα και να έχει παραχθεί στο πρώτο εργοστάσιο χρησιμοποιώντας τον τύπο γινομένου πιθανοτήτων, που δίνεται στο παράρτημα.

4. Ένα από τα πιο δύσκολα προβλήματα από την Ενιαία Κρατική εξεταστική τράπεζα για πιθανότητες

Ας δούμε, για παράδειγμα, τον αριθμό 320199 από την τράπεζα εργασιών FIPI. Αυτή είναι μια από τις πιο δύσκολες εργασίες στο B6.

Για να εισέλθει στο ινστιτούτο για την ειδικότητα "Γλωσσολογία", ο αιτών Ζ. πρέπει να συγκεντρώσει τουλάχιστον 70 βαθμούς στην Ενιαία Κρατική Εξέταση σε καθένα από τα τρία μαθήματα - μαθηματικά, ρωσική γλώσσα και μια ξένη γλώσσα. Για να εγγραφείτε στην ειδικότητα "Εμπόριο", πρέπει να συγκεντρώσετε τουλάχιστον 70 βαθμούς σε κάθε ένα από τα τρία μαθήματα - μαθηματικά, ρωσική γλώσσα και κοινωνικές σπουδές.

Η πιθανότητα ο υποψήφιος Ζ. να λάβει τουλάχιστον 70 βαθμούς στα μαθηματικά είναι 0,6, στα ρωσικά - 0,8, σε μια ξένη γλώσσα - 0,7 και στις κοινωνικές σπουδές - 0,5.

Βρείτε την πιθανότητα ο Ζ. να μπορέσει να εγγραφεί τουλάχιστον σε μία από τις δύο αναφερόμενες ειδικότητες.

Σημειώστε ότι το πρόβλημα δεν ρωτά εάν ένας υποψήφιος με το όνομα Ζ. θα σπουδάσει ταυτόχρονα γλωσσολογία και εμπόριο και θα λάβει δύο διπλώματα. Εδώ πρέπει να βρούμε την πιθανότητα ο Ζ. να μπορέσει να εγγραφεί τουλάχιστον σε μία από αυτές τις δύο ειδικότητες – δηλαδή να συγκεντρώσει τον απαιτούμενο αριθμό μορίων.

Για να εισαχθεί τουλάχιστον σε μία από τις δύο ειδικότητες, ο Ζ. πρέπει να συγκεντρώσει τουλάχιστον 70 μόρια στα μαθηματικά. Και στα ρωσικά. Και επίσης - κοινωνικές σπουδές ή ξένο.

Η πιθανότητα να συγκεντρώσει 70 βαθμούς στα μαθηματικά είναι 0,6.

Η πιθανότητα βαθμολόγησης στα μαθηματικά και στα ρωσικά είναι ίση.

Ας ασχοληθούμε με ξένες και κοινωνικές σπουδές. Οι επιλογές που μας ταιριάζουν είναι όταν ο υποψήφιος έχει συγκεντρώσει βαθμούς σε κοινωνικές σπουδές, ξένες σπουδές ή και στα δύο. Η επιλογή δεν είναι κατάλληλη όταν δεν σημείωσε πόντους ούτε σε γλώσσα ούτε σε «κοινωνία». Αυτό σημαίνει ότι η πιθανότητα επιτυχίας κοινωνικών σπουδών ή ξένης γλώσσας με τουλάχιστον 70 μόρια είναι ίση. Ως αποτέλεσμα, η πιθανότητα επιτυχίας μαθηματικών, ρωσικών και κοινωνικών σπουδών ή ξένων είναι ίση

Αυτή είναι η απάντηση.

II . Επίλυση συνδυαστικών προβλημάτων

1. Αριθμός συνδυασμών και παραγοντικών

Ας δούμε συνοπτικά το θεωρητικό υλικό.

Εκφρασηn ! διαβάζεται ως "en-factorial" και δηλώνει το γινόμενο όλων των φυσικών αριθμών από το 1 έως τοn περιεκτικός:n ! = 1 · 2 · 3 · ... ·n .

Επιπλέον, στα μαθηματικά, εξ ορισμού, πιστεύουν ότι 0! = 1. Μια τέτοια έκφραση είναι σπάνια, αλλά εξακολουθεί να εμφανίζεται σε προβλήματα στη θεωρία πιθανοτήτων.

Ορισμός

Αφήστε να υπάρχουν αντικείμενα (μολύβι, καραμέλες, οτιδήποτε άλλο) από τα οποία θέλετε να επιλέξετε ακριβώς διαφορετικά αντικείμενα. Τότε καλείται ο αριθμός των επιλογών για μια τέτοια επιλογήαριθμός συνδυασμών από στοιχεία από. Αυτός ο αριθμός ορίζεται και υπολογίζεται χρησιμοποιώντας έναν ειδικό τύπο.

Ονομασία

Τι μας δίνει αυτή η φόρμουλα; Στην πραγματικότητα, σχεδόν κανένα σοβαρό πρόβλημα δεν μπορεί να λυθεί χωρίς αυτό.

Για καλύτερη κατανόηση, ας δούμε μερικά απλά συνδυαστικά προβλήματα:

Εργο

Ο μπάρμαν έχει 6 είδη πράσινου τσαγιού. Για να πραγματοποιήσετε μια τελετή τσαγιού, πρέπει να σερβίρετε ακριβώς 3 διαφορετικούς τύπους πράσινου τσαγιού. Με πόσους τρόπους μπορεί ο μπάρμαν να εκπληρώσει μια παραγγελία;

Λύση

Όλα είναι απλά εδώ: υπάρχειn = 6 ποικιλίες για να διαλέξετεκ = 3 ποικιλίες. Ο αριθμός των συνδυασμών μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας τον τύπο:

Απάντηση

Αντικαταστήστε στη φόρμουλα. Δεν μπορούμε να λύσουμε όλα τα προβλήματα, αλλά έχουμε καταγράψει τυπικά προβλήματα και παρουσιάζονται στην προσοχή σας.

Εργο

Σε μια ομάδα 20 μαθητών, πρέπει να επιλέξετε 2 εκπροσώπους για να μιλήσουν στο συνέδριο. Με πόσους τρόπους μπορεί να γίνει αυτό;

Λύση

Και πάλι, αυτό είναι το μόνο που έχουμεn = 20 μαθητές, αλλά πρέπει να διαλέξειςκ = 2 μαθητές. Βρείτε τον αριθμό των συνδυασμών:

Σημείωση: οι πολλαπλασιαστές που περιλαμβάνονται σε διαφορετικούς παραγοντικούς σημειώνονται με κόκκινο χρώμα. Αυτοί οι πολλαπλασιαστές μπορούν να μειωθούν ανώδυνα και συνεπώς να μειώσουν σημαντικά το συνολικό ποσό των υπολογισμών.

Απάντηση

190

Εργο

Στην αποθήκη παραδόθηκαν 17 διακομιστές με διάφορα ελαττώματα, οι οποίοι κοστίζουν 2 φορές λιγότερο από τους κανονικούς διακομιστές. Ο διευθυντής αγόρασε 14 τέτοιους διακομιστές για το σχολείο και χρησιμοποίησε τα χρήματα που εξοικονομήθηκαν σε ποσό 200.000 ρούβλια για να αγοράσει άλλο εξοπλισμό. Με πόσους τρόπους μπορεί ο διευθυντής να επιλέξει ελαττωματικούς διακομιστές;

Λύση

Το πρόβλημα περιέχει πολλά επιπλέον δεδομένα που μπορεί να προκαλούν σύγχυση. Τα πιο σημαντικά γεγονότα: υπάρχουν μόνοn = 17 διακομιστές και χρειάζεται ο διευθυντήςκ = 14 διακομιστές. Μετράμε τον αριθμό των συνδυασμών:

Οι πολλαπλασιαστές που μειώνονται υποδεικνύονται και πάλι με κόκκινο. Συνολικά, υπήρχαν 680 συνδυασμοί. Γενικά, ο σκηνοθέτης έχει πολλά να διαλέξει.

Απάντηση

680

Αυτή η εργασία είναι δύσκολη επειδή υπάρχουν επιπλέον δεδομένα σε αυτήν την εργασία. Οδηγούν πολλούς μαθητές από το να πάρουν τη σωστή απόφαση. Υπήρχαν 17 διακομιστές συνολικά και ο διευθυντής έπρεπε να επιλέξει 14. Αντικαθιστώντας τον τύπο, έχουμε 680 συνδυασμούς.

2. Νόμος του πολλαπλασιασμού

Ορισμός

Νόμος του πολλαπλασιασμού στη συνδυαστική: πολλαπλασιάζεται ο αριθμός των συνδυασμών (τρόποι, συνδυασμοί) σε ανεξάρτητα σύνολα.

Ας υπάρχει δηλαδήΕΝΑ τρόπους εκτέλεσης μιας ενέργειας καισι τρόπους εκτέλεσης μιας άλλης ενέργειας. Η πορεία είναι επίσης ότι αυτές οι ενέργειες είναι ανεξάρτητες, δηλ. δεν έχουν καμία σχέση μεταξύ τους. Στη συνέχεια, μπορείτε να βρείτε τον αριθμό των τρόπων εκτέλεσης της πρώτης και της δεύτερης ενέργειας χρησιμοποιώντας τον τύπο:ντο = ΕΝΑ · σι .

Εργο

Η Petya έχει 4 νομίσματα του 1 ρούβλι και 2 νομίσματα των 10 ρούβλια. Ο Petya, χωρίς να κοιτάξει, έβγαλε από την τσέπη του 1 νόμισμα ονομαστικής αξίας 1 ρούβλι και άλλο 1 νόμισμα ονομαστικής αξίας 10 ρούβλια για να αγοράσει ένα στυλό για 11 ρούβλια. Με πόσους τρόπους μπορεί να επιλέξει αυτά τα νομίσματα;

Λύση

Έτσι, πρώτα παίρνει η Petyaκ = 1 νόμισμα απόn = 4 διαθέσιμα νομίσματα με ονομαστική αξία 1 ρούβλι. Ο αριθμός των τρόπων για να γίνει αυτό είναιντο 4 1 = ... = 4.

Ύστερα η Πέτυα ξαναβάζει το χέρι στην τσέπη του και βγάζεικ = 1 νόμισμα απόn = 2 διαθέσιμα νομίσματα με ονομαστική αξία 10 ρούβλια. Εδώ ο αριθμός των συνδυασμών είναι ίσος μεντο 2 1 = ... = 2.

Δεδομένου ότι αυτές οι ενέργειες είναι ανεξάρτητες, ο συνολικός αριθμός των επιλογών είναι ίσος μεντο = 4 · 2 = 8.

Απάντηση

Εργο

Υπάρχουν 8 άσπρες μπάλες και 12 μαύρες μπάλες σε ένα καλάθι. Με πόσους τρόπους μπορείτε να πάρετε 2 άσπρες και 2 μαύρες μπάλες από αυτό το καλάθι;

Λύση

Σύνολο στο καλάθιn = 8 λευκές μπάλες για να διαλέξετεκ = 2 μπάλες. Μπορεί να γίνειντο 8 2 = ... = 28 διαφορετικοί τρόποι.

Επιπλέον, το καλάθι περιέχειn = 12 μαύρες μπάλες, από τις οποίες πρέπει να επιλέξετε ξανάκ = 2 μπάλες. Ο αριθμός των τρόπων για να γίνει αυτό είναιντο 12 2 = ... = 66.

Δεδομένου ότι η επιλογή μιας λευκής μπάλας και η επιλογή μιας μαύρης μπάλας είναι ανεξάρτητα γεγονότα, ο συνολικός αριθμός συνδυασμών υπολογίζεται σύμφωνα με τον νόμο πολλαπλασιασμού:ντο = 28 · 66 = 1848. Όπως μπορείτε να δείτε, μπορεί να υπάρχουν πολλές επιλογές.

Απάντηση

1848

Ο νόμος του πολλαπλασιασμού δείχνει με πόσους τρόπους μπορεί να εκτελεστεί μια σύνθετη ενέργεια που αποτελείται από δύο ή περισσότερες απλές - με την προϋπόθεση ότι είναι όλες ανεξάρτητες.

3. Νόμος της προσθήκης

Εάν ο νόμος του πολλαπλασιασμού λειτουργεί με «απομονωμένα» γεγονότα που δεν εξαρτώνται το ένα από το άλλο, τότε στον νόμο της πρόσθεσης ισχύει το αντίθετο. Ασχολείται με αλληλοαποκλειόμενα γεγονότα που δεν συμβαίνουν ποτέ ταυτόχρονα.

Για παράδειγμα, το "Petya έβγαλε 1 νόμισμα από την τσέπη του" και το "Petya δεν έβγαλε ούτε ένα νόμισμα από την τσέπη του" είναι αμοιβαία αποκλειόμενα γεγονότα, καθώς είναι αδύνατο να βγάλεις ένα νόμισμα χωρίς να βγάλεις κανένα.

Ομοίως, τα γεγονότα «Η τυχαία μπάλα είναι λευκή» και «Η τυχαία μπάλα είναι μαύρη» είναι επίσης αμοιβαία αποκλειόμενα.

Ορισμός

Νόμος της προσθήκης στη συνδυαστική: αν μπορούν να εκτελεστούν δύο αμοιβαία αποκλειόμενες ενέργειεςΕΝΑ Καισι μεθόδων ανάλογα, τότε αυτά τα συμβάντα μπορούν να συνδυαστούν. Αυτό θα δημιουργήσει ένα νέο συμβάν που μπορείτε να εκτελέσετεΧ = ΕΝΑ + σι τρόπους.

Με άλλα λόγια, όταν συνδυάζονται αμοιβαία αποκλειστικές ενέργειες (γεγονότα, επιλογές), αθροίζεται ο αριθμός των συνδυασμών τους.

Μπορούμε να πούμε ότι ο νόμος της πρόσθεσης είναι ένα λογικό «Ή» στη συνδυαστική, όταν είμαστε ικανοποιημένοι με οποιαδήποτε από τις αμοιβαία αποκλειστικές επιλογές. Αντίθετα, ο νόμος του πολλαπλασιασμού είναι ένα λογικό «ΚΑΙ», στο οποίο μας ενδιαφέρει η ταυτόχρονη εκτέλεση τόσο της πρώτης όσο και της δεύτερης ενέργειας.

Εργο

Υπάρχουν 9 μαύρες και 7 κόκκινες μπάλες σε ένα καλάθι. Το αγόρι βγάζει 2 μπάλες ίδιου χρώματος. Με πόσους τρόπους μπορεί να το κάνει αυτό;

Λύση

Εάν οι μπάλες έχουν το ίδιο χρώμα, τότε υπάρχουν λίγες επιλογές: είναι και οι δύο μαύρες ή κόκκινες. Προφανώς, αυτές οι επιλογές αλληλοαποκλείονται.

Στην πρώτη περίπτωση, το αγόρι πρέπει να επιλέξεικ = 2 μαύρες μπάλες απόn = 9 διαθέσιμα. Ο αριθμός των τρόπων για να γίνει αυτό είναιντο 9 2 = ... = 36.

Ομοίως, στη δεύτερη περίπτωση επιλέγουμεκ = 2 κόκκινες μπάλες απόn = 7 πιθανά. Ο αριθμός των τρόπων είναι ίσοςντο 7 2 = ... = 21.

Μένει να βρούμε τον συνολικό αριθμό τρόπων. Δεδομένου ότι οι επιλογές με μαύρες και κόκκινες μπάλες είναι αμοιβαία αποκλειόμενες, σύμφωνα με το νόμο της πρόσθεσης έχουμε:Χ = 36 + 21 = 57.

Απάντηση57

Εργο

Ο πάγκος πουλάει 15 τριαντάφυλλα και 18 τουλίπες. Ένας μαθητής της 9ης τάξης θέλει να αγοράσει 3 λουλούδια για τον συμμαθητή του και όλα τα λουλούδια πρέπει να είναι ίδια. Με πόσους τρόπους μπορεί να φτιάξει ένα τέτοιο μπουκέτο;

Λύση

Σύμφωνα με την προϋπόθεση, όλα τα λουλούδια πρέπει να είναι ίδια. Αυτό σημαίνει ότι θα αγοράσουμε είτε 3 τριαντάφυλλα είτε 3 τουλίπες. ΤΕΛΟΣ παντων,κ = 3.

Στην περίπτωση των τριαντάφυλλων θα πρέπει να διαλέξετεn = 15 επιλογές, άρα ο αριθμός των συνδυασμών είναιντο 15 3 = ... = 455. Για τουλίπεςn = 18, και ο αριθμός των συνδυασμών είναιντο 18 3 = ... = 816.

Δεδομένου ότι τα τριαντάφυλλα και οι τουλίπες είναι αμοιβαία αποκλειστικές επιλογές, εργαζόμαστε σύμφωνα με το νόμο της προσθήκης. Λαμβάνουμε τον συνολικό αριθμό επιλογώνΧ = 455 + 816 = 1271. Αυτή είναι η απάντηση.

Απάντηση

1271

Πρόσθετοι όροι και περιορισμοί

Πολύ συχνά, το κείμενο του προβλήματος περιέχει πρόσθετους όρους που επιβάλλουν σημαντικούς περιορισμούς στους συνδυασμούς που μας ενδιαφέρουν. Συγκρίνετε δύο προτάσεις:

Υπάρχει ένα σετ 5 στυλό σε διάφορα χρώματα. Με πόσους τρόπους μπορείτε να επιλέξετε 3 στυλό για να περιγράψετε ένα σχέδιο;

Υπάρχει ένα σετ 5 στυλό σε διάφορα χρώματα. Με πόσους τρόπους μπορείτε να επιλέξετε 3 στυλό για το περίγραμμα ενός σχεδίου, εάν ένα από αυτά πρέπει να είναι κόκκινο;

Στην πρώτη περίπτωση, έχουμε το δικαίωμα να πάρουμε οποιαδήποτε χρώματα μας αρέσουν - δεν υπάρχουν επιπλέον περιορισμοί. Στη δεύτερη περίπτωση, όλα είναι πιο περίπλοκα, αφού πρέπει να επιλέξουμε ένα κόκκινο στυλό (υποτίθεται ότι είναι στο αρχικό σετ).

Προφανώς, τυχόν περιορισμοί μειώνουν απότομα τον τελικό αριθμό επιλογών. Λοιπόν, πώς μπορείτε να βρείτε τον αριθμό των συνδυασμών σε αυτήν την περίπτωση; Απλά θυμηθείτε αυτόν τον κανόνα:

Ας υπάρχει ένα σύνολοn στοιχεία από τα οποία μπορείτε να επιλέξετεκ στοιχεία. Κατά την εισαγωγή πρόσθετων περιορισμών στον αριθμόn Καικ μειωθεί κατά το ίδιο ποσό.

Με άλλα λόγια, εάν από τα 5 στυλό πρέπει να επιλέξετε 3 και ένα από αυτά πρέπει να είναι κόκκινο, τότε θα πρέπει να επιλέξετε απόn = 5 − 1 = 4 στοιχεία το καθένακ = 3 − 1 = 2 στοιχεία. Έτσι αντί γιαντο 5 3 πρέπει να μετρηθούνντο 4 2 .

Τώρα ας δούμε πώς λειτουργεί αυτός ο κανόνας χρησιμοποιώντας συγκεκριμένα παραδείγματα:

Εργο

Σε μια ομάδα 20 μαθητών, συμπεριλαμβανομένων 2 αριστούχων, θα πρέπει να επιλέξετε 4 άτομα για να συμμετάσχουν στο συνέδριο. Με πόσους τρόπους μπορούν να επιλεγούν αυτοί οι τέσσερις εάν πρέπει να φτάσουν στο συνέδριο αριστούχοι μαθητές;

Λύση

Υπάρχει λοιπόν μια ομάδα απόn = 20 μαθητές. Αλλά δεν έχετε παρά να επιλέξετεκ = 4 από αυτά. Εάν δεν υπήρχαν πρόσθετοι περιορισμοί, τότε ο αριθμός των επιλογών θα ήταν ίσος με τον αριθμό των συνδυασμώνντο 20 4 .

Ωστόσο, μας δόθηκε ένας επιπλέον όρος: ανάμεσα σε αυτούς τους τέσσερις πρέπει να είναι και 2 αριστούχοι. Σύμφωνα λοιπόν με τον παραπάνω κανόνα μειώνουμε τους αριθμούςn Καικ από 2. Έχουμε:

Απάντηση

153

Εργο

Ο Petya έχει 8 νομίσματα στην τσέπη του, εκ των οποίων τα 6 είναι νομίσματα σε ρούβλια και τα 2 είναι νομίσματα των 10 ρουβλίων. Η Petya μεταφέρει περίπου τρία νομίσματα σε μια άλλη τσέπη. Με πόσους τρόπους μπορεί να το κάνει αυτό ο Petya αν είναι γνωστό ότι και τα δύο κέρματα των 10 ρουβλίων κατέληξαν στην άλλη τσέπη;

Λύση

Υπάρχει λοιπόνn = 8 νομίσματα. Η Πέτυα αλλάζεικ = 3 νομίσματα, 2 από τα οποία είναι νομίσματα των δέκα ρουβλίων. Αποδεικνύεται ότι από τα 3 νομίσματα που θα μεταφερθούν, τα 2 έχουν ήδη διορθωθεί, άρα οι αριθμοίn Καικ πρέπει να μειωθεί κατά 2. Έχουμε:

Απάντηση

III . Επίλυση συνδυασμένων προβλημάτων με χρήση τύπων συνδυαστικής και θεωρίας πιθανοτήτων

Εργο

Ο Petya είχε στην τσέπη του 4 νομίσματα ρούβλια και 2 νομίσματα ρούβλια. Η Πέτυα, χωρίς να κοιτάξει, μετέφερε τρία νομίσματα σε μια άλλη τσέπη. Βρείτε την πιθανότητα και τα δύο κέρματα των δύο ρουβλίων να βρίσκονται στην ίδια τσέπη.

Λύση

Ας υποθέσουμε ότι και τα δύο νομίσματα των δύο ρουβλίων κατέληξαν στην ίδια τσέπη, τότε είναι δυνατές 2 επιλογές: είτε ο Petya δεν τα μετέφερε καθόλου, είτε τα μετέφερε και τα δύο ταυτόχρονα.

Στην πρώτη περίπτωση, όταν τα κέρματα των δύο ρουβλίων δεν μετατοπίστηκαν, θα πρέπει να μετακινήσετε κέρματα 3 ρουβλίων. Δεδομένου ότι υπάρχουν συνολικά 4 τέτοια νομίσματα, ο αριθμός των τρόπων για να γίνει αυτό είναι ίσος με τον αριθμό των συνδυασμών 4 επί 3:ντο 4 3 .

Στη δεύτερη περίπτωση, όταν έχουν μεταφερθεί και τα δύο κέρματα των δύο ρουβλίων, θα πρέπει να μεταφερθεί ένα άλλο κέρμα ρούβλι. Πρέπει να επιλεγεί από 4 υπάρχοντες και ο αριθμός των τρόπων για να γίνει αυτό είναι ίσος με τον αριθμό των συνδυασμών 4 επί 1:ντο 4 1 .

Τώρα ας βρούμε τον συνολικό αριθμό τρόπων αναδιάταξης των νομισμάτων. Δεδομένου ότι υπάρχουν συνολικά 4 + 2 = 6 νομίσματα και πρέπει να επιλέξετε μόνο 3 από αυτά, ο συνολικός αριθμός των επιλογών είναι ίσος με τον αριθμό των συνδυασμών 6 επί 3:ντο 6 3 .

Μένει να βρούμε την πιθανότητα:

Απάντηση

0,4

Εμφάνιση στον διαδραστικό πίνακα. Δώστε προσοχή στο γεγονός ότι, σύμφωνα με τις συνθήκες του προβλήματος, ο Petya, χωρίς να κοιτάξει, έβαλε τρία νομίσματα σε μια τσέπη. Απαντώντας σε αυτήν την ερώτηση, μπορούμε να υποθέσουμε ότι δύο νομίσματα των δύο ρουβλίων παρέμειναν στην πραγματικότητα σε μια τσέπη. Ανατρέξτε στον τύπο για την προσθήκη πιθανοτήτων. Δείξτε ξανά τον τύπο.

Εργο

Ο Petya είχε στην τσέπη του 2 νομίσματα των 5 ρούβλια και 4 νομίσματα των 10 ρούβλια. Η Petya, χωρίς να κοιτάξει, μετέφερε περίπου 3 νομίσματα σε μια άλλη τσέπη. Βρείτε την πιθανότητα τα κέρματα των πέντε ρουβλίων να βρίσκονται τώρα σε διαφορετικές τσέπες.

Λύση

Για να κρατήσετε κέρματα πέντε ρουβλίων σε διαφορετικές τσέπες, πρέπει να μετακινήσετε μόνο μία από αυτές. Ο αριθμός των τρόπων για να γίνει αυτό είναι ίσος με τον αριθμό των συνδυασμών 2 επί 1:ντο 2 1 .

Δεδομένου ότι ο Petya μετακόμισε 3 νομίσματα συνολικά, θα πρέπει να μετακινήσει άλλα 2 νομίσματα των 10 ρούβλια το καθένα. Η Petya έχει 4 τέτοια νομίσματα, οπότε ο αριθμός των τρόπων είναι ίσος με τον αριθμό των συνδυασμών 4 επί 2:ντο 4 2 .

Μένει να βρούμε πόσες επιλογές υπάρχουν για τη μεταφορά 3 νομισμάτων από τα 6 διαθέσιμα. Αυτή η ποσότητα, όπως και στο προηγούμενο πρόβλημα, είναι ίση με τον αριθμό των συνδυασμών 6 επί 3:ντο 6 3 .

Βρίσκουμε την πιθανότητα:

Στο τελευταίο βήμα, πολλαπλασιάσαμε τον αριθμό των τρόπων επιλογής νομισμάτων των δύο ρουβλίων και τον αριθμό των τρόπων επιλογής κερμάτων δέκα ρουβλίων, καθώς αυτά τα συμβάντα είναι ανεξάρτητα.

Απάντηση

0,6

Έτσι, τα προβλήματα νομισμάτων έχουν τον δικό τους τύπο πιθανότητας. Είναι τόσο απλό και σημαντικό που μπορεί να διατυπωθεί ως θεώρημα.

Θεώρημα

Αφήστε το κέρμα να πεταχτείn μια φορά. Τότε η πιθανότητα τα κεφάλια να προσγειωθούν ακριβώςκ φορές, μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας τον τύπο:

Οπουντο n κ - αριθμός συνδυασμών τωνn στοιχεία απόκ , ο οποίος υπολογίζεται από τον τύπο:

Έτσι, για να λύσετε το πρόβλημα του νομίσματος, χρειάζεστε δύο αριθμούς: τον αριθμό των ρίψεων και τον αριθμό των κεφαλών. Τις περισσότερες φορές, αυτοί οι αριθμοί δίνονται απευθείας στο κείμενο του προβλήματος. Επιπλέον, δεν έχει σημασία τι ακριβώς μετράτε: ουρές ή κεφάλια. Η απάντηση θα είναι η ίδια.

Με την πρώτη ματιά, το θεώρημα φαίνεται πολύ δυσκίνητο. Αλλά μόλις εξασκηθείτε λίγο, δεν θα θέλετε πλέον να επιστρέψετε στον τυπικό αλγόριθμο που περιγράφεται παραπάνω.

Το κέρμα πετιέται τέσσερις φορές. Βρείτε την πιθανότητα να πάρετε κεφάλια ακριβώς τρεις φορές.

Λύση

Σύμφωνα με το πρόβλημα, οι συνολικές ρίψεις ήτανn = 4. Απαιτούμενος αριθμός αετών:κ = 3. Αντικαταστάτηςn Καικ στον τύπο:

Μπορείτε εξίσου εύκολα να μετρήσετε τον αριθμό των κεφαλιών:κ = 4 − 3 = 1. Η απάντηση θα είναι η ίδια.

Απάντηση

0,25

Εργασία [Τετράδιο Εργασίας «Ενιαία Κρατική Εξέταση 2012 στα μαθηματικά. Προβλήματα Β6"]

Το κέρμα πετιέται τρεις φορές. Βρείτε την πιθανότητα ότι δεν θα έχετε ποτέ κεφάλια.

Λύση

Γράφοντας ξανά τους αριθμούςn Καικ . Δεδομένου ότι το κέρμα πετιέται 3 φορές,n = 3. Και αφού δεν πρέπει να υπάρχουν κεφάλια,κ = 0. Το μόνο που μένει είναι να αντικαταστήσουμε τους αριθμούςn Καικ στον τύπο:

Να σας θυμίσω ότι 0! = 1 εξ ορισμού. Να γιατίντο 3 0 = 1.

Απάντηση

0,125

Πρόβλημα [Δοκιμαστική Ενιαία Κρατική Εξέταση στα Μαθηματικά 2012. Ιρκούτσκ]

Σε ένα τυχαίο πείραμα, ένα συμμετρικό νόμισμα ρίχνεται 4 φορές. Βρείτε την πιθανότητα τα κεφάλια να εμφανίζονται περισσότερες φορές από τις ουρές.

Λύση

Για να υπάρχουν περισσότερα κεφάλια από ουρές, πρέπει να εμφανίζονται είτε 3 φορές (τότε θα υπάρχει 1 ουρά) είτε 4 φορές (τότε δεν θα υπάρχουν καθόλου ουρές). Ας βρούμε την πιθανότητα καθενός από αυτά τα γεγονότα.

ΑφήνωΠ 1 - η πιθανότητα οι κεφαλές να εμφανιστούν 3 φορές. Επειταn = 4, κ = 3. Έχουμε:

Τώρα ας βρούμεΠ 2 - η πιθανότητα οι κεφαλές να εμφανιστούν και τις 4 φορές. Σε αυτήν την περίπτωσηn = 4, κ = 4. Έχουμε:

Για να λάβουμε την απάντηση, το μόνο που μένει είναι να αθροίσουμε τις πιθανότητεςΠ 1 ΚαιΠ 2 . Θυμηθείτε: μπορείτε να προσθέσετε πιθανότητες μόνο για συμβάντα που αποκλείονται αμοιβαία. Εχουμε:

Π = Π 1 + Π 2 = 0,25 + 0,0625 = 0,3125

Απάντηση

0,3125

Για να εξοικονομήσετε χρόνο κατά την προετοιμασία με τα παιδιά για την Ενιαία Κρατική Εξέταση και την Κρατική Εξέταση, παρουσιάσαμε λύσεις σε πολλά περισσότερα προβλήματα που μπορείτε να επιλέξετε και να λύσετε με τα παιδιά.

Υλικά από το Κρατικό Ινστιτούτο Εξετάσεων, Ενιαία Κρατική Εξέταση διαφόρων ετών, σχολικά βιβλία και ιστοσελίδες.

IV. Υλικό αναφοράς

Κλασικός ορισμός της πιθανότητας

Τυχαίο συμβάν – οποιοδήποτε γεγονός που μπορεί να συμβεί ή όχι ως αποτέλεσμα κάποιας εμπειρίας.

Πιθανότητα συμβάντος Rίση με την αναλογία του αριθμού των ευνοϊκών αποτελεσμάτων κστον αριθμό των πιθανών αποτελεσμάτων n, δηλ.

p=\frac(k)(n)

Τύποι πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού της θεωρίας πιθανοτήτων

Συμβάν \bar(A) που ονομάζεται απέναντι από το γεγονός Α, αν δεν συνέβαινε το συμβάν Α.

Άθροισμα πιθανοτήτων των αντίθετων γεγονότων ισούται με ένα, δηλ.

P(\bar(A)) + P(A) =1

• Η πιθανότητα ενός γεγονότος δεν μπορεί να είναι μεγαλύτερη από 1.
• Αν η πιθανότητα ενός γεγονότος είναι 0, τότε δεν θα συμβεί.
• Εάν η πιθανότητα ενός γεγονότος είναι 1, τότε θα συμβεί.

Θεώρημα πρόσθεσης πιθανότητας:

«Η πιθανότητα του αθροίσματος δύο ασυμβίβαστων γεγονότων είναι ίση με το άθροισμα των πιθανοτήτων αυτών των γεγονότων».

P(A+B) = P(A) + P(B)

Πιθανότητα ποσάδύο κοινές εκδηλώσειςίσο με το άθροισμα των πιθανοτήτων αυτών των γεγονότων χωρίς να λαμβάνεται υπόψη η από κοινού εμφάνισή τους:

P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB)

Θεώρημα πολλαπλασιασμού πιθανοτήτων

«Η πιθανότητα να συμβούν δύο γεγονότα είναι ίση με το γινόμενο των πιθανοτήτων του ενός από αυτά και την υπό όρους πιθανότητα του άλλου, που υπολογίζεται υπό την προϋπόθεση ότι συνέβη το πρώτο».

P(AB)=P(A)*P(B)

Εκδηλώσεις λέγονται ασύμβατες, αν η εμφάνιση ενός από αυτά αποκλείει την εμφάνιση άλλων. Δηλαδή, μόνο ένα συγκεκριμένο γεγονός μπορεί να συμβεί.

Εκδηλώσεις λέγονται άρθρωση, αν η επέλευση του ενός δεν αποκλείει την επέλευση του άλλου.

Δύο τυχαία γεγονότα Τα Α και Β λέγονται ανεξάρτητος, αν η εμφάνιση του ενός δεν μεταβάλλει την πιθανότητα να συμβεί και του άλλου. Διαφορετικά, τα γεγονότα Α και Β ονομάζονται εξαρτημένα.

Σε ένα εργοστάσιο κεραμικών πλακιδίων, το 5% των πλακιδίων που παράγονται έχουν ελάττωμα. Κατά τον ποιοτικό έλεγχο του προϊόντος, εντοπίζεται μόνο το 40% των ελαττωματικών πλακιδίων. Τα υπόλοιπα πλακάκια αποστέλλονται προς πώληση. Βρείτε την πιθανότητα ένα πλακίδιο που επιλέγεται τυχαία κατά την αγορά να μην έχει ελαττώματα. Στρογγυλοποιήστε την απάντησή σας στο πλησιέστερο εκατοστό.

Λύση

Κατά τον ποιοτικό έλεγχο των προϊόντων, εντοπίζεται το 40% των ελαττωματικών πλακιδίων, τα οποία αποτελούν το 5% των παραγόμενων πλακιδίων και δεν πωλούνται. Αυτό σημαίνει ότι 0,4 · 5% = 2% των παραγόμενων πλακιδίων δεν πωλούνται. Τα υπόλοιπα πλακάκια που παράγονται - 100% - 2% = 98% - βγαίνουν προς πώληση.

100% - 95% των παραγόμενων πλακιδίων δεν έχουν ελαττώματα. Η πιθανότητα το αγορασμένο πλακίδιο να μην έχει ελάττωμα είναι 95%: 98% = \frac(95)(98)\περίπου 0,97

Απάντηση

Κατάσταση

Η πιθανότητα να μην είναι φορτισμένη η μπαταρία είναι 0,15. Ένας πελάτης σε ένα κατάστημα αγοράζει ένα τυχαίο πακέτο που περιέχει δύο από αυτές τις μπαταρίες. Βρείτε την πιθανότητα να φορτιστούν και οι δύο μπαταρίες σε αυτό το πακέτο.

Λύση

Η πιθανότητα να φορτιστεί η μπαταρία είναι 1-0,15 = 0,85. Ας βρούμε την πιθανότητα του συμβάντος «και οι δύο μπαταρίες είναι φορτισμένες». Ας υποδηλώσουμε με Α και Β τα γεγονότα «η πρώτη μπαταρία φορτίζεται» και «η δεύτερη μπαταρία φορτίζεται». Πήραμε P(A) = P(B) = 0,85. Το συμβάν «φορτίζονται και οι δύο μπαταρίες» είναι η τομή των γεγονότων A \cap B, η πιθανότητα του είναι ίση με P(A\cap B) = P(A)\cdot P(B) = 0,85\cdot 0,85 = 0,7225.

Απάντηση

Πηγή: «Μαθηματικά. Προετοιμασία για την Ενιαία Κρατική Εξέταση 2017. Επίπεδο προφίλ." Εκδ. F. F. Lysenko, S. Yu.

Κατάσταση

Η πιθανότητα να επισκευαστεί ένα καινούργιο πλυντήριο με εγγύηση εντός ενός έτους είναι 0,065. Σε μια συγκεκριμένη πόλη πουλήθηκαν 1.200 πλυντήρια ρούχων κατά τη διάρκεια του έτους, εκ των οποίων τα 72 παραδόθηκαν σε συνεργείο εγγύησης. Προσδιορίστε πόσο διαφορετική είναι η σχετική συχνότητα εμφάνισης του συμβάντος «επισκευής εγγύησης» από την πιθανότητα του σε αυτήν την πόλη;

Λύση

Η συχνότητα της εκδήλωσης «το πλυντήριο θα επισκευαστεί με εγγύηση εντός ενός έτους» είναι ίση με \frac(72)(1200) = 0,06.Διαφέρει από την πιθανότητα κατά 0,065-0,06=0,005.

Απάντηση

Πηγή: «Μαθηματικά. Προετοιμασία για την Ενιαία Κρατική Εξέταση 2017. Επίπεδο προφίλ." Εκδ. F. F. Lysenko, S. Yu.

Κατάσταση

Η πιθανότητα το στυλό να είναι ελαττωματικό είναι 0,05. Ένας πελάτης σε ένα κατάστημα αγοράζει μια τυχαία συσκευασία που περιέχει δύο στυλό. Βρείτε την πιθανότητα ότι και τα δύο στυλό σε αυτό το πακέτο θα είναι καλά.

Λύση

Η πιθανότητα η λαβή να είναι σε καλή κατάσταση είναι 1-0,05 = 0,95. Ας βρούμε την πιθανότητα του γεγονότος «και οι δύο λαβές λειτουργούν». Ας υποδηλώσουμε με Α και Β τα γεγονότα «η πρώτη λαβή λειτουργεί» και «η δεύτερη λαβή λειτουργεί». Πήραμε P(A) = P(B) = 0,95. Το συμβάν "και οι δύο λαβές λειτουργούν" είναι η τομή των γεγονότων A\cap B, η πιθανότητα του είναι ίση με P(A\cap B) = P(A)\cdot P(B) = 0,95\cdot 0,95 = 0,9025.

Απάντηση

Πηγή: «Μαθηματικά. Προετοιμασία για την Ενιαία Κρατική Εξέταση 2017. Επίπεδο προφίλ." Εκδ. F. F. Lysenko, S. Yu.

Κατάσταση

Η εικόνα δείχνει έναν λαβύρινθο. Το σκαθάρι σέρνεται στον λαβύρινθο στο σημείο «Είσοδος». Το σκαθάρι δεν μπορεί να γυρίσει και να σέρνεται προς την αντίθετη κατεύθυνση, έτσι σε κάθε διακλάδωση επιλέγει ένα από τα μονοπάτια που δεν έχει ακολουθήσει ακόμα. Με πόση πιθανότητα το σκαθάρι έρχεται στην έξοδο D αν η επιλογή της περαιτέρω διαδρομής είναι τυχαία.

Λύση

Ας τοποθετήσουμε βέλη στις διασταυρώσεις προς τις κατευθύνσεις προς τις οποίες μπορεί να κινηθεί το σκαθάρι (βλ. εικόνα).

Σε κάθε διασταύρωση θα επιλέγουμε μία κατεύθυνση από δύο πιθανές και υποθέτουμε ότι όταν φτάσει στη διασταύρωση το σκαθάρι θα κινηθεί προς την κατεύθυνση που έχουμε επιλέξει.

Για να φτάσει το σκαθάρι στην έξοδο D, είναι απαραίτητο σε κάθε διασταύρωση να επιλέγεται η κατεύθυνση που υποδεικνύεται από τη συμπαγή κόκκινη γραμμή. Συνολικά η επιλογή κατεύθυνσης γίνεται 4 φορές, κάθε φορά ανεξάρτητα από την προηγούμενη επιλογή. Η πιθανότητα να επιλέγεται κάθε φορά το συμπαγές κόκκινο βέλος είναι \frac12\cdot\frac12\cdot\frac12\cdot\frac12= 0,5^4= 0,0625.

Απάντηση

Πηγή: «Μαθηματικά. Προετοιμασία για την Ενιαία Κρατική Εξέταση 2017. Επίπεδο προφίλ." Εκδ. F. F. Lysenko, S. Yu.

Κατάσταση

Υπάρχουν 16 αθλητές στο τμήμα, μεταξύ των οποίων δύο φίλοι - η Olya και η Masha. Οι αθλητές χωρίζονται τυχαία σε 4 ίσες ομάδες. Βρείτε την πιθανότητα η Olya και η Masha να καταλήξουν στην ίδια ομάδα.