En física... no hay lugar para pensamientos confusos...
Realmente entender la naturaleza
Tal o cual fenómeno debe recibir una atención básica.
Leyes a partir de consideraciones de dimensión. E. Fermi

La descripción de un problema particular, la discusión de cuestiones teóricas y experimentales comienza con una descripción cualitativa y una evaluación del efecto que da este trabajo.

Al describir un problema, es necesario, en primer lugar, evaluar el orden de magnitud del efecto esperado, los casos límite simples y la naturaleza de la conexión funcional de las cantidades que describen este fenómeno. Estas preguntas se denominan descripción cualitativa de una situación física.

Uno de los más métodos efectivos Este análisis es el método dimensional.

A continuación se muestran algunas ventajas y aplicaciones del método dimensional:

• evaluación rápida de la escala de los fenómenos en estudio;
• obtención de dependencias cualitativas y funcionales;
• restauración de fórmulas olvidadas en los exámenes;
• completar algunas tareas USE;
• comprobar la corrección de la resolución de problemas.

El análisis dimensional se ha utilizado en física desde la época de Newton. Fue Newton quien formuló el método de dimensiones estrechamente relacionado. principio de similitud (analogía).

Los estudiantes encuentran por primera vez el método dimensional cuando estudian la radiación térmica en un curso de física de 11º grado:

La característica espectral de la radiación térmica de un cuerpo es densidad de luminosidad espectral rv – la energía de la radiación electromagnética emitida por unidad de tiempo desde una unidad de superficie de un cuerpo en un intervalo de frecuencia unitario.

La unidad de densidad espectral de la luminosidad energética es julio por metro cuadrado(1J/m2). La energía de radiación térmica de un cuerpo negro depende de la temperatura y la longitud de onda. La única combinación de estas cantidades con la dimensión J/m 2 es kT/ 2 ( = c/v). Un cálculo exacto realizado por Rayleigh y Jeans en 1900 en el marco de la teoría ondulatoria clásica arrojó el siguiente resultado:

donde k es la constante de Boltzmann.

Como lo demuestra la experiencia, esta expresión concuerda con los datos experimentales sólo en la región de frecuencias suficientemente bajas. Para altas frecuencias, especialmente en la región ultravioleta del espectro, la fórmula de Rayleigh-Jeans es incorrecta: difiere marcadamente del experimento. Los métodos de la física clásica resultaron insuficientes para explicar las características de la radiación del cuerpo negro. De ahí la discrepancia entre los resultados de la teoría ondulatoria clásica y los experimentos de finales del siglo XIX. llamada la “catástrofe ultravioleta”.

Demostremos la aplicación del método dimensional utilizando un ejemplo simple y bien entendido.

Foto 1

Radiación térmica de un cuerpo completamente negro: catástrofe ultravioleta: discrepancia entre la teoría clásica de la radiación térmica y la experiencia.

Imaginemos que un cuerpo de masa m se mueve rectilíneamente bajo la acción de una fuerza constante F. Si la velocidad inicial del cuerpo es cero y la velocidad al final del tramo atravesado del camino de longitud s es igual a v, entonces podemos escribir el teorema sobre la energía cinética: Entre las cantidades F, m, v y s existe una conexión funcional.

Supongamos que se olvida el teorema sobre la energía cinética y entendemos que la relación funcional entre v, F, mys existe y tiene un carácter de ley potencial.

Aquí x, y, z son algunos números. Definámoslos. El signo ~ significa que el lado izquierdo de la fórmula es proporcional al derecho, es decir, donde k es un coeficiente numérico, no tiene unidades de medida y no se determina mediante el método dimensional.

Los lados izquierdo y derecho de la relación (1) tienen las mismas dimensiones. Las dimensiones de las cantidades v, F, m y s son las siguientes: [v] = m/s = ms -1, [F] = H = kgms -2, [m] = kg, [s] = m. (El símbolo [A] denota la dimensión de la cantidad A.) Escribamos la igualdad de dimensiones en los lados izquierdo y derecho de la relación (1):

m c -1 = kg x m x c -2x kg y m Z = kg x+y m x+z c -2x .

No hay ningún kilogramo en el lado izquierdo de la ecuación, por lo que no debería haber ninguno en el derecho.

Esto significa que

A la derecha, los metros están en potencias de x+z, y a la izquierda, en potencias de 1, por lo que

De manera similar, de una comparación de exponentes en segundos se deduce

De las ecuaciones resultantes encontramos los números x, y, z:

x = 1/2, y = -1/2, z = 1/2.

La fórmula final es

Al elevar al cuadrado los lados izquierdo y derecho de esta relación, obtenemos que

La última fórmula es una representación matemática del teorema de la energía cinética, aunque sin coeficiente numérico.

El principio de similitud formulado por Newton es que la relación v 2 /s es directamente proporcional a la relación F/m. Por ejemplo, dos cuerpos con masas diferentes m 1 y m 2; actuaremos sobre ellos con fuerzas diferentes F 1 y F 2, pero de tal forma que las relaciones F 1 / m 1 y F 2 / m 2 serán las mismas. Bajo la influencia de estas fuerzas, los cuerpos comenzarán a moverse. Si las velocidades iniciales son cero, entonces las velocidades adquiridas por los cuerpos en un segmento de trayectoria de longitud s serán iguales. Esta es la ley de similitud, a la que llegamos con la ayuda de la idea de igualdad de dimensiones de los lados derecho e izquierdo de la fórmula, que describe la relación de ley de potencia entre el valor de la velocidad final y los valores. de fuerza, masa y longitud de trayectoria.

El método dimensional se introdujo durante la construcción de los fundamentos de la mecánica clásica, pero su uso efectivo para resolver problemas físicos comenzó a finales del siglo pasado, a principios de nuestro siglo. Gran parte del crédito por promover este método y resolver con él problemas interesantes e importantes pertenece al destacado físico Lord Rayleigh. En 1915 Rayleigh escribió: “ A menudo me sorprende la poca atención que se presta al gran principio de semejanza, incluso por parte de científicos muy eminentes. A menudo sucede que los resultados de una minuciosa investigación se presentan como “leyes” recién descubiertas, que, sin embargo, podrían obtenerse a priori en unos pocos minutos”.

Hoy en día ya no se puede acusar a los físicos de descuidar o prestar insuficiente atención al principio de semejanza y al método de las dimensiones. Consideremos uno de los problemas clásicos de Rayleigh.

Problema de Rayleigh sobre oscilaciones de una pelota sobre una cuerda.

Estire una cuerda entre los puntos A y B. La fuerza de tensión de la cuerda es F. Hay una bola pesada en el medio de esta cuerda en el punto C. La longitud del segmento AC (y, en consecuencia, CB) es igual a 1. La masa M de la pelota es mucho mayor que la masa de la cuerda misma. La cuerda se tira hacia atrás y se suelta. Está bastante claro que la pelota oscilará. Si la amplitud de estas vibraciones x es mucho menor que la longitud de la cuerda, entonces el proceso será armónico.

Determinemos la frecuencia de vibración de la pelota en la cuerda. Sean relacionadas las cantidades , F, M y 1 mediante una ley de potencia:

Los exponentes x, y, z son los números que necesitamos determinar.

Anotemos las dimensiones de las cantidades que nos interesan en el sistema SI:

C -1 , [F] = kgm s -2 , [M] = kg, = m.

Si la fórmula (2) expresa un patrón físico real, entonces las dimensiones de las partes derecha e izquierda de esta fórmula deben coincidir, es decir, se debe cumplir la igualdad.

s -1 = kg x m x c -2x kg y m z = kg x + y m x + z c -2x

El lado izquierdo de esta igualdad no incluye metros ni kilogramos en absoluto, y los segundos se incluyen en potencias de –1. Esto significa que para x, y y z se satisfacen las ecuaciones:

x+y=0, x+z=0, -2x= -1

Resolviendo este sistema encontramos:

x=1/2, y= -1/2, z= -1/2

Por eso,

~F 1/2 M -1/2 1 -1/2

La fórmula exacta para la frecuencia difiere de la encontrada sólo por un factor ( 2 = 2F/(M1)).

Por lo tanto, se obtuvo no solo una estimación cualitativa, sino también cuantitativa de la dependencia de los valores de F, M y 1. En términos del orden de magnitud, la combinación de potencia-ley encontrada da el valor de frecuencia correcto. La estimación siempre es de interés en orden de magnitud. En problemas simples, los coeficientes que no pueden determinarse mediante el método dimensional a menudo pueden considerarse números de orden uno. Esta no es una regla estricta.

Al estudiar ondas, considero la predicción cualitativa de la velocidad del sonido mediante el método de análisis dimensional. Buscamos la velocidad del sonido como la velocidad de propagación de las ondas de compresión y rarefacción en el gas. Los estudiantes no tienen dudas sobre la dependencia de la velocidad del sonido en un gas de la densidad del gas y su presión p.

Buscamos una respuesta en el formulario:

donde C es un factor adimensional, cuyo valor numérico no se puede encontrar mediante el análisis dimensional. Pasando a (1) a la igualdad de dimensiones.

m/s = (kg/m 3) x Pa y,

m/s = (kg/m 3) x (kg m/(s 2 m 2)) y,

m 1 s -1 = kg x m -3x kg y m y c -2y m -2y ,

m 1 s -1 = kg x+y m -3x + y-2y c -2y ,

m 1 s -1 = kg x+y m -3x-y c -2y .

La igualdad de dimensiones en los lados izquierdo y derecho de la igualdad da:

x + y = 0, -3x-y = 1, -2y= -1,

x= -y, -3+x = 1, -2x = 1,

x = -1/2 , y = 1/2 .

Por tanto, la velocidad del sonido en el gas.

La fórmula (2) en C=1 fue obtenida por primera vez por I. Newton. Pero las conclusiones cuantitativas de esta fórmula eran muy complejas.

La determinación experimental de la velocidad del sonido en el aire se llevó a cabo en un trabajo colectivo de miembros de la Academia de Ciencias de París en 1738, en el que se midió el tiempo que tardaba el sonido de un disparo de cañón en recorrer una distancia de 30 km. .

Al repetir este material en el 11º grado, se llama la atención de los estudiantes sobre el hecho de que el resultado (2) se puede obtener para un modelo del proceso isotérmico de propagación del sonido utilizando la ecuación de Mendeleev-Clapeyron y el concepto de densidad:

– velocidad de propagación del sonido.

Habiendo presentado a los estudiantes el método dimensional, les dejé usar este método para derivar la ecuación básica MKT para un gas ideal.

Los estudiantes comprenden que la presión de un gas ideal depende de la masa de las moléculas individuales de un gas ideal, del número de moléculas por unidad de volumen - n (la concentración de moléculas de gas) y de la velocidad de movimiento de las moléculas -.

Conociendo las dimensiones de las cantidades incluidas en esta ecuación, tenemos:

,

,

,

Comparando las dimensiones de los lados izquierdo y derecho de esta igualdad, tenemos:

Por tanto, la ecuación básica de MKT tiene la siguiente forma:

- esto implica

Del triángulo sombreado se puede ver que

Respuesta: B).

Usamos el método de dimensión.

El método dimensional, además de realizar la verificación tradicional de la corrección de la resolución de problemas y realizar algunas tareas USE, ayuda a encontrar dependencias funcionales entre varias cantidades físicas, pero solo para aquellas situaciones en las que estas dependencias son de ley de potencia. Existen muchas dependencias de este tipo en la naturaleza y el método dimensional es un buen asistente para resolver estos problemas.

La esencia del método de análisis de viabilidad de costos se basa en el hecho de que en el proceso de actividad empresarial los costos para cada área específica, así como para los elementos individuales, no tienen el mismo grado de riesgo. Es decir, el grado de riesgo de dos líneas de negocio diferentes de una misma empresa no es el mismo; y el grado de riesgo de los elementos de costo individuales dentro de la misma línea de negocio también varía. Así, por ejemplo, hipotéticamente, dedicarse al negocio del juego es más riesgoso que la producción de pan, y los costes en los que incurre una empresa diversificada para el desarrollo de estas dos áreas de su actividad también diferirán en el grado de riesgo. Incluso si suponemos que el importe de los costes del concepto "alquiler de locales" será el mismo en ambas direcciones, el grado de riesgo seguirá siendo mayor en el negocio del juego. La misma situación persiste con costos en la misma dirección. El grado de riesgo en términos de costos asociados con la compra de materias primas (que pueden no entregarse exactamente a tiempo, su calidad puede no cumplir completamente con los estándares tecnológicos o sus propiedades de consumo pueden perderse parcialmente durante el almacenamiento en la propia empresa). etc.) serán mayores que los costes salariales.

Así, la determinación del grado de riesgo a través de un análisis costo-beneficio se centra en identificar áreas potenciales de riesgo. Este enfoque también es aconsejable desde el punto de vista de que permite identificar “ lugares estrechos» en las actividades de la empresa desde el punto de vista del riesgo, y luego desarrollar formas de eliminarlos.

Los sobrecostos pueden ocurrir bajo la influencia de todo tipo de riesgos que se discutieron anteriormente durante su clasificación.

Habiendo resumido la experiencia mundial y nacional acumulada en el análisis del grado de riesgo utilizando el método de análisis de viabilidad de costos, podemos concluir que en este enfoque es necesario utilizar una gradación de costos para las áreas de riesgo.

Para analizar la viabilidad de los costos, el estado de cada uno de los elementos de costo debe dividirse en áreas de riesgo (Tabla 4.1), que representan una zona de pérdidas generales, dentro de cuyos límites las pérdidas específicas no exceden el valor límite de lo establecido. nivel de riesgo:

• 1) región de absoluta estabilidad;
• 2) zona de estabilidad normal;
• 3) región de estado inestable:
• 4) área de condición crítica;
• 5) zona de crisis.

En el ámbito de la sostenibilidad absoluta, el grado de riesgo para el elemento de coste considerado corresponde a un riesgo cero. Esta área Se caracteriza por la ausencia de pérdidas al realizar actividades comerciales con la recepción garantizada de ganancias planificadas, cuyo tamaño es teóricamente ilimitado. El elemento de coste, que se encuentra en la zona de estabilidad normal, se caracteriza por un grado mínimo de riesgo. Para esta área, las pérdidas máximas en las que puede incurrir una entidad comercial no deben exceder los límites de la ganancia neta planificada (es decir, la parte que permanece en la entidad comercial después de impuestos y todos los demás pagos que se realizan en esta empresa a partir de las ganancias). , por ejemplo, pago de dividendos). Así, el grado mínimo de riesgo asegura que la empresa “cubra” todos sus costos y reciba esa parte del beneficio que le permite cubrir todos los impuestos.

Como regla general, en una economía de mercado, como se mostró anteriormente, la dirección que tiene el grado mínimo de riesgo se debe al hecho de que el Estado es su principal contraparte. Esto puede realizarse de diversas formas, de las cuales las principales son: realizar transacciones con valores gubernamentales o municipales, participar en la ejecución de trabajos financiados con cargo a presupuestos estatales o municipales, etc.

El área de un estado inestable se caracteriza por un mayor riesgo, mientras que el nivel de pérdidas no excede el tamaño de la ganancia estimada (es decir, la parte de la ganancia que queda en la empresa después de todos los pagos al presupuesto). pago de intereses del préstamo, multas y sanciones). Así, con tal grado de riesgo, una entidad comercial corre el riesgo de que, en el peor de los casos, recibirá una ganancia cuyo monto será menor que su nivel calculado, pero al mismo tiempo será posible cubrir todos sus costos. .

Dentro de los límites del área del estado crítico, que corresponde a un grado crítico de riesgo, las pérdidas son posibles dentro de los límites de la ganancia bruta (es decir, la cantidad total de ganancias recibidas por la empresa antes de que se realicen todas las deducciones y deducciones). Este riesgo no es deseable, porque en este caso la empresa corre el riesgo de perder no sólo beneficios, sino también no cubrir completamente sus costes.

Riesgo inaceptable, que corresponde al área de crisis, significa la aceptación por parte de una entidad comercial de tal grado de riesgo que implica la posibilidad de no cubrir todos los costos de la empresa asociados a esta área de su actividad. .

Tabla 4.1 - Áreas de actividad de la empresa.

Después de que el coeficiente b se calcula con base en datos históricos, cada elemento de costo. Se analiza por separado para su identificación por áreas de riesgo y pérdidas máximas. En este caso, el grado de riesgo de toda la línea de actividad empresarial corresponderá al valor máximo de riesgo para los elementos de costo. La ventaja de este método es que conociendo el elemento de costo para el cual el riesgo es máximo, es posible encontrar formas de reducirlo (por ejemplo, si el punto máximo de riesgo recae en los costos asociados con el alquiler de un local, entonces puede negarse a alquilarlo y comprarlo, etc.)

La principal desventaja de este enfoque para determinar el grado de riesgo, así como del método estadístico, es que la empresa no analiza las fuentes de riesgo, sino que acepta el riesgo como un valor holístico, ignorando así sus múltiples componentes.

Al resolver problemas de física de cualquier nivel, es extremadamente importante determinar el método o métodos más apropiados y solo entonces pasar a la implementación "técnica". Maestros virtuosos (usamos deliberadamente esta expresión, ya que consideramos que la lectura de una obra musical por parte de músicos improvisadores y maestros virtuosos, que han encontrado sus propios enfoques originales en la interpretación e interpretación de las leyes físicas, es en muchos aspectos similar) dedican mucho tiempo para una discusión preliminar del problema. En otras palabras, discutir un método muchas veces no es menos importante que resolver un problema, ya que existe una especie de intercambio de técnicas, contacto varios puntos visión, que, de hecho, es el objetivo del proceso de aprendizaje. El proceso de preparación para resolver un problema es en muchos aspectos similar al proceso de preparación de un actor para una actuación. La discusión de los roles, los personajes, el pensamiento sobre las entonaciones, las repeticiones musicales y las decoraciones artísticas son los elementos más importantes de la inmersión del actor en el papel. No es casualidad que muchos trabajadores del teatro famosos valoren el proceso preparatorio y recuerden la atmósfera de los ensayos y sus propios descubrimientos. Durante el proceso de enseñanza, el docente utiliza varios métodos o "espectro de métodos". Uno de los métodos de solución generales es la resolución de problemas mediante el método dimensional. La esencia de este método es que el patrón deseado se puede representar como un producto de funciones de potencia de cantidades físicas de las que depende la característica deseada. Un punto importante la solución es encontrar estas cantidades. El análisis de las dimensiones de los lados izquierdo y derecho de la relación nos permite determinar la dependencia analítica hasta un factor constante.

Consideremos, por ejemplo, de qué puede depender la presión en un gas. Por la experiencia cotidiana sabemos que la presión es función de la temperatura (al aumentar la temperatura, aumentamos la presión), de la concentración (la presión de un gas aumentará si, sin cambiar su temperatura, colocamos más moléculas en un volumen determinado). Es natural suponer que la presión del gas depende de la masa de las moléculas y de su velocidad. Está claro que cuanto mayor sea la masa de las moléculas, mayor será la presión, siendo otros valores constantes. Obviamente, a medida que aumenta la velocidad de las moléculas, aumentará la presión. (¡Tenga en cuenta que todo el razonamiento anterior sugiere que todos los exponentes en la fórmula final deben ser positivos!) Se puede suponer que la presión de un gas depende de su volumen, pero si mantenemos una concentración constante de moléculas, entonces la presión no depende de su volumen. No depende del volumen. De hecho, si ponemos en contacto dos recipientes con gases idénticos de la misma concentración, velocidad molecular, temperatura, etc., al quitar la partición que separa los gases, no cambiaremos la presión. Así, al cambiar el volumen, pero dejando la concentración y otros parámetros sin cambios, no cambiamos la presión. En otras palabras, no tendremos que introducir volumen en nuestro razonamiento. Parecería que tenemos derecho a construir una relación funcional, pero ¿quizás hemos introducido información redundante? El caso es que la temperatura es una característica energética de los cuerpos, por lo que está relacionada con la energía de las moléculas, es decir. Es función de la masa y la velocidad de las moléculas que forman el cuerpo. Por lo tanto, al incluir en nuestros supuestos la dependencia de la presión de la concentración, velocidad y masa de las moléculas, ya nos hemos "ocupado" de todas las dependencias posibles, que también pueden incluir la temperatura. En otras palabras, la dependencia funcional deseada se puede escribir como:

Aquí pag- presion del gas, t 0 – masa molecular, norte– concentración, u – velocidad de la molécula.

Imaginemos presión, masa, concentración, velocidad en las cantidades básicas del sistema internacional:

La dependencia (1) en el lenguaje de las dimensiones tiene la forma:

Comparando las dimensiones de los lados izquierdo y derecho se obtiene un sistema de ecuaciones.

Resolviendo (4), obtenemos A = 1; b= 1; Con= 2. La presión del gas ahora se puede escribir como

(5)

Prestemos atención al hecho de que el coeficiente de proporcionalidad no se puede determinar mediante el método dimensional, pero, sin embargo, hemos obtenido una buena aproximación a la relación conocida (la ecuación básica de la teoría cinética molecular).

Consideremos varios problemas, usando el ejemplo de su solución para demostrar la esencia del método dimensional.

Problema 1. Evaluar la expresión para el período de oscilación de un péndulo matemático mediante análisis dimensional. Supongamos que el período de oscilación del péndulo depende de su longitud, la aceleración de la gravedad y la masa de la carga (!):

(6)

Imaginemos todos los valores anteriores:

Teniendo en cuenta (7), reescribimos el patrón deseado con la expresión

(8)

(9)

Ahora es fácil escribir el sistema de ecuaciones:

De este modo, ; Con = 0.

(11)

Tenga en cuenta que "la masa tiene dimensión cero", es decir El período de oscilación de un péndulo matemático no depende de la masa:

Problema 2. Los experimentos han demostrado que la velocidad del sonido en los gases depende de la presión y la densidad del medio. Compara las velocidades del sonido en un gas para dos estados. .

A primera vista parece que hay que tener en cuenta la temperatura del gas, ya que es bien sabido que la velocidad del sonido depende de la temperatura. Sin embargo (compárese con el argumento anterior), la presión se puede expresar como una función de la densidad (concentración) y la temperatura del medio. Por tanto, una de las cantidades (presión, densidad, temperatura) es “extra”. Dado que según las condiciones del problema se nos pide comparar las velocidades de diferentes presiones y densidades, es razonable excluir de la consideración la temperatura. Tenga en cuenta que si tuviéramos que hacer una comparación para diferentes presiones y temperaturas, excluiríamos la densidad.

La velocidad del sonido bajo las condiciones de este problema se puede representar.

Reescribimos la relación (13) como

(14)

De (14) tenemos

La solución (15) da .

Los resultados experimentales tienen la siguiente relación funcional:

La velocidad del sonido para dos estados es:

(17)

De (17) obtenemos la relación de velocidades

Problema 3. Se enrolla una cuerda alrededor de un poste cilíndrico. Un extremo de la cuerda se tira con fuerza. F. Para evitar que la cuerda se deslice a lo largo del poste, cuando se enrolla solo una vuelta en el poste, el segundo extremo se sujeta con fuerza. F. ¿Con qué fuerza se debe sujetar este extremo de la cuerda si hay una norte vueltas? ¿Cómo cambiará la fuerza? F, si eliges un pilar con el doble de radio? (Fuerza F no depende del grosor de la cuerda.)

Está claro que la fuerza F en este caso puede depender sólo de la fuerza externa aplicada F, coeficiente de fricción y diámetro de la columna. La relación matemática se puede representar como

(19)

Dado que el coeficiente de fricción es una cantidad adimensional, reescribimos (19) en la forma

porque A = 1; Con= 0 (a es el coeficiente de proporcionalidad asociado a μ). Para el segundo, tercero,..., PAG del octavo turno herido escribimos expresiones similares:

(21)

Sustituyendo α de (20) en (21), obtenemos:

Es bien sabido que el "método de las dimensiones" se utiliza a menudo con éxito en hidrodinámica y aerodinámica. En algunos casos, permite “evaluar la solución” con bastante rapidez y con un buen grado de confiabilidad.

Está absolutamente claro que en este caso la fuerza de resistencia puede depender de la densidad del líquido, la velocidad del flujo y el área de la sección transversal del cuerpo:

(23)

Habiendo realizado las transformaciones apropiadas, encontramos que

(24)

Como regla general, la relación (24) se presenta en la forma

(25)

Dónde . Coeficiente Con caracteriza la racionalización de los cuerpos y toma diferentes valores para los cuerpos: para una pelota Con= 0,2 – 0,4, para un disco redondo Con= 1,1 – 1,2, para un cuerpo en forma de gota Con» 0,04. (Yavorsky B.M., Pinsky A.A. Fundamentos de física. - T. 1. - M.: Nauka, 1974.)

Hasta ahora hemos visto ejemplos en los que el coeficiente de proporcionalidad seguía siendo una cantidad adimensional, pero esto no significa que debamos seguirlo siempre. Es muy posible hacer que el coeficiente de proporcionalidad sea "dimensional", dependiendo del tamaño de las cantidades principales. Por ejemplo, es bastante apropiado representar la constante gravitacional. . En otras palabras, la presencia de dimensión en la constante gravitacional significa que su valor numérico depende de la elección de cantidades básicas. (Aquí nos parece apropiado hacer un enlace al artículo de D.V. Sivukhin “Sobre sistema internacional cantidades físicas", UFN, 129, 335, 1975.)

Problema 5. Determinar la energía de interacción gravitacional de dos masas puntuales. t 1 y t 2 ubicados a distancia r de cada uno.

Además del método propuesto de análisis dimensional, complementaremos la solución al problema. principio de simetría cantidades entrantes. Las consideraciones de simetría dan razones para creer que la energía de interacción debería depender de t 1 y t 2 de la misma manera, es decir deben aparecer en la expresión final en el mismo grado:

(26)

Es obvio que

Analizando la relación (26), encontramos que

A = 1; b= 1; Con = –1,

(28)

Tarea 6. Encuentra la fuerza de interacción entre dos cargas puntuales. q 1 y q 2 ubicados a distancia r.

Podemos usar la simetría aquí, pero si no queremos hacer suposiciones sobre la simetría o no estamos seguros de dicha simetría, entonces podemos usar otros métodos. Este artículo está escrito para mostrar varios métodos, por lo que resolveremos el problema de una manera diferente. La analogía con el problema anterior es obvia, pero en este caso puedes utilizar el principio de encontrar cantidades equivalentes. Intentemos determinar el valor equivalente: tensión. campo eléctrico cargar q 1 en el lugar de carga q 2. Está claro que la fuerza requerida es el producto q 2 a la intensidad de campo encontrada. Por tanto, asumiremos la dependencia de la tensión de los valores deseados en la forma:

Imaginemos todo en unidades básicas:

Habiendo completado todas las transformaciones, obtenemos un sistema de ecuaciones.

De este modo, A = –1; b= 1; Con= –2, y la expresión para la tensión toma la forma

La fuerza de interacción deseada se puede representar mediante la expresión

(33)

En la relación (33) no existe el coeficiente adimensional 4π, que se introdujo por razones históricas.

Tarea 7. Determinar la intensidad del campo gravitacional de un cilindro infinito de radio. r 0 y densidad r a distancia R (R > r 0) desde el eje del cilindro.

Porque no podemos hacer suposiciones sobre la igualdad. r 0 y R, entonces es bastante difícil resolver este problema por el método dimensional sin involucrar otras consideraciones. Intentemos comprender la esencia física del parámetro r. Caracteriza la densidad de distribución de la masa que crea la intensidad del campo que nos interesa. Si el cilindro se comprime, dejando la masa dentro del cilindro sin cambios, entonces la intensidad del campo (a una distancia fija R > r 0) será el mismo. En otras palabras, la densidad lineal es una característica más importante, por lo que es aplicable el método de reemplazo variable. Imaginemos. Ahora s es una nueva variable en el problema propuesto, con:

a. Las velocidades horizontal y vertical y la aceleración gravitacional toman la forma, respectivamente:

Construyamos una estructura matemática para el rango de vuelo y la altitud:

(39)

Analizando la expresión (39), obtenemos ahora

(40)

(41)

Este método es más complejo, pero funciona bien si es posible distinguir entre cantidades medidas por la misma unidad de medida. Por ejemplo: masa inercial y gravitacional (kilogramos “inerciales” y “gravitacionales”), distancia vertical y horizontal (metros “verticales” y “horizontales”), intensidad de corriente en uno y otro circuito, etc.

Resumiendo todo lo anterior, observamos:

1. El método dimensional se puede utilizar si la cantidad deseada se puede representar como una función de potencia.

2. El método dimensional permite resolver el problema cualitativamente y obtener una respuesta precisa a un coeficiente.

3. En algunos casos, el método dimensional es la única forma de resolver el problema y al menos estimar la respuesta.

4. El análisis dimensional para la resolución de problemas se utiliza ampliamente en la investigación científica.

5. Resolver problemas utilizando el método dimensional es un método adicional o auxiliar que le permite comprender mejor la interacción de cantidades y su influencia entre sí.

Conceptos básicos de la teoría del modelado.

El modelado es un método para estudiar experimentalmente un modelo de un fenómeno en lugar de un fenómeno natural. El modelo se elige de modo que los resultados experimentales puedan extenderse a un fenómeno natural.

Dejemos que se modele el campo de cantidad. w. Luego, durante el modelado preciso en puntos similares del modelo y del objeto a escala real, se debe cumplir la condición

¿Dónde está la escala de simulación?

En el caso del modelado aproximado, obtenemos

La relación se llama grado de distorsión.

Si el grado de distorsión no excede la precisión de la medición, entonces el modelado aproximado no difiere del exacto. Es imposible asegurarse de antemano de que el valor no supere un determinado valor predeterminado, ya que en la mayoría de los casos ni siquiera se puede determinar de antemano.

Método de analogías

Si dos fenómenos físicos de diferente naturaleza física se describen mediante ecuaciones idénticas y condiciones de unicidad (de frontera o, en el caso estacionario, condiciones de frontera) presentadas en forma adimensional, entonces los fenómenos se denominan análogos. En las mismas condiciones, los fenómenos de la misma naturaleza física se denominan similares.

A pesar de que fenómenos similares tienen diferentes naturalezas físicas, pertenecen a un caso individual generalizado. Esta circunstancia hizo posible crear un método de analogías muy conveniente para estudiar los fenómenos físicos. Su esencia es la siguiente: no se examina el fenómeno en estudio, para el cual es difícil o imposible medir las cantidades requeridas, sino un fenómeno especialmente seleccionado similar al que se está estudiando. Como ejemplo, consideremos la analogía electrotérmica. En este caso, el fenómeno que se estudia es un campo de temperatura estacionario y su analogía es un campo de potencial eléctrico estacionario.

Ecuación térmica

(9.3)

¿Dónde está la temperatura absoluta?

y la ecuación del potencial eléctrico

(9.4)

donde el potencial eléctrico es similar. En forma adimensional, estas ecuaciones serán idénticas.

Si se crean condiciones límite para el potencial similares a las de la temperatura, entonces en la forma adimensional también serán idénticas.

La analogía electrotérmica se utiliza ampliamente en el estudio de los procesos de conductividad térmica. Con este método se midieron, por ejemplo, los campos de temperatura de los álabes de las turbinas de gas.

Análisis dimensional

A veces es necesario estudiar procesos que aún no están descritos mediante ecuaciones diferenciales. La única forma de estudiar es experimentar. Es aconsejable presentar los resultados del experimento de forma generalizada, pero para ello es necesario poder encontrar complejos adimensionales característicos de dicho proceso.

El análisis dimensional es un método para componer complejos adimensionales en condiciones donde el proceso en estudio aún no ha sido descrito mediante ecuaciones diferenciales.

Todas las cantidades físicas se pueden dividir en primarias y secundarias. Para los procesos de transferencia de calor, se suelen elegir como primarios los siguientes: longitud L, masa metro, tiempo t, cantidad de calor q temperatura excesiva . Entonces, las cantidades secundarias serán cantidades tales como el coeficiente de transferencia de calor, la difusividad térmica. a etcétera.

Las fórmulas para la dimensión de cantidades secundarias tienen la forma de monomios de potencia. Por ejemplo, la fórmula dimensional para el coeficiente de transferencia de calor tiene la forma

(9.5)

Dónde q-cantidad de calor.

Que se conozcan todas las cantidades físicas esenciales para el proceso que se estudia. Necesitamos encontrar complejos adimensionales.

Compongamos un producto a partir de fórmulas de dimensiones de todas las cantidades físicas esenciales para el proceso en algunos grados aún indeterminados; obviamente, será un monomio de potencia (para el proceso). Supongamos que su dimensión (del monomio de potencia) es igual a cero, es decir, se han reducido los exponentes de las potencias de las cantidades primarias incluidas en la fórmula dimensional, entonces se puede representar el monomio de potencia (para el proceso). en forma de producto de complejos adimensionales de cantidades dimensionales. Esto significa que si componemos un producto a partir de fórmulas de dimensiones que son esenciales para procesos de cantidades físicas en potencias indefinidas, entonces a partir de la condición de que la suma de los exponentes de las potencias de las cantidades primarias de este monomio de potencia sea igual a cero, podemos determinar los complejos adimensionales requeridos.

Demostremos esta operación usando el ejemplo de un proceso periódico de conducción térmica en un cuerpo sólido lavado con un refrigerante líquido. Supondremos que se desconocen las ecuaciones diferenciales del proceso considerado. Necesitamos encontrar complejos adimensionales.

Las cantidades físicas esenciales para el proceso en estudio serán las siguientes: característica tamaño yo(m), conductividad térmica de un sólido, (J/(m K)), calor específico de un sólido Con(J/(kg K)), densidad del cuerpo sólido (kg/m 3), coeficiente de transferencia de calor (transferencia de calor) (J/m 2 K)), período de tiempo , (c), exceso de temperatura característico (K). Construyamos a partir de estas cantidades un monomio de potencia de la forma

El exponente de una cantidad primaria se llama dimensión de la cantidad secundaria en relación con la cantidad primaria dada.

Reemplacémoslo con cantidades físicas (excepto P) sus fórmulas de dimensión, como resultado obtenemos

En este caso, los exponentes tienen valores en los que q cae fuera de la ecuación.

Igualemos los exponentes del monomio a cero:

por longitud

a – b - 3i - 2k = 0; (9.8)

por la cantidad de calor q

0; (9.9)

para el tiempo

para temperatura

para masa metro

En total hay siete cantidades significativas, hay cinco ecuaciones para determinar los indicadores, lo que significa solo dos indicadores, por ejemplo, b y k puede elegirse arbitrariamente.

Expresemos todos los exponentes mediante b Y k. Como resultado obtenemos:

de (8.8), (8.9), (8.12)

f = -b - k; (9.14)

r=b+k; (9.15)

de (8.11) y (8.9)

norte = segundo + f + k = segundo +(-b–k) + k = 0; (9.16)

de (8.12) y (8.9)

yo = f = -b -k. (9.17)

Ahora el monomio se puede representar en la forma

Dado que los indicadores b Y k se puede elegir arbitrariamente, supongamos:

1. al mismo tiempo escribimos

El artículo analiza la teoría del método dimensional y la aplicación de este método en física. Se ha aclarado la definición del método dimensional. Se enumeran las capacidades de este método. Utilizando la teoría dimensional, es posible obtener conclusiones particularmente valiosas al considerar fenómenos que dependen de una gran cantidad de parámetros, pero al mismo tiempo de tal manera que algunos de estos parámetros en ciertos casos se vuelven insignificantes. En el método considerado, el patrón deseado se puede representar como un producto de funciones de potencia de cantidades físicas de las que depende la característica deseada. El método de la teoría dimensional juega un papel particularmente importante en el modelado de diversos fenómenos. Por tanto, el propósito del análisis dimensional es obtener cierta información sobre las relaciones que existen entre cantidades mensurables asociadas con diversos fenómenos.

dimensión

método dimensional

cantidad física

1. Alekseevnina A.K. De los conceptos físicos a la cultura del habla // Investigación fundamental. – 2014. – N° 6-4. – págs. 807-811.

2. Brook Yu.M., Stasenko A.L. Cómo los físicos hacen estimaciones: el método de dimensiones y órdenes de cantidades físicas // Sat. “Sobre la física moderna - al profesor”, ed. “Conocimiento”, Moscú, 1975. – P. 54–131.

3. Vlasov A.D., Murin B.P. Unidades de cantidades físicas en ciencia y tecnología. – M.: Energoatomizdat, 1990. – 27 p.

Cada día nos enfrentamos diferentes dimensiones. Para no llegar tarde, ponemos una alarma (fijamos la hora), controlamos nuestra dieta (pesamos los alimentos, contamos calorías). Las unidades de medida son familiares para todos, por ejemplo, la velocidad de movimiento se mide en el sistema SI en m/s, y en otro, en km/h. Las unidades de medida fueron inventadas por las personas; históricamente, esto está asociado con el desarrollo de la sociedad, el proceso científico y tecnológico, el comercio, etc.

En ciencia, los patrones, es decir, las ecuaciones para la conexión de una cantidad física con otra, deben analizarse no con la ayuda de unidades que dependen completamente de una persona, sino con la ayuda de algunos otros conceptos independientes de una persona. Porque los patrones naturales en sí mismos no dependen de los humanos.

Las ecuaciones de conexión entre cantidades físicas se analizan no con la ayuda de unidades de medida, sino con la ayuda de algunos otros conceptos que son inequívocos para la misma cantidad. Para ello se introdujo el concepto de “dimensión”. La dimensión es una expresión (sin coeficientes numéricos) de la dependencia de una cantidad de las cantidades básicas del sistema, en forma de producto de potencias de factores correspondientes a las cantidades básicas. Cada dimensión tiene su propio símbolo de designación y el orden de su disposición está estrictamente regulado. Por ejemplo, el volumen de cualquier cuerpo se denomina L3, la velocidad del movimiento mecánico del cuerpo es LT-1.

El hecho de que las relaciones físicas sean de naturaleza escalar, vectorial o tensorial refleja la propiedad de invariancia de las leyes físicas con respecto al sistema de coordenadas.

Por otro lado, para fijar los valores de cualquier cantidad física es necesario fijar sus unidades de medida y, en general, un sistema de unidades de medida. Obviamente, el significado de las relaciones físicas no debería depender de la elección del sistema de unidades de medida.

En este caso, no es necesario especificar una unidad de medida estrictamente especial para cada cantidad física, ya que Las definiciones y relaciones físicas permiten expresar las dimensiones de algunas cantidades físicas en términos de otras.

Por ejemplo, la definición de velocidad permite expresar la dimensión de la velocidad v = ds/dt a través de las dimensiones del desplazamiento ds y el tiempo dt.

En cualquier sistema de unidades se introducen las unidades de medida básicas. Se introducen a partir de la experiencia en el uso de estándares. Por ejemplo, en el SI las unidades básicas son metro, segundo, kilogramo, amperio, kelvin, mol y candela.

La expresión de una unidad de medida arbitraria a través de las unidades de medida básicas se llama dimensión. Para cada cantidad básica, se introduce una designación: L - longitud, M - masa, T-tiempo, etc.

Cualquier dimensión arbitraria se indica entre corchetes del valor correspondiente. Por ejemplo, [v] es la dimensión de la velocidad, [E] es la dimensión de la energía, etc.

Fórmula de dimensión. En la teoría de las dimensiones, está demostrado que la dimensión de cualquier cantidad está representada por monomios de potencia de la forma [N] = LlTtMm... y se llama fórmula de dimensión. A veces, en las fórmulas dimensionales no se utilizan los símbolos de cantidades básicas, sino sus unidades de medida [v] = ms-1, [E] = kg m2s2, etc.

El método dimensional es uno de los métodos de cálculo más interesantes. Su esencia radica en la capacidad de restablecer diversas relaciones entre cantidades físicas. Ventajas: evaluación rápida de la escala de los fenómenos en estudio; obtención de dependencias cualitativas y funcionales; recuperación de fórmulas olvidadas en exámenes, Examen Estatal Unificado. Además de realizar tareas especiales utilizando el método de las dimensiones, contribuye al desarrollo del pensamiento y la cultura del habla.

El método dimensional se basa en compilar una lista de cantidades físicas esenciales que determinan el proceso en un problema determinado. Esto sólo se puede hacer con una comprensión consciente y profunda, así como con un enfoque exploratorio y creativo para analizar la situación física. Esto significa que el uso del método dimensional contribuye al desarrollo del pensamiento de los estudiantes en las lecciones de física. La mayoría de los problemas del curso de física escolar son relativamente simples desde el punto de vista del método considerado, lo que facilita enormemente su uso en la enseñanza.

Consideremos algunas ventajas y aplicaciones del método dimensional:

Evaluación rápida de la escala de los fenómenos en estudio;

Obtención de dependencias cualitativas y funcionales;

Recuperar fórmulas olvidadas en los exámenes;

Completar algunas tareas de USE;

Comprobar la corrección de la resolución de problemas.

El método dimensional es un método común y relativamente simple en la ciencia física moderna. Te permite comprobar con menos esfuerzo y tiempo:

1) corrección de la solución del problema;

2) establecer una relación funcional entre las cantidades físicas que caracterizan este proceso;

3) estimar el resultado numérico esperado. Además, el profesor de física tiene la oportunidad de:

a) encuestar a un mayor número de estudiantes durante la lección;

b) conocer el conocimiento de fórmulas y unidades de medida de cantidades físicas;

c) ahorrar tiempo al explicar material nuevo. El uso del método de dimensiones en las aulas estimulará un estudio más profundo del tema, ampliará los horizontes de los estudiantes y fortalecerá las conexiones interdisciplinarias.

Existe un procedimiento matemático extremadamente útil en física llamado análisis dimensional.

Para configurar y procesar correctamente experimentos cuyos resultados permitan establecer patrones generales y puedan aplicarse a casos en los que el experimento no se realizó directamente, es necesario profundizar en la esencia del tema en estudio y dar un análisis cualitativo general.

La posibilidad de un análisis teórico cualitativo preliminar de este tipo y la selección de un sistema para definir cantidades adimensionales la proporciona la teoría de la dimensión, que aporta muchos beneficios tanto en la teoría como en la práctica. Todos los resultados obtenidos utilizando esta teoría se obtienen siempre de forma muy sencilla, elemental y casi sin dificultad. Pero la aplicación de esta teoría a nuevos problemas requiere experiencia y comprensión de la esencia del fenómeno.

Cada ecuación en física expresa una relación que existe objetivamente en la naturaleza, independientemente de la voluntad de quien escribe esta ecuación. Y, por supuesto, ambos lados de la ecuación deben expresarse en cantidades medidas en las mismas unidades.

El análisis dimensional se utiliza mucho en física para analizar ecuaciones que no son tan simples como F = ma y sobre las cuales existe duda sobre si son correctas. Si las potencias de al menos una dimensión no coincidieran, esto significaría una garantía del cien por cien de que la ecuación es incorrecta.

Al resolver problemas y, en consecuencia, pruebas. gran importancia tiene control sobre el establecimiento de las dimensiones de las cantidades incluidas como términos en las fórmulas de cálculo. Es bastante obvio que una expresión como “3m-2kg” no tiene sentido, por lo que si como resultado de la solución aparecen términos que tienen diferentes dimensiones, entonces esto es una clara señal de que se cometió un error (la mayoría de las veces es de carácter aritmético). Entendiendo esto, es necesario recurrir periódicamente al análisis dimensional a la hora de resolver una prueba o problema.

Los beneficios de utilizar dimensiones no se limitan al procedimiento de análisis dimensional. El método dimensional también se utiliza para sistematizar cantidades físicas.

Solo hay que recordar que la dimensión a la hora de sistematizar cantidades físicas sigue siendo un concepto auxiliar. Ayuda a resolver el problema, pero no es posible resolverlo utilizando dimensiones únicamente. Y no vale la pena esforzarse por adoptar ese enfoque. El problema de sistematizar cantidades físicas se resuelve únicamente comparando las ecuaciones definitorias, y el uso de dimensiones le da cierta claridad a esta solución.

A su vez, las cantidades físicas pueden ser dimensionales y adimensionales. Las cantidades cuyo valor numérico depende de escalas aceptadas, es decir, del sistema de unidades de medida, se denominan cantidades dimensionales o nombradas, por ejemplo: longitud, tiempo, fuerza, energía, momento de fuerza, etc. Cantidades cuyo valor numérico no dependen del sistema utilizado, las unidades de medida se denominan cantidades adimensionales o abstractas, por ejemplo: la relación entre dos longitudes, la relación entre el cuadrado de una longitud y un área, la relación entre energía y un momento de fuerza, etc. Este concepto es condicional y, por lo tanto, algunas cantidades pueden considerarse en algunos casos como dimensionales y en otros, como adimensionales.

Varias cantidades físicas están interconectadas por ciertas relaciones. Por tanto, si algunas de ellas se toman como básicas y se les establecen unas unidades de medida, entonces las unidades de medida de las cantidades restantes se expresarán de cierta forma a través de las unidades de medida de las cantidades básicas. Las unidades de medida adoptadas para las cantidades básicas se denominan básicas o primarias, y el resto, derivadas o secundarias.

Actualmente, los sistemas físicos y técnicos de unidades de medida se utilizan ampliamente. En el sistema físico, las unidades de medida básicas son el centímetro, gramo-masa y segundo (sistema CGS),

El método dimensional funciona en una gama muy amplia de órdenes de magnitud, permite estimar el tamaño del Universo y las características del núcleo atómico, penetrar en las estrellas y encontrar errores en escritores de ciencia ficción, estudiar ondas en la superficie de un hacer charcos y contar la cantidad de explosivos al construir túneles en las montañas.

El principal beneficio de la teoría dimensional está asociado con la posibilidad de estudiar las leyes físicas en forma adimensional, independientemente de la elección de los sistemas de unidades de medida. Los resultados del análisis del problema en forma adimensional son inmediatamente aplicables a toda una clase de fenómenos.

Resumiendo todo lo anterior, podemos sacar las siguientes conclusiones:

1. El método dimensional se puede utilizar si la cantidad deseada se puede representar como una función de potencia.

2. El método dimensional le permite resolver cualitativamente el problema y obtener una respuesta precisa a un coeficiente numérico.

3. En algunos casos, el método dimensional es la única forma de resolver el problema y al menos estimar la respuesta.

4. Resolver problemas utilizando el método dimensional es un método adicional o auxiliar que le permite comprender mejor la interacción de cantidades y su influencia entre sí.

5. El método dimensional es matemáticamente muy sencillo.

Este método requiere atención especial. Un estudio más específico y detallado, con el objetivo de introducir este método en el curso de física escolar, para el uso consciente y decidido del método de las dimensiones en la resolución de problemas asignados a los estudiantes.

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