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| Relaciones geométricas en un triángulo rectángulo. Triángulo rectángulo y sus propiedades. |
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Resolver problemas geométricos requiere una gran cantidad de conocimientos. Una de las definiciones fundamentales de esta ciencia es un triángulo rectángulo. Este concepto significa que consta de tres ángulos y lados, con uno de los ángulos midiendo 90 grados. Los lados que forman un ángulo recto se llaman catetos, y el tercer lado, que es opuesto a él, se llama hipotenusa. Si los catetos de una figura así son iguales, se llama triángulo rectángulo isósceles. En este caso hay pertenencia a dos, lo que significa que se observan las propiedades de ambos grupos. Recordemos que los ángulos en la base de un triángulo isósceles son absolutamente siempre iguales, por lo que los ángulos agudos de dicha figura incluirán 45 grados. La presencia de una de las siguientes propiedades nos permite afirmar que un triángulo rectángulo es igual a otro:
El área de un triángulo rectángulo se calcula fácilmente utilizando fórmulas estándar y como un valor igual a la mitad del producto de sus catetos. En un triángulo rectángulo se observan las siguientes relaciones:
Lo interesante es que no importa cuál sea el triángulo rectángulo, estas propiedades siempre se respetan. Teorema de pitágoras Además de las propiedades anteriores, los triángulos rectángulos se caracterizan por la siguiente condición:
Este teorema lleva el nombre de su fundador, el teorema de Pitágoras. Descubrió esta relación cuando estudiaba las propiedades de los cuadrados construidos sobre Para demostrar el teorema, construimos un triángulo ABC, cuyos catetos denotamos como a y b, y la hipotenusa como c. A continuación construiremos dos cuadrados. Para uno, el lado será la hipotenusa, para el otro, la suma de dos catetos. Entonces el área del primer cuadrado se puede encontrar de dos maneras: como la suma de las áreas de cuatro triángulos ABC y el segundo cuadrado, o como el cuadrado del lado, naturalmente, estas razones serán iguales; Eso es: con 2 + 4 (ab/2) = (a + b) 2, transformamos la expresión resultante: c 2 +2 ab = a 2 + segundo 2 + 2 ab Como resultado, obtenemos: c 2 = a 2 + b 2 Por tanto, la figura geométrica de un triángulo rectángulo corresponde no sólo a todas las propiedades características de los triángulos. La presencia de un ángulo recto lleva al hecho de que la figura tiene otras relaciones únicas. Su estudio será útil no sólo en la ciencia, sino también en La vida cotidiana, ya que una figura como un triángulo rectángulo se encuentra en todas partes. Lado a puede ser identificado como adyacente al ángulo B Y opuesto al ángulo A, y el lado b- Cómo adyacente al ángulo A Y opuesto al ángulo B. Tipos de triángulos rectángulos
PropiedadesAlturaAltura de un triángulo rectángulo. Razones trigonométricasDejar h Y s (h>s) lados de dos cuadrados inscritos en un triángulo rectángulo con hipotenusa C. Entonces: El perímetro de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los radios de los círculos inscritos y tres circunscritos. NotasEnlaces
Fundación Wikimedia. 2010.
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y en esto
y en esto ¡Atención al dibujo!
Recuerda y no confundas: hay dos catetos y solo hay una hipotenusa(único, único y más largo)! Bueno, ya hemos comentado los nombres, ahora lo más importante: el Teorema de Pitágoras. Teorema de pitágoras.Este teorema es la clave para resolver muchos problemas relacionados con un triángulo rectángulo. Fue demostrado por Pitágoras en tiempos absolutamente inmemoriales y desde entonces ha aportado muchos beneficios a quienes lo conocen. Y lo mejor es que es sencillo. Entonces, Teorema de pitágoras: ¿Recuerdas el chiste: “¡Los pantalones pitagóricos son iguales por todos lados!”? Dibujemos estos mismos pantalones pitagóricos y mirémoslos. "Suma áreas de cuadrados, construido sobre las piernas, es igual a área cuadrada, construido sobre la hipotenusa." ¿Realmente suena un poco diferente? Y así, cuando Pitágoras dibujó el enunciado de su teorema, esta es exactamente la imagen que surgió.
¿Por qué formulamos ahora el teorema de Pitágoras? ¿Pitágoras sufrió y habló de cuadrados? Verás, en la antigüedad no existía... ¡álgebra! No había señales y demás. No hubo inscripciones. ¿Te imaginas lo terrible que era para los pobres estudiantes de la antigüedad recordar todo con palabras? Y podemos alegrarnos de tener una formulación sencilla del teorema de Pitágoras. Repetimos de nuevo para recordarlo mejor: Debería ser fácil ahora:
Bueno, ya se ha discutido el teorema más importante sobre los triángulos rectángulos. Si estás interesado en cómo se demuestra, lee los siguientes niveles de teoría, y ahora vayamos más allá… al bosque oscuro… ¡de la trigonometría! A las terribles palabras seno, coseno, tangente y cotangente. Seno, coseno, tangente, cotangente en un triángulo rectángulo.De hecho, no todo da tanto miedo. Por supuesto, la definición "real" de seno, coseno, tangente y cotangente debería examinarse en el artículo. Pero realmente no quiero, ¿verdad? Podemos alegrarnos: para resolver problemas sobre un triángulo rectángulo, simplemente puede completar las siguientes cosas simples: ¿Por qué todo está a la vuelta de la esquina? ¿Dónde está la esquina? Para entender esto, necesita saber cómo se escriben en palabras las declaraciones 1 a 4. ¡Mira, comprende y recuerda! 1. ¿Qué pasa con el ángulo? ¿Hay un cateto opuesto a la esquina, es decir, un cateto opuesto (para un ángulo)? ¡Por supuesto que sí! ¡Esto es una pierna! ¿Qué pasa con el ángulo? Mira cuidadosamente. ¿Qué cateto está adyacente a la esquina? Por supuesto, la pierna. Esto significa que para el ángulo el cateto es adyacente, y ¡Ahora presta atención! Mira lo que tenemos: Mira lo genial que es: Ahora pasemos a tangente y cotangente. ¿Cómo puedo escribir esto con palabras ahora? ¿Cuál es el cateto en relación con el ángulo? Enfrente, por supuesto, "se encuentra" frente a la esquina. ¿Qué pasa con la pierna? Adyacente a la esquina. Entonces, ¿qué tenemos? ¿Ves cómo el numerador y el denominador han intercambiado lugares? Y ahora las esquinas nuevamente e hicieron un intercambio: ResumenAnotemos brevemente todo lo que hemos aprendido.
El teorema principal sobre los triángulos rectángulos es el teorema de Pitágoras. Teorema de pitágorasPor cierto, ¿recuerdas bien qué son los catetos y la hipotenusa? Si no es muy bueno, mire la imagen y actualice sus conocimientos.
Es muy posible que ya hayas utilizado el teorema de Pitágoras muchas veces, pero ¿alguna vez te has preguntado por qué ese teorema es cierto? ¿Cómo puedo probarlo? Hagamos como los antiguos griegos. Dibujemos un cuadrado con un lado.
¡Mira con qué habilidad dividimos sus lados en longitudes y! Ahora conectemos los puntos marcados.
Aquí, sin embargo, notamos algo más, pero usted mismo mira el dibujo y piensa por qué es así. ¿Cuál es el área del cuadrado más grande? Bien, . ¿Qué pasa con un área más pequeña? Ciertamente, . Queda el área total de las cuatro esquinas. Imaginemos que los tomamos de dos en dos y los apoyamos uno contra otro con sus hipotenusas. ¿Qué pasó? Dos rectángulos. Esto significa que el área de los “cortes” es igual. Juntémoslo todo ahora. Transformemos: Entonces visitamos a Pitágoras y demostramos su teorema de una manera antigua. Triángulo rectángulo y trigonometría.Para un triángulo rectángulo se cumplen las siguientes relaciones:
El seno de un ángulo agudo es igual a la razón del cateto opuesto a la hipotenusa. El coseno de un ángulo agudo es igual a la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa. La tangente de un ángulo agudo es igual a la razón entre el lado opuesto y el lado adyacente. La cotangente de un ángulo agudo es igual a la relación entre el lado adyacente y el lado opuesto. Y una vez más todo esto en forma de tablet: ¡Es muy cómodo! Signos de igualdad de triángulos rectángulos.I. En dos lados
II. Por cateto e hipotenusa
III. Por hipotenusa y ángulo agudo
IV. A lo largo de la pierna y ángulo agudo. a) b) ¡Atención! Aquí es muy importante que las piernas sean “apropiadas”. Por ejemplo, si dice así:
ENTONCES LOS TRIÁNGULOS NO SON IGUALES, a pesar de que tienen un ángulo agudo idéntico. Necesitar en ambos triángulos el cateto era adyacente, o en ambos era opuesto. ¿Has notado en qué los signos de igualdad de los triángulos rectángulos difieren de los signos habituales de igualdad de los triángulos? Eche un vistazo al tema “y preste atención al hecho de que para la igualdad de los triángulos “ordinarios”, tres de sus elementos deben ser iguales: dos lados y el ángulo entre ellos, dos ángulos y el lado entre ellos, o tres lados. Pero para la igualdad de triángulos rectángulos sólo bastan dos elementos correspondientes. Genial, ¿verdad? La situación es aproximadamente la misma con los signos de semejanza de triángulos rectángulos. Signos de similitud de triángulos rectángulos.I. A lo largo de un ángulo agudo
II. en dos lados
III. Por cateto e hipotenusa
Mediana en un triángulo rectángulo¿Por qué esto es tan? En lugar de un triángulo rectángulo, considere un rectángulo completo. Dibujemos una diagonal y consideremos un punto: el punto de intersección de las diagonales. ¿Qué sabes sobre las diagonales de un rectángulo? ¿Y qué se sigue de esto? Entonces resultó que
¡Recuerda este hecho! ¡Ayuda mucho! Lo que es aún más sorprendente es que también ocurre lo contrario. ¿Qué beneficio se puede obtener del hecho de que la mediana trazada hasta la hipotenusa sea igual a la mitad de la hipotenusa? Miremos la foto Mira cuidadosamente. Tenemos: , es decir, las distancias desde el punto a los tres vértices del triángulo resultaron ser iguales. Pero solo hay un punto en el triángulo, cuyas distancias desde los tres vértices del triángulo son iguales, y este es el CENTRO DEL CÍRCULO. ¿Entonces qué pasó? Así que comencemos con este “además…”. Miremos y. ¡Pero los triángulos semejantes tienen todos los ángulos iguales! Lo mismo puede decirse de y Ahora dibujémoslo juntos: ¿Qué beneficio se puede derivar de esta “triple” similitud? Bueno, por ejemplo - Dos fórmulas para la altura de un triángulo rectángulo. Anotemos las relaciones de las partes correspondientes:
Para encontrar la altura, resolvemos la proporción y obtenemos la primera fórmula "Altura en un triángulo rectángulo": Entonces, apliquemos la similitud: .
¿Que pasará ahora? Nuevamente resolvemos la proporción y obtenemos la segunda fórmula: Debe recordar muy bien ambas fórmulas y utilizar la que le resulte más conveniente. Escribámoslos de nuevo Teorema de pitágoras: En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos: .
Signos de igualdad de triángulos rectángulos:
Signos de similitud de triángulos rectángulos:
Seno, coseno, tangente y cotangente en un triángulo rectángulo.
Altura de un triángulo rectángulo: o. En un triángulo rectángulo, la mediana trazada desde el vértice del ángulo recto es igual a la mitad de la hipotenusa: . Área de un triángulo rectángulo:
Bueno, se acabó el tema. Si estás leyendo estas líneas es que eres muy guay. Porque sólo el 5% de las personas son capaces de dominar algo por sí mismas. Y si lees hasta el final, ¡estás en este 5%! Ahora lo más importante. Has entendido la teoría sobre este tema. Y, repito, esto... ¡esto es simplemente genial! Ya eres mejor que la gran mayoría de tus compañeros. El problema es que esto puede no ser suficiente... ¿Para qué? Para tener éxito aprobar el examen estatal unificado, para la admisión a la universidad con un presupuesto limitado y, LO MÁS IMPORTANTE, de por vida. No te convenceré de nada, solo diré una cosa... Las personas que han recibido una buena educación ganan mucho más que quienes no la han recibido. Esto es estadística. Pero esto no es lo principal. Lo principal es que son MÁS FELICES (existen estudios de este tipo). Quizás porque hay mucho más abierto ante ellos. más posibilidades y la vida se vuelve más brillante? No lo sé... Pero piensa por ti mismo... ¿Qué se necesita para estar seguro de ser mejor que otros en el Examen Estatal Unificado y, en última instancia, ser... más feliz? GANA TU MANO RESOLVIENDO PROBLEMAS SOBRE ESTE TEMA. No te pedirán teoría durante el examen. Necesitará resolver problemas contra el tiempo. Y, si no los has resuelto (¡MUCHO!), seguro que cometerás un error estúpido en alguna parte o simplemente no tendrás tiempo. Es como en los deportes: hay que repetirlo muchas veces para ganar con seguridad. Encuentra la colección donde quieras, necesariamente con soluciones, análisis detallado ¡Y decide, decide, decide! Puedes utilizar nuestras tareas (opcional) y nosotros, por supuesto, te las recomendamos. Para mejorar el uso de nuestras tareas, necesita ayudar a extender la vida útil del libro de texto YouClever que está leyendo actualmente. ¿Cómo? Hay dos opciones:
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Altura y mediana Un triángulo rectángulo se caracteriza porque sus dos alturas están alineadas con sus catetos. Para encontrar el tercer lado, debes encontrar la suma de las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa y dividirla por dos. Si trazamos una mediana desde el vértice de un ángulo recto, resultará ser el radio del círculo que se describe alrededor del triángulo. El centro de este círculo será la mitad de la hipotenusa. Triángulo rectángulo. Área y su cálculo. El área de los triángulos rectángulos se calcula utilizando cualquier fórmula para encontrar el área de un triángulo. Además, puedes usar otra fórmula: S = a * b / 2, que establece que para encontrar el área necesitas dividir el producto de las longitudes de los catetos entre dos. Coseno, seno y tangente triángulo rectángulo El coseno de un ángulo agudo es la relación entre el cateto adyacente al ángulo y la hipotenusa. Siempre es menos de uno. El seno es la relación entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa. La tangente es la relación entre el cateto opuesto al ángulo y el cateto adyacente a este ángulo. La cotangente es la relación entre el lado adyacente al ángulo y el lado opuesto al ángulo. El coseno, el seno, la tangente y la cotangente no dependen del tamaño del triángulo. Su valor se ve afectado únicamente por la medida en grados del ángulo. Solución triangular Para calcular el valor del cateto opuesto al ángulo, debes multiplicar la longitud de la hipotenusa por el seno de este ángulo o el tamaño del segundo cateto por la tangente del ángulo. Para encontrar el cateto adyacente a un ángulo, es necesario calcular el producto de la hipotenusa y el coseno del ángulo.
Triángulo rectángulo isósceles Si un triángulo tiene un ángulo recto y lados iguales, entonces se llama triángulo rectángulo isósceles. Los ángulos agudos de dicho triángulo también son iguales: 45 0 cada uno. La mediana, la bisectriz y la altitud extraídas del ángulo recto de un triángulo rectángulo isósceles son iguales. Un triángulo en geometría representa una de las figuras básicas. De lecciones anteriores, sabes que un triángulo es una figura poligonal que tiene tres ángulos y tres lados. El triangulo se llama rectangular, si tiene un ángulo recto que mide 90 grados.
Propiedades y características de los triángulos rectángulos.Yo – е propiedad. En un triángulo rectángulo, la suma de sus ángulos agudos es 90°. Opuesto al lado mayor de un triángulo está el ángulo mayor, y opuesto al ángulo mayor está el lado mayor. En un triángulo rectángulo, el ángulo mayor es el ángulo recto. Si el ángulo más grande de un triángulo es superior a 90°, entonces dicho triángulo deja de ser rectángulo, ya que la suma de todos los ángulos supera los 180 grados. De todo esto se deduce que la hipotenusa es el lado más largo del triángulo. II es la propiedad. El cateto de un triángulo rectángulo, que se encuentra frente a un ángulo de 30 grados, es igual a la mitad de la hipotenusa. III – la propiedad. Si en un triángulo rectángulo el cateto es igual a la mitad de la hipotenusa, entonces el ángulo opuesto a este cateto será igual a 30 grados. |
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El festival Borodin Day 2017 se celebrará en la región de Mozhaisk del 2 al 3 de septiembre.
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