Https://ppt4web.ru/images/1345/36341/310/img0.jpg" alt=" Presentación sobre el tema: Derivada. Completado por estudiantes de 11º grado: Chelobitchikova Mar." title="Presentación sobre el tema: Derivado. Completado por estudiantes de 11º grado: Chelobitchikova Mar.">!}

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De la historia: En la historia de las matemáticas se distinguen tradicionalmente varias etapas en el desarrollo del conocimiento matemático: Formación del concepto figura geométrica y los números como idealizaciones de objetos reales y conjuntos de objetos homogéneos. La llegada del conteo y la medición, que permitieron comparar diferentes números, longitudes, áreas y volúmenes. Invención de las operaciones aritméticas. Acumulación empírica (por prueba y error) de conocimientos sobre las propiedades de las operaciones aritméticas, sobre métodos de medición de áreas y volúmenes de figuras y cuerpos simples. Los matemáticos sumerios-babilónicos, chinos e indios de la antigüedad hicieron grandes avances en esta dirección. La aparición en la antigua Grecia de un sistema matemático deductivo, que mostraba cómo obtener nuevas verdades matemáticas a partir de las existentes. El mayor logro de las matemáticas griegas antiguas fueron los Elementos de Euclides, que sirvieron como estándar de rigor matemático durante dos milenios. Los matemáticos de los países islámicos no sólo conservaron logros antiguos, sino que también pudieron sintetizarlos con los descubrimientos de los matemáticos indios, que avanzaron más que los griegos en la teoría de números. En los siglos XVI al XVIII, las matemáticas europeas revivieron y avanzaron mucho. Su base conceptual durante este período fue la creencia de que los modelos matemáticos son una especie de esqueleto ideal del Universo y, por tanto, el descubrimiento de verdades matemáticas es al mismo tiempo el descubrimiento de nuevas propiedades del mundo real. El principal éxito en este camino fue el desarrollo de modelos matemáticos de dependencia (función) y movimiento acelerado (análisis de infinitesimales). Todas las ciencias naturales se reconstruyeron sobre la base de modelos matemáticos recién descubiertos, lo que condujo a un progreso colosal. En los siglos XIX y XX quedó claro que la relación entre las matemáticas y la realidad estaba lejos de ser tan simple como parecía antes. No existe una respuesta generalmente aceptada a esa especie de "cuestión fundamental en la filosofía de las matemáticas": encontrar la razón de la "incomprensible eficacia de las matemáticas en las ciencias naturales". A este respecto, y no sólo a este respecto, los matemáticos se dividieron en muchas escuelas de debate. Han surgido varias tendencias peligrosas: especialización excesivamente estrecha, aislamiento de problemas prácticos etc. Al mismo tiempo, el poder de las matemáticas y su prestigio, respaldado por la eficacia de su aplicación, son mayores que nunca.

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Diferenciabilidad La derivada f"(x0) de una función f en un punto x0, al ser límite, puede no existir o existir y ser finita o infinita. Una función f es diferenciable en un punto x0 si y sólo si su derivada en este punto existe y es finita: Para una función f derivable en x0 en una vecindad de U(x0) tiene la siguiente representación: f(x) = f(x0) + f"(x0)(x − x0) + o(x − x0)

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Comentarios Llamemos a Δx = x − x0 el incremento del argumento de la función, y Δy = f(x0 + Δx) − f(x0) al incremento del valor de la función en el punto x0. Entonces, dejemos que la función tenga una derivada finita en cada punto. Entonces se define la función derivada. Una función que tiene una derivada finita en un punto es continua en él. Lo contrario no siempre es cierto. Si la función derivada en sí es continua, entonces la función f se llama continuamente diferenciable y se escribe:

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Significado geométrico y físico de la derivada Significado geométrico de la derivada. En la gráfica de la función, se selecciona la abscisa x0 y se calcula la ordenada correspondiente f(x0). Se selecciona un punto arbitrario x en las proximidades del punto x0. Se traza una línea secante a través de los puntos correspondientes en la gráfica de la función F (la primera línea gris claro C5). La distancia Δx = x - x0 tiende a cero, como resultado la secante se convierte en tangente (las líneas C5 - C1 se oscurecen gradualmente). La tangente del ángulo α de la pendiente de esta tangente es la derivada en el punto x0.

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Derivadas de orden superior El concepto de derivada de orden arbitrario se define de forma recursiva. Suponemos que si una función f es diferenciable en x0, entonces la derivada de primer orden está determinada por la relación. Definamos ahora la derivada de enésimo orden f(n) en alguna vecindad del punto x0 y sea diferenciable. Entonces

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Métodos de escritura de derivadas Dependiendo de los objetivos, el alcance y el aparato matemático utilizado, se utilizan varios métodos de escritura de derivadas. Así, la derivada de orden n se puede escribir en la notación: Lagrange f(n)(x0), mientras que para n números primos pequeños se suelen utilizar números romanos: f(1)(x0) = f"(x0) = fI( x0),f(2)(x0) = f""(x0) = fII(x0),f(3)(x0) = f"""(x0) = fIII(x0),f(4)(x0) ) = fIV(x0), etc. Esta notación es conveniente debido a su brevedad y se usa ampliamente. Leibniz, una notación visual conveniente de la relación de infinitesimales: Newton, que se usa a menudo en mecánica para la derivada temporal de la función de coordenadas; (para la derivada espacial, se utiliza más a menudo la notación de Lagrange). El orden de la derivada se indica por el número de puntos sobre la función, por ejemplo: - la derivada de primer orden de x con respecto a t en t = t0, o - la derivada de segundo orden de f con respecto a x en el punto x0 , etc. Euler, utilizando un operador diferencial (estrictamente hablando, una expresión diferencial, mientras no se haya introducido el espacio funcional correspondiente), y por tanto es conveniente en cuestiones relacionadas con el análisis funcional: Por supuesto, no debemos olvidar que todos sirven para designar los mismos objetos:

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Ejemplos: Sea f(x) = x2. Entonces Sea f(x) = | x | . Entonces si entonces f"(x0) = sgnx0, donde sgn denota la función de signo. Si x0 = 0, entonces f"(x0) no existe

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Reglas de diferenciación La operación de encontrar la derivada se llama diferenciación. Al realizar esta operación, a menudo hay que trabajar con cocientes, sumas, productos de funciones, así como “funciones de funciones”, es decir funciones complejas. A partir de la definición de derivada, podemos derivar reglas de diferenciación que facilitan este trabajo. (la derivada de una suma es igual a la suma de sus derivadas) (de aquí, en particular, se deduce que la derivada del producto de una función y una constante es igual al producto de la derivada de esta función y una constante ) Si la función se da paramétricamente: entonces,

La historia del surgimiento del concepto de derivado.

La derivada de una función en un punto es un concepto básico en cálculo diferencial. Caracteriza la tasa de cambio de la función en un punto específico. La derivada se utiliza ampliamente para resolver una serie de problemas en matemáticas, física y otras ciencias, especialmente en el estudio de la velocidad de varios tipos de procesos.

Definiciones basicas

La derivada es igual al límite de la relación entre el incremento de la función y el incremento del argumento, siempre que este último tienda a cero:

$y^(\prime)\left(x_(0)\right)=\lim _(\Delta x \rightarrow 0) \frac(\Delta y)(\Delta x)$

Definición

Una función que tiene una derivada finita en algún punto se llama diferenciable en un punto dado. El proceso de calcular la derivada se llama diferenciación de funciones.

Referencia histórica

El término ruso "derivada de una función" fue utilizado por primera vez por el matemático ruso V.I. Viskovátov (1780 - 1812).

La designación de un incremento (argumento/función) con la letra griega $\Delta$ (delta) fue utilizada por primera vez por el matemático y mecánico suizo Johann Bernoulli (1667 - 1748). La notación para la derivada diferencial $d x$ pertenece al matemático alemán G.W. Leibniz (1646 - 1716). La forma de indicar la derivada del tiempo con un punto sobre la letra - $\dot(x)$ - proviene del matemático, mecánico y físico inglés Isaac Newton (1642 - 1727). La designación abreviada de una derivada por un primo - $f^(\prime)(x)$ - pertenece al matemático, astrónomo y mecánico francés J.L. Lagrange (1736 - 1813), que introdujo en 1797. El símbolo de la derivada parcial $\frac(\partial)(\partial x)$ fue utilizado activamente en sus obras por el matemático alemán Karl G.Ya. Jacobi (1805 - 1051), y luego el destacado matemático alemán Karl T.W. Weierstrass (1815 - 1897), aunque esta designación ya se había encontrado anteriormente en una de las obras del matemático francés A.M. Legendre (1752 - 1833). El símbolo del operador diferencial $\nabla$ fue inventado por el destacado matemático, mecánico y físico irlandés W.R. Hamilton (1805 - 1865) en 1853, y el nombre "nabla" fue propuesto por el científico, ingeniero, matemático y físico inglés autodidacta Oliver Heaviside (1850 - 1925) en 1892.

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Títulos de diapositivas:

Historia del derivado

“Este mundo estaba envuelto en una profunda oscuridad. ¡Que se haga la luz! Y entonces apareció Newton." Epitafio del poeta A. Papa:

Historia de la aparición de la derivada A finales del siglo XII, el gran científico inglés Isaac Newton demostró que la trayectoria y la velocidad están relacionadas entre sí mediante la fórmula: V (t) = S '(t) y existe tal conexión entre las características cuantitativas de los más varios procesos Estudió: física, química, biología y ciencias técnicas. Este descubrimiento de Newton marcó un punto de inflexión en la historia de las ciencias naturales.

El honor de descubrir las leyes fundamentales del análisis matemático, junto con Newton, pertenece al matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz. Historia de la aparición de la derivada Leibniz llegó a estas leyes resolviendo el problema de trazar una tangente a una curva arbitraria, es decir formuló el significado geométrico de la derivada de que el valor de la derivada en el punto de tangencia es el coeficiente angular de la tangente o tg el ángulo de inclinación de la tangente con la dirección positiva del eje O X.

El término derivado y las designaciones modernas y ', f' fueron introducidos por J. Lagrange en 1797. Historia del derivado

¿Es necesaria la derivada en una futura profesión? En nuestro tiempo, representantes de diversas especialidades se enfrentan a tales tareas: los ingenieros tecnológicos intentan organizar la producción de tal manera que se produzca el mayor número posible de productos; Los diseñadores están intentando desarrollar un dispositivo para astronave para que la masa del dispositivo sea mínima; Los economistas intentan planificar las conexiones de la planta con las fuentes de materias primas para que los costos de transporte sean mínimos.

Trabajo realizado por: Lysenko Anastasia Posokhova Marika Shalnov Denis Struchenkov Nikita Profesora supervisora: Novikova Lyubov Anatolyevna Materiales utilizados: FileLand.RU

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Sobre el tema: desarrollos metodológicos, presentaciones y notas.

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Esta actividad extracurricular ayuda a desarrollar los horizontes de los estudiantes e inculcar el interés por las matemáticas....

Ministerio de Educación de la Región de Saratov

profesional autonomo estatal institución educativa Región de Saratov "Politécnico de Engels"

APLICACIÓN DE LA DERIVADA EN DIVERSOS CAMPOS DE LA CIENCIA

Realizado: Verbitskaya Elena Vyacheslavovna

profesora de matemáticas en GAPOU SO

"Politécnico de Engels"

Introducción

El papel de las matemáticas en diversos campos de las ciencias naturales es muy importante. No es de extrañar que digan “Las matemáticas son la reina de las ciencias, la física es su mano derecha, la química es de izquierdas”.

El tema del estudio es derivado.

El objetivo principal es mostrar la importancia de la derivada no sólo en matemáticas, sino también en otras ciencias, su importancia en la vida moderna.

El cálculo diferencial es una descripción del mundo que nos rodea, realizada en lenguaje matemático. La derivada nos ayuda a resolver con éxito no sólo problemas matemáticos, sino también problemas prácticos en diversos campos de la ciencia y la tecnología.

La derivada de una función se utiliza siempre que hay un proceso desigual: movimiento mecánico desigual, corriente alterna, reacciones químicas y desintegración radiactiva de una sustancia, etc.

Preguntas clave y temáticas de este ensayo:

1. Historia de la derivada.

2. ¿Por qué estudiar derivadas de funciones?

3. ¿Dónde se utilizan los derivados?

4. Aplicación de derivados en física, química, biología y otras ciencias.

Decidí escribir un artículo sobre el tema "Aplicación de derivados en diversos campos de la ciencia" porque creo que este tema es muy interesante, útil y relevante.

En mi trabajo hablaré sobre la aplicación de la diferenciación en diversos campos de la ciencia, como la química, la física, la biología, la geografía, etc. Después de todo, todas las ciencias están indisolublemente ligadas, lo que se ve muy claramente en el ejemplo del tema. Estoy considerando.

Aplicación de derivados en diversos campos de la ciencia.

Del curso de álgebra de la escuela secundaria, ya sabemos que la derivada es el límite de la relación entre el incremento de una función y el incremento de su argumento cuando el incremento del argumento tiende a cero, si tal límite existe.

El acto de encontrar una derivada se llama diferenciarla, y una función que tiene una derivada en un punto x se llama diferenciable en ese punto. Una función que es derivable en cada punto de un intervalo se dice que es derivable en ese intervalo.

El honor de descubrir las leyes básicas del análisis matemático pertenece al físico y matemático inglés Isaac Newton y al matemático, físico y filósofo alemán Leibniz.

Newton introdujo el concepto de derivada mientras estudiaba las leyes de la mecánica, revelando así su significado mecánico.

Significado físico de la derivada: la derivada de la función y = f (x) en el punto x 0 es la tasa de cambio de la función f (x) en el punto x 0.

Leibniz llegó al concepto de derivada resolviendo el problema de trazar una tangente a una recta derivada, explicando así su significado geométrico.

El significado geométrico de la derivada es que la función derivada en el punto x 0 es igual a la pendiente de la tangente a la gráfica de la función trazada en el punto con la abscisa x 0 .

El término derivado y las designaciones modernas y ", f" fueron introducidos por J. Lagrange en 1797.

El matemático ruso del siglo XIX Panfutiy Lvovich Chebyshev dijo que “de particular importancia son aquellos métodos científicos que permiten resolver un problema común a toda actividad humana práctica, por ejemplo, cómo disponer de los propios medios para lograr el mayor beneficio”.

Hoy en día, representantes de diversas especialidades se enfrentan a las siguientes tareas:

Los ingenieros tecnológicos intentan organizar la producción de tal manera que se produzcan tantos productos como sea posible;

Los diseñadores están intentando desarrollar un dispositivo para una nave espacial de modo que la masa del dispositivo sea mínima;

Los economistas intentan planificar las conexiones de la planta con las fuentes de materias primas para que los costos de transporte sean mínimos.

Al estudiar cualquier tema, los estudiantes surgen la pregunta: "¿Por qué necesitamos esto?" Si la respuesta satisface la curiosidad, entonces podemos hablar del interés de los estudiantes. La respuesta al tema "Derivada" se puede obtener sabiendo dónde se utilizan las derivadas de funciones.

Para responder a esta pregunta, podemos enumerar algunas disciplinas y sus secciones en las que se utilizan derivados.

Derivada en álgebra:

1. Tangente a la gráfica de una función

Tangente a la gráfica de una función. F, diferenciable en el punto x o, es una recta que pasa por el punto (x o; F(x о)) y que tiene una pendiente F′(xo).

y = F(xo) + F′(x о) (x – x о)

2. Buscar intervalos de funciones crecientes y decrecientes.

Función y=f(x) aumenta durante el intervalo X, si para cualquiera y la desigualdad se mantiene. En otras palabras, un valor mayor del argumento corresponde a un valor mayor de la función.

Función y=f(x) disminuye en el intervalo X, si es para alguno y la desigualdad . En otras palabras, un valor mayor del argumento corresponde a un valor menor de la función.

3. Buscar puntos extremos de la función.

El punto se llama punto máximo funciones y=f(x), si para todos X desde su vecindad la desigualdad es válida. El valor de la función en el punto máximo se llama máximo de la función y denotar.

El punto se llama punto mínimo funciones y=f(x), si para todos X desde su vecindad la desigualdad es válida. El valor de la función en el punto mínimo se llama función mínima y denotar.

La vecindad de un punto se entiende como el intervalo , donde es un número positivo suficientemente pequeño.

Los puntos mínimo y máximo se llaman puntos extremos , y los valores de la función correspondientes a los puntos extremos se llaman extremos de la función .

4. Encontrar los intervalos de convexidad y concavidad de una función.

convexo, si la gráfica de esta función dentro del intervalo no se encuentra por encima de cualquiera de sus tangentes (Fig. 1).

La gráfica de una función derivable en el intervalo está en este intervalo. cóncavo, si la gráfica de esta función dentro del intervalo no se encuentra por debajo de cualquiera de sus tangentes (Fig. 2).

El punto de inflexión de la gráfica de una función es el punto que separa los intervalos de convexidad y concavidad.

5. Encontrar puntos de flexión de una función.

Derivada en física:

1. La velocidad como derivada de la trayectoria

2. Aceleración como derivada de la velocidad a =

3. Tasa de desintegración de elementos radiactivos. = - λN

Y también en física, la derivada se utiliza para calcular:

Velocidades de un punto material.

Velocidad instantánea como significado físico de la derivada.

Valor de fuerza instantánea corriente alterna

Valor instantáneo de EMF de inducción electromagnética.

Poder maximo

Derivado en química:

Y en química, el cálculo diferencial ha encontrado una amplia aplicación para construir modelos matemáticos de reacciones químicas y la posterior descripción de sus propiedades.

Un derivado en química se utiliza para determinar algo muy importante: la velocidad de una reacción química, uno de los factores decisivos que deben tenerse en cuenta en muchas áreas de la actividad científica e industrial. V(t) = p’(t)

Derivado en biología:

Una población es un conjunto de individuos de una especie determinada, que ocupan un área determinada del territorio dentro del área de distribución de la especie, se cruzan libremente y están parcial o completamente aislados de otras poblaciones, y también es una unidad elemental de evolución.

Derivado en geografía:

1. Algunos significados en sismografía

2. Características del campo electromagnético de la tierra.

3. Radiactividad de indicadores geofísicos nucleares.

4.Muchos significados en geografía económica.

5. Derive una fórmula para calcular la población de un territorio en el momento t.

y'= a y

La idea del modelo sociológico de Thomas Malthus es que el crecimiento de la población es proporcional al número de personas en un momento dado t hasta N(t). El modelo de Malthus funcionó bien para describir la población de los Estados Unidos desde 1790 hasta 1860. Este modelo ya no es válido en la mayoría de los países.

Derivado en ingeniería eléctrica:

En nuestros hogares, en el transporte, en las fábricas: la corriente eléctrica funciona en todas partes. Se entiende por corriente eléctrica el movimiento dirigido de partículas libres cargadas eléctricamente.

Características cuantitativas corriente eléctrica es la fuerza actual.

En un circuito de corriente eléctrica. carga eléctrica cambia con el tiempo según la ley q=q (t). La intensidad de la corriente I es la derivada de la carga q con respecto al tiempo.

La ingeniería eléctrica utiliza principalmente corriente alterna.

Una corriente eléctrica que cambia con el tiempo se llama alterna. Un circuito de CA puede contener varios elementos: calentadores, bobinas, condensadores.

La producción de corriente eléctrica alterna se basa en la ley de la inducción electromagnética, cuya formulación contiene la derivada flujo magnético.

Derivado en economía:

La economía es la base de la vida y en ella el cálculo diferencial, un aparato de análisis económico, ocupa un lugar importante. La tarea básica del análisis económico es estudiar las relaciones de cantidades económicas en forma de funciones.

La derivada en economía resuelve cuestiones importantes:

1. ¿En qué dirección cambiarán los ingresos del estado con un aumento de impuestos o con la introducción de derechos de aduana?

2. ¿Aumentarán o disminuirán los ingresos de la empresa si aumenta el precio de sus productos?

Para resolver estas cuestiones, es necesario construir funciones de conexión de las variables de entrada, que luego se estudian mediante métodos de cálculo diferencial.

Además, utilizando el extremo de la función (derivada) en la economía, se puede encontrar la productividad laboral más alta, el beneficio máximo, la producción máxima y los costos mínimos.

CONCLUSIÓN: La derivada se utiliza con éxito para resolver varios problemas aplicados en la ciencia, la tecnología y la vida

Como se desprende de lo anterior, el uso de la derivada de una función es muy diverso, no sólo en el estudio de las matemáticas, sino también en otras disciplinas. Por lo tanto, podemos concluir que el estudio del tema: “Derivada de una función” tendrá su aplicación en otros temas y materias.

Estábamos convencidos de la importancia de estudiar el tema “Derivada”, su papel en el estudio de los procesos en ciencia y tecnología, la posibilidad de construir modelos matemáticos basados ​​en eventos reales y la resolución de problemas importantes.

“La música puede elevar o calmar el alma,
La pintura es agradable a la vista,
La poesía es despertar sentimientos,
La filosofía es satisfacer las necesidades de la mente,
La ingeniería es mejorar el lado material de la vida de las personas,
A las matemáticas pueden lograr todos estos objetivos”.

Eso dijo el matemático estadounidense. Mauricio Kline.

Bibliografía:

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2. Grigoriev V.P., Dubinsky Yu.A., Elementos de matemáticas superiores. - M.: Academia, 2014.

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5. Bogomolov N.V. Colección de problemas de matemáticas. - M.: Avutarda, 2013.

6. Rybnikov K.A. Historia de las matemáticas, Editorial de la Universidad de Moscú, M, 1960.

7. Vinogradov Yu.N., Gomola A.I., Potapov V.I., Sokolova E.V. – M.: Centro Editorial “Academia”, 2010

8. Bashmakov M.I. Matemáticas: álgebra y principios de análisis matemático, geometría. – M.: Centro Editorial “Academia”, 2016

Fuentes periódicas:

Periódicos y revistas: “Matemáticas”, “ Lección pública»

Uso de recursos de Internet y bibliotecas electrónicas.