Petya y Vasya se estaban preparando para una prueba sobre el tema "Perímetro y área de figuras". Petya dibujó una figura geométrica, pintando algunos cuadrados en una hoja de papel en azul, y Vasya calculó el perímetro de la figura formada y dibujó en rojo el número máximo de cuadrados para que el perímetro de la figura recién formada permaneciera igual.
Escribe un programa que coordenadas dadas de cuadrados azules rellenos encontrará el número máximo de cuadrados rojos que se pueden completar para que el perímetro de la figura recién formada no cambie.

Datos de entrada

La primera línea contiene el número de cuadrados azules $n$ ($0< n < 40404$). Далее идут $n$ строк, каждая из которых содержит координаты $x$, $y$ ($-101 \leq x, y \leq 101$) левых нижних углов синих квадратов.

Cada cuadrado azul tiene al menos un punto en común con al menos otro cuadrado azul. La figura formada por los cuadrados azules está conectada.

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Imprime el número de cuadrados rojos.

Pruebas

código de programa

e-olymp 2817 Solución

solución del problema

Primero, debes entender que por cada figura conectada formada por cuadrados idénticos, hay al menos un rectángulo con el mismo perímetro que la figura. Luego cada figura se puede completar hasta formar un rectángulo, manteniendo el perímetro.

Para probar esto, sea el lado del cuadrado $1$. Entonces el perímetro de una figura formada por estos cuadrados siempre será divisible por $2$ (esto es fácil de entender dibujando dichas figuras en una hoja de papel: agregar cada nuevo cuadrado a la figura puede cambiar el perímetro en solo $-4 , -2, 0, 2, 4$). Y dado que el perímetro del rectángulo es igual a $2 * (a + b)$, donde $a, b$ son los lados del rectángulo, entonces para la existencia de un rectángulo con el mismo perímetro se cumple la condición $\forall p \ en \mathbb(N) , p > 2 \rightarrow \exists a,b \in \mathbb(N) : 2p = 2*(a + b)$. Es obvio que la condición se cumple para todos los $p>2$.

Escribamos nuestra figura en la matriz de cuadrados. Luego calculamos su perímetro: cada cuadrado no vacío de la figura suma $1$ al perímetro por cada celda vacía a la izquierda, derecha, arriba o abajo. A continuación, buscaremos todos los rectángulos adecuados, registrando el área máxima en la variable max: clasificando los valores del primer lado $j$, calculamos el segundo lado $i = \displaystyle \frac(p)( 2) - j$ a través del perímetro. Calcularemos el área como la diferencia entre el área del rectángulo y la figura original (el número $n$ es igual al área de la figura, porque el área de cada cuadrado es $1$).
Al final, mostramos la diferencia entre el área máxima y el área de la figura original (el área de la figura original es $n$, porque el área de cada cuadrado es $1$).

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Información preliminar

El perímetro de cualquier figura geométrica plana sobre un plano se define como la suma de las longitudes de todos sus lados. El triángulo no es una excepción a esto. En primer lugar, presentamos el concepto de triángulo, así como los tipos de triángulos en función de sus lados.

Definición 1

Llamaremos triángulo a la figura geométrica que está formada por tres puntos conectados entre sí por segmentos (Fig. 1).

Definición 2

En el marco de la Definición 1, llamaremos a los puntos vértices del triángulo.

Definición 3

En el marco de la Definición 1, llamaremos a los segmentos lados del triángulo.

Evidentemente, cualquier triángulo tendrá 3 vértices, además de tres lados.

Dependiendo de la relación de los lados entre sí, los triángulos se dividen en escalenos, isósceles y equiláteros.

Definición 4

Llamaremos escaleno a un triángulo si ninguno de sus lados es igual a ningún otro.

Definición 5

Llamaremos isósceles a un triángulo si dos de sus lados son iguales entre sí, pero no iguales al tercer lado.

Definición 6

Llamaremos equilátero a un triángulo si todos sus lados son iguales.

Puedes ver todos los tipos de estos triángulos en la Figura 2.

¿Cómo encontrar el perímetro de un triángulo escaleno?

Se nos da un triángulo escaleno cuyas longitudes de lados son iguales a $α$, $β$ y $γ$.

Conclusión: Para encontrar el perímetro de un triángulo escaleno, debes sumar todas las longitudes de sus lados.

Ejemplo 1

Encuentra el perímetro del triángulo escaleno igual a $34$ cm, $12$ cm y $11$ cm.

$P=34+12+11=57$cm

Respuesta: $57$ cm.

Ejemplo 2

encontrar el perímetro triangulo rectángulo, cuyos catetos son iguales a $6$ y $8$ cm.

Primero, encontremos la longitud de las hipotenusas de este triángulo usando el teorema de Pitágoras. Denotémoslo por $α$, entonces

$α=10$ Según la regla para calcular el perímetro de un triángulo escaleno, obtenemos

$P=10+8+6=24$cm

Respuesta: $24$ ver.

¿Cómo encontrar el perímetro de un triángulo isósceles?

Se nos da un triángulo isósceles, las longitudes de los lados serán iguales a $α$ y la longitud de la base será igual a $β$.

Por definición del perímetro de un piso. figura geométrica, lo entendemos

$P=α+α+β=2α+β$

Conclusión: Para encontrar el perímetro de un triángulo isósceles, suma el doble de la longitud de sus lados a la longitud de su base.

Ejemplo 3

Encuentra el perímetro de un triángulo isósceles si sus lados miden $12$ cm y su base es $11$ cm.

Del ejemplo discutido anteriormente, vemos que

$P=2\cdot 12+11=35$ cm

Respuesta: $35$ ver.

Ejemplo 4

Encuentra el perímetro de un triángulo isósceles si su altura dibujada hasta la base es $8$ cm y la base es $12$ cm.

Veamos el dibujo según las condiciones del problema:

Como el triángulo es isósceles, $BD$ también es la mediana, por lo tanto $AD=6$ cm.

Usando el teorema de Pitágoras, del triángulo $ADB$, encontramos el lado lateral. Denotémoslo por $α$, entonces

Según la regla para calcular el perímetro de un triángulo isósceles, obtenemos

$P=2\cdot 10+12=32$ cm

Respuesta: $32$ ver.

¿Cómo encontrar el perímetro de un triángulo equilátero?

Se nos da un triángulo equilátero cuyas longitudes de todos los lados son iguales a $α$.

Determinando el perímetro de una figura geométrica plana, obtenemos que

$P=α+α+α=3α$

Conclusión: Para encontrar el perímetro de un triángulo equilátero, multiplica la longitud del lado del triángulo por $3$.

Ejemplo 5

Encuentra el perímetro de un triángulo equilátero si su lado mide $12$ cm.

Del ejemplo discutido anteriormente, vemos que

$P=3\cdot 12=36$ cm