Definición de tetraedro

Tetraedro- el cuerpo poliédrico más simple, cuyas caras y base son triángulos.

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El tetraedro tiene cuatro caras, cada una de las cuales está formada por tres lados. El tetraedro tiene cuatro vértices, cada uno con tres aristas.

Este cuerpo se divide en varios tipos. A continuación se muestra su clasificación.

1. Tetraedro equédrico- todas sus caras son los mismos triángulos;
2. Tetraedro ortocéntrico- todas las alturas dibujadas desde cada vértice hasta la cara opuesta tienen la misma longitud;
3. Tetraedro rectangular- los bordes que emanan de un vértice forman un ángulo de 90 grados entre sí;
4. Estructura alámbrica;
5. Proporcionado;
6. Incéntrico.

Fórmulas de volumen de tetraedro

El volumen de un cuerpo dado se puede encontrar de varias formas. Analicémoslos con más detalle.

Producto mixto de vectores

Si el tetraedro está construido sobre tres vectores con coordenadas:

A ⃗ = (una x, una y, una z) \ vec (a) = (a_x, a_y, a_z)a= (a X​ , a y​ , a z​ )
segundo ⃗ = (segundo x, segundo y, segundo z) \ vec (b) = (b_x, b_y, b_z)B= (B X​ , B y​ , B z​ )
c ⃗ = (c x, c y, c z) \ vec (c) = (c_x, c_y, c_z)C= (C X​ , C y​ , C z​ ) ,

entonces el volumen de este tetraedro es un producto mixto de estos vectores, es decir, tal determinante:

V = 1 6 ⋅ ∣ axayazbxbybzcxcycz ∣ V = \ frac (1) (6) \ cdot \ begin (vmatrix) a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \\ \ end (vmatrix )V =6 1 ​ ⋅ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ a X​ B X​ C X​ ​ a y​ B y​ C y​ ​ a z​ B z​ C z​ ​ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​

Se conocen las coordenadas de los cuatro vértices del octaedro. A (1, 4, 9) A (1,4,9) A (1, 4, 9), B (8, 7, 3) B (8,7,3) B (8, 7, 3), C (1, 2, 3) C (1, 2, 3) C (1, 2, 3), D (7, 12, 1) D (7,12,1) D (7, 1 2, 1)... Encuentra su volumen.

Solución

A (1, 4, 9) A (1,4,9) A (1, 4, 9)
B (8, 7, 3) B (8,7,3) B (8, 7, 3)
C (1, 2, 3) C (1, 2, 3) C (1, 2, 3)
D (7, 12, 1) D (7,12,1) D (7, 1 2, 1)

El primer paso es determinar las coordenadas de los vectores sobre los que se construye este cuerpo.
Para hacer esto, necesita encontrar cada coordenada del vector restando las coordenadas correspondientes de los dos puntos. Por ejemplo, las coordenadas del vector A B → \ flecha superior (AB) A B, es decir, el vector dirigido desde el punto A A A al punto B B B, estas son las diferencias de las coordenadas correspondientes de los puntos B B B y A A A:

AB → = (8 - 1, 7 - 4, 3 - 9) = (7, 3, - 6) \ flecha superior (AB) = (8-1, 7-4, 3-9) = (7, 3, -6)A B= (8 − 1 , 7 − 4 , 3 − 9 ) = (7 , 3 , − 6 )

AC → = (1 - 1, 2 - 4, 3 - 9) = (0, - 2, - 6) \ flecha superior (AC) = (1-1, 2-4, 3-9) = (0, - 2, -6)A C= (1 − 1 , 2 − 4 , 3 − 9 ) = (0 , − 2 , − 6 )
AD → = (7 - 1, 12 - 4, 1 - 9) = (6, 8, - 8) \ overrightarrow (AD) = (7-1, 12-4, 1-9) = (6, 8, -ocho)A D= (7 − 1 , 1 2 − 4 , 1 − 9 ) = (6 , 8 , − 8 )

Ahora encontraremos el producto mixto de estos vectores, para ello compondremos el determinante de tercer orden, asumiendo que A B → = a ⃗ \ overrightarrow (AB) = \ vec (a)A B= a, A C → = b ⃗ \ overrightarrow (AC) = \ vec (b)A C= B, A D → = c ⃗ \ overrightarrow (AD) = \ vec (c)A D= C.

∣ axayazbxbybzcxcycz ∣ = ∣ 7 3 - 6 0 - 2 - 6 6 8 - 8 ∣ = 7 ⋅ (- 2) ⋅ (- 8) + 3 ⋅ (- 6) ⋅ 6 + (- 6) ⋅ 0 ⋅ 8 - (- 6) ⋅ (- 2) ⋅ 6 - 7 ⋅ (- 6) ⋅ 8 - 3 ⋅ 0 ⋅ (- 8) = 112 - 108 - 0 - 72 + 336 + 0 = 268 \ begin (vmatrix) a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \\ \ end (vmatrix) = \ begin (vmatrix) 7 & 3 & -6 \\ 0 & -2 & -6 \\ 6 & 8 & -8 \\ \ end (vmatrix) = 7 \ cdot (-2) \ cdot (-8) + 3 \ cdot (-6) \ cdot6 + (-6) \ cdot0 \ cdot8 - (-6) \ cdot (-2) \ cdot6 - 7 \ cdot (-6) \ cdot8 - 3 \ cdot0 \ cdot (-8) = 112 - 108 - 0 - 72 + 336 + 0 = 268∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ a X​ B X​ CX​ ​ ay​ By​ Cy​ ​ az​ Bz​ Cz​ ​ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ 7 0 6 ​ 3 − 2 8 ​ − 6 − 6 − 8 ​ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ = 7 ⋅ (− 2 ) ⋅ (− 8 ) + 3 ⋅ (− 6 ) ⋅ 6 + (− 6 ) ⋅ 0 ⋅ 8 − (− 6 ) ⋅ (− 2 ) ⋅ 6 − 7 ⋅ (− 6 ) ⋅ 8 − 3 ⋅ 0 ⋅ (− 8 ) = 1 1 2 − 1 0 8 − 0 − 7 2 + 3 3 6 + 0 = 2 6 8

Es decir, el volumen del tetraedro es:

$V=61\cdot |$

Respuesta

$44.8\text{cm3 .}$

Fórmula para el volumen de un tetraedro isoédrico de lado

Esta fórmula es válida solo para calcular el volumen de un tetraedro equilátero, es decir, un tetraedro en el que todas las caras son los mismos triángulos regulares.

$V=12\sqrt{2\cdot a^3}$

un aa es la longitud del borde del tetraedro.

Determine el volumen de un tetraedro si se le da un lado igual a $11\text{cm.}$

Solución

$a=11$

Sustituir un aa en la fórmula para el volumen de un tetraedro:

$V=12\sqrt{2\cdot a^{3=12\sqrt{2\cdot 11^{3\approx 156.8\text{cm3}}}}}$

Respuesta

$156.8\text{cm3 .}$

De la fórmula básica para el volumen de un tetraedro

dónde S¿Es el área de cualquier rostro y H- la altura baja a él, puede derivar toda una serie de fórmulas que expresan el volumen en términos de varios elementos del tetraedro. Te presentamos estas fórmulas para el tetraedro A B C D.

(2) ,

donde ∠ ( ANUNCIO,A B C) - el ángulo entre el borde ANUNCIO y plano de la cara A B C;

(3) ,

donde ∠ ( A B C,ABD) - el ángulo entre las caras A B C y ABD;

donde | AB,CD| - distancia entre nervios opuestos AB y CD, ∠ (AB,CD) Es el ángulo entre estos bordes.

Las fórmulas (2) - (4) se pueden utilizar para encontrar los valores de los ángulos entre líneas rectas y planos; La fórmula (4) es especialmente útil, con la ayuda de la cual es posible encontrar la distancia entre líneas rectas que se cruzan AB y CD.

Las fórmulas (2) y (3) son similares a la fórmula S = (1/2)ab pecado C para el área del triángulo. Fórmula S = rp la fórmula es similar

dónde r Es el radio de la esfera inscrita del tetraedro, Σ es su superficie completa (la suma de las áreas de todas las caras). También hay una hermosa fórmula que une el volumen de un tetraedro con el radio. R su esfera descrita Fórmula de Crelle):

donde Δ es el área de un triángulo, cuyos lados son numéricamente iguales a los productos de los bordes opuestos ( AB× CD, C.A.× BD,ANUNCIO× antes de Cristo). A partir de la fórmula (2) y el teorema del coseno para ángulos triédricos (ver Trigonometría esférica), podemos derivar una fórmula similar a la fórmula de Heron para triángulos.

Considere un triángulo arbitrario ABC y un punto D que no se encuentra en el plano de este triángulo. Conectemos este punto con los vértices del triángulo ABC por segmentos. Como resultado, obtenemos triángulos ADC, CDB, ABD. La superficie delimitada por cuatro triángulos ABC, ADC, CDB y ABD se llama tetraedro y se denota por DABC.
Los triángulos que forman un tetraedro se llaman caras.
Los lados de estos triángulos se llaman bordes del tetraedro. Y sus picos son los picos de un tetraedro

El tetraedro tiene 4 caras, 6 costillas y 4 vértices.
Dos aristas que no tienen un vértice común se denominan aristas opuestas.
A menudo, por conveniencia, una de las caras del tetraedro se llama base y las tres caras restantes son caras laterales.

Por lo tanto, un tetraedro es el poliedro más simple con cuatro triángulos como caras.

Pero también es cierto que cualquier pirámide triangular arbitraria es un tetraedro. Entonces también es cierto que un tetraedro se llama una pirámide con un triángulo en su base.

Altura del tetraedro Se denomina segmento que conecta un vértice con un punto ubicado en la cara opuesta y perpendicular a ella.
Tetraedro mediano Se denomina segmento que conecta el vértice con el punto de intersección de las medianas de la cara opuesta.
Tetraedro bimediano se llama el segmento que conecta los puntos medios de los bordes que se cruzan del tetraedro.

Dado que un tetraedro es una pirámide con una base triangular, el volumen de cualquier tetraedro se puede calcular mediante la fórmula

• S- el área de cualquier rostro,
• H- la altura bajada a esta cara

El tetraedro regular es un tipo particular de tetraedro

Un tetraedro con todas las caras de un triángulo equilátero se llama correcto.
Propiedades de un tetraedro regular:

• Todas las caras son iguales.
• Todos los ángulos planos de un tetraedro regular son 60 °
• Dado que cada uno de sus vértices es el vértice de tres triángulos regulares, la suma de los ángulos del plano en cada vértice es 180 °
• Cualquier vértice de un tetraedro regular se proyecta hacia el ortocentro de la cara opuesta (hasta el punto de intersección de las alturas de los triángulos).

Démosle un tetraedro regular ABCD con aristas iguales a a. DH es su altura.
Hagamos construcciones adicionales BM - la altura del triángulo ABC y DM - la altura del triángulo ACD.
La altura BM es igual a BM y es igual a
Considere un triángulo BDM, donde DH, que es la altura del tetraedro, también es la altura de este triángulo.
La altura del triángulo bajado al lado MB se puede encontrar usando la fórmula

, dónde
BM =, DM =, BD = a,
p = 1/2 (BM + BD + DM) =
Sustituye estos valores en la fórmula de la altura. Obtenemos


Saque 1 / 2a. Obtenemos

Aplicamos la fórmula de diferencia de cuadrados.

Después de pequeñas transformaciones, obtenemos


El volumen de cualquier tetraedro se puede calcular mediante la fórmula
,
dónde ,

Sustituyendo estos valores, obtenemos

Por tanto, la fórmula de volumen de un tetraedro regular es

dónde a- el borde del tetraedro

Calcular el volumen de un tetraedro si se conocen las coordenadas de sus vértices

Vamos a darnos las coordenadas de los vértices del tetraedro

Dibuja vectores ,, desde el vértice.
Para encontrar las coordenadas de cada uno de estos vectores, reste la coordenada inicial correspondiente de la coordenada final. Obtenemos