De la fórmula básica para el volumen de un tetraedro.

dónde S es el área de cualquier cara, y H- la altura bajada sobre él, puede derivar toda una serie de fórmulas que expresan el volumen en términos de varios elementos del tetraedro. Damos estas fórmulas para el tetraedro A B C D.

(2) ,

donde ∠ ( ANUNCIO,A B C) es el ángulo entre el borde ANUNCIO y plano de la cara A B C;

(3) ,

donde ∠ ( A B C,ABD) es el ángulo entre las caras A B C y ABD;

donde | AB,CD| - distancia entre costillas opuestas AB y CD, ∠ (AB,CD) es el ángulo entre estos bordes.

Las fórmulas (2)–(4) se pueden usar para encontrar los ángulos entre líneas y planos; la fórmula (4) es especialmente útil, con la que puede encontrar la distancia entre las líneas oblicuas AB y CD.

Las fórmulas (2) y (3) son similares a la fórmula S = (1/2)abdominales pecado C para el área de un triángulo. Fórmula S = rp fórmula similar

dónde r es el radio de la esfera inscrita del tetraedro, Σ es su superficie total (la suma de las áreas de todas las caras). También hay una hermosa fórmula que conecta el volumen de un tetraedro con un radio R su alcance descrito ( Fórmula Crelle):

donde Δ es el área de un triángulo cuyos lados son numéricamente iguales a los productos de los lados opuestos ( AB× CD, C.A.× BD,ANUNCIO× antes de Cristo). A partir de la fórmula (2) y el teorema del coseno para ángulos triédricos (ver Trigonometría esférica), se puede derivar una fórmula similar a la fórmula de Heron para triángulos.

Considere un triángulo ABC arbitrario y un punto D que no se encuentra en el plano de este triángulo. Conecta este punto con segmentos a los vértices del triángulo ABC. Como resultado, obtenemos los triángulos ADC, CDB, ABD. La superficie delimitada por cuatro triángulos ABC, ADC, CDB y ABD se llama tetraedro y se denota como DABC.
Los triángulos que forman un tetraedro se llaman sus caras.
Los lados de estos triángulos se llaman aristas del tetraedro. Y sus vértices son los vértices de un tetraedro

El tetraedro tiene 4 caras, 6 costillas y 4 picos.
Dos aristas que no tienen un vértice común se llaman opuestas.
A menudo, por conveniencia, una de las caras del tetraedro se llama base, y las tres caras restantes son caras laterales.

Así, el tetraedro es el poliedro más simple, cuyas caras son cuatro triángulos.

Pero también es cierto que cualquier pirámide triangular arbitraria es un tetraedro. Entonces también es cierto que un tetraedro se llama una pirámide con un triángulo en su base.

La altura del tetraedro Se llama segmento al que une un vértice con un punto situado en la cara opuesta y perpendicular a ella.
mediana de un tetraedro Se llama segmento al que une el vértice con el punto de intersección de las medianas de la cara opuesta.
tetraedro bimediano Se llama segmento al que une los puntos medios de las aristas que se cruzan del tetraedro.

Dado que un tetraedro es una pirámide con una base triangular, el volumen de cualquier tetraedro se puede calcular usando la fórmula

• S es el area de cualquier cara,
• H- la altura bajada en esta cara

Tetraedro regular - un tipo especial de tetraedro

Un tetraedro en el que todas las caras son triángulos equiláteros se llama correcto.
Propiedades de un tetraedro regular:

• Todos los bordes son iguales.
• Todos los ángulos planos de un tetraedro regular miden 60°
• Como cada uno de sus vértices es el vértice de tres triángulos regulares, la suma de los ángulos planos en cada vértice es 180°
• Cualquier vértice de un tetraedro regular se proyecta al ortocentro de la cara opuesta (al punto de intersección de las alturas del triángulo).

Tengamos un tetraedro regular ABCD con aristas iguales a . DH es su altura.
Hagamos construcciones adicionales BM - la altura del triángulo ABC y DM - la altura del triángulo ACD .
Altura BM es igual a BM y es igual a
Considere el triángulo BDM, donde DH, que es la altura del tetraedro, es también la altura de este triángulo.
La altura de un triángulo dejado caer al lado MB se puede encontrar usando la fórmula

, dónde
BM=, DM=, BD=a,
p=1/2 (BM+BD+DM)=
Sustituye estos valores en la fórmula de la altura. Obtener


Saquemos 1/2a. Obtener

Aplicar la formula diferencia de cuadrados

Después de algunas pequeñas transformaciones, obtenemos


El volumen de cualquier tetraedro se puede calcular usando la fórmula
,
dónde ,

Sustituyendo estos valores, obtenemos

Por tanto, la fórmula del volumen de un tetraedro regular es

dónde a–arista del tetraedro

Calcular el volumen de un tetraedro conociendo las coordenadas de sus vértices

Dándonos las coordenadas de los vértices del tetraedro

Dibuja vectores desde el vértice , , .
Para encontrar las coordenadas de cada uno de estos vectores, resta la coordenada inicial correspondiente de la coordenada final. Obtener

Para un tetraedro regular, todos los ángulos diedros en los bordes y todos los ángulos triédricos en los vértices son iguales

Un tetraedro tiene 4 caras, 4 vértices y 6 aristas.

Las fórmulas básicas para un tetraedro regular se dan en la tabla.

Dónde:
S - Área de superficie de un tetraedro regular
V - volumen
h - altura bajada a la base
r - radio del círculo inscrito en el tetraedro
R - radio del círculo circunscrito
a - longitud de la costilla

Ejemplos prácticos

Solución.
Como todas las aristas de una pirámide triangular son iguales, es correcta. El área de superficie de una pirámide triangular regular es S = a 2 √3.
Después
S = 3√3

Responder: 3√3

Una tarea.
Todas las aristas de una pirámide triangular regular miden 4 cm Halla el volumen de la pirámide

Solución.
Dado que en una pirámide triangular regular la altura de la pirámide se proyecta hacia el centro de la base, que también es el centro del círculo circunscrito, entonces

AO = R = √3 / 3a
OA = 4√3 / 3

Entonces, la altura de la pirámide OM se puede encontrar a partir de triángulo rectángulo AOM

AO 2 + OM 2 = AM 2
OM 2 = AM 2 - AO 2
OM 2 = 4 2 - (4√3 / 3) 2
OM 2 = 16 - 16/3
OM = √(32/3)
OM = 4√2 / √3

El volumen de la pirámide se encuentra por la fórmula V = 1/3 Sh
En este caso, encontramos el área de la base por la fórmula S \u003d √3/4 a 2

V = 1/3 (√3 / 4 * 16) (4√2 / √3)
V=16√2/3

Responder: 16√2/3cm

Definición de un tetraedro

tetraedro- el cuerpo poliédrico más simple, cuyas caras y base son triángulos.

Calculadora online

Un tetraedro tiene cuatro caras, cada una de las cuales está formada por tres lados. El tetraedro tiene cuatro vértices, cada uno con tres aristas.

Este cuerpo se divide en varios tipos. A continuación se muestra su clasificación.

1. tetraedro isoédrico- todas sus caras son los mismos triángulos;
2. tetraedro ortocéntrico- todas las alturas trazadas desde cada vértice hasta la cara opuesta tienen la misma longitud;
3. tetraedro rectangular- los bordes que emanan de un vértice forman un ángulo de 90 grados entre sí;
4. cuadro;
5. Proporcionado;
6. incéntrico.

Fórmulas de volumen de tetraedro

El volumen de un cuerpo dado se puede encontrar de varias maneras. Vamos a analizarlos con más detalle.

Mediante el producto mixto de vectores

Si el tetraedro se construye sobre tres vectores con coordenadas:

A ⃗ = (a x , a y , a z) \vec(a)=(a_x, a_y, a_z)a= (a X​ , a y​ , a z​ )
segundo ⃗ = (segundo x , segundo y , segundo z) \vec(b)=(b_x, b_y, b_z)b= (b X​ , b y​ , b z​ )
c ⃗ = (c x , c y , c z) \vec(c)=(c_x, c_y, c_z)C= (C X​ , C y​ , C z​ ) ,

entonces el volumen de este tetraedro es el producto mixto de estos vectores, es decir, tal determinante:

V = 1 6 ⋅ ∣ un X un y un z segundo X segundo y segundo z C X C y C z ∣ V=\frac(1)(6)\cdot\begin(vmatriz) a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \\ \end(vmatriz )V =6 1 ​ ⋅ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ a X​ b X​ C X​ ​ a y​ b y​ C y​ ​ a z​ b z​ C z​ ​ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​

Se conocen las coordenadas de los cuatro vértices del octaedro. UN (1 , 4 , 9) UN(1,4,9) A (1, 4, 9), B(8 , 7 , 3) ​​B(8,7,3) segundo(8, 7, 3), C(1, 2, 3) C(1,2,3) C (1, 2, 3), D(7, 12, 1) D(7,12,1) re (7 , 1 2 , 1 ). Halla su volumen.

Solución

UN (1 , 4 , 9) UN(1,4,9) A (1, 4, 9)
B(8 , 7 , 3) ​​B(8,7,3) segundo(8, 7, 3)
C(1, 2, 3) C(1,2,3) C (1, 2, 3)
D(7, 12, 1) D(7,12,1) re (7 , 1 2 , 1 )

El primer paso es determinar las coordenadas de los vectores sobre los que se construye el cuerpo dado.
Para hacer esto, necesitas encontrar cada coordenada del vector restando las coordenadas correspondientes de dos puntos. Por ejemplo, coordenadas vectoriales A B → \overrightarrow(AB) un b, es decir, un vector dirigido desde un punto una A al punto bb B, estas son las diferencias de las coordenadas correspondientes de los puntos bb B y una A:

A segundo → = (8 − 1 , 7 − 4 , 3 − 9) = (7 , 3 , − 6) \overrightarrow(AB)=(8-1, 7-4, 3-9)=(7, 3, -6)un b= (8 − 1 , 7 − 4 , 3 − 9 ) = (7 , 3 , − 6 )

UN C → = (1 − 1 , 2 − 4 , 3 − 9) = (0 , − 2 , − 6) \overrightarrow(AC)=(1-1, 2-4, 3-9)=(0, - 2, -6)una c= (1 − 1 , 2 − 4 , 3 − 9 ) = (0 , − 2 , − 6 )
UN RE → = (7 − 1 , 12 − 4 , 1 − 9) = (6 , 8 , − 8) \overrightarrow(AD)=(7-1, 12-4, 1-9)=(6, 8, -ocho)un re= (7 − 1 , 1 2 − 4 , 1 − 9 ) = (6 , 8 , − 8 )

Ahora encontremos el producto mixto de estos vectores, para esto componemos un determinante de tercer orden, suponiendo que UN segundo → = un ⃗ \overrightarrow(AB)=\vec(a)un b= a, UN C → = segundo ⃗ \overrightarrow(AC)=\vec(b)una c= b, UNA re → = c ⃗ \overrightarrow(AD)=\vec(c)un re= C.

∣ un X un y un z segundo X segundo y segundo z C X C y C z ∣ = ∣ 7 3 − 6 0 − 2 − 6 6 8 − 8 (− 6) ⋅ (− 2) ⋅ 6 − 7 ⋅ (− 6) ⋅ 8 − 3 ⋅ 0 ⋅ (− 8) = 112 − 108 − 0 − 72 + 336 + 0 = 268 \begin(vmatriz) a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \\ \end(vmatriz)= \begin(vmatriz) 7 & 3 & -6 \\ 0 & -2 & -6 \\ 6 & 8 & -8 \\ \end(vmatriz)=7\cdot(-2)\cdot(-8) + 3\cdot(-6) \cdot6 + (-6)\cdot0\cdot8 - (-6)\cdot (-2)\cdot6 - 7\cdot(-6)\cdot8 - 3\cdot0\cdot(-8) = 112 - 108 - 0 - 72 + 336 + 0 = 268∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ a X​ b X​ CX​ ​ ay​ by​ Cy​ ​ az​ bz​ Cz​ ​ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ 7 0 6 ​ 3 − 2 8 ​ − 6 − 6 − 8 ​ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ = 7 ⋅ (− 2 ) ⋅ (− 8 ) + 3 ⋅ (− 6 ) ⋅ 6 + (− 6 ) ⋅ 0 ⋅ 8 − (− 6 ) ⋅ (− 2 ) ⋅ 6 − 7 ⋅ (− 6 ) ⋅ 8 − 3 ⋅ 0 ⋅ (− 8 ) = 1 1 2 − 1 0 8 − 0 − 7 2 + 3 3 6 + 0 = 2 6 8

Es decir, el volumen de un tetraedro es:

$V=61\cdot |$

Responder

$44.8\text{cm3 .}$

La fórmula para el volumen de un tetraedro isoédrico a lo largo de su lado

Esta fórmula es válida solo para calcular el volumen de un tetraedro isoédrico, es decir, un tetraedro en el que todas las caras son triángulos regulares idénticos.

$V=12\sqrt{2\cdot a^3}$

un una es la longitud de la arista del tetraedro.

Encuentre el volumen de un tetraedro si su lado es igual a $11\text{cm.}$

Solución

$a=11$

Sustituto un una en la fórmula para el volumen de un tetraedro:

$V=12\sqrt{2\cdot a^{3=12\sqrt{2\cdot 11^{3\approx 156.8\text{cm3}}}}}$

Responder

$156.8\text{cm3 .}$