زاویه بین دو بردار، :

اگر زاویه بین دو بردار حاد باشد، حاصل ضرب اسکالر آنها مثبت است. اگر زاویه بین بردارها منفرد باشد، حاصل ضرب اسکالر این بردارها منفی است. حاصل ضرب اسکالر دو بردار غیر صفر برابر با صفر است اگر و فقط اگر این بردارها متعامد باشند.

ورزش کنید.زاویه بین بردارها و را پیدا کنید

راه حل.کسینوس زاویه مورد نظر

16. محاسبه زاویه بین خطوط مستقیم، خط مستقیم و صفحه

زاویه بین یک خط مستقیم و یک صفحهاین خط را قطع می کند و عمود بر آن نیست، زاویه بین خط و برآمدگی آن بر روی این صفحه است.

تعیین زاویه بین یک خط و یک صفحه به ما امکان می دهد نتیجه بگیریم که زاویه بین یک خط و یک صفحه، زاویه بین دو خط متقاطع است: خود خط مستقیم و طرح ریزی آن بر روی صفحه. بنابراین زاویه بین خط مستقیم و صفحه یک زاویه حاد است.

زاویه بین یک خط مستقیم عمود بر یک صفحه برابر در نظر گرفته می شود و زاویه بین یک خط مستقیم موازی و یک صفحه یا اصلاً تعیین نمی شود یا برابر است.

§ 69. محاسبه زاویه بین خطوط مستقیم.

مشکل محاسبه زاویه بین دو خط مستقیم در فضا به همان روشی که در یک صفحه حل می شود (§ 32). اجازه دهید بزرگی زاویه بین خطوط را با φ نشان دهیم ل 1 و ل 2، و از طریق ψ - بزرگی زاویه بین بردارهای جهت الف و ب این خطوط مستقیم

سپس اگر

ψ 90 درجه (شکل 206.6)، سپس φ = 180 درجه - ψ. بدیهی است که در هر دو مورد برابری cos φ = |cos ψ| صادق است. با فرمول (1) § 20 داریم

از این رو،

اجازه دهید خطوط با معادلات متعارف آنها داده شود

سپس زاویه φ بین خطوط با استفاده از فرمول تعیین می شود

اگر یکی از خطوط (یا هر دو) با معادلات غیر متعارف به دست می آید، برای محاسبه زاویه باید مختصات بردارهای جهت این خطوط را پیدا کنید و سپس از فرمول (1) استفاده کنید.

17. خطوط موازی، قضایای خطوط موازی

تعریف.دو خط در یک هواپیما نامیده می شوند موازی، اگر نقاط مشترکی نداشته باشند.

دو خط در فضای سه بعدی نامیده می شود موازی، اگر در یک صفحه دراز بکشند و نقاط مشترک نداشته باشند.

زاویه بین دو بردار

از تعریف محصول نقطه ای:

.

شرط متعامد بودن دو بردار:

شرط همخطی بودن دو بردار:

.

برگرفته از تعریف 5 - . در واقع از تعریف حاصل ضرب یک بردار و یک عدد به دست می آید. بنابراین بر اساس قاعده تساوی بردارها، , را می نویسیم که دلالت دارد . اما بردار حاصل از ضرب بردار در عدد، هم خط با بردار است.

طرح ریزی بردار بر روی بردار:

.

مثال 4. امتیاز داده شده , , , .

محصول نقطه ای را پیدا کنید.

راه حل. ما با استفاده از فرمول حاصل ضرب اسکالر بردارها که با مختصات آنها مشخص شده اند استفاده می کنیم. از آنجایی که

, ,

مثال 5.امتیاز داده شده , , , .

فرافکنی را پیدا کنید.

راه حل. از آنجایی که

, ,

بر اساس فرمول طرح ریزی داریم

.

مثال 6.امتیاز داده شده , , , .

زاویه بین بردارها و .

راه حل. توجه داشته باشید که بردارها

, ,

خطی نیستند زیرا مختصات آنها متناسب نیست:

.

این بردارها نیز عمود نیستند، زیرا حاصل ضرب اسکالر آنها .

بیایید پیدا کنیم

گوشه از فرمول در می یابیم:

.

مثال 7.تعیین در چه بردار و خطی

راه حل. در صورت هم خطی، مختصات متناظر بردارها و باید متناسب باشد، یعنی:

.

از این رو و.

مثال 8. تعیین کنید در چه مقدار بردار و عمود بر.

راه حل. بردار و اگر حاصل ضرب اسکالر آنها صفر باشد عمود هستند. از این شرط به دست می آید: . بنابراین، .

مثال 9. پیدا کنید , اگر , , .

راه حل. با توجه به خواص محصول اسکالر، ما داریم:

مثال 10. زاویه بین بردارها و , Where and را پیدا کنید - بردار واحد و زاویه بین بردارها و برابر با 120 درجه است.

راه حل. ما داریم: , ,

در نهایت داریم: .

5.b. اثر هنری وکتور.

تعریف 21.اثر هنری وکتوربردار به بردار بردار نامیده می شود یا با سه شرط زیر تعریف می شود:

1) مدول بردار برابر است با، که در آن زاویه بین بردارها و، یعنی. .

نتیجه این است که مدول حاصلضرب بردار از نظر عددی برابر است با مساحت متوازی الاضلاع ساخته شده روی بردارها و هر دو طرف.

2) بردار بر هر یک از بردارها عمود است و ( ; )، i.e. عمود بر صفحه متوازی الاضلاع ساخته شده بر روی بردارها و .

3) جهت بردار به گونه ای است که اگر از انتهای آن مشاهده شود، کوتاه ترین چرخش از بردار به بردار در خلاف جهت عقربه های ساعت خواهد بود (بردارها، , یک سه گانه سمت راست را تشکیل می دهند).

چگونه زاویه بین بردارها را محاسبه کنیم؟

هنگام مطالعه هندسه سوالات زیادی در مورد بردارها مطرح می شود. دانش آموز در مواقعی که لازم است زوایای بین بردارها را پیدا کند، مشکلات خاصی را تجربه می کند.

اصطلاحات اساسی

قبل از بررسی زوایای بین بردارها، لازم است با تعریف بردار و مفهوم زاویه بین بردارها آشنا شویم.

بردار پاره ای است که جهت دارد، یعنی پاره ای که ابتدا و انتهای آن مشخص شده است.

زاویه بین دو بردار در صفحه ای که منشأ مشترک دارند، کوچکتر از زاویه ها به میزانی است که یکی از بردارها باید در اطراف نقطه مشترک حرکت کند تا زمانی که جهت آنها بر هم منطبق شود.

فرمول حل

هنگامی که متوجه شدید که یک بردار چیست و زاویه آن چگونه تعیین می شود، می توانید زاویه بین بردارها را محاسبه کنید. فرمول حل برای این بسیار ساده است و نتیجه اعمال آن مقدار کسینوس زاویه خواهد بود. طبق تعریف، برابر است با حاصل ضرب اسکالر بردارها و حاصل ضرب طول آنها.

حاصل ضرب اسکالر بردارها به صورت مجموع مختصات متناظر بردارهای عامل در یکدیگر محاسبه می شود. طول یک بردار یا مدول آن به عنوان جذر مجذور مجذور مختصات آن محاسبه می شود.

با دریافت مقدار کسینوس زاویه، می توانید مقدار خود زاویه را با استفاده از ماشین حساب یا با استفاده از جدول مثلثاتی محاسبه کنید.

مثال

هنگامی که نحوه محاسبه زاویه بین بردارها را فهمیدید، حل مسئله مربوطه ساده و واضح خواهد شد. به عنوان مثال، ارزش بررسی مسئله ساده یافتن مقدار یک زاویه را دارد.

اول از همه، محاسبه مقادیر طول بردارها و محصول اسکالر آنها برای حل ضروری تر خواهد بود. با استفاده از توضیحات ارائه شده در بالا، دریافت می کنیم:

با جایگزینی مقادیر به دست آمده در فرمول، مقدار کسینوس زاویه مورد نظر را محاسبه می کنیم:

این عدد یکی از پنج مقدار کسینوس رایج نیست، بنابراین برای بدست آوردن مقدار زاویه، باید از ماشین حساب یا جدول مثلثاتی Bradis استفاده کنید. اما قبل از بدست آوردن زاویه بین بردارها، می توان فرمول را ساده کرد تا از شر علامت منفی اضافی خلاص شود:

برای حفظ دقت، می توان پاسخ نهایی را به همان صورت باقی گذاشت یا می توانید مقدار زاویه را بر حسب درجه محاسبه کنید. طبق جدول بردیس مقدار آن تقریباً 116 درجه و 70 دقیقه خواهد بود و ماشین حساب مقدار 116.57 درجه را نشان می دهد.

محاسبه زاویه در فضای n بعدی

هنگامی که دو بردار را در فضای سه بعدی در نظر می گیریم، درک اینکه اگر در یک صفحه قرار نگیرند، در مورد کدام زاویه صحبت می کنیم بسیار دشوارتر است. برای ساده‌تر کردن ادراک، می‌توانید دو بخش متقاطع را بکشید که کوچک‌ترین زاویه را بین آنها تشکیل می‌دهند، این زاویه مورد نظر خواهد بود. حتی اگر مختصات سومی در بردار وجود داشته باشد، روند نحوه محاسبه زوایای بین بردارها تغییر نخواهد کرد. حاصل ضرب اسکالر و مدول بردارها را محاسبه کنید، کسینوس قوس ضریب آنها پاسخ این مسئله خواهد بود.

در هندسه اغلب در فضاهایی که بیش از سه بعد دارند مشکلاتی وجود دارد. اما برای آنها، الگوریتم برای یافتن پاسخ مشابه به نظر می رسد.

تفاوت بین 0 تا 180 درجه

یکی از اشتباهات رایج هنگام نوشتن پاسخ به مسئله ای که برای محاسبه زاویه بین بردارها طراحی شده است، تصمیم به نوشتن موازی بودن بردارها است، یعنی زاویه مورد نظر برابر با 0 یا 180 درجه است. این پاسخ نادرست است.

با دریافت مقدار زاویه 0 درجه در نتیجه حل، پاسخ صحیح این است که بردارها را هم جهت تعیین کنیم، یعنی بردارها یک جهت خواهند داشت. اگر 180 درجه بدست آید، بردارها جهت مخالف خواهند بود.

بردارهای خاص

پس از یافتن زوایای بین بردارها، می توانید یکی از انواع خاص را علاوه بر زوایای هم جهت و مخالف که در بالا توضیح داده شد، بیابید.

• چند بردار موازی با یک صفحه همسطح نامیده می شوند.
• بردارهایی که از نظر طول و جهت یکسان هستند، برابر نامیده می شوند.
• بردارهایی که بدون در نظر گرفتن جهت روی یک خط مستقیم قرار می گیرند، خطی نامیده می شوند.
• اگر طول بردار صفر باشد، یعنی ابتدا و انتهای آن بر هم منطبق باشد، آن را صفر و اگر یک باشد، واحد نامیده می شود.

چگونه زاویه بین بردارها را پیدا کنیم؟

لطفا کمک کنید من فرمول را می دانم، اما نمی توانم آن را محاسبه کنم ((
بردار a (8؛ 10؛ 4) بردار b (5؛ -20؛ -10)

الکساندر تیتوف

زاویه بین بردارهای مشخص شده توسط مختصات آنها با استفاده از یک الگوریتم استاندارد پیدا می شود. ابتدا باید حاصل ضرب اسکالر بردارهای a و b را پیدا کنید: (a, b) = x1x2 + y1y2 + z1z2. مختصات این بردارها را در اینجا جایگزین می کنیم و محاسبه می کنیم:
(a,b) = 8*5 + 10*(-20) = 4*(-10) = 40 - 200 - 40 = -200.
در مرحله بعد، طول هر بردار را تعیین می کنیم. طول یا مدول یک بردار، جذر مجذور مجذور مختصات آن است:
|a| = ریشه (x1^2 + y1^2 + z1^2) = ریشه (8^2 + 10^2 + 4^2) = ریشه (64 + 100 + 16) = ریشه 180 = 6 ریشه از 5
|ب| = ریشه (x2^2 + y2^2 + z2^2) = ریشه (5^2 + (20)^2 + (-10)^2) = ریشه (25 + 400 + 100) = ریشه از 525 = 5 ریشه از 21.
این طول ها را ضرب می کنیم. از 105 ریشه 30 ریشه می گیریم.
و در نهایت حاصل ضرب اسکالر بردارها را بر حاصل ضرب طول این بردارها تقسیم می کنیم. ما -200/(30 ریشه از 105) یا
- (4 ریشه 105) / 63. این کسینوس زاویه بین بردارها است. و خود زاویه برابر است با کسینوس قوس این عدد
f = arccos (-4 ریشه از 105) / 63.
اگر همه چیز را درست شمردم.

نحوه محاسبه سینوس زاویه بین بردارها با استفاده از مختصات بردارها

میخائیل تکاچف

بیایید این بردارها را ضرب کنیم. حاصل ضرب اسکالر آنها برابر است با حاصل ضرب طول این بردارها و کسینوس زاویه بین آنها.
زاویه برای ما ناشناخته است، اما مختصات آن مشخص است.
بیایید به صورت ریاضی آن را اینگونه بنویسیم.
بگذارید بردارهای a(x1;y1) و b(x2;y2) داده شوند
سپس

A*b=|a|*|b|*cosA

CosA=a*b/|a|*|b|

بیا حرف بزنیم
حاصل ضرب عددی a*b بردارها برابر است با مجموع حاصل ضرب مختصات مربوط به مختصات این بردارها، یعنی برابر x1*x2+y1*y2

|a|*|b|-محصول طول های برداری برابر با √((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+(y2)^2) است.

این بدان معنی است که کسینوس زاویه بین بردارها برابر است با:

CosA=(x1*x2+y1*y2)/√((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+(y2)^2)

با دانستن کسینوس یک زاویه می توانیم سینوس آن را محاسبه کنیم. بیایید در مورد نحوه انجام این کار بحث کنیم:

اگر کسینوس یک زاویه مثبت باشد، این زاویه در 1 یا 4 ربع قرار دارد، یعنی سینوس آن مثبت یا منفی است. اما از آنجایی که زاویه بین بردارها کمتر یا مساوی 180 درجه است، سینوس آن مثبت است. اگر کسینوس منفی باشد، به همین ترتیب استدلال می کنیم.

SinA=√(1-cos^2A)=√(1-((x1*x2+y1*y2)/√((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+( y2)^2))^2)

همین)))) موفق باشید در پی بردن به آن)))

دیمیتری لویشچف

این واقعیت که غیرممکن است به طور مستقیم سینوس شود، درست نیست.
علاوه بر فرمول:
(a,b)=|a|*|b|*cos A
این یکی هم هست:
||=|الف|*|ب|*سین A
یعنی به جای حاصل ضرب اسکالر می توانید ماژول حاصلضرب برداری را بگیرید.

دانش و درک اصطلاحات ریاضی به حل بسیاری از مسائل در دروس جبر و هندسه کمک می کند. نقش به همان اندازه مهم به فرمول هایی داده می شود که روابط بین ویژگی های ریاضی را نشان می دهند.

زاویه بین بردارها - اصطلاحات توضیح داده شده است

برای تدوین تعریفی از زاویه بین بردارها، لازم است بدانیم که اصطلاح "بردار" به چه معناست. این مفهوم بخشی از یک خط مستقیم را مشخص می کند که شروع، طول و جهت دارد. اگر در مقابل شما 2 بخش جهت دار وجود داشته باشد که از یک نقطه منشا می گیرند، بنابراین آنها یک زاویه را تشکیل می دهند.

که اصطلاح "زاویه بین بردارها" اندازه گیری درجه کوچکترین زاویه ای را که یک پاره جهت دار باید بر اساس آن بچرخد (نسبت به نقطه شروع) تعریف می کند تا موقعیت / جهت دومین بخش جهت دار خط را بگیرد. این عبارت در مورد بردارهایی که از یک نقطه سرچشمه می گیرند اعمال می شود.

درجه اندازه‌گیری زاویه بین دو بخش جهت‌دار یک خط مستقیم که از یک نقطه منشأ می‌گیرند در قطعه‌ای از 0 محصور می‌شود. º تا 180 º. این کمیت به صورت ∠(ā,ū) نشان داده می شود - زاویه بین بخش های جهت دار à و ū.

محاسبه زاویه بین بردارها

محاسبه درجه اندازه گیری زاویه تشکیل شده توسط یک جفت قسمت جهت دار یک خط مستقیم با استفاده از فرمول زیر انجام می شود:

cosφ = (ō,ā) / |ō|·|ā|، ⇒ φ = arccos (cosφ).

∠φ – زاویه مورد نظر بین بردارهای داده شده ō و ā،

(ō,ā) - حاصل ضرب اسکالرهای قسمتهای هدایت شده خط،

|ō|·|ā| - حاصل ضرب طول بخش های جهت داده شده.

تعیین حاصل ضرب اسکالر مقاطع جهت دار یک خط مستقیم

چگونه می توان از این فرمول استفاده کرد و مقدار صورت و مخرج نسبت ارائه شده را تعیین کرد؟

بسته به سیستم مختصات (فضای دکارتی یا سه بعدی) که بردارهای داده شده در آن قرار دارند، هر بخش جهت دار دارای پارامترهای زیر است:

ō = { o x، o y)، ā = ( یک x, الف y) یا

ō = { o x، o y ، o z)، ā = ( یک x, الف y ، یک z).

بنابراین، برای یافتن مقدار شمارنده - اسکالر بخش های جهت دار - باید اقدامات زیر را انجام دهید:

(ō,ā) = ō * ā = o x* یک x+ o y *الف y اگر بردارهای مورد بررسی روی صفحه قرار داشته باشند

(ō,ā) = ō * ā = o x* یک x+ o y *الف y + o z* الف z اگر مقاطع جهت دار خط در فضا قرار گیرند.

تعیین طول بردار

طول بخش هدایت شده با استفاده از عبارات محاسبه می شود:

|ō| = √ o x 2 + o y 2 یا |ō| = √ o x 2 + o y2+ o z 2

|آ| = √ a x 2 + الف y 2 یا |ā| = √ الف x 2 + الف y2+ الف z 2

که در حالت کلی اندازه گیری n بعدی، عبارت برای تعیین درجه اندازه گیری زاویه بین بخش های جهت دار ō = ( o x، o y ، … o n) و ā = ( یک x, الف y ، … الف n) به شکل زیر است:

φ = arccos (cosφ) = arccos (( o x* یک x+ o y *الف y + … + o n* الف n)/(√ o x 2 + o y 2 + … + o n2*√ الف x 2 + الف y 2 + … + الف n 2)).

مثالی از محاسبه زاویه بین قطعات جهت دار

با توجه به شرایط، بردارهای ī = (3؛ 4؛ 0) و ū = (4؛ 4؛ 2) داده می شوند. درجه اندازه گیری زاویه تشکیل شده توسط این قطعات چقدر است؟

اسکالر بردارهای ī و ū را تعریف کنید. برای انجام این کار:

i * u = 3*4 + 4*4 + 0*2 = 28

سپس طول قطعات را محاسبه کنید:

|ī| = √9 + 16 + 0 = √25 = 5،

|ū| = √16 + 16 + 4 = √36 = 6.

cos (ī,ū) = 28 / 5*6 = 28/30 = 14/15 = 0.9(3).

با استفاده از جدول مقادیر کسینوس (Bradis)، مقدار زاویه مورد نظر را تعیین کنید:

cos (ī,ū) = 0.9(3) ⇒ ∠(ī,ū) = 21° 6′.

حاصل ضرب نقطه ای بردارها

ما همچنان با بردارها سروکار داریم. در درس اول وکتور برای آدمکما به مفهوم بردار، اقدامات با بردارها، مختصات بردار و ساده ترین مسائل با بردارها نگاه کردیم. اگر برای اولین بار از یک موتور جستجو به این صفحه آمدید، خواندن مقاله مقدماتی بالا را اکیداً توصیه می کنم، زیرا برای تسلط بر مطالب باید با اصطلاحات و نمادهایی که من استفاده می کنم آشنا باشید، دانش اولیه در مورد بردارها و وکتورها داشته باشید. بتواند مشکلات اساسی را حل کند. این درس ادامه منطقی مبحث است و در آن وظایف معمولی را که از حاصل ضرب اسکالر بردارها استفاده می کنند با جزئیات تجزیه و تحلیل خواهم کرد. این یک فعالیت بسیار مهم است.. سعی کنید از مثال‌ها غافل نشوید.

جمع بردارها، ضرب بردار در عدد .... ساده لوحانه است اگر فکر کنیم که ریاضیدانان چیز دیگری به ذهنشان خطور نکرده است. علاوه بر اقداماتی که قبلاً مورد بحث قرار گرفت، تعدادی عملیات دیگر با بردارها وجود دارد که عبارتند از: حاصل ضرب نقطه ای بردارها, حاصلضرب برداری بردارهاو حاصلضرب مخلوط بردارها. حاصل ضرب اسکالر بردارها از دوران مدرسه برای ما آشناست. موضوعات ساده هستند، الگوریتم برای حل بسیاری از مسائل ساده و قابل درک است. تنها چیز. مقدار مناسبی از اطلاعات وجود دارد، بنابراین نامطلوب است که سعی کنید همه چیز را به طور همزمان حل کنید. این به ویژه برای آدمک‌ها صادق است، باور کنید نویسنده مطلقاً نمی‌خواهد شبیه چیکاتیلو از ریاضیات باشد. خوب، البته نه از ریاضیات =) دانش آموزان آماده تر می توانند به طور انتخابی از مواد استفاده کنند، به یک معنا، دانش گم شده را برای شما "دراکولا" بی ضرر خواهند بود.

بیایید در نهایت در را باز کنیم و با اشتیاق تماشا کنیم که وقتی دو بردار یکدیگر را ملاقات می کنند چه اتفاقی می افتد ...

تعریف حاصل ضرب اسکالر بردارها.
ویژگی های محصول اسکالر وظایف معمولی

مفهوم محصول نقطه ای

اول در مورد زاویه بین بردارها. من فکر می کنم همه به طور مستقیم می فهمند که زاویه بین بردارها چیست، اما در هر صورت، کمی جزئیات بیشتر. بیایید بردارهای غیر صفر آزاد و . اگر این بردارها را از یک نقطه دلخواه رسم کنید، تصویری دریافت خواهید کرد که بسیاری از قبل تصور کرده اند:

اعتراف می کنم، در اینجا من وضعیت را فقط در سطح درک توصیف کردم. اگر به تعریف دقیق زاویه بین بردارها نیاز دارید، لطفاً برای مسائل عملی به کتاب درسی مراجعه کنید، در اصل ما به آن نیاز نداریم. همچنین HERE AND HEREIN بردارهای صفر را در مکان ها به دلیل اهمیت عملی کم آنها نادیده خواهم گرفت. من به طور خاص برای بازدیدکنندگان سایت پیشرفته رزرو کردم که ممکن است من را به دلیل ناقص بودن نظری برخی اظهارات بعدی سرزنش کنند.

در ادبیات، نماد زاویه اغلب نادیده گرفته می شود و به سادگی نوشته می شود.

تعریف:حاصل ضرب اسکالر دو بردار عددی است برابر حاصلضرب طول این بردارها و کسینوس زاویه بین آنها:

اکنون این یک تعریف کاملاً دقیق است.

ما روی اطلاعات ضروری تمرکز می کنیم:

تعیین نام:محصول اسکالر با یا به سادگی نشان داده می شود.

نتیجه عملیات NUMBER است: بردار در بردار ضرب می شود و حاصل یک عدد است. در واقع، اگر طول بردارها اعداد باشد، کسینوس یک زاویه یک عدد است، پس حاصلضرب آنها نیز یک عدد خواهد بود.

فقط چند مثال گرم کردن:

مثال 1

راه حل:ما از فرمول استفاده می کنیم . در این مورد:

پاسخ:

مقادیر کسینوس را می توان در پیدا کرد جدول مثلثاتی. من توصیه می کنم آن را چاپ کنید - تقریباً در تمام بخش های برج مورد نیاز است و بارها مورد نیاز خواهد بود.

از نقطه نظر ریاضی محض، حاصل ضرب اسکالر بدون بعد است، یعنی نتیجه در این مورد فقط یک عدد است و بس. از نقطه نظر مسائل فیزیک، یک محصول اسکالر همیشه معنای فیزیکی خاصی دارد، یعنی پس از نتیجه باید یک یا واحد فیزیکی دیگر نشان داده شود. یک مثال متعارف از محاسبه کار یک نیرو را می توان در هر کتاب درسی یافت (فرمول دقیقاً یک حاصل ضرب مقیاسی است). کار یک نیرو با ژول اندازه گیری می شود، بنابراین، پاسخ کاملاً خاص نوشته می شود، به عنوان مثال، .

مثال 2

پیدا کنید اگر ، و زاویه بین بردارها برابر است.

این مثالی است که خودتان می توانید آن را حل کنید، پاسخ آن در انتهای درس است.

زاویه بین بردارها و مقدار محصول نقطه ای

در مثال 1 حاصل ضرب اسکالر مثبت و در مثال 2 منفی است. بیایید دریابیم که علامت حاصلضرب اسکالر به چه چیزی بستگی دارد. بیایید به فرمول خود نگاه کنیم: . طول بردارهای غیر صفر همیشه مثبت هستند: بنابراین علامت فقط به مقدار کسینوس بستگی دارد.

توجه: برای درک بهتر اطلاعات زیر، بهتر است نمودار کسینوس موجود در دفترچه راهنما را مطالعه کنید نمودار توابع و خواص. ببینید کسینوس چگونه روی قطعه رفتار می کند.

همانطور که قبلا ذکر شد، زاویه بین بردارها می تواند در داخل متفاوت باشد و موارد زیر ممکن است:

1) اگر گوشهبین بردارها تند: (از 0 تا 90 درجه)، سپس ، و محصول نقطه مثبت خواهد بود کارگردانی مشترک، سپس زاویه بین آنها صفر در نظر گرفته می شود و حاصل ضرب اسکالر نیز مثبت خواهد بود. از آنجایی که فرمول ساده می کند: .

2) اگر گوشهبین بردارها صریح: (از 90 تا 180 درجه)، سپس و بر این اساس محصول نقطه ای منفی است: . مورد خاص: اگر بردارها جهت های مخالف، سپس زاویه بین آنها در نظر گرفته می شود گسترش یافته است: (180 درجه). حاصل ضرب اسکالر نیز منفی است، زیرا

عبارات مخالف نیز صادق است:

1) اگر، زاویه بین این بردارها تند است. روش دیگر، بردارها هم جهت هستند.

2) اگر، زاویه بین این بردارها منفرد است. از طرف دیگر، بردارها در جهت مخالف هستند.

اما مورد سوم جالب توجه است:

3) اگر گوشهبین بردارها مستقیم: (90 درجه)، سپس حاصل ضرب اسکالر صفر است: . عکس آن نیز صادق است: اگر، پس. بیانیه را می توان به صورت فشرده به صورت زیر فرموله کرد: حاصل ضرب اسکالر دو بردار صفر است اگر و فقط اگر بردارها متعامد باشند. نماد ریاضی کوتاه:

! توجه داشته باشید : بیایید تکرار کنیم مبانی منطق ریاضی: نماد پیامد منطقی دو طرفه معمولاً «اگر و فقط اگر»، «اگر و فقط اگر» خوانده می‌شود. همانطور که می بینید، فلش ها در هر دو جهت هدایت می شوند - "از این به دنبال این است، و بالعکس - از آن به دنبال این است." به هر حال، تفاوت آن با نماد فالو یک طرفه چیست؟ نماد بیان می کند فقط همین، که "از این به دنبال این است" و این واقعیت ندارد که برعکس آن صادق باشد. به عنوان مثال: ، اما هر حیوانی پلنگ نیست، بنابراین در این مورد نمی توانید از نماد استفاده کنید. در همان زمان، به جای نماد می توانداز نماد یک طرفه استفاده کنید برای مثال، هنگام حل مسئله، متوجه شدیم که بردارها متعامد هستند: - چنین ورودی صحیح و حتی مناسب تر از آن خواهد بود .

مورد سوم اهمیت عملی زیادی دارد، زیرا به شما امکان می دهد بررسی کنید که آیا بردارها متعامد هستند یا خیر. این مشکل را در بخش دوم درس حل خواهیم کرد.

خواص محصول نقطه ای

بیایید به وضعیت زمانی که دو بردار کارگردانی مشترک. در این حالت، زاویه بین آنها صفر است، و فرمول حاصل ضرب اسکالر به شکل: .

اگر بردار در خودش ضرب شود چه اتفاقی می افتد؟ واضح است که بردار با خودش تراز است، بنابراین از فرمول ساده شده فوق استفاده می کنیم:

شماره تماس گرفته می شود مربع اسکالربردار، و به صورت .

بنابراین، مربع اسکالر یک بردار برابر است با مربع طول بردار داده شده:

از این برابری می توانیم فرمولی برای محاسبه طول بردار بدست آوریم:

تا اینجا نامشخص به نظر می رسد، اما اهداف درس همه چیز را در جای خود قرار می دهد. برای حل مشکلات ما نیز نیاز داریم خواص محصول نقطه ای.

برای بردارهای دلخواه و هر عددی، ویژگی های زیر درست است:

1) – جابجایی یا تعویضیقانون محصول اسکالر

2) – توزیع یا توزیعیقانون محصول اسکالر به سادگی، می توانید براکت ها را باز کنید.

3) - انجمنی یا انجمنیقانون محصول اسکالر ثابت را می توان از حاصل ضرب اسکالر به دست آورد.

اغلب، همه انواع ویژگی ها (که نیاز به اثبات دارند!) توسط دانش آموزان به عنوان زباله های غیر ضروری تلقی می شوند که فقط باید بلافاصله پس از امتحان به خاطر بسپارند و با خیال راحت فراموش شوند. به نظر می رسد آنچه در اینجا مهم است ، همه از کلاس اول می دانند که تنظیم مجدد فاکتورها محصول را تغییر نمی دهد: . باید به شما هشدار بدهم که در ریاضیات عالی به راحتی می توان با چنین رویکردی مسائل را به هم ریخت. بنابراین، برای مثال، ویژگی جابجایی برای آن صادق نیست ماتریس های جبری. همچنین برای حاصلضرب برداری بردارها. بنابراین، حداقل، بهتر است در هر ویژگی که در یک درس ریاضی بالاتر به آن برخورد می کنید، بپردازید تا بفهمید چه کاری می توان انجام داد و چه کاری را نمی توان انجام داد.

مثال 3

.

راه حل:ابتدا بیایید وضعیت بردار را روشن کنیم. اصلا این چیه؟ مجموع بردارها یک بردار کاملاً مشخص است که با نشان داده می شود. تفسیر هندسی اعمال با بردارها را می توان در مقاله یافت وکتور برای آدمک. همان جعفری با بردار مجموع بردارها و .

بنابراین، با توجه به شرایط، باید محصول اسکالر را پیدا کرد. در تئوری، شما باید فرمول کار را اعمال کنید ، اما مشکل اینجاست که طول بردارها و زاویه بین آنها را نمی دانیم. اما این شرط پارامترهای مشابهی را برای بردارها می دهد، بنابراین ما مسیر متفاوتی را در پیش خواهیم گرفت:

(1) عبارات بردارها را جایگزین کنید.

(2) براکت ها را بر اساس قاعده ضرب چند جمله ای ها را می توان در مقاله پیدا کرد اعداد مختلطیا ادغام یک تابع کسری - گویا. من خودم را تکرار نمی کنم =) به هر حال، ویژگی توزیعی محصول اسکالر به ما اجازه می دهد تا براکت ها را باز کنیم. ما حق داریم.

(3) در اولین و آخرین ترم ها مربع های اسکالر بردارها را به صورت فشرده می نویسیم: . در ترم دوم از قابلیت جابجایی حاصل ضرب اسکالر استفاده می کنیم: .

(4) ما اصطلاحات مشابهی را ارائه می دهیم: .

(5) در اولین ترم از فرمول مربع اسکالر استفاده می کنیم که چندی پیش ذکر شد. در ترم گذشته، بر این اساس، همان کار می کند: . ترم دوم را طبق فرمول استاندارد گسترش می دهیم .

(6) این شرایط را جایگزین کنید و محاسبات نهایی را با دقت انجام دهید.

پاسخ:

مقدار منفی حاصلضرب اسکالر این واقعیت را بیان می کند که زاویه بین بردارها منفرد است.

مشکل معمولی است، در اینجا مثالی برای حل آن وجود دارد:

مثال 4

حاصل ضرب اسکالر بردارها را بیابید و اگر معلوم است که .

اکنون یک کار رایج دیگر، فقط برای فرمول جدید برای طول یک بردار. نماد در اینجا کمی همپوشانی خواهد داشت، بنابراین برای وضوح، آن را با حرف دیگری بازنویسی می کنم:

مثال 5

طول بردار if را پیدا کنید .

راه حلبه شرح زیر خواهد بود:

(1) ما عبارت بردار را ارائه می کنیم.

(2) ما از فرمول طول استفاده می کنیم: و کل عبارت ve به عنوان بردار "ve" عمل می کند.

(3) از فرمول مدرسه برای مجذور مجموع استفاده می کنیم. توجه کنید که در اینجا چگونه کار می کند: - در واقع مربع تفاوت است، و در واقع، همین طور است. کسانی که مایلند می توانند بردارها را مجدداً مرتب کنند: - همین اتفاق می افتد، تا بازآرایی عبارات.

(4) آنچه در ادامه می آید از قبل از دو مسئله قبلی آشناست.

پاسخ:

از آنجایی که ما در مورد طول صحبت می کنیم، فراموش نکنید که بعد - "واحدها" را مشخص کنید.

مثال 6

طول بردار if را پیدا کنید .

این یک مثال برای شماست که خودتان آن را حل کنید. حل کامل و پاسخ در پایان درس.

ما همچنان به برداشتن چیزهای مفید از محصول نقطه ای ادامه می دهیم. بیایید دوباره به فرمول خود نگاه کنیم . با استفاده از قانون تناسب، طول بردارها را به مخرج سمت چپ تنظیم می کنیم:

بیایید قطعات را با هم عوض کنیم:

منظور از این فرمول چیست؟ اگر طول دو بردار و حاصل ضرب اسکالر آنها مشخص باشد، کسینوس زاویه بین این بردارها و در نتیجه خود زاویه قابل محاسبه است.

آیا محصول نقطه ای یک عدد است؟ شماره آیا طول های برداری اعداد هستند؟ اعداد این بدان معناست که کسر نیز یک عدد است. و اگر کسینوس زاویه معلوم باشد: ، سپس با استفاده از تابع معکوس می توان به راحتی خود زاویه را پیدا کرد: .

مثال 7

زاویه بین بردارها را پیدا کنید و اگر معلوم است که .

راه حل:ما از فرمول استفاده می کنیم:

در مرحله نهایی محاسبات، از یک تکنیک فنی استفاده شد - حذف غیر منطقی در مخرج. برای از بین بردن غیر منطقی، صورت و مخرج را ضرب کردم.

بنابراین اگر ، این که:

مقادیر توابع مثلثاتی معکوس را می توان با استفاده از جدول مثلثاتی. اگرچه این اتفاق به ندرت رخ می دهد. در مسائل هندسه تحلیلی، اغلب برخی از خرس های دست و پا چلفتی مانند، و مقدار زاویه را باید تقریباً با استفاده از یک ماشین حساب پیدا کرد. در واقع، ما بیش از یک بار شاهد چنین تصویری خواهیم بود.

پاسخ:

باز هم فراموش نکنید که ابعاد - رادیان و درجه را نشان دهید. شخصاً برای اینکه آشکارا "حل همه سؤالات" باشد، ترجیح می دهم هر دو را نشان دهم (مگر اینکه شرط، البته مستلزم ارائه پاسخ فقط به رادیان یا فقط در درجه باشد).

اکنون می توانید به طور مستقل با یک کار پیچیده تر کنار بیایید:

مثال 7*

طول بردارها و زاویه بین آنها در نظر گرفته شده است. زاویه بین بردارها را پیدا کنید .

کار چندان دشوار نیست بلکه چند مرحله ای است.
بیایید به الگوریتم حل نگاه کنیم:

1) با توجه به شرایط، باید زاویه بین بردارها و را پیدا کنید، بنابراین باید از فرمول استفاده کنید. .

2) حاصل ضرب اسکالر را بیابید (به مثال های شماره 3 و 4 مراجعه کنید).

3) طول بردار و طول بردار را بیابید (به مثال های شماره 5 و 6 مراجعه کنید).

4) پایان راه حل با مثال شماره 7 منطبق است - ما عدد را می دانیم، به این معنی که پیدا کردن خود زاویه آسان است:

راه حل و پاسخ کوتاه در پایان درس.

بخش دوم درس به همان محصول اسکالر اختصاص دارد. مختصات. حتی ساده تر از قسمت اول خواهد بود.

حاصل ضرب نقطه ای بردارها،
توسط مختصات به صورت متعارف ارائه شده است

پاسخ:

ناگفته نماند که برخورد با مختصات بسیار خوشایندتر است.

مثال 14

حاصل ضرب اسکالر بردارها را بیابید و اگر

این یک مثال برای شماست که خودتان آن را حل کنید. در اینجا می‌توانید از تداعی عملیات استفاده کنید، یعنی حساب نکنید، اما فوراً سه گانه را خارج از حاصل ضرب اسکالر بگیرید و آن را در آخر ضرب کنید. راه حل و پاسخ در پایان درس است.

در پایان بخش، یک مثال تحریک آمیز برای محاسبه طول یک بردار:

مثال 15

طول بردارها را بیابید ، اگر

راه حل:روش بخش قبل دوباره خود را نشان می دهد: اما راه دیگری وجود دارد:

بیایید بردار را پیدا کنیم:

و طول آن طبق فرمول بی اهمیت :

محصول نقطه ای اصلاً به اینجا مربوط نیست!

همچنین هنگام محاسبه طول یک بردار مفید نیست:
توقف کنید. آیا نباید از ویژگی آشکار طول برداری استفاده کنیم؟ در مورد طول بردار چه می توانید بگویید؟ این بردار 5 برابر بیشتر از بردار است. جهت مخالف است، اما این مهم نیست، زیرا ما در مورد طول صحبت می کنیم. بدیهی است که طول بردار برابر با حاصلضرب است ماژولاعداد در طول بردار:
- علامت مدول "می خورد" منهای ممکن عدد.

بدین ترتیب:

پاسخ:

فرمول کسینوس زاویه بین بردارهایی که با مختصات مشخص می شوند

اکنون اطلاعات کاملی برای استفاده از فرمول مشتق شده قبلی برای کسینوس زاویه بین بردارها داریم بیان از طریق مختصات برداری:

کسینوس زاویه بین بردارهای صفحهو، به صورت متعارف مشخص شده است، با فرمول بیان می شود:
.

کسینوس زاویه بین بردارهای فضایی، مشخص شده بر اساس متعارف، با فرمول بیان می شود:

مثال 16

سه رأس مثلث را در نظر می گیریم. (زاویه رأس) را پیدا کنید.

راه حل:با توجه به شرایط، نقاشی مورد نیاز نیست، اما هنوز:

زاویه مورد نیاز با یک قوس سبز مشخص شده است. بیایید فوراً تعیین یک زاویه را به خاطر بسپاریم: - توجه ویژه به متوسطحرف - این راس زاویه ای است که ما نیاز داریم. برای اختصار، می توانید به سادگی بنویسید.

از رسم کاملاً واضح است که زاویه مثلث با زاویه بین بردارها منطبق است و به عبارت دیگر: .

توصیه می شود یاد بگیرید که چگونه تجزیه و تحلیل را به صورت ذهنی انجام دهید.

بیایید بردارها را پیدا کنیم:

بیایید حاصل ضرب اسکالر را محاسبه کنیم:

و طول بردارها:

کسینوس زاویه:

این دقیقاً ترتیب تکمیل کار است که من برای آدمک ها توصیه می کنم. خوانندگان پیشرفته تر می توانند محاسبات را "در یک خط" بنویسند:

در اینجا مثالی از مقدار کسینوس "بد" آورده شده است. مقدار حاصل نهایی نیست، بنابراین خلاص شدن از شر غیرعقلانی بودن در مخرج، فایده ای ندارد.

بیایید خود زاویه را پیدا کنیم:

اگر به نقاشی نگاه کنید، نتیجه کاملاً قابل قبول است. برای بررسی، زاویه را می توان با نقاله نیز اندازه گرفت. به پوشش مانیتور آسیب ندهید =)

پاسخ:

در پاسخ ما این را فراموش نمی کنیم از زاویه مثلث پرسید(و نه در مورد زاویه بین بردارها)، فراموش نکنید که پاسخ دقیق: و مقدار تقریبی زاویه را نشان دهید: ، با استفاده از ماشین حساب پیدا شد.

کسانی که از این فرآیند لذت برده اند می توانند زوایا را محاسبه کرده و صحت برابری متعارف را تأیید کنند

مثال 17

یک مثلث در فضا با مختصات رئوس آن تعریف می شود. زاویه بین اضلاع و

این یک مثال برای شماست که خودتان آن را حل کنید. حل کامل و پاسخ در پایان درس

بخش پایانی کوتاهی به پیش بینی ها اختصاص داده می شود که شامل یک محصول اسکالر نیز می شود:

طرح ریزی یک بردار بر روی یک بردار. طرح ریزی یک بردار بر روی محورهای مختصات.
کسینوس جهت یک بردار

بردارها را در نظر بگیرید و:

برای انجام این کار، بردار را از ابتدا و انتهای بردار حذف می کنیم عمودهابه برداری (خطوط نقطه چین سبز). تصور کنید که پرتوهای نور به صورت عمود بر بردار می افتند. سپس قطعه (خط قرمز) "سایه" بردار خواهد بود. در این حالت، طرح بردار بر روی بردار طول قطعه است. یعنی فرافکنی یک عدد است.

این NUMBER به صورت زیر نشان داده می شود: "بردار بزرگ" بردار را نشان می دهد کدامپروژه، "بردار زیرمجموعه کوچک" بردار را نشان می دهد روشنکه پیش بینی می شود.

خود مدخل به این صورت می‌خواند: «برداشت بردار «a» بر بردار «be».

اگر بردار "be" "خیلی کوتاه" باشد چه اتفاقی می افتد؟ یک خط مستقیم حاوی بردار "be" رسم می کنیم. و بردار "a" قبلاً پیش بینی می شود به جهت بردار "be"، به سادگی - به خط مستقیم حاوی بردار "be". اگر بردار "a" در پادشاهی سی ام به تعویق بیفتد همین اتفاق می افتد - همچنان به راحتی روی خط مستقیم حاوی بردار "be" پیش بینی می شود.

اگر زاویهبین بردارها تند(مانند تصویر)، سپس

اگر بردارها قائم، سپس (برآمدگی نقطه ای است که ابعاد آن صفر در نظر گرفته می شود).

اگر زاویهبین بردارها صریح(در شکل، پیکان برداری را به صورت ذهنی مرتب کنید)، سپس (به همان طول، اما با علامت منفی گرفته شده است).

اجازه دهید این بردارها را از یک نقطه رسم کنیم:

بدیهی است که وقتی یک بردار حرکت می کند، طرح ریزی آن تغییر نمی کند