سیستم های ایستا نامعین سیستم هایی هستند که در آنها نیروهای داخلی را نمی توان تنها از طریق معادلات تعادلی (معادلات استاتیک) تعیین کرد.

سازه های استاتیکی نامعین به اصطلاح دارند اضافیارتباطات آنها می توانند در تکیه گاه ها، میله ها و سایر عناصر رخ دهند. چنین اتصالاتی "زائد" نامیده می شوند زیرا برای اطمینان از تعادل ساختار ضروری نیستند، بلکه با الزامات استحکام و استحکام آن تعیین می شوند. چنین اتصالات اضافی نامیده می شود خارجیعلاوه بر این، اتصالات غیر ضروری ممکن است به دلیل ویژگی های خود طراحی ایجاد شود. به عنوان مثال، یک کانتور قاب بسته (شکل 46، ز)دارای سه نیروی داخلی ناشناخته در هر بخش، یعنی. در مجموع شش عدد وجود دارد و سه مورد از آنها "اضافی" هستند. این تلاش اضافی نامیده می شود درونی؛ داخلی.بر اساس تعداد اتصالات "اضافی" خارجی یا داخلی، آنها برقرار می کنند درجه عدم تعیین استاتیک سیستم.برابر است با تفاوت بین تعداد مجهول های تعیین شده و تعداد معادلات ایستا. با یک مجهول "اضافی"، سیستم یک بار، یا یک بار نامشخص استاتیک، با دو - دو بار نامشخص استاتیک، و غیره نامیده می شود.

طرح نشان داده شده در شکل 46، آ، یک بار از نظر استاتیکی نامشخص است و ساختارهای نشان داده شده در شکل. 46، بو V، -دو بار از نظر استاتیکی نامشخص، در شکل. 46، گرم - سه بار با ساختار ایستا نامشخص.

هنگام حل مسائل استاتیکی نامعین، علاوه بر معادلات استاتیکی، از معادلاتی استفاده می شود که تغییر شکل عناصر سازه را در نظر می گیرند.

چندین روش برای حل مسائل استاتیکی نامعین وجود دارد: روش مقایسه جابجایی، روش نیرو، روش جابجایی.

روش نیرو

هنگام محاسبه سیستم های استاتیکی نامعین، نیروها به عنوان مجهول در نظر گرفته می شوند.

محاسبه توسط روش نیروبه ترتیب زیر انجام می شود:

• 1. درجه عدم تعیین استاتیک را تعیین کنید.
• 2. با حذف اتصالات "اضافی"، سیستم اصلی را با یک سیستم قابل تعریف استاتیک جایگزین کنید، به نام سیستم اصلیچندین سیستم از این قبیل را می توان با رعایت شرایط جغرافیایی آنها ساخت

تغییرناپذیری متریک

• 3. سیستم اصلی با نیروهای خارجی داده شده و نیروهای ناشناخته "اضافی" بارگذاری می شود که جایگزین عملکرد اتصالات از راه دور می شود و در نتیجه سیستم معادل
• 4. برای اطمینان از هم ارزی سیستم های اصلی و اصلی، نیروهای مجهول باید طوری انتخاب شوند که تغییر شکل های سیستم اصلی با تغییر شکل های سیستم استاتیکی نامعین اصلی تفاوتی نداشته باشد. برای این حرکت نقاط کاربردی، مجهولات "اضافی" در جهت عمل آنها برابر با صفر است. از معادلات اضافی به دست آمده از این طریق، مقادیر تلاش های ناشناخته "اضافی" تعیین می شود. تعیین جابجایی نقاط مربوطه را می توان به هر طریقی انجام داد، اما بهتر است از کلی ترین روش Mohr استفاده شود.
• 5. پس از تعیین مقادیر نیروهای ناشناخته «اضافی»، واکنش ها تعیین شده و نمودارهای نیروهای داخلی ساخته می شوند، مقاطع انتخاب می شوند و قدرت به روش معمول بررسی می شود.

معادلات متعارف روش نیرو

معادلات اضافی جابجایی، که برابری صفر جابجایی را در جهت مجهولات "اضافی" بیان می کنند، به راحتی در اصطلاح جمع آوری می شوند. شکل متعارف،آن ها طبق یک الگوی خاص اجازه دهید این را با استفاده از مثال حل ساده ترین سیستم استاتیکی نامعین نشان دهیم (شکل 47، آ).

اجازه دهید کنسول را به عنوان سیستم اصلی انتخاب کنیم و پشتیبانی از لولا را کنار بگذاریم. ما یک سیستم معادل را پس از اعمال نیروی خارجی T 7 و ناشناخته "اضافی" به دست می آوریم ایکس(شکل 47، ب).

معادله متعارف، برابری جابجایی نقطه را به صفر بیان می کند که دراز نیروهای F ایکس،اراده

از معادله ای که داریم

برای سیستمی که دارای دو اتصال "اضافی" است، سیستم معادلات متعارف به شکل زیر است:

• 8 11 X 1 + b 12 ^2 + ^1
• 621-^1 + 622^2 "I" ^20-

حرکات A[rو b[y که در معادلات متعارف گنجانده شده است، با روش Mohr تعیین می شوند.

برای سیستم های متشکل از عناصر مستطیلی، محاسبه جابجایی ها با استفاده از روش Vereshchagin راحت است.

به عنوان مثال، برای مشکل نشان داده شده در شکل. 47، با ضرب نمودارها (شکل 48)، ضرایب معادله متعارف را بدست می آوریم:

1 2 I 3 1 I/I 2 1 5 I1 3

E]b LL =-/ / -/ = -, E]A LR =-------- +-------.

1 11 2 3 3 1 1Р 2 2 2 2 3 2/ 48 E]

ما گرفتیم Hl - - = - E.

با تعیین قدرت ایکس،ما در واقع واکنش پشتیبانی را پیدا کردیم من هستم.در مرحله بعد، مشکل تعیین ضرایب نیروی داخلی را می توان طبق معمول با استفاده از روش مقطع حل کرد.

سیستم های استاتیکی نامعین سیستم های میله ای هستند که در آنها معادلات تعادل به تنهایی برای تعیین واکنش تکیه گاه ها کافی نیست. از دیدگاه سینماتیک، اینها سیستم های میله ای هستند که تعداد درجات آزادی آنها کمتر از تعداد اتصالات است. برای آشکارسازی عدم تعیین استاتیکی چنین سیستم هایی، لازم است معادلات اضافی برای سازگاری تغییر شکل ها ساخته شود. تعداد چنین معادلاتی با عدد عدم تعیین استاتیک سیستم میله ای تعیین می شود. شکل 8.14 نمونه هایی از تیرها و قاب های استاتیکی نامعین را نشان می دهد.

تیر نشان داده شده در شکل 8.14b نامیده می شود مداومپرتو. این نام از این واقعیت ناشی می شود که تکیه گاه میانی فقط از پرتو پشتیبانی می کند. در نقطه تکیه گاه، تیر توسط لولا بریده نمی شود، لولا به بدنه تیر بریده نمی شود. بنابراین، تأثیر تنش‌ها و تغییر شکل‌هایی که تیر بر دهانه سمت چپ تجربه می‌کند، بر دهانه سمت راست نیز تأثیر می‌گذارد. اگر در محل تکیه گاه میانی یک لولا را به بدنه تیر برش دهیم، در نتیجه سیستم از نظر استاتیکی تعیین می شود - از یک تیر دو تیر مستقل از یکدیگر دریافت می کنیم که هر کدام از نظر استاتیکی تعیین می شوند. . لازم به ذکر است که تیرهای پیوسته نسبت به تیرهای دوشاخه متریال کمتری دارند، زیرا آنها به طور منطقی لنگرهای خمشی را در طول خود توزیع می کنند. در این راستا تیرهای پیوسته در مهندسی ساختمان و مکانیک کاربرد فراوانی دارند. با این حال، پرتوهای پیوسته، که از نظر استاتیکی نامشخص هستند، نیاز به یک روش محاسباتی خاص دارند که شامل استفاده از تغییر شکل‌های سیستم می‌شود.

قبل از شروع محاسبه سیستم های استاتیکی نامعین، لازم است نحوه تعیین درجه عدم تعیین استاتیک آنها را یاد بگیرید. یکی از مهمترین قوانین سادهتعیین درجه عدم تعیین استاتیک به شرح زیر است:

, (8.3)

جایی که  تعداد اتصالات اعمال شده به سازه؛  تعداد معادلات تعادل مستقل ممکن که می توان برای سیستم مورد نظر کامپایل کرد.

اجازه دهید از معادله (8.3) برای تعیین درجه عدم تعیین استاتیکی سیستم های نشان داده شده در شکل 8.14 استفاده کنیم.

تیر نشان داده شده در شکل 8.14a یک بار از نظر استاتیک نامشخص است، زیرا دارای سه اتصال در تکیه گاه چپ و یک اتصال در تکیه گاه راست است. فقط سه معادله تعادل مستقل برای چنین پرتویی می توان ساخت. بنابراین، درجه عدم تعیین استاتیک پرتو
. تیر پیوسته نشان داده شده در شکل 8.14b نیز یک بار از نظر استاتیک نامشخص است، زیرا دارای دو اتصال در تکیه گاه چپ و یک اتصال در تکیه گاه میانی و در تکیه گاه راست - در مجموع چهار اتصال است. بنابراین، درجه عدم تعیین استاتیک آن
.

قاب نشان داده شده در شکل. 8.14c، سه برابر استاتیک نامشخص است، زیرا دارای شش اتصال در پشتیبانی است. فقط سه معادله تعادل مستقل را می توان برای این قاب ساخت. بنابراین، درجه عدم تعیین استاتیک برای این قاب از معادله (8.3) برابر است با:
. درجه عدم تعیین استاتیک قاب نشان داده شده در شکل 8.18d برابر با چهار است، زیرا قاب دارای هفت اتصال بر روی تکیه گاه ها است. در نتیجه، درجه عدم تعیین استاتیک آن برابر است با
.

قانون (8.3) برای تعیین درجه عدم تعیین استاتیک فقط برای سیستم های ساده استفاده می شود. در موارد پیچیده تر این قانون کار نمی کند. شکل 8.15 یک قاب را نشان می دهد که درجه عدم تعیین استاتیک آن را نمی توان با استفاده از رابطه (8.3) تعیین کرد.

از نظر بیرونی، سیستم نشان داده شده در شکل 8.15 پنج بار نامشخص است. این را می توان به راحتی با استفاده از رابطه (8.3) ایجاد کرد: از شش اتصال خارجی (سه مورد در بخش A، سه مورد در بخش B و دو مورد در بخش C)، سه معادله تعادل ممکن کم می شود. با این حال، این سیستم همچنین دارای عدم تعیین استاتیک داخلی است. در نظر گرفتن عدم تعیین استاتیک داخلی با استفاده از رابطه (8.3) غیرممکن است. قبل از اینکه به تعیین درجه عدم تعیین استاتیک قاب نشان داده شده در شکل 8.15 بپردازیم، چندین تعاریف را معرفی می کنیم. اولین مورد از این تعاریف شامل مفهوم لولای ساده است.

سادهبه نام لولای اتصال دو میله (شکل 8.16).

شکل 8.16. لولای ساده

یک لولا که چندین میله را به هم متصل می کند نامیده می شود مجتمع(شکل 8.17).

شکل 8.17. لولای پیچیده

تعداد لولاهای ساده ای که می توانند جایگزین یک لولا پیچیده شوند از فرمول تعیین می شود:

, (8.4)

جایی که
- تعداد میله های موجود در مجموعه.

اجازه دهید لولا پیچیده نشان داده شده در شکل 8.17 را به تعداد لولاهای ساده با استفاده از فرمول (8.4) دوباره محاسبه کنیم:
. بنابراین، لولا پیچیده نشان داده شده در شکل 8.17 را می توان با چهار لولا ساده جایگزین کرد.

بیایید یک مفهوم دیگر را معرفی کنیم - حلقه بسته.

بیایید قضیه را ثابت کنیم: هر کانتور بسته از نظر استاتیکی سه برابر نامشخص است.

برای اثبات قضیه، یک حلقه بسته بارگذاری شده با نیروهای خارجی را در نظر بگیرید (شکل 8.18).

بیایید یک کانتور بسته را با یک بخش عمودی برش دهیم و عوامل نیروی داخلی را که در قسمت ایجاد می شود نشان دهیم. در هر بخش سه عامل داخلی ایجاد می شود: نیروی برشی ، لحظه خم شدن
و نیروی طولی
. در مجموع، بر روی هر یک از قسمت های بریده شده کانتور، علاوه بر نیروهای خارجی، شش عامل داخلی نیز عمل می کنند (شکل 8.18، b، c). با در نظر گرفتن تعادل یکی از قسمت های برش، به عنوان مثال، سمت چپ (شکل 8.18، b)، متوجه می شویم که مشکل سه برابر استاتیکی نامشخص است، زیرا برای قسمت برش امکان ساخت وجود دارد. تنها سه معادله تعادل مستقل، و شش نیروی مجهول وجود دارد که بر روی قسمت برش عمل می‌کنند. بنابراین، درجه عدم تعیین استاتیک یک حلقه بسته برابر است با
. قضیه ثابت شده است.

حال با استفاده از مفهوم یک لولا ساده و یک حلقه بسته می‌توان قانون دیگری برای تعیین درجه عدم تعیین استاتیک تدوین کرد:

, (8.5)

جایی که
 تعداد حلقه های بسته؛
 تعداد لولاها بر حسب ساده (8.4).

با استفاده از رابطه (8.5)، درجه عدم تعیین استاتیک قاب نشان داده شده در شکل 8.15 را تعیین می کنیم. قاب دارای پنج کانتور است
، از جمله کانتور تشکیل شده توسط میله های پشتیبانی. لولا در گره D ساده است زیرا دو میله را به هم متصل می کند. لولا در بخش K پیچیده است زیرا چهار میله را به هم متصل می کند. تعداد لولاهای ساده ای که می توانند در بخش K جایگزین لولا شوند طبق فرمول (8.4) برابر است:
. لولا C نیز پیچیده است زیرا سه میله را به هم متصل می کند. برای این لولا
. علاوه بر این، سیستم دارای دو لولا ساده دیگر است که با آن به پایه متصل می شود. بنابراین، تعداد لولاهای ساده در سیستم برابر است با
. جایگزینی تعداد خطوط بسته
و تعداد لولاهای ساده
در فرمول (8.5) درجه عدم تعیین استاتیک قاب را تعیین می کنیم:
. بنابراین، در شکل نشان داده شده است. 8.15 فریم، هفت برابر استاتیک نامشخص. به این معنی که برای محاسبه چنین سیستمی، علاوه بر سه معادله تعادل، هفت معادله سازگاری تغییر شکل ها نیز لازم است. با حل سیستم 10 معادله به دست آمده برای مجهولات موجود در این معادلات، می توان هم بزرگی واکنش ها در اتصالات خارجی و هم نیروهای داخلی ایجاد شده در قاب را تعیین کرد. روش حل این مسئله را می توان با حذف معادلات تعادل از سیستم معادلات تا حدودی ساده کرد. اما این رویکرد مستلزم استفاده از روش های حل ویژه است که یکی از آنها روش نیروها است.

وزارت آموزش و پرورش فدراسیون روسیه

نهاد دولتی

دانشگاه فنی دولتی KUZBASS

گروه مقاومت مصالح

محاسبه سیستم های لولا-میله ایستاتیکی نامشخص تحت فشار کشش

رهنمودهایی برای انجام محاسبات و وظایف گرافیکی در مورد استحکام مواد برای دانش آموزان همه تخصص ها

گردآوری شده توسط: V.D. مویزینکو

مصوب جلسه شماره 8 معاونت مورخ 8/6/1380

یک نسخه الکترونیکی در کتابخانه ساختمان اصلی دانشگاه دولتی KuzGTU قرار دارد

کمروو 2002

معرفی. محدوده و هدف تکلیف

سیستم میله لولا از نظر استاتیکی نامعین سیستمی است که در آن نیروهای موجود در میله ها و واکنش های موجود در تکیه گاه ها را نمی توان تنها از روی شرایط تعادل تعیین کرد.

شکل 1 یک براکت معمولی متشکل از دو میله را نشان می دهد. نیروهای N 1 و N 2 در میله های این براکت به راحتی از وضعیت تعادل سیستم نیروهای همگرا اعمال شده به گره برش C تعیین می شوند، زیرا دو معادله برای این سیستم نیروها با دو مجهول حل شده است.

اگر طراحی براکت با اضافه کردن یک میله دیگر پیچیده شود (شکل 1، b)، نمی توان نیروهای موجود در میله ها را به همان روش تعیین کرد، زیرا برای گره C هنوز هم می توان تنها دو معادله تعادل ایستا ایجاد کرد. ΣΧ = 0؛ ΣY = 0)، و تعداد تلاش های ناشناخته سه است. ما یک سیستم استاتیکی نامشخص داریم.

با پیچیده‌تر کردن طراحی و معرفی میله‌های جدید، می‌توان یک سیستم استاتیکی نامشخص را دو بار (به شکل 1، ج)، سه بار و غیره به دست آورد. در نتیجه، منظور از n برابر یک سیستم استاتیکی نامعین سیستمی است که در آن تعداد اتصالات از تعداد معادلات استاتیکی مستقل n واحد بیشتر باشد.

معادلات اضافی لازم برای حل مسئله را می توان با در نظر گرفتن سیستم در حالت تغییر شکل یافته و ایجاد ارتباط بین جابجایی ها و تغییر شکل های عناصر سازه ای یافت. معادلات حاصل را معادلات سازگاری تغییر شکل می نامند.

شکل 2 نمودار برخی از سیستم های استاتیکی نامعین را نشان می دهد.

شکل 2. برخی از انواع سیستم های استاتیکی نامعین

هنگام مطالعه بخش "سیستم های میله ای استاتیکی نامعین" و تکمیل این کار محاسباتی و گرافیکی، دانش آموز باید ویژگی های سیستم های استاتیکی نامعین را بیاموزد. مهارت در آشکارسازی عدم تعیین استاتیکی، تعیین نیروها در عناصر سازه ای و انتخاب سطوح مقطع از شرایط استحکام.

در تکلیف، دانش آموز باید کارهای زیر را انجام دهد:

- نیروهای موجود در میله ها را تعیین کنید و سطح مقطع را از اثر بارهای خارجی انتخاب کنید.

- تعیین تنش های اضافی در میله ها به دلیل تغییرات دما؛

- تعیین تنش های اضافی نصب ناشی از ساخت نادرست میله ها؛

- سطح مقطع میله ها را با توجه به حالت حدی انتخاب کنید.

حجم و شکل انجام محاسبات و تکلیف گرافیکی به حجم درس مورد مطالعه بستگی دارد و در طول کلاس های عملی توسط معلم مورد بحث قرار می گیرد.

1. اطلاعات نظری مختصر

هنگام حل مسائل استاتیکی نامشخص، ترتیب زیر باید رعایت شود:

1.1. جنبه ایستا مشکل را در نظر بگیرید. طرحی از نیروها بسازید و معادلات ایستا بسازید.

1.2. جنبه هندسی مسئله را در نظر بگیرید. یک برنامه سفر بسازید. معادلات سازگاری تغییر شکل اضافی را در مقداری ایجاد کنید که بتوان همه نیروهای مجهول را پیدا کرد.

1.3. جنبه فیزیکی مشکل را در نظر بگیرید. با توجه به قوانین فیزیک (در محاسبات دما) و طبق قانون هوک، تغییر شکل های موجود در معادلات سازگاری آنها را از طریق نیروهای ناشناخته وارد شده در میله ها بیان کنید:

1.4. حل مشترک معادلات استاتیک، هندسه، فیزیک و تعیین نیروهای مجهول را انجام دهید.

1.5. استفاده از شرایط مقاومت فشاری یا کششی N/F = [σ]، سطح مقطع میله ها را انتخاب کنید.

1.6. با نیروهای شناخته شده در میله ها و سطوح مقطع پذیرفته شده، تنش های نرمال را با استفاده از فرمول محاسبه کنید

σ = N F.

2. مثال

داده شده: یک تیر کاملاً صلب AB، همانطور که در شکل 3 نشان داده شده است، با بار و نیروی P به طور یکنواخت توزیع شده است.

شکل 3. نمودار یک سیستم استاتیکی نامعین

داده های اولیه برای محاسبه

4. کل تنش ها در میله ها به دلیل بارگذاری، تغییرات دما و عدم دقت در ساخت را تعیین کنید.

2.1. محاسبه سیستم میله لولایی استاتیکی نامعین برای بارگذاری خارجی

P = 30 kN q = 15 kN / m

A C B

شکل 4. طرح محاسبه اولیه

2.1.1. سمت استاتیک مشکل

طرف استاتیک مسئله توسط طرح نیرو در نظر گرفته می شود. طرح نیرو یک نمودار محاسباتی است که تمام نیروهای (اعم از شناخته شده و ناشناخته) اعمال شده به عنصر سیستم میله لولا که تعادل آن در نظر گرفته می شود را نشان می دهد (در مورد ما، این تیر صلب AB است). بیایید میله های فولادی و مسی را برش دهیم و قسمت های زیرین دور ریخته شده آنها را با نیروهای داخلی جایگزین کنیم (شکل 5).

P = 30 kN q = 15 kN / m

A C B

60 درجه

برنج. 5. طرح نیروهای ناشی از بارهای خارجی

از طرح نیرو (نگاه کنید به شکل 5) معادلات تعادل ایستا را یادداشت می کنیم. برای پاسخ به اولین سوال، باید نیروهای موجود در میله ها - فولاد و مس را بدانید. در این حالت نیازی به محاسبه واکنش تکیه گاه ثابت مفصلی نیست. بنابراین، از سه

معادلات استاتیک ممکن (ΣX = 0؛ ΣY = 0؛ Σm c = 0) را می نویسیم

موردی که شامل واکنش های پشتیبانی مفصلی-ثابت C نمی شود:

∑ mC = 0

- N CT a + q a 2 2 + p a + NM sin60o b = 0،

− N ST 2 + 15 2 2 2 + 30 2 − NM 0.866 4 = 0،

پس از انجام عملیات جبری، معادله تعادل شکل می گیرد

2.1.2. جنبه هندسی مسئله

جنبه هندسی مسئله توسط طرح جابجایی در نظر گرفته شده است. طرح جابجایی یک نمودار محاسباتی است که موقعیت سیستم میله لولا را قبل و بعد از بارگیری نشان می دهد. در طرح حرکت، حرکات نقاط پرتو (AA1 و BB1) را نشان می دهیم.

تغییر شکل مطلق میله های مس و فولاد (∆ l ST؛ ∆ l M)

(شکل 6). علاوه بر این، به دلیل تغییر شکل های کوچک، نقاط پرتو را به صورت عمودی به سمت بالا یا پایین حرکت می دهیم و تغییر شکل میله های شیب دار را با عمود مشخص می کنیم.

برنج. 6. طرح جابجایی های ناشی از بارهای خارجی

با استفاده از طرح جابجایی، معادله سازگاری تغییر شکل را ترسیم می کنیم. اول از همه، بیایید نسبت جابجایی نقاط تیر را از شباهت مثلث‌های AA1 C و CBB1 بنویسیم (شکل 6):

جابجایی نقاط تیر (AA1 و BB1) را بر حسب تغییر شکل بیان می کنیم

عبارات (2.3) و (2.4) را با رابطه (2.2) جایگزین می کنیم:

2.1.3. جنبه فیزیکی مشکل

معادله سازگاری تغییر شکل (2.5) در این شکل را نمی توان با معادله تعادل (2.1) حل کرد، زیرا کمیت های مجهول موجود در آنها ماهیت متفاوتی دارند.

تغییر شکل مطلق Δ l CT و ∆ l M در رابطه (2.5) را می توان بیان کرد.

ما معادله ای برای سازگاری تغییر شکل ها به دست آوردیم که بر حسب نیروهای موجود در میله ها نوشته شده است.

2.1.4. سنتز

اجازه دهید معادله تعادل (2.1) و معادله سازگاری تغییر شکل (2.6) را با هم حل کنیم.

NCT + 1.73NM = 45

0.67NST = 0.95NM.

از معادله دوم سیستم، نیروی N ST را بیان می کنیم:

و آن را در معادله اول سیستم جایگزین کنید.

نتیجه مثبت N ST و N M فرضیات ما در مورد فشرده سازی میله فولادی و کشش میله مسی را تأیید می کند، به این معنی که نیروهای موجود در میله ها عبارتند از:

2.1.5. انتخاب مقاطع عرضی میله ها

انتخاب مقاطع عرضی میله ها با توجه به شرایط استحکام کششی - فشرده سازی انجام می شود:

N F ≤ [σ] .

الف) سطح مقطع میله فولادی مورد نیاز از شرایط مقاومت تعیین می شود:

ب) سطح مقطع میله مسی مورد نیاز از شرایط مقاومت تعیین می شود:

در این حالت، با توجه به نسبت مساحت داده شده، مساحت میله فولادی باید برابر با:

FST = 4 3 FM = 4 3 1.7 10- 4 = 1.275 10- 4 m2 ..

ما سطح مقطع بزرگ میله ها را می پذیریم:

با توجه به سطح مقطع پذیرفته شده میله های مسی و فولادی، تنش ها را در این میله ها تعیین می کنیم.

2.2. محاسبه دمای یک سیستم میله لولای استاتیکی نامشخص

هدف از محاسبه دما تعیین تنش های اضافی در میله های مسی و فولادی ناشی از تغییرات دما می باشد.

فرض کنید سیستم با T = 20 o C گرم می شود. الگوریتم حل یکسان است. نمودار طراحی اولیه در شکل نشان داده شده است. 7.

سیستم‌های میله‌ای، واکنش‌های پشتیبان و عوامل نیروی داخلی که نمی‌توان آنها را تنها از طریق معادلات تعادلی یافت، نامیده می‌شوند. از نظر استاتیکی نامشخص.

تفاوت بین تعداد نیروهای مجهول مجهول و معادلات تعادل مستقل را تعیین می کند درجه عدم تعیین استاتیک سیستم. درجه عدم تعیین استاتیکی همیشه برابر است با تعداد اتصالات اضافی (زائد) که حذف آنها یک سیستم استاتیکی نامعین را به یک سیستم هندسی غیرقابل تغییر قابل تعریف استاتیک تبدیل می کند. هم اتصالات خارجی (پشتیبانی) و هم اتصالات داخلی می توانند اضافی باشند و محدودیت های خاصی را بر حرکت بخش های سیستم نسبت به یکدیگر اعمال کنند.

از نظر هندسی غیر قابل تغییرسیستمی است که شکل آن تنها به دلیل تغییر شکل عناصر آن قابل تغییر است.

متغیر هندسیسیستمی است که عناصر آن می توانند تحت تأثیر نیروهای خارجی بدون تغییر شکل (مکانیسم) حرکت کنند.

نشان داده شده در شکل. 12.1 فریم دارای هفت پیوند خارجی (پشتیبانی) است. برای تعیین نیروها در این اتصالات (واکنش های پشتیبانی)، می توانید تنها سه معادله تعادل مستقل ایجاد کنید. در نتیجه، این سیستم دارای چهار اتصال اضافی است، به این معنی که چهار بار از نظر استاتیک نامشخص است. بنابراین، درجه عدم تعیین استاتیک برای قاب های مسطح برابر است با:

جایی که آر- تعداد واکنش های حمایتی

کانتور متشکل از تعدادی عنصر (مستقیم یا منحنی)، که به طور صلب (بدون لولا) به یکدیگر متصل شده و یک مدار بسته را تشکیل می دهند، بسته نامیده می شود. . قاب مستطیلی که در شکل 12.2 نشان داده شده است یک حلقه بسته است. از نظر استاتیکی سه برابر نامشخص است، زیرا برای تبدیل آن به قابل تعریف استاتیک، باید یکی از عناصر آن را قطع کرد و سه اتصال اضافی را حذف کرد. واکنش های این اتصالات عبارتند از: نیروی طولی، نیروی عرضی و لنگر خمشی وارد بر محل برش. آنها را نمی توان با استفاده از معادلات استاتیک تعیین کرد. در شرایط مشابه، به معنای عدم تعیین استاتیک، هر کانتور بسته ای وجود دارد که همیشه وجود دارد سه برابر استاتیک نامشخص.

شامل یک لولا در مجموعه قاب که در آن دو میله به هم می رسند، یا قرار دادن آن در هر نقطه ای از محور میله، یک اتصال را حذف می کند و درجه کلی عدم تعیین استاتیک را یک بار کاهش می دهد. چنین لولا یک یا ساده نامیده می شود (شکل 12.3).

به طور کلی، هر لولا شامل یک گره اتصال است جمیله ها، درجه عدم قطعیت استاتیک را کاهش می دهد ج-1 ، از آنجایی که چنین لولا جایگزین می شود ج-1 لولاهای تکی (شکل 12.3). بنابراین، درجه عدم تعیین استاتیک سیستم در حضور خطوط بسته توسط فرمول تعیین می شود.

تیرها و سیستم‌های میله‌ای لولایی که در آن‌ها می‌توان نیروهای داخلی یک بار معین را با استفاده از معادلات تعادلی (معادلات استاتیک) تعیین کرد، از نظر استاتیکی قابل تعیین نامیده می‌شوند.

در مقابل، تیرها و سیستم‌ها از نظر استاتیکی نامعین نامیده می‌شوند، نیروهای داخلی که نمی‌توان با استفاده از معادلات تعادل به تنهایی تعیین کرد. بنابراین، هنگام محاسبه آنها، لازم است معادلات اضافی بسازید (معادلات جابجایی که ماهیت تغییر شکل سیستم را در نظر می گیرند. تعداد معادلات اضافی مورد نیاز برای محاسبه سیستم، درجه عدم تعیین استاتیک آن را مشخص می کند. می توانید بنویسید. به تعداد معادلات اضافی که برای حل مسئله لازم است.

تلاش در عناصر سیستم‌های تعیین‌کننده استاتیک فقط از اثر یک بار خارجی (از جمله وزن مرده سازه) ناشی می‌شود. در عناصر سیستم های استاتیکی نامعین، نیروها می توانند حتی در غیاب بار خارجی ایجاد شوند - در نتیجه، به عنوان مثال، تغییرات دما، جابجایی بست های نگهدارنده یا عدم دقت در ساخت عناصر ساختاری منفرد.

مهمترین مرحله در محاسبه سیستم های استاتیکی نامعین، تدوین معادلات جابجایی اضافی (به معادلات تعادل) است. ما روش هایی را برای جمع آوری آنها با استفاده از مثال هایی از حل مسائل مختلف محاسبه سیستم های استاتیکی نامعین در نظر خواهیم گرفت.

بیایید میله ای را در نظر بگیریم که در هر دو انتها گیره (جاسازی شده) و با نیروی P بارگذاری شده است (شکل 26.2، a). تحت تأثیر نیروی P، واکنش هایی در آب بندها رخ می دهد و لازم است مقدار این نیروها مشخص شود. برای این مورد (زمانی که همه نیروها در امتداد یک خط مستقیم عمل می کنند)، استاتیک به ما اجازه می دهد که فقط یک معادله تعادل بسازیم:

بنابراین برای تعیین دو مجهول باید یک معادله اضافی ایجاد کرد. بنابراین، میله مورد نظر یک بار از نظر استاتیک نامعین است (یعنی درجه عدم تعیین استاتیک آن برابر با وحدت است). برای ایجاد یک معادله اضافی، اجازه دهید تعبیه پایینی را دور بیندازیم و تأثیر آن را روی میله با یک واکنش جایگزین کنیم (شکل 26.2، b). فرض کنید فقط یک نیروی P عمل می کند، اما هیچ نیرویی وجود ندارد. تحت تأثیر نیروی I، فقط قسمت بالایی میله به طول a تغییر شکل می دهد، در نتیجه قسمتی که نیروی P در آن اعمال می شود به اندازه ای به سمت پایین حرکت می کند تغییر شکل می دهد، اما به همان میزان، مانند یک جسم صلب، به سمت پایین حرکت می کند، با چه قسمتی در جایی که نیروی R اعمال می شود، به طور خاص، انتهای پایینی میله به همان میزان به سمت پایین حرکت می کند.

اکنون فرض می کنیم که فقط نیرو عمل می کند و نیروی P وجود ندارد.

تحت تأثیر نیرو، کل میله تغییر شکل می دهد، در نتیجه انتهای پایینی میله مقداری به سمت بالا حرکت می کند.

در واقع، انتهای پایینی میله که تعبیه شده است، حرکتی را دریافت نمی کند. بنابراین، حرکت رو به پایین آن توسط نیروی P باید برابر با حرکت رو به بالا ناشی از نیروی حاصل از معادله (46.2) باشد.

پس از تعیین واکنش‌های ناشی از عمل نیروی P، طراحی نمودار نیروهای طولی و محاسبه مقاومت انجام می‌شود، مانند مسئله‌ای که از نظر استاتیکی تعیین می‌شود.

لازم به ذکر است که جهت واکنش ها، حرکات و غیره ناشناخته را می توان کاملاً خودسرانه گرفت. در مثال مورد بررسی، جهت واکنش به سمت بالا در نظر گرفته شده است. در نتیجه محاسبه، مقادیر هر دو واکنش مثبت بود. این بدان معنی است که مسیرهای واقعی آنها با مواردی که قبلاً پذیرفته شده بودند مطابقت دارد. برای مثال، اگر جهت نزولی را برای واکنش در نظر بگیریم، در نتیجه حل معادله اضافی، علامت منفی نشان می دهد که جهت واقعی واکنش تعبیه پایینی برعکس جهت پذیرفته شده آن است. یعنی به سمت بالا هدایت می شود. بنابراین، نتیجه نهایی محاسبه بستگی به این ندارد که کدام جهت واکنش قبلاً پذیرفته شده است.

اجازه دهید یک سیستم میله لولای مسطح استاتیکی نامشخص متشکل از سه میله را در نظر بگیریم که انتهای پایینی آنها توسط یک لولای مشترک D به هم متصل شده اند (شکل 27.2). سطح مقطع میله وسط برابر با سطح مقطع میله های بیرونی است

یک نیروی عمودی P به لولا D اعمال می شود. تعیین نیروهای موجود در میله ها در اثر اعمال این نیرو ضروری است.

از آنجایی که اتصالات تمام انتهای میله ها به صورت لولایی است، واکنش های لولاهای A، B و C در امتداد محورهای میله ها هدایت می شوند و بنابراین در نقطه D قطع می شوند.

تعداد واکنش ها سه است. اما از آنجایی که سیستم و بار نسبت به محور عمودی متقارن هستند، واکنش‌های RA و با هم برابر هستند و بنابراین برای حل مسئله کافی است دو واکنش RA و را تعیین کنیم.

برای سیستم صفحه ای از نیروها که در یک نقطه متقاطع می شوند، مشخص است که دو معادله تعادلی می توان ساخت: و با این حال، این دو معادله برای تعیین واکنش ها و RB کافی نیستند، زیرا شرط تقارن قبلاً استفاده شده است، و این معادل استفاده از معادله تعادل تنها یک معادله تعادل باقی می ماند و تعداد تلاش های مجهول دو است. بنابراین، برای حل مسئله لازم است یک معادله اضافی ساخته شود و بنابراین، مسئله یک بار از نظر استاتیک نامعین است.

معادله تعادل شکل دارد

برای ایجاد یک معادله اضافی، جابجایی های سیستم را در نظر بگیرید.

در میله های AD، BD و CD، نیروهای طولی به ترتیب برابر با یک نیروی طولی ایجاد می شوند، با توجه به اینکه ما به دست می آوریم

لولا D یک مقدار پایین می آید و موقعیت D را می گیرد (شکل 27.2).

برای بیان ازدیاد طول میله AD از طریق جابجایی، لازم است این حرکت در جهت محور میله طرح ریزی شود:

در اینجا، با توجه به اینکه جابجایی در مقایسه با طول میله ها کوچک است، زاویه ADB (شکل 27.2) برابر با a در نظر گرفته می شود، یعنی زاویه ADB (بین محورهای میله های AD و BD در یک ساختار بدون تغییر).

اجازه دهید عبارات و DB به دست آمده در بالا را با معادله (48.2) جایگزین کنیم:

با حل این معادله همراه با معادله تعادل (47.2) به دست می آوریم

از عبارات (49.2) مشخص می شود که با افزایش سطح مقطع میله های AD و CD (یعنی با افزایش ) نیروها در آنها افزایش می یابد و نیرو در میله BD کاهش می یابد.

این نتیجه منعکس کننده ویژگی های سیستم های استاتیکی نامعین است که در آنها افزایش صلبیت برخی از عناصر منجر به افزایش نیرو در آنها و معمولاً کاهش نیرو در سایر عناصر می شود. در سیستم هایی که از نظر استاتیکی تعیین می شوند، توزیع نیروها در یک سازه به صلبیت عناصر آن بستگی ندارد.

بیایید سیستمی متشکل از سه میله را در نظر بگیریم: یک لوله آلومینیومی، یک لوله فولادی 2 که در یک لوله آلومینیومی وارد شده است، و یک میله چدن جامد 3 که در داخل لوله فولادی قرار دارد (شکل 28.2، a).

هم لوله ها و هم یک میله چدنی بین صفحات کاملاً صلب قرار می گیرند و با نیروی P فشرده می شوند و لازم است که تنش های موجود در مقاطع عرضی هر یک از میله ها توسط نیروی P تعیین شود.

بیایید یک بخش افقی ترسیم کنیم و یک معادله تعادل برای قسمت بالایی سیستم ترسیم کنیم (شکل 28.2، b):

تنش های نرمال در مقاطع میله های آلومینیومی، فولادی و چدنی به ترتیب کجاست (تنش های نرمال فشاری در اینجا مثبت فرض می شود). - سطح مقطع این میله ها.

محصولات نشان دهنده نیروهای طولی در مقاطع عرضی میله ها هستند.

ساختن معادلات تعادلی دیگر برای سیستم نیروهای موازی مورد بررسی غیرممکن است و بنابراین برای تعیین سه تنش مجهول، علاوه بر معادله تعادل (50.2)، دو معادله اضافی نیز لازم است. مطابق با این، سیستم مورد بررسی دو بار (دو بار) از نظر استاتیکی نامشخص است.

برای ایجاد معادلات اضافی، از این واقعیت استفاده می کنیم که هر سه میله بین دو صفحه صلب قرار گرفته اند و بنابراین تغییر شکل های طولی همه میله ها یکسان است. اجازه دهید تغییر شکل طولی نسبی میله ها را نشان دهیم.

بر اساس قانون هوک

مدول های الاستیک مواد میله کجا هستند.

از این برابری دو معادله اضافی بدست می آوریم:

با جایگزینی مقادیر از معادلات (52.2) به معادله (50.2)، متوجه می شویم

که در آن سطح مقطع کل میله کامپوزیت به آلومینیوم کاهش می یابد:

در شکل 28.2، b نمودار تنش های نرمال در سیستم مورد بررسی را با نسبت بین مدول های الاستیک برابر 1: 3: 2 نشان می دهد.

مناطق داده شده هنگام طراحی تیرهایی با قابلیت ارتجاعی ناهمگن استفاده می شود، به عنوان مثال، ستون های بتن مسلح متشکل از میله های فولادی (تقویت کننده) واقع در بتن. چسبندگی بین آرماتور و بتن امکان حرکت آرماتور را نسبت به بتن اطراف از بین می برد. بنابراین تغییر شکل‌های طولی بتن و آرماتور یکسان است و نسبت تنش‌های معمولی در آرماتور به تنش‌های بتن برابر با نسبت مدول‌های کشسانی این مصالح است.

اجازه دهید اکنون سیستم نشان داده شده در شکل را در نظر بگیریم. 29.2، a، متشکل از یک تیر کاملاً سفت و سخت که بر روی یک تکیه گاه لولایی پشتیبانی می شود و با استفاده از لولا به دو میله AAX و CCX (ساخته شده از فولاد انعطاف پذیر) متصل می شود.

اجازه دهید از شرایط استحکام میله های فولادی، بار مجاز، حداکثر بار و حداکثر بار مجاز را تعیین کنیم.

واکنش های میله های لولا شده در انتها در امتداد محورهای این میله ها هدایت می شود. واکنش تکیه گاه B یک جزء افقی و یک جزء عمودی دارد، زیرا این تکیه گاه مانع از حرکت افقی و عمودی نقطه B تیر می شود.

بنابراین، در مجموع چهار واکنش ناشناخته وجود دارد (شکل 29.2، b)، و تنها سه معادله تعادل را می توان برای یک سیستم هواپیمای نیرو جمع آوری کرد. در نتیجه، این سیستم زمانی نامشخص است و برای حل آن نیاز به ایجاد یک معادله اضافی است.

با توجه به شرایط مسئله باید واکنش های میله های فولادی AAX و CCX (برابر نیروهای طولی در مقاطع عرضی این میله ها) مشخص شود، اما نیازی به تعیین واکنش ها نیست. بنابراین، استفاده از یکی از سه معادله تعادلی ممکن که شامل واکنش ها و .

این معادله به صورت مجموع گشتاورهای تمام نیروها نسبت به لولا B است:

برای ایجاد یک معادله اضافی، تغییر شکل سیستم را در نظر بگیرید. در شکل 29.2، b خط چین، محور تیر را پس از تغییر شکل سیستم نشان می دهد. این محور مستطیل می‌ماند، زیرا تیر کاملاً صلب است و بنابراین تغییر شکل نمی‌دهد، بلکه فقط می‌تواند حول نقطه B بچرخد. لولاهای A و C پس از تغییر شکل به ترتیب به موقعیت‌های A و C حرکت می‌کنند، یعنی بر اساس مقادیر به صورت عمودی حرکت می‌کنند. از شباهت مثلث های AAB و CCB می یابیم

اجازه دهید کشیدگی میله و کشیدگی میله را از طریق جابجایی ها بیان کنیم. برای انجام این کار، جابجایی ها را در جهت میله ها طراحی می کنیم:

یا با در نظر گرفتن برابری (56.2)

اما طبق قانون هوک [طبق فرمول (13.2)]

و بنابراین، بر اساس برابری (57.2)

با حل معادله (58.2) همراه با معادله تعادل (55.2)، مقادیر نیروهای طولی بیان شده از طریق بار Q را پیدا می کنیم. با تقسیم نیروها بر سطوح مقطع، به ترتیب تنش های نرمال در فولاد را تعیین می کنیم. میله ها سپس با برابر کردن بزرگتر این تنش ها با تنش مجاز، مقدار Q را برابر با مقدار بار مجاز می یابیم.

با افزایش بار Q فراتر از مقادیر تنش در هر دو میله، ابتدا به نسبت مستقیم با بار افزایش می یابد. به عنوان مثال، و بنابراین، مقدار از این شرایط پیدا می شود که وقتی بار به مقدار معینی افزایش می یابد، تنش ها در میله اول به مقاومت تسلیم می رسند، در همان زمان، تنش ها در میله دوم کمتر باقی می مانند

در فرآیند افزایش بیشتر بار، تنش‌ها در میله اول برابر با مقاومت تسلیم ثابت می‌مانند و در دومی افزایش می‌یابند تا اینکه به این حالت سیستم، حالت محدود کننده می‌گویند فرسودگی ظرفیت حمل بار آن؛ یک افزایش بیشتر، حتی جزئی در بار، با تغییر شکل های بسیار بزرگ سیستم همراه است. کمیتی Q که باعث ایجاد حالت محدود می شود، تعیین شده و بار نهایی نامیده می شود.

برای تعیین مقدار، معادله تعادل را به شکل مجموع گشتاورها (نسبت به لولا B) تمام نیروهای وارد بر یک تیر صلب در حالت حدی ترسیم می کنیم، زمانی که

با تقسیم بر ضریب ایمنی ظرفیت باربری استاندارد، مقدار حداکثر بار مجاز را بدست می آوریم:

اگر مقدار در فرمول (59.2) برابر با مقدار در نظر گرفته شود [نگاه کنید به. فرمول (42.2)]، در این صورت مقدار حداکثر بار مجاز بیشتر از مقدار بار مجاز حاصل از محاسبه بر اساس تنش های مجاز خواهد بود.

مسائل تعیین حداکثر و حداکثر بارهای مجاز به تفصیل در فصل مورد بحث قرار گرفته است. 17.

اکنون روشی برای تعیین تنش‌های نصب در یک ساختار استاتیکی نامشخص ناشی از عدم دقت در ساخت عناصر آن ایجاد می‌کنیم. اجازه دهید، به عنوان مثال، ساختاری متشکل از سه میله فولادی با سطح مقطع را در نظر بگیریم که انتهای آن ها به صورت لولایی به دو صفحه سفت و سخت متصل شده اند (شکل 30.2، a). قرار بود همه میله‌ها طول یکسانی داشته باشند، اما میله اول طولانی‌تر و دومی 68 کوتاه‌تر از طراحی آن‌ها در مقایسه با I ساخته شده است. در این راستا پس از نصب، به اصطلاح تنش های اولیه (یا نصب) در میله ها به وجود آمد. بیایید این ولتاژها را تعیین کنیم.

فرض کنید پس از نصب سازه، صفحه زیرین موقعیتی را که در شکل نشان داده شده است، بگیرد. 30.2، اما با یک خط چین، یعنی در هنگام نصب، تمام میله ها کشیده شده و بنابراین، همه آنها کشیده می شوند.

بیایید یک مقطع را از طریق میله ها ترسیم کنیم (شکل 30.2، o) و شرایط تعادل را برای قسمت پایینی (بریده) سازه ترسیم کنیم (شکل 30.2، b):

الف) مجموع پیش بینی نیروها بر روی قائم

ب) مجموع گشتاور نیروها نسبت به لولای سمت چپ پایین A

از رابطه (61.2) مشخص می شود که نیروهای میله دوم و سوم دارای علائم متفاوتی هستند، یعنی یکی از آنها کشیده و دیگری فشرده شده است.

بنابراین، این فرض که تمام میله ها در کشش هستند نادرست است. با این حال، استدلال بیشتر را ساده می کند و خطا را در نتایج محاسبات وارد نمی کند.

دو معادله تعادل (60.2) و (61.2) شامل سه نیروی مجهول است. در نتیجه، ساخت و ساز مورد بررسی زمانی از نظر استاتیک نامشخص است.

برای ایجاد یک معادله اضافی، امتداد میله ها را در هنگام نصب در نظر بگیرید. اجازه دهید طول میله های اول، دوم و سوم را به ترتیب نشان دهیم (شکل 30.2، a). بر اساس فرض صلبیت مطلق صفحات، نتیجه می گیریم که هر سه لولای پایینی در یک خط مستقیم قرار دارند. این به ما اجازه می دهد تا رابطه زیر را برای مثلث های مشابه ACE و BCD جمع آوری کنیم (شکل 30.2، a):

اما از شکل 30.2، اما به دنبال آن است

بر اساس قانون هوک