बड़े बीजगणितीय अभिव्यक्तियों के मूल्यांकन की प्रक्रिया को तेज़ करने के लिए, अंकगणित, विशेष रूप से बीजगणित में संक्षिप्त गुणन सूत्रों या नियमों का उपयोग किया जाता है। सूत्र स्वयं कई बहुपदों को गुणा करने के लिए बीजगणित में मौजूद नियमों से प्राप्त होते हैं।

इन सूत्रों का उपयोग विभिन्न गणितीय समस्याओं का काफी त्वरित समाधान प्रदान करता है, और अभिव्यक्तियों को सरल बनाने में भी मदद करता है। बीजगणितीय परिवर्तनों के नियम आपको अभिव्यक्तियों के साथ कुछ हेरफेर करने की अनुमति देते हैं, जिसके बाद आप समानता के बाईं ओर दाईं ओर अभिव्यक्ति प्राप्त कर सकते हैं, या समानता के दाईं ओर रूपांतरित कर सकते हैं (बाईं ओर अभिव्यक्ति प्राप्त करने के लिए) बराबर चिह्न के बाद)।

संक्षिप्त गुणन के लिए उपयोग किए जाने वाले सूत्रों को स्मृति से जानना सुविधाजनक है, क्योंकि इनका उपयोग अक्सर समस्याओं और समीकरणों को हल करने में किया जाता है। इस सूची में शामिल मुख्य सूत्र और उनके नाम नीचे दिए गए हैं।

योग का वर्ग

योग के वर्ग की गणना करने के लिए, आपको पहले पद के वर्ग का योग ज्ञात करना होगा, जो पहले पद और दूसरे पद के गुणनफल का दोगुना और दूसरे पद का वर्ग हो। व्यंजक के रूप में इस नियम को इस प्रकार लिखा जाता है: (a + c)² = a² + 2ac + c².

वर्गाकार अंतर

अंतर के वर्ग की गणना करने के लिए, आपको पहली संख्या के वर्ग, पहली संख्या के गुणनफल का दोगुना और दूसरी (विपरीत चिह्न के साथ लिया गया) और दूसरी संख्या के वर्ग के योग की गणना करने की आवश्यकता है। व्यंजक के रूप में यह नियम इस प्रकार दिखता है: (a - c)² = a² - 2ac + c².

वर्गों का अंतर

दो संख्याओं के वर्ग अंतर का सूत्र इन संख्याओं के योग और उनके अंतर के गुणनफल के बराबर होता है। अभिव्यक्ति के रूप में यह नियम इस प्रकार दिखता है: a² - с² = (a + с)·(a - с).

योग का घन

दो पदों के योग के घन की गणना करने के लिए, आपको पहले पद के घन के योग की गणना करनी होगी, पहले पद और दूसरे के वर्ग के गुणनफल को तीन गुना करना होगा, पहले पद और दूसरे पद के वर्ग के गुणनफल को तीन गुना करना होगा। वर्ग, और दूसरे पद का घन। व्यंजक के रूप में यह नियम इस प्रकार दिखता है: (a + c)³ = a³ + 3a²c + 3ac² + c³.

घनों का योग

सूत्र के अनुसार, यह इन पदों के योग और उनके अपूर्ण वर्ग अंतर के गुणनफल के बराबर है। अभिव्यक्ति के रूप में यह नियम इस प्रकार दिखता है: a³ + c³ = (a + c)·(a² - ac + c²).

उदाहरण।दो घनों को जोड़ने पर बनी आकृति का आयतन ज्ञात करना आवश्यक है। केवल उनकी भुजाओं का आकार ही ज्ञात है।

यदि पार्श्व मान छोटे हैं, तो गणनाएँ सरल हैं।

यदि भुजाओं की लंबाई बोझिल संख्याओं में व्यक्त की जाती है, तो इस मामले में "घन का योग" सूत्र का उपयोग करना आसान है, जो गणना को बहुत सरल बना देगा।

अंतर घन

घन अंतर के लिए अभिव्यक्ति इस प्रकार है: पहले पद की तीसरी घात के योग के रूप में, पहले पद के वर्ग के ऋणात्मक उत्पाद को दूसरे से तीन गुना करें, पहले पद के उत्पाद को दूसरे के वर्ग से तीन गुना करें और दूसरे पद का ऋणात्मक घन। गणितीय अभिव्यक्ति के रूप में, अंतर का घन इस तरह दिखता है: (a - c)³ = a³ - 3a²c + 3ac² - c³।

घनों का अंतर

घन सूत्र का अंतर घनों के योग से केवल एक चिह्न से भिन्न होता है। इस प्रकार, घनों का अंतर इन संख्याओं के अंतर और उनके योग के अपूर्ण वर्ग के गुणनफल के बराबर एक सूत्र है। रूप में, घनों का अंतर इस प्रकार दिखता है: a 3 - c 3 = (a - c)(a 2 + ac + c 2)।

उदाहरण।नीले घन के आयतन में से आयतन आकृति घटाने के बाद जो आकृति बचेगी उसके आयतन की गणना करना आवश्यक है पीला रंग, जो एक घन भी है। छोटे और बड़े घन का केवल पार्श्व आकार ही ज्ञात है।

यदि पार्श्व मान छोटे हैं, तो गणनाएँ काफी सरल हैं। और यदि भुजाओं की लंबाई महत्वपूर्ण संख्याओं में व्यक्त की जाती है, तो यह "घन का अंतर" (या "अंतर का घन") नामक सूत्र को लागू करने के लायक है, जो गणना को बहुत सरल बना देगा।

पिछले पाठों में, हमने एक बहुपद का गुणनखंड करने के दो तरीकों पर ध्यान दिया: सामान्य गुणनखंड को कोष्ठक से बाहर रखना और समूहीकरण विधि।

इस पाठ में हम एक बहुपद का गुणनखंड करने का दूसरा तरीका देखेंगे संक्षिप्त गुणन सूत्रों का उपयोग करना.

हमारा सुझाव है कि आप प्रत्येक सूत्र को कम से कम 12 बार लिखें। बेहतर याद रखने के लिए, सभी संक्षिप्त गुणन सूत्रों को एक छोटी चीट शीट पर लिख लें।

आइए याद रखें कि घन सूत्र का अंतर कैसा दिखता है।

घन सूत्र का अंतर याद रखना बहुत आसान नहीं है, इसलिए हम इसे याद रखने के लिए एक विशेष विधि का उपयोग करने की सलाह देते हैं।

यह समझना महत्वपूर्ण है कि कोई भी संक्षिप्त गुणन सूत्र भी काम करता है विपरीत पक्ष.

आइए एक उदाहरण देखें. घनों के अंतर का गुणनखंड करना आवश्यक है।

कृपया ध्यान दें कि "27ए 3" "(3ए) 3" है, जिसका अर्थ है कि घन सूत्र के अंतर के लिए, "ए" के बजाय हम "3ए" का उपयोग करते हैं।

हम घनों के अंतर के सूत्र का उपयोग करते हैं। "ए 3" के स्थान पर हमारे पास "27ए 3" है, और "बी 3" के स्थान पर, जैसा कि सूत्र में है, "बी 3" है।

घनों का अंतर विपरीत दिशा में लगाना

आइए एक और उदाहरण देखें. आपको संक्षिप्त गुणन सूत्र का उपयोग करके बहुपदों के गुणनफल को घनों के अंतर में बदलना होगा।

कृपया ध्यान दें कि बहुपद "(x − 1)(x 2 + x + 1)" का गुणनफल घन सूत्र "" के अंतर के दाईं ओर जैसा दिखता है, केवल "a" के बजाय "x" है, और इसके स्थान पर "बी" में "1" है।

"(x − 1)(x 2 + x + 1)" के लिए हम विपरीत दिशा में घन सूत्र का उपयोग करते हैं।

आइए एक अधिक जटिल उदाहरण देखें। बहुपदों के गुणनफल को सरल बनाना आवश्यक है।

यदि हम "(y 2 − 1)(y 4 + y 2 + 1)" की तुलना घन सूत्र के दाईं ओर के अंतर से करते हैं
« ए 3 − बी 3 = (ए − बी)(ए 2 + एबी + बी 2)”, तो आप समझ सकते हैं कि पहले ब्रैकेट से “a” के स्थान पर “y 2” है, और “b” के स्थान पर “1” है।

वर्गों का अंतर

आइए वर्गों के अंतर के लिए सूत्र $a^2-b^2$ प्राप्त करें।

ऐसा करने के लिए, निम्नलिखित नियम याद रखें:

यदि हम व्यंजक में कोई एकपदी जोड़ते हैं और उसी एकपदी को घटाते हैं, तो हमें सही पहचान मिलती है।

आइए अपनी अभिव्यक्ति में जोड़ें और इसमें से एकपदी $ab$ घटाएं:

कुल मिलाकर, हमें मिलता है:

अर्थात्, दो एकपदों के वर्गों के बीच का अंतर उनके अंतर और उनके योग के गुणनफल के बराबर होता है।

उदाहरण 1

उत्पाद $(4x)^2-y^2$ के रूप में प्रस्तुत करें

\[(4x)^2-y^2=((2x))^2-y^2\]

\[((2x))^2-y^2=\left(2x-y\right)(2x+y)\]

घनों का योग

आइए हम घनों के योग के लिए सूत्र $a^3+b^3$ प्राप्त करें।

आइए सामान्य कारकों को कोष्ठक से बाहर निकालें:

आइए $\left(a+b\right)$ को कोष्ठक से बाहर निकालें:

कुल मिलाकर, हमें मिलता है:

अर्थात्, दो एकपदों के घनों का योग उनके योग और उनके अंतर के अपूर्ण वर्ग के गुणनफल के बराबर होता है।

उदाहरण 2

उत्पाद $(8x)^3+y^3$ के रूप में प्रस्तुत करें

इस अभिव्यक्ति को इस प्रकार पुनः लिखा जा सकता है:

\[(8x)^3+y^3=((2x))^3+y^3\]

वर्गों के अंतर के सूत्र का उपयोग करके, हम पाते हैं:

\[((2x))^3+y^3=\left(2x+y\right)(4x^2-2xy+y^2)\]

घनों का अंतर

आइए हम घनों के अंतर का सूत्र $a^3-b^3$ प्राप्त करें।

ऐसा करने के लिए, हम ऊपर बताए गए समान नियम का उपयोग करेंगे।

आइए अपनी अभिव्यक्ति में जोड़ें और इसमें से एकपदी $a^2b\ और\ (ab)^2$ घटाएं:

आइए सामान्य कारकों को कोष्ठक से बाहर निकालें:

आइए $\left(a-b\right)$ को कोष्ठक से बाहर निकालें:

कुल मिलाकर, हमें मिलता है:

अर्थात्, दो एकपदों के घनों का अंतर उनके योग के अपूर्ण वर्ग द्वारा उनके अंतर के गुणनफल के बराबर होता है।

उदाहरण 3

उत्पाद $(8x)^3-y^3$ के रूप में प्रस्तुत करें

इस अभिव्यक्ति को इस प्रकार पुनः लिखा जा सकता है:

\[(8x)^3-y^3=((2x))^3-y^3\]

वर्गों के अंतर के सूत्र का उपयोग करके, हम पाते हैं:

\[((2x))^3-y^3=\left(2x-y\right)(4x^2+2xy+y^2)\]

वर्गों के अंतर और घनों के योग और अंतर के लिए सूत्रों का उपयोग करने वाली समस्याओं का उदाहरण

उदाहरण 4

इसका गुणनखंड करें.

ए) $((ए+5))^2-9$

ग) $-x^3+\frac(1)(27)$

समाधान:

ए) $((ए+5))^2-9$

\[(((a+5))^2-9=(a+5))^2-3^2\]

वर्गों के अंतर के सूत्र को लागू करने पर, हमें मिलता है:

\[((a+5))^2-3^2=\left(a+5-3\right)\left(a+5+3\right)=\left(a+2\right)(a +8)\]

आइए इस अभिव्यक्ति को इस रूप में लिखें:

आइए घनों का सूत्र लागू करें:

ग) $-x^3+\frac(1)(27)$

आइए इस अभिव्यक्ति को इस रूप में लिखें:

\[-x^3+\frac(1)(27)=(\left(\frac(1)(3)\right))^3-x^3\]

आइए घनों का सूत्र लागू करें:

\[(\left(\frac(1)(3)\right))^3-x^3=\left(\frac(1)(3)-x\right)\left(\frac(1)( 9)+\frac(x)(3)+x^2\right)\]