चतुष्फलक के आयतन के मूल सूत्र से

कहाँ एसकिसी भी चेहरे का क्षेत्र है, और एच- इसके द्वारा कम की गई ऊँचाई, सूत्रों की एक पूरी श्रृंखला प्राप्त की जा सकती है जो टेट्राहेड्रोन के विभिन्न तत्वों के माध्यम से आयतन को व्यक्त करती है। आइए चतुष्फलक के लिए ये सूत्र प्रस्तुत करें ए बी सी डी.

(2) ,

कहां ∠ ( विज्ञापन,एबीसी)-किनारों के बीच का कोण विज्ञापनऔर चेहरे का तल एबीसी;

(3) ,

कहां ∠ ( एबीसी,अब्द)-फलकों के बीच का कोण एबीसीऔर अब्द;

कहाँ | अब,सीडी| – विपरीत पसलियों के बीच की दूरी अबऔर सीडी, ∠ (अब,सीडी) इन किनारों के बीच का कोण है।

सूत्र (2)-(4) का उपयोग सीधी रेखाओं और तलों के बीच के कोणों को खोजने के लिए किया जा सकता है; सूत्र (4) विशेष रूप से उपयोगी है, जिसकी सहायता से आप क्रॉसिंग रेखाओं के बीच की दूरी ज्ञात कर सकते हैं अबऔर सीडी.

सूत्र (2) और (3) सूत्र के समान हैं एस = (1/2)अबपाप सीत्रिभुज के क्षेत्रफल के लिए. FORMULA एस = आर.पीसमान सूत्र

कहाँ आरटेट्राहेड्रोन के उत्कीर्ण गोले की त्रिज्या है, Σ इसकी कुल सतह (सभी चेहरों के क्षेत्रों का योग) है। चतुष्फलक के आयतन को त्रिज्या से जोड़ने वाला एक सुंदर सूत्र भी है आरइसका वर्णित क्षेत्र ( क्रेलेट फार्मूला):

जहाँ Δ एक त्रिभुज का क्षेत्रफल है जिसकी भुजाएँ संख्यात्मक रूप से विपरीत किनारों के गुणनफल के बराबर हैं ( अब× सीडी, एसी।× बी.डी,विज्ञापन× ईसा पूर्व). सूत्र (2) और त्रिफलकीय कोणों के लिए कोसाइन प्रमेय (गोलाकार त्रिकोणमिति देखें) से, हम त्रिभुजों के लिए हेरॉन के सूत्र के समान एक सूत्र प्राप्त कर सकते हैं।

एक मनमाना त्रिभुज ABC और एक बिंदु D पर विचार करें जो इस त्रिभुज के तल में नहीं है। आइए खंडों का उपयोग करके इस बिंदु को त्रिभुज ABC के शीर्षों से जोड़ें। परिणामस्वरूप, हमें त्रिभुज ADC, CDB, ABD प्राप्त होते हैं। चार त्रिभुजों ABC, ADC, CDB और ABD से घिरी सतह को चतुष्फलक कहा जाता है और इसे DABC नामित किया गया है।
वे त्रिभुज जो चतुष्फलक का निर्माण करते हैं, उसके फलक कहलाते हैं।
इन त्रिभुजों की भुजाओं को चतुष्फलक के किनारे कहा जाता है। और उनके शीर्ष चतुष्फलक के शीर्ष हैं

चतुष्फलक है 4 चेहरे, 6 पसलियांऔर 4 चोटियाँ.
दो किनारे जिनमें एक उभयनिष्ठ शीर्ष नहीं होता, विपरीत कहलाते हैं।
अक्सर, सुविधा के लिए, चतुष्फलक के किसी एक फलक को कहा जाता है आधार, और शेष तीन फलक पार्श्व फलक हैं।

इस प्रकार, चतुष्फलक सबसे सरल बहुफलक है जिसके फलक चार त्रिभुज होते हैं।

लेकिन यह भी सच है कि कोई भी मनमाना त्रिकोणीय पिरामिड एक चतुष्फलक होता है। फिर यह भी सत्य है कि चतुष्फलक कहा जाता है एक पिरामिड जिसके आधार पर एक त्रिभुज है।

चतुष्फलक की ऊँचाईएक खंड कहा जाता है जो एक शीर्ष को विपरीत फलक पर स्थित एक बिंदु से जोड़ता है और उसके लंबवत होता है।
चतुष्फलक की माध्यिकाएक खंड कहा जाता है जो एक शीर्ष को विपरीत फलक की माध्यिकाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु से जोड़ता है।
चतुष्फलक का द्विमध्यकएक खंड कहा जाता है जो टेट्राहेड्रोन के प्रतिच्छेदी किनारों के मध्य बिंदुओं को जोड़ता है।

चूँकि टेट्राहेड्रोन त्रिकोणीय आधार वाला एक पिरामिड है, इसलिए किसी भी टेट्राहेड्रोन के आयतन की गणना सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है

• एस- किसी भी चेहरे का क्षेत्र,
• एच- ऊँचाई इस चेहरे तक कम हो गई

नियमित चतुष्फलक - एक विशेष प्रकार का चतुष्फलक

एक चतुष्फलक जिसके सभी फलक समबाहु हों, त्रिभुज कहलाता है। सही।
एक नियमित चतुष्फलक के गुण:

• सभी किनारे बराबर हैं.
• एक नियमित चतुष्फलक के सभी समतल कोण 60° होते हैं
• चूँकि इसका प्रत्येक शीर्ष तीन नियमित त्रिभुजों का शीर्ष है, प्रत्येक शीर्ष पर समतल कोणों का योग 180° होता है
• एक नियमित टेट्राहेड्रोन के किसी भी शीर्ष को विपरीत फलक के लंबकेंद्र (त्रिभुज की ऊंचाई के चौराहे के बिंदु पर) में प्रक्षेपित किया जाता है।

आइए हमें एक नियमित चतुष्फलक ABCD दिया जाए जिसके किनारे a के बराबर हों। डीएच इसकी ऊंचाई है.
आइए अतिरिक्त निर्माण करें BM - त्रिभुज ABC की ऊँचाई और DM - त्रिभुज ACD की ऊँचाई।
BM की ऊंचाई BM के बराबर है और बराबर है
त्रिभुज बीडीएम पर विचार करें, जहां डीएच, जो चतुष्फलक की ऊंचाई है, इस त्रिभुज की ऊंचाई भी है।
भुजा एमबी तक गिराए गए त्रिभुज की ऊंचाई सूत्र का उपयोग करके पाई जा सकती है

, कहाँ
बीएम=, डीएम=, बीडी=ए,
पी=1/2 (बीएम+बीडी+डीएम)=
आइए इन मानों को ऊंचाई सूत्र में प्रतिस्थापित करें। हम पाते हैं


चलिए 1/2a निकाल लेते हैं. हम पाते हैं

आइए वर्गों के अंतर का फॉर्मूला लागू करें

छोटे-छोटे परिवर्तनों के बाद हमें मिलता है


किसी भी चतुष्फलक के आयतन की गणना सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है
,
कहाँ ,

इन मूल्यों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है

इस प्रकार, एक नियमित चतुष्फलक के लिए आयतन सूत्र है

कहाँ ए-चतुष्फलकीय किनारा

यदि किसी चतुष्फलक के शीर्षों के निर्देशांक ज्ञात हों तो उसके आयतन की गणना करना

आइए हमें चतुष्फलक के शीर्षों के निर्देशांक दिए जाएं

शीर्ष से हम सदिश , , खींचते हैं।
इनमें से प्रत्येक वेक्टर के निर्देशांक ज्ञात करने के लिए, संबंधित आरंभिक निर्देशांक को अंतिम निर्देशांक से घटाएं। हम पाते हैं

एक नियमित टेट्राहेड्रोन में, किनारों पर सभी डायहेड्रल कोण और शीर्षों पर सभी ट्राइहेड्रल कोण बराबर होते हैं

एक चतुष्फलक में 4 फलक, 4 शीर्ष और 6 किनारे होते हैं।

एक नियमित चतुष्फलक के लिए मूल सूत्र तालिका में दिए गए हैं।

कहाँ:
एस - एक नियमित टेट्राहेड्रोन का सतह क्षेत्र
वी - मात्रा
एच - आधार से कम ऊंचाई
आर - चतुष्फलक में अंकित वृत्त की त्रिज्या
आर - परित्रिज्या
ए - किनारे की लंबाई

व्यावहारिक उदाहरण

समाधान.
चूँकि त्रिभुजाकार पिरामिड के सभी किनारे बराबर होते हैं, यह नियमित होता है। एक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड का सतह क्षेत्र S = a 2 √3 है।
तब
एस = 3√3

उत्तर: 3√3

काम.
एक नियमित त्रिभुजाकार पिरामिड के सभी किनारे 4 सेमी के बराबर हैं। पिरामिड का आयतन ज्ञात कीजिए

समाधान.
चूंकि एक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड में पिरामिड की ऊंचाई आधार के केंद्र तक प्रक्षेपित होती है, जो कि परिचालित वृत्त का केंद्र भी है, तो

एओ = आर = √3 / 3 ए
एओ = 4√3 / 3

इस प्रकार पिरामिड OM की ऊँचाई ज्ञात की जा सकती है सही त्रिकोणएओएम

एओ 2 + ओएम 2 = एएम 2
ओएम 2 = एएम 2 - एओ 2
ओएम 2 = 4 2 - (4√3 / 3) 2
ओएम 2 = 16 - 16/3
ओम = √(32/3)
ओम = 4√2 / √3

हम सूत्र V = 1/3 Sh का उपयोग करके पिरामिड का आयतन ज्ञात करते हैं
इस मामले में, हम सूत्र S = √3/4 a 2 का उपयोग करके आधार का क्षेत्रफल ज्ञात करते हैं

वी = 1/3 (√3 / 4 * 16) (4√2 / √3)
वी = 16√2/3

उत्तर: 16√2 / 3 सेमी

चतुष्फलक की परिभाषा

चतुर्पाश्वीय- सबसे सरल बहुफलकीय पिंड, जिसके फलक और आधार त्रिभुज हैं।

ऑनलाइन कैलकुलेटर

एक चतुष्फलक के चार फलक होते हैं, जिनमें से प्रत्येक तीन भुजाओं से बनता है। चतुष्फलक में चार शीर्ष होते हैं, जिनमें से प्रत्येक से तीन किनारे निकलते हैं।

यह शरीर कई प्रकारों में विभाजित है। नीचे उनका वर्गीकरण दिया गया है.

1. समफलकीय चतुष्फलक- इसके सभी फलक समरूप त्रिभुज हैं;
2. ऑर्थोसेंट्रिक टेट्राहेड्रोन- प्रत्येक शीर्ष से विपरीत फलक तक खींची गई सभी ऊंचाइयां लंबाई में समान हैं;
3. आयताकार चतुष्फलक- एक शीर्ष से निकलने वाले किनारे एक दूसरे से 90 डिग्री का कोण बनाते हैं;
4. चौखटा;
5. सदृश;
6. अकेंद्रित.

टेट्राहेड्रोन आयतन सूत्र

किसी दिए गए पिंड का आयतन कई तरीकों से पाया जा सकता है। आइए उन पर अधिक विस्तार से नजर डालें।

सदिशों के मिश्रित उत्पाद के माध्यम से

यदि एक चतुष्फलक निर्देशांक वाले तीन सदिशों पर बनाया गया है:

A ⃗ = (a x , a y , a z) \vec(a)=(a_x, a_y, a_z)ए= (ए एक्स​ , ए य​ , ए जेड​ )
b ⃗ = (b x , b y , b z) \vec(b)=(b_x, b_y, b_z)बी= (बी एक्स​ , बी य​ , बी जेड​ )
c ⃗ = (c x , c y , c z) \vec(c)=(c_x, c_y, c_z)सी= (सी एक्स​ , सी य​ , सी जेड​ ) ,

तो इस चतुष्फलक का आयतन इन सदिशों का मिश्रित उत्पाद है, अर्थात् निम्नलिखित निर्धारक:

V = 1 6 ⋅ ∣ a x a y a z b x b y b z c x c y c z ∣ V=\frac(1)(6)\cdot\begin(vmatrix) a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \\ \end(vmatrix )वी=6 1 ​ ⋅ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ ए एक्स​ बी एक्स​ सी एक्स​ ​ ए य​ बी य​ सी य​ ​ ए जेड​ बी जेड​ सी जेड​ ​ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​

अष्टफलक के चारों शीर्षों के निर्देशांक ज्ञात हैं। ए(1,4,9) ए(1,4,9) ए(1,4,9), बी(8,7,3) बी(8,7,3) बी(8, 7, 3), सी (1 , 2 , 3) ​​​सी (1,2,3) सी(1, 2, 3), डी(7,12,1) डी(7,12,1) डी (7 , 1 2 , 1 ). इसका आयतन ज्ञात कीजिए।

समाधान

ए(1,4,9) ए(1,4,9) ए(1,4,9)
बी(8,7,3) बी(8,7,3) बी(8, 7, 3)
सी (1 , 2 , 3) ​​​सी (1,2,3) सी(1, 2, 3)
डी(7,12,1) डी(7,12,1) डी (7 , 1 2 , 1 )

पहला कदम उन सदिशों के निर्देशांक निर्धारित करना है जिन पर यह निकाय बना है।
ऐसा करने के लिए, आपको दो बिंदुओं के संगत निर्देशांक को घटाकर प्रत्येक वेक्टर निर्देशांक को ढूंढना होगा। उदाहरण के लिए, वेक्टर निर्देशांक ए बी → \ओवरराइटएरो(एबी) ए बी, यानी, बिंदु से निर्देशित एक वेक्टर ए ए एमुद्दे पर बी बी बी, ये बिंदुओं के संगत निर्देशांक के बीच अंतर हैं बी बी बीऔर ए ए ए:

ए बी → = (8 − 1 , 7 − 4 , 3 − 9) = (7 , 3 , − 6) \overrightarrow(AB)=(8-1, 7-4, 3-9)=(7, 3, -6)ए बी= (8 − 1 , 7 − 4 , 3 − 9 ) = (7 , 3 , − 6 )

ए सी → = (1 − 1 , 2 − 4 , 3 − 9) = (0 , − 2 , − 6) \overrightarrow(AC)=(1-1, 2-4, 3-9)=(0, - 2, -6)एसी= (1 − 1 , 2 − 4 , 3 − 9 ) = (0 , − 2 , − 6 )
ए डी → = (7 − 1 , 12 − 4 , 1 − 9) = (6 , 8 , − 8) \overrightarrow(AD)=(7-1, 12-4, 1-9)=(6, 8, -8)ए डी= (7 − 1 , 1 2 − 4 , 1 − 9 ) = (6 , 8 , − 8 )

अब हम इन वैक्टरों का मिश्रित उत्पाद ढूंढेंगे; इसके लिए हम इसे स्वीकार करते हुए एक तीसरे क्रम के निर्धारक की रचना करेंगे A B → = a ⃗ \overrightarrow(AB)=\vec(a)ए बी= ए, A C → = b ⃗ \overrightarrow(AC)=\vec(b)एसी= बी, A D → = c ⃗ \overrightarrow(AD)=\vec(c)ए डी= सी.

a x a y a z b x b y b z c x c y c z (- 6) ⋅ (- 2) ⋅ 6 - 7 ⋅ (- 6) ⋅ 8 - 3 ⋅ 0 ⋅ (- 8) = 112 - 108 - 0 - 72 + 3 36 + 0 = 268 \begin(vmatrix) a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \\ \end(vmatrix)= \begin(vmatrix) 7 & 3 & -6 \\ 0 & -2 & -6 \\ 6 & 8 और -8 \\ \end(vmatrix)=7\cdot(-2)\cdot(-8) + 3\cdot(-6)\cdot6 + (-6)\cdot0\cdot8 - (-6)\ cdot (-2)\cdot6 - 7\cdot(-6)\cdot8 - 3\cdot0\cdot(-8) = 112 - 108 - 0 - 72 + 336 + 0 = 268∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ ए एक्स​ बी एक्स​ सीएक्स​ ​ एय​ बीय​ सीय​ ​ एजेड​ बीजेड​ सीजेड​ ​ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ 7 0 6 ​ 3 − 2 8 ​ − 6 − 6 − 8 ​ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ = 7 ⋅ (− 2 ) ⋅ (− 8 ) + 3 ⋅ (− 6 ) ⋅ 6 + (− 6 ) ⋅ 0 ⋅ 8 − (− 6 ) ⋅ (− 2 ) ⋅ 6 − 7 ⋅ (− 6 ) ⋅ 8 − 3 ⋅ 0 ⋅ (− 8 ) = 1 1 2 − 1 0 8 − 0 − 7 2 + 3 3 6 + 0 = 2 6 8

अर्थात् चतुष्फलक का आयतन बराबर है:

$वी=61\cdot |$

उत्तर

$44.8\text{सेमी3 .}$

एक आइसोहेड्रल टेट्राहेड्रोन के किनारे के आयतन का सूत्र

यह सूत्र केवल एक आइसोहेड्रल टेट्राहेड्रोन के आयतन की गणना के लिए मान्य है, अर्थात, एक टेट्राहेड्रोन जिसके सभी चेहरे समान नियमित त्रिकोण हैं।

$वी=12\sqrt{2\cdot {ए}^3}$

एक एए- चतुष्फलक के किनारे की लंबाई.

एक चतुष्फलक का आयतन ज्ञात कीजिए, यदि उसकी भुजा बराबर हो $11\text{सेमी.}$

समाधान

$ए=11$

आइए स्थानापन्न करें एक एएचतुष्फलक के आयतन के सूत्र में:

$वी=12\sqrt{2\cdot {ए}^{3=12\sqrt{2\cdot 11^{3\approx 156.8\text{सेमी3}}}}}$

उत्तर

$156.8\text{सेमी3 .}$