Https:/" title="Előadás a témában: Származék. 11. osztályos tanulók fejezték be: Chelobitchikova márc.">!}

Dia leírása:

2. dia

Dia leírása:

3. dia

Dia leírása:

Történelemből: A matematika történetében a matematikai tudás fejlődésének több szakaszát hagyományosan megkülönböztetik: Fogalom kialakulása geometriai alakzat a számok pedig valós objektumok idealizálása és homogén objektumok halmazai. A számolás és mérés megjelenése, amely lehetővé tette a különböző számok, hosszúságok, területek és térfogatok összehasonlítását. Az aritmetikai műveletek feltalálása. Az aritmetikai műveletek tulajdonságairól, egyszerű alakzatok és testek terület- és térfogatmérési módszereiről szóló ismeretek empirikus (próba-hibával) felhalmozása. Az ókor sumér-babiloni, kínai és indiai matematikusai nagy előrelépést tettek ebben az irányban. Az ókori Görögországban egy deduktív matematikai rendszer megjelenése, amely megmutatta, hogyan lehet új matematikai igazságokat szerezni a meglévők alapján. Az ókori görög matematika megkoronázó vívmánya Euklidész elemei volt, amely két évezreden át a matematikai szigor mércéjéül szolgált. Az iszlám országok matematikusai nemcsak megőrizték az ősi vívmányokat, hanem szintetizálni is tudták azokat az indiai matematikusok felfedezéseivel, akik a számelméletben előrébb jutottak, mint a görögök. A 16-18. században az európai matematika újjáéledt, és messze előrehaladt. Koncepcionális alapja ebben az időszakban az volt, hogy a matematikai modellek az Univerzum egyfajta ideális vázát képezik, ezért a matematikai igazságok felfedezése egyben a való világ új tulajdonságainak felfedezése is. A fő siker ezen az úton a függőség (függvény) és a gyorsított mozgás (az infinitezimálisok elemzése) matematikai modelljeinek kidolgozása volt. Az összes természettudományt újonnan felfedezett matematikai modellek alapján építették újjá, és ez kolosszális fejlődéshez vezetett. A 19. és 20. században világossá vált, hogy a matematika és a valóság kapcsolata korántsem olyan egyszerű, mint amilyennek korábban látszott. Nincs általánosan elfogadott válasz a "matematika filozófia alapvető kérdésére": meg kell találni a "matematika felfoghatatlan hatékonyságának a természettudományokban" okát. Ebben, és nem csak ebben a tekintetben, a matematikusok számos vitaiskolába oszlottak. Több veszélyes irányzat is megjelent: túlzottan szűk specializáció, elzárkózás gyakorlati problémák stb. Ugyanakkor a matematika ereje és presztízse, amelyet alkalmazásának hatékonysága támogat, minden eddiginél nagyobb

4. dia

Dia leírása:

5. dia

Dia leírása:

Differenciálhatóság Az f függvény f"(x0) deriváltja egy x0 pontban, amely határérték, nem létezhet vagy létezik, és lehet véges vagy végtelen. Egy f függvény akkor és csak akkor differenciálható egy x0 pontban, ha deriváltja ebben a pontban létezik és véges: Egy x0 pontban differenciálható f függvény U(x0) szomszédságában a következő ábrázolással rendelkezik: f(x) = f(x0) + f"(x0)(x − x0) + o(x − x0)

6. dia

Dia leírása:

Megjegyzések Nevezzük Δx = x − x0 a függvény argumentumának növekményét, és Δy = f(x0 + Δx) − f(x0) a függvény értékének növekedését az x0 pontban. Legyen a függvénynek véges deriváltja minden pontban. Ekkor a derivált függvény egy pontban folytonos. Ennek az ellenkezője nem mindig igaz. Ha maga a derivált függvény folytonos, akkor az f függvényt folytonosan differenciálhatónak nevezzük, és felírjuk:

7. dia

Dia leírása:

A származék geometriai és fizikai jelentése A származék geometriai jelentése. A függvény grafikonján kiválasztjuk az x0 abszcisszát, és kiszámítjuk a megfelelő f(x0) ordinátát. Egy tetszőleges x pontot választunk az x0 pont közelében. Az F függvény grafikonjának megfelelő pontjain át egy metszővonalat húzunk (az első világosszürke C5 vonal). A Δx = x - x0 távolság nullára hajlik, ennek eredményeként a szekáns érintővé alakul (fokozatosan sötétednek a C5 - C1 vonalak). Ennek az érintőnek a meredekségének α szögének érintője az x0 pont deriváltja.

8. dia

Dia leírása:

Magasabb rendek származékai A tetszőleges sorrend deriváltjának fogalmát rekurzívan határozzuk meg. Feltételezzük, hogy ha egy f függvény x0-ban differenciálható, akkor az elsőrendű deriváltot a reláció határozza meg. Legyen most az f(n) n-edrendű derivált az x0 pont valamelyik szomszédságában és differenciálható. Akkor

9. dia

Dia leírása:

A származékok írásának módszerei A céloktól, terjedelemtől és az alkalmazott matematikai apparátustól függően a származékok írásának különféle módszereit alkalmazzák. Így a jelölésben az n-edrendű derivált is felírható: Lagrange f(n)(x0), míg kis n prímeknél gyakran használnak római számokat: f(1)(x0) = f"(x0) = fI( x0),f(2)(x0) = f""(x0) = fII(x0),f(3)(x0) = f"""(x0) = fIII(x0),f(4)(x0) ) = fIV(x0), stb. Ez a jelölés rövidsége miatt kényelmes, és széles körben használatos Leibniz, az infinitezimális számok arányának kényelmes vizuális jelölése: Newton, amelyet a mechanikában gyakran használnak a koordinátafüggvény időbeli deriválására; (a térbeli deriváltnál a jelölést gyakrabban használják Lagrange). A derivált sorrendjét a függvény feletti pontok száma jelzi, például: - x elsőrendű deriváltja t-hez képest t = t0-nál, vagy - f második deriváltja x-hez képest az x0 pontban. stb. Euler differenciális operátort használ (szigorúan véve differenciális kifejezést, miközben a megfelelő funkcionális teret nem vezettük be), ezért kényelmes a funkcionális elemzéssel kapcsolatos kérdésekben: Természetesen nem szabad elfelejteni, hogy mindegyik szolgál ugyanazon objektumok kijelöléséhez:

10. dia

Dia leírása:

Példák: Legyen f(x) = x2. Ekkor legyen f(x) = | x | . Ekkor ha akkor f"(x0) = sgnx0, ahol az sgn az előjelfüggvényt jelöli. Ha x0 = 0, akkor f"(x0) nem létezik

11. dia

Dia leírása:

A differenciálás szabályai A derivált megtalálásának műveletét differenciálásnak nevezzük. A művelet végrehajtása során gyakran kell dolgozni hányadosokkal, összegekkel, függvények szorzataival, valamint „függvényfüggvényekkel”, azaz összetett funkciók. A derivált definíciója alapján levezethetünk differenciálási szabályokat, amelyek megkönnyítik ezt a munkát. (egy összeg deriváltja egyenlő a deriváltjainak összegével) (innen különösen az következik, hogy egy függvény és egy állandó szorzatának deriváltja egyenlő e függvény és egy állandó deriváltjának szorzatával ) Ha a függvény paraméteresen van megadva: akkor,

A származékos fogalom kialakulásának története

A függvény deriváltja egy pontban a differenciálszámítás alapfogalma. Jellemzi a függvény változási sebességét egy adott ponton. A származékot széles körben használják számos matematika, fizika és más tudományok problémáinak megoldására, különösen a különböző típusú folyamatok sebességének tanulmányozására.

Alapvető definíciók

A derivált egyenlő a függvény növekménye és az argumentum növekménye arányának határával, feltéve, hogy az utóbbi nullára hajlik:

$y^(\prime)\left(x_(0)\right)=\lim _(\Delta x \rightarrow 0) \frac(\Delta y)(\Delta x)$

Meghatározás

Azt a függvényt, amelynek egy bizonyos pontján véges deriváltja van, nevezzük egy adott ponton differenciálható. A derivált kiszámításának folyamatát ún a funkció differenciálása.

Történelmi hivatkozás

Az orosz „függvény származéka” kifejezést először az orosz matematikus, V.I. Viskovatov (1780-1812).

A növekmény (argumentum/függvény) megjelölését a görög $\Delta$ (delta) betűvel Johann Bernoulli (1667-1748) svájci matematikus és mechanikus használta először. A differenciál, derivált $d x$ jelölése a német matematikus G.W. Leibniz (1646-1716). Az időszármazéknak a $\dot(x)$ betű feletti ponttal való jelölésének módja Isaac Newton (1642-1727) angol matematikus, mechanikus és fizikustól származik. A derivált prímszámmal való rövid megjelölése - $f^(\prím)(x)$ - a francia matematikus, csillagász és mechanikus, J.L. Lagrange (1736 - 1813), amelyet 1797-ben vezetett be. A $\frac(\partial)(\partial x)$ részleges származékos szimbólumot Karl G.Ya német matematikus aktívan használta munkáiban. Jacobi (1805-1051), majd a kiváló német matematikus, Karl T.W. Weierstrass (1815 - 1897), bár ezzel a megjelöléssel már korábban találkoztak A.M. francia matematikus egyik munkájában. Legendre (1752 - 1833). A $\nabla$ differenciáloperátor szimbólumát a kiváló ír matematikus, mechanikus és fizikus találta fel W.R. Hamilton (1805-1865) 1853-ban, a "nabla" nevet pedig az autodidakta angol tudós, mérnök, matematikus és fizikus, Oliver Heaviside (1850-1925) javasolta 1892-ben.

A bemutató előnézeteinek használatához hozzon létre egy fiókot magának ( fiókot) Google és jelentkezzen be: https://accounts.google.com

Diafeliratok:

A származék története

„Ezt a világot mély sötétség borította. Legyen világosság! És akkor megjelent Newton." A. Pope költő sírfelirata:

A származék megjelenésének története A 12. század végén a nagy angol tudós, Isaac Newton bebizonyította, hogy az út és a sebesség a következő képlettel kapcsolódik egymáshoz: V (t) = S '(t) és létezik ilyen kapcsolat. mennyiségi jellemzői között a leginkább különféle folyamatok tanult: fizikát, kémiát, biológiát és műszaki tudományokat. Newtonnak ez a felfedezése fordulópontot jelentett a természettudomány történetében.

A matematikai elemzés alapvető törvényeinek felfedezésének megtiszteltetése Newtonnal együtt Gottfried Wilhelm Leibniz német matematikust illeti. A származék megjelenésének története Leibniz ezekhez a törvényekhez azáltal jutott el, hogy megoldotta a tetszőleges görbe érintőjének megrajzolását, i.e. megfogalmazta a derivált geometriai jelentését, hogy a derivált értéke az érintési pontban az érintő szögegyütthatója vagy tg az érintő dőlésszöge az O X tengely pozitív irányával.

A származékos kifejezést és az y ’, f ’ modern elnevezéseket J. Lagrange vezette be 1797-ben. A származék története

Szükséges-e a derivatíva egy jövőbeli szakmában? Korunkban a legkülönbözőbb szakterületek képviselőinek ilyen feladatokkal kell megküzdeniük: A technológiai mérnökök igyekeznek úgy megszervezni a termelést, hogy minél több termék készüljön; A tervezők egy olyan eszközt próbálnak kifejleszteni űrhajó hogy a készülék tömege minimális legyen; A közgazdászok úgy próbálják megtervezni az üzem kapcsolatait a nyersanyagforrásokkal, hogy a szállítási költségek minimálisak legyenek.

A munkát végezte: Lysenko Anastasia Posokhova Marika Shalnov Denis Struchenkov Nikita Felügyelő tanár: Novikova Lyubov Anatolyevna Felhasznált anyagok: FileLand.RU

Köszönöm a figyelmet!

A témában: módszertani fejlesztések, előadások és jegyzetek

Előadás "Történelmi információk másodfokú egyenletekről"

Az előadás érdekes történelmi információkat mutat be a másodfokú egyenletekről, valamint a másodfokú egyenletek nem szabványos megoldási módjairól....

„Történelmi információk az ólomüveg művészetéről, típusairól. Az ólomüveg használata a belsőépítészetben"

Jelenleg ólomüveg talált új élet: díszíti középületek(ablakok, ajtók, belső válaszfalak), megjelenésük megváltoztatása. Az ólomüveg egyre divatosabbá válik Oroszországban. Dekorációs lehetőségek...

Ez a tanórán kívüli tevékenység segít fejleszteni a tanulók látókörét és felkelteni az érdeklődést a matematika iránt....

Szaratovi régió Oktatási Minisztériuma

Állami autonóm szakember oktatási intézmény Szaratov régió "Engels Polytechnic"

A DERIVATÍVÁK ALKALMAZÁSA KÜLÖNBÖZŐ TUDOMÁNYTERÜLETEKEN

Teljesített: Verbitskaya Elena Vyacheslavovna

matematikatanár a GAPOU SO-n

"Engels Polytechnic"

Bevezetés

A matematika szerepe a természettudomány különböző területein igen nagy. Nem csoda, hogy azt mondják „A matematika a tudományok királynője, a fizika az övé jobb kéz, a kémia baloldali.”

A tanulmány tárgya származékos.

Vezető cél, hogy ne csak a matematikában, hanem más tudományokban is megmutassa a derivált jelentőségét, jelentőségét a modern életben.

A differenciálszámítás a körülöttünk lévő világ leírása, matematikai nyelven végrehajtva. A derivált segítségével nemcsak matematikai, hanem gyakorlati problémákat is sikeresen megoldhatunk a tudomány és a technológia különböző területein.

A függvény deriváltját mindenhol használjuk, ahol egyenetlen folyamat van: egyenetlen mechanikai mozgás, váltakozó áram, kémiai reakciók és egy anyag radioaktív bomlása stb.

Az esszé legfontosabb és tematikus kérdései:

1. A származék története.

2. Miért érdemes a függvények deriváltjait tanulmányozni?

3. Hol használják a származékokat?

4. Származékok alkalmazása a fizikában, kémiában, biológiában és más tudományokban.

Úgy döntöttem, hogy írok egy tanulmányt „A származékok alkalmazása a tudomány különböző területein” témában, mert úgy gondolom, hogy ez a téma nagyon érdekes, hasznos és releváns.

Munkámban a differenciálás alkalmazásáról fogok beszélni a tudomány különböző területein, például kémiában, fizikában, biológiában, földrajzban stb. Hiszen minden tudomány elválaszthatatlanul összefügg, ami a téma példáján nagyon jól látható. fontolgatom.

A származékok alkalmazása a tudomány különböző területein

A középiskolai algebra kurzusból már tudjuk, hogy a derivált a függvény növekményének az argumentuma növekményéhez viszonyított arányának határa, mivel az argumentum növekménye nullára hajlik, ha létezik ilyen határ.

A derivált megtalálását differenciálásnak nevezzük, és azt a függvényt, amelynek egy x pontban deriváltja van, abban a pontban differenciálhatónak nevezzük. Egy intervallum minden pontján differenciálható függvényt abban az intervallumban differenciálhatónak mondunk.

A matematikai elemzés alapvető törvényeinek felfedezésének megtiszteltetése Isaac Newton angol fizikust és matematikust, valamint Leibniz német matematikust, fizikust és filozófust illeti.

Newton a mechanika törvényeinek tanulmányozása közben vezette be a derivált fogalmát, feltárva ezzel annak mechanikai jelentését.

A derivált fizikai jelentése: az y = f (x) függvény deriváltja az x 0 pontban az f (x) függvény változási sebessége az x 0 pontban.

Leibniz azáltal jutott el a derivált fogalmához, hogy megoldotta azt a problémát, hogy egy derivált egyeneshez érintőt húzzunk, ezzel megmagyarázva annak geometriai jelentését.

A derivált geometriai jelentése az, hogy az x 0 pontban lévő derivált függvény egyenlő az x 0 abszcissza pontban megrajzolt függvény grafikonjának érintőjének meredekségével.

A származékos kifejezést és a modern y ", f" elnevezéseket J. Lagrange vezette be 1797-ben.

századi orosz matematikus, Panfutij Lvovics Csebisev azt mondta, hogy „különös jelentőséggel bírnak azok a tudománymódszerek, amelyek lehetővé teszik egy olyan probléma megoldását, amely minden gyakorlati emberi tevékenységre jellemző, például azt, hogyan szabaduljunk meg eszközeinktől a legnagyobb haszon elérése érdekében”.

A legkülönbözőbb szakterületek képviselőinek manapság ilyen feladatokkal kell megküzdeniük:

A technológiai mérnökök igyekeznek úgy megszervezni a termelést, hogy minél több termék készüljön el;

A tervezők olyan eszközt próbálnak kifejleszteni egy űrrepülőgéphez, hogy az eszköz tömege minimális legyen;

A közgazdászok úgy próbálják megtervezni az üzem kapcsolatait a nyersanyagforrásokkal, hogy a szállítási költségek minimálisak legyenek.

Bármilyen téma tanulmányozásakor a hallgatóknak kérdésük van: „Miért van szükségünk erre?” Ha a válasz kielégíti a kíváncsiságot, akkor beszélhetünk a hallgatók érdeklődéséről. A "Származék" témára a választ úgy kaphatja meg, ha tudja, hol használják a függvények deriváltjait.

A kérdés megválaszolásához felsorolhatunk néhány tudományágat és azok szakaszait, amelyekben származékokat használnak.

Származék az algebrában:

1. Egy függvény grafikonjának érintője

Egy függvény grafikonjának érintője f, az x o pontban differenciálható, az (x o) ponton átmenő egyenes egyenes; f(x о)) és lejtős f′(x o).

y = f(x o) + f′(x о) (x – x о)

2. Növekvő és csökkenő függvények intervallumainak keresése

Funkció y=f(x) növekszik az intervallum során x, ha bármely és egyenlőtlenség érvényesül. Más szavakkal, az argumentum nagyobb értéke a függvény nagyobb értékének felel meg.

Funkció y=f(x) csökken az intervallumon x, ha van ilyen és az egyenlőtlenség . Más szavakkal, az argumentum nagyobb értéke a függvény kisebb értékének felel meg.

3. Keresse meg a függvény szélsőpontjait

A lényeg az ún maximális pont funkciókat y=f(x), ha mindenkinek x szomszédságából az egyenlőtlenség érvényes. A függvény értékét a maximum pontban hívjuk a funkció maximuma és jelölje.

A lényeg az ún minimum pont funkciókat y=f(x), ha mindenkinek x szomszédságából az egyenlőtlenség érvényes. A függvény értékét a minimum pontban hívjuk minimális funkció és jelölje.

Egy pont környékét intervallumnak kell tekinteni , ahol egy kellően kicsi pozitív szám.

A minimum és maximum pontokat hívjuk szélsőséges pontok , és a szélsőpontoknak megfelelő függvény értékeit hívjuk meg a funkció szélsősége .

4. Egy függvény konvexitási és konkávitási intervallumainak megtalálása

konvex, ha ennek a függvénynek az intervallumon belüli grafikonja nem haladja meg egyik érintőjét sem (1. ábra).

Az intervallumon differenciálható függvény grafikonja ezen az intervallumon van homorú, ha ennek a függvénynek az intervallumon belüli grafikonja nem kisebb, mint bármelyik érintője (2. ábra).

Egy függvény grafikonjának inflexiós pontja a konvexitás és a konkávság intervallumait elválasztó pont.

5. Függvény hajlítási pontjainak megtalálása

Származék a fizikában:

1. A sebesség mint az út deriváltja

2. A gyorsulás mint az a = sebesség deriváltja

3. Radioaktív elemek bomlási sebessége = - λN

És a fizikában is a derivált számítja ki:

Anyagi pont sebességei

A pillanatnyi sebesség mint a származék fizikai jelentése

Pillanatnyi erőérték váltakozó áram

Az elektromágneses indukció EMF pillanatnyi értéke

Maximális teljesítmény

Származék a kémiában:

A kémiában pedig a differenciálszámítást széles körben alkalmazzák a kémiai reakciók matematikai modelljeinek megalkotására és tulajdonságaik későbbi leírására.

A kémiában egy származékot egy nagyon fontos dolog meghatározására használnak - a kémiai reakció sebességét, amely az egyik döntő tényező, amelyet a tudományos és ipari tevékenység számos területén figyelembe kell venni. V (t) = p ‘(t)

Származék a biológiában:

A populáció egy adott faj egyedeinek gyűjteménye, amelyek a faj elterjedési területén belül egy meghatározott területet foglalnak el, szabadon kereszteződnek és részben vagy teljesen el vannak zárva más populációktól, és egyben az evolúció elemi egysége is.

Származék a földrajzból:

1. Néhány jelentés a szeizmográfiában

2. A Föld elektromágneses terének jellemzői

3. Maggeofizikai mutatók radioaktivitása

4. Sok jelentés a gazdaságföldrajzban

5. Készítsen egy képletet egy területen t időpontban lévő népesség kiszámításához.

y'= k y

Thomas Malthus szociológiai modelljének gondolata az, hogy a népesség növekedése arányos az emberek számával egy adott időpontban, t és N(t) között. Ez a modell a legtöbb országban már nem érvényes.

Villamosmérnöki származéka:

Otthonunkban, közlekedésben, gyárakban: mindenhol működik az elektromos áram. Az elektromos áram alatt szabad elektromosan töltött részecskék irányított mozgását értjük.

Mennyiségi jellemzők elektromos áram az aktuális erősség.

Egy elektromos áramkörben elektromos töltés q=q (t) törvény szerint idővel változik. Az I áramerősség a q töltés deriváltja az idő függvényében.

Az elektrotechnika főként váltakozó áramot használ.

Az idő múlásával változó elektromos áramot váltakozó áramnak nevezzük. Az AC áramkör különféle elemeket tartalmazhat: fűtőtesteket, tekercseket, kondenzátorokat.

A váltakozó elektromos áram előállítása az elektromágneses indukció törvényén alapul, amelynek formulája tartalmazza a származékot mágneses fluxus.

Származék a közgazdaságtanban:

A közgazdaságtan az élet alapja, és fontos helyet foglal el benne a differenciálszámítás, a közgazdasági elemzés apparátusa. A közgazdasági elemzés alapvető feladata a közgazdasági mennyiségek összefüggéseinek vizsgálata függvény formájában.

A származék a közgazdaságtanban fontos kérdéseket old meg:

1. Milyen irányba változik az állami bevétel az adók emelésével vagy a vámok bevezetésével?

2. Növekszik vagy csökken-e a cég bevétele, ha a termékei ára emelkedik?

E kérdések megoldásához szükséges a bemeneti változók kapcsolódási függvényeinek megalkotása, amelyeket ezután differenciálszámítási módszerekkel tanulmányozunk.

Ezenkívül a függvény (derivált) extrémumát használva a gazdaságban megtalálhatja a legmagasabb munkatermelékenységet, maximális profitot, maximális kibocsátást és minimális költségeket.

KÖVETKEZTETÉS: a származékot sikeresen használják különféle megoldásokban alkalmazott problémák a tudományban, a technológiában és az életben

A fentiekből látható, hogy egy függvény deriváltjának használata igen sokrétű, nemcsak a matematika, hanem más tudományágak tanulmányozásában is. Ebből arra következtethetünk, hogy a „Függvény származéka” témakör tanulmányozása más témákban és tárgyakban is alkalmazható lesz.

Meggyőződtünk a „Derivátum” téma tanulmányozásának fontosságáról, a tudományos és technológiai folyamatok vizsgálatában betöltött szerepéről, a valós eseményeken alapuló matematikai modellek felépítésének lehetőségéről, valamint a fontos problémák megoldásáról.

"A zene felemeli vagy megnyugtatja a lelket,
A festészet kellemes a szemnek,
A költészet érzéseket ébreszt,
A filozófia az elme szükségleteinek kielégítése,
A mérnöki tevékenység célja az emberek életének anyagi oldalának javítása,
A a matematika mindezeket a célokat elérheti.”

Ezt mondta az amerikai matematikus Maurice Kline.

Bibliográfia:

1. Bogomolov N.V., Szamoilenko I.I. Matematika. - M.: Yurayt, 2015.

2. Grigorjev V.P., Dubinsky Yu.A., A felsőbb matematika elemei. - M.: Akadémia, 2014.

3. Bavrin I.I. A felsőbb matematika alapjai. - M.: Felsőiskola, 2013.

4. Bogomolov N.V. Gyakorlati órák matematikából. - M.: Felsőiskola, 2013.

5. Bogomolov N.V. Matematikai feladatgyűjtemény. - M.: Túzok, 2013.

6. Rybnikov K.A. Matematikatörténet, Moszkvai Egyetemi Kiadó, M, 1960.

7. Vinogradov Yu.N., Gomola A.I., Potapov V.I., Sokolova E.V. – M.: „Akadémia” Kiadói Központ, 2010

8. Bashmakov M.I. Matematika: algebra és a matematikai elemzés alapelvei, geometria. – M.: „Akadémia” Kiadói Központ, 2016

Időszakos források:

Újságok és folyóiratok: „Matematika”, „ Nyilvános óra»

Internetes források és elektronikus könyvtárak használata.