Utasítás

1. feladat.
Határozzuk meg a háromszög minden oldalának hosszát, ha tudjuk, hogy az egyik láb 1 cm-rel hosszabb, mint a másik, és a háromszög 28 cm.

Megoldás.
Írja fel az alapterületi képletet S = (a*b)/2 = 28. Ismeretes, hogy b = a + 1, ezt az értéket cserélje be a képletbe: 28 = (a*(a+1))/2.
Nyissa ki a zárójeleket, és kapjon egy másodfokú egyenletet egy ismeretlen a^2 + a - 56 = 0 értékkel.
Keresse meg ezt a D = 1 + 224 = 225 diszkrimináns kiszámításával. Az egyenletnek két megoldása van: a_1 = (-1 + √225)/2 = (-1 + 15)/2 = 7 és a_2 = (-1 - √ 225)/2 = (-1 - 15)/2 = -8.
A másodiknak nincs értelme, mivel egy szakasz hossza nem lehet negatív, így a = 7 (cm).
Határozzuk meg a második láb hosszát b = a + 1 = 8 (cm).
A harmadik oldal hossza megmarad. A Pitagorasz-tétel szerint a derékszögű háromszög c^2 = a^2 + b^2 = 49 + 64, tehát c = √(49 + 64) = √113 ≈ 10,6 (cm).

2. feladat.
Határozzuk meg egy derékszögű háromszög minden oldalának hosszát, ha a területe 14 cm, és az ACB szöge 30°.

Megoldás.
Írja fel az S = (a*b)/2 = 14 alapképletet.
Most fejezze ki a lábak hosszát a hipotenúza és a trigonometrikus függvények szorzatával egy derékszögű háromszög tulajdonsága szerint:
a = c*cos(ACB) = c*cos(30°) = c*(√3/2) ≈ 0,87*c.
b = c*sin(ACB) = c*sin(30°) = c*(1/2) = 0,5*c.

Helyettesítsd be a kapott értékeket a területképletbe:
14 = (0,87*0,5*c^2)/2, innen:
28 ≈ 0,435*s^2 → c = √64,4 ≈ 8 (cm).
Megtalálta a hipotenusz hosszát, most keresse meg a másik két oldal hosszát:
a = 0,87 * c = 0,87 * 8 ≈ 7 (cm), b = 0,5 * c = 0,5 * 8 = 4 (cm).

Kapcsolódó videók

Először is állapodjunk meg a jelölésben. A lábat egy derékszögű háromszög oldalának nevezzük, amely szomszédos a derékszöggel (azaz 90 fokos szöget zár be a másik oldallal). Egyetértünk abban, hogy az a és b lábak hosszát jelöljük. A lábakkal szemközti derékszögű háromszög hegyesszögeinek értékeit A-nak és B-nek nevezzük. A hipotenusz egy derékszögű háromszögnek a derékszöggel ellentétes oldala (vagyis a derékszöggel ellentétes, hegyesszögeket alkotva a háromszög többi oldalával). Jelöljük a befogó hosszát s-vel. Jelölje S-vel a kívánt területet.

Utasítás

Alkalmazza az S = (a ^ 2) / (2 * tg (A)) képletet, ha az (a) szárak közül csak az egyiket kapja, de az ezzel a szárral (A) bezárt szög is ismert. A "^2" jel a négyzetesítést jelöli.

Használja az S=(a^2)*tg(B)/2 d képletet, ha az (a) ágak közül csak az egyiket kapja, de ismeri a szárral szomszédos szöget is (B).

Kapcsolódó videók

Források:

• "Matematikai kézikönyv egyetemekre jelentkezőknek", szerk. G.N. Jakovleva, 1982.

A derékszögű háromszög oldalai és szögei közötti kapcsolatot a matematikának a trigonometriának nevezett ága tárgyalja. A derékszögű háromszög oldalainak megtalálásához elegendő ismerni a Pitagorasz-tételt, a trigonometrikus függvények definícióit, és rendelkezni kell valamilyen eszközzel a trigonometrikus függvények értékeinek megtalálásához, például egy számológép vagy Bradis-táblázat. Tekintsük az alábbiakban a derékszögű háromszög oldalainak megtalálásának főbb problémáit.

Szükséged lesz

• Számológép, Bradis táblázatok.

Utasítás

Ha az egyik hegyesszög adott például A, az egyik szár pedig például a, akkor a hipotenuzát és a másik szárat a következő összefüggésekből számítjuk ki: b=a*tg(A), c=a *sin(A).

Hasznos tanácsok

Abban az esetben, ha nem ismeri a számításhoz szükséges egyik szög szinuszának vagy koszinuszának értékét, használhatja a Bradis táblákat, amelyek nagyszámú szög esetén adják meg a trigonometrikus függvények értékeit. Ezenkívül a legtöbb modern számológép képes kiszámítani a szögek szinuszait és koszinuszait.

Források:

• hogyan kell kiszámítani egy derékszögű háromszög oldalát 2019-ben

4. tipp: Hogyan találjuk meg a derékszögű háromszög alapját

Egy ilyen derékszögű háromszög ábrán szükségszerűen egyértelmű az oldalak egymáshoz viszonyított aránya. Kettőt ismerve mindig megtalálhatja a harmadikat. Hogyan lehet ezt megtenni, az alábbi utasításokból megtudhatja.

Szükséged lesz

• - számológép.

Utasítás

Mindkét lábát négyszögletesre helyezzük, és összeadjuk őket a2 + b2. Az eredmény a hipotenusz ( alapján) a c2 négyzetben. Ezután csak ki kell húznia a gyökeret az utóbbiból, és meg kell találni a hipotenúzát. Ez a módszer egyszerű és könnyen használható. A legfontosabb dolog a pártok megtalálásának folyamatában háromszögígy - ne felejtse el kinyerni a gyökeret az előzetes eredményből, hogy elkerülje a leggyakoribb hibát. A képlet a világ leghíresebb Pitagorasz-tételének köszönhető, amely minden forrásban így néz ki: a2+b2 = c2.

Osszuk el az egyik a lábat a sin α ellentétes szögének szinuszával. Abban az esetben, ha az oldalak és a szinuszok ismertek az állapotban, ez a lehetőség a hipotenusz megtalálására elfogadható. A képletnek ebben az esetben nagyon egyszerű alakja lesz: c=a/sin α. Legyen óvatos minden számítással.

Szorozzuk meg az a oldalt kettővel. A hipotenúzát kiszámították. Talán ez a legelemibb módja annak, hogy kezet találjunk. De sajnos ezt a módszert csak egy esetben alkalmazzák - ha a fokban mért szöggel ellentétes oldal egyenlő a harminczal. Ha van ilyen, akkor biztos lehet benne, hogy mindig pontosan a hipotenúza fele lesz. Ennek megfelelően csak meg kell duplázni és kész.

Osszuk el az a lábat a vele szomszédos cos α szög koszinuszával. Ez a módszer csak akkor alkalmas, ha ismeri az egyik szárat és a vele szomszédos szög koszinuszát. Ez a módszer hasonlít a korábban már bemutatottra, amelyben szintén a lábat használjuk, de a koszinusz helyett az ellentétes szög szinuszát. Csak ebben az esetben kissé eltérően módosítják megjelenés: с=a/ cos α. Ez minden.

5. tanács: Hogyan találjuk meg a szöget, ha egy derékszögű háromszög oldalai ismertek

Tre négyzet, amelynek egyik szöge derékszögű (egyenlő 90°-kal), derékszögnek nevezzük. Leghosszabb oldala mindig a derékszöggel szemben helyezkedik el, és hipotenusznak, a másik kettőt pedig hipotenúzának hívják oldalain korcsolyának nevezik. Ha ennek a három oldalnak a hossza ismert, akkor keresse meg a háromszög összes szögének értékét négyzetés nem nehéz, hiszen valójában csak az egyik szöget kell kiszámítani. Ezt többféleképpen is meg lehet tenni.

Utasítás

Használja a trigonometrikus függvények definíciójának mennyiségeinek (α, β, γ) téglalap alakú tri-ben kifejezett kiszámításához. Ilyen például egy hegyesszög szinusza, mint a szemközti láb hosszának és az alsó rész hosszának aránya. Tehát, ha a lábak hossza (A és B) és a hipotenusz (C), akkor megtalálhatja például az α szög szinuszát, amely az A szárral szemben helyezkedik el, a hossz elosztásával oldalainÉs a hossz miatt oldalain C (hipoténusz): sin(α)=A/C. Miután megtanulta ennek a szögnek a szinuszának értékét, a szinusz inverz függvénye - az arcszinusz - segítségével megtalálhatja értékét fokokban. Vagyis α=arcsin(sin(α))=arcsin(A/C). Ugyanígy megtalálhatja a hegyesszög értékét egy háromszögben. négyzet e, de nem szükséges. Mivel az összes szög összege az négyzet a értéke 180°, és a tre négyzet Ha az egyik szög 90°, akkor a harmadik szög értéke a 90° és a talált szög különbségeként számítható ki: β=180°-90°-α=90°-α.

A szinusz definiálása helyett használhatja a hegyesszög koszinuszának definícióját, amely a kívánt szöggel szomszédos láb hosszának és a hipotenusz hosszának arányában van megfogalmazva: cos(α)=B/ C. És itt használja az inverz trigonometrikus függvényt (arccosine) a szög értékének meghatározásához fokban: α=arccos(cos(α))=arccos(B/C). Ezt követően, mint az előző lépésben, hátra van a hiányzó szög értékének meghatározása: β=90°-α.

Használhat hasonló érintőt is - ezt a kívánt szöggel ellentétes láb hosszának a szomszédos láb hosszához viszonyított arányával fejezzük ki: tg(α)=A/B. A fokban megadott szögértéket ismét az inverz trigonometrikus függvény határozza meg - : α=arctg(tg(α))=arctg(A/B). A hiányzó szögképlet változatlan marad: β=90°-α.

Kapcsolódó videók

6. tipp: Hogyan találjuk meg egy derékszögű háromszög oldalának hosszát

Egy háromszöget akkor tekintünk derékszögű háromszögnek, ha az egyik sarka derékszögű. Oldal háromszög a derékszöggel szemben elhelyezkedő hipotenusznak, a másik kettőt pedig hipotenusznak nevezzük oldalain- katéterek. Egy téglalap oldalainak hosszának meghatározása háromszög, többféleképpen használható.

Utasítás

1. Két láb értéke ismert

Ebben az esetben a derékszögű háromszög területét a következő képlettel számítjuk ki:
S=0,5ab

2. Az egyik láb és a hypotenus ismert

Ilyen körülmények között a leglogikusabb a Pitagorasz-tétel és a fenti képlet használata:
S = 0,5∙sqrt(c^2-a^2)∙a,
ahol sqrt a négyzetgyök, c^2-a^2 a gyökfogalom és a láb négyzete közötti különbséget jelölő gyökkifejezés.

3. Adott a háromszög minden oldalának értéke

Ilyen problémák esetén használhatja a Heron képletet:
S = (p-a) (p-b),
ahol p a fél kerülete, amelyet a következő kifejezéssel találunk meg: p = 0,5∙ (a+b+c)

4. Egy láb és egy szög ismert

Itt érdemes a trigonometrikus függvényekhez fordulni. Például tg(1) = 1/сtg(1) = b/a. Vagyis ennek az aránynak köszönhetően meg lehet határozni az ismeretlen láb értékét. Ezután a probléma az első pontra redukálódik.

5. Ismert hipotenúza és szög

Ebben az esetben a szinusz és a koszinusz trigonometrikus függvényei is használatosak: cos(2)=1/sin(2) = b/c. Ezután a probléma megoldása a cikk második bekezdésére redukálódik.

Kapcsolódó videók

11. tipp: Mi a neve egy derékszögű háromszög oldalainak?

Hipoténusz és lábak

A hypotenusa és a lábak közötti kapcsolatok

c2=a2+b2, ahol c a hypotenus, a és b a lábak. Vagyis a hipotenusz egyenlő lesz a lábak négyzeteinek összegének négyzetgyökével. Bármelyik láb megtalálásához elegendő a másik láb négyzetét kivonni a hipotenusz négyzetéből, és a kapott különbségből kivonni a négyzetgyököt.

Szomszédos és ellentétes láb

Így a szög és az egyik oldal ismeretében ezekkel a képletekkel ki lehet számítani a másik oldalt. Mindkét lábat trigonometrikus kapcsolatok is összekötik. Az ellentétnek a szomszédhoz viszonyított arányát érintőnek, a szomszédos és az ellenkező arányát kotangensnek nevezzük. Ezeket az arányokat a tgA=a/b vagy ctgA=b/a képletekkel fejezhetjük ki.

Az elemi geometriában a derékszögű háromszög három pontban összekapcsolt szegmensből álló ábra, amelyek közül kettő hegyes, egy pedig egyenes (azaz egyenlő 90 °-kal). Derékszögű háromszög számos fontos tulajdonság jellemzi, amelyek közül sok a trigonometria alapját képezi (például oldalai és szögei közötti kapcsolat). Iskola óta mindannyian tudjuk, hogyan kell számolni derékszögű háromszög területe, és be Mindennapi élet elég gyakran találkozunk ezzel a geometrikus alakkal, néha észre sem véve. Meglehetősen széles körű alkalmazást talál a technológiában, ezért egy ilyen feladatot gyakran mérnököknek, tervezőknek és építészeknek kell megoldaniuk.

Az építészeknek meg kell határozniuk ezt az értéket, amikor oromzatos épületeket terveznek, amelyek a homlokzatok befejezését jelentik. háromszög alakú párkányzat határolja, oldalain tetőlejtők. A rézsűk közötti szög gyakran egyenes, ilyenkor az oromfal derékszögű háromszög alakú. Meg kell határozni a területét azon egyszerű okból, hogy pontosan tudni kell a mennyiséget építési anyag rendezéséhez szükséges. Meg kell jegyezni, hogy az oromfalak az alacsony épületek nélkülözhetetlen elemei ( vidéki házak, nyaralók, dachák).

Derékszögű háromszög területének megkeresése

a- láb

b- láb

S- derékszögű háromszög területe

forma derékszögű háromszög sok olyan részlettel rendelkezik, amelyekből modern bútorok készülnek. Mint tudják, a helyiség területének legracionálisabb kihasználása érdekében a helyzet minden elemét optimálisan kell elhelyezni benne. Célszerű olyan területeket használni, mint a sarkok, háromszög alakú asztalok segítségével, amelyek teteje a legtöbb esetben téglalap alakú háromszögek, amelyek lábai szorosan szomszédosak a falakkal. Ezen elemek tervezése és kiszámítása során a bútorgyártó tervezők olyan képletet alkalmaznak, amely szerint derékszögű háromszög területének megtalálása oldalainak hossza alapján. Emellett gyakran ki kell dolgozniuk a közvetlenül a falra erősített asztalok terveit, amelyek tartóelemeket tartalmaznak, amelyek szintén derékszögű háromszögek.

Építők részt vesznek szemben a munkában, gyakran az ő szakmai tevékenység kell használni kerámia csempék, derékszögű háromszög alakú, azonos vagy eltérő hosszúságú lábakkal. Meg kell határozniuk ezen elemek területét is, hogy megtudják a szükséges számot.

forma derékszögű háromszög Van egy olyan fontos és szükséges mérőeszköz is, mint a négyzet. Segítségével derékszögeket építenek és szabályoznak, és nagyon széles körben és sokan használják: a geometria órákon járó hétköznapi iskolásoktól az ultramodern technológia tervezőiig.

A háromszög egy lapos geometriai alakzat, amelynek egyik szöge 90 °. Ugyanakkor a geometriában gyakran ki kell számítani egy ilyen alak területét. Hogyan kell ezt megtenni, tovább fogjuk mondani.

A derékszögű háromszög területének meghatározására szolgáló legegyszerűbb képlet

Kiindulási adat, ahol: a és b a háromszög derékszögből kilépő oldalai.

Vagyis a terület egyenlő a derékszögből kilépő két oldal szorzatának felével. Természetesen létezik Heron képlete egy közönséges háromszög területének kiszámításához, de az érték meghatározásához tudnia kell három oldal hosszát. Ennek megfelelően ki kell számítania a hipotenuzát, és ez többletidő.

Keresse meg egy derékszögű háromszög területét Heron képletével

Ez egy jól ismert és eredeti képlet, de ehhez ki kell számítania a hipotenuszt két láb mentén a Pitagorasz-tétel segítségével.

Ebben a képletben: a, b, c a háromszög oldalai, p pedig a fél kerülete.

Keresse meg a derékszögű háromszög területét adott hipotenúza és szög esetén

Ha egyik lába sem ismert a problémájában, akkor használja a legtöbbet egyszerű módon nem tudsz. Az érték meghatározásához ki kell számítania a lábak hosszát. Ezt egyszerűen a befogott szög hipotenusza és koszinusza teszi meg.

b=c×cos(α)

Az egyik láb hosszának ismeretében a Pitagorasz-tétel segítségével kiszámítható a derékszögből kilépő második oldal.

b 2 \u003d c 2 -a 2

Ebben a képletben c és a a hipotenusz, illetve a láb. Most az első képlet segítségével kiszámíthatja a területet. Ugyanígy az egyik láb kiszámítható, a második és a szög alapján. Ebben az esetben a kívánt oldalak egyike egyenlő lesz a láb és a szög érintőjének szorzatával. A terület kiszámításának más módjai is vannak, de az alaptételek és szabályok ismeretében könnyen megtalálhatja a kívánt értéket.

Ha nincs meg a háromszög egyik oldala, hanem csak a medián és az egyik szög, akkor kiszámíthatja az oldalak hosszát. Ehhez használja a medián tulajdonságait, hogy egy derékszögű háromszöget osszon kettővel. Ennek megfelelően hipotenúzaként működhet, ha hegyesszögből jön ki. Használja a Pitagorasz-tételt egy háromszög derékszögből kilépő oldalainak hosszának meghatározásához.

Amint látja, az alapképletek és a Pitagorasz-tétel ismeretében kiszámíthatja egy derékszögű háromszög területét, amelynek csak az egyik szöge és az egyik oldal hossza van.

A háromszög típusától függően több lehetőség is van a terület megkeresésére. Például egy derékszögű háromszög területének kiszámításához az S = a * b / 2 képletet használjuk, ahol a és b a lábai. Ha meg akarja tudni egy egyenlő szárú háromszög területét, akkor az alapjának és magasságának szorzatát el kell osztania kettővel. Vagyis S= b*h / 2, ahol b a háromszög alapja és h a magassága.

Ezután előfordulhat, hogy ki kell számítania egy egyenlő szárú derékszögű háromszög területét. Itt a következő képlet segít: S = a * a / 2, ahol az "a" és "a" lábaknak feltétlenül azonos értékekkel kell rendelkezniük.

Ezenkívül gyakran ki kell számítanunk egy egyenlő oldalú háromszög területét. Megtalálható a következő képlettel: S= a * h/ 2, ahol a a háromszög oldala, h pedig a magassága. Vagy e képlet szerint: S= √3/ 4 *a^2, ahol a az oldal.

Hogyan találjuk meg a derékszögű háromszög területét

Meg kell találnia egy derékszögű háromszög területét, de ugyanakkor a probléma körülményei nem jelzik egyszerre a két láb méretét? Ekkor ezt a képletet (S= a * b / 2) nem tudjuk közvetlenül használni.

Fontolja meg több lehetséges megoldást:

• Ha nem ismeri az egyik láb hosszát, de a hipotenusz és a második láb méretei adottak, akkor a nagy Pythagorashoz fordulunk, és tétele szerint (a ^ 2 + b ^ 2 \u003d c ^ 2 ), számítsa ki az ismeretlen láb hosszát, majd használja ki a háromszög területének kiszámításához.
• Ha adott az egyik láb hossza és a vele szemközti szög fokos meredeksége: a második láb hosszát a - a=b*ctg(C) képlettel találjuk meg.
• Adott: az egyik láb hossza és a vele szomszédos szög fokos meredeksége: a második láb hosszának meghatározásához a - a=b*tg(C) képletet használjuk.
• És végül adott: a befogó szöge és hossza: kiszámítjuk mindkét lábának hosszát a következő képletek szerint - b=c*sin(C) és a=c*cos(C).

Hogyan találjuk meg az egyenlő szárú háromszög területét

Az egyenlő szárú háromszög területe nagyon könnyen és gyorsan megtalálható az S \u003d b * h / 2 képlet segítségével, de az egyik mutató hiányában a feladat sokkal bonyolultabbá válik. Végül is további lépéseket kell tenni.

Lehetséges feladatlehetőségek:

• Adott: az egyik oldal hossza és az alap hossza. A Pitagorasz-tételen keresztül megtaláljuk a magasságot, vagyis a második láb hosszát. Feltéve, hogy az alap hossza osztva kettővel a láb, és az eredetileg ismert oldal a hipotenusz.
• Adott: alap és oldal és alap közötti szög. Számítsa ki a magasságot a h=c*ctg(B)/2 képlettel (ne felejtse el osztani a „c” oldalt kettővel).
• Adott: az alap és oldal által alkotott magasság és szög: a c=h*tg(B)*2 képlettel keressük meg a magasságot, és az eredményt szorozzuk meg kettővel. Ezután kiszámítjuk a területet.
• Ismert: az oldal hossza és a közötte kialakult szög és a magasság. Megoldás: a - c=a*sin(C)*2 és h=a*cos(C) képletekkel keressük meg az alapot és a magasságot, ami után kiszámítjuk a területet.

Hogyan találjuk meg egy egyenlő szárú derékszögű háromszög területét

Ha az összes adat ismert, akkor az S= a* a / 2 standard képlettel kiszámítjuk egy egyenlő szárú derékszögű háromszög területét, de ha néhány mutató nincs feltüntetve a feladatban, akkor további műveleteket hajtanak végre.

Például: nem ismerjük mindkét oldal hosszát (emlékezzünk arra, hogy egyenlő szárú derékszögű háromszögben egyenlők), de a befogó hossza adott. Alkalmazzuk a Pitagorasz-tételt, hogy megtaláljuk ugyanazt az "a" és "a" oldalt. Pitagorasz-képlet: a^2+b^2=c^2. Egyenlő szárú derékszögű háromszög esetén ezt alakítjuk át: 2a^2 = c^2. Kiderült, hogy az "a" láb megtalálásához el kell osztani a hipotenusz hosszát 2 gyökével. A megoldás eredménye egy egyenlő szárú derékszögű háromszög mindkét lábának hossza lesz. Ezután keresse meg a területet.

Hogyan találjuk meg az egyenlő oldalú háromszög területét

Az S= √3/ 4*a^2 képlet segítségével könnyen kiszámíthatja egy egyenlő oldalú háromszög területét. Ha ismert a háromszög körülírt kör sugara, akkor a terület a következő képlettel kereshető: S= 3√3/ 4*R^2, ahol R a kör sugara.