Statikailag határozatlan rendszerek azok a rendszerek, amelyekben a belső erők nem határozhatók meg csak az egyensúlyi egyenletekből (statikus egyenletek).

A statikailag határozatlan szerkezetek ún külön- kommunikáció. Előfordulhatnak tartókban, rudakban és más elemekben. Az ilyen kapcsolatokat „feleslegesnek” nevezik, mivel nem szükségesek a szerkezet egyensúlyának biztosításához, hanem a szilárdságra és merevségre vonatkozó követelmények határozzák meg. Az ilyen extra kapcsolatokat ún külső. Ezenkívül szükségtelen csatlakozások is felmerülhetnek magának a tervezésnek a sajátosságai miatt. Például egy zárt keret kontúr (46. ábra, G) minden szakaszában három ismeretlen belső erő van, pl. összesen hat van, és ebből három „extra”. Ezt az extra erőfeszítést ún belső. A külső vagy belső „extra” kapcsolatok száma alapján létesítenek a rendszer statikus határozatlanságának mértéke. Ez egyenlő a meghatározandó ismeretlenek száma és a statikus egyenletek száma közötti különbséggel. Egy „extra” ismeretlennel a rendszer egyszer, vagy egyszer statikusan határozatlannak, kettővel – kétszer statikusan határozatlannak stb.

ábrán látható kialakítás. 46, A, egyszer statikailag határozatlan, és az ábrán látható szerkezetek. 46, bÉs V, - kétszer statikailag határozatlan, az ábrán. 46, g - háromszor statikailag határozatlan szerkezettel.

Statikailag határozatlan feladatok megoldásánál a statikai egyenletek mellett olyan egyenleteket alkalmaznak, amelyek figyelembe veszik a szerkezeti elemek alakváltozásait.

Számos módszer létezik a statikusan határozatlan problémák megoldására: elmozdulás összehasonlító módszer, erő módszer, elmozdulás módszer.

Kényszer módszer

Statikailag határozatlan rendszerek számításakor az erőket ismeretlennek tekintjük.

Számítás szerint erő módszer a következő sorrendben hajtjuk végre:

• 1. Határozza meg a statikus határozatlanság mértékét!
• 2. Az „extra” kapcsolatok eltávolításával cserélje ki az eredeti rendszert egy statikusan meghatározhatóra, ún. fő rendszer. Több ilyen rendszer is megépíthető, figyelemmel a földrajzi helyzetükre

metrikus megváltoztathatatlanság.

• 3. A fő rendszert adott külső erők és „extra” ismeretlen erők terhelik, amelyek helyettesítik a távoli kapcsolatok működését, ami egyenértékű rendszer.
• 4. Az eredeti és a főrendszer egyenértékűségének biztosítása érdekében az ismeretlen erőket úgy kell megválasztani, hogy a főrendszer alakváltozásai ne térjenek el az eredeti statikailag határozatlan rendszer alakváltozásaitól. Az alkalmazási pontok ilyen mozgásához a működésük irányában lévő „extra” ismeretlenek nullával egyenlőek. Az így kapott további egyenletek alapján meghatározzák az „extra” ismeretlen erőfeszítések értékeit. A megfelelő pontok elmozdulásának meghatározása bármilyen módon elvégezhető, de célszerű a legáltalánosabb Mohr-módszert használni.
• 5. Az „extra” ismeretlen erők értékeinek meghatározása után meghatározzuk a reakciókat és elkészítjük a belső erők diagramjait, kiválasztjuk a metszeteket és a szokásos módon ellenőrizzük a szilárdságot.

Az erőmódszer kanonikus egyenletei

Az „extra” ismeretlenek irányában az elmozdulás nullával való egyenlőségét kifejező további eltolási egyenletek kényelmesen összeállíthatók az ún. kanonikus forma, azok. egy bizonyos minta szerint. Mutassuk meg ezt a legegyszerűbb statikailag határozatlan rendszer megoldásának példáján (47. ábra, A).

Fő rendszernek válasszuk a konzolt, a zsanértámaszt elvetve. Egy ekvivalens rendszert kapunk a T 7 külső erő és az „extra” ismeretlen alkalmazása után x(47. ábra, b).

Kanonikus egyenlet, amely a ponteltolódás egyenlőségét fejezi ki nullával BAN BEN F erőitől X, akarat

A rendelkezésünkre álló egyenletből

Egy két „extra” kapcsolattal rendelkező rendszer esetében a kanonikus egyenletrendszer a következőképpen alakul:

• 8 11 X 1 + b 12 ^2 + ^1
• 621-^1 + 622^2 "I" ^20-

Mozdulatok A[r A kanonikus egyenletekben szereplő b[y-t pedig Mohr módszerével határozzuk meg.

Az egyenes vonalú elemekből álló rendszerek esetében kényelmes az elmozdulások kiszámítása Vereschagin módszerével.

ábrán látható probléma esetén például. A 47. ábra diagramjait megszorozva (48. ábra) megkapjuk a kanonikus egyenlet együtthatóit:

1 2 I 3 1 I/I 2 1 5 I1 3

E]b LL =-/ / -/ = -, E]A LR =-------- +-------.

1 11 2 3 3 1 1Р 2 2 2 2 3 2/ 48 E]

Kapunk Hl - - = - E.

Miután meghatározta az erőt X, valóban megtaláltuk a támogató reakciót Én benne vagyok. Ezután a belső erőtényezők meghatározásának problémája a szokásos módon megoldható a metszet módszerrel.

A statikusan határozatlan rendszerek olyan rúdrendszerek, amelyekben az egyensúlyi egyenletek önmagukban nem elegendőek a hordozók reakcióinak meghatározásához. Kinematikai szempontból ezek olyan rúdrendszerek, amelyek szabadsági foka kisebb, mint a kapcsolatok száma. Az ilyen rendszerek statikus határozatlanságának feltárásához további egyenleteket kell alkotni az alakváltozások kompatibilitására. Az ilyen egyenletek számát a rúdrendszer statikus határozatlansági száma határozza meg. A 8.14. ábra statikusan határozatlan gerendákra és keretekre mutat példákat.

A 8.14b ábrán látható gerendát ún folyamatos gerenda. Ez az elnevezés onnan ered, hogy a köztes támasz csak a gerendát támasztja alá. Az alátámasztási ponton a gerendát nem vágja be a csuklópánt, a csuklópánt nincs belevágva a gerenda testébe. Ezért a gerenda bal oldali fesztávon fellépő feszültségek és deformációk hatása a jobb fesztávra is hatással van. Ha a közbenső támasz helyén csuklópántot vágunk a gerenda testébe, akkor ennek eredményeként a rendszer statikailag meghatározott lesz - egy gerendából két, egymástól független gerendát kapunk, amelyek mindegyike statikailag meghatározott lesz. . Megjegyzendő, hogy a folytonos gerendák kevésbé anyagigényesek, mint az osztott gerendák, mivel racionálisabban osztják el a hajlítónyomatékokat hosszuk mentén. Ebben a tekintetben a folytonos gerendákat széles körben használják az építőiparban és a gépészetben. A folytonos gerendák azonban, mivel statikailag határozatlanok, speciális számítási technikát igényelnek, amely magában foglalja a rendszer deformációit is.

A statikusan határozatlan rendszerek számításának megkezdése előtt meg kell tanulni, hogyan határozható meg statikus határozatlanságuk mértéke. Az egyik legtöbb egyszerű szabályok a statikus határozatlanság mértékének meghatározása a következő:

, (8.3)

Ahol  a szerkezetre kifejtett kapcsolatok száma;  a vizsgált rendszerre összeállítható lehetséges független egyensúlyi egyenletek száma.

Használjuk a (8.3) egyenletet a 8.14. ábrán látható rendszerek statikus határozatlanságának mértékére.

A 8.14a ábrán látható gerenda egyszer statikusan határozatlan, mivel három csatlakozása van a bal tartón és egy csatlakozás a jobb tartón. Egy ilyen nyalábra csak három független egyensúlyi egyenlet szerkeszthető. Így a sugár statikus határozatlanságának mértéke
. A 8.14b ábrán látható folytonos gerenda is egyszer statikailag határozatlan, mivel két csatlakozása van a bal oldali tartón és egy-egy csatlakozása a közbenső tartón és a jobb oldali tartón - összesen négy csatlakozás. Így a statikus határozatlanságának mértéke
.

ábrán látható keret. 8.14c, háromszor statikailag határozatlan, mivel hat csatlakozása van a tartókban. Ehhez a kerethez csak három független egyensúlyi egyenlet szerkeszthető. Így ennek a keretnek a statikus meghatározatlansági foka a (8.3) egyenletből egyenlő:
. A 8.18d ábrán látható keret statikus határozatlanságának mértéke négy, mivel a keret hét csatlakozással rendelkezik a tartókon. Következésképpen a statikus határozatlanságának mértéke egyenlő
.

A statikus határozatlanság mértékének meghatározására szolgáló (8.3) szabály csak egyszerű rendszerekre vonatkozik. Bonyolultabb esetekben ez a szabály nem működik. A 8.15. ábrán egy keret látható, amelynek statikus határozatlanságának mértéke nem határozható meg a (8.3) egyenlettel.

Külsőleg a 8.15. ábrán látható rendszer ötször statikusan határozatlan. Ez könnyen megállapítható a (8.3) egyenlettel: hat külső kapcsolatból (három az A szakaszban, három a B szakaszban és kettő a C részben) három lehetséges egyensúlyi egyenletet vonunk le. Ennek a rendszernek azonban van belső statikus határozatlansága is. A belső statikus meghatározatlanságot nem lehet figyelembe venni a (8.3) egyenlet segítségével. Mielőtt rátérnénk a 8.15. ábrán látható keret statikus határozatlanság fokának meghatározására, bemutatunk néhány definíciót. A meghatározások közül az első tartalmazza az egyszerű csuklópánt fogalmát.

Egyszerű két rudat összekötő csuklópántnak nevezzük (8.16. ábra).

8.16. ábra. Egyszerű zsanér

Több rudat összekötő csuklópántot nevezünk összetett(8.17. ábra).

8.17. ábra. Komplex zsanér

Az egy összetett csuklópánt helyettesítésére alkalmas egyszerű zsanérok számát a képlet határozza meg:

, (8.4)

Ahol
- a szerelvényben lévő rudak száma.

Számítsuk át a 8.17. ábrán látható összetett csuklópántot az egyszerű csuklópántok számára a (8.4) képlet segítségével:
. Így a 8.17. ábrán látható összetett zsanér négy egyszerű csuklópánttal helyettesíthető.

Mutassunk be még egy fogalmat - zártláncú.

Bizonyítsuk be a tételt: bármely zárt körvonal háromszor statikailag határozatlan.

A tétel bizonyításához tekintsünk egy külső erőkkel terhelt zárt hurkot (8.18. ábra).

Vágjunk egy zárt kontúrt függőleges metszettel, és mutassuk be a metszetnél fellépő belső erőtényezőket. Mindegyik szakaszban három belső tényező lép fel: a nyíróerő , hajlítási nyomaték
és hosszanti erő
. Összességében a kontúr minden egyes levágott részén a külső erők mellett hat belső tényező hat (8.18. ábra, b, c). Figyelembe véve az egyik levágott rész egyensúlyát, például a bal oldali (8.18. ábra, b), azt találjuk, hogy a feladat háromszoros statikailag határozatlan, mivel a levágott részre konstruálható csak három független egyensúlyi egyenlet, és hat ismeretlen erő hat a levágási részre. Így egy zárt hurok statikus határozatlanságának mértéke egyenlő
. A tétel bizonyítást nyert.

Most az egyszerű csuklópánt és a zárt hurok fogalmát használva megfogalmazhatunk egy másik szabályt a statikus határozatlanság mértékének meghatározására:

, (8.5)

Ahol
 zárt hurkok száma;
 zsanérok száma az egyszerűeknél (8,4).

A (8.5) egyenlet segítségével meghatározzuk a 8.15. ábrán látható keret statikus határozatlanságának mértékét. A keretnek öt kontúrja van
, beleértve a tartórudak által alkotott kontúrt. A D csomópont csuklópántja egyszerű, mivel két rudat köt össze. A K szakasz csuklópántja összetett, mivel négy rudat köt össze. Azon egyszerű csuklópántok száma, amelyek helyettesíthetik a csuklópántot a K szakaszban, egyenlő a (8.4) képlet szerint:
. A C csukló azért is összetett, mert három rudat köt össze. Ehhez a zsanérhoz
. Ezen kívül a rendszernek van még két egyszerű zsanérja, amelyekkel az alaphoz rögzíthető. Így a rendszerben lévő egyszerű zsanérok száma egyenlő
. A zárt kontúrok számának helyettesítése
és az egyszerű zsanérok száma
a (8.5) képletben meghatározzuk a keret statikus határozatlanságának mértékét:
. Így az ábrán látható. 8,15 képkocka, hétszer statikusan határozatlan. Ez azt jelenti, hogy egy ilyen rendszer kiszámításához a három egyensúlyi egyenlet mellett hét alakváltozási kompatibilitási egyenletet kell összeállítani. Az így kapott 10-es egyenletrendszer megoldásával az egyenletekben szereplő ismeretlenekre, meghatározható mind a külső kapcsolatokban fellépő reakciók nagysága, mind a keretben fellépő belső erők mértéke. A probléma megoldásának eljárása némileg leegyszerűsíthető, ha az egyensúlyi egyenleteket kivesszük az egyenletrendszerből. Ez a megközelítés azonban speciális megoldási módszerek alkalmazását igényli, amelyek közül az egyik az erők módszere.

AZ OROSZ FÖDERÁCIÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUMA

KORMÁNYINTÉZMÉNY

KUZBASS ÁLLAMI MŰSZAKI EGYETEM

Anyagszilárdsági Osztály

SZTATIKUSAN MEGHATÁROZOTT SZÁNTRUDA RENDSZEREK KISZÁMÍTÁSA FESZÜLTSÉG-NYOMÁS ALATT

Útmutató a számítási és grafikai feladatok elvégzéséhez az anyagok szilárdságán minden szakterület hallgatói számára

Összeállította: V.D. Moiseenko

Tanszéki ülésen jóváhagyva Jegyzőkönyv 2001. június 29-i 8. sz

Egy elektronikus példány a KuzSTU Állami Egyetem főépületének könyvtárában található

Kemerovo 2002

Bevezetés. A megbízás köre és célja

Statikailag határozatlan csuklórúd rendszer az, amelyben a pálcákban fellépő erők és a tartókban zajló reakciók nem határozhatók meg csak az egyensúlyi állapotból.

Az 1. ábra egy hagyományos konzolt mutat, amely két rúdból áll. Az N 1 és N 2 erők ennek a tartónak a rúdjaiban könnyen meghatározhatók a kivágott C csomópontra ható konvergáló erőrendszer egyensúlyi állapotából, mivel erre az erőrendszerre két egyenlet két ismeretlennel van megoldva.

Ha a konzol kialakítását bonyolítja egy másik rúd hozzáadása (1. ábra, b), akkor a pálcákban lévő erők nem határozhatók meg ugyanúgy, mivel a C csomópontra továbbra is csak két statikus egyensúlyi egyenletet lehet létrehozni ( ΣХ = 0; ΣY = 0), és az ismeretlen erőfeszítések száma három. Volt egyszer statikusan határozatlan rendszerünk.

A tervezés bonyolításával és új rudak bevezetésével kétszer (lásd 1. ábra c), háromszor stb. lehet statikailag határozatlan rendszert kapni. Következésképpen n-szeres statikusan határozatlan rendszer alatt olyan rendszert értünk, amelyben a kapcsolatok száma n egységgel meghaladja a független statikus egyenletek számát.

A probléma megoldásához szükséges további egyenletek a rendszer deformált állapotának figyelembevételével és a szerkezeti elemek elmozdulásai és alakváltozásai közötti összefüggések megállapításával kereshetők meg. Az így kapott egyenleteket deformációs kompatibilitási egyenleteknek nevezzük.

A 2. ábrán néhány statikusan határozatlan rendszer diagramja látható.

2. ábra. A statikusan határozatlan rendszerek bizonyos típusai

A „Statikusan határozatlan rúdrendszerek” fejezet tanulmányozása és a számítási és grafikai feladat elvégzése során a hallgatónak meg kell tanulnia a statikusan határozatlan rendszerek jellemzőit; készségeket szerezni a statikus határozatlanság feltárásában, a szerkezeti elemekben lévő erők meghatározásában és a szilárdsági viszonyokból keresztmetszeti területek kiválasztásában.

A feladatban a hallgatónak az alábbi feladatokat kell elvégeznie:

- határozza meg a rudak erőit, és válassza ki a keresztmetszeti területeket a külső terhelések hatására;

- meghatározza a hőmérsékletváltozások miatti további feszültségeket a rudaknál;

- a rudak pontatlan gyártása által okozott további beépítési feszültségek meghatározása;

- válasszuk ki a rudak keresztmetszeteit a határállapotnak megfelelően.

A számítási és grafikai feladat végrehajtásának volumene és formája a tanult tárgy mennyiségétől függ, és a gyakorlati órákon a tanár megbeszéli.

1. Rövid elméleti információk

Statikailag határozatlan feladatok megoldásánál a következő sorrendet kell követni:

1.1. Tekintsük a probléma statikus oldalát. Készítsen erőtervet és alkosson statikus egyenleteket.

1.2. Tekintsük a probléma geometriai oldalát. Készítsen utazási tervet. Hozzon létre további alakváltozás-kompatibilitási egyenleteket olyan mennyiségben, hogy minden ismeretlen erő megtalálható legyen.

1.3. Vegye figyelembe a probléma fizikai oldalát. A fizika törvényei szerint (hőmérséklet-számításoknál) és Hooke törvénye szerint fejezze ki a deformációkat kompatibilitási egyenletekben a rudakba ható ismeretlen erők révén:

1.4. Végezze el a statika, geometria, fizika egyenletek együttes megoldását, és határozza meg az ismeretlen erőket!

1.5. Nyomó- vagy szakítószilárdsági feltételek alkalmazása N/F = [σ], válassza ki a rudak keresztmetszeti területeit.

1.6. A rudak ismert erőivel és elfogadott keresztmetszeti területekkel számítsa ki a normál feszültségeket a képlet segítségével

σ = N F .

2. Példa

Adott: Abszolút merev AB gerenda van alátámasztva, a 3. ábrán látható módon, egyenletesen elosztott P terheléssel és erővel terhelve.

3. ábra. Statikailag határozatlan rendszer diagramja

Kiinduló adatok a számításhoz

4. Határozza meg a terhelések, hőmérséklet-változások és gyártási pontatlanságok miatt a rudak összes feszültségét.

2.1. Statikailag határozatlan csuklórúd rendszer számítása külső terhelésre

P = 30 kN q = 15 kN/m

A C B

4. ábra. Kezdeti számítási séma

2.1.1. A probléma statikus oldala

A probléma statikus oldalát az erőterv veszi figyelembe. Az erőterv egy számítási diagram, amely bemutatja a csuklórúd-rendszer azon elemére ható összes erőt (az ismert és ismeretlen), amelynek egyensúlyát vizsgáljuk (esetünkben ez az AB merev gerenda). Vágjuk le az acél- és rézrudakat, és belső erőkkel pótoljuk kidobott alsó részeiket (5. ábra).

P = 30 kN q = 15 kN/m

A C B

60°

Rizs. 5. Külső terhelésből származó erők terve

Az erőtervből (lásd 5. ábra) felírjuk a statikus egyensúly egyenleteit. A probléma első kérdésének megválaszolásához ismernie kell a rudak - acél és réz - erőit. Ebben az esetben nem kell számolni a csuklós rögzített támasz reakcióját. Ezért a háromból

lehetséges statikus egyenleteket (ΣX = 0; ΣY = 0; Σm c = 0) írjuk fel

amely nem tartalmazza a csuklós-rögzített támasz reakcióit C:

∑ mC = 0

− N CT a + q a 2 2 + p a + NM sin60o b = 0,

− N ST 2 + 15 2 2 2 + 30 2 − NM 0,866 4 = 0,

Az algebrai műveletek után az egyensúlyi egyenlet alakot ölt

2.1.2. A probléma geometriai oldala

A probléma geometriai oldalát az eltolási terv veszi figyelembe. Az elmozdulási terv egy számítási diagram, amely bemutatja a csuklópánt-rúd rendszer helyzetét terhelés előtt és után. A mozgástervben feltüntetjük a sugárpontok (AA1 és BB1) mozgását,

réz- és acélrudak abszolút alakváltozásai (∆ l ST; ∆ l M)

(6. ábra). Sőt, a kis alakváltozások miatt a gerendapontokat függőlegesen felfelé vagy lefelé mozgatjuk, a ferde rudak alakváltozásait pedig merőlegesen jelöljük.

Rizs. 6. Külső terhelések miatti elmozdulások terve

Az eltolási terv segítségével elkészítjük az alakváltozás-kompatibilitási egyenletet. Először is írjuk fel a gerenda pontjainak elmozdulásának arányát az AA1 C és CBB1 háromszögek hasonlóságából (6. ábra):

A gerenda pontjainak (AA1 és BB1) elmozdulásait alakváltozásokkal fejezzük ki

A (2.3) és (2.4) kifejezéseket behelyettesítjük a (2.2) relációba:

2.1.3. A probléma fizikai oldala

Az így kapott (2.5) alakváltozási kompatibilitási egyenlet ebben a formában nem oldható meg a (2.1) egyensúlyi egyenlettel, mert a bennük szereplő ismeretlen mennyiségek eltérő jellegűek.

A (2.5) egyenletben szereplő ∆ l CT és ∆ l M abszolút alakváltozásokat fejezzük ki

Az alakváltozások kompatibilitási egyenletét kaptuk, amelyet a rudak erőivel írtunk fel.

2.1.4. Szintézis

Oldjuk meg együtt a (2.1) egyensúlyi egyenletet és a (2.6) deformációs kompatibilitási egyenletet.

NCT + 1,73 NM = 45

0,67 NST = 0,95 NМ.

A rendszer második egyenletéből kifejezzük az N ST erőt:

és behelyettesítjük a rendszer első egyenletébe.

Az N ST és N M pozitív eredménye megerősíti az acélrúd összenyomására és a rézrúd feszültségére vonatkozó feltételezéseinket, ami azt jelenti, hogy a rudak erői:

2.1.5. A rudak keresztmetszete kiválasztása

A rudak keresztmetszete kiválasztását a szakítószilárdság - összenyomódás feltételei szerint végezzük:

N F ≤ [σ] .

a) Meghatározzuk az acélrúd szilárdsági állapotból szükséges keresztmetszeti területét:

b) Meghatározzuk a rézrúd szilárdsági állapotból szükséges keresztmetszeti területét:

Ebben az esetben az adott területaránynak megfelelően az acélrúd területének egyenlőnek kell lennie:

FST = 4 3 FM = 4 3 1,7 10−4 = 1,275 10−4 m2 ..

Nagy keresztmetszetű rudakat fogadunk el:

A réz- és acélrudak elfogadott keresztmetszeti területeit figyelembe véve meghatározzuk ezekben a rudak feszültségeit.

2.2. Statikailag határozatlan csuklórúd rendszer hőmérséklet számítása

A hőmérséklet-számítás célja a réz- és acélrudakban a hőmérsékletváltozások miatti további feszültségek meghatározása.

Tegyük fel, hogy a rendszer ∆ t = 20 o C-kal melegszik fel. A megoldási algoritmus változatlan marad. A kezdeti tervezési diagram a ábrán látható. 7.

Azokat a rúdrendszereket, támaszreakciókat és belső erőtényezőket nevezzük, amelyekben nem lehet pusztán egyensúlyi egyenletekből megállapítani statikailag határozatlan.

Az ismeretlen erők száma és a független egyensúlyi egyenletek közötti különbség határozza meg a rendszer statikus határozatlanságának mértéke. A statikus határozatlanság mértéke mindig megegyezik a redundáns (felesleges) kapcsolatok számával, amelyek eltávolításával egy statikailag határozatlan rendszer statikailag meghatározható geometriailag megváltoztathatatlan rendszerré válik. Mind a külső (támasztó) csatlakozások, mind a belsőek redundánsak lehetnek, bizonyos korlátozásokat szabva a rendszerszakaszok egymáshoz viszonyított mozgására.

Geometriailag megváltoztathatatlan olyan rendszer, amelynek alakja csak elemeinek deformációi miatt változhat.

Geometriailag változó olyan rendszer, amelynek elemei külső erők hatására deformáció nélkül mozoghatnak (mechanizmus).

ábrán látható. 12.1 a keret hét külső (támasztó) hivatkozással rendelkezik. Az ezekben a kapcsolatokban (támasztóreakciókban) fellépő erők meghatározásához csak három független egyensúlyi egyenlet hozható létre. Ebből következően ennek a rendszernek négy redundáns kapcsolata van, ami azt jelenti, hogy négyszer statikusan határozatlan. Így a lapos keretek statikus határozatlanságának mértéke egyenlő:

Ahol R- támogató reakciók száma.

Zártnak nevezzük azt a körvonalat, amely több (egyenes vagy ívelt) elemből áll, amelyek mereven (csuklópántok nélkül) kapcsolódnak egymáshoz és zárt kört alkotnak. . A 12.2. ábrán látható téglalap alakú keret zárt hurok. Háromszor statikailag határozatlan, hiszen ahhoz, hogy statikailag meghatározhatóvá alakíthassuk, egy elemét le kell vágni és három többletkapcsolatot meg kell szüntetni. Ezen kötések reakciói a következők: a vágás helyén ható hosszirányú erő, keresztirányú erő és hajlítónyomaték; nem határozhatók meg statikus egyenletekkel. Hasonló feltételek mellett, a statikus határozatlanság értelmében, létezik bármely zárt kontúr, amely mindig háromszor statikailag határozatlan.

A csuklópánt beépítése egy olyan keretszerelvénybe, amelyben két rúd találkozik, vagy a rúd tengelyén bárhol elhelyezhető, eltávolít egy kapcsolatot, és eggyel csökkenti a statikus határozatlanság általános mértékét. Az ilyen csuklópántot egyszeresnek vagy egyszerűnek nevezik (12.3. ábra).

Általánosságban elmondható, hogy minden zsanér egy csomópontban van összekötve c rudak, csökkenti a statikus bizonytalanság mértékét c-1 , hiszen egy ilyen zsanér helyettesíti c-1 egyszeres zsanérok (12.3. ábra). Így a rendszer statikus határozatlanságának mértékét zárt körvonalak jelenlétében a képlet határozza meg.

Statikusan meghatározhatónak nevezzük azokat a gerendákat és csuklós rúdrendszereket, amelyekben az adott terhelésből származó belső erők egyensúlyi egyenletekkel (statikus egyenletek) határozhatók meg.

Ezzel szemben a gerendákat és rendszereket statikailag határozatlanoknak nevezzük, amelyek belső erői nem határozhatók meg pusztán egyensúlyi egyenletekkel. Ezért ezek számításánál további egyenletek összeállítása szükséges (elmozdulási egyenletek, amelyek figyelembe veszik a rendszer deformációjának jellegét. A rendszer kiszámításához szükséges további egyenletek száma jellemzi annak statikus határozatlanságának mértékét. Összeállíthatja annyi további egyenlet, amennyi a probléma megoldásához szükséges.

A statikailag meghatározott rendszerek elemeiben az erőfeszítések csak külső terhelés hatására keletkeznek (beleértve a szerkezet önsúlyát is). Statikailag határozatlan rendszerek elemeiben külső terhelés hiányában is felléphetnek erők - például a hőmérséklet-változások, a tartó rögzítőelemek elmozdulása vagy az egyes szerkezeti elemek gyártási pontatlansága következtében.

A statikailag határozatlan rendszerek számításának legfontosabb lépése további (az egyensúlyi egyenletekhez) eltolási egyenletek összeállítása. Megvizsgáljuk az összeállításukra vonatkozó módszereket a statikusan határozatlan rendszerek kiszámításának különféle problémáinak megoldására vonatkozó példákon keresztül.

Tekintsünk mindkét végén befogott (beágyazott) és P erővel terhelt rudat (26.2. ábra, a). A P erő hatására reakciók lépnek fel a tömítésekben, és meg kell határozni ezen erők nagyságát. Ebben az esetben (amikor minden erő egy egyenes mentén hat) a statika csak egy egyensúlyi egyenlet összeállítását teszi lehetővé:

Ezért két ismeretlen meghatározásához egy további egyenletet kell létrehozni. Ezért a kérdéses rúd egyszer statikailag határozatlan (azaz statikai határozatlanságának mértéke egyenlő az egységgel). Egy további egyenlet létrehozásához vessük el az alsó beágyazást, és cseréljük ki a rúdra gyakorolt ​​hatását egy reakcióval (26.2. ábra, b). Tegyük fel, hogy csak egy P erő hat, de nincs erő. Az I erő hatására az a hosszúságú rúdnak csak a felső része deformálódik, aminek következtében az a szakasz, ahol a P erőt kifejtik, a b hosszúságú rúd alsó része nem deformálódik, de lefelé, mint egy merev test, ugyanannyit mozdul el, ahol az R erőt kifejtve a rúd alsó vége ugyanannyit mozog lefelé.

Tegyük fel most, hogy csak az erő hat, és nincs P erő.

Az erő hatására a teljes rúd deformálódik, aminek következtében a rúd alsó vége egy mértékkel felfelé mozdul el.

A valóságban a rúd alsó vége beágyazva nem kap mozgást. Ezért a P erő által okozott lefelé mozgásának egyenlőnek kell lennie a (46.2) egyenletből származó erő által okozott felfelé mozgással.

A P erő hatására kiváltott reakciók meghatározása után a hosszirányú erők diagramjának felépítése és a szilárdság kiszámítása történik, mint egy statikailag meghatározott feladat esetében.

Megjegyzendő, hogy az ismeretlen reakciók, mozgások, stb. irányai teljesen önkényesen felvehetők. A vizsgált példában a reakció irányát felfelé vesszük. A számítás eredményeként mindkét reakció értéke pozitív volt; ez azt jelenti, hogy tényleges irányuk egybeesik a korábban elfogadottakkal. Ha például a reakció lefelé irányát vesszük, akkor a további egyenlet megoldása eredményeként a mínuszjel azt jelzi, hogy az alsó beágyazás tényleges iránya ellentétes az elfogadott irányával. vagyis hogy felfelé irányul. Így a számítás végeredménye nem függ attól, hogy korábban melyik reakcióirányt fogadjuk el.

Tekintsünk egy statikailag határozatlan lapos csuklórúd rendszert, amely három rúdból áll, amelyek alsó végeit egy közös D csukló köti össze (27.2. ábra). A középső rúd keresztmetszete megegyezik a külső rudak keresztmetszete

A D csuklóra függőleges P erő hat. Meg kell határozni a rudakba ható erőket ennek az erőnek a hatására.

Mivel a rudak minden végének csatlakozása csuklós, az A, B és C csuklópántok reakciói a rudak tengelye mentén irányulnak, és ezért a D pontban metszik egymást.

A reakciók száma három. De mivel a rendszer és a terhelés szimmetrikus a függőleges tengelyre, az RA és a reakciók egyenlőek egymással, ezért a probléma megoldásához elegendő meghatározni két reakciót RA és

Egy pontban metsző erők síkrendszerére ismert, hogy két egyensúlyi egyenlet szerkeszthető: és Ez a két egyenlet azonban nem elegendő a reakciók és az RB meghatározásához, mivel a szimmetriafeltételt már alkalmaztuk, és ez egyenértékű az egyensúlyi egyenlet használatával. Csak egy egyensúlyi egyenlet marad, és az ismeretlen erőfeszítések száma kettő. Így a probléma megoldásához egy további egyenletet kell alkotni, és ezért a feladat egyszer statikailag határozatlan.

Az egyensúlyi egyenletnek megvan a formája

További egyenlet létrehozásához vegye figyelembe a rendszer elmozdulásait.

Az AD, BD és CD rudaknál a BD hosszirányú erők hosszirányú erő hatására megnyúlnak egy bizonyos mértékben

A D csukló egy mértékben leereszkedik, és D helyzetbe kerül (27.2. ábra).

Ahhoz, hogy az AD rúd megnyúlását az elmozduláson keresztül kifejezzük, ezt a mozgást a rúd tengelye irányába kell vetíteni:

Itt, mivel az elmozdulás kicsi a rudak hosszához képest, az ADB szöget (27.2. ábra) egyenlőnek vesszük a, azaz az ADB szöggel (az AD és BD rudak tengelyei között egy deformálatlan szerkezet).

Helyettesítsük be a fent kapott kifejezéseket és DB-t a (48.2) egyenletbe:

Ezt az egyenletet a (47.2) egyensúlyi egyenlettel együtt megoldva megkapjuk

A (49.2) kifejezésekből jól látható, hogy az AD és CD rudak keresztmetszeti területének növekedésével (azaz növekedésével ) a bennük lévő erők nőnek, a BD rúdban pedig csökken.

Ez az eredmény a statikailag határozatlan rendszerek sajátosságait tükrözi, amelyekben egyes elemek merevségének növekedése a bennük lévő erők növekedéséhez, míg más elemekben általában az erők csökkenéséhez vezet. Statikailag meghatározott rendszerekben az erők eloszlása ​​a szerkezetben nem függ elemeinek merevségétől.

Tekintsünk egy három rúdból álló rendszert: egy alumíniumcsőből, egy alumíniumba illesztett acélcsőből 2 és az acélcső belsejében található tömör öntöttvas rúdból 3 (28.2. ábra, a).

Mind a csöveket, mind az öntöttvas rudat abszolút merev lemezek közé helyezik, és P erővel összenyomják. Meg kell határozni az egyes rudak keresztmetszetében a P erő által okozott feszültségeket.

Rajzoljunk egy vízszintes metszetet, és készítsünk egyensúlyi egyenletet a rendszer felső részére (28.2. ábra, b):

hol vannak a normál feszültségek az alumínium-, acél- és az öntöttvas rudak keresztmetszetében (itt a normál nyomófeszültséget pozitívnak tekintjük); - ezen rudak keresztmetszete.

A termékek a rudak keresztmetszetében jelentkező hosszirányú erőket képviselik.

A vizsgált párhuzamos erőrendszerre nem lehet más egyensúlyi egyenletet felállítani, ezért a három ismeretlen feszültség meghatározásához az (50.2) egyensúlyi egyenlet mellett további két egyenletet is meg kell alkotni. Ennek megfelelően a vizsgált rendszer kétszer (kétszer) statikailag határozatlan.

További egyenletek összeállításához azt a tényt vesszük alapul, hogy mindhárom rúd két merev lemez közé kerül, és ezért az összes rúd hosszirányú deformációja azonos. Jelöljük a rudak relatív hosszirányú alakváltozását.

Hooke törvénye alapján

hol vannak a rudak anyagainak rugalmassági modulusai.

Ebből az egyenlőségből két további egyenletet kapunk:

Az (52.2) egyenletekből az (50.2) egyenletbe behelyettesítve azt kapjuk, hogy

ahol a teljes kompozit rúd alumíniumra redukált keresztmetszete:

ábrán. A 28.2, b ábra a vizsgált rendszer normálfeszültségeinek diagramját mutatja, ahol a rugalmassági modulusok aránya 1:3:2.

Az adott területeket heterogén rugalmasságú gerendák, például betonban elhelyezett acélrudakból (vasalásból) álló vasbeton oszlopok tervezésekor használják. A vasalás és a beton közötti tapadás kiküszöböli a vasalás elmozdulásának lehetőségét a környező betonhoz képest. Ezért a beton és a vasalás hosszirányú alakváltozásai azonosak, és a vasalás normálfeszültségeinek aránya a beton feszültségeihez képest megegyezik ezen anyagok rugalmassági modulusainak arányával.

Nézzük most az ábrán látható rendszert. 29.2, a, amely egy teljesen merev gerendából áll, amely egy csuklós tartóra van támasztva, és két AAX és CCX rúdra van rögzítve (hajlítható acélból), zsanérokkal.

Határozzuk meg az acélrudak szilárdsági viszonyaiból a megengedett terhelést, a legnagyobb terhelést és a legnagyobb megengedett terhelést.

A végén csuklós rudak reakciói ezen rudak tengelye mentén irányulnak. A B tartó reakciójának van egy vízszintes és egy függőleges komponense, mivel ez a támasz megakadályozza a gerenda B pontjának vízszintes és függőleges mozgását.

Így összesen négy ismeretlen reakció van (29.2. ábra, b), és csak három egyensúlyi egyenletet lehet összeállítani egy sík erőrendszerre. Következésképpen ez a rendszer egyszer statikailag határozatlan, és megoldásához szükséges egy további egyenlet létrehozása.

A feladat körülményei szerint meg kell határozni az AAX és CCX acélrudak reakcióit (ezek a rudak keresztmetszete hosszirányú erőivel egyenlő), de nincs szükség a reakciók meghatározására. Ezért elegendő a három lehetséges egyensúlyi egyenlet valamelyikét használni, amely nem tartalmazza a és a reakciókat.

Ez az egyenlet a B csuklóhoz viszonyított összes erő nyomatékának összege formájában:

Egy további egyenlet létrehozásához vegyük figyelembe a rendszer deformációját. ábrán. 29.2, b a szaggatott vonal a gerenda tengelyét mutatja a rendszer deformációja után. Ez a tengely egyenes marad, mivel a gerenda abszolút merev, ezért nem deformálódik, hanem csak a B pont körül tud forogni. Az A és C csuklópántok a deformáció után rendre A, illetve C pozícióba mozdulnak el, azaz mennyiségenként függőlegesen mozognak. Az AAB és CCB háromszögek hasonlóságából azt találjuk

A rúd nyúlását és a rúd nyúlását fejezzük ki elmozdulásokon keresztül. Ehhez elmozdulásokat vetítünk a rudak irányába:

vagy az egyenlőséget figyelembe véve (56.2)

De Hooke törvénye szerint [a (13.2) képlet szerint]

és ezért az egyenlőségen alapul (57.2)

Az (58.2) egyenlet és az (55.2) egyensúlyi egyenlet megoldása után megtaláljuk a Q terhelésen keresztül kifejezett hosszirányú erők értékeit. Az erőket a keresztmetszeti területekkel elosztva meghatározzuk az acél normálfeszültségeit. rudak. Ekkor ezek közül a nagyobb feszültséget a megengedett feszültséggel egyenlővé téve azt kapjuk, hogy Q értéke egyenlő a megengedett terhelés értékével.

Mivel a Q terhelés mindkét rúdnál a feszültségértékeken túl nő, először a terheléssel egyenes arányban nőnek. Ha például, és ezért az értéket abból a feltételből kapjuk, hogy amikor a terhelés egy bizonyos értékre nő, akkor az első rúdban a feszültségek elérik a folyáshatárt, ugyanakkor a második rúdban a feszültségek kisebbek maradnak

A terhelés további növelése során az első rúdban a feszültségek állandóak maradnak, megegyeznek a folyáshatárral, a másodikban pedig addig nőnek, amíg szintén egyenlővé nem válnak teherbíró képességének kimerülése; a terhelés további, akár csekély növekedése a rendszer igen nagy deformációival jár. A határállapotot okozó Q mennyiséget végső terhelésnek nevezzük.

Az érték meghatározásához egyensúlyi egyenletet készítünk a határállapotban a merev tartóra ható erők nyomatékainak összege formájában (a B csuklóhoz viszonyítva), amikor

A szabványos teherbírás biztonsági tényezővel elosztva megkapjuk a megengedett legnagyobb terhelés értékét:

Ha az (59.2) képletben szereplő értéket egyenlőnek vesszük az értékkel [lásd. (42.2) képlet], akkor a legnagyobb megengedett terhelés értéke nagyobb lesz, mint a megengedett terhelések megengedett feszültségek alapján történő számítással kapott értéke.

A legnagyobb és legnagyobb megengedett terhelések meghatározásának kérdéseit részletesebben a fejezet tárgyalja. 17.

Állítsunk most fel egy módszert egy statikailag határozatlan szerkezetben az elemeinek gyártási pontatlansága miatti szerelési feszültségek meghatározására. Vegyünk példának egy három keresztmetszeti felületű acélrúdból álló szerkezetet, amelyek végei csuklósan vannak rögzítve két merev lemezhez (30.2. ábra, a). Minden rúdnak egyforma l hosszúságúnak kellett volna lennie, de az első botot hosszabbra, a másodikat 68-al rövidebbre készítették, mint a terv szerint, nagyon kicsik az I-hez képest; Ezzel kapcsolatban a beépítés után úgynevezett kezdeti (vagy beépítési) feszültségek keletkeztek a rudaknál. Határozzuk meg ezeket a feszültségeket.

Tételezzük fel, hogy a szerkezet beépítése után a fenéklemez az ábrán látható helyzetbe kerül. 30.2, de szaggatott vonallal, azaz a beszerelés során az összes rúd megnyúlt, és ezért mindegyik meg van feszítve.

Rajzoljunk egy metszetet a rudak között (30.2. ábra, o), és készítsünk egyensúlyi feltételeket a szerkezet alsó (levágott) részére (30.2. ábra, b):

a) a függőlegesre vetített erők összege

b) a bal alsó A csuklópánthoz viszonyított erőnyomatékok összege

A (61.2) egyenletből kitűnik, hogy a második és a harmadik rúdban lévő erők eltérő előjelűek, vagyis az egyiket megfeszítik, a másikat összenyomják.

Ezért az a feltételezés, hogy az összes rúd feszített, helytelen; ez azonban leegyszerűsíti a további érvelést, és nem vezet be hibákat a számítási eredményekbe.

A két egyensúlyi egyenlet (60.2) és (61.2) három ismeretlen erőt tartalmaz. Ebből következően a vizsgált konstrukció egyszer statikailag határozatlan.

További egyenlet létrehozásához vegye figyelembe a rudak kiterjesztését a telepítés során. Jelöljük az első, a második és a harmadik rúd nyúlását (30.2. ábra, a). A lemezek abszolút merevségének feltételezése alapján arra a következtetésre jutunk, hogy mindhárom alsó zsanér ugyanazon az egyenes vonalon helyezkedik el. Ez lehetővé teszi a következő összefüggés összeállítását hasonló ACE és BCD háromszögekre (30.2. ábra, a):

Ám az ábrából. 30.2, de ebből következik

Hooke törvénye alapján