Rövidített szorzási képleteket vagy szabályokat használnak az aritmetikában, pontosabban az algebrában, hogy felgyorsítsák a nagy algebrai kifejezések kiértékelésének folyamatát. Maguk a képletek az algebrában létező szabályokból származnak több polinom szorzására.

Ezeknek a képleteknek a használata meglehetősen gyors megoldást ad különféle matematikai problémákra, és segít a kifejezések egyszerűsítésében is. Az algebrai transzformációk szabályai lehetővé teszik bizonyos manipulációk végrehajtását kifejezésekkel, melyeket követve megkaphatjuk az egyenlőség bal oldalán a jobb oldali kifejezést, vagy transzformálhatjuk az egyenlőség jobb oldalát (a bal oldali kifejezéshez egyenlőségjel után).

A rövidített szorzáshoz használt képleteket célszerű a memóriából ismerni, mivel ezeket gyakran használják feladatok és egyenletek megoldására. Az alábbiakban felsoroljuk a listában szereplő fő képleteket és azok nevét.

Az összeg négyzete

Az összeg négyzetének kiszámításához meg kell találnia az összeget, amely az első tag négyzetéből, az első tag szorzatának kétszereséből, valamint a másodikból és a második négyzetéből áll. Kifejezés formájában ezt a szabályt a következőképpen írjuk: (a + c)² = a² + 2ac + c².

Négyzetes különbség

A különbség négyzetének kiszámításához ki kell számítania az összeget, amely az első szám négyzetéből, az első és a második szám (ellentétes előjellel vett) szorzatának kétszereséből és a második szám négyzetéből áll. Kifejezés formájában ez a szabály így néz ki: (a - c)² = a² - 2ac + c².

A négyzetek különbsége

A két szám négyzetes különbségének képlete megegyezik e számok és különbségük összegének szorzatával. Kifejezés formájában ez a szabály így néz ki: a² - с² = (a + с)·(a - с).

Összeg kocka

A két tag összegének kockájának kiszámításához ki kell számítania az összeget, amely az első tag kockájából áll, háromszorosára kell tenni az első és a második tag négyzetének szorzatát, megháromszorozni az első tag és a második tag szorzatát. négyzet, és a második tag kockája. Kifejezés formájában ez a szabály így néz ki: (a + c)³ = a³ + 3a²c + 3ac² + c³.

Kockák összege

A képlet szerint egyenlő e tagok összegének és a hiányos négyzetkülönbségük szorzatával. Kifejezés formájában ez a szabály így néz ki: a³ + c³ = (a + c)·(a² - ac + c²).

Példa. Ki kell számítani egy figura térfogatát, amely két kocka hozzáadásával alakul ki. Csak az oldaluk mérete ismert.

Ha az oldalértékek kicsik, akkor a számítások egyszerűek.

Ha az oldalak hosszát nehézkes számokban fejezzük ki, akkor ebben az esetben könnyebb a „Kockaösszeg” képlet használata, amely nagyban leegyszerűsíti a számításokat.

Különbség kocka

A köbös különbség kifejezése így hangzik: az első tag harmadik hatványának összegeként háromszorozza meg az első tag négyzetének negatív szorzatát a másodikkal, az első tag szorzatát háromszorozza meg a második tag négyzetével. és a második tag negatív kockája. Matematikai kifejezés formájában a különbség kockája így néz ki: (a - c)³ = a³ - 3a²c + 3ac² - c³.

A kockák különbsége

A kockák különbségének képlete csak egy előjelben tér el a kockák összegétől. Így a kockák különbsége egy képlet, amely megegyezik e számok különbségének és az összeg nem teljes négyzetének szorzatával. A formában a kockák különbsége így néz ki: a 3 - c 3 = (a - c)(a 2 + ac + c 2).

Példa. Ki kell számítani annak az alaknak a térfogatát, amely megmarad, miután a térfogati ábrát levonjuk a kék kocka térfogatából sárga szín, ami szintén kocka. A kis- és nagykockának csak az oldalmérete ismert.

Ha az oldalértékek kicsik, akkor a számítások meglehetősen egyszerűek. És ha az oldalak hosszát jelentős számokkal fejezzük ki, akkor érdemes alkalmazni a „Kockák különbsége” (vagy „Különbség kocka”) című képletet, amely nagyban leegyszerűsíti a számításokat.

Az előző leckékben a polinomok faktorálásának két módját vizsgáltuk: a közös tényezőt a zárójelekből és a csoportosítási módszert.

Ebben a leckében egy másik módszert fogunk megvizsgálni a polinomok faktorálására rövidített szorzóképletek segítségével.

Javasoljuk, hogy minden képletet legalább 12-szer írjon le. A jobb memorizálás érdekében írja le az összes rövidített szorzóképletet egy kis csalólapra.

Emlékezzünk arra, hogyan néz ki a kockák közötti különbség képlete.

A kockák képletének különbségét nem túl könnyű megjegyezni, ezért javasoljuk, hogy használjon speciális módszert az emlékezéshez.

Fontos megérteni, hogy bármilyen rövidített szorzási képlet is működik hátoldal.

Nézzünk egy példát. A kockák különbségét figyelembe kell venni.

Kérjük, vegye figyelembe, hogy a „27a 3” a „(3a) 3”, ami azt jelenti, hogy a kocka különbségi képletére az „a” helyett „3a”-t használunk.

A kocka különbség képletét használjuk. Az „a 3” helyett „27a 3” van, a „b 3” helyett pedig, mint a képletben, „b 3” van.

A kockák különbségének alkalmazása ellentétes irányban

Nézzünk egy másik példát. A polinomok szorzatát a kockák különbségévé kell konvertálnia a rövidített szorzási képlet segítségével.

Kérjük, vegye figyelembe, hogy az „(x − 1)(x 2 + x + 1)” polinomok szorzata hasonlít a „kockák” képlet jobb oldalára, csak az „a” helyett „x” van, és a helyén. a „b” közül „1” van.

Az „(x − 1)(x 2 + x + 1)” esetében a kockák különbségi képletét használjuk ellentétes irányban.

Nézzünk egy bonyolultabb példát. Szükséges a polinomok szorzatának egyszerűsítése.

Ha összehasonlítjuk az „(y 2 − 1)(y 4 + y 2 + 1)”-t a kockák különbségi képletének jobb oldalával
« a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2)", akkor megértheti, hogy az első zárójelben szereplő "a" helyén "y 2", a "b" helyett pedig "1" van.

A négyzetek különbsége

Vezessük le az $a^2-b^2$ négyzetek különbségének képletét.

Ehhez emlékezzen a következő szabályra:

Ha a kifejezéshez tetszőleges monomit adunk, és ugyanazt a monomit kivonjuk, akkor a helyes azonosságot kapjuk.

Adjuk hozzá a kifejezésünket, és vonjuk ki belőle az $ab$ monomiumot:

Összességében a következőket kapjuk:

Vagyis két monom négyzetének különbsége egyenlő különbségük és összegük szorzatával.

1. példa

Termékként bemutatva $(4x)^2-y^2$

\[(4x)^2-y^2=((2x))^2-y^2\]

\[((2x))^2-y^2=\left(2x-y\right)(2x+y)\]

Kockák összege

Vezessük le az $a^3+b^3$ kockák összegének képletét.

Vegyük ki a gyakori tényezőket a zárójelekből:

Vegyük ki a $\left(a+b\right)$ zárójelből:

Összességében a következőket kapjuk:

Vagyis két monom kockáinak összege egyenlő az összegük és a különbségük hiányos négyzetének szorzatával.

2. példa

Termékként bemutatva $(8x)^3+y^3$

Ez a kifejezés a következőképpen írható át:

\[(8x)^3+y^3=((2x))^3+y^3\]

A négyzetek különbségi képletével a következőket kapjuk:

\[((2x))^3+y^3=\left(2x+y\right)(4x^2-2xy+y^2)\]

A kockák különbsége

Vezessük le az $a^3-b^3$ kockák különbségének képletét.

Ehhez ugyanazt a szabályt fogjuk használni, mint fent.

Adjuk hozzá a kifejezésünket, és vonjuk ki belőle az $a^2b\ és\ (ab)^2$ monomokat:

Vegyük ki a gyakori tényezőket a zárójelekből:

Vegyük ki a $\left(a-b\right)$ zárójelből:

Összességében a következőket kapjuk:

Vagyis két monom kockáinak különbsége egyenlő különbségük összegének hiányos négyzetével való szorzatával.

3. példa

Termékként bemutatva $(8x)^3-y^3$

Ez a kifejezés a következőképpen írható át:

\[(8x)^3-y^3=((2x))^3-y^3\]

A négyzetek különbségi képletével a következőket kapjuk:

\[((2x))^3-y^3=\left(2x-y\right)(4x^2+2xy+y^2)\]

Példa a négyzetek különbségére, valamint a kockák összegére és különbségére vonatkozó képletekkel kapcsolatos problémákra

4. példa

Tényezőkre bont.

a) $((a+5))^2-9$

c) $-x^3+\frac(1)(27)$

Megoldás:

a) $((a+5))^2-9$

\[(((a+5))^2-9=(a+5))^2-3^2\]

A négyzetek különbségének képletét alkalmazva a következőt kapjuk:

\[((a+5))^2-3^2=\left(a+5-3\right)\left(a+5+3\right)=\left(a+2\right)(a +8)\]

Írjuk ezt a kifejezést a következő formában:

Alkalmazzuk a kocka képletét:

c) $-x^3+\frac(1)(27)$

Írjuk ezt a kifejezést a következő formában:

\[-x^3+\frac(1)(27)=(\left(\frac(1)(3)\right))^3-x^3\]

Alkalmazzuk a kocka képletét:

\[(\left(\frac(1)(3)\right))^3-x^3=\left(\frac(1)(3)-x\right)\left(\frac(1)( 9)+\frac(x)(3)+x^2\jobbra)\]