A tetraéder térfogatának alapképletéből

Ahol S bármely arc területe, és H– az általa csökkentett magasságból képletek egész sora származtatható, amelyek a tetraéder különböző elemein keresztül fejezik ki a térfogatot. Mutassuk be ezeket a képleteket a tetraéderre ABCD.

(2) ,

ahol ∠ ( HIRDETÉS,ABC) – él közötti szög HIRDETÉSés az arc síkja ABC;

(3) ,

ahol ∠ ( ABC,ABD) – a lapok közötti szög ABCÉs ABD;

ahol | AB,CD| – az ellentétes bordák közötti távolság ABÉs CD, ∠ (AB,CD) az ezen élek közötti szög.

Az egyenesek és a síkok közötti szögek meghatározásához a (2)–(4) képleteket használhatjuk; különösen hasznos a (4) képlet, mellyel meg lehet határozni a keresztező vonalak távolságát ABÉs CD.

A (2) és (3) képlet hasonló a képlethez S = (1/2)ab bűn C a háromszög területére. Képlet S = rp hasonló képlet

Ahol r a tetraéder beírt gömbjének sugara, Σ a teljes felülete (az összes lap területének összege). Van egy gyönyörű képlet is, amely összeköti a tetraéder térfogatát a sugárral R a leírt szférája ( Crellet formula):

ahol Δ annak a háromszögnek a területe, amelynek oldalai számszerűen egyenlőek a szemközti élek szorzatával ( AB× CD, A.C.× BD,HIRDETÉS× i.e.). A (2) képletből és a triéderszögekre vonatkozó koszinusztételből (lásd Gömb-trigonometria) a Heron-féle háromszög-képlethez hasonló képletet vezethetünk le.

Tekintsünk egy tetszőleges ABC háromszöget és egy D pontot, amely nem esik ennek a háromszögnek a síkjában. Kössük össze ezt a pontot az ABC háromszög csúcsaival szegmensek segítségével. Ennek eredményeként ADC, CDB, ABD háromszögeket kapunk. Az ABC, ADC, CDB és ABD négy háromszög által határolt felületet tetraédernek nevezzük, és DABC-nek nevezzük.
A tetraédert alkotó háromszögeket lapoknak nevezzük.
Ezeknek a háromszögeknek az oldalait a tetraéder éleinek nevezzük. A csúcsaik pedig egy tetraéder csúcsai

A tetraédernek van 4 arc, 6 bordaÉs 4 csúcs.
Két olyan élt, amelyeknek nincs közös csúcsa, ellentétesnek nevezzük.
Gyakran a kényelem kedvéért a tetraéder egyik lapját hívják alapon, a maradék három lap pedig oldallap.

Így a tetraéder a legegyszerűbb poliéder, amelynek lapjai négy háromszögből állnak.

De az is igaz, hogy bármely tetszőleges háromszög alakú piramis tetraéder. Akkor az is igaz, hogy tetraédert ún piramis, amelynek alapja háromszög.

A tetraéder magassága szakasznak nevezzük, amely egy csúcsot összeköt egy, a szemközti oldalon lévő és arra merőleges ponttal.
Tetraéder mediánja szakasznak nevezzük, amely egy csúcsot köt össze a szemközti lap mediánjainak metszéspontjával.
Tetraéder bimediánja szakasznak nevezzük, amely összeköti a tetraéder metsző éleinek felezőpontját.

Mivel a tetraéder háromszögalapú piramis, bármely tetraéder térfogata kiszámítható a képlet segítségével

• S- bármely arc területére,
• H– ehhez az archoz süllyesztett magasság

Szabályos tetraéder - egy speciális tetraéder

Háromszögnek nevezzük azt a tetraédert, amelyben minden lap egyenlő oldalú. helyes.
A szabályos tetraéder tulajdonságai:

• Minden él egyenlő.
• A szabályos tetraéder minden síkszöge 60°
• Mivel minden csúcsa három szabályos háromszög csúcsa, a síkszögek összege minden csúcsban 180°
• A szabályos tetraéder bármely csúcsa a szemközti lap ortocentrumába (a háromszög magasságainak metszéspontjába) vetül.

Adjunk egy ABCD szabályos tetraédert, amelynek élei egyenlők a-val. DH a magassága.
Készítsünk további konstrukciókat BM - az ABC háromszög magassága és DM - az ACD háromszög magassága.
A BM magassága egyenlő BM-mel és egyenlő
Tekintsük a BDM háromszöget, ahol DH, amely a tetraéder magassága, egyben ennek a háromszögnek a magassága is.
Az MB oldalra esett háromszög magasságát a képlet segítségével találhatjuk meg

, Hol
BM=, DM=, BD=a,
p=1/2 (BM+BD+DM)=
Helyettesítsük be ezeket az értékeket a magassági képletbe. Megkapjuk


Vegyünk ki 1/2a. Megkapjuk

Alkalmazzuk a négyzetek különbségi képletét

Kis átalakítások után megkapjuk


Bármely tetraéder térfogata kiszámítható a képlet segítségével
,
Ahol ,

Ezeket az értékeket behelyettesítve azt kapjuk

Így a szabályos tetraéder térfogati képlete az

Ahol a–tetraéder él

Egy tetraéder térfogatának kiszámítása, ha ismertek csúcsainak koordinátái

Adjuk meg a tetraéder csúcsainak koordinátáit

A csúcsból megrajzoljuk a , , vektorokat.
Az egyes vektorok koordinátáinak megtalálásához vonja ki a megfelelő kezdőkoordinátát a végkoordinátából. Megkapjuk

Egy szabályos tetraéderben minden kétszög az éleknél és minden háromszög a csúcsoknál egyenlő

A tetraédernek 4 lapja, 4 csúcsa és 6 éle van.

A szabályos tetraéder alapképleteit a táblázat tartalmazza.

Ahol:
S - Egy szabályos tetraéder felülete
V - kötet
h - az alapra süllyesztett magasság
r - a tetraéderbe írt kör sugara
R - körsugár
a - élhossz

Gyakorlati példák

Megoldás.
Mivel a háromszög alakú gúla minden éle egyenlő, szabályos. Egy szabályos háromszög alakú piramis felülete S = a 2 √3.
Majd
S = 3√3

Válasz: 3√3

Feladat.
Egy szabályos háromszög alakú gúla minden éle egyenlő 4 cm-rel. Határozzuk meg a gúla térfogatát

Megoldás.
Mivel egy szabályos háromszög alakú gúlában a gúla magassága az alap középpontjába van vetítve, ami egyben a körülírt kör középpontja is, akkor

AO = R = √3 / 3 a
AO = 4√3/3

Így az OM piramis magassága innen állapítható meg derékszögű háromszög AOM

AO 2 + OM 2 = AM 2
OM 2 = AM 2 - AO 2
OM 2 = 4 2 - (4√3 / 3) 2
OM 2 = 16 - 16/3
OM = √(32/3)
OM = 4√2 / √3

A piramis térfogatát a V = 1/3 Sh képlettel határozzuk meg
Ebben az esetben az alap területét az S = √3/4 a 2 képlettel találjuk meg

V = 1/3 (√3 / 4 * 16) (4√2 / √3)
V = 16√2/3

Válasz: 16√2 / 3 cm

A tetraéder definíciója

Tetraéder– a legegyszerűbb poliédertest, melynek lapjai és alapjai háromszögek.

Online számológép

A tetraédernek négy lapja van, amelyek mindegyikét három oldal alkotja. A tetraédernek négy csúcsa van, mindegyikből három él jön ki.

Ez a test több típusra oszlik. Az alábbiakban az osztályozásukat mutatjuk be.

1. Izoéderes tetraéder- minden lapja egyforma háromszög;
2. Ortocentrikus tetraéder- minden csúcstól a szemközti lapig húzott magasságok egyenlő hosszúságúak;
3. Téglalap alakú tetraéder- az egyik csúcsból kiinduló élek 90 fokos szöget zárnak be egymással;
4. Keret;
5. Arányos;
6. Incentrikus.

Tetraéder térfogat képletek

Egy adott test térfogata többféleképpen is meghatározható. Nézzük meg őket részletesebben.

A vektorok vegyes szorzatán keresztül

Ha egy tetraéder három koordinátákkal rendelkező vektorra épül:

A ⃗ = (a x , a y , a z) \vec(a)=(a_x, a_y, a_z)a= (a x​ , a y​ , a z​ )
b ⃗ = (b x , b y , b z) \vec(b)=(b_x, b_y, b_z)b= (b x​ , b y​ , b z​ )
c ⃗ = (c x , c y , c z) \vec(c)=(c_x, c_y, c_z)c= (c x​ , c y​ , c z​ ) ,

akkor ennek a tetraédernek a térfogata ezeknek a vektoroknak a vegyes szorzata, vagyis a következő determináns:

V = 1 6 ⋅ ∣ a x a y a z b x b y b z c x c y c z ∣ V=\frac(1)(6)\cdot\begin(vmátrix) a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\_c_x & cvmatrix )V=6 1 ​ ⋅ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ a x​ b x​ c x​ ​ a y​ b y​ c y​ ​ a z​ b z​ c z​ ​ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​

Az oktaéder négy csúcsának koordinátái ismertek. A(1, 4, 9) A(1, 4, 9) A(1, 4, 9), B (8, 7, 3) B(8, 7, 3) B(8, 7, 3), C (1, 2, 3) C (1,2,3) C(1, 2, 3), D(7, 12, 1) D(7, 12, 1) D(7; 1 2; 1). Keresse meg a térfogatát.

Megoldás

A(1, 4, 9) A(1, 4, 9) A(1, 4, 9)
B (8, 7, 3) B(8, 7, 3) B(8, 7, 3)
C (1, 2, 3) C (1,2,3) C(1, 2, 3)
D(7, 12, 1) D(7, 12, 1) D(7; 1 2; 1)

Az első lépés azoknak a vektoroknak a koordinátáinak meghatározása, amelyekre ez a test épül.
Ehhez meg kell találni az egyes vektorkoordinátákat a két pont megfelelő koordinátáinak kivonásával. Például a vektor koordinátái A B → \overrightarrow(AB) A B, azaz a pontból irányított vektor A A A a lényegre B B B, ezek a pontok megfelelő koordinátái közötti különbségek B B BÉs A A A:

A B → = (8-1, 7-4, 3-9) = (7, 3, -6) \overrightarrow(AB)=(8-1, 7-4, 3-9)=(7, 3, -6)A B= (8 − 1 , 7 − 4 , 3 − 9 ) = (7 , 3 , − 6 )

A C → = (1 - 1, 2 - 4, 3 - 9) = (0, -2, -6) \overrightarrow(AC)=(1-1, 2-4, 3-9)=(0, - 2, -6)A C= (1 − 1 , 2 − 4 , 3 − 9 ) = (0 , − 2 , − 6 )
A D → = (7-1, 12-4, 1-9) = (6, 8, -8) \overrightarrow(AD)=(7-1, 12-4, 1-9)=(6, 8, -8)A D= (7 − 1 , 1 2 − 4 , 1 − 9 ) = (6 , 8 , − 8 )

Most keressük meg ezeknek a vektoroknak a vegyes szorzatát, és állítsunk össze egy harmadrendű determinánst, miközben ezt elfogadjuk A B → = a ⃗ \overrightarrow(AB)=\vec(a)A B= a, A C → = b ⃗ \overrightarrow(AC)=\vec(b)A C= b, A D → = c ⃗ \overrightarrow(AD)=\vec(c)A D= c.

∣ a x a y a z b x b y b z c x c y c z ∣ = ∣ 7 3 − 6 0 − 2 − 6 6 8 − 8 ∣ = 7 ⋅ (− 2) ⋅ (− 8) + 3 ⋅ (− 6) + ⋅ ⋅ (− 6) + (− 6) ⋅ (− 2) ⋅ 6 − 7 ⋅ (− 6) ⋅ 8 − 3 ⋅ 0 ⋅ (− 8) = 112 − 108 − 0 − 72 + 336 + 0 = 268 \begin(vmátrix) a_x a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \\ \end(vmatrix)= \begin(vmatrix) 7 & 3 & -6 \\ 0 & -2 & -6 \\ 6 & 8 & -8 \\ \end(vmatrix)=7\cdot(-2)\cdot(-8) + 3\cdot(-6)\cdot6 + (-6)\cdot0\cdot8 - (-6)\cdot (-2)\cdot6 - 7\cdot(-6)\cdot8 - 3\cdot0\cdot(-8) = 112 - 108 - 0 - 72 + 336 + 0 = 268∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ a x​ b x​ cx​ ​ ay​ by​ cy​ ​ az​ bz​ cz​ ​ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ 7 0 6 ​ 3 − 2 8 ​ − 6 − 6 − 8 ​ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ = 7 ⋅ (− 2 ) ⋅ (− 8 ) + 3 ⋅ (− 6 ) ⋅ 6 + (− 6 ) ⋅ 0 ⋅ 8 − (− 6 ) ⋅ (− 2 ) ⋅ 6 − 7 ⋅ (− 6 ) ⋅ 8 − 3 ⋅ 0 ⋅ (− 8 ) = 1 1 2 − 1 0 8 − 0 − 7 2 + 3 3 6 + 0 = 2 6 8

Vagyis a tetraéder térfogata egyenlő:

$V=61\cdot |$

Válasz

$44.8\text{cm3 .}$

Egy izoéder tetraéder térfogatának képlete az oldala mentén

Ez a képlet csak egy izoéder tetraéder térfogatának kiszámítására érvényes, vagyis olyan tetraéderre, amelyben minden lap egyforma szabályos háromszög.

$V=12\sqrt{2\cdot a^3}$

a aa- a tetraéder élének hossza.

Határozzuk meg egy tetraéder térfogatát, amelynek oldala egyenlő: $11\text{cm.}$

Megoldás

$a=11$

Cseréljük a aa a tetraéder térfogatának képletébe:

$V=12\sqrt{2\cdot a^{3=12\sqrt{2\cdot 11^{3\approx 156.8\text{cm3}}}}}$

Válasz

$156.8\text{cm3 .}$