Կոմպլեքս թվի մոդուլը և արգումենտը: Եռանկյունաչափական

Կոմպլեքս թվերը մեզ ծանոթ իրական թվերի բազմության նվազագույն ընդլայնումն են: Նրանց հիմնարար տարբերությունն այն է, որ հայտնվում է մի տարր, որը քառակուսու դեպքում տալիս է -1, այսինքն. ես, կամ.

Ցանկացած բարդ թիվ բաղկացած է երկու մասից. իրական և երևակայական:

Այսպիսով, պարզ է, որ իրական թվերի բազմությունը համընկնում է զրոյական երևակայական մասով բարդ թվերի բազմության հետ։

Կոմպլեքս թվերի բազմության ամենատարածված մոդելը սովորական հարթությունն է: Յուրաքանչյուր կետի առաջին կոորդինատը կլինի նրա իրական մասը, իսկ երկրորդը՝ երևակայական մասը։ Այնուհետև բարդ թվերի դերն իրենք կլինեն վեկտորներ, որոնց սկիզբը գտնվում է (0,0):

Գործողություններ բարդ թվերի վրա.

Իրականում, եթե հաշվի առնենք կոմպլեքս թվերի բազմության մոդելը, ինտուիտիվորեն պարզ է դառնում, որ երկու բարդ թվերի գումարումը (հանումը) և բազմապատկումը կատարվում են այնպես, ինչպես վեկտորների վրա համապատասխան գործողությունները։ Ընդ որում, մենք նկատի ունենք վեկտորների վեկտորային արտադրյալը, քանի որ այս գործողության արդյունքը կրկին վեկտոր է։

1.1 Հավելում.

(Ինչպես տեսնում եք, այս գործողությունը ճիշտ է համապատասխանում)

1.2 ՀանումՆմանապես, արտադրվում է հետևյալ կանոնի համաձայն.

2. Բազմապատկում.

3. Բաժանում.

Պարզապես սահմանվում է որպես բազմապատկման հակադարձ գործողություն:

Եռանկյունաչափական ձև.

Z կոմպլեքս թվի մոդուլը հետևյալ մեծությունն է.

,

Ակնհայտ է, որ սա կրկին վեկտորի (a,b) մոդուլն է (երկարությունը):

Ամենից հաճախ բարդ թվի մոդուլը նշվում է որպես ρ.

Պարզվում է, որ

z = ρ(cosφ+isinφ).

Բարդ թվեր գրելու եռանկյունաչափական ձևից անմիջապես հետևում է հետևյալը. բանաձեւեր :

Վերջին բանաձեւը կոչվում է Moivre-ի բանաձեւը. Բանաձևը բխում է անմիջապես դրանից Բարդ թվի n-րդ արմատը:

Այսպիսով, կա z բարդ թվի n-րդ արմատները:

Դասի պլան.

1. Կազմակերպչական պահ.

2. Նյութի ներկայացում.

3. Տնային աշխատանք.

4. Ամփոփելով դասը.

Դասի առաջընթաց

I. Կազմակերպչական պահ.

II. Նյութի ներկայացում.

Մոտիվացիա.

Իրական թվերի բազմության ընդլայնումը բաղկացած է իրական թվերին նոր թվեր (երևակայական) ավելացնելուց։ Այս թվերի ներմուծումը պայմանավորված է իրական թվերի բազմության մեջ բացասական թվի արմատը հանելու անհնարինությամբ։

Ներածություն կոմպլեքս թվի հայեցակարգին:

Երևակայական թվերը, որոնցով լրացնում ենք իրական թվերը, գրվում են ձևով երկ, Որտեղ եսերևակայական միավոր է և ես 2 = - 1.

Դրա հիման վրա մենք ստանում ենք բարդ թվի հետևյալ սահմանումը.

Սահմանում. Կոմպլեքս թիվը ձևի արտահայտությունն է ա+բի, Որտեղ աԵվ բ- իրական թվեր. Այս դեպքում բավարարվում են հետևյալ պայմանները.

ա) Երկու կոմպլեքս թվեր a 1 + b 1 iԵվ a 2 + b 2 iհավասար, եթե և միայն, եթե a 1 = a 2, b 1 =b 2.

բ) Կոմպլեքս թվերի գումարումը որոշվում է կանոնով.

(a 1 + b 1 i) + (a 2 + b 2 i) = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2) i.

գ) Կոմպլեքս թվերի բազմապատկումը որոշվում է կանոնով.

(a 1 + b 1 i) (a 2 + b 2 i) = (a 1 a 2 - b 1 b 2) + (a 1 b 2 - a 2 b 1) i.

Բարդ թվի հանրահաշվական ձև.

Կոմպլեքս թվի գրել ձևով ա+բիկոչվում է բարդ թվի հանրահաշվական ձև, որտեղ Ա- իրական մաս, երկերևակայական մասն է, և բ- իրական թիվը.

Համալիր համարը ա+բիհավասար է զրոյի, եթե նրա իրական և երևակայական մասերը հավասար են զրոյի. a = b = 0

Համալիր համարը ա+բիժամը b = 0համարվում է նույնը, ինչ իրական թիվը ա: a + 0i = a.

Համալիր համարը ա+բիժամը a = 0կոչվում է զուտ երևակայական և նշվում է երկ: 0 + bi = bi.

Երկու կոմպլեքս թվեր z = a + biԵվ = a – bi, որոնք տարբերվում են միայն երևակայական մասի նշանով, կոչվում են խոնարհված։

Գործողություններ բարդ թվերի վրա հանրահաշվական ձևով:

Համալիր թվերի վրա հանրահաշվական ձևով կարող եք կատարել հետևյալ գործողությունները.

1) լրացում.

Սահմանում. Կոմպլեքս թվերի գումարը z 1 = a 1 + b 1 iԵվ z 2 = a 2 + b 2 iկոչվում է կոմպլեքս թիվ զ, որի իրական մասը հավասար է իրական մասերի գումարին z 1Եվ z 2, իսկ երևակայական մասը թվերի երևակայական մասերի գումարն է z 1Եվ z 2, այսինքն z = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2)i.

Թվեր z 1Եվ z 2կոչվում են տերմիններ.

Կոմպլեքս թվերի գումարումն ունի հետևյալ հատկությունները.

1º. Փոխատեղելիություն: z 1 + z 2 = z 2 + z 1.

2º. Ասոցիատիվություն: (z 1 + z 2) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3):

3º. Համալիր համարը –a –biկոչվում է բարդ թվի հակադիր z = a + bi. Կոմպլեքս թիվ, բարդ թվի հակադիր զ, նշվում է -զ. Կոմպլեքս թվերի գումարը զԵվ -զհավասար է զրոյի: z + (-z) = 0

Օրինակ 1. Կատարել հավելում (3 – i) + (-1 + 2i).

(3 – i) + (-1 + 2i) = (3 + (-1)) + (-1 + 2) i = 2 + 1i.

2) հանում.

Սահմանում.Համալիր թվից հանել z 1համալիր համարը z 2 z,Ինչ z + z 2 = z 1.

Թեորեմ. Կոմպլեքս թվերի տարբերությունը գոյություն ունի և եզակի է:

Օրինակ 2. Կատարեք հանում (4 – 2i) - (-3 + 2i).

(4 – 2i) - (-3 + 2i) = (4 - (-3)) + (-2 - 2) i = 7 – 4i.

3) Բազմապատկում.

Սահմանում. Կոմպլեքս թվերի արտադրյալ z 1 =a 1 +b 1 iԵվ z 2 =a 2 +b 2 iկոչվում է կոմպլեքս թիվ զ, սահմանվում է հավասարությամբ. z = (a 1 a 2 – b 1 b 2) + (a 1 b 2 + a 2 b 1)i.

Թվեր z 1Եվ z 2կոչվում են գործոններ:

Բարդ թվերի բազմապատկումն ունի հետևյալ հատկությունները.

1º. Փոխատեղելիություն: z 1 z 2 = z 2 z 1.

2º. Ասոցիատիվություն: (z 1 z 2)z 3 = z 1 (z 2 z 3)

3º. Բազմապատկման բաշխվածությունը գումարման նկատմամբ.

(z 1 + z 2) z 3 = z 1 z 3 + z 2 z 3.

4º. z = (a + bi) (a – bi) = a 2 + b 2- իրական թիվը.

Գործնականում կոմպլեքս թվերի բազմապատկումն իրականացվում է գումարը գումարով բազմապատկելու և իրական և երևակայական մասերը բաժանելու կանոնով։

Հետևյալ օրինակում մենք կդիտարկենք կոմպլեքս թվերի բազմապատկումը երկու եղանակով՝ կանոնով և գումարը գումարով բազմապատկելով:

Օրինակ 3. Կատարեք բազմապատկում (2 + 3i) (5 – 7i).

1 ճանապարհ. (2 + 3i) (5 – 7i) = (2× 5 – 3× (- 7)) + (2× (- 7) + 3× 5)i = = (10 + 21) + (- 14 + 15 )i = 31 + i.

Մեթոդ 2. (2 + 3i) (5 – 7i) = 2× 5 + 2× (- 7i) + 3i× 5 + 3i× (- 7i) = = 10 – 14i + 15i + 21 = 31 + i.

4) բաժին.

Սահմանում. Բաժանեք բարդ թիվ z 1բարդ թվին z 2, նշանակում է գտնել նման բարդ թիվ զ, Ինչ z · z 2 = z 1.

Թեորեմ.Կոմպլեքս թվերի քանորդը գոյություն ունի և եզակի է, եթե z 2 ≠ 0 + 0i.

Գործնականում կոմպլեքս թվերի գործակիցը գտնում են համարիչն ու հայտարարը հայտարարի խոնարհումով բազմապատկելով։

Թող z 1 = a 1 + b 1 i, z 2 = a 2 + b 2 i, Հետո

.

Հետևյալ օրինակում մենք կկատարենք բաժանում` օգտագործելով հայտարարին խոնարհված թվով բազմապատկելու բանաձևը և կանոնը:

Օրինակ 4. Գտի՛ր գործակիցը .

5) բարձրացում դեպի դրական ամբողջ ուժ.

ա) Երևակայական միավորի ուժերը.

Օգտվելով հավասարությունից ես 2 = -1, հեշտ է սահմանել երևակայական միավորի ցանկացած դրական ամբողջ հզորություն։ Մենք ունենք.

i 3 = i 2 i = -i,

i 4 = i 2 i 2 = 1,

i 5 = i 4 i = i,

i 6 = i 4 i 2 = -1,

i 7 = i 5 i 2 = -i,

i 8 = i 6 i 2 = 1և այլն:

Սա ցույց է տալիս, որ աստիճանի արժեքները ես n, Որտեղ n– դրական ամբողջ թիվ, որը պարբերաբար կրկնվում է, երբ ցուցանիշը մեծանում է 4 .

Հետեւաբար, թիվը բարձրացնելու համար եսդրական ամբողջ ուժի համար մենք պետք է բաժանենք ցուցանիշը 4 և կառուցել եսհզորության, որի ցուցանիշը հավասար է բաժանման մնացորդին:

Օրինակ 5. Հաշվարկել. (i 36 + i 17) i 23.

i 36 = (i 4) 9 = 1 9 = 1,

i 17 = i 4 × 4+1 = (i 4) 4 × i = 1 · i = i.

i 23 = i 4 × 5+3 = (i 4) 5 × i 3 = 1 i 3 = - i.

(i 36 + i 17) · i 23 = (1 + i) (- i) = - i + 1= 1 – i.

բ) Կոմպլեքս թվի բարձրացումը դրական ամբողջ թվի աստիճանի իրականացվում է երկանդամը համապատասխան հզորության բարձրացման կանոնի համաձայն, քանի որ դա միանման բարդ գործակիցների բազմապատկման հատուկ դեպք է:

Օրինակ 6. Հաշվարկել. (4 + 2i) 3

(4 + 2i) 3 = 4 3 + 3× 4 2 × 2i + 3× 4× (2i) 2 + (2i) 3 = 64 + 96i – 48 – 8i = 16 + 88i.