Հզորության ֆունկցիաների հատկությունները և դրանց գրաֆիկները

Հզորության ֆունկցիա զրոյի հավասար ցուցիչով, p = 0

Եթե ​​y = x p հզորության ֆունկցիայի ցուցիչը հավասար է զրոյի, p = 0, ապա հզորության ֆունկցիան սահմանվում է բոլոր x ≠ 0-ի համար և մեկին հավասար հաստատուն է.
y = x p = x 0 = 1, x ≠ 0:

Հզորության ֆունկցիա բնական կենտ ցուցիչով, p = n = 1, 3, 5, ...

Դիտարկենք ուժային ֆունկցիա y = x p = x n բնական կենտ ցուցիչով n = 1, 3, 5, ...: Այս ցուցանիշը կարող է գրվել նաև n = 2k + 1 ձևով, որտեղ k = 0, 1, 2: , 3, .. – ամբողջը բացասական չէ։ Ստորև ներկայացված են նման գործառույթների հատկությունները և գրաֆիկները:

Հզորության ֆունկցիայի գրաֆիկ y = x n բնական կենտ ցուցիչով n = 1, 3, 5, ... ցուցիչի տարբեր արժեքների համար:

Դոմեն՝ –∞< x < ∞

Բազմաթիվ արժեքներ՝ –∞< y < ∞

Ծայրահեղություններ՝ ոչ

Ուռուցիկ:

ժամը –∞< x < 0 выпукла вверх

0-ին< x < ∞ выпукла вниз

Թեքման կետերը` x = 0, y = 0

Մասնավոր արժեքներ.

ժամը x = –1, y(–1) = (–1) n ≡ (–1) 2m+1 = –1

x = 0, y (0) = 0 n = 0

x = 1-ի համար, y(1) = 1 n = 1

Հզորության ֆունկցիա բնական զույգ ցուցիչով, p = n = 2, 4, 6, ...

Դիտարկենք ուժային ֆունկցիա y = x p = x n բնական զույգ ցուցիչով = 2, 4, 6, .... Այս ցուցանիշը կարող է գրվել նաև n = 2k ձևով, որտեղ k = 1, 2, 3, .. - բնական. Նման գործառույթների հատկությունները և գրաֆիկները ներկայացված են ստորև:

Հզորության ֆունկցիայի գրաֆիկ y = x n բնական զույգ ցուցիչով n = 2, 4, 6, ... ցուցիչի տարբեր արժեքների համար:

Դոմեն՝ –∞< x < ∞

Բազմաթիվ արժեքներ՝ 0 ≤ y< ∞

Միալար:

x-ում< 0 монотонно убывает

x > 0-ի համար միապաղաղ մեծանում է

Ծայրահեղությունները՝ նվազագույն, x = 0, y = 0

Ուռուցիկ՝ ուռուցիկ վար

Թեքման կետերը` ոչ

Կոորդինատային առանցքներով հատման կետերը` x = 0, y = 0
Մասնավոր արժեքներ.

ժամը x = –1, y(–1) = (–1) n ≡ (–1) 2m = 1

x = 0, y (0) = 0 n = 0

x = 1-ի համար, y(1) = 1 n = 1

Հզորության ֆունկցիա բացասական ամբողջ թվի ցուցիչով, p = n = -1, -2, -3, ...

Դիտարկենք ուժային ֆունկցիա y = x p = x n բացասական ամբողջ թվով ցուցիչով n = -1, -2, -3, .... Եթե սահմանենք n = –k, որտեղ k = 1, 2, 3, ... է: բնական թիվ, ապա այն կարող է ներկայացվել հետևյալ կերպ.

Հզորության ֆունկցիայի գրաֆիկը y = x n բացասական ամբողջ թվով ցուցիչով n = -1, -2, -3, ... ցուցիչի տարբեր արժեքների համար:

Կենտ ցուցիչ, n = -1, -3, -5, ...

Ստորև բերված են n = -1, -3, -5, ... կենտ բացասական ցուցիչով y = x n ֆունկցիայի հատկությունները:

Սահմանման տիրույթը՝ x ≠ 0

Բազմաթիվ արժեքներ՝ y ≠ 0

Պարիտետ՝ կենտ, y(–x) = – y(x)

Ծայրահեղություններ՝ ոչ

Ուռուցիկ:

x-ում< 0: выпукла вверх

x > 0-ի համար՝ ուռուցիկ դեպի ներքև

Թեքման կետերը` ոչ

Նշանը՝ x-ում< 0, y < 0

x > 0-ի համար, y > 0

Մասնավոր արժեքներ.

x = 1-ի համար, y(1) = 1 n = 1

Զույգ ցուցիչ, n = -2, -4, -6, ...

Ստորև բերված են y = x n ֆունկցիայի հատկությունները զույգ բացասական ցուցիչով n = -2, -4, -6, ....

Սահմանման տիրույթը՝ x ≠ 0

Բազմաթիվ արժեքներ՝ y > 0

Պարիտետ՝ զույգ, y(–x) = y(x)

Միալար:

x-ում< 0: монотонно возрастает

x > 0-ի համար՝ միապաղաղ նվազում է

Ծայրահեղություններ՝ ոչ

Ուռուցիկ՝ ուռուցիկ վար

Թեքման կետերը` ոչ

Կոորդինատային առանցքներով հատման կետեր՝ ոչ

Նշան՝ y > 0

Մասնավոր արժեքներ.

ժամը x = –1, y(–1) = (–1) n = 1

x = 1-ի համար, y(1) = 1 n = 1

Հզորության ֆունկցիա ռացիոնալ (կոտորակային) ցուցիչով

Դիտարկենք y = x p հզորության ֆունկցիան ռացիոնալ (կոտորակային) ցուցիչով, որտեղ n-ն ամբողջ թիվ է, m > 1 բնական թիվ։ Ընդ որում, n, m-ն ընդհանուր բաժանարարներ չունեն։

Կոտորակի ցուցիչի հայտարարը կենտ է

Թող կոտորակային ցուցանիշի հայտարարը լինի կենտ՝ m = 3, 5, 7, ... . Այս դեպքում x p հզորության ֆունկցիան սահմանվում է փաստարկի և՛ դրական, և՛ բացասական արժեքների համար: Դիտարկենք նման հզորության ֆունկցիաների հատկությունները, երբ p ցուցիչը գտնվում է որոշակի սահմաններում։

p-արժեքը բացասական է, p< 0

Թող ռացիոնալ ցուցանիշը (կենտ հայտարարով m = 3, 5, 7, ...) փոքր լինի զրոյից. .

Հզորության ֆունկցիաների գրաֆիկները ցուցիչի տարբեր արժեքների համար ռացիոնալ բացասական ցուցիչով, որտեղ m = 3, 5, 7, ... կենտ է:

Կենտ համարիչ, n = -1, -3, -5, ...

Ներկայացնում ենք y = x p հզորության ֆունկցիայի հատկությունները ռացիոնալ բացասական ցուցիչով, որտեղ n = -1, -3, -5, ... կենտ բացասական ամբողջ թիվ է, m = 3, 5, 7 ... է: կենտ բնական ամբողջ թիվ.

Սահմանման տիրույթը՝ x ≠ 0

Բազմաթիվ արժեքներ՝ y ≠ 0

Պարիտետ՝ կենտ, y(–x) = – y(x)

Միապաղաղություն՝ միապաղաղ նվազում

Ծայրահեղություններ՝ ոչ

Ուռուցիկ:

x-ում< 0: выпукла вверх

x > 0-ի համար՝ ուռուցիկ դեպի ներքև

Թեքման կետերը` ոչ

Կոորդինատային առանցքներով հատման կետեր՝ ոչ

x-ում< 0, y < 0

x > 0-ի համար, y > 0

Մասնավոր արժեքներ.

ժամը x = –1, y(–1) = (–1) n = –1

x = 1-ի համար, y(1) = 1 n = 1

Զույգ համարիչ, n = -2, -4, -6, ...

y = x p հզորության ֆունկցիայի հատկությունները ռացիոնալ բացասական ցուցիչով, որտեղ n = -2, -4, -6, ... զույգ բացասական ամբողջ թիվ է, m = 3, 5, 7 ... կենտ բնական ամբողջ թիվ է: .

Սահմանման տիրույթը՝ x ≠ 0

Բազմաթիվ արժեքներ՝ y > 0

Պարիտետ՝ զույգ, y(–x) = y(x)

Միալար:

x-ում< 0: монотонно возрастает

x > 0-ի համար՝ միապաղաղ նվազում է

Ծայրահեղություններ՝ ոչ

Ուռուցիկ՝ ուռուցիկ վար

Թեքման կետերը` ոչ

Կոորդինատային առանցքներով հատման կետեր՝ ոչ

Նշան՝ y > 0

p-արժեքը դրական է, մեկից պակաս, 0< p < 1

Հզորության ֆունկցիայի գրաֆիկ ռացիոնալ ցուցիչով (0< p < 1) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное.

Կենտ համարիչ, n = 1, 3, 5, ...

< p < 1, где n = 1, 3, 5, ... - нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Դոմեն՝ –∞< x < +∞

Բազմաթիվ արժեքներ՝ –∞< y < +∞

Պարիտետ՝ կենտ, y(–x) = – y(x)

Միապաղաղություն՝ միապաղաղ աճող

Ծայրահեղություններ՝ ոչ

Ուռուցիկ:

x-ում< 0: выпукла вниз

x > 0-ի համար՝ ուռուցիկ դեպի վեր

Թեքման կետերը` x = 0, y = 0

Կոորդինատային առանցքներով հատման կետերը` x = 0, y = 0

x-ում< 0, y < 0

x > 0-ի համար, y > 0

Մասնավոր արժեքներ.

ժամը x = –1, y(–1) = –1

x = 0, y (0) = 0

x = 1-ի համար, y(1) = 1

Զույգ համարիչ, n = 2, 4, 6, ...

Ներկայացված են y = x p 0-ի սահմաններում ռացիոնալ ցուցիչ ունեցող հզորության ֆունկցիայի հատկությունները< p < 1, где n = 2, 4, 6, ... - четное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Դոմեն՝ –∞< x < +∞

Բազմաթիվ արժեքներ՝ 0 ≤ y< +∞

Պարիտետ՝ զույգ, y(–x) = y(x)

Միալար:

x-ում< 0: монотонно убывает

x > 0-ի համար՝ միապաղաղ աճում է

Ծայրահեղությունները՝ նվազագույնը x = 0, y = 0

Ուռուցիկություն՝ ուռուցիկ դեպի վեր x ≠ 0-ում

Թեքման կետերը` ոչ

Կոորդինատային առանցքներով հատման կետերը` x = 0, y = 0

Նշան՝ x ≠ 0-ի համար, y > 0

Հզորության ֆունկցիան կոչվում է y=x n ձևի ֆունկցիա (կարդալով, որ y-ը հավասար է x n-ի հզորությանը), որտեղ n-ը որոշ տրված թիվ է։ Հզորության ֆունկցիաների հատուկ դեպքեր են y=x, y=x 2, y=x 3, y=1/x և շատ այլ ֆունկցիաներ։ Եկեք ավելին պատմենք նրանցից յուրաքանչյուրի մասին:

Գծային ֆունկցիա y=x 1 (y=x)

Գրաֆիկը Ox առանցքի դրական ուղղությամբ 45 աստիճան անկյան տակ (0;0) կետով անցնող ուղիղ գիծ է։

Գրաֆիկը ներկայացված է ստորև.

Գծային ֆունկցիայի հիմնական հատկությունները.

• Ֆունկցիան աճում է և սահմանվում է ամբողջ թվային տողի վրա։
• Այն չունի առավելագույն կամ նվազագույն արժեքներ:

Քառակուսի ֆունկցիա y=x 2

Քառակուսային ֆունկցիայի գրաֆիկը պարաբոլա է:

Քառակուսային ֆունկցիայի հիմնական հատկությունները.

• 1. x =0, y=0 և y>0 x0-ում
• 2. Քառակուսային ֆունկցիան հասնում է իր նվազագույն արժեքին իր գագաթին: Ymin x=0-ում; Պետք է նաև նշել, որ ֆունկցիան չունի առավելագույն արժեք։
• 3. Ֆունկցիան նվազում է միջակայքում (-∞;0] և մեծանում է միջակայքում)