축약된 곱셈 공식 또는 규칙은 산술, 특히 대수학에서 큰 대수식을 평가하는 프로세스의 속도를 높이기 위해 사용됩니다. 공식 자체는 여러 다항식을 곱하기 위해 대수학에 존재하는 규칙에서 파생됩니다.

이러한 공식을 사용하면 다양한 수학적 문제에 대한 상당히 빠른 해결책을 제공하고 표현식을 단순화하는 데도 도움이 됩니다. 대수 변환의 규칙을 사용하면 표현식을 사용하여 일부 조작을 수행할 수 있으며, 그에 따라 평등의 왼쪽에서 오른쪽의 표현식을 얻거나 평등의 오른쪽을 변환(왼쪽의 표현식을 얻기 위해)할 수 있습니다. 등호 뒤에).

약식 곱셈에 사용되는 공식은 문제나 방정식을 푸는 데 자주 사용되기 때문에 기억에서 알아두면 편리합니다. 다음은 이 목록에 포함된 주요 공식과 해당 이름입니다.

합의 제곱

합의 제곱을 계산하려면 첫 번째 항의 제곱, 첫 번째 항의 곱의 두 배, 두 번째 항과 두 번째 항의 제곱으로 구성된 합을 찾아야 합니다. 표현식의 형태로 이 규칙은 다음과 같이 작성됩니다: (a + c)² = a² + 2ac + c².

제곱 차이

차이의 제곱을 계산하려면 첫 번째 숫자의 제곱, 첫 번째 숫자와 두 번째 숫자의 곱(반대 기호로 계산)의 두 배, 두 번째 숫자의 제곱으로 구성된 합계를 계산해야 합니다. 표현식의 형태로 이 규칙은 다음과 같습니다: (a - c)² = a² - 2ac + c².

제곱의 차이

두 숫자의 제곱 차이를 구하는 공식은 이들 숫자의 합과 그 차이를 곱한 것과 같습니다. 표현식 형식에서 이 규칙은 다음과 같습니다: a² - с² = (a + с)·(a - с).

합계의 큐브

두 항의 합의 세제곱을 계산하려면 첫 번째 항의 세제곱, 첫 번째 항과 두 번째 항의 제곱 곱의 3배, 첫 번째 항과 두 번째 항의 곱의 3배로 구성된 합을 계산해야 합니다. 제곱과 두 번째 항의 세제곱입니다. 표현식의 형태로 보면 이 규칙은 다음과 같습니다: (a + c)³ = a³ + 3a²c + 3ac² + c³.

큐브의 합

공식에 따르면 이는 이러한 항의 합과 차이의 불완전 제곱을 곱한 것과 같습니다. 표현식의 형태로 보면 이 규칙은 다음과 같습니다: a³ + c³ = (a + c)·(a² - ac + c²).

예.두 개의 큐브를 더해 형성된 도형의 부피를 계산해야 합니다. 변의 크기만 알려져 있습니다.

측면 값이 작으면 계산이 간단합니다.

변의 길이를 번거로운 숫자로 표현하는 경우에는 "큐브의 합" 공식을 사용하는 것이 더 쉬우므로 계산이 크게 단순화됩니다.

차이 큐브

삼차 차이에 대한 표현은 다음과 같습니다. 첫 번째 항의 세 번째 거듭제곱의 합으로 첫 번째 항의 제곱의 음수 곱을 두 번째 항의 3배, 첫 번째 항의 곱의 두 번째 제곱의 3배입니다. 그리고 두 번째 항의 음수 세제곱입니다. 수학적 표현의 형태로 차이의 입방체는 다음과 같습니다: (a - c)³ = a³ - 3a²c + 3ac² - c³.

큐브의 차이

세제곱의 차이 공식은 세제곱의 합과 부호가 하나만 다릅니다. 따라서 큐브의 차이는 이러한 숫자의 차이와 불완전한 합의 제곱의 곱과 동일한 공식입니다. 형식에서 큐브의 차이는 다음과 같습니다: a 3 - c 3 = (a - c)(a 2 + ac + c 2).

예.파란색 큐브의 부피에서 부피 수치를 뺀 후 남은 수치의 부피를 계산해야 합니다. 노란색, 이는 큐브이기도 합니다. 작은 큐브와 큰 큐브의 측면 크기만 알려져 있습니다.

측면 값이 작으면 계산이 매우 간단합니다. 그리고 변의 길이가 중요한 숫자로 표현되면 "입방체의 차이"(또는 "차이의 입방체")라는 공식을 적용하여 계산을 크게 단순화하는 것이 좋습니다.

이전 수업에서는 다항식을 인수분해하는 두 가지 방법, 즉 괄호에서 공통인수를 빼는 방법과 그룹화 방법을 살펴보았습니다.

이번 강의에서는 다항식을 인수분해하는 또 다른 방법을 살펴보겠습니다. 단축된 곱셈 공식을 사용하여.

각 수식을 최소 12번 이상 작성하는 것이 좋습니다. 더 나은 암기를 위해 작은 치트 시트에 약식 곱셈 공식을 모두 적어 두세요.

큐브 공식의 차이가 어떻게 생겼는지 기억해 봅시다.

세제곱 공식의 차이는 기억하기가 쉽지 않기 때문에 특별한 방법을 사용하여 기억하는 것이 좋습니다.

축약된 곱셈 공식은 다음에서도 작동한다는 점을 이해하는 것이 중요합니다. 뒷면.

예를 살펴보겠습니다. 큐브의 차이를 고려하는 것이 필요합니다.

"27a 3"은 "(3a) 3"입니다. 이는 세제곱 공식의 차이에 대해 "a" 대신 "3a"를 사용한다는 의미입니다.

우리는 큐브의 차이 공식을 사용합니다. "a 3" 대신에 "27a 3"이 있고, 공식에서와 같이 "b 3" 대신에 "b 3"이 있습니다.

큐브의 차이를 반대 방향으로 적용

또 다른 예를 살펴보겠습니다. 축약된 곱셈 공식을 사용하여 다항식의 곱을 세제곱의 차이로 변환해야 합니다.

다항식 "(x − 1)(x 2 + x + 1)"의 곱은 입방체 공식 ""의 차이의 오른쪽과 유사하며 "a" 대신 "x"가 있고 그 자리에 있습니다. "b"에는 "1"이 있습니다.

"(x − 1)(x 2 + x + 1)"의 경우 세제곱의 차이 공식을 반대 방향으로 사용합니다.

좀 더 복잡한 예를 살펴보겠습니다. 다항식의 곱을 단순화하는 것이 필요합니다.

"(y 2 − 1)(y 4 + y 2 + 1)"을 세제곱 차 공식의 우변과 비교하면
« a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2)”, 그러면 첫 번째 괄호의 "a"대신 "y 2"가 있고 "b"대신 "1"이 있음을 이해할 수 있습니다.

제곱의 차이

제곱 $a^2-b^2$의 차이 공식을 유도해 보겠습니다.

이렇게 하려면 다음 규칙을 기억하세요.

표현식에 단항식을 더하고 동일한 단항식을 빼면 올바른 항등식을 얻습니다.

표현식에 단항식 $ab$를 더하고 빼보겠습니다.

전체적으로 우리는 다음을 얻습니다:

즉, 두 단항식의 제곱의 차이는 그 차이와 합의 곱과 같습니다.

실시예 1

$(4x)^2-y^2$ 제품으로 표시

\[(4x)^2-y^2=((2x))^2-y^2\]

\[((2x))^2-y^2=\left(2x-y\right)(2x+y)\]

큐브의 합

세제곱 $a^3+b^3$의 합 공식을 유도해 보겠습니다.

괄호에서 공통 요소를 제거해 보겠습니다.

대괄호에서 $\left(a+b\right)$를 빼겠습니다.

전체적으로 우리는 다음을 얻습니다:

즉, 두 단항식의 세제곱의 합은 그 합과 그 차이의 불완전 제곱의 곱과 같습니다.

실시예 2

$(8x)^3+y^3$ 제품으로 표시

이 표현식은 다음과 같이 다시 작성할 수 있습니다.

\[(8x)^3+y^3=((2x))^3+y^3\]

제곱의 차이 공식을 사용하면 다음을 얻습니다.

\[((2x))^3+y^3=\왼쪽(2x+y\오른쪽)(4x^2-2xy+y^2)\]

큐브의 차이

세제곱 $a^3-b^3$의 차이 공식을 유도해 보겠습니다.

이를 위해 위와 동일한 규칙을 사용합니다.

우리 식에 단항식 $a^2b\ 및\ (ab)^2$를 더하고 빼봅시다.

괄호에서 공통 요소를 제거해 보겠습니다.

대괄호에서 $\left(a-b\right)$를 빼겠습니다.

전체적으로 우리는 다음을 얻습니다:

즉, 두 단항식의 세제곱의 차이는 두 단항식의 차이를 그 합의 불완전 제곱으로 곱한 것과 같습니다.

실시예 3

$(8x)^3-y^3$ 제품으로 표시

이 표현식은 다음과 같이 다시 작성할 수 있습니다.

\[(8x)^3-y^3=((2x))^3-y^3\]

제곱의 차이 공식을 사용하면 다음을 얻습니다.

\[((2x))^3-y^3=\left(2x-y\right)(4x^2+2xy+y^2)\]

제곱의 차, 세제곱의 합과 차에 대한 공식을 사용한 문제의 예

실시예 4

그것을 고려해보세요.

가) $((a+5))^2-9$

c) $-x^3+\frac(1)(27)$

해결책:

가) $((a+5))^2-9$

\[(((a+5))^2-9=(a+5))^2-3^2\]

제곱의 차이 공식을 적용하면 다음을 얻습니다.

\[((a+5))^2-3^2=\왼쪽(a+5-3\오른쪽)\왼쪽(a+5+3\오른쪽)=\왼쪽(a+2\오른쪽)(a +8)\]

이 표현식을 다음과 같은 형식으로 작성해 보겠습니다.

큐브의 공식을 적용해 보겠습니다.

c) $-x^3+\frac(1)(27)$

이 표현식을 다음과 같은 형식으로 작성해 보겠습니다.

\[-x^3+\frac(1)(27)=(\left(\frac(1)(3)\right))^3-x^3\]

큐브의 공식을 적용해 보겠습니다.

\[(\left(\frac(1)(3)\right))^3-x^3=\left(\frac(1)(3)-x\right)\left(\frac(1)( 9)+\frac(x)(3)+x^2\right)\]