사면체의 부피에 대한 기본 공식에서

어디 에스모든 얼굴의 영역이며 에이- 높이가 떨어지면 사면체의 다양한 요소로 부피를 표현하는 일련의 공식을 도출할 수 있습니다. 우리는 사면체에 대한 다음 공식을 제시합니다. ABCD.

(2) ,

여기서 ∠ ( 기원 후,알파벳) - 가장자리 사이의 각도 기원 후그리고 얼굴 평면 알파벳;

(3) ,

여기서 ∠ ( 알파벳,ABD) - 면 사이의 각도 알파벳과 ABD;

어디 | AB,CD| - 반대쪽 갈비뼈 사이의 거리 AB과 CD, ∠ (AB,CD)이 모서리 사이의 각도입니다.

공식 (2) - (4)는 직선과 평면 사이의 각도 값을 찾는 데 사용할 수 있습니다. 공식 (4)는 특히 유용하며 교차하는 직선 사이의 거리를 찾을 수 있습니다 AB과 CD.

공식 (2) 및 (3)은 공식과 유사합니다. 에스 = (1/2)ab죄 씨삼각형의 면적. 공식 에스 = rp공식은 비슷합니다

어디 아르 자형사면체의 내접 구의 반지름이고, Σ는 전체 표면 (모든면의 면적의 합)입니다. 사면체의 부피와 반경을 연결하는 아름다운 공식도 있습니다. 아르 자형설명 된 구 ( 크렐의 공식):

여기서 Δ는 삼각형의 면적이며, 그 변은 반대쪽 모서리의 곱과 수치적으로 같습니다( AB× CD, 교류× BD,기원 후× 기원전). 공식 (2)와 삼 각각에 대한 코사인 정리 (구형 삼각법 참조)에서 삼각형에 대한 Heron의 공식과 유사한 공식을 도출 할 수 있습니다.

임의의 삼각형 ABC와이 삼각형의 평면에 있지 않은 점 D를 고려하십시오. 이 점을 삼각형 ABC의 꼭지점과 세그먼트로 연결합시다. 결과적으로 삼각형 ADC, CDB, ABD를 얻습니다. 네 개의 삼각형 ABC, ADC, CDB 및 ABD로 둘러싸인 표면을 사면체라고하며 DABC로 표시합니다.
사면체를 구성하는 삼각형을 면이라고 합니다.
이 삼각형의 변을 사면체의 모서리라고 합니다. 그리고 그들의 봉우리는 사면체의 봉우리입니다

사면체는 4면, 갈비뼈 6 개과 4 개의 정점.
공통 정점이없는 두 모서리를 반대 모서리라고합니다.
종종 편의를 위해 사면체의 면 중 하나를 기초, 나머지 세면은 측면입니다.

따라서 4 면체는면으로 삼각형이 4 개인 가장 단순한 다면체입니다.

그러나 임의의 삼각형 피라미드는 사면체라는 것도 사실입니다. 그렇다면 사면체가 호출되는 것도 사실입니다. 밑면에 삼각형이있는 피라미드.

사면체 높이꼭짓점과 반대쪽 면에 있고 수직인 점을 연결하는 선분이라고 합니다.
중앙 사면체정점을 반대쪽면의 중앙값의 교차점과 연결하는 세그먼트라고합니다.
이중 정사면체사면체의 교차 모서리의 중간 점을 연결하는 세그먼트라고합니다.

사면체는 삼각형 밑면을 가진 피라미드이므로 모든 사면체의 부피는 다음 공식으로 계산할 수 있습니다.

• 에스-모든 얼굴의 영역,
• 에이- 높이가 이 면까지 낮아짐

정사면체는 특정 유형의 사면체입니다.

모든 면이 정삼각형인 사면체를 옳은.
정사면체의 속성:

• 모든 얼굴은 평등합니다.
• 정사면체의 모든 평면 각도는 60 °입니다.
• 각 꼭지점이 세 개의 정삼각형의 꼭지점이므로 각 꼭지점에서 평면 각도의 합은 180 °입니다.
• 정사면체의 모든 정점은 반대쪽면의 직교 (삼각형 높이의 교차점)에 투영됩니다.

모서리가 a와 같은 정사면체 ABCD가 주어집니다. DH는 높이입니다.
추가 구성 BM-삼각형 ABC 및 DM의 높이-삼각형 ACD의 높이를 만들어 봅시다.
높이 BM은 BM과 같고 다음과 같습니다.
삼각형 BDM을 고려하십시오. 여기서 DH는 사면체의 높이이며이 삼각형의 높이이기도합니다.
측면 MB로 내려간 삼각형의 높이는 공식을 사용하여 찾을 수 있습니다.

어디
BM =, DM =, BD = 에이,
p = 1/2(BM + BD + DM) =
이 값을 높이 공식으로 대체하십시오. 우리는 얻는다


1 / 2a를 꺼내십시오. 우리는 얻는다

제곱의 공식 차이를 적용합니다.

작은 변형 후에 우리는


모든 사면체의 부피는 다음 공식으로 계산할 수 있습니다.
,
어디 ,

이 값을 대체하면

따라서 정사면체의 부피 공식은 다음과 같습니다.

어디 ㅏ- 사면체의 가장자리

정점의 좌표를 알고있는 경우 사면체의 부피 계산

정사면체의 꼭짓점 좌표가 주어집니다.

정점에서 벡터를 그립니다.
이러한 각 벡터의 좌표를 찾으려면 끝 좌표에서 해당 시작 좌표를 뺍니다. 우리는 얻는다

정사면체의 경우 가장자리의 모든 2 면체 각도와 꼭지점의 모든 3 면체 각도가 동일합니다.

사면체에는 4 개의면, 4 개의 꼭지점 및 6 개의 가장자리가 있습니다.

정사면체의 기본 공식은 표에 나와 있습니다.

어디:
S-정사면체의 표면적
V-볼륨
h-높이가 바닥까지 낮아짐
r-사면체에 새겨진 원의 반지름
R - 외접원의 반지름
a-리브 길이

실용적인 예

결정.
삼각형 피라미드의 모든 모서리가 동일하므로 규칙적입니다. 정삼각형 피라미드의 표면적은 S = a 2 √3입니다.
그때
S = 3√3

대답: 3√3

작업.
정삼각형 피라미드의 모든 모서리는 4cm입니다.

결정.
일반 삼각형 피라미드에서 피라미드의 높이는 외접원의 중심이기도 한 밑면의 중심으로 투영되므로

AO = R = √3 / 3a
AO = 4√3 / 3

따라서 피라미드 OM의 높이는 다음에서 찾을 수 있습니다. 정삼각형아옴

AO 2 + OM 2 = AM 2
OM 2 = 오전 2 - AO 2
OM 2 = 4 2 - (4√3 / 3) 2
OM 2 = 16-16/3
OM = √ (32/3)
옴 = 4√2 / √3

피라미드의 부피는 공식 V = 1/3 Sh
이 경우 밑면의 면적은 공식 S = √3 / 4 a 2로 구합니다.

V = 1/3 (√3 / 4 * 16) (4√2 / √3)
V = 16√2 / 3

대답: 16√2 / 3cm

사면체의 정의

사면체-면과 밑면이 삼각형인 가장 단순한 다면체.

온라인 계산기

사면체는 4 개의면을 가지고 있으며 각면은 3면으로 구성됩니다. 4 면체에는 각각 3 개의 모서리가있는 4 개의 정점이 있습니다.

이 몸은 여러 유형으로 나뉩니다. 아래는 그들의 분류입니다.

1. 정사면체-그의 모든 얼굴은 같은 삼각형입니다.
2. 직교 사면체- 각 꼭짓점에서 반대쪽 면까지 그린 모든 높이는 길이가 동일합니다.
3. 직사각형 사면체-한 꼭지점에서 나오는 가장자리는 서로 90도 각도를 이룹니다.
4. 와이어 프레임;
5. 어울리게 하다;
6. 인센트릭.

사면체 부피 공식

주어진 신체의 부피는 여러 가지 방법으로 찾을 수 있습니다. 더 자세히 분석해 봅시다.

벡터의 혼합 곱

4 면체가 좌표가있는 세 개의 벡터에 구축 된 경우 :

A ⃗ = (a x, a y, a z) \ vec (a) = (a_x, a_y, a_z)ㅏ= (ㅏ 엑스​ , ㅏ 와이​ , ㅏ 지​ )
b ⃗ = (b x, b y, b z) \ vec (b) = (b_x, b_y, b_z)비= (비 엑스​ , 비 와이​ , 비 지​ )
c ⃗ = (c x, c y, c z) \ vec (c) = (c_x, c_y, c_z)씨= (씨 엑스​ , 씨 와이​ , 씨 지​ ) ,

그러면이 사면체의 부피는 이러한 벡터의 혼합 된 곱입니다.

V = 1 6 ⋅ ∣ axayazbxbybzcxcycz ∣ V = \ frac (1) (6) \ cdot \ begin (vmatrix) a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \\ \ end (vmatrix) )V =6 1 ​ ⋅ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ ㅏ 엑스​ 비 엑스​ 씨 엑스​ ​ ㅏ 와이​ 비 와이​ 씨 와이​ ​ ㅏ 지​ 비 지​ 씨 지​ ​ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​

팔면체의 네 꼭짓점의 좌표는 알려져 있습니다. A (1, 4, 9) A (1,4,9) A (1, 4, 9), B (8, 7, 3) B (8,7,3) B (8, 7, 3), 기음 (1, 2, 3) 기음 (1,2,3) C (1, 2, 3), D (7, 12, 1) D (7,12,1) 디 (7, 1 2, 1)... 볼륨을 찾으십시오.

결정

A (1, 4, 9) A (1,4,9) A (1, 4, 9)
B (8, 7, 3) B (8,7,3) B (8, 7, 3)
기음 (1, 2, 3) 기음 (1,2,3) C (1, 2, 3)
D (7, 12, 1) D (7,12,1) 디 (7, 1 2, 1)

첫 번째 단계는이 몸체가 만들어지는 벡터의 좌표를 결정하는 것입니다.
이렇게하려면 두 점의 해당 좌표를 빼서 벡터의 각 좌표를 찾아야합니다. 예를 들어, 벡터의 좌표 A B → \ 오른쪽 화살표(AB) A B, 즉, 점에서 향하는 벡터 에이 ㅏ요점까지 B B 비, 이들은 점의 해당 좌표의 차이입니다 B B 비과 에이 ㅏ:

AB → = (8-1, 7-4, 3-9) = (7, 3,-6) \ overrightarrow (AB) = (8-1, 7-4, 3-9) = (7, 3, -6)A B= (8 − 1 , 7 − 4 , 3 − 9 ) = (7 , 3 , − 6 )

AC → = (1-1, 2-4, 3-9) = (0,-2,-6) \ overrightarrow (AC) = (1-1, 2-4, 3-9) = (0,- 2, -6)A C= (1 − 1 , 2 − 4 , 3 − 9 ) = (0 , − 2 , − 6 )
AD → = (7-1, 12-4, 1-9) = (6, 8,-8) \ overrightarrow (AD) = (7-1, 12-4, 1-9) = (6, 8, -여덟)기원 후= (7 − 1 , 1 2 − 4 , 1 − 9 ) = (6 , 8 , − 8 )

이제 우리는이 벡터들의 혼합 된 곱을 찾을 것입니다.이를 위해 우리는 3 차 행렬식을 구성 할 것입니다. A B → = a ⃗ \ overrightarrow (AB) = \ vec (a)A B= ㅏ, A C → = b ⃗ \ overrightarrow (AC) = \ vec (b)A C= 비, A D → = c ⃗ \ overrightarrow (AD) = \ vec (c)기원 후= 씨.

∣ axayazbxbybzcxcycz ∣ = ∣ 7 3-6 0-2-6 6 8-8 ∣ = 7 ⋅ (-2) ⋅ (-8) + 3 ⋅ (-6) ⋅ 6 + (-6) ⋅ 0 ⋅ 8- (-6) ⋅ (-2) ⋅ 6-7 ⋅ (-6) ⋅ 8-3 ⋅ 0 ⋅ (-8) = 112-108-0-72 + 336 + 0 = 268 \ begin (vmatrix) a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \\ \ end (vmatrix) = \ begin (vmatrix) 7 & 3 & -6 \\ 0 & -2 & -6 \\ 6 & 8 & -8 \\ \ 끝 (vmatrix) = 7 \ cdot (-2) \ cdot (-8) + 3 \ cdot (-6) \ cdot6 + (-6) \ cdot0 \ cdot8-(-6) \ cdot (-2) \ cdot6 - 7 \ cdot (-6) \ cdot8 - 3 \ cdot0 \ cdot (-8) = 112 - 108 - 0 - 72 + 336 + 0 = 268∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ ㅏ 엑스​ 비 엑스​ 씨엑스​ ​ ㅏ와이​ 비와이​ 씨와이​ ​ ㅏ지​ 비지​ 씨지​ ​ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ 7 0 6 ​ 3 − 2 8 ​ − 6 − 6 − 8 ​ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ = 7 ⋅ (− 2 ) ⋅ (− 8 ) + 3 ⋅ (− 6 ) ⋅ 6 + (− 6 ) ⋅ 0 ⋅ 8 − (− 6 ) ⋅ (− 2 ) ⋅ 6 − 7 ⋅ (− 6 ) ⋅ 8 − 3 ⋅ 0 ⋅ (− 8 ) = 1 1 2 − 1 0 8 − 0 − 7 2 + 3 3 6 + 0 = 2 6 8

즉, 사면체의 부피는 다음과 같습니다.

$V=61\cdot |$

대답

$44.8\text{센티미터3 .}$

옆면의 등각 사면체 부피 공식

이 공식은 정사면체, 즉 모든 면이 동일한 정삼각형인 사면체의 부피를 계산하는 경우에만 유효합니다.

$V=12\sqrt{2\cdot {ㅏ}^3}$

a aㅏ 4 면체 가장자리의 길이입니다.

다음과 같은면이 주어지면 사면체의 부피를 결정하십시오. $11\text{센티미터.}$

결정

$ㅏ=11$

대용품 a aㅏ사면체의 부피에 대한 공식으로 :

$V=12\sqrt{2\cdot {ㅏ}^{3=12\sqrt{2\cdot 11^{3\approx 156.8\text{센티미터3}}}}}$

대답

$156.8\text{센티미터3 .}$