MATEMĀTISKAIS MODELIS - konkrētās zinātnes atziņās pētītas parādības vai procesa attēlojums matemātisko jēdzienu valodā. Šajā gadījumā, pētot modeļa faktiskos matemātiskos raksturlielumus, ir paredzēts iegūt vairākas pētāmās parādības īpašības. Būvniecība M.m. to visbiežāk nosaka nepieciešamība pēc pētāmo parādību un procesu kvantitatīvās analīzes, bez kuras savukārt nav iespējams veikt eksperimentāli pārbaudāmas prognozes par to norisi.

Matemātiskās modelēšanas process, kā likums, iet cauri šādiem posmiem. Pirmajā posmā tiek identificēti savienojumi starp galvenajiem nākotnes M.m. Mēs galvenokārt runājam par pētāmo parādību kvalitatīvu analīzi un modeļu formulēšanu, kas savieno galvenos pētījuma objektus. Pamatojoties uz to, tiek identificēti objekti, kurus var aprakstīt kvantitatīvi. Posms noslēdzas ar hipotētiskā modeļa konstruēšanu, citiem vārdiem sakot, matemātisko jēdzienu valodā fiksējot kvalitatīvas idejas par attiecībām starp galvenajiem modeļa objektiem, kuras var raksturot kvantitatīvi.

Otrajā posmā tiek pētītas aktuālās matemātiskās problēmas, pie kurām noved konstruētais hipotētiskais modelis. Galvenais šajā posmā ir modeļa matemātiskās analīzes rezultātā iegūt empīriski pārbaudāmas teorētiskās sekas (tiešās problēmas risinājums). Tajā pašā laikā nereti ir gadījumi, kad, lai konstruētu un pētītu M.m. dažādās konkrētu zinātnisko zināšanu jomās tiek izmantots viens un tas pats matemātiskais aparāts (piemēram, diferenciālvienādojumi) un rodas viena veida matemātiskas problēmas, kaut arī katrā konkrētajā gadījumā ļoti netriviālas. Turklāt šajā posmā liela nozīme kļūst ātrgaitas datoru (datoru) izmantošanai, kas ļauj iegūt aptuvenus risinājumus problēmām, kas bieži vien nav iespējamas tīras matemātikas ietvaros, ar tādu precizitātes pakāpi, kas iepriekš nebija pieejama ( neizmantojot datoru).

Trešo posmu raksturo aktivitātes, lai noteiktu konstruētā hipotētiskā M.M. atbilstības pakāpi. tās parādības un procesi, kurus bija paredzēts pētīt. Proti, ja ir precizēti visi modeļa parametri, pētnieki cenšas noskaidrot, cik lielā mērā novērojumu precizitātes robežās to rezultāti saskan ar modeļa teorētiskajām sekām. Novirzes, kas pārsniedz novērojumu precizitātes robežas, liecina par modeļa neatbilstību. Taču nereti ir gadījumi, kad, veidojot modeli, saglabājas virkne tā parametru

nenoteikts. Problēmas, kurās modeļa parametriskie raksturlielumi ir noteikti tā, ka teorētiskās sekas novērojumu precizitātes robežās ir salīdzināmas ar empīrisko testu rezultātiem, sauc par apgrieztām problēmām.

Ceturtajā posmā, ņemot vērā konstruētā hipotētiskā modeļa atbilstības pakāpes noteikšanu un jaunu eksperimentālo datu rašanos par pētāmajām parādībām, notiek turpmāka modeļa analīze un modifikācijas. Šeit pieņemtais lēmums atšķiras no beznosacījuma pielietoto matemātisko rīku noraidīšanas līdz konstruētā modeļa pieņemšanai kā fundamentāli jaunas zinātniskas teorijas veidošanai.

Vispirms M.m. parādījās senajā zinātnē. Tā, lai modelētu Saules sistēmu, grieķu matemātiķis un astronoms Eudokss katrai planētai piešķīra četras sfēras, kuru kustību kombinācija radīja nīlzirgu – matemātisko līkni, kas līdzīga novērotajai planētas kustībai. Tā kā šis modelis tomēr nevarēja izskaidrot visas novērotās planētu kustības anomālijas, vēlāk tas tika aizstāts ar Pergas Apollonija epiciklisko modeli. Pēdējo modeli savos pētījumos izmantoja Hiparhs, bet pēc tam, to pārveidojis, Ptolemajs. Šis modelis, tāpat kā tā priekšgājēji, tika balstīts uz pārliecību, ka planētas veic vienmērīgas apļveida kustības, kuru pārklāšanās izskaidro acīmredzamos nelīdzenumus. Jāpiebilst, ka Kopernika modelis bija fundamentāli jauns tikai kvalitatīvā nozīmē (bet ne kā M.M.). Un tikai Keplers, pamatojoties uz Tycho Brahe novērojumiem, uzbūvēja jaunu M.M. Saules sistēma, kas pierāda, ka planētas pārvietojas nevis riņķveida, bet elipsveida orbītā.

Šobrīd par vispiemērotākajiem tiek uzskatīti tie, kas būvēti mehānisko un fizikālo parādību aprakstīšanai. Par atbilstību M.m. ārpus fizikas, ar dažiem izņēmumiem, var runāt diezgan piesardzīgi. Tomēr, fiksējot M.m. hipotētisko raksturu un bieži vien vienkārši neatbilstību. dažādās zināšanu jomās nedrīkst nenovērtēt to lomu zinātnes attīstībā. Nereti ir gadījumi, kad pat modeļi, kas ne tuvu nav adekvāti, ir būtiski organizējuši un rosinājuši tālāku izpēti, līdztekus kļūdainiem secinājumiem, kas saturēja arī patiesības graudus, kas pilnībā attaisnoja šo modeļu izstrādei veltītās pūles.

Literatūra:

Matemātiskā modelēšana. M., 1979;

Ruzavins G.I. Zinātnisko zināšanu matematizācija. M., 1984;

Tutubalins V.N., Barabaševa Ju.M., Grigorjans A.A., Devjatkova G.N., Ugers E.G. Diferenciālvienādojumi ekoloģijā: vēsturiskās un metodoloģiskās refleksijas // Dabaszinātņu un tehnoloģiju vēstures jautājumi. 1997. Nr.3.

Filozofisko terminu vārdnīca. Zinātniskais izdevums profesora V.G. Kuzņecova. M., INFRA-M, 2007, 1. lpp. 310-311.

Četri septīto klašu skolēni.

7A ir 15 meitenes un 13 zēni,

7B klasē - 12 meitenes un 12 zēni,

7B klasē - 9 meitenes un 18 zēni,

7G klasē - 20 meitenes un 10 zēni.

Ja jāatbild uz jautājumu, cik skolēnu ir katrā no septītajām klasēm, tad viena un tā pati saskaitīšanas darbība būs jāveic 4 reizes:

7A 15 + 13 = 28 skolēni;
7B 12 +12 = 24 skolēni;
7.B klasē 9 + 18 = 27 skolēni;
7G 20 + 10 = 30 skolēni.

A. V. Pogorelovs, Ģeometrija 7.-11.klasei, Mācību grāmata izglītības iestādēm

Matemātiskie modeļi

Matemātiskais modelis - aptuvens opimodelēšanas objekta nozīme, izteikta izmantojotmatemātiskā simbolika.

Matemātiskie modeļi parādījās kopā ar matemātiku pirms daudziem gadsimtiem. Datoru parādīšanās deva milzīgu impulsu matemātiskās modelēšanas attīstībai. Datoru izmantošana ir ļāvusi analizēt un praksē pielietot daudzus matemātiskos modeļus, kas iepriekš nebija piemēroti analītiskai izpētei. Matemātiski realizēts datorādebesu modelis sauca datora matemātiskais modelis, A mērķtiecīgu aprēķinu veikšana, izmantojot datormodeli sauca skaitļošanas eksperiments.

Datormatemātikas zinātnes posminodaļa ir parādīti attēlā. Pirmkārtposms - modelēšanas mērķu noteikšana.Šie mērķi var būt dažādi:

1. modelis ir nepieciešams, lai saprastu, kā konkrēts objekts darbojas, kāda ir tā uzbūve, pamatīpašības, attīstības un mijiedarbības likumus
   ar ārpasauli (sapratne);
2. modelis ir nepieciešams, lai iemācītos pārvaldīt objektu (vai procesu) un noteikt vislabākās vadības metodes dotajiem mērķiem un kritērijiem (vadība);
3. modelis ir nepieciešams, lai prognozētu doto metožu un ietekmes formu ieviešanas tiešās un netiešās sekas uz objektu (prognozēšana).

Piemērs no pavisam cita apgabala: divu sugu īpatņu populācijas, kas mierīgi līdzās pastāvēja ar stabilu skaitu un kurām bija kopīgas barības rezerves, “pēkšņi” sāk krasi mainīt savu skaitu. Un šeit matemātiskā modelēšana ļauj (ar zināmu ticamības pakāpi) noteikt cēloni (vai vismaz atspēkot noteiktu hipotēzi).

Objekta pārvaldības koncepcijas izstrāde ir vēl viens iespējamais modelēšanas mērķis. Kuru lidmašīnas lidojuma režīmu izvēlēties, lai lidojums būtu drošs un ekonomiski izdevīgāks? Kā ieplānot simtiem darbu veidu liela objekta celtniecībā, lai tā tiktu pabeigta pēc iespējas īsākā laikā? Daudzas šādas problēmas sistemātiski rodas ekonomistiem, dizaineriem un zinātniekiem.

Visbeidzot, noteiktas ietekmes uz objektu seku prognozēšana var būt gan salīdzinoši vienkārša vienkāršās fiziskās sistēmās, gan ārkārtīgi sarežģīta - uz iespējamības robežas - bioloģiskajās, ekonomiskajās un sociālajās sistēmās. Lai gan uz jautājumu par siltuma sadales veida izmaiņām plānā stieņā ir samērā viegli atbildēt, mainoties tā sastāva sakausējumam, ir nesalīdzināmi grūtāk izsekot (paredzēt) lielas stieņa konstrukcijas sekas uz vidi un klimatu. hidroelektrostaciju vai nodokļu likumdošanas izmaiņu sociālās sekas. Iespējams, arī šeit turpmāk būtiskāku palīdzību sniegs matemātiskās modelēšanas metodes.

Otrais posms: modeļa ieejas un izejas parametru noteikšana; ievades parametru iedalījums pēc to izmaiņu ietekmes uz produkciju svarīguma pakāpes. Šo procesu sauc par ranžēšanu vai atdalīšanu pēc ranga (sk. "Formalizācijamodelis un modelēšana").

Trešais posms: matemātiskā modeļa konstruēšana. Šajā posmā notiek pāreja no abstrakta modeļa formulējuma uz formulējumu, kam ir īpašs matemātisks attēlojums. Matemātiskais modelis ir vienādojumi, vienādojumu sistēmas, nevienādību sistēmas, diferenciālvienādojumi vai šādu vienādojumu sistēmas utt.

Ceturtais posms: matemātiskā modeļa izpētes metodes izvēle. Visbiežāk šeit tiek izmantotas skaitliskās metodes, kas labi noder programmēšanai. Parasti vienas un tās pašas problēmas risināšanai ir piemērotas vairākas metodes, kas atšķiras pēc precizitātes, stabilitātes utt. Visa modelēšanas procesa panākumi bieži vien ir atkarīgi no pareizas metodes izvēles.

Piektais posms: algoritma izstrāde, datorprogrammas kompilēšana un atkļūdošana ir grūti formalizējams process. Starp programmēšanas valodām daudzi profesionāļi dod priekšroku FORTRAN matemātiskajai modelēšanai: gan tradīciju dēļ, gan kompilatoru nepārspējamās efektivitātes (aprēķinu darbam), kā arī milzīgu, rūpīgi atkļūdotu un optimizētu standarta programmu bibliotēku pieejamības dēļ tajā ierakstītajām matemātiskajām metodēm. . Tiek izmantotas arī tādas valodas kā PASCAL, BASIC, C atkarībā no uzdevuma rakstura un programmētāja tieksmēm.

Sestais posms: programmas testēšana. Programmas darbība tiek pārbaudīta uz testa uzdevuma ar iepriekš zināmu atbildi. Tas ir tikai sākums testēšanas procedūrai, kuru ir grūti aprakstīt formāli visaptverošā veidā. Parasti testēšana beidzas, kad lietotājs, pamatojoties uz savām profesionālajām īpašībām, uzskata programmu par pareizu.

Septītais posms: faktiskais skaitļošanas eksperiments, kura laikā tiek noteikts, vai modelis atbilst reālam objektam (procesam). Modelis ir pietiekami adekvāts reālajam procesam, ja daži datorā iegūtie procesa raksturlielumi ar noteiktu precizitātes pakāpi sakrīt ar eksperimentāli iegūtajiem raksturlielumiem. Ja modelis neatbilst reālajam procesam, mēs atgriežamies pie kāda no iepriekšējiem posmiem.

Matemātisko modeļu klasifikācija

Matemātisko modeļu klasifikācija var būt balstīta uz dažādiem principiem. Jūs varat klasificēt modeļus pēc zinātnes nozarēm (matemātiskie modeļi fizikā, bioloģijā, socioloģijā utt.). Var klasificēt pēc izmantotā matemātiskā aparāta (modeļi, kuru pamatā ir parasto diferenciālvienādojumu izmantošana, daļējie diferenciālvienādojumi, stohastiskās metodes, diskrētās algebriskās transformācijas utt.). Visbeidzot, ja mēs izejam no vispārējām modelēšanas problēmām dažādās zinātnēs, neatkarīgi no matemātiskā aparāta, visdabiskākā ir šāda klasifikācija:

• aprakstošie (aprakstošie) modeļi;
• optimizācijas modeļi;
• daudzkritēriju modeļi;
• spēļu modeļi.

Paskaidrosim to ar piemēriem.

Aprakstošie (aprakstošie) modeļi. Piemēram, Saules sistēmā iebrukušās komētas kustības modelēšana tiek veikta, lai prognozētu tās lidojuma trajektoriju, attālumu, kādā tā nokļūs no Zemes utt. Šajā gadījumā modelēšanas mērķiem ir aprakstošs raksturs, jo nav iespējams ietekmēt komētas kustību vai tajā kaut ko mainīt.

Optimizācijas modeļi tiek izmantoti, lai aprakstītu procesus, kurus var ietekmēt, mēģinot sasniegt noteiktu mērķi. Šajā gadījumā modelī ir iekļauts viens vai vairāki parametri, kurus var ietekmēt. Piemēram, mainot termisko režīmu klētī, var izvirzīt mērķi izvēlēties režīmu, kas sasniegs maksimālu graudu drošību, t.i. optimizēt uzglabāšanas procesu.

Daudzkritēriju modeļi. Bieži vien ir nepieciešams optimizēt procesu pēc vairākiem parametriem vienlaikus, un mērķi var būt diezgan pretrunīgi. Piemēram, zinot pārtikas cenas un cilvēka vajadzību pēc pārtikas, nepieciešams fizioloģiski pareizi un tajā pašā laikā tik lēti organizēt uzturu lielām cilvēku grupām (armijā, bērnu vasaras nometnē u.c.). iespējams. Skaidrs, ka šie mērķi nemaz nesakrīt, t.i. Modelējot tiks izmantoti vairāki kritēriji, starp kuriem jāmeklē līdzsvars.

Spēļu modeļi var attiekties ne tikai uz datorspēlēm, bet arī uz ļoti nopietnām lietām. Piemēram, pirms kaujas komandierim, ja ir nepilnīga informācija par pretinieku armiju, ir jāizstrādā plāns: kādā secībā ievest kaujā noteiktas vienības utt., ņemot vērā iespējamo ienaidnieka reakciju. Ir īpaša mūsdienu matemātikas nozare - spēļu teorija -, kas pēta lēmumu pieņemšanas metodes nepilnīgas informācijas apstākļos.

Skolas informātikas kursā skolēni pamatkursa ietvaros iegūst sākotnējo izpratni par datormatemātisko modelēšanu. Vidusskolā matemātisko modelēšanu padziļināti var apgūt vispārizglītojošā kursā fizikas un matemātikas stundām, kā arī specializētā izvēles kursa ietvaros.

Galvenās datormatemātiskās modelēšanas mācīšanas formas vidusskolā ir lekcijas, laboratorijas un pārbaudes nodarbības. Parasti katra jauna modeļa izveides un sagatavošanas darbs aizņem 3-4 nodarbības. Materiāla prezentācijas laikā tiek izvirzītas problēmas, kuras studentiem turpmāk jārisina patstāvīgi, un vispārīgi ieskicēti to risināšanas veidi. Tiek formulēti jautājumi, uz kuriem atbildes jāiegūst, pildot uzdevumus. Norādīta papildu literatūra, kas ļauj iegūt palīginformāciju veiksmīgākai uzdevumu veikšanai.

Nodarbību organizēšanas forma, apgūstot jaunu materiālu, parasti ir lekcija. Pēc nākamā modeļa apspriešanas pabeigšanas studenti viņu rīcībā ir nepieciešamā teorētiskā informācija un uzdevumu kopums turpmākajam darbam. Gatavojoties uzdevuma veikšanai, skolēni izvēlas piemērotu risinājuma metodi un testē izstrādāto programmu, izmantojot kādu labi zināmu privāto risinājumu. Pilnīgu grūtību gadījumā, pildot uzdevumus, tiek sniegta konsultācija un tiek piedāvāts šīs sadaļas sīkāk izpētīt literārajos avotos.

Datormodelēšanas mācīšanas praktiskajai daļai piemērotākā ir projektu metode. Uzdevums tiek formulēts skolēnam izglītojoša projekta veidā un tiek veikts vairāku mācību stundu garumā, galvenā organizatoriskā forma ir datorlaboratorijas darbs. Mācību modelēšana, izmantojot izglītības projektu metodi, var tikt īstenota dažādos līmeņos. Pirmā ir problemātiska projekta pabeigšanas procesa prezentācija, ko vada skolotājs. Otrais ir projekta īstenošana, ko veic skolēni skolotāja vadībā. Trešais ir paredzēts studentiem patstāvīgi pabeigt izglītības pētniecības projektu.

Darba rezultāti jāatspoguļo skaitliskā veidā, grafiku un diagrammu veidā. Ja iespējams, process tiek parādīts datora ekrānā dinamikā. Pēc aprēķinu pabeigšanas un rezultātu saņemšanas tie tiek analizēti, salīdzināti ar teorijā zināmajiem faktiem, tiek apstiprināta ticamība un veikta jēgpilna interpretācija, kas pēc tam tiek atspoguļota rakstiskā ziņojumā.

Ja rezultāti apmierina skolēnu un skolotāju, tad darbs skaitās pabeigts, un tā pēdējais posms ir ziņojuma sagatavošana. Pārskatā iekļauta īsa teorētiskā informācija par pētāmo tēmu, problēmas matemātiskais formulējums, risinājuma algoritms un tā pamatojums, datorprogramma, programmas rezultāti, rezultātu analīze un secinājumi, literatūras saraksts.

Kad visi ziņojumi ir sastādīti, pārbaudes stundā skolēni sniedz īsus ziņojumus par paveikto un aizstāv savu projektu. Šī ir efektīva grupas, kas veic projektu, ziņojuma forma klasei, kas ietver problēmas uzstādīšanu, formāla modeļa izveidi, metožu izvēli darbam ar modeli, modeļa ieviešanu datorā, darbu ar gatavo modeli, interpretāciju. rezultātus un prognozēšanu. Rezultātā skolēni var saņemt divas atzīmes: pirmo - par projekta izstrādi un tā aizstāvēšanas panākumiem, otro - par programmu, tās algoritma, interfeisa optimiskumu utt. Atzīmes skolēni saņem arī teorijas viktorīnās.

Būtisks jautājums ir: kādus rīkus vajadzētu izmantot matemātiskajai modelēšanai skolas informātikas kursā? Modeļu datorizētu ieviešanu var veikt:

• izmantojot izklājlapu procesoru (parasti MS Excel);
• veidojot programmas tradicionālajās programmēšanas valodās (Pascal, BASIC u.c.), kā arī to modernajās versijās (Delphi, Visual
  Basic for Application utt.);
• izmantojot speciālas aplikāciju pakotnes matemātisko uzdevumu risināšanai (MathCAD u.c.).

Pamatskolas līmenī pirmā metode šķiet labāka. Taču vidusskolā, kad programmēšana līdztekus modelēšanai ir galvenā datorzinātņu tēma, to vēlams izmantot kā modelēšanas rīku. Programmēšanas procesā studentiem kļūst pieejamas matemātiskās procedūras detaļas; Turklāt viņi vienkārši ir spiesti tos apgūt, un tas arī veicina matemātisko izglītību. Kas attiecas uz īpašu programmatūras pakotņu izmantošanu, tas ir piemērots specializētā datorzinātņu kursā kā papildinājums citiem rīkiem.

Vingrinājums :

• Izveidojiet galveno jēdzienu diagrammu.

Piemērs 1.5.1.

Ļaujiet noteiktam ekonomiskajam reģionam ražot vairāku (n) veidu produktus tikai viens pats un tikai šī reģiona iedzīvotājiem. Tiek pieņemts, ka tehnoloģiskais process ir izstrādāts, un ir izpētīts iedzīvotāju pieprasījums pēc šīm precēm. Ir nepieciešams noteikt gada produkcijas izlaides apjomu, ņemot vērā to, ka šim apjomam ir jānodrošina gan gala, gan rūpnieciskais patēriņš.

Izveidosim šīs problēmas matemātisko modeli. Atbilstoši tās nosacījumiem tiek doti: produktu veidi, pieprasījums pēc tiem un tehnoloģiskais process; jums jāatrod katra produkta veida izlaides apjoms.

Apzīmēsim zināmos daudzumus:

c i– iedzīvotāju pieprasījums pēc i produkts ( i=1,...,n); a ij- daudzums i-tais produkts, kas nepieciešams, lai ražotu j-tā produkta vienību, izmantojot noteiktu tehnoloģiju ( i=1,...,n ; j=1,...,n);

X i - izvades apjoms i-tais produkts ( i=1,...,n); kopums Ar =(c 1 ,..., c n ) sauc par pieprasījuma vektoru, skaitļiem a ij– tehnoloģiskie koeficienti un kopums X =(X 1 ,..., X n ) – atbrīvošanās vektors.

Atbilstoši problēmas nosacījumiem vektors X sadalīts divās daļās: gala patēriņam (vektors Ar ) un reprodukcijai (vektors x-s ). Aprēķināsim šo vektora daļu X kas nonāk reprodukcijā. Saskaņā ar mūsu ražošanas apzīmējumiem X j j-tā produkta daudzums iet a ij · X j daudzumus i-tais produkts.

Tad summa a i1 · X 1 +...+ a iekšā · X n parāda šo vērtību i-th produkts, kas nepieciešams visam izlaidumam X =(X 1 ,..., X n ).

Tāpēc vienlīdzība ir jāizpilda:

Attiecinot šo argumentāciju uz visu veidu produktiem, mēs nonākam pie vēlamā modeļa:

Atrisinot šo n lineāro vienādojumu sistēmu priekš X 1 ,...,X n un atrodiet vajadzīgo atbrīvošanas vektoru.

Lai uzrakstītu šo modeli kompaktākā (vektora) formā, mēs ieviešam šādu apzīmējumu:

Kvadrāts (
) -matrica A sauc par tehnoloģiju matricu. Ir viegli pārbaudīt, vai mūsu modelis tagad tiks rakstīts šādi: x-s = Ak vai

(1.6)

Mēs saņēmām klasisko modeli " Ieejas izejas ", kuras autors ir slavenais amerikāņu ekonomists V. Ļeontjevs.

Piemērs 1.5.2.

Naftas pārstrādes rūpnīcā ir divas eļļas kategorijas: marka A 10 vienību apmērā, pakāpe IN- 15 vienības. Rafinējot eļļu, tiek iegūti divi materiāli: benzīns (mēs apzīmējam B) un mazutu ( M). Apstrādes tehnoloģijas procesam ir trīs iespējas:

es: 1 vienība A+ 2 vienības IN dod 3 vienības. B+ 2 vienības M

II: 2 vienības. A+ 1 vienība IN dod 1 vienību. B+ 5 vienības M

III: 2 vienības A+ 2 vienības IN dod 1 vienību. B+ 2 vienības M

Benzīna cena ir 10 USD par vienību, mazuta - 1 USD par vienību.

Nepieciešams noteikt izdevīgāko tehnoloģisko procesu kombināciju pieejamā eļļas daudzuma pārstrādei.

Pirms modelēšanas noskaidrosim šādus punktus. No problēmas apstākļiem izriet, ka tehnoloģiskā procesa “rentabilitāte” rūpnīcai ir jāsaprot tādā nozīmē, ka tiek gūti maksimāli ienākumi no gatavās produkcijas (benzīna un mazuta) pārdošanas. Šajā sakarā ir skaidrs, ka rūpnīcas “izvēles (pieņemšanas) lēmums” sastāv no tā, kādu tehnoloģiju piemērot un cik reizes. Acīmredzot šādu iespēju ir diezgan daudz.

Apzīmēsim nezināmos daudzumus:

X i– lietošanas apjoms i tehnoloģiskais process (i=1,2,3). Citi modeļa parametri (naftas rezerves, benzīna un mazuta cenas) zināms.

Tagad viens konkrēts auga lēmums ir atkarīgs no viena vektora izvēles X =(x 1 ,X 2 ,X 3 ) , par kuru rūpnīcas ieņēmumi ir vienādi (32x 1 +15x 2 +12x 3 ) dolāri Šeit 32 dolāri ir ienākumi, kas iegūti no viena pirmā tehnoloģiskā procesa pielietojuma (10 USD 3 vienības. B+ 1 dolārs ·2 vienības. M= 32 USD). Koeficientiem 15 un 12 attiecīgi otrajam un trešajam tehnoloģiskajam procesam ir līdzīga nozīme. Naftas rezervju uzskaite rada šādus nosacījumus:

dažādībai A:

dažādībai IN:,

kur pirmajā nevienlīdzības koeficientos 1, 2, 2 ir A klases eļļas patēriņa rādītāji tehnoloģisko procesu vienreizējai izmantošanai es,II,III attiecīgi. Otrās nevienādības koeficientiem ir līdzīga nozīme B kategorijas eļļai.

Matemātiskajam modelim kopumā ir šāda forma:

Atrodiet šādu vektoru x = (x 1 ,X 2 ,X 3 ) lai maksimāli palielinātu

f(x) = 32x 1 +15x 2 +12x 3

ievērojot šādus nosacījumus:

Šī ieraksta saīsinātā forma ir šāda:

saskaņā ar ierobežojumiem

(1.7)

Mēs saņēmām tā saukto lineārās programmēšanas problēmu.

Modelis (1.7.) ir deterministiska tipa (ar labi definētiem elementiem) optimizācijas modeļa piemērs.

Piemērs 1.5.3.

Investoram ir nepieciešams noteikt labāko akciju, obligāciju un citu vērtspapīru kombināciju, ko iegādāties par noteiktu summu, lai iegūtu noteiktu peļņu ar minimālu risku sev. Peļņa uz vienu vērtspapīrā ieguldīto dolāru j- veids, ko raksturo divi rādītāji: paredzamā peļņa un faktiskā peļņa. Investoram ir vēlams, lai sagaidāmā peļņa uz vienu ieguldījumu dolāru nebūtu zemāka par doto vērtību visam vērtspapīru komplektam b.

Ņemiet vērā, ka, lai pareizi modelētu šo problēmu, matemātiķim ir nepieciešamas noteiktas pamatzināšanas vērtspapīru portfeļa teorijas jomā.

Apzīmēsim zināmos problēmas parametrus:

n– vērtspapīru veidu skaits; A j– faktiskā peļņa (gadījuma skaitlis) no j-tā veida vērtspapīra; – paredzamā peļņa no j- drošības veids.

Apzīmēsim nezināmos lielumus :

y j - līdzekļi, kas piešķirti šāda veida vērtspapīru iegādei j.

Izmantojot mūsu apzīmējumu, visa ieguldītā summa tiek izteikta kā . Lai vienkāršotu modeli, mēs ieviešam jaunus daudzumus

.

Tādējādi X i- tā ir daļa no visiem līdzekļiem, kas piešķirti šāda veida vērtspapīru iegādei j.

Tas ir skaidrs

No problēmas apstākļiem ir skaidrs, ka investora mērķis ir sasniegt noteiktu peļņas līmeni ar minimālu risku. Būtībā risks ir faktiskās peļņas novirzes no sagaidāmās vērtības mērs. Tāpēc to var identificēt ar i un j tipa vērtspapīru peļņas kovariāciju. Šeit M ir matemātiskās cerības apzīmējums.

Sākotnējās problēmas matemātiskajam modelim ir šāda forma:

saskaņā ar ierobežojumiem

,
,
,
. (1.8)

Esam ieguvuši labi zināmo Markowitz modeli vērtspapīru portfeļa struktūras optimizēšanai.

Modelis (1.8.) ir stohastiskā tipa (ar nejaušības elementiem) optimizācijas modeļa piemērs.

Piemērs 1.5.4.

Uz tirdzniecības organizācijas bāzes ir n veidu viens no minimālā sortimenta produktiem. Veikalā jāienes tikai viena veida konkrētā prece. Jums ir jāizvēlas produkta veids, kas ir piemērots ienest veikalā. Ja produkta veids j būs pieprasīts, veikals gūs peļņu no tā pārdošanas R j, ja tas nav pieprasīts - zaudējumi q j .

Pirms modelēšanas mēs apspriedīsim dažus pamata punktus. Šajā problēmā lēmumu pieņēmējs (DM) ir veikals. Taču iznākums (maksimālā peļņa) ir atkarīgs ne tikai no viņa lēmuma, bet arī no tā, vai ievestā prece būs pieprasīta, proti, vai to iegādāsies iedzīvotāji (tiek pieņemts, ka veikalā nez kāpēc ir iespēja izpētīt iedzīvotāju pieprasījumu ). Tāpēc iedzīvotāji var tikt uzskatīti par otro lēmumu pieņēmēju, izvēloties preces veidu atbilstoši savām vēlmēm. Sliktākais iedzīvotāju “lēmums” veikalam ir: “importa preces nav pieprasītas”. Tātad, lai ņemtu vērā visas iespējamās situācijas, veikalam ir jāuzskata iedzīvotāji par savu “ienaidnieku” (nosacīti), tiecoties pēc pretēja mērķa – līdz minimumam samazināt veikala peļņu.

Tātad mums ir lēmumu pieņemšanas problēma ar diviem dalībniekiem, kuri tiecas pēc pretēju mērķu. Precizēsim, ka veikals izvēlas vienu no pārdošanā esošajiem preču veidiem (ir n lēmuma varianti), un iedzīvotāji izvēlas vienu no preču veidiem, pēc kura ir vislielākais pieprasījums ( n risinājuma iespējas).

Lai sastādītu matemātisko modeli, uzzīmēsim tabulu ar n līnijas un n kolonnas (kopā n 2 šūnas) un piekrītiet, ka rindas atbilst veikala izvēlei, bet kolonnas - populācijas izvēlei. Tad šūna (i, j) atbilst situācijai, kad veikals izvēlas i produkta veids ( i-th line), un iedzīvotāji izvēlas j produkta veids ( j- kolonna). Katrā šūnā ierakstām atbilstošās situācijas skaitlisku novērtējumu (peļņu vai zaudējumu) no veikala viedokļa:

Skaitļi q i rakstīts ar mīnusu, lai atspoguļotu veikala zaudējumus; katrā situācijā iedzīvotāju “guvums” (nosacīti) ir vienāds ar veikala “guvumu”, ņemts ar pretējo zīmi.

Šī modeļa saīsinātā forma ir:

(1.9)

Mēs saņēmām tā saukto matricas spēli. Modelis (1.9.) ir spēļu lēmumu pieņemšanas modeļu piemērs.

Lai izveidotu matemātisko modeli, jums ir nepieciešams:

1. rūpīgi analizēt reālu objektu vai procesu;
2. izcelt tās nozīmīgākās iezīmes un īpašības;
3. definēt mainīgos, t.i. parametri, kuru vērtības ietekmē galvenās objekta pazīmes un īpašības;
4. aprakstiet objekta, procesa vai sistēmas pamatīpašību atkarību no mainīgo vērtībām, izmantojot loģiski matemātiskas attiecības (vienādojumus, vienādības, nevienādības, loģiski matemātiskas konstrukcijas);
5. izcelt objekta, procesa vai sistēmas iekšējās sakarības, izmantojot ierobežojumus, vienādojumus, vienādības, nevienādības, loģiskās un matemātiskās konstrukcijas;
6. identificēt ārējos savienojumus un aprakstīt tos, izmantojot ierobežojumus, vienādojumus, vienādības, nevienādības, loģiskās un matemātiskās konstrukcijas.

Matemātiskā modelēšana papildus objekta, procesa vai sistēmas izpētei un matemātiskā apraksta sastādīšanai ietver arī:

1. algoritma izveide, kas modelē objekta, procesa vai sistēmas uzvedību;
2. modeļa un objekta, procesa vai sistēmas atbilstības pārbaude, pamatojoties uz skaitļošanas un pilna mēroga eksperimentiem;
3. modeļa pielāgošana;
4. izmantojot modeli.

Pētāmo procesu un sistēmu matemātiskais apraksts ir atkarīgs no:

1. reāla procesa vai sistēmas būtība un ir sastādīta, pamatojoties uz fizikas, ķīmijas, mehānikas, termodinamikas, hidrodinamikas, elektrotehnikas, plastiskuma teorijas, elastības teorijas u.c.
2. reālo procesu un sistēmu izpētes un izpētes nepieciešamo uzticamību un precizitāti.

Matemātiskā modeļa konstruēšana parasti sākas ar aplūkojamā objekta, procesa vai sistēmas vienkāršākā, visrupjākā matemātiskā modeļa konstruēšanu un analīzi. Nākotnē, ja nepieciešams, modelis tiek pilnveidots un tā atbilstība objektam tiek padarīta pilnīgāka.

Ņemsim vienkāršu piemēru. Ir nepieciešams noteikt rakstāmgalda virsmas laukumu. Parasti to dara, izmērot tā garumu un platumu un pēc tam reizinot iegūtos skaitļus. Šī elementārā procedūra faktiski nozīmē sekojošo: reālu objektu (galda virsmu) aizstāj ar abstraktu matemātisko modeli – taisnstūri. Izmēri, kas iegūti, izmērot galda virsmas garumu un platumu, tiek piešķirti taisnstūrim, un šāda taisnstūra laukums tiek aptuveni ņemts par nepieciešamo galda laukumu. Tomēr rakstāmgalda taisnstūra modelis ir visvienkāršākais un neapstrādātākais modelis. Ja izmantojat nopietnāku pieeju problēmai, pirms izmantojat taisnstūra modeli, lai noteiktu tabulas laukumu, šis modelis ir jāpārbauda. Pārbaudes var veikt šādi: izmēra tabulas pretējo malu garumus, kā arī tās diagonāļu garumus un salīdziniet tos savā starpā. Ja ar nepieciešamo precizitātes pakāpi pretējo malu garumi un diagonāļu garumi ir vienādi pa pāriem, tad galda virsmu tiešām var uzskatīt par taisnstūri. Pretējā gadījumā taisnstūra modelis būs jānoraida un jāaizstāj ar vispārēju četrstūra modeli. Pie augstākas precizitātes prasības var būt nepieciešams vēl vairāk pilnveidot modeli, piemēram, lai ņemtu vērā galda stūru noapaļošanu.

Izmantojot šo vienkāršo piemēru, tika parādīts, ka matemātisko modeli nenosaka unikāli objekts, process vai sistēma.

VAI (tiks precizēts rīt)

Matemātikas risināšanas veidi. Modeļi:

1, uz dabas likumiem balstīta modeļa uzbūve (analītiskā metode)

2. Formālais veids, izmantojot statistikas metodes. Apstrādes un mērījumu rezultāti (statistiskā pieeja)

3. Modeļa konstruēšana, pamatojoties uz elementu modeli (sarežģītas sistēmas)

1, Analītisks — lietojiet ar pietiekamu izpēti. Vispārējais modelis ir zināms. Modeļi.

2. eksperiments. Informācijas trūkuma gadījumā.

3. Imitācija m - pēta objekta īpašības. Vispārīgi.

Matemātiskā modeļa konstruēšanas piemērs.

Matemātiskais modelis ir realitātes matemātisks attēlojums.

Matemātiskā modelēšana ir matemātisko modeļu konstruēšanas un izpētes process.

Visas dabas un sociālās zinātnes, kas izmanto matemātiku, būtībā nodarbojas ar matemātisko modelēšanu: tās aizstāj objektu ar tā matemātisko modeli un pēc tam pēta pēdējo. Saikne starp matemātisko modeli un realitāti tiek veikta, izmantojot hipotēžu, idealizāciju un vienkāršojumu ķēdi. Izmantojot matemātiskās metodes, parasti tiek aprakstīts ideāls objekts, kas konstruēts jēgpilnas modelēšanas stadijā.

Kāpēc ir vajadzīgi modeļi?

Ļoti bieži, pētot jebkuru objektu, rodas grūtības. Pats oriģināls dažkārt nav pieejams vai tā lietošana nav ieteicama, vai oriģināla piesaiste ir dārga. Visas šīs problēmas var atrisināt, izmantojot simulāciju. Zināmā nozīmē modelis var aizstāt pētāmo objektu.

Vienkāršākie modeļu piemēri

§ Fotogrāfiju var saukt par cilvēka modeli. Lai atpazītu cilvēku, pietiek redzēt viņa fotogrāfiju.

§ Arhitekts izveidoja jaunas dzīvojamās zonas maketu. Viņš var pārvietot augstceltni no vienas daļas uz otru ar rokas kustību. Patiesībā tas nebūtu iespējams.

Modeļu veidi

Modeļus var iedalīt materiāls" Un ideāls. iepriekš minētie piemēri ir materiālu modeļi. Ideāliem modeļiem bieži ir ikoniskas formas. Reālus jēdzienus aizstāj ar dažām zīmēm, kuras var viegli ierakstīt uz papīra, datora atmiņā utt.

Matemātiskā modelēšana

Matemātiskā modelēšana pieder pie simboliskās modelēšanas klases. Turklāt modeļus var izveidot no jebkuriem matemātiskiem objektiem: skaitļiem, funkcijām, vienādojumiem utt.

Matemātiskā modeļa veidošana

§ Var atzīmēt vairākus matemātiskā modeļa konstruēšanas posmus:

1. Problēmas izpratne, mums svarīgāko īpašību, īpašību, daudzumu un parametru noteikšana.

2. Apzīmējuma ieviešana.

3. Ierobežojumu sistēmas sastādīšana, kam jāatbilst ievadītajām vērtībām.

4. Nosacījumu formulēšana un reģistrēšana, kas jāizpilda vēlamajam optimālajam risinājumam.

Modelēšanas process nebeidzas ar modeļa izveidi, bet tikai sākas ar to. Sastādot modeli, viņi izvēlas metodi atbildes atrašanai un problēmas risināšanai. pēc atbildes atrašanas tā tiek salīdzināta ar realitāti. Un iespējams, ka atbilde nav apmierinoša, tādā gadījumā modelis tiek modificēts vai pat izvēlēts pavisam cits modelis.

Matemātiskā modeļa piemērs

Uzdevums

Ražošanas apvienībai, kurā ietilpst divas mēbeļu rūpnīcas, nepieciešams atjaunināt savu mašīnu parku. Turklāt pirmajā mēbeļu rūpnīcā ir jānomaina trīs mašīnas, bet otrajā - septiņas. Pasūtījumus var veikt divās darbgaldu rūpnīcās. Pirmajā rūpnīcā var ražot ne vairāk kā 6 mašīnas, un otrā rūpnīca pieņems pasūtījumu, ja no tām būs vismaz trīs. Jums ir jānosaka, kā veikt pasūtījumus.