No tetraedra tilpuma pamatformulas

Kur S ir jebkuras sejas laukums un H– ar to pazeminātais augstums, var iegūt veselu virkni formulu, kas izsaka tilpumu caur dažādiem tetraedra elementiem. Iesniegsim šīs tetraedra formulas ABCD.

(2) ,

kur ∠ ( AD,ABC) – leņķis starp malu AD un sejas plakne ABC;

(3) ,

kur ∠ ( ABC,ABD) – leņķis starp sejām ABC Un ABD;

kur | AB,CD| – attālums starp pretējām ribām AB Un CD, ∠ (AB,CD) ir leņķis starp šīm malām.

Formulas (2)–(4) var izmantot, lai atrastu leņķus starp taisnēm un plaknēm; Īpaši noderīga ir formula (4), ar kuras palīdzību var noteikt attālumu starp krustojuma līnijām AB Un CD.

Formulas (2) un (3) ir līdzīgas formulai S = (1/2)ab grēks C par trīsstūra laukumu. Formula S = rp līdzīga formula

Kur r ir tetraedra ierakstītās sfēras rādiuss, Σ ir tā kopējā virsma (visu skaldņu laukumu summa). Ir arī skaista formula, kas savieno tetraedra tilpumu ar rādiusu R tā aprakstītā sfēra ( Crellet formula):

kur Δ ir trijstūra laukums, kura malas ir skaitliski vienādas ar pretējo malu reizinājumiem ( AB× CD, A.C.× BD,AD× B.C.). No formulas (2) un kosinusa teorēmas trīsstūrveida leņķiem (sk. Sfērisko trigonometriju) mēs varam iegūt formulu, kas ir līdzīga Herona formulai trijstūriem.

Apsveriet patvaļīgu trīsstūri ABC un punktu D, kas neatrodas šī trijstūra plaknē. Savienosim šo punktu ar trijstūra ABC virsotnēm, izmantojot segmentus. Rezultātā mēs iegūstam trīsstūrus ADC, CDB, ABD. Virsmu, ko ierobežo četri trīsstūri ABC, ADC, CDB un ABD, sauc par tetraedru un apzīmē DABC.
Trijstūrus, kas veido tetraedru, sauc par tā skaldnēm.
Šo trīsstūru malas sauc par tetraedra malām. Un to virsotnes ir tetraedra virsotnes

Tetraedram ir 4 sejas, 6 ribas Un 4 virsotnes.
Divas malas, kurām nav kopīgas virsotnes, sauc par pretējām.
Bieži vien ērtības labad tiek saukta viena no tetraedra skaldnēm pamats, un pārējās trīs sejas ir sānu malas.

Tādējādi tetraedrs ir vienkāršākais daudzskaldnis, kura skaldnes ir četri trīsstūri.

Taču ir arī taisnība, ka jebkura patvaļīga trīsstūrveida piramīda ir tetraedrs. Tad arī ir taisnība, ka sauc tetraedru piramīda ar trīsstūri tās pamatnē.

Tetraedra augstums sauc par segmentu, kas savieno virsotni ar punktu, kas atrodas pretējā pusē un ir tai perpendikulārs.
Tetraedra mediāna sauc par segmentu, kas savieno virsotni ar pretējās skaldnes mediānu krustpunktu.
Tetraedra bimediāns sauc par segmentu, kas savieno tetraedra krustojošo malu viduspunktus.

Tā kā tetraedrs ir piramīda ar trīsstūra pamatni, jebkura tetraedra tilpumu var aprēķināt, izmantojot formulu

• S- jebkuras sejas laukums,
• H– augstums pazemināts līdz šai sejai

Regulārais tetraedrs - īpašs tetraedra veids

Tetraedru, kura visas skaldnes ir vienādmalu, sauc par trīsstūri. pareizi.
Parasta tetraedra īpašības:

• Visas malas ir vienādas.
• Visi regulāra tetraedra plaknes leņķi ir 60°
• Tā kā katra no tās virsotnēm ir trīs regulāru trīsstūru virsotne, plaknes leņķu summa katrā virsotnē ir 180°
• Jebkura regulāra tetraedra virsotne tiek projicēta pretējās skaldnes ortocentrā (trijstūra augstumu krustpunktā).

Piešķirsim regulāru tetraedru ABCD ar malām, kas vienādas ar a. DH ir tā augstums.
Izgatavosim papildu konstrukcijas BM - trijstūra ABC augstumu un DM - trijstūra ACD augstumu.
BM augstums ir vienāds ar BM un ir vienāds ar
Apsveriet trīsstūri BDM, kur DH, kas ir tetraedra augstums, ir arī šī trijstūra augstums.
Trīsstūra augstumu, kas nokrīt uz malu MB, var atrast, izmantojot formulu

, Kur
BM=, DM=, BD=a,
p=1/2 (BM+BD+DM)=
Aizstāsim šīs vērtības augstuma formulā. Mēs saņemam


Izņemsim 1/2a. Mēs saņemam

Pielietosim kvadrātu starpības formulu

Pēc nelielām pārvērtībām mēs iegūstam


Jebkura tetraedra tilpumu var aprēķināt, izmantojot formulu
,
Kur ,

Aizstājot šīs vērtības, mēs iegūstam

Tādējādi regulāra tetraedra tilpuma formula ir

Kur a-tetraedra mala

Tetraedra tilpuma aprēķins, ja ir zināmas tā virsotņu koordinātas

Dosim mums tetraedra virsotņu koordinātas

No virsotnes izvelkam vektorus , , .
Lai atrastu katra no šiem vektoriem koordinātas, no beigu koordinātas atņemiet atbilstošo sākuma koordinātu. Mēs saņemam

Regulārā tetraedrā visi divskaldņu leņķi malās un visi trīsstūrveida leņķi virsotnēs ir vienādi

Tetraedram ir 4 skaldnes, 4 virsotnes un 6 malas.

Parasta tetraedra pamatformulas ir dotas tabulā.

Kur:
S - regulāra tetraedra virsmas laukums
V - apjoms
h - augstums nolaists līdz pamatnei
r - tetraedrā ierakstītā riņķa rādiuss
R - apkārtmērs
a - malas garums

Praktiski piemēri

Risinājums.
Tā kā trīsstūrveida piramīdas visas malas ir vienādas, tā ir regulāra. Regulāras trīsstūrveida piramīdas virsmas laukums ir S = a 2 √3.
Tad
S = 3√3

Atbilde: 3√3

Uzdevums.
Visas regulāras trīsstūra piramīdas malas ir vienādas ar 4 cm. Atrodiet piramīdas tilpumu

Risinājums.
Tā kā regulārā trīsstūrveida piramīdā piramīdas augstums tiek projicēts uz pamatnes centru, kas vienlaikus ir arī ierobežotā apļa centrs, tad

AO = R = √3 / 3 a
AO = 4√3/3

Tādējādi piramīdas OM augstumu var atrast no taisnleņķa trīsstūris AOM

AO 2 + OM 2 = AM 2
OM 2 = AM 2 — AO 2
OM 2 = 4 2 - (4√3/3) 2
OM 2 = 16 - 16/3
OM = √ (32/3)
OM = 4√2/√3

Mēs atrodam piramīdas tilpumu, izmantojot formulu V = 1/3 Sh
Šajā gadījumā mēs atrodam pamatnes laukumu, izmantojot formulu S = √3/4 a 2

V = 1/3 (√3/4*16) (4√2/√3)
V = 16√2/3

Atbilde: 16√2 / 3 cm

Tetraedra definīcija

Tetraedrs– vienkāršākais daudzskaldņu ķermenis, kura skaldnes un pamatne ir trīsstūri.

Tiešsaistes kalkulators

Tetraedram ir četras skaldnes, no kurām katru veido trīs malas. Tetraedram ir četras virsotnes, no kurām katra iziet trīs malas.

Šis ķermenis ir sadalīts vairākos veidos. Zemāk ir to klasifikācija.

1. Izoedrisks tetraedrs- visas tā skaldnes ir identiski trīsstūri;
2. Ortocentrisks tetraedrs- visi augstumi, kas novilkti no katras virsotnes uz pretējo virsmu, ir vienādi garumā;
3. Taisnstūra tetraedrs- malas, kas iziet no vienas virsotnes, veido viena ar otru 90 grādu leņķi;
4. Rāmis;
5. Proporcionāls;
6. Incentrisks.

Tetraedru tilpuma formulas

Dotā ķermeņa tilpumu var atrast vairākos veidos. Apskatīsim tos sīkāk.

Caur vektoru jaukto reizinājumu

Ja tetraedrs ir veidots uz trim vektoriem ar koordinātām:

A ⃗ = (a x , a y , a z) \vec(a)=(a_x, a_y, a_z)a= (a x​ , a y​ , a z​ )
b ⃗ = (b x , b y , b z) \vec(b)=(b_x, b_y, b_z)b= (b x​ , b y​ , b z​ )
c ⃗ = (c x , c y , c z) \vec(c)=(c_x, c_y, c_z)c= (c x​ , c y​ , c z​ ) ,

tad šī tetraedra tilpums ir šo vektoru jauktais reizinājums, tas ir, šāds determinants:

V = 1 6 ⋅ ∣ a x a y a z b x b y b z c x c y c z ∣ V=\frac(1)(6)\cdot\begin(vmatrix) a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\_c_x & cvmatrix )V=6 1 ​ ⋅ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ a x​ b x​ c x​ ​ a y​ b y​ c y​ ​ a z​ b z​ c z​ ​ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​

Ir zināmas oktaedra četru virsotņu koordinātas. A(1, 4, 9) A(1, 4, 9) A(1, 4, 9), B (8, 7, 3) B(8, 7, 3) B(8, 7, 3), C (1, 2, 3) C (1,2,3) C(1, 2, 3), D(7, 12, 1) D(7, 12, 1) D(7, 1 2, 1). Atrodiet tā apjomu.

Risinājums

A(1, 4, 9) A(1, 4, 9) A(1, 4, 9)
B (8, 7, 3) B(8, 7, 3) B(8, 7, 3)
C (1, 2, 3) C (1,2,3) C(1, 2, 3)
D(7, 12, 1) D(7, 12, 1) D(7, 1 2, 1)

Vispirms ir jānosaka vektoru koordinātas, uz kurām ir uzbūvēts šis ķermenis.
Lai to izdarītu, jums jāatrod katra vektora koordināte, atņemot atbilstošās divu punktu koordinātas. Piemēram, vektora koordinātas A B → \overright arrow(AB) A B, tas ir, vektors, kas vērsts no punkta A A A līdz punktam B B B, tās ir punktu atbilstošo koordinātu atšķirības B B B Un A A A:

A B → = (8-1, 7-4, 3-9) = (7, 3, -6) \overright bultiņa(AB)=(8-1, 7-4, 3-9)=(7, 3, -6)A B= (8 − 1 , 7 − 4 , 3 − 9 ) = (7 , 3 , − 6 )

A C → = (1 - 1 , 2 - 4 , 3 - 9) = (0 , - 2 , - 6) \overright bultiņa(AC)=(1-1, 2-4, 3-9)=(0, - 2, -6)A C= (1 − 1 , 2 − 4 , 3 − 9 ) = (0 , − 2 , − 6 )
A D → = (7-1, 12-4, 1-9) = (6, 8, -8) \overright bultiņa(AD)=(7-1, 12-4, 1-9)=(6, 8, -8)A D= (7 − 1 , 1 2 − 4 , 1 − 9 ) = (6 , 8 , − 8 )

Tagad mēs atradīsim šo vektoru jaukto reizinājumu, lai to pieņemtu A B → = a ⃗ \overrightarrow(AB)=\vec(a)A B= a, A C → = b ⃗ \overrightarrow(AC)=\vec(b)A C= b, A D → = c ⃗ \overrightarrow(AD)=\vec(c)A D= c.

a x a y a z b x b y b z c x c y c z (− 6) ⋅ (− 2) ⋅ 6 − 7 ⋅ (− 6) ⋅ 8 − 3 ⋅ 0 ⋅ (− 8) = 112 − 108 − 0 − 3 − 66v. & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \\ \end(vmatrix)= \begin(vmatrix) 7 & 3 & -6 \\ 0 & -2 & -6 \\ 6 & 8 un -8 \\ \end(vmatrix)=7\cdot(-2)\cdot(-8) + 3\cdot(-6)\cdot6 + (-6)\cdot0\cdot8 - (-6)\ cdot (-2)\cdot6 - 7\cdot(-6)\cdot8 - 3\cdot0\cdot(-8) = 112 - 108 - 0 - 72 + 336 + 0 = 268∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ a x​ b x​ cx​ ​ ay​ by​ cy​ ​ az​ bz​ cz​ ​ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ 7 0 6 ​ 3 − 2 8 ​ − 6 − 6 − 8 ​ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ = 7 ⋅ (− 2 ) ⋅ (− 8 ) + 3 ⋅ (− 6 ) ⋅ 6 + (− 6 ) ⋅ 0 ⋅ 8 − (− 6 ) ⋅ (− 2 ) ⋅ 6 − 7 ⋅ (− 6 ) ⋅ 8 − 3 ⋅ 0 ⋅ (− 8 ) = 1 1 2 − 1 0 8 − 0 − 7 2 + 3 3 6 + 0 = 2 6 8

Tas ir, tetraedra tilpums ir vienāds ar:

$V=61\cdot |$

Atbilde

$44.8\text{cm3 .}$

Izoedrāla tetraedra tilpuma formula gar tā malu

Šī formula ir derīga tikai izoedrāla tetraedra tilpuma aprēķināšanai, tas ir, tetraedra, kurā visas skaldnes ir identiski regulāri trīsstūri.

$V=12\sqrt{2\cdot a^3}$

a aa- tetraedra malas garums.

Nosakiet tetraedra tilpumu, ja tā mala ir vienāda ar $11\text{cm.}$

Risinājums

$a=11$

Aizstāsim a aa tetraedra tilpuma formulā:

$V=12\sqrt{2\cdot a^{3=12\sqrt{2\cdot 11^{3\approx 156.8\text{cm3}}}}}$

Atbilde

$156.8\text{cm3 .}$