Комплекс тооны модуль ба аргумент. Тригонометр

Цогцолбор тоо нь бидний мэддэг бодит тоонуудын хамгийн бага өргөтгөл юм. Тэдний үндсэн ялгаа нь квадрат нь -1 өгдөг элемент гарч ирэх явдал юм. би, эсвэл .

Аливаа комплекс тоо нь хоёр хэсгээс бүрдэнэ. бодит ба төсөөлөл:

Тиймээс бодит тооны олонлог нь тэг төсөөллийн хэсэгтэй нийлмэл тооны олонлогтой давхцаж байгаа нь тодорхой байна.

Комплекс тоонуудын хамгийн алдартай загвар бол энгийн хавтгай юм. Цэг бүрийн эхний координат нь түүний бодит хэсэг, хоёр дахь нь түүний төсөөллийн хэсэг байх болно. Дараа нь цогцолбор тоонуудын үүрэг нь (0,0) цэгээс эхлэлтэй векторууд байх болно.

Комплекс тоон дээрх үйлдлүүд.

Чухамдаа нийлмэл тоонуудын олонлогийн загварыг авч үзвэл хоёр нийлмэл тоог нэмэх (хасах), үржүүлэх нь вектор дээрх харгалзах үйлдлүүдтэй ижил аргаар хийгдэх нь ойлгомжтой юм. Түүнээс гадна бид векторуудын вектор үржвэрийг хэлж байна, учир нь энэ үйлдлийн үр дүн нь дахин вектор юм.

1.1 Нэмэлт.

(Таны харж байгаагаар энэ үйлдэл нь яг тохирч байна)

1.2 ХасахҮүний нэгэн адил дараах дүрмийн дагуу үйлдвэрлэнэ.

2. Үржүүлэх.

3. Хэсэг.

Үржүүлэхийн урвуу үйлдэл гэж энгийнээр тодорхойлсон.

Тригонометрийн хэлбэр.

z цогцолбор тооны модуль нь дараах хэмжигдэхүүн юм.

,

Мэдээжийн хэрэг, энэ нь (a,b) векторын зөвхөн модуль (урт) юм.

Ихэнх тохиолдолд комплекс тооны модулийг дараах байдлаар тэмдэглэдэг ρ.

Энэ нь харагдаж байна

z = ρ(cosφ+isinφ).

Комплекс тоог бичих тригонометрийн хэлбэрээс шууд дараах зүйл гарч ирнэ. томъёо :

Сүүлчийн томъёог гэж нэрлэдэг Мойврын томъёо. Томъёо нь үүнээс шууд гардаг нийлмэл тооны n-р үндэс:

Тиймээс z цогцолбор тооны n-р үндэс байна.

Хичээлийн төлөвлөгөө.

1. Зохион байгуулалтын мөч.

2. Материалын танилцуулга.

3. Гэрийн даалгавар.

4. Хичээлийг дүгнэх.

Хичээлийн явц

I. Зохион байгуулалтын мөч.

II. Материалын танилцуулга.

Урам зориг.

Бодит тоонуудын багцыг өргөтгөх нь бодит тоон дээр шинэ тоо (төсөөл) нэмэхээс бүрдэнэ. Эдгээр тоонуудын танилцуулга нь бодит тооны олонлог дахь сөрөг тооны үндсийг гаргаж авах боломжгүйтэй холбоотой юм.

Комплекс тооны тухай ойлголтын танилцуулга.

Бодит тоонуудыг нөхдөг төсөөллийн тоонууд нь энэ хэлбэрээр бичигдсэн байдаг би, Хаана бинь төсөөллийн нэгж бөгөөд i 2 = - 1.

Үүний үндсэн дээр бид комплекс тооны дараах тодорхойлолтыг олж авна.

Тодорхойлолт. Комплекс тоо нь хэлбэрийн илэрхийлэл юм a+bi, Хаана аТэгээд б- бодит тоо. Энэ тохиолдолд дараахь нөхцлийг хангасан болно.

a) Хоёр комплекс тоо a 1 + b 1 iТэгээд a 2 + b 2 iзөвхөн хэрэв л бол тэнцүү a 1 = a 2, b 1 = b 2.

б) Комплекс тоонуудын нэмэгдлийг дараах дүрмээр тодорхойлно.

(a 1 + b 1 i) + (a 2 + b 2 i) = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2) i.

в) Комплекс тоонуудын үржвэрийг дараах дүрмээр тодорхойлно.

(a 1 + b 1 i) (a 2 + b 2 i) = (a 1 a 2 - b 1 b 2) + (a 1 b 2 - a 2 b 1) i.

Комплекс тооны алгебрийн хэлбэр.

Комплекс тоог маягтаар бичих a+biнийлмэл тооны алгебрийн хэлбэр гэж нэрлэгддэг, энд А- бодит хэсэг, бинь төсөөллийн хэсэг бөгөөд б- бодит тоо.

Цогцолбор тоо a+biХэрэв түүний бодит ба төсөөлөл хэсгүүд нь тэгтэй тэнцүү бол тэгтэй тэнцүү гэж үзнэ. a = b = 0

Цогцолбор тоо a+biцагт b = 0бодит тоотой адил гэж үздэг а: a + 0i = a.

Цогцолбор тоо a+biцагт a = 0цэвэр төсөөлөл гэж нэрлэдэг ба тэмдэглэсэн байна би: 0 + би = би.

Хоёр комплекс тоо z = a + biТэгээд = a – bi, зөвхөн төсөөллийн хэсгийн тэмдгээр л ялгаатайг коньюгат гэнэ.

Алгебрийн хэлбэрийн комплекс тоон дээрх үйлдлүүд.

Комплекс тоон дээр та дараах үйлдлүүдийг алгебрийн хэлбэрээр хийж болно.

1) Нэмэлт.

Тодорхойлолт. Комплекс тоонуудын нийлбэр z 1 = a 1 + b 1 iТэгээд z 2 = a 2 + b 2 iнийлмэл тоо гэж нэрлэдэг z, бодит хэсэг нь бодит хэсгүүдийн нийлбэртэй тэнцүү байна z 1Тэгээд z 2, мөн төсөөллийн хэсэг нь тоонуудын төсөөллийн хэсгүүдийн нийлбэр юм z 1Тэгээд z 2, тэр нь z = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2)i.

Тоонууд z 1Тэгээд z 2нэр томъёо гэж нэрлэдэг.

Комплекс тоог нэмэх нь дараахь шинж чанартай байдаг.

1º. Солих чадвар: z 1 + z 2 = z 2 + z 1.

2º. Нийгэмлэг: (z 1 + z 2) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3).

3º. Цогцолбор тоо –а –бинийлмэл тооны эсрэг тоо гэж нэрлэдэг z = a + bi. Цогцолбор тоо, нийлмэл тооны эсрэг z, тэмдэглэсэн -z. Комплекс тоонуудын нийлбэр zТэгээд -zтэгтэй тэнцүү: z + (-z) = 0

Жишээ 1: Нэмэлтийг гүйцэтгэнэ (3 – i) + (-1 + 2i).

(3 – i) + (-1 + 2i) = (3 + (-1)) + (-1 + 2) i = 2 + 1i.

2) Хасах.

Тодорхойлолт.Комплекс тооноос хасах z 1нийлмэл тоо z 2 z,Юу z + z 2 = z 1.

Теорем. Комплекс тоонуудын ялгаа нь байдаг бөгөөд өвөрмөц юм.

Жишээ 2: Хасах үйлдлийг гүйцэтгэнэ (4 – 2i) - (-3 + 2i).

(4 – 2i) - (-3 + 2i) = (4 - (-3)) + (-2 - 2) i = 7 – 4i.

3) Үржүүлэх.

Тодорхойлолт. Комплекс тоонуудын үржвэр z 1 =a 1 +b 1 iТэгээд z 2 =a 2 +b 2 iнийлмэл тоо гэж нэрлэдэг zтэгшитгэлээр тодорхойлогддог: z = (a 1 a 2 – b 1 b 2) + (a 1 b 2 + a 2 b 1)i.

Тоонууд z 1Тэгээд z 2хүчин зүйл гэж нэрлэдэг.

Комплекс тоог үржүүлэх нь дараахь шинж чанартай байдаг.

1º. Солих чадвар: z 1 z 2 = z 2 z 1.

2º. Нийгэмлэг: (z 1 z 2)z 3 = z 1 (z 2 z 3)

3º. Нэмэхтэй харьцуулахад үржүүлгийн тархалт:

(z 1 + z 2) z 3 = z 1 z 3 + z 2 z 3.

4º. z = (a + bi)(a – bi) = a 2 + b 2- бодит тоо.

Практикт нийлбэрийг нийлбэрээр үржүүлж, бодит болон төсөөллийн хэсгүүдийг салгах дүрмийн дагуу нийлмэл тоог үржүүлэх ажлыг гүйцэтгэдэг.

Дараах жишээнд бид нийлмэл тоог дүрмээр, нийлбэрийг нийлбэрээр үржүүлэх гэсэн хоёр аргаар авч үзэх болно.

Жишээ 3: Үржүүлэх үйлдлийг хий (2 + 3i) (5 – 7i).

1 арга. (2 + 3i) (5 – 7i) = (2× 5 – 3× (- 7)) + (2× (- 7) + 3× 5)i = = (10 + 21) + (- 14 + 15) )i = 31 + i.

Арга 2. (2 + 3i) (5 – 7i) = 2× 5 + 2× (- 7i) + 3i× 5 + 3i× (- 7i) = = 10 – 14i + 15i + 21 = 31 + i.

4) хэлтэс.

Тодорхойлолт. Комплекс тоог хуваах z 1комплекс тоо руу z 2, ийм цогц тоог олно гэсэн үг z, Юу z · z 2 = z 1.

Теорем.Комплекс тоонуудын категори нь байгаа бөгөөд хэрэв байгаа бол өвөрмөц байна z 2 ≠ 0 + 0i.

Практикт нийлмэл тоонуудын хуваагчийг хуваагч болон хуваагчаар үржүүлэх замаар олдог.

Болъё z 1 = a 1 + b 1 i, z 2 = a 2 + b 2 i, Дараа нь

.

Дараах жишээнд бид хуваах үйлдлийг хуваагчтай нэгтгэсэн тоогоор томьёо болон үржүүлэх дүрмийг ашиглан гүйцэтгэнэ.

Жишээ 4. Хэсэлтийг ол .

5) Эерэг бүхэл бүтэн хүчийг өсгөх.

a) Төсөөллийн нэгжийн хүч.

Тэгш байдлын давуу талыг ашиглах i 2 = -1, төсөөллийн нэгжийн эерэг бүхэл тоог тодорхойлоход хялбар байдаг. Бидэнд:

би 3 = би 2 би = -i,

би 4 = би 2 би 2 = 1,

би 5 = би 4 би = би,

би 6 = би 4 би 2 = -1,

би 7 = би 5 би 2 = -i,

би 8 = би 6 би 2 = 1гэх мэт.

Энэ нь градусын утгыг харуулж байна би н, Хаана n– эерэг бүхэл тоо, индикатор нэмэгдэх тусам үе үе давтагдана 4 .

Тиймээс тоог нэмэгдүүлэх биэерэг бүхэл хүчинд бид экспонентыг хуваах ёстой 4 болон барих биилтгэгч нь хуваагдлын үлдэгдэлтэй тэнцүү зэрэгт.

Жишээ 5: Тооцоол: (би 36 + би 17) би 23.

i 36 = (i 4) 9 = 1 9 = 1,

i 17 = i 4 × 4+1 = (i 4) 4 × i = 1 · i = i.

i 23 = i 4 × 5+3 = (i 4) 5 × i 3 = 1 · i 3 = - i.

(i 36 + i 17) · i 23 = (1 + i) (- i) = - i + 1= 1 – i.

б) Комплекс тоог эерэг бүхэл тоо болгон өсгөх нь хоёр гишүүнийг харгалзах зэрэгт хүргэх дүрмийн дагуу хийгддэг, учир нь энэ нь ижил цогцолбор хүчин зүйлийг үржүүлэх онцгой тохиолдол юм.

Жишээ 6: Тооцоол: (4 + 2i) 3

(4 + 2i) 3 = 4 3 + 3× 4 2 × 2i + 3× 4× (2i) 2 + (2i) 3 = 64 + 96i – 48 – 8i = 16 + 88i.