Одоо бид логарифм агуулсан илэрхийллүүдийг ерөнхий өнцгөөс нь хөрвүүлэх асуудлыг авч үзэх болно. Энд бид зөвхөн логарифмын шинж чанарыг ашиглан илэрхийллийн хувиргалтыг шинжлэхээс гадна зөвхөн логарифм төдийгүй хүч, бутархай, үндэс гэх мэтийг агуулсан ерөнхий логарифм бүхий илэрхийллийн хувиргалтыг авч үзэх болно. Ердийнх шигээ бид бүх материалыг шийдлийн нарийвчилсан тайлбар бүхий ердийн жишээн дээр өгөх болно.

Хуудасны навигаци.

Логарифм ба логарифм илэрхийлэл бүхий илэрхийлэл

Бутархай тоогоор юм хийх

Өмнөх догол мөрөнд бид логарифм агуулсан бие даасан бутархайгаар хийгдсэн үндсэн хувиргалтыг авч үзсэн. Мэдээжийн хэрэг, эдгээр хувиргалтыг илүү төвөгтэй илэрхийлэлийн нэг хэсэг болох, жишээлбэл, ижил төстэй бутархайн нийлбэр, зөрүү, үржвэр, коэффициентийг төлөөлдөг бие даасан бутархай тус бүрээр хийж болно. Гэхдээ бие даасан бутархайтай ажиллахаас гадна энэ төрлийн илэрхийллийг хөрвүүлэх нь ихэвчлэн бутархайтай харгалзах үйлдлүүдийг гүйцэтгэдэг. Дараа нь бид эдгээр үйлдлийг гүйцэтгэх дүрмийг авч үзэх болно.

5-6-р ангиасаа эхлэн бид ямар дүрмийг баримталдаг болохыг мэддэг болсон. Нийтлэлд бутархайтай үйлдлүүдийн ерөнхий ойлголтБид эдгээр дүрмийг өргөтгөсөн энгийн бутархайерөнхий бутархай A/B дээр, энд A ба B нь зарим тоон, шууд утга эсвэл хувьсагчтай илэрхийллүүд бөгөөд B нь тэгтэй ижил биш байна. Логарифм бүхий бутархай нь ерөнхий бутархайн онцгой тохиолдол болох нь ойлгомжтой. Үүнтэй холбогдуулан тэмдэглэгээнд логарифм агуулсан бутархайтай үйлдлүүд ижил дүрмийн дагуу явагддаг нь тодорхой байна. Тухайлбал:

• Ижил хуваагчтай хоёр бутархайг нэмэх, хасахын тулд тоологчийг зохих ёсоор нь нэмэх буюу хасах хэрэгтэй, харин хуваагчийг хэвээр үлдээнэ.
• Өөр өөр хуваагчтай хоёр бутархайг нэмэх, хасахын тулд тэдгээрийг багасгах хэрэгтэй нийтлэг хуваагчөмнөх дүрмийн дагуу зохих үйлдлийг гүйцэтгэх.
• Хоёр бутархайг үржүүлэхийн тулд хуваагч нь анхны бутархайнуудын үржвэр, хуваагч нь хуваагчийн үржвэр болох бутархайг бичих хэрэгтэй.
• Бутархайг бутархай болгон хуваахын тулд хуваагчийн урвуу бутархай бутархайг, өөрөөр хэлбэл, хуваагч ба хуваагчийг сольсон бутархайгаар үржүүлэх хэрэгтэй.

Логарифм агуулсан бутархайтай үйлдлийг хэрхэн гүйцэтгэх тухай цөөн хэдэн жишээ энд байна.

Жишээ.

Логарифм агуулсан бутархайтай үйлдлийг гүйцэтгэнэ: a) , b) , V) , G) .

Шийдэл.

a) Нэмэгдэж буй бутархайн хуваагч нь мэдээж ижил байна. Тиймээс ижил хуваагчтай бутархайг нэмэх дүрмийн дагуу бид тоологчдыг нэмж, хуваагчийг ижил хэвээр үлдээнэ. .

б) Энд хуваагч өөр байна. Тиймээс эхлээд танд хэрэгтэй бутархайг ижил хуваагч руу хөрвүүлэх. Манай тохиолдолд хуваагчийг бүтээгдэхүүн хэлбэрээр танилцуулсан бөгөөд эхний бутархайн хуваагчийг авч, хоёр дахь бутархайн дутуу хүчин зүйлийг нэмэхэд л хангалттай. Ингэснээр бид хэлбэрийн нийтлэг хуваагчийг олж авдаг . Энэ тохиолдолд хасагдсан бутархайг логарифмын хэлбэрээр нэмэлт хүчин зүйл болон x 2 ·(x+1) илэрхийлэл ашиглан нийтлэг хуваагч руу авчирна. Үүний дараа ижил хуваагчтай бутархайг хасах л үлддэг бөгөөд энэ нь тийм ч хэцүү биш юм.

Тиймээс шийдэл нь:

в) Бутархайг үржүүлсний үр дүн нь бутархай, хуваагч нь хуваагчийн үржвэр, хуваагч нь хуваагчийн үржвэр болох нь мэдэгдэж байна.

Та чадна гэдгийг харахад амархан хэсгийг багасгаххоёр болон аравтын бутархай логарифмын үр дүнд бид байна .

г) Бид хуваагч бутархайг урвуу бутархайгаар нь сольж, үржүүлэх рүү шилждэг. Тэгэхээр

Үүссэн бутархайн тоог дараах байдлаар илэрхийлж болно , үүнээс тоологч ба хуваагчийн нийтлэг хүчин зүйл тодорхой харагдаж байна - х хүчин зүйл бол та түүгээр бутархайг багасгаж болно.

Хариулт:

а), б) , V) , G) .

Бутархайтай үйлдлүүд нь үйлдлүүдийн дарааллыг харгалзан хийгддэг гэдгийг санах нь зүйтэй: эхлээд үржүүлэх, хуваах, дараа нь нэмэх, хасах, хэрэв хаалт байгаа бол эхлээд хаалтанд хийсэн үйлдлүүд хийгдэнэ.

Жишээ.

Бутархайтай зүйлийг хий .

Шийдэл.

Эхлээд бид бутархайг хаалтанд нэмээд дараа нь үржүүлнэ.

Хариулт:

Энэ үед маш тодорхой гурван зүйлийг чангаар хэлэх хэвээр байна, гэхдээ нэгэн зэрэг чухал зүйлийг:

Логарифмын шинж чанарыг ашиглан илэрхийллийг хөрвүүлэх

Ихэнх тохиолдолд логарифм бүхий илэрхийлэлийг хувиргах нь логарифмын тодорхойлолтыг илэрхийлсэн таних тэмдгийг ашиглах явдал юм. Жишээлбэл, a log a b =b , a>0 , a≠1 , b>0 гэсэн үндсэн логарифмын ижилсэл рүү шилжихэд бид x−5 log 5 7 илэрхийлэлийг x−7, мөн a руу шилжих томъёог илэрхийлж болно. шинэ логарифмын суурь , a>0, a≠1, b>0, c>0, c≠1 нь илэрхийллээс 1−lnx ялгаа руу шилжих боломжтой болгодог.

Үндэс, хүч, тригонометрийн таних тэмдэг гэх мэт шинж чанаруудын хэрэглээ.

Логарифм бүхий илэрхийллүүд нь логарифмуудаас гадна бараг үргэлж хүч, үндэс, тригонометрийн функц гэх мэтийг агуулдаг. Ийм илэрхийллийг хувиргахын тулд логарифмын шинж чанаруудаас гадна хүч, үндэс гэх мэт шинж чанарууд шаардлагатай байж болох нь ойлгомжтой. Бид шинж чанаруудын блок бүрийг илэрхийлэл болгон хувиргахад тусад нь судалж үзсэн бөгөөд холбогдох нийтлэлүүдийн холбоосыг www.site-ийн илэрхийлэл, тэдгээрийн хувиргалт хэсгээс олж болно. Энд бид шинж чанарыг логарифмтай хослуулан ашиглах хэд хэдэн жишээнүүдийн шийдлийг харуулах болно.

Жишээ.

Илэрхийлэлийг хялбарчлах .

Шийдэл.

Эхлээд үндэстэй илэрхийллийг хувиргацгаая. Анхны илэрхийлэлд зориулсан x хувьсагчийн ODZ дээр (бидний тохиолдолд эерэг бодит тоонуудын олонлог юм) бид үндсээс бутархай илтгэгчтэй зэрэглэл рүү шилжиж, дараа нь ижил суурьтай хүчийг үржүүлэх шинж чанарыг ашиглаж болно. . Тиймээс,

Одоо бид тоологчийг дараах байдлаар төлөөлдөг (зэрэглэлийн шинж чанар нь бидэнд шаардлагатай бол градусын шинж чанарыг ашиглан илэрхийллийн хувиргалтыг харах, түүнчлэн тоонуудын квадратуудын нийлбэрийг орлуулах боломжийг олгодог тооны дүрслэлийг харах боломжийг бидэнд олгодог. Нэгтэй ижил аргументийн синус ба косинусыг А логарифмын тэмдгийн дор нэгийг олж авна.

Хийсэн өөрчлөлтүүдийг бичье:

Тэг куб нь тэг тул илэрхийлэл рүү шилжье .

Тоологч нь тэг, хуваагч нь тэгээс ялгаатай бутархай (манай тохиолдолд энэ нь үнэхээр тийм байдаг, учир нь натурал логарифмын тэмдгийн доорх илэрхийллийн утга нэгээс өөр гэдгийг зөвтгөхөд хялбар байдаг) -тэй тэнцүү байна. тэг. Тиймээс,

Цаашдын хувиргалтыг сөрөг тооны сондгой язгуурын тодорхойлолт дээр үндэслэн хийнэ. .

2 15 нь эерэг тоо тул бид эцсийн үр дүнд хүргэх үндэсийн шинж чанарыг ашиглаж болно. .

Хариулт:

үндсэн шинж чанарууд.

1. логакс + логай = лога(х у);
2. логакс − логай = лога (x: y).

ижил үндэслэлүүд

Log6 4 + log6 9.

Одоо даалгавраа бага зэрэг хүндрүүлье.

Логарифмыг шийдвэрлэх жишээ

Логарифмын суурь буюу аргумент нь хүч бол яах вэ? Дараах дүрмийн дагуу энэ зэргийн илтгэгчийг логарифмын тэмдгээс гаргаж болно.

Мэдээжийн хэрэг, логарифмын ODZ ажиглагдвал эдгээр бүх дүрмүүд утга учиртай болно: a > 0, a ≠ 1, x >

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол:

Шинэ суурь руу шилжих

Логарифмын логаксыг өгье. Дараа нь c > 0 ба c ≠ 1 гэсэн дурын c тооны хувьд тэгш байдал үнэн болно:

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол:

Мөн үзнэ үү:

Логарифмын үндсэн шинж чанарууд

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Экспонент нь 2.718281828…. Экспонентийг санахын тулд та дүрмийг судалж болно: экспонент нь 2.7-той тэнцүү бөгөөд Лео Николаевич Толстойн төрсөн жилээс хоёр дахин их байна.

Логарифмын үндсэн шинж чанарууд

Энэ дүрмийг мэдсэнээр та экспонентийн яг тодорхой утга, Лев Толстойн төрсөн он сар өдрийг хоёуланг нь мэдэх болно.

Логарифмын жишээ

Логарифмын илэрхийллүүд

Жишээ 1.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).

3.5 шинж чанарыг ашиглан бид тооцоолно

2.

3.

Жишээ 2. Хэрэв x-ийг ол

Жишээ 3. Логарифмын утгыг өгье

Хэрэв log(x)-ыг тооцоол

Логарифмын үндсэн шинж чанарууд

Логарифмыг ямар ч тоонуудын нэгэн адил нэмэх, хасах, өөрчлөх боломжтой. Гэхдээ логарифмууд нь яг энгийн тоо биш тул энд дүрэм гэж байдаг үндсэн шинж чанарууд.

Та эдгээр дүрмийг мэдэх нь гарцаагүй - нэг ч ноцтой логарифмын асуудлыг тэдэнгүйгээр шийдэж чадахгүй. Нэмж дурдахад тэд маш цөөхөн байдаг - та нэг өдрийн дотор бүгдийг сурч чадна. Ингээд эхэлцгээе.

Логарифм нэмэх, хасах

Ижил суурьтай хоёр логарифмыг авч үзье: логакс ба лога. Дараа нь тэдгээрийг нэмж, хасах боломжтой бөгөөд:

1. логакс + логай = лога(х у);
2. логакс − логай = лога (x: y).

Тэгэхээр логарифмын нийлбэр нь үржвэрийн логарифмтай тэнцүү, зөрүү нь хуваалтын логарифмтай тэнцүү байна. Анхаарна уу: гол зүйл бол энд байна ижил үндэслэлүүд. Хэрэв шалтгаан нь өөр бол эдгээр дүрэм ажиллахгүй болно!

Эдгээр томьёо нь логарифм илэрхийлэлийг түүний бие даасан хэсгүүдийг тооцохгүй байсан ч тооцоолоход тусална ("Логарифм гэж юу вэ" хичээлийг үзнэ үү). Жишээнүүдийг хараад:

Логарифмууд ижил суурьтай тул бид нийлбэрийн томъёог ашигладаг.
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log2 48 − log2 3.

Суурь нь адилхан, бид ялгааны томъёог ашигладаг:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log3 135 − log3 5.

Дахин хэлэхэд суурь нь адилхан тул бидэнд байна:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Таны харж байгаагаар анхны илэрхийллүүд нь "муу" логарифмуудаас бүрддэг бөгөөд тэдгээрийг тусад нь тооцдоггүй. Гэхдээ хувиргасны дараа бүрэн хэвийн тоонууд гарч ирдэг. Энэ баримт дээр үндэслэн олон туршилт хийдэг. Тийм ээ, шалгалттай төстэй илэрхийлэлийг улсын нэгдсэн шалгалтанд бүх ноцтойгоор (заримдаа бараг өөрчлөгдөөгүй) санал болгодог.

Логарифмаас илтгэгчийг гаргаж байна

Сүүлийн дүрэм нь эхний хоёрыг дагаж мөрддөгийг харахад хялбар байдаг. Гэхдээ үүнийг санаж байх нь дээр - зарим тохиолдолд энэ нь тооцооны хэмжээг эрс багасгах болно.

Мэдээжийн хэрэг, логарифмын ODZ ажиглагдвал эдгээр бүх дүрмүүд утга учиртай болно: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Бас нэг зүйл: бүх томъёог зөвхөн зүүнээс баруун тийш төдийгүй эсрэгээр нь хэрэглэж сур. , өөрөөр хэлбэл Та логарифмын тэмдгийн өмнөх тоонуудыг логарифм руу оруулж болно. Энэ нь ихэвчлэн шаардлагатай байдаг.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log7 496.

Эхний томъёог ашиглан аргумент дахь зэрэглэлээс салцгаая.
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол:

Хуваарь нь логарифм агуулж байгааг анхаарна уу, түүний суурь ба аргумент нь яг тэнцүү зэрэгтэй: 16 = 24; 49 = 72. Бидэнд:

Сүүлийн жишээнд тодорхой тайлбар хэрэгтэй гэж бодож байна. Логарифмууд хаашаа явсан бэ? Эцсийн мөч хүртэл бид зөвхөн хуваагчтай ажилладаг.

Логарифмын томъёо. Логарифмын шийдлийн жишээ.

Бид тэнд зогсож буй логарифмын суурь ба аргументыг хүч чадлын хэлбэрээр танилцуулж, илтгэгчийг гаргаж авсан - бид "гурван давхар" бутархай авсан.

Одоо үндсэн бутархайг харцгаая. Тоолуур ба хуваагч нь ижил тоог агуулна: log2 7. log2 7 ≠ 0 тул бид бутархайг багасгаж болно - 2/4 нь хуваарьт үлдэх болно. Арифметикийн дүрмийн дагуу дөрвийг тоологч руу шилжүүлж болох бөгөөд энэ нь хийгдсэн зүйл юм. Үүний хариу нь: 2.

Шинэ суурь руу шилжих

Логарифмыг нэмэх, хасах дүрмийн талаар ярихдаа тэдгээр нь зөвхөн ижил суурьтай ажилладаг гэдгийг би онцлон тэмдэглэв. Шалтгаан нь өөр байвал яах вэ? Хэрэв тэдгээр нь яг ижил тооны хүчин чадал биш бол яах вэ?

Шинэ суурь руу шилжих томъёонууд аврах ажилд ирдэг. Тэдгээрийг теорем хэлбэрээр томъёолъё.

Логарифмын логаксыг өгье. Дараа нь c > 0 ба c ≠ 1 гэсэн дурын c тооны хувьд тэгш байдал үнэн болно:

Ялангуяа, хэрэв бид c = x гэж тохируулбал бид дараахь зүйлийг авна.

Хоёрдахь томъёоноос харахад логарифмын суурь ба аргументыг сольж болох боловч энэ тохиолдолд илэрхийлэл бүхэлдээ "эргэв", өөрөөр хэлбэл. логарифм нь хуваагч дээр гарч ирнэ.

Эдгээр томьёо нь энгийн тоон илэрхийлэлд ховор байдаг. Логарифмын тэгшитгэл ба тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх үед л тэдгээр нь хэр тохиромжтой болохыг үнэлэх боломжтой.

Гэхдээ шинэ суурь руу шилжсэнээс өөрөөр шийдэх боломжгүй асуудлууд бий. Эдгээрээс хэд хэдэн зүйлийг харцгаая:

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log5 16 log2 25.

Хоёр логарифмын аргументууд нь тодорхой хүчийг агуулдаг гэдгийг анхаарна уу. Шалгуур үзүүлэлтүүдийг гаргацгаая: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Одоо хоёр дахь логарифмыг "урвуу" болгоё:

Хүчин зүйлийг дахин тохируулах үед бүтээгдэхүүн өөрчлөгддөггүй тул бид дөрөв ба хоёрыг тайван үржүүлж, дараа нь логарифмуудыг авч үзсэн.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log9 100 lg 3.

Эхний логарифмын суурь ба аргумент нь яг хүч юм. Үүнийг бичиж, үзүүлэлтүүдээс салцгаая.

Одоо шинэ суурь руу шилжиж аравтын бутархай логарифмаас салцгаая.

Үндсэн логарифмын таних тэмдэг

Ихэнхдээ шийдлийн процесст тоог өгөгдсөн суурь руу логарифм хэлбэрээр илэрхийлэх шаардлагатай байдаг. Энэ тохиолдолд дараах томъёонууд бидэнд туслах болно.

Эхний тохиолдолд n тоо нь аргумент дахь илтгэгч болдог. n тоо нь юу ч байж болно, учир нь энэ нь зүгээр л логарифмын утга юм.

Хоёрдахь томьёо нь үнэндээ өөрчилсөн тодорхойлолт юм. Үүнийг ингэж нэрлэдэг: .

Үнэн хэрэгтээ, b тоог ийм зэрэгт аваачвал энэ түвшний b тоо нь а тоог өгдөг бол юу болох вэ? Энэ нь зөв: үр дүн нь ижил тоо юм. Энэ догол мөрийг дахин анхааралтай уншина уу - олон хүн гацах болно.

Шинэ суурь руу шилжих томьёоны нэгэн адил үндсэн логарифмын ижилсэл нь заримдаа цорын ганц боломжит шийдэл юм.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол:

log25 64 = log5 8 - зүгээр л логарифмын суурь ба аргументаас квадратыг авсан гэдгийг анхаарна уу. Ижил суурьтай хүчийг үржүүлэх дүрмийг харгалзан бид дараахь зүйлийг авна.

Хэрэв хэн нэгэн мэдэхгүй бол энэ бол Улсын нэгдсэн шалгалтын жинхэнэ даалгавар байсан :)

Логарифмын нэгж ба логарифмын тэг

Эцэст нь хэлэхэд, би шинж чанар гэж нэрлэгдэх боломжгүй хоёр ижил төстэй байдлыг өгөх болно - харин эдгээр нь логарифмын тодорхойлолтын үр дагавар юм. Тэд байнга асуудалд гарч ирдэг бөгөөд гайхмаар нь "дэвшилтэт" оюутнуудад хүртэл асуудал үүсгэдэг.

1. logaa = 1 байна. Нэг удаа, бүрмөсөн санаарай: энэ суурийн аль ч а суурийн логарифм нь өөрөө нэгтэй тэнцүү байна.
2. лога 1 = 0 байна. a суурь нь юу ч байж болно, гэхдээ аргумент нэгийг агуулж байвал логарифм нь тэгтэй тэнцүү байна! Учир нь a0 = 1 нь тодорхойлолтын шууд үр дагавар юм.

Энэ бол бүх өмч юм. Тэдгээрийг амьдралд хэрэгжүүлэх дадлага хийхээ мартуузай! Хичээлийн эхэнд хууран мэхлэх хуудсыг татаж аваад хэвлээд асуудлыг шийдээрэй.

Мөн үзнэ үү:

a суурийн b-ийн логарифм нь илэрхийллийг илэрхийлнэ. Логарифмыг тооцоолох гэдэг нь тэгш байдал хангагдах x () хүчийг олох гэсэн үг юм

Логарифмын үндсэн шинж чанарууд

Логарифмтай холбоотой бараг бүх асуудал, жишээг тэдгээрийн үндсэн дээр шийддэг тул дээрх шинж чанаруудыг мэдэх шаардлагатай. Үлдсэн чамин шинж чанаруудыг эдгээр томъёогоор математикийн аргаар гаргаж авах боломжтой

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Логарифмын нийлбэр ба зөрүүний томъёог (3.4) тооцоолохдоо та маш олон удаа тааралддаг. Үлдсэн хэсэг нь зарим талаараа төвөгтэй боловч хэд хэдэн даалгаварт нарийн төвөгтэй илэрхийллийг хялбарчлах, тэдгээрийн утгыг тооцоолоход зайлшгүй шаардлагатай байдаг.

Логарифмын нийтлэг тохиолдлууд

Хамгийн түгээмэл логарифмуудын зарим нь суурь нь арав, экспоненциал эсвэл хоёртой тэнцүү байдаг.
Аравтын суурийн логарифмыг ихэвчлэн аравтын бутархай логарифм гэж нэрлэдэг бөгөөд энгийнээр lg(x) гэж тэмдэглэдэг.

Бичлэгт үндсэн зүйл бичигдээгүй нь бичлэгээс тодорхой харагдаж байна. Жишээ нь

Натурал логарифм нь суурь нь илтгэгч (ln(x)-ээр тэмдэглэгдсэн) логарифм юм.

Экспонент нь 2.718281828…. Экспонентийг санахын тулд та дүрмийг судалж болно: экспонент нь 2.7-той тэнцүү бөгөөд Лео Николаевич Толстойн төрсөн жилээс хоёр дахин их байна. Энэ дүрмийг мэдсэнээр та экспонентийн яг тодорхой утга, Лев Толстойн төрсөн он сар өдрийг хоёуланг нь мэдэх болно.

Хоёр дахь суурийг тавих өөр нэг чухал логарифмыг дараах байдлаар тэмдэглэв

Функцийн логарифмын дериватив нь хувьсагчид хуваагдсантай тэнцүү байна

Интеграл эсвэл эсрэг дериватив логарифм нь хамаарлаар тодорхойлогддог

Өгөгдсөн материал нь логарифм, логарифмтай холбоотой өргөн хүрээний асуудлыг шийдвэрлэхэд хангалттай юм. Материалыг ойлгоход тань туслах үүднээс би сургуулийн сургалтын хөтөлбөр болон их дээд сургуулиудаас цөөн хэдэн нийтлэг жишээ хэлье.

Логарифмын жишээ

Логарифмын илэрхийллүүд

Жишээ 1.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).

3.5 шинж чанарыг ашиглан бид тооцоолно

2.
Логарифмын ялгаварын шинж чанараар бид байна

3.
3.5 шинж чанарыг ашиглан бид олдог

Нарийн төвөгтэй мэт санагдах илэрхийлэлийг хэд хэдэн дүрмийг ашиглан хялбаршуулж хэлбэржүүлдэг

Логарифмын утгыг олох

Жишээ 2. Хэрэв x-ийг ол

Шийдэл. Тооцооллын хувьд бид сүүлийн үеийн 5 ба 13 шинж чанаруудыг хэрэглэнэ

Бид үүнийг бичлэгт оруулж, эмгэнэл илэрхийлдэг

Суурь нь тэнцүү тул бид илэрхийллүүдийг тэгшитгэдэг

Логарифм. Элсэлтийн түвшин.

Логарифмын утгыг өгье

Хэрэв log(x)-ыг тооцоол

Шийдэл: Хувьсагчийн логарифмыг авч, логарифмыг нөхцлүүдийн нийлбэрээр нь бичье.

Энэ бол бидний логарифм ба тэдгээрийн шинж чанаруудтай танилцах эхлэл юм. Тооцоолол хийж, практик ур чадвараа баяжуулаарай - логарифм тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд олж авсан мэдлэг тань удахгүй хэрэг болно. Ийм тэгшитгэлийг шийдэх үндсэн аргуудыг судалсны дараа бид таны мэдлэгийг өөр нэг чухал сэдэв болох логарифмын тэгш бус байдлын талаар өргөжүүлэх болно.

Логарифмын үндсэн шинж чанарууд

Логарифмыг ямар ч тоонуудын нэгэн адил нэмэх, хасах, өөрчлөх боломжтой. Гэхдээ логарифмууд нь яг энгийн тоо биш тул энд дүрэм гэж байдаг үндсэн шинж чанарууд.

Та эдгээр дүрмийг мэдэх нь гарцаагүй - нэг ч ноцтой логарифмын асуудлыг тэдэнгүйгээр шийдэж чадахгүй. Нэмж дурдахад тэд маш цөөхөн байдаг - та нэг өдрийн дотор бүгдийг сурч чадна. Ингээд эхэлцгээе.

Логарифм нэмэх, хасах

Ижил суурьтай хоёр логарифмыг авч үзье: логакс ба лога. Дараа нь тэдгээрийг нэмж, хасах боломжтой бөгөөд:

1. логакс + логай = лога(х у);
2. логакс − логай = лога (x: y).

Тэгэхээр логарифмын нийлбэр нь үржвэрийн логарифмтай тэнцүү, зөрүү нь хуваалтын логарифмтай тэнцүү байна. Анхаарна уу: гол зүйл бол энд байна ижил үндэслэлүүд. Хэрэв шалтгаан нь өөр бол эдгээр дүрэм ажиллахгүй болно!

Эдгээр томьёо нь логарифм илэрхийлэлийг түүний бие даасан хэсгүүдийг тооцохгүй байсан ч тооцоолоход тусална ("Логарифм гэж юу вэ" хичээлийг үзнэ үү). Жишээнүүдийг хараад:

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log6 4 + log6 9.

Логарифмууд ижил суурьтай тул бид нийлбэрийн томъёог ашигладаг.
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log2 48 − log2 3.

Суурь нь адилхан, бид ялгааны томъёог ашигладаг:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log3 135 − log3 5.

Дахин хэлэхэд суурь нь адилхан тул бидэнд байна:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Таны харж байгаагаар анхны илэрхийллүүд нь "муу" логарифмуудаас бүрддэг бөгөөд тэдгээрийг тусад нь тооцдоггүй. Гэхдээ хувиргасны дараа бүрэн хэвийн тоонууд гарч ирдэг. Энэ баримт дээр үндэслэн олон туршилт хийдэг. Тийм ээ, шалгалттай төстэй илэрхийлэлийг улсын нэгдсэн шалгалтанд бүх ноцтойгоор (заримдаа бараг өөрчлөгдөөгүй) санал болгодог.

Логарифмаас илтгэгчийг гаргаж байна

Одоо даалгавраа бага зэрэг хүндрүүлье. Логарифмын суурь буюу аргумент нь хүч бол яах вэ? Дараах дүрмийн дагуу энэ зэргийн илтгэгчийг логарифмын тэмдгээс гаргаж болно.

Сүүлийн дүрэм нь эхний хоёрыг дагаж мөрддөгийг харахад хялбар байдаг. Гэхдээ үүнийг санаж байх нь дээр - зарим тохиолдолд энэ нь тооцооны хэмжээг эрс багасгах болно.

Мэдээжийн хэрэг, логарифмын ODZ ажиглагдвал эдгээр бүх дүрмүүд утга учиртай болно: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Бас нэг зүйл: бүх томъёог зөвхөн зүүнээс баруун тийш төдийгүй эсрэгээр нь хэрэглэж сур. , өөрөөр хэлбэл Та логарифмын тэмдгийн өмнөх тоонуудыг логарифм руу оруулж болно.

Логарифмыг хэрхэн шийдэх вэ

Энэ нь ихэвчлэн шаардлагатай байдаг.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log7 496.

Эхний томъёог ашиглан аргумент дахь зэрэглэлээс салцгаая.
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол:

Хуваарь нь логарифм агуулж байгааг анхаарна уу, түүний суурь ба аргумент нь яг тэнцүү зэрэгтэй: 16 = 24; 49 = 72. Бидэнд:

Сүүлийн жишээнд тодорхой тайлбар хэрэгтэй гэж бодож байна. Логарифмууд хаашаа явсан бэ? Эцсийн мөч хүртэл бид зөвхөн хуваагчтай ажилладаг. Бид тэнд зогсож буй логарифмын суурь ба аргументыг хүч чадлын хэлбэрээр танилцуулж, илтгэгчийг гаргаж авсан - бид "гурван давхар" бутархай авсан.

Одоо үндсэн бутархайг харцгаая. Тоолуур ба хуваагч нь ижил тоог агуулна: log2 7. log2 7 ≠ 0 тул бид бутархайг багасгаж болно - 2/4 нь хуваарьт үлдэх болно. Арифметикийн дүрмийн дагуу дөрвийг тоологч руу шилжүүлж болох бөгөөд энэ нь хийгдсэн зүйл юм. Үүний хариу нь: 2.

Шинэ суурь руу шилжих

Логарифмыг нэмэх, хасах дүрмийн талаар ярихдаа тэдгээр нь зөвхөн ижил суурьтай ажилладаг гэдгийг би онцлон тэмдэглэв. Шалтгаан нь өөр байвал яах вэ? Хэрэв тэдгээр нь яг ижил тооны хүчин чадал биш бол яах вэ?

Шинэ суурь руу шилжих томъёонууд аврах ажилд ирдэг. Тэдгээрийг теорем хэлбэрээр томъёолъё.

Логарифмын логаксыг өгье. Дараа нь c > 0 ба c ≠ 1 гэсэн дурын c тооны хувьд тэгш байдал үнэн болно:

Ялангуяа, хэрэв бид c = x гэж тохируулбал бид дараахь зүйлийг авна.

Хоёрдахь томъёоноос харахад логарифмын суурь ба аргументыг сольж болох боловч энэ тохиолдолд илэрхийлэл бүхэлдээ "эргэв", өөрөөр хэлбэл. логарифм нь хуваагч дээр гарч ирнэ.

Эдгээр томьёо нь энгийн тоон илэрхийлэлд ховор байдаг. Логарифмын тэгшитгэл ба тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх үед л тэдгээр нь хэр тохиромжтой болохыг үнэлэх боломжтой.

Гэхдээ шинэ суурь руу шилжсэнээс өөрөөр шийдэх боломжгүй асуудлууд бий. Эдгээрээс хэд хэдэн зүйлийг харцгаая:

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log5 16 log2 25.

Хоёр логарифмын аргументууд нь тодорхой хүчийг агуулдаг гэдгийг анхаарна уу. Шалгуур үзүүлэлтүүдийг гаргацгаая: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Одоо хоёр дахь логарифмыг "урвуу" болгоё:

Хүчин зүйлийг дахин тохируулах үед бүтээгдэхүүн өөрчлөгддөггүй тул бид дөрөв ба хоёрыг тайван үржүүлж, дараа нь логарифмуудыг авч үзсэн.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log9 100 lg 3.

Эхний логарифмын суурь ба аргумент нь яг хүч юм. Үүнийг бичиж, үзүүлэлтүүдээс салцгаая.

Одоо шинэ суурь руу шилжиж аравтын бутархай логарифмаас салцгаая.

Үндсэн логарифмын таних тэмдэг

Ихэнхдээ шийдлийн процесст тоог өгөгдсөн суурь руу логарифм хэлбэрээр илэрхийлэх шаардлагатай байдаг. Энэ тохиолдолд дараах томъёонууд бидэнд туслах болно.

Эхний тохиолдолд n тоо нь аргумент дахь илтгэгч болдог. n тоо нь юу ч байж болно, учир нь энэ нь зүгээр л логарифмын утга юм.

Хоёрдахь томьёо нь үнэндээ өөрчилсөн тодорхойлолт юм. Үүнийг ингэж нэрлэдэг: .

Үнэн хэрэгтээ, b тоог ийм зэрэгт аваачвал энэ түвшний b тоо нь а тоог өгдөг бол юу болох вэ? Энэ нь зөв: үр дүн нь ижил тоо юм. Энэ догол мөрийг дахин анхааралтай уншина уу - олон хүн гацах болно.

Шинэ суурь руу шилжих томьёоны нэгэн адил үндсэн логарифмын ижилсэл нь заримдаа цорын ганц боломжит шийдэл юм.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол:

log25 64 = log5 8 - зүгээр л логарифмын суурь ба аргументаас квадратыг авсан гэдгийг анхаарна уу. Ижил суурьтай хүчийг үржүүлэх дүрмийг харгалзан бид дараахь зүйлийг авна.

Хэрэв хэн нэгэн мэдэхгүй бол энэ бол Улсын нэгдсэн шалгалтын жинхэнэ даалгавар байсан :)

Логарифмын нэгж ба логарифмын тэг

Эцэст нь хэлэхэд, би шинж чанар гэж нэрлэгдэх боломжгүй хоёр ижил төстэй байдлыг өгөх болно - харин эдгээр нь логарифмын тодорхойлолтын үр дагавар юм. Тэд байнга асуудалд гарч ирдэг бөгөөд гайхмаар нь "дэвшилтэт" оюутнуудад хүртэл асуудал үүсгэдэг.

1. logaa = 1 байна. Нэг удаа, бүрмөсөн санаарай: энэ суурийн аль ч а суурийн логарифм нь өөрөө нэгтэй тэнцүү байна.
2. лога 1 = 0 байна. a суурь нь юу ч байж болно, гэхдээ аргумент нэгийг агуулж байвал логарифм нь тэгтэй тэнцүү байна! Учир нь a0 = 1 нь тодорхойлолтын шууд үр дагавар юм.

Энэ бол бүх өмч юм. Тэдгээрийг амьдралд хэрэгжүүлэх дадлага хийхээ мартуузай! Хичээлийн эхэнд хууран мэхлэх хуудсыг татаж аваад хэвлээд асуудлыг шийдээрэй.

Логарифм бүхий илэрхийллийг хөрвүүлэхдээ жагсаасан тэгшитгэлийг баруунаас зүүн тийш, зүүнээс баруун тийш хоёуланг нь ашигладаг.

Шинж чанаруудын үр дагаврыг цээжлэх шаардлагагүй гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй: хувиргалтыг хийхдээ та логарифмын үндсэн шинж чанарууд болон бусад баримтуудыг (жишээлбэл, b≥0-ийн хувьд) олж авах боломжтой. харгалзах үр дагавар гарч ирнэ. " Гаж нөлөө"Энэ арга нь шийдэл нь арай урт байх болно гэдгийг л харуулж байна. Жишээлбэл, томъёогоор илэрхийлсэн үр дагаваргүйгээр хийх зорилгоор , зөвхөн логарифмын үндсэн шинж чанаруудаас эхлэн та дараах хэлбэрийн хувиргалтын гинжин хэлхээг хийх шаардлагатай болно. .

Дээрх жагсаалтаас хамгийн сүүлийн үл хөдлөх хөрөнгийн талаар ижил зүйлийг хэлж болно, үүнд томъёогоор хариулна , учир нь энэ нь мөн логарифмын үндсэн шинж чанаруудаас хамаарна. Гол ойлгох ёстой зүйл бол илтгэгч дэх логарифмтай эерэг тооны зэрэглэл нь логарифмын тэмдгийн доорхи тоо болон түвшний суурь хоёрыг солих боломжтой байдаг. Шударга байхын тулд ийм төрлийн өөрчлөлтийг хэрэгжүүлэх жишээ практикт ховор байдгийг бид тэмдэглэж байна. Бид текстэнд цөөн хэдэн жишээ өгөх болно.

Тоон илэрхийллийг логарифм ашиглан хөрвүүлэх

Бид логарифмын шинж чанаруудыг санаж байсан, одоо илэрхийллийг хувиргахын тулд тэдгээрийг практикт хэрхэн ашиглах талаар сурах цаг болжээ. Хувьсагчтай илэрхийллээс илүү тоон хэллэгийг хөрвүүлэхээс эхлэх нь зүйн хэрэг, учир нь тэдгээр нь үндсийг сурахад илүү хялбар бөгөөд хялбар байдаг. Энэ бол бид хийх зүйл бөгөөд бид маш их зүйлээс эхлэх болно энгийн жишээнүүд, логарифмын хүссэн шинж чанарыг хэрхэн сонгох талаар сурахын тулд бид жишээнүүдийг аажмаар төвөгтэй болгож, эцсийн үр дүнд хүрэх хүртэл хэд хэдэн шинж чанарыг дараалан хэрэглэх шаардлагатай болно.

Логарифмын хүссэн шинж чанарыг сонгох

Логарифмын олон шинж чанарууд байдаг бөгөөд та тохирохыг нь сонгох чадвартай байх нь тодорхой бөгөөд энэ тохиолдолд шаардлагатай үр дүнд хүргэх болно. Ихэвчлэн хувиргаж буй логарифмын төрөл эсвэл илэрхийлэлийг логарифмын шинж чанарыг илэрхийлдэг томъёоны зүүн ба баруун хэсгийн төрлүүдтэй харьцуулах замаар үүнийг хийхэд хэцүү биш юм. Хэрэв томъёоны аль нэгний зүүн эсвэл баруун тал нь өгөгдсөн логарифм эсвэл илэрхийлэлтэй давхцаж байвал хувиргах явцад энэ шинж чанарыг ашиглах ёстой. Дараах жишээнүүд үүнийг тодорхой харуулж байна.

a log a b =b, a>0, a≠1, b>0 томьёонд тохирох логарифмын тодорхойлолтыг ашиглан илэрхийллийг хувиргах жишээнүүдээс эхэлье.

Жишээ.

Боломжтой бол тооцоол: a) 5 log 5 4, b) 10 log(1+2·π), c) , d) 2 log 2 (−7) , e) .

Шийдэл.

a) үсгийн доорх жишээнд a log a b бүтэц тодорхой харагдаж байгаа бөгөөд a=5, b=4. Эдгээр тоо нь a>0, a≠1, b>0 нөхцлийг хангасан тул та a log a b =b тэгшитгэлийг аюулгүй ашиглаж болно. Бидэнд 5 лог 5 4=4 байна.

b) Энд a=10, b=1+2·π, a>0, a≠1, b>0 нөхцөл хангагдсан. Энэ тохиолдолд 10 log(1+2·π) =1+2·π тэгшитгэл явагдана.

в) Энэ жишээнд бид a log a b хэлбэрийн зэрэгтэй харьцаж байна, энд ба b=ln15. Тэгэхээр .

Хэдийгээр a log a b (энд a=2, b=−7) төрөлд хамаарах боловч g үсгийн доорх илэрхийлэлийг a log a b =b томьёог ашиглан хөрвүүлэх боломжгүй. Шалтгаан нь логарифмын тэмдгийн дор сөрөг тоо агуулагдаж байгаа учир утгагүй юм. Түүнчлэн b=−7 тоо нь b>0 нөхцөлийг хангахгүй бөгөөд энэ нь a>0, a≠1, b> нөхцөлийг биелүүлэхийг шаарддаг тул a log a b =b томьёог ашиглах боломжгүй болгодог. 0. Тиймээс бид 2 log 2 (−7) -ийн утгыг тооцоолох талаар ярьж болохгүй. Энэ тохиолдолд 2 log 2 (−7) =−7 гэж бичих нь алдаа болно.

Үүний нэгэн адил, e) үсгийн доорх жишээнд маягтын шийдлийг өгөх боломжгүй юм , анхны илэрхийлэл нь утгагүй учраас.

Хариулт:

a) 5 log 5 4 =4, b) 10 log(1+2·π) =1+2·π, c) , г), д) илэрхийлэл нь утгагүй байна.

Эерэг тоог экспонент дахь логарифм бүхий эерэг ба нэгдмэл бус тооны зэрэглэлээр илэрхийлсэн хувиргалт нь ихэвчлэн хэрэгтэй байдаг. Энэ нь a log a b =b, a>0, a≠1, b>0 логарифмын ижил тодорхойлолт дээр үндэслэсэн боловч томъёог баруунаас зүүн тийш, өөрөөр хэлбэл b=a log a b хэлбэрээр хэрэглэнэ. . Жишээлбэл, 3=e ln3 эсвэл 5=5 log 5 5 .

Илэрхийллийг хувиргахдаа логарифмын шинж чанарыг ашиглан үргэлжлүүлье.

Жишээ.

Илэрхийллийн утгыг ол: a) log −2 1, b) log 1 1, c) log 0 1, d) log 7 1, e) log ln1, f) log1, g) log 3.75 1, h) log 5 π 7 1 .

Шийдэл.

a), b) ба c) үсгийн доорх жишээнүүдэд log −2 1, log 1 1, log 0 1 гэсэн илэрхийллүүд өгөгдсөн бөгөөд логарифмын суурь сөрөг тоо агуулаагүй тул утгагүй болно. тэг эсвэл нэг, учир нь бид зөвхөн эерэг ба нэгдлээс ялгаатай суурийн хувьд логарифмыг тодорхойлсон. Тиймээс a) - c) жишээн дээр илэрхийллийн утгыг олох асуудал байж болохгүй.

Бусад бүх даалгавруудад логарифмын суурь нь эерэг ба нэгдмэл бус тоо 7, e, 10, 3.75 ба 5·π 7-г агуулсан байх ба логарифмын тэмдгийн дор хаа сайгүй нэгж байх нь ойлгомжтой. Мөн бид нэгдмэл байдлын логарифмын шинж чанарыг мэддэг: a>0, a≠1 ямар ч тохиолдолд log a 1=0. Тиймээс b) - e) илэрхийллийн утгууд тэгтэй тэнцүү байна.

Хариулт:

a), b), c) илэрхийлэл утгагүй, d) log 7 1=0, e) ln1=0, f) log1=0, g) log 3.75 1=0, h) log 5 e 7 1= 0 .

Жишээ.

Тооцоол: a) , b) lne , c) lg10 , d) log 5 π 3 −2 (5 π 3 −2), д) log −3 (−3) , f) log 1 1 .

Шийдэл.

a>0, a≠1-д log a=1 томъёонд тохирох суурийн логарифмын шинж чанарыг ашиглах ёстой нь ойлгомжтой. Үнэн хэрэгтээ, бүх үсгийн доорх даалгавруудад логарифмын тэмдгийн доорх тоо нь түүний суурьтай давхцдаг. Тиймээс өгөгдсөн илэрхийлэл бүрийн утга нь 1 гэдгийг би шууд хэлмээр байна. Гэсэн хэдий ч та дүгнэлт хийх гэж яарах хэрэггүй: a) - г) үсгийн доорх даалгавруудад илэрхийллийн утга нь үнэхээр нэгтэй тэнцүү, e) ба е) даалгаварт анхны илэрхийлэл нь утгагүй байна. Эдгээр илэрхийллийн утгууд 1-тэй тэнцүү гэж хэлж болохгүй.

Хариулт:

a) , b) lne=1 , c) lg10=1 , d) log 5 π 3 −2 (5 π 3 −2)=1, e), f) илэрхийлэл нь утгагүй байна.

Жишээ.

Утгыг ол: a) log 3 3 11, b) , c) , d) log −10 (−10) 6 .

Шийдэл.

Мэдээжийн хэрэг, логарифмын шинж тэмдгүүдийн дор суурийн зарим хүч байдаг. Үүний үндсэн дээр бид энд суурийн зэрэглэлийн шинж чанар хэрэгтэй болно гэдгийг ойлгож байна: log a a p =p, энд a>0, a≠1 ба p нь дурын байна. бодит тоо. Үүнийг харгалзан үзвэл дараах үр дүн гарч байна: a) log 3 3 11 =11, b) , V) . log −10 (−10) 6 =6 хэлбэрийн d) үсгийн доор жишээнд ижил тэгш байдлыг бичиж болох уу? Үгүй, та чадахгүй, учир нь log −10 (−10) 6 илэрхийлэл нь утгагүй юм.

Хариулт:

a) log 3 3 11 =11, b) , V) , г) илэрхийлэл нь утгагүй байна.

Жишээ.

Илэрхийллийг ижил суурийг ашиглан логарифмын зөрүү буюу нийлбэр хэлбэрээр үзүүлнэ үү: a) , b) , c) log((−5)·(−12)) .

Шийдэл.

a) Логарифмын тэмдгийн дор үржвэр байх ба бид үржвэрийн логарифмын шинж чанарыг мэддэг log a (x·y)=log a x+log a y, a>0, a≠1, x>0 , y>0. Манай тохиолдолд логарифмын суурь дахь тоо ба бүтээгдэхүүн дэх тоонууд эерэг, өөрөөр хэлбэл сонгосон өмчийн нөхцлийг хангаж байгаа тул бид үүнийг аюулгүйгээр ашиглаж болно. .

b) Энд a>0, a≠1, x>0, y>0 байх хэсгийн логарифмын шинж чанарыг ашиглана. Манай тохиолдолд логарифмын суурь нь эерэг тоо e, хуваагч ба хуваагч π эерэг бөгөөд энэ нь өмчийн нөхцөлийг хангаж байна гэсэн үг тул бид сонгосон томъёог ашиглах эрхтэй. .

в) Эхлээд log((−5)·(−12)) илэрхийлэл утга учиртай болохыг анхаарна уу. Гэхдээ үүний зэрэгцээ бид log a (x y)=log a x+log a y, a>0, a≠1, x>0, y үржвэрийн логарифмын томъёог хэрэглэх эрхгүй. >0, учир нь тоонууд −5 ба −12 – сөрөг бөгөөд x>0, y>0 нөхцөлийг хангахгүй. Өөрөөр хэлбэл, та ийм өөрчлөлтийг хийж чадахгүй. log((−5)·(−12))=лог(−5)+лог(−12). Тэгэхээр бид яах ёстой вэ? Ийм тохиолдолд сөрөг тооноос зайлсхийхийн тулд анхны илэрхийлэлд урьдчилсан хувиргалт хийх шаардлагатай. Бид нийтлэлүүдийн аль нэгэнд логарифмын тэмдгийн дор сөрөг тоо бүхий илэрхийлэлүүдийг хувиргах ижил төстэй тохиолдлуудын талаар дэлгэрэнгүй ярих болно, гэхдээ одоогоор бид энэ жишээний шийдлийг урьдчилан тодорхой бөгөөд тайлбаргүйгээр өгөх болно. log((−5)·(−12))=log(5·12)=log5+lg12.

Хариулт:

A) , б) , в) log((−5)·(−12))=log5+lg12.

Жишээ.

Илэрхийллийг хялбарчлах: a) log 3 0.25+log 3 16+log 3 0.5, b) .

Шийдэл.

Энд бидний өмнөх жишээн дээр ашигласан бүтээгдэхүүний логарифм ба логгарифмын ижил шинж чанарууд бидэнд туслах болно, зөвхөн одоо бид тэдгээрийг баруунаас зүүн тийш ашиглах болно. Өөрөөр хэлбэл, бид логарифмын нийлбэрийг бүтээгдэхүүний логарифм болгон, логарифмын зөрүүг хэсгийн логарифм болгон хувиргадаг. Бидэнд байна
A) бүртгэл 3 0.25+лог 3 16+лог 3 0.5=лог 3 (0.25 16 0.5)=лог 3 2.
б) .

Хариулт:

A) бүртгэл 3 0.25+лог 3 16+лог 3 0.5=лог 3 2, б) .

Жишээ.

Логарифмын тэмдгийн дор зэрэглэлээс ангижрах: a) log 0.7 5 11, b) , в) лог 3 (−5) 6 .

Шийдэл.

Бид log a b p хэлбэрийн илэрхийллүүдтэй харьцаж байгааг харахад хялбар байдаг. Логарифмын харгалзах шинж чанар нь log a b p =p·log a b хэлбэртэй байх ба энд a>0, a≠1, b>0, p - дурын бодит тоо. Өөрөөр хэлбэл, a>0, a≠1, b>0 нөхцөл хангагдсан тохиолдолд a b p чадлын логарифмаас бид p·log a b үржвэр рүү шилжиж болно. Өгөгдсөн илэрхийллүүдээр энэ хувиргалтыг хийцгээе.

a) Энэ тохиолдолд a=0.7, b=5, p=11. Тэгэхээр log 0.7 5 11 =11·log 0.7 5.

b) Энд a>0, a≠1, b>0 нөхцлүүд хангагдана. Тийм ч учраас

в) log 3 (−5) 6 илэрхийлэл нь log a b p , a=3 , b=−5 , p=6 гэсэн бүтэцтэй ижил байна. Харин b-ийн хувьд b>0 нөхцөл хангагдаагүй учир log a b p =p·log a b томъёог хэрэглэх боломжгүй болгодог. Юу вэ, чи даалгавраа даван туулж чадахгүй байна уу? Энэ нь боломжтой, гэхдээ илэрхийллийн урьдчилсан хувиргалт хийх шаардлагатай бөгөөд үүнийг бид доор гарч буй догол мөрөнд дэлгэрэнгүй авч үзэх болно. Шийдэл нь дараах байдалтай байх болно. log 3 (−5) 6 =log 3 5 6 =6 log 3 5.

Хариулт:

a) лог 0.7 5 11 =11 log 0.7 5 ,
б)
в) log 3 (−5) 6 =6·log 3 5.

Ихэнх тохиолдолд хувиргалт хийхдээ зэрэглэлийн логарифмын томъёог баруунаас зүүн тийш p·log a b=log a b p (a, b, p-ийн хувьд ижил нөхцөл хангасан байх ёстой) хэлбэрээр хэрэглэх шаардлагатай болдог. Жишээлбэл, 3·ln5=ln5 3 ба log2·log 2 3=log 2 3 lg2.

Жишээ.

a) log2≈0.3010 ба log5≈0.6990 гэдгийг мэдэж байвал log 2 5-ын утгыг тооцоол. б) Бутархайг 3 суурьтай логарифм хэлбэрээр илэрхийлнэ.

Шийдэл.

a) Шинэ логарифмын суурь руу шилжих томъёо нь энэ логарифмийг аравтын бутархай логарифмын харьцаагаар харуулах боломжийг бидэнд олгодог бөгөөд тэдгээрийн утгууд нь бидэнд мэдэгддэг: . Зөвхөн тооцоо хийх л үлдлээ, бидэнд байна .

б) Энд шинэ суурь руу шилжих томъёог ашиглаж, баруунаас зүүн тийш, өөрөөр хэлбэл хэлбэрээр ашиглахад хангалттай. . Бид авдаг .

Хариулт:

a) log 2 5≈2.3223, b) .

Энэ үе шатанд бид логарифмын үндсэн шинж чанарууд болон логарифмын тодорхойлолтыг ашиглан хамгийн энгийн хэллэгүүдийн хувиргалтыг сайтар судалж үзсэн. Эдгээр жишээн дээр бид нэг өмчийг ашиглах ёстой байсан бөгөөд үүнээс өөр зүйл байхгүй. Одоо цэвэр ухамсартайгаар та жишээнүүд рүү шилжиж болно, тэдгээрийг хувиргахад логарифмын хэд хэдэн шинж чанар болон бусад нэмэлт өөрчлөлтүүдийг ашиглах шаардлагатай болно. Бид дараагийн догол мөрөнд тэдэнтэй харьцах болно. Гэхдээ үүнээс өмнө логарифмын үндсэн шинж чанаруудын үр дагаврыг ашиглах жишээг товчхон авч үзье.

Жишээ.

a) Логарифмын тэмдгийн доорх үндсийг арилгана. б) Бутархайг 5 суурьтай логарифм болгон хөрвүүлнэ. в) Логарифмын тэмдэг болон түүний суурийн доорх эрх мэдлээс өөрийгөө чөлөөл. d) Илэрхийллийн утгыг тооцоол . e) Илэрхийлэлийг 3-р суурьтай зэрэглэлээр солино.

Шийдэл.

a) Хэрэв бид градусын логарифмын шинж чанараас үүссэн үр дүнг эргэн санавал , дараа нь та тэр даруй хариулт өгч болно: .

б) Энд бид томъёог ашигладаг баруунаас зүүн тийш, бид байна .

в) Энэ тохиолдолд томъёо нь үр дүнд хүргэдэг . Бид авдаг .

г) Энд томъёонд тохирох үр дүнг ашиглахад хангалттай . Тэгэхээр .

e) Логарифмын шинж чанар хүрэх боломжийг бидэнд олгодог хүссэн үр дүн: .

Хариулт:

A) . б) . V) . G) . г) .

Олон шинж чанарыг дараалан ашиглах

Логарифмын шинж чанарыг ашиглан илэрхийлэлийг хувиргах бодит ажлууд нь бидний өмнөх догол мөрөнд авч үзсэнээс илүү төвөгтэй байдаг. Дүрмээр бол үр дүнг нэг алхамаар олж авдаггүй, гэхдээ шийдэл нь хаалт нээх, ижил төстэй нэр томъёог авчрах, бутархайг багасгах гэх мэт нэмэлт ижил хувиргалтын хамт нэг шинж чанарыг дараалан хэрэглэхээс бүрддэг. . Тиймээс ийм жишээнүүд рүү ойртъё. Үүнд ямар ч төвөгтэй зүйл байхгүй, гол зүйл бол үйлдлийн дарааллыг ажиглаж, анхааралтай, тууштай ажиллах явдал юм.

Жишээ.

Илэрхийллийн утгыг тооцоол (лог 3 15−log 3 5) 7 log 7 5.

Шийдэл.

Хаалтанд байгаа логарифмын зөрүүг логгарифмын шинж чанарын дагуу лог 3 (15:5) логарифмаар сольж, дараа нь түүний утгыг log 3 (15:5)=log 3 3=1 гэж тооцож болно. Логарифмын тодорхойлолтоор 7 log 7 5 илэрхийллийн утга нь 5-тай тэнцүү байна. Эдгээр үр дүнг анхны илэрхийлэл болгон орлуулснаар бид олж авна (лог 3 15−log 3 5) 7 log 7 5 =1 5=5.

Энд тайлбаргүйгээр шийдэл байна:
(лог 3 15−log 3 5) 7 log 7 5 =log 3 (15:5) 5=
=лог 3 3·5=1·5=5 .

Хариулт:

(лог 3 15−log 3 5) 7 log 7 5 =5.

Жишээ.

log 3 log 2 2 3 −1 тоон илэрхийллийн утга хэд вэ?

Шийдэл.

Бид эхлээд чадлын логарифмын томъёог ашиглан логарифмыг логарифмын тэмдгийн дор хувиргана: log 2 2 3 =3. Ингээд log 3 log 2 2 3 =log 3 3, дараа нь log 3 3=1 байна. Тэгэхээр log 3 log 2 2 3 −1=1−1=0 .

Хариулт:

log 3 log 2 2 3 −1=0 .

Жишээ.

Илэрхийлэлийг хялбарчлах.

Шийдэл.

Шинэ логарифмын суурь руу шилжих томьёо нь логарифмуудын нэг суурьтай харьцуулсан харьцааг лог 3 5 хэлбэрээр илэрхийлэх боломжийг олгодог. Энэ тохиолдолд анхны илэрхийлэл нь хэлбэрийг авна. Логарифмын тодорхойлолтоор 3 log 3 5 =5, өөрөөр хэлбэл , мөн логарифмын ижил тодорхойлолтын ачаар үүссэн илэрхийллийн утга нь хоёртой тэнцүү байна.

Энд ихэвчлэн өгөгдсөн шийдлийн богино хувилбар байна: .

Хариулт:

.

Дараагийн догол мөр дэх мэдээлэл рүү жигд шилжихийн тулд 5 2+лог 5 3, log0.01 илэрхийллүүдийг харцгаая. Тэдний бүтэц нь логарифмын шинж чанаруудад тохирохгүй. Тэгэхээр юу болох вэ, тэдгээрийг логарифмын шинж чанарыг ашиглан хөрвүүлэх боломжгүй юу? Хэрэв та логарифмын шинж чанарыг ашиглахын тулд эдгээр илэрхийллийг бэлтгэх урьдчилсан хувиргалтыг хийвэл боломжтой. Тэгэхээр 5 2+лог 5 3 =5 2 5 бүртгэл 5 3 =25 3=75, ба log0.01=log10 −2 =−2. Дараа нь бид ийм илэрхийлэл бэлтгэх ажлыг хэрхэн хийж байгааг нарийвчлан авч үзэх болно.

Логарифмын шинж чанарыг ашиглах илэрхийлэл бэлтгэх

Хөрвүүлж буй илэрхийлэл дэх логарифмууд нь логарифмын шинж чанарт харгалзах томъёоны зүүн ба баруун хэсгээс тэмдэглэгээний бүтцээрээ маш их ялгаатай байдаг. Гэхдээ эдгээр илэрхийлэлийг өөрчлөх нь логарифмын шинж чанарыг ашиглах явдал юм: тэдгээрийг ашиглах нь зөвхөн урьдчилсан бэлтгэл шаарддаг. Энэхүү бэлтгэл нь логарифмыг шинж чанарыг ашиглахад тохиромжтой хэлбэрт хүргэх тодорхой ижил хувиргалтыг хийхээс бүрдэнэ.

Шударга байхын тулд бараг бүх илэрхийлэлийн хувиргалт нь ижил төстэй нэр томъёог багасгахаас эхлээд тригонометрийн томъёог ашиглах хүртэлх урьдчилсан хувиргалт болж чадна гэдгийг бид тэмдэглэж байна. Энэ нь ойлгомжтой, учир нь хувиргаж буй илэрхийллүүд нь хаалт, модуль, бутархай, үндэс, хүч гэх мэт ямар ч математик объектыг агуулж болно. Тиймээс логарифмын шинж чанарыг цаашид ашиглахын тулд шаардлагатай бүх хувиргалтыг хийхэд бэлэн байх ёстой.

Энэ мөчид бид логарифмын шинж чанарууд эсвэл логарифмын тодорхойлолтыг дараа нь ашиглах боломжийг олгох боломжтой бүх урьдчилсан хувиргалтыг ангилж, дүн шинжилгээ хийх зорилт тавиагүй гэдгийг шууд хэлье. Энд бид практикт хамгийн түгээмэл бөгөөд хамгийн их тохиолддог дөрөвхөнд нь л анхаарлаа хандуулах болно.

Одоо тэд тус бүрийн талаар дэлгэрэнгүй ярих болно, үүний дараа бидний сэдвийн хүрээнд логарифмын тэмдгийн дор хувьсагчтай илэрхийлэлийн хувиргалтыг ойлгоход л үлддэг.

Логарифмын тэмдэг ба түүний суурь дээрх хүчийг тодорхойлох

Нэг жишээгээр шууд эхэлцгээе. Логарифм гаргацгаая. Энэ хэлбэрээр түүний бүтэц нь логарифмын шинж чанарыг ашиглахад тохиромжгүй нь ойлгомжтой. Энэ илэрхийллийг хялбарчлахын тулд ямар нэгэн байдлаар хувиргаж, утгыг нь илүү сайн тооцоолох боломжтой юу? Энэ асуултад хариулахын тулд 81 ба 1/9 тоонуудыг жишээн дээрээ нарийвчлан авч үзье. Эндээс харахад эдгээр тоонууд нь 3, үнэхээр 81 = 3 4 ба 1/9 = 3 −2 гэсэн хүчийг илэрхийлж болно. Энэ тохиолдолд анхны логарифмыг хэлбэрээр танилцуулж, томъёог ашиглах боломжтой болно . Тэгэхээр, .

Шинжилсэн жишээнд дүн шинжилгээ хийх нь дараахь бодлыг төрүүлдэг: хэрэв боломжтой бол логарифмын шинж чанар эсвэл түүний үр дагаврыг ашиглахын тулд та логарифмын тэмдгийн дор болон түүний суурь дээр зэрэглэлийг тусгаарлахыг оролдож болно. Эдгээр зэрэглэлийг хэрхэн ялгахыг олж мэдэх л үлдлээ. Энэ асуудлаар хэдэн зөвлөмж өгье.

Заримдаа логарифмын тэмдгийн доорх тоо болон/эсвэл түүний суурь дахь тоо нь дээр дурдсан жишээн дээрх бүхэл тооны хүчийг илэрхийлдэг нь тодорхой байдаг. Бараг байнга л сайн мэддэг хоёрын зэрэгтэй харьцах хэрэгтэй болдог: 4=2 2, 8=2 3, 16=2 4, 32=2 5, 64=2 6, 128=2 7, 256=2 8 , 512= 2 9, 1024=2 10. Гуравын хүчний талаар мөн адил зүйлийг хэлж болно: 9 = 3 2, 27 = 3 3, 81 = 3 4, 243 = 3 5, ... Ерөнхийдөө таны нүдний өмнө байвал энэ нь өвдөхгүй. натурал тоонуудын чадлын хүснэгтхэдэн арван дотор. Мөн арав, нэг зуу, мянга гэх мэт бүхэл тоон зэрэгтэй ажиллахад хэцүү биш.

Жишээ.

Утгыг тооцоолох эсвэл илэрхийллийг хялбарчлах: a) log 6 216, b) , c) log 0.000001 0.001.

Шийдэл.

a) Мэдээжийн хэрэг, 216=6 3, тэгэхээр log 6 216=log 6 6 3 =3.

б) Натурал тоонуудын чадлын хүснэгт нь 343 ба 1/243 тоог 7 3 ба 3 −4 зэрэгт тус тус илэрхийлэх боломжийг олгоно. Тиймээс өгөгдсөн логарифмын дараах хувиргалтыг хийх боломжтой.

в) 0.000001=10 −6 ба 0.001=10 −3 тул log 0.000001 0.001=log 10 −6 10 −3 =(−3)/(−6)=1/2.

Хариулт:

a) log 6 216=3, b) , в) лог 0.000001 0.001=1/2.

Илүү их хүнд хэцүү тохиолдлуудтоонуудын хүчийг ялгахын тулд .

Жишээ.

Илэрхийлэлийг илүү болгон хувирга энгийн үзэмж log 3 648 log 2 3 .

Шийдэл.

648-ын хүчин зүйлчлэл гэж юу болохыг харцгаая.

Энэ нь 648=2 3 ·3 4 гэсэн үг. Тиймээс, log 3 648 log 2 3=log 3 (2 3 3 4) log 2 3.

Одоо бид бүтээгдэхүүний логарифмийг логарифмын нийлбэр болгон хувиргасны дараа бид чадлын логарифмын шинж чанарыг ашиглана.
бүртгэл 3 (2 3 3 4)лог 2 3=(лог 3 2 3 +лог 3 3 4)лог 2 3=
=(3·log 3 2+4)·log 2 3 .

Томъёонд тохирох чадлын логарифмын шинж чанарын үр дүнд , log32·log23 үржвэр нь -ийн үржвэр бөгөөд мэдэгдэж байгаагаар нэгтэй тэнцүү байна. Үүнийг харгалзан үзвэл бид олж авдаг 3 лог 3 2 лог 2 3+4 лог 2 3=3 1+4 лог 2 3=3+4 бүртгэл 2 3.

Хариулт:

log 3 648 log 2 3=3+4 log 2 3.

Ихэнх тохиолдолд логарифмын тэмдгийн доорх илэрхийлэл ба түүний суурийн үржвэр буюу язгуурын харьцаа ба/эсвэл зарим тоонуудын зэрэглэлийг илэрхийлдэг, жишээлбэл, , . Ийм илэрхийлэлийг эрх мэдэл гэж илэрхийлж болно. Үүнийг хийхийн тулд язгуураас хүч рүү шилжих шилжилтийг хийж, ашигладаг. Эдгээр хувиргалтууд нь логарифмын тэмдэг ба түүний суурийн дор хүчийг тусгаарлаж, дараа нь логарифмын шинж чанарыг ашиглах боломжийг олгодог.

Жишээ.

Тооцоолох: a) , б) .

Шийдэл.

a) Логарифмын суурь дахь илэрхийлэл нь бидэнтэй ижил суурьтай хүчнүүдийн үржвэр юм 5 2 ·5 −0,5 ·5 −1 =5 2−0,5−1 =5 0,5.

Одоо логарифмын тэмдгийн дор бутархайг хувиргая: бид язгуураас хүч рүү шилжиж, дараа нь ижил суурьтай чадлын харьцааны шинж чанарыг ашиглана. .

Хүлээн авсан үр дүнг анхны илэрхийлэл болгон орлуулж, томъёог ашиглана уу болон хувиргалтыг дуусгах:

b) 729 = 3 6 ба 1/9 = 3 −2 тул анхны илэрхийллийг дахин бичиж болно.

Дараа нь бид чадлын язгуурын шинж чанарыг хэрэглэж, язгуураас хүч рүү шилжиж, логарифмын суурийг зэрэгт шилжүүлэхийн тулд чадлын харьцааны шинж чанарыг ашиглана. .

Сүүлийн үр дүнг харгалзан бид байна .

Хариулт:

A) , б) .

Ерөнхий тохиолдолд логарифмын тэмдгээр болон түүний суурь дээр хүчийг олж авахын тулд янз бүрийн илэрхийллийн янз бүрийн хувиргалт шаардлагатай байж болох нь тодорхой байна. Хэд хэдэн жишээ хэлье.

Жишээ.

Энэ илэрхийлэл нь ямар утгатай вэ: a) , б) .

Шийдэл.

Өгөгдсөн илэрхийлэл нь A=2, B=x+1 ба p=4 log A B p хэлбэртэй байгааг бид цаашид тэмдэглэж байна. Бид энэ төрлийн тоон илэрхийллүүдийг a b p =p·log a b чадлын логарифмын шинж чанарын дагуу хувиргасан тул өгөгдсөн илэрхийллийн дагуу би үүнтэй ижил зүйлийг хийж, log 2 (x+1) 4-ээс шилжихийг хүсч байна. 4·log 2 (x+1) . Одоо анхны илэрхийлэл болон хувиргасны дараа олж авсан илэрхийлэлийн утгыг тооцоолъё, жишээ нь x=−2. Бидэнд log 2 (−2+1) 4 =log 2 1=0 , ба 4 log 2 (−2+1)=4 log 2 (−1)- утгагүй илэрхийлэл. Эндээс “Бид юуг буруу хийсэн бэ?” гэсэн логик асуулт гарч ирнэ.

Үүний шалтгаан нь: log a b p =p·log a b томъёонд үндэслэн бид log 2 (x+1) 4 =4·log 2 (x+1) хувиргалтыг хийсэн боловч бид энэ томъёог хэрэглэх эрхтэй. a >0, a≠1, b>0, p нөхцөл бол зөвхөн ямар ч бодит тоо. Өөрөөр хэлбэл, бидний хийсэн хувиргалт x+1>0 буюу x>−1-тэй ижил байвал (A ба p-ийн хувьд нөхцөл хангагдсан) явагдана. Гэтэл манайд анхны илэрхийллийн х хувьсагчийн ODZ нь зөвхөн x>−1 интервалаас гадна x интервалаас бүрддэг.<−1 . Но для x<−1 мы не имели права осуществлять преобразование по выбранной формуле.

DL-ийг харгалзан үзэх шаардлагатай

Сонгосон илэрхийллийн өөрчлөлтийг үргэлжлүүлэн задлан шинжилье log 2 (x+1) 4 , одоо 4 · log 2 (x+1) илэрхийлэл рүү шилжих үед ODZ-д юу тохиолдохыг харцгаая. Өмнөх догол мөрөнд бид анхны илэрхийллийн ODZ-ийг олсон - энэ нь олонлог юм (−∞, −1)∪(−1, +∞) . Одоо 4·log 2 (x+1) илэрхийллийн x хувьсагчийн зөвшөөрөгдөх утгын мужийг олцгооё. (−1, +∞) олонлогт тохирох x+1>0 нөхцөлөөр тодорхойлогдоно. Лог 2 (x+1) 4-ээс 4·log 2 (x+1) руу шилжих үед зөвшөөрөгдөх утгуудын хүрээ нарийсах нь тодорхой байна. Энэ нь янз бүрийн сөрөг үр дагаварт хүргэж болзошгүй тул DL-ийг нарийсгахад хүргэдэг өөрчлөлтөөс зайлсхийхийг бид зөвшөөрсөн.

Өөрчлөлтийн алхам бүрт OA-ийг хянаж, нарийсахаас урьдчилан сэргийлэх нь ашигтай гэдгийг энд тэмдэглэх нь зүйтэй. Хэрэв өөрчлөлтийн зарим үе шатанд гэнэт DL нарийссан бол энэ өөрчлөлтийг зөвшөөрөх эсэх, бид үүнийг хийх эрхтэй эсэхийг сайтар судалж үзэх нь зүйтэй юм.

Шударга байхын тулд практик дээр бид ихэвчлэн хувьсагчийн хувьсах утга нь хувиргалтыг хийхдээ логарифмын шинж чанарыг бидэнд аль хэдийн мэдэгдэж байсан хэлбэрээр хязгаарлалтгүйгээр ашиглах боломжтой илэрхийллүүдтэй ажиллах ёстой гэж үзье. зүүнээс баруун тийш, баруунаас зүүн тийш. Та үүнд хурдан дасаж, өөрчлөлтийг хийх боломжтой эсэх талаар бодохгүйгээр механикаар хийж эхэлдэг. Ийм мөчид, азаар логарифмын шинж чанарыг хайхрамжгүй ашиглах нь алдаа гаргахад хүргэдэг илүү төвөгтэй жишээнүүд алга болдог. Тиймээс та үргэлж сонор сэрэмжтэй байж, ОДЗ-ийн нарийсалт байхгүй эсэхийг шалгах хэрэгтэй.

Логарифмын шинж чанарт суурилсан үндсэн хувиргалтыг тусад нь тодруулах нь гэмтээхгүй бөгөөд үүнийг маш болгоомжтой хийх ёстой бөгөөд энэ нь OD-ийн нарийсалт, үр дүнд нь алдаа гарахад хүргэдэг.

Логарифмын шинж чанарт суурилсан илэрхийллийн зарим хувиргалт нь мөн эсрэгээр - ODZ-ийг өргөжүүлэхэд хүргэдэг. Жишээлбэл, 4·log 2 (x+1)-ээс log 2 (x+1) 4 руу шилжих нь ODZ-ийг (−1, +∞) олонлогоос (−∞, −1)∪(−1,) болгон өргөжүүлнэ. +∞). Хэрэв бид анхны илэрхийлэлд зориулсан ODZ-ийн хүрээнд үлдэх юм бол ийм өөрчлөлтүүд явагдана. Тэгэхээр сая дурдсан 4·log 2 (x+1)=log 2 (x+1) 4 хувиргалт нь 4·log 2 (x+1) гэсэн анхны илэрхийллийн хувьд x хувьсагчийн ODZ дээр явагдана. x+1> 0, энэ нь (−1, +∞)-тэй ижил байна.

Одоо бид логарифмын шинж чанарыг ашиглан хувьсагчтай илэрхийллийг хувиргахдаа анхаарах ёстой нюансуудын талаар ярилцсан тул эдгээр хувиргалтыг хэрхэн зөв хийх талаар олж мэдэх л үлдлээ.

X+2>0. Энэ нь манай тохиолдолд ажилладаг уу? Энэ асуултад хариулахын тулд x хувьсагчийн ODZ-ийг харцгаая. Энэ нь тэгш бус байдлын системээр тодорхойлогддог , энэ нь x+2>0 нөхцөлтэй тэнцэнэ (шаардлагатай бол нийтлэлийг үзнэ үү тэгш бус байдлын системийг шийдвэрлэх). Тиймээс бид чадлын логарифмын шинж чанарыг найдвартай ашиглаж чадна.

Бидэнд байна
3 log(x+2) 7 −log(x+2)−5 log(x+2) 4 =
=3·7·log(x+2)−log(x+2)−5·4·log(x+2)=
=21·log(x+2)−log(x+2)−20·log(x+2)=
=(21−1−20)·log(x+2)=0 .

Та өөрөөр ажиллаж болно, аз болоход ODZ танд үүнийг хийхийг зөвшөөрдөг, жишээлбэл:

Хариулт:

3 log(x+2) 7 −log(x+2)−5 log(x+2) 4 =0.

Гэхдээ ОДЗ дээр логарифмын шинж чанарыг дагалдах нөхцөл хангагдаагүй тохиолдолд яах вэ? Бид үүнийг жишээгээр ойлгох болно.

log(x+2) 4 − log(x+2) 2 илэрхийллийг хялбарчлахыг биднээс шаардацгаая. Энэ илэрхийллийн өөрчлөлт нь өмнөх жишээн дээрх илэрхийллээс ялгаатай нь хүч чадлын логарифмын өмчийг чөлөөтэй ашиглах боломжийг олгодоггүй. Яагаад? Энэ тохиолдолд x хувьсагчийн ODZ нь x>−2 ба x хоёр интервалын нэгдэл юм<−2 . При x>−2 бид чадлын логарифмын шинж чанарыг хялбархан хэрэглэж, дээрх жишээний дагуу ажиллаж болно. log(x+2) 4 −log(x+2) 2 =4 · log(x+2)−2 · log(x+2)=2 · log(x+2). Гэхдээ ODZ нь дахиад нэг x+2 интервалыг агуулна<0 , для которого последнее преобразование будет некорректно. Что же делать при x+2<0 ? В подобных случаях на помощь приходит . Определение модуля позволяет выражение x+2 при x+2<0 представить как −|x+2| . Тогда при x+2<0 от lg(x+2) 4 −lg(x+2) 2 переходим к log(−|x+2|) 4 −log(−|x+2|) 2ба цаашлаад k lg|x+2| зэрэглэлийн шинж чанараас шалтгаална 4 −lg|x+2| 2. Хувьсагчийн дурын утгын хувьд |x+2|>0 байх тул үр дүнгийн илэрхийлэлийг чадлын логарифмын шинж чанарыг ашиглан хувиргаж болно. Бидэнд байна log|x+2| 4 −lg|x+2| 2 =4·lg|x+2|−2·lg|x+2|=2·lg|x+2|. Одоо модуль үүргээ гүйцэтгэсэн тул та өөрийгөө чөлөөлж болно. Бид х+2 дээр хувиргалтыг хийдэг<0 , то 2·lg|x+2|=2·lg(−(x+2)) . Итак, можно считать, что мы справились с поставленной задачей. Ответ: . Полученный результат можно записать компактно с использованием модуля как .

Модулиудтай ажиллах нь танил болохын тулд өөр нэг жишээг харцгаая. Илэрхийлэлээс төсөөлцгөөе x−1, x−2, x−3 шугаман биномуудын логарифмын нийлбэр ба зөрүү рүү оч. Эхлээд бид ODZ-ийг олно:

(3, +∞) интервал дээр x−1, x−2 ба x−3 илэрхийллийн утгууд эерэг байх тул нийлбэр ба ялгааны логарифмын шинж чанарыг хялбархан ашиглаж болно.

Мөн (1, 2) интервал дээр x−1 илэрхийллийн утгууд эерэг, x−2 ба x−3 илэрхийллийн утгууд сөрөг байна. Тиймээс авч үзсэн интервал дээр бид модулийг −|x−2| гэж ашиглан x−2 ба x−3-ыг илэрхийлнэ

ба −|x−3|

Бидэнд байна

тус тус. Үүний зэрэгцээ

Одоо бид бүтээгдэхүүний логарифмын шинж чанаруудыг ашиглаж болно, учир нь авч үзсэн интервал (1, 2) дээр x−1 , |x−2| илэрхийллийн утгууд байна.

• ба |x−3|
• - эерэг.
• Хүлээн авсан үр дүнг нэгтгэж болно:

Ерөнхийдөө ижил төстэй үндэслэл нь бүтээгдэхүүний логарифм, харьцаа, градусын томъёонд үндэслэн хэрэглэхэд тохиромжтой гурван практик үр дүнг авах боломжийг олгодог.

Жишээ.

log a (X·Y) хэлбэрийн дурын X ба Y хоёр илэрхийллийн үржвэрийн логарифмыг log a |X|+log a |Y| логарифмын нийлбэрээр сольж болно. , a>0, a≠1 . .

Шийдэл.

Тодорхой логарифм log a (X:Y) -ийг log a |X|−log a |Y| логарифмын зөрүүгээр сольж болно. , a>0, a≠1, X ба Y нь дурын илэрхийлэл юм.

Зарим В илэрхийллийн логарифмаас log a B p хэлбэрийн тэгш p хүртэлх p·log a |B| илэрхийлэл рүү орж болно. , энд a>0, a≠1, p нь тэгш тоо, B нь дурын илэрхийлэл юм.

Үүнтэй төстэй үр дүнг жишээлбэл, М.И.Сканавигийн найруулсан их дээд сургуульд элсэгчдэд зориулсан математикийн асуудлын цуглуулгад экспоненциал ба логарифм тэгшитгэлийг шийдвэрлэх зааварт өгсөн болно.

Илэрхийлэлийг хялбарчлах

Хүч, нийлбэр, ялгаварын логарифмын шинж чанаруудыг хэрэглэх нь зүйтэй юм. Гэхдээ бид үүнийг энд хийж чадах уу? Энэ асуултад хариулахын тулд бид DZ-ийг мэдэх хэрэгтэй.

Үүнийг тодорхойлъё:

Х хувьсагчийн зөвшөөрөгдөх утгын муж дахь x+4, x−2 ба (x+4) 13 илэрхийлэл нь эерэг ба сөрөг утгыг хоёуланг нь авч болох нь ойлгомжтой. Тиймээс бид модулиудаар ажиллах хэрэгтэй болно.

Логарифмыг ямар ч тоонуудын нэгэн адил нэмэх, хасах, өөрчлөх боломжтой. Гэхдээ логарифмууд нь яг энгийн тоо биш тул энд дүрэм гэж байдаг үндсэн шинж чанарууд.

Та эдгээр дүрмийг мэдэх нь гарцаагүй - нэг ч ноцтой логарифмын асуудлыг тэдэнгүйгээр шийдэж чадахгүй. Нэмж дурдахад тэд маш цөөхөн байдаг - та нэг өдрийн дотор бүгдийг сурч чадна. Ингээд эхэлцгээе.

Модулийн шинж чанарууд нь үүнийг дахин бичих боломжийг олгодог

Түүнчлэн, хүч чадлын логарифмын шинж чанарыг ашиглах, дараа нь ижил төстэй нэр томъёог авчрахад юу ч саад болохгүй. Өөр нэг өөрчлөлтийн дараалал нь ижил үр дүнд хүргэдэг: ODZ дээр x−2 илэрхийлэл нь эерэг ба сөрөг утгыг хоёуланг нь авч болох тул тэгш илтгэгч 14-ийг авах боломжтой.Логарифм нэмэх, хасах Өөр нэг өөрчлөлтийн дараалал нь ижил үр дүнд хүргэдэг: Ижил суурьтай хоёр логарифмыг авч үзье: logа

1. x Өөр нэг өөрчлөлтийн дараалал нь ижил үр дүнд хүргэдэг: ODZ дээр x−2 илэрхийлэл нь эерэг ба сөрөг утгыг хоёуланг нь авч болох тул тэгш илтгэгч 14-ийг авах боломжтой.болон бүртгэл Өөр нэг өөрчлөлтийн дараалал нь ижил үр дүнд хүргэдэг: Ижил суурьтай хоёр логарифмыг авч үзье: log y Өөр нэг өөрчлөлтийн дараалал нь ижил үр дүнд хүргэдэг: (ODZ дээр x−2 илэрхийлэл нь эерэг ба сөрөг утгыг хоёуланг нь авч болох тул тэгш илтгэгч 14-ийг авах боломжтой. · Ижил суурьтай хоёр логарифмыг авч үзье: log);
2. x Өөр нэг өөрчлөлтийн дараалал нь ижил үр дүнд хүргэдэг: ODZ дээр x−2 илэрхийлэл нь эерэг ба сөрөг утгыг хоёуланг нь авч болох тул тэгш илтгэгч 14-ийг авах боломжтой.. Дараа нь тэдгээрийг нэмж, хасах боломжтой бөгөөд: Өөр нэг өөрчлөлтийн дараалал нь ижил үр дүнд хүргэдэг: Ижил суурьтай хоёр логарифмыг авч үзье: log y Өөр нэг өөрчлөлтийн дараалал нь ижил үр дүнд хүргэдэг: (ODZ дээр x−2 илэрхийлэл нь эерэг ба сөрөг утгыг хоёуланг нь авч болох тул тэгш илтгэгч 14-ийг авах боломжтой. : Ижил суурьтай хоёр логарифмыг авч үзье: log).

Тэгэхээр логарифмын нийлбэр нь үржвэрийн логарифмтай тэнцүү, зөрүү нь хуваалтын логарифмтай тэнцүү байна. Анхаарна уу: гол зүйл бол энд байна ижил үндэслэлүүд. Хэрэв шалтгаан нь өөр бол эдгээр дүрэм ажиллахгүй болно!

Эдгээр томьёо нь логарифм илэрхийлэлийг түүний бие даасан хэсгүүдийг тооцохгүй байсан ч тооцоолоход тусална ("Логарифм гэж юу вэ" хичээлийг үзнэ үү). Жишээнүүдийг хараад:

Бүртгэл 6 4 + бүртгэл 6 9.

Логарифмууд ижил суурьтай тул бид нийлбэрийн томъёог ашигладаг.
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log 2 48 − log 2 3.

Суурь нь адилхан, бид ялгааны томъёог ашигладаг:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log 3 135 − log 3 5.

Дахин хэлэхэд суурь нь адилхан тул бидэнд байна:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Таны харж байгаагаар анхны илэрхийллүүд нь "муу" логарифмуудаас бүрддэг бөгөөд тэдгээрийг тусад нь тооцдоггүй. Гэхдээ хувиргасны дараа бүрэн хэвийн тоонууд гарч ирдэг. Энэ баримт дээр үндэслэн олон туршилт хийдэг. Тийм ээ, шалгалттай төстэй илэрхийлэлийг улсын нэгдсэн шалгалтанд бүх ноцтойгоор (заримдаа бараг өөрчлөгдөөгүй) санал болгодог.

Логарифмаас илтгэгчийг гаргаж байна

Одоо даалгавраа бага зэрэг хүндрүүлье. Логарифмын суурь буюу аргумент нь хүч бол яах вэ? Дараах дүрмийн дагуу энэ зэргийн илтгэгчийг логарифмын тэмдгээс гаргаж болно.

Сүүлийн дүрэм нь эхний хоёрыг дагаж мөрддөгийг харахад хялбар байдаг. Гэхдээ үүнийг санаж байх нь дээр - зарим тохиолдолд энэ нь тооцооны хэмжээг эрс багасгах болно.

Мэдээжийн хэрэг, логарифмын ODZ ажиглагдвал эдгээр бүх дүрмүүд утга учиртай болно. Өөр нэг өөрчлөлтийн дараалал нь ижил үр дүнд хүргэдэг: > 0, Өөр нэг өөрчлөлтийн дараалал нь ижил үр дүнд хүргэдэг: ≠ 1, ODZ дээр x−2 илэрхийлэл нь эерэг ба сөрөг утгыг хоёуланг нь авч болох тул тэгш илтгэгч 14-ийг авах боломжтой.> 0. Бас нэг зүйл: бүх томъёог зөвхөн зүүнээс баруун тийш төдийгүй эсрэгээр нь хэрэглэж сур, i.e. Та логарифмын тэмдгийн өмнөх тоонуудыг логарифм руу оруулж болно. Энэ нь ихэвчлэн шаардлагатай байдаг.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log 7 49 6 .

Эхний томъёог ашиглан аргумент дахь зэрэглэлээс салцгаая.
бүртгэл 7 49 6 = 6 бүртгэл 7 49 = 6 2 = 12

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол:

[Зургийн тайлбар]

Хуваагч нь логарифм агуулж байгааг анхаарна уу, түүний суурь ба аргумент нь яг тэнцүү зэрэгтэй: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Бидэнд:

Сүүлийн жишээнд тодорхой тайлбар хэрэгтэй гэж бодож байна. Логарифмууд хаашаа явсан бэ? Эцсийн мөч хүртэл бид зөвхөн хуваагчтай ажилладаг. Бид тэнд зогсож буй логарифмын суурь ба аргументыг хүч чадлын хэлбэрээр танилцуулж, илтгэгчийг гаргаж авсан - бид "гурван давхар" бутархай авсан.

Одоо үндсэн бутархайг харцгаая. Тоолуур ба хуваагч нь ижил тоог агуулна: log 2 7. log 2 7 ≠ 0 учраас бид бутархайг багасгаж болно - 2/4 нь хуваарьт үлдэх болно. Арифметикийн дүрмийн дагуу дөрвийг тоологч руу шилжүүлж болох бөгөөд энэ нь хийгдсэн зүйл юм. Үүний хариу нь: 2.

Шинэ суурь руу шилжих

Логарифмыг нэмэх, хасах дүрмийн талаар ярихдаа тэдгээр нь зөвхөн ижил суурьтай ажилладаг гэдгийг би онцлон тэмдэглэв. Шалтгаан нь өөр байвал яах вэ? Хэрэв тэдгээр нь яг ижил тооны хүчин чадал биш бол яах вэ?

Шинэ суурь руу шилжих томъёонууд аврах ажилд ирдэг. Тэдгээрийг теорем хэлбэрээр томъёолъё.

Логарифмын бүртгэлийг өгье Өөр нэг өөрчлөлтийн дараалал нь ижил үр дүнд хүргэдэг: ODZ дээр x−2 илэрхийлэл нь эерэг ба сөрөг утгыг хоёуланг нь авч болох тул тэгш илтгэгч 14-ийг авах боломжтой.. Дараа нь дурын тооны хувьд втиймэрхүү в> 0 ба в≠ 1, тэгш байдал нь үнэн:

[Зургийн тайлбар]

Ялангуяа, хэрэв бид тавьсан бол в = ODZ дээр x−2 илэрхийлэл нь эерэг ба сөрөг утгыг хоёуланг нь авч болох тул тэгш илтгэгч 14-ийг авах боломжтой., бид авах:

[Зургийн тайлбар]

Хоёрдахь томъёоноос харахад логарифмын суурь ба аргументыг сольж болох боловч энэ тохиолдолд илэрхийлэл бүхэлдээ "эргэв", өөрөөр хэлбэл. логарифм нь хуваагч дээр гарч ирнэ.

Эдгээр томьёо нь энгийн тоон илэрхийлэлд ховор байдаг. Логарифмын тэгшитгэл ба тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх үед л тэдгээр нь хэр тохиромжтой болохыг үнэлэх боломжтой.

Гэхдээ шинэ суурь руу шилжсэнээс өөрөөр шийдэх боломжгүй асуудлууд бий. Эдгээрээс хэд хэдэн зүйлийг харцгаая:

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log 5 16 log 2 25.

Хоёр логарифмын аргументууд нь тодорхой хүчийг агуулдаг гэдгийг анхаарна уу. Шалгуур үзүүлэлтүүдийг гаргацгаая: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

Одоо хоёр дахь логарифмыг "урвуу" болгоё:

Хүчин зүйлийг дахин тохируулах үед бүтээгдэхүүн өөрчлөгддөггүй тул бид дөрөв ба хоёрыг тайван үржүүлж, дараа нь логарифмуудыг авч үзсэн.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log 9 100 lg 3.

Эхний логарифмын суурь ба аргумент нь яг хүч юм. Үүнийг бичиж, үзүүлэлтүүдээс салцгаая.

Одоо шинэ суурь руу шилжиж аравтын бутархай логарифмаас салцгаая.

Үндсэн логарифмын таних тэмдэг

Ихэнхдээ шийдлийн процесст тоог өгөгдсөн суурь руу логарифм хэлбэрээр илэрхийлэх шаардлагатай байдаг. Энэ тохиолдолд дараах томъёонууд бидэнд туслах болно.

Эхний тохиолдолд тоо nаргумент дахь зэрэглэлийн үзүүлэлт болдог. Тоо nюу ч байж болно, учир нь энэ нь зүгээр л логарифмын утга юм.

Хоёрдахь томьёо нь үнэндээ өөрчилсөн тодорхойлолт юм. Үүнийг ингэж нэрлэдэг: үндсэн логарифмын таних тэмдэг.

Уг нь тоо гарвал яах бол бтоо нь ийм хүч хүртэл нэмэгдүүлэх бэнэ хүчинд тоог өгдөг Өөр нэг өөрчлөлтийн дараалал нь ижил үр дүнд хүргэдэг:? Энэ нь зөв: та ижил дугаарыг авах болно Өөр нэг өөрчлөлтийн дараалал нь ижил үр дүнд хүргэдэг:. Энэ догол мөрийг дахин анхааралтай уншина уу - олон хүн гацах болно.

Шинэ суурь руу шилжих томьёоны нэгэн адил үндсэн логарифмын ижилсэл нь заримдаа цорын ганц боломжит шийдэл юм.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол:

[Зургийн тайлбар]

log 25 64 = log 5 8 гэдгийг анхаарна уу - бид зүгээр л логарифмын суурь ба аргументаас квадратыг авсан. Ижил суурьтай хүчийг үржүүлэх дүрмийг харгалзан бид дараахь зүйлийг авна.

Мэдэхгүй хүн байвал Улсын нэгдсэн шалгалтаас авсан жинхэнэ даалгавар байсан шүү :)

Логарифмын нэгж ба логарифмын тэг

Эцэст нь хэлэхэд, би шинж чанар гэж нэрлэгдэх боломжгүй хоёр ижил төстэй байдлыг өгөх болно - харин эдгээр нь логарифмын тодорхойлолтын үр дагавар юм. Тэд байнга асуудалд гарч ирдэг бөгөөд гайхмаар нь "дэвшилтэт" оюутнуудад хүртэл асуудал үүсгэдэг.

1. x Өөр нэг өөрчлөлтийн дараалал нь ижил үр дүнд хүргэдэг: Өөр нэг өөрчлөлтийн дараалал нь ижил үр дүнд хүргэдэг:= 1 нь логарифмын нэгж юм. Нэг удаа, бүрмөсөн санаарай: дурын суурь руу логарифм Өөр нэг өөрчлөлтийн дараалал нь ижил үр дүнд хүргэдэг:энэ суурь нь нэгтэй тэнцүү байна.
2. x Өөр нэг өөрчлөлтийн дараалал нь ижил үр дүнд хүргэдэг: 1 = 0 нь логарифмын тэг юм. Суурь Өөр нэг өөрчлөлтийн дараалал нь ижил үр дүнд хүргэдэг:юу ч байж болно, гэхдээ аргумент нэгийг агуулж байвал логарифм нь тэгтэй тэнцүү байна! Учир нь Өөр нэг өөрчлөлтийн дараалал нь ижил үр дүнд хүргэдэг: 0 = 1 нь тодорхойлолтын шууд үр дагавар юм.

Энэ бол бүх өмч юм. Тэдгээрийг амьдралд хэрэгжүүлэх дадлага хийхээ мартуузай! Хичээлийн эхэнд хууран мэхлэх хуудсыг татаж аваад хэвлээд асуудлыг шийдээрэй.

Логарифмын зөвшөөрөгдөх утгын хүрээ (APV).

Одоо хязгаарлалтын талаар ярилцъя (ODZ - хувьсагчийн зөвшөөрөгдөх утгын хүрээ).

Жишээлбэл, квадрат язгуурыг сөрөг тооноос авах боломжгүй гэдгийг бид санаж байна; эсвэл бид бутархайтай бол хуваагч нь тэгтэй тэнцүү байж болохгүй. Логарифмууд ижил төстэй хязгаарлалттай байдаг:

Өөрөөр хэлбэл, аргумент болон суурь хоёулаа тэгээс их байх ёстой, гэхдээ суурь нь тэнцүү байж чадахгүй.

Яагаад ийм байна вэ?

Энгийн зүйлээс эхэлье: үүнийг хэлье. Дараа нь, жишээ нь, тоо байхгүй, учир нь бид ямар ч хүчийг өсгөсөн бай үргэлж гарч ирдэг. Түүнээс гадна энэ нь хэнд ч байхгүй. Гэхдээ үүнтэй зэрэгцэн ямар ч зүйлтэй тэнцүү байж болно (ижил шалтгаанаар - ямар ч зэрэгтэй тэнцүү). Тиймээс объект нь ямар ч сонирхолгүй бөгөөд энэ нь зүгээр л математикаас хаягдсан юм.

Бидэнд ийм асуудал тулгардаг: энэ нь ямар ч эерэг хүчинд байдаг, гэхдээ үүнийг сөрөг хүчин болгон нэмэгдүүлэх боломжгүй, учир нь тэгээр хуваагдах болно (үүнийг танд сануулъя).

Бид бутархай хүчийг өсгөх асуудалтай тулгарсан үед (энэ нь язгуураар илэрхийлэгддэг: . Жишээ нь, (энэ нь), гэхдээ энэ нь байхгүй.

Тиймээс сөрөг шалтгааныг арилгах нь тэдэнтэй хутгалдахаас илүү хялбар байдаг.

Манай а суурь зөвхөн эерэг байж болох тул бид үүнийг ямар ч хүчинд өсгөхөөс үл хамааран бид үргэлж эерэг тоо авах болно. Тиймээс аргумент эерэг байх ёстой. Жишээлбэл, энэ нь байхгүй, учир нь энэ нь ямар ч хэмжээгээр сөрөг тоо биш (эсвэл бүр тэг, тиймээс энэ нь бас байхгүй).

Логарифмын асуудалд хамгийн түрүүнд хийх зүйл бол ODZ-г бичих явдал юм. Би танд нэг жишээ хэлье:

Тэгшитгэлээ шийдье.

Тодорхойлолтыг санацгаая: логарифм нь аргументыг олж авахын тулд суурийг өсгөх ёстой хүч юм. Мөн нөхцөлийн дагуу энэ зэрэг нь: .

Бид ердийн квадрат тэгшитгэлийг авна: . Үүнийг Виетийн теоремыг ашиглан шийдье: язгууруудын нийлбэр тэнцүү ба үржвэр. Авахад хялбар, эдгээр нь тоонууд ба.

Харин хариуд нь энэ хоёр тоог шууд аваад бичвэл бодлогод 0 оноо авах боломжтой. Яагаад? Хэрэв бид эдгээр язгуурыг анхны тэгшитгэлд орлуулбал юу болох талаар бодож үзье.

Суурь нь сөрөг байж болохгүй, өөрөөр хэлбэл үндэс нь "гуравдагч этгээд" учраас энэ нь илт буруу юм.

Ийм таагүй бэрхшээлээс зайлсхийхийн тулд тэгшитгэлийг шийдэж эхлэхээсээ өмнө ODZ-ийг бичих хэрэгтэй.

Дараа нь үндсийг нь хүлээн авсны дараа бид тэр даруй үндсийг нь хаяж, зөв ​​хариултыг бичнэ.

Жишээ 1(өөрөө шийдэхийг хичээ) :

Тэгшитгэлийн язгуурыг ол. Хэрэв хэд хэдэн үндэс байгаа бол тэдгээрийн хамгийн жижигийг нь хариултдаа зааж өгнө үү.

Шийдэл:

Юуны өмнө ODZ-г бичье:

Одоо логарифм гэж юу болохыг санацгаая: аргументыг олж авахын тулд суурийг ямар хүчээр өсгөх хэрэгтэй вэ? Хоёр дахь руу. Энэ нь:

Жижиг үндэс нь тэнцүү юм шиг санагдаж байна. Гэхдээ энэ нь тийм биш юм: ODZ-ийн дагуу үндэс нь гаднах, өөрөөр хэлбэл энэ тэгшитгэлийн үндэс нь огт биш юм. Тиймээс тэгшитгэл нь зөвхөн нэг үндэстэй байна: .

Хариулт: .

Үндсэн логарифмын таних тэмдэг

Логарифмын тодорхойлолтыг ерөнхий хэлбэрээр эргэн санацгаая.

Логарифмыг хоёр дахь тэгшитгэлд орлъё:

Энэ тэгш байдлыг гэж нэрлэдэг үндсэн логарифмын ижилсэл. Хэдийгээр энэ нь үндсэндээ тэгш байдал юм - зүгээр л өөрөөр бичсэн логарифмын тодорхойлолт:

Энэ бол таны авахын тулд өсгөх ёстой хүч юм.

Жишээ нь:

Дараах жишээнүүдийг шийднэ үү.

Жишээ 2.

Илэрхийллийн утгыг ол.

Шийдэл:

Хэсэг дэх дүрмийг санацгаая: өөрөөр хэлбэл хүчийг хүчирхэг болгон өсгөхөд илтгэгчийг үржүүлнэ. Үүнийг хэрэгжүүлье:

Жишээ 3.

Үүнийг нотол.

Шийдэл:

Логарифмын шинж чанарууд

Харамсалтай нь даалгаварууд нь үргэлж тийм ч хялбар байдаггүй - ихэнхдээ та эхлээд илэрхийлэлийг хялбарчилж, ердийн хэлбэрт оруулах хэрэгтэй бөгөөд зөвхөн дараа нь утгыг тооцоолох боломжтой болно. Хэрэв та мэддэг бол үүнийг хийхэд хамгийн хялбар байдаг логарифмын шинж чанарууд. Тиймээс логарифмын үндсэн шинж чанаруудыг сурцгаая. Би тэдгээрийг тус бүрээр нь батлах болно, учир нь хэрэв та хаанаас ирснийг мэдэж байвал аливаа дүрмийг санах нь илүү хялбар байдаг.

Эдгээр бүх шинж чанаруудыг санаж байх ёстой, тэдэнгүйгээр логарифмын ихэнх асуудлыг шийдэх боломжгүй юм.

Одоо логарифмын бүх шинж чанаруудын талаар илүү дэлгэрэнгүй.

Өмч 1:

Нотолгоо:

Тэгвэл байг.

Бидэнд:, гэх мэт.

2-р шинж чанар: Логарифмын нийлбэр

Ижил суурьтай логарифмын нийлбэр нь бүтээгдэхүүний логарифмтай тэнцүү байна. .

Нотолгоо:

Тэгвэл байг. Тэгвэл байг.

Жишээ:Илэрхийллийн утгыг ол: .

Шийдэл: .

Таны дөнгөж сурсан томьёо нь ялгааг бус логарифмын нийлбэрийг хялбарчлахад тусалдаг тул эдгээр логарифмуудыг шууд нэгтгэх боломжгүй юм. Гэхдээ та эсрэгээр нь хийж болно - эхний логарифмыг хоёр болгон "хуваах": Энд амласан хялбарчлал байна:
.
Энэ яагаад хэрэгтэй вэ? За, жишээ нь: энэ нь юутай тэнцэх вэ?

Одоо энэ нь тодорхой боллоо.

Одоо өөрөө хялбарчлах:

Даалгаварууд:

Хариултууд:

3-р шинж чанар: Логарифмын ялгаа:

Нотолгоо:

Бүх зүйл 2-р зүйлтэй яг ижил байна:

Тэгвэл байг.

Тэгээд байг. Бидэнд:

Өмнөх догол мөрний жишээ одоо бүр хялбар болсон:

Илүү төвөгтэй жишээ: . Та өөрөө яаж шийдэхээ бодож чадах уу?

Энд бид логарифмын квадратын талаархи ганц томьёо байхгүй гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Энэ бол илэрхийлэлтэй төстэй зүйл бөгөөд үүнийг шууд хялбарчлах боломжгүй юм.

Тиймээс логарифмын тухай томьёосоо түр завсарлаж, математикт ямар томьёог ихэвчлэн ашигладаг талаар бодож үзье? 7-р ангиасаа хойш!

Энэ -. Тэд хаа сайгүй байдаг гэдэгт та дасах хэрэгтэй! Эдгээр нь экспоненциал, тригонометрийн болон иррациональ бодлогод тохиолддог. Тиймээс тэдгээрийг санаж байх ёстой.

Хэрэв та эхний хоёр нэр томъёог сайтар ажиглавал энэ нь тодорхой болно квадратуудын ялгаа:

Шалгах хариулт:

Үүнийг өөрөө хялбарчлаарай.

Жишээ

Хариултууд.

Өмч 4: Логарифмын аргументаас илтгэгчийг авах:

Нотолгоо:Энд бид логарифмын тодорхойлолтыг ашигладаг: let, тэгвэл. Бидэнд:, гэх мэт.

Энэ дүрмийг дараах байдлаар ойлгож болно.

Өөрөөр хэлбэл, аргументийн зэрэг нь логарифмын өмнө коэффициент болгон шилждэг.

Жишээ:Илэрхийллийн утгыг ол.

Шийдэл: .

Өөрийнхөө төлөө шийд:

Жишээ нь:

Хариултууд:

5-р шинж чанар: Логарифмын суурийн илтгэгчийг авах:

Нотолгоо:Тэгвэл байг.

Бидэнд:, гэх мэт.
Санаж байна уу: -аас үндэслэлзэрэг нь дараах байдлаар илэрхийлэгдэнэ эсрэгээрээөмнөх тохиолдлоос ялгаатай нь тоо!

6-р шинж чанар: Логарифмын суурь ба аргументаас илтгэгчийг хасах:

Эсвэл зэрэг нь ижил байвал: .

Өмч 7: Шинэ суурь руу шилжих:

Нотолгоо:Тэгвэл байг.

Бидэнд:, гэх мэт.

8-р шинж чанар: Логарифмын суурь ба аргументыг соль:

Нотолгоо:Энэ бол 7-р томьёоны онцгой тохиолдол: хэрэв бид орлуулбал: гэх мэтийг авна.

Өөр хэдэн жишээг харцгаая.

Жишээ 4.

Илэрхийллийн утгыг ол.

Бид 2-р логарифмын өмчийг ашигладаг - ижил суурьтай логарифмын нийлбэр нь бүтээгдэхүүний логарифмтай тэнцүү байна.

Жишээ 5.

Илэрхийллийн утгыг ол.

Шийдэл:

Бид 3 ба 4-р логарифмын шинж чанарыг ашигладаг.

Жишээ 6.

Илэрхийллийн утгыг ол.

Шийдэл:

7-р өмчийг ашиглацгаая - 2-р суурь руу шилжинэ:

Жишээ 7.

Илэрхийллийн утгыг ол.

Шийдэл:

Нийтлэл танд хэр таалагдаж байна вэ?

Хэрэв та эдгээр мөрүүдийг уншиж байгаа бол нийтлэлийг бүхэлд нь уншсан гэсэн үг.

Энэ бол дажгүй!

Одоо энэ нийтлэл танд хэр таалагдаж байгааг хэлээч?

Та логарифмыг хэрхэн шийдэж сурсан уу? Хэрэв тийм биш бол ямар асуудал байна вэ?

Доорх сэтгэгдэл дээр бидэнд бичээрэй.

Тийм ээ, шалгалтанд тань амжилт хүсье.

Улсын нэгдсэн шалгалт, улсын нэгдсэн шалгалт, ерөнхийдөө амьдралд