Тетраэдрийн эзэлхүүний үндсэн томъёоноос

хаана СЭнэ нь ямар ч нүүрний хэсэг бөгөөд Х- өндөр нь унасан бол та тетраэдрийн янз бүрийн элементүүдээр эзлэхүүнийг илэрхийлсэн бүхэл бүтэн цуврал томъёог гаргаж авах боломжтой. Бид тетраэдрийн эдгээр томьёог танилцуулж байна A B C D.

(2) ,

хаана ∠ ( МЭ,ABC) - ирмэгийн хоорондох өнцөг МЭба нүүрний онгоц ABC;

(3) ,

хаана ∠ ( ABC,АНУ) - нүүрний хоорондох өнцөг ABCболон АНУ;

хаана | AB,CD| - эсрэг талын хавирганы хоорондох зай ABболон CD, ∠ (AB,CD) Эдгээр ирмэгүүдийн хоорондох өнцөг.

Формула (2) - (4) нь шулуун ба хавтгай хоорондын өнцгийн утгыг олоход ашиглагдаж болно; Томъёо (4) нь ялангуяа ашигтай бөгөөд түүний тусламжтайгаар шулуун шугамын хоорондох зайг олох боломжтой ABболон CD.

Томъёо (2) ба (3) нь томьёотой төстэй С = (1/2)abнүгэл Cгурвалжны талбайн хувьд. Томъёо С = rpтомъёо нь төстэй юм

хаана rЭнэ нь тетраэдрийн бичээстэй бөмбөрцгийн радиус, Σ нь түүний нийт гадаргуу (бүх нүүрний талбайн нийлбэр) юм. Мөн тетраэдрийн эзэлхүүнийг радиустай холбосон сайхан томъёо байдаг Ртүүний тодорхойлсон хүрээ ( Креллийн томъёо):

Энд Δ нь гурвалжны талбай бөгөөд талууд нь эсрэг талын ирмэгүүдийн бүтээгдэхүүнтэй тоогоор тэнцүү байна ( AB× CD, АС× Б.Д,МЭ× МЭӨ). Томъёо (2) ба гурвалжин өнцгийн косинусын теоремоос (Бөөрөнхий тригонометрийг үзнэ үү) гурвалжны хувьд Хероны томъёотой төстэй томъёог гаргаж авч болно.

Дурын ABC гурвалжин ба энэ гурвалжны хавтгайд ороогүй D цэгийг авч үзье. Энэ цэгийг ABC гурвалжны оройтой хэрчмээр холбоно. Үүний үр дүнд бид ADC, CDB, ABD гурвалжнуудыг авдаг. ABC, ADC, CDB, ABD гэсэн дөрвөн гурвалжингаар хүрээлэгдсэн гадаргууг тетраэдр гэж нэрлэдэг ба DABC гэж тэмдэглэнэ.
Тетраэдрийг бүрдүүлдэг гурвалжингуудыг нүүр гэж нэрлэдэг.
Эдгээр гурвалжны талуудыг тетраэдрийн ирмэг гэж нэрлэдэг. Мөн тэдний оргилууд нь тетраэдрийн оргилууд юм

Тетраэдр байдаг 4 нүүр, 6 хавиргаболон 4 орой.
Нийтлэг оройгүй хоёр ирмэгийг эсрэг талын ирмэг гэж нэрлэдэг.
Тохиромжтой болгохын тулд тетраэдрийн нэг нүүрийг ихэвчлэн нэрлэдэг суурь, үлдсэн гурван нүүр нь хажуугийн нүүр юм.

Тиймээс тетраэдр нь дөрвөн гурвалжинтай, хамгийн энгийн олон өнцөгт юм.

Гэхдээ дурын гурвалжин пирамид нь тетраэдр байдаг нь бас үнэн юм. Дараа нь тетраэдр гэж нэрлэдэг нь бас үнэн юм суурин дээрээ гурвалжин бүхий пирамид.

Тетраэдрийн өндөрнь эсрэг талын нүүрэн дээр байрладаг, түүнд перпендикуляр цэг бүхий оройг холбосон сегмент гэж нэрлэдэг.
Медиан тетраэдрэсрэг талын нүүрний медиануудын огтлолцлын цэгтэй оройг холбосон сегмент гэж нэрлэдэг.
Бимедиа тетраэдртетраэдрийн огтлолцох ирмэгүүдийн дунд цэгүүдийг холбосон сегмент гэж нэрлэдэг.

Тетраэдр нь гурвалжин суурьтай пирамид учраас дурын тетраэдрийн эзэлхүүнийг томъёогоор тооцоолж болно.

• С- аль ч нүүрний хэсэг,
• Х- өндөр нь энэ ирмэг хүртэл буурсан

Тогтмол тетраэдр бол тетраэдрийн тодорхой төрөл юм

Адил талт гурвалжны бүх талтай тетраэдрийг гэнэ зөв.
Ердийн тетраэдрийн шинж чанарууд:

• Бүх нүүр царай тэгш байна.
• Ердийн тетраэдрийн бүх хавтгай өнцөг нь 60 ° байна
• Түүний орой бүр нь гурван энгийн гурвалжны орой тул орой тус бүрийн хавтгай өнцгийн нийлбэр нь 180 ° байна.
• Ердийн тетраэдрийн аль ч оройг эсрэг талын нүүрний ортотцентр (гурвалжны өндрийн огтлолцлын цэг хүртэл) тусгана.

a-тэй тэнцүү ирмэгтэй ABCD ердийн тетраэдр өгье. DH бол түүний өндөр юм.
Нэмэлт бүтээцүүдийг хийцгээе BM - ABC гурвалжны өндөр ба DM - ACD гурвалжны өндөр.
BM өндөр нь BM-тэй тэнцүү ба тэнцүү байна
BDM гурвалжинг авч үзье, энд тетраэдрийн өндөр болох DH нь мөн энэ гурвалжны өндөр юм.
МБ тал руу буулгасан гурвалжны өндрийг томъёог ашиглан олж болно

, хаана
BM =, DM =, BD = a,
p = 1/2 (BM + BD + DM) =
Эдгээр утгыг өндрийн томъёонд орлуулна уу. Бид авдаг


1/2a-г гарга. Бид авдаг

Бид квадратуудын зөрүүг томъёогоор ашигладаг

Жижиг өөрчлөлтүүдийн дараа бид олж авдаг


Аливаа тетраэдрийн эзэлхүүнийг томъёогоор тооцоолж болно
,
хаана ,

Эдгээр утгыг орлуулснаар бид олж авна

Тиймээс ердийн тетраэдрийн эзлэхүүний томъёо нь байна

хаана а- тетраэдрийн ирмэг

Хэрэв оройнуудын координат нь мэдэгдэж байгаа бол тетраэдрийн эзлэхүүнийг тооцоолох

Тетраэдрийн оройнуудын координатыг өгье

Оройноос,, векторуудыг зур.
Эдгээр вектор бүрийн координатыг олохын тулд төгсгөлийн координатаас харгалзах эхлэлийн координатыг хасна. Бид авдаг

Энгийн тетраэдрийн хувьд ирмэг дээрх бүх хоёр өнцөгт өнцөг ба орой дээрх бүх гурван өнцөгт өнцөг тэнцүү байна.

Тетраэдр нь 4 нүүр, 4 орой, 6 ирмэгтэй.

Ердийн тетраэдрийн үндсэн томъёог хүснэгтэд үзүүлэв.

Хаана:
S - Ердийн тетраэдрийн гадаргуугийн талбай
V - эзлэхүүн
h - өндрийг суурь хүртэл бууруулсан
r - тетраэдр дотор бичигдсэн тойргийн радиус
R - хүрээлэгдсэн тойргийн радиус
a - хавирганы урт

Практик жишээнүүд

Шийдэл.
Гурвалжин пирамидын бүх ирмэгүүд тэнцүү тул энэ нь тогтмол байна. Ердийн гурвалжин пирамидын гадаргуугийн талбай нь S = a 2 √3 байна.
Дараа нь
S = 3√3

Хариулах: 3√3

Даалгавар.
Энгийн гурвалжин пирамидын бүх ирмэг 4см.Пирамидын эзэлхүүнийг ол

Шийдэл.
Ердийн гурвалжин пирамидын хувьд пирамидын өндрийг суурийн төв рүү чиглүүлдэг тул энэ нь мөн хүрээлэгдсэн тойргийн төв юм.

AO = R = √3 / 3 a
AO = 4√3 / 3

Тиймээс OM пирамидын өндрийг эндээс олж болно зөв гурвалжин AOM

AO 2 + OM 2 = AM 2
OM 2 = AM 2 - AO 2
OM 2 = 4 2 - (4√3 / 3) 2
OM 2 = 16 - 16/3
OM = √ (32/3)
OM = 4√2 / √3

Пирамидын эзэлхүүнийг V = 1/3 Sh томъёогоор олно
Энэ тохиолдолд суурийн талбайг S = √3 / 4 a 2 томъёогоор олно.

V = 1/3 (√3 / 4 * 16) (4√2 / √3)
V = 16√2 / 3

Хариулах: 16√2 / 3 см

Тетраэдрийн тодорхойлолт

Тетраэдр- нүүр ба суурь нь гурвалжин хэлбэртэй хамгийн энгийн олон талт бие.

Онлайн тооцоолуур

Тетраэдр нь дөрвөн нүүртэй бөгөөд тус бүр нь гурван талаас бүрддэг. Тетраэдр нь дөрвөн оройтой бөгөөд тус бүрээс гурван ирмэг гарч ирдэг.

Энэ биеийг хэд хэдэн төрөлд хуваадаг. Тэдний ангиллыг доор харуулав.

1. Эквэдр тетраэдр- түүний бүх нүүр нь ижил гурвалжин;
2. Ортоцентрик тетраэдр- орой бүрээс эсрэг талын нүүр хүртэл зурсан бүх өндөр нь ижил урттай;
3. Тэгш өнцөгт тетраэдр- нэг оройноос гарч буй ирмэгүүд нь бие биетэйгээ 90 градусын өнцөг үүсгэдэг;
4. Төмөр хүрээ;
5. Пропорциональ;
6. Төвлөрсөн.

Тетраэдрийн эзэлхүүний томъёо

Тухайн биеийн эзэлхүүнийг хэд хэдэн аргаар олж болно. Тэдгээрийг илүү нарийвчлан авч үзье.

Векторуудын холимог бүтээгдэхүүн

Хэрэв тетраэдр нь координат бүхий гурван вектор дээр баригдсан бол:

A ⃗ = (a x, a y, a z) \ vec (a) = (a_x, a_y, a_z)а= (а х​ , а y​ , а z​ )
b ⃗ = (b x, b y, b z) \ vec (b) = (b_x, b_y, b_z)б= (б х​ , б y​ , б z​ )
c ⃗ = (c x, c y, c z) \ vec (c) = (c_x, c_y, c_z)в= (в х​ , в y​ , в z​ ) ,

Дараа нь энэ тетраэдрийн эзэлхүүн нь эдгээр векторуудын холимог бүтээгдэхүүн, өөрөөр хэлбэл тодорхойлогч юм.

V = 1 6 ⋅ ∣ axayazbxbybzcxcycz ∣ V = \ frac (1) (6) \ cdot \ эхлэл (vmatrix) a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \\x \ төгсгөл (vmat \\x \ төгсгөл) )V =6 1 ​ ⋅ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ а х​ б х​ в х​ ​ а y​ б y​ в y​ ​ а z​ б z​ в z​ ​ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​

Октаэдрийн дөрвөн оройн координатыг мэддэг. A (1, 4, 9) A (1,4,9) A (1, 4, 9), B (8, 7, 3) B (8,7,3) B (8, 7, 3), C (1, 2, 3) C (1,2,3) C (1, 2, 3), D (7, 12, 1) D (7,12,1) D (7, 1 2, 1)... Түүний эзлэхүүнийг ол.

Шийдэл

A (1, 4, 9) A (1,4,9) A (1, 4, 9)
B (8, 7, 3) B (8,7,3) B (8, 7, 3)
C (1, 2, 3) C (1,2,3) C (1, 2, 3)
D (7, 12, 1) D (7,12,1) D (7, 1 2, 1)

Эхний алхам бол энэ биеийг барьсан векторуудын координатыг тодорхойлох явдал юм.
Үүнийг хийхийн тулд хоёр цэгийн харгалзах координатыг хасаж векторын координат бүрийг олох хэрэгтэй. Жишээлбэл, векторын координатууд A B → \ хавчих (AB) А Б, өөрөөр хэлбэл цэгээс чиглэсэн вектор А А Ацэг хүртэл Б Б Б, эдгээр нь цэгүүдийн харгалзах координатын зөрүү юм Б Б Бболон А А А:

AB → = (8 - 1, 7 - 4, 3 - 9) = (7, 3, - 6) \ баруун тийш (AB) = (8-1, 7-4, 3-9) = (7, 3, -6)А Б= (8 − 1 , 7 − 4 , 3 − 9 ) = (7 , 3 , − 6 )

АС → = (1 - 1, 2 - 4, 3 - 9) = (0, - 2, - 6) \ баруун сум (AC) = (1-1, 2-4, 3-9) = (0, - 2, -6)А С= (1 − 1 , 2 − 4 , 3 − 9 ) = (0 , − 2 , − 6 )
AD → = (7 - 1, 12 - 4, 1 - 9) = (6, 8, - 8) \ баруун сум (AD) = (7-1, 12-4, 1-9) = (6, 8, -найман)А Д= (7 − 1 , 1 2 − 4 , 1 − 9 ) = (6 , 8 , − 8 )

Одоо бид эдгээр векторуудын холимог үржвэрийг олох болно, үүний тулд бид гурав дахь эрэмбийн тодорхойлогчийг бүрдүүлэх болно. A B → = a ⃗ \ баруун сум (AB) = \ vec (a)А Б= а, A C → = b ⃗ \ overrightarrow (AC) = \ vec (b)А С= б, A D → = c ⃗ \ overrightarrow (AD) = \ vec (c)А Д= в.

∣ axayazbxbybzcxcycz ∣ = ∣ 7 3 - 6 0 - 2 - 6 6 8 - 8 ∣ = 7 ⋅ (- 2) ⋅ (- 8) + 3 ⋅ (- 6) ⋅ 6 +⋅ (- 6 - 8) (- 6) ⋅ (- 2) ⋅ 6 - 7 ⋅ (- 6) ⋅ 8 - 3 ⋅ 0 ⋅ (- 8) = 112 - 108 - 0 - 72 + 336 + 0 = 268 \ эхлэл (vматриц) a_x a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \\ \ төгсгөл (vmatrix) = \ эхлэл (vmatrix) 7 & 3 & -6 \\ 0 & -2 & -6 \\ 6 & 8 & -8 \\ \ төгсгөл (vmatrix) = 7 \ cdot (-2) \ cdot (-8) + 3 \ cdot (-6) \ cdot6 + (-6) \ cdot0 \ cdot8 - (-6) \ cdot (-2) \ cdot6 - 7 \ cdot (-6) \ cdot8 - 3 \ cdot0 \ cdot (-8) = 112 - 108 - 0 - 72 + 336 + 0 = 268∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ а х​ б х​ вх​ ​ аy​ бy​ вy​ ​ аz​ бz​ вz​ ​ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ 7 0 6 ​ 3 − 2 8 ​ − 6 − 6 − 8 ​ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ = 7 ⋅ (− 2 ) ⋅ (− 8 ) + 3 ⋅ (− 6 ) ⋅ 6 + (− 6 ) ⋅ 0 ⋅ 8 − (− 6 ) ⋅ (− 2 ) ⋅ 6 − 7 ⋅ (− 6 ) ⋅ 8 − 3 ⋅ 0 ⋅ (− 8 ) = 1 1 2 − 1 0 8 − 0 − 7 2 + 3 3 6 + 0 = 2 6 8

Өөрөөр хэлбэл тетраэдрийн эзэлхүүн нь:

$В=61\cdot |$

Хариулах

$44.8\text{см3 .}$

Хажуу талын изоэдр тетраэдрийн эзэлхүүний томъёо

Энэ томъёо нь зөвхөн тэгш талт тетраэдр, өөрөөр хэлбэл бүх нүүр нь ижил тэгш гурвалжин хэлбэртэй тетраэдрийн эзэлхүүнийг тооцоолоход хүчинтэй.

$В=12\sqrt{2\cdot {а}^3}$

a aань тетраэдрийн ирмэгийн урт юм.

Хэрэв тал нь тэнцүү байвал тетраэдрийн эзлэхүүнийг тодорхойл $11\text{см.}$

Шийдэл

$а=11$

Орлуулах a aатетраэдрийн эзэлхүүний томъёонд:

$В=12\sqrt{2\cdot {а}^{3=12\sqrt{2\cdot 11^{3\approx 156.8\text{см3}}}}}$

Хариулах

$156.8\text{см3 .}$