Modulul și argumentul unui număr complex. Trigonometric

Numerele complexe sunt extensia minimă a mulțimii de numere reale cu care suntem familiarizați. Diferența lor fundamentală este că apare un element care dă -1 la pătrat, adică. eu, sau.

Orice număr complex este format din două părți: reale și imaginare:

Astfel, este clar că mulțimea numerelor reale coincide cu mulțimea numerelor complexe cu o parte imaginară zero.

Cel mai popular model pentru mulțimea de numere complexe este planul obișnuit. Prima coordonată a fiecărui punct va fi partea sa reală, iar a doua va fi partea sa imaginară. Atunci rolul numerelor complexe în sine vor fi vectori cu începutul în punctul (0,0).

Operații pe numere complexe.

De fapt, dacă luăm în considerare modelul mulțimii numerelor complexe, este intuitiv clar că adunarea (scăderea) și înmulțirea a două numere complexe se realizează în același mod ca și operațiile corespunzătoare pe vectori. Mai mult, ne referim la produsul vectorial al vectorilor, deoarece rezultatul acestei operații este din nou un vector.

1.1 Adăugarea.

(După cum puteți vedea, această operație corespunde exact cu)

1.2 Scăderea, în mod similar, este produs după următoarea regulă:

2. Înmulțirea.

3. Diviziune.

Definit simplu ca operația inversă de înmulțire.

Forma trigonometrică.

Modulul unui număr complex z este următoarea mărime:

,

evident, acesta este, din nou, doar modulul (lungimea) vectorului (a,b).

Cel mai adesea, modulul unui număr complex este notat ca ρ.

Se pare că

z = ρ(cosφ+isinφ).

Următoarele rezultă direct din forma trigonometrică a scrierii unui număr complex: formule :

Ultima formulă se numește formula lui Moivre. Formula este derivată direct din ea a n-a rădăcină a unui număr complex:

astfel, există n-a rădăcini ale numărului complex z.

Planul lecției.

1. Moment organizatoric.

2. Prezentarea materialului.

3. Tema pentru acasă.

4. Rezumând lecția.

În timpul orelor

I. Moment organizatoric.

II. Prezentarea materialului.

Motivația.

Extinderea mulțimii numerelor reale constă în adăugarea de noi numere (imaginare) la numerele reale. Introducerea acestor numere se datorează imposibilității extragerii rădăcinii unui număr negativ din mulțimea numerelor reale.

Introducere în conceptul de număr complex.

Numerele imaginare, cu care completăm numerele reale, sunt scrise sub formă bi, Unde i este o unitate imaginară și i 2 = - 1.

Pe baza acesteia, obținem următoarea definiție a unui număr complex.

Definiție. Un număr complex este o expresie a formei a+bi, Unde AȘi b- numere reale. În acest caz, sunt îndeplinite următoarele condiții:

a) Două numere complexe a 1 + b 1 iȘi a 2 + b 2 i egal dacă și numai dacă a 1 = a 2, b 1 =b 2.

b) Adunarea numerelor complexe este determinată de regula:

(a 1 + b 1 i) + (a 2 + b 2 i) = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2) i.

c) Înmulțirea numerelor complexe este determinată de regula:

(a 1 + b 1 i) (a 2 + b 2 i) = (a 1 a 2 - b 1 b 2) + (a 1 b 2 - a 2 b 1) i.

Forma algebrică a unui număr complex.

Scrierea unui număr complex în formă a+bi se numește forma algebrică a unui număr complex, unde A– parte reală, bi este partea imaginară și b- numar real.

Număr complex a+bi este considerat egal cu zero dacă părțile sale reale și imaginare sunt egale cu zero: a = b = 0

Număr complex a+bi la b = 0 considerat a fi la fel cu un număr real A: a + 0i = a.

Număr complex a+bi la a = 0 se numește pur imaginar și se notează bi: 0 + bi = bi.

Două numere complexe z = a + biȘi = a – bi, care diferă doar prin semnul părții imaginare, se numesc conjugate.

Operații pe numere complexe în formă algebrică.

Puteți efectua următoarele operații pe numere complexe în formă algebrică.

1) Adăugarea.

Definiție. Suma numerelor complexe z 1 = a 1 + b 1 iȘi z 2 = a 2 + b 2 i se numește număr complex z, a cărui parte reală este egală cu suma părților reale z 1Și z 2, iar partea imaginară este suma părților imaginare ale numerelor z 1Și z 2, acesta este z = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2)i.

Numerele z 1Și z 2 se numesc termeni.

Adunarea numerelor complexe are următoarele proprietăți:

1º. Comutativitate: z 1 + z 2 = z 2 + z 1.

2º. Asociativitate: (z 1 + z 2) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3).

3º. Număr complex –a –bi numit opusul unui număr complex z = a + bi. Număr complex, opus numărului complex z, notat -z. Suma numerelor complexe zȘi -z egal cu zero: z + (-z) = 0

Exemplul 1: Efectuați adăugarea (3 – i) + (-1 + 2i).

(3 – i) + (-1 + 2i) = (3 + (-1)) + (-1 + 2) i = 2 + 1i.

2) Scăderea.

Definiție. Scăderea dintr-un număr complex z 1 număr complex z 2 z, Ce z + z 2 = z 1.

Teorema. Diferența dintre numerele complexe există și este unică.

Exemplul 2: Efectuați o scădere (4 – 2i) - (-3 + 2i).

(4 – 2i) - (-3 + 2i) = (4 - (-3)) + (-2 - 2) i = 7 – 4i.

3) Înmulțirea.

Definiție. Produsul numerelor complexe z 1 =a 1 +b 1 iȘi z 2 =a 2 +b 2 i se numește număr complex z, definit prin egalitate: z = (a 1 a 2 – b 1 b 2) + (a 1 b 2 + a 2 b 1)i.

Numerele z 1Și z 2 se numesc factori.

Înmulțirea numerelor complexe are următoarele proprietăți:

1º. Comutativitate: z 1 z 2 = z 2 z 1.

2º. Asociativitate: (z 1 z 2)z 3 = z 1 (z 2 z 3)

3º. Distributivitatea înmulțirii în raport cu adunarea:

(z 1 + z 2) z 3 = z 1 z 3 + z 2 z 3.

4º. z = (a + bi)(a – bi) = a 2 + b 2- numar real.

În practică, înmulțirea numerelor complexe se realizează după regula înmulțirii unei sume cu o sumă și separării părților reale și imaginare.

În exemplul următor, vom lua în considerare înmulțirea numerelor complexe în două moduri: prin regulă și prin înmulțirea sumei cu sumă.

Exemplul 3: Faceți înmulțirea (2 + 3i) (5 – 7i).

1 cale. (2 + 3i) (5 – 7i) = (2× 5 – 3× (- 7)) + (2× (- 7) + 3× 5)i = = (10 + 21) + (- 14 + 15 )i = 31 + i.

Metoda 2. (2 + 3i) (5 – 7i) = 2× 5 + 2× (- 7i) + 3i× 5 + 3i× (- 7i) = = 10 – 14i + 15i + 21 = 31 + i.

4) Diviziune.

Definiție. Împărțiți un număr complex z 1 la un număr complex z 2, înseamnă a găsi un număr atât de complex z, Ce z · z 2 = z 1.

Teorema. Coeficientul numerelor complexe există și este unic dacă z 2 ≠ 0 + 0i.

În practică, câtul numerelor complexe se găsește prin înmulțirea numărătorului și numitorului cu conjugatul numitorului.

Lăsa z 1 = a 1 + b 1 i, z 2 = a 2 + b 2 i, Apoi

.

În exemplul următor, vom efectua împărțirea folosind formula și regula înmulțirii cu numărul conjugat la numitor.

Exemplul 4. Aflați coeficientul .

5) Ridicarea la o putere totală pozitivă.

a) Puterile unitatii imaginare.

Profitând de egalitate i 2 = -1, este ușor de definit orice putere întreagă pozitivă a unității imaginare. Avem:

i 3 = i 2 i = -i,

i 4 = i 2 i 2 = 1,

i 5 = i 4 i = i,

i 6 = i 4 i 2 = -1,

i 7 = i 5 i 2 = -i,

i 8 = i 6 i 2 = 1 etc.

Aceasta arată că gradul valorează eu n, Unde n– un număr întreg pozitiv, repetat periodic pe măsură ce indicatorul crește cu 4 .

Prin urmare, pentru a crește numărul i la o putere totală pozitivă, trebuie să împărțim exponentul la 4 și construiește i la o putere al cărei exponent este egal cu restul diviziunii.

Exemplul 5: Calculați: (i 36 + i 17) i 23.

i 36 = (i 4) 9 = 1 9 = 1,

i 17 = i 4 × 4+1 = (i 4) 4 × i = 1 · i = i.

i 23 = i 4 × 5+3 = (i 4) 5 × i 3 = 1 i 3 = - i.

(i 36 + i 17) · i 23 = (1 + i) (- i) = - i + 1= 1 – i.

b) Ridicarea unui număr complex la o putere întreagă pozitivă se realizează conform regulii de ridicare a unui binom la puterea corespunzătoare, deoarece este un caz special de înmulțire a factorilor complexi identici.

Exemplul 6: Calculați: (4 + 2i) 3

(4 + 2i) 3 = 4 3 + 3× 4 2 × 2i + 3× 4× (2i) 2 + (2i) 3 = 64 + 96i – 48 – 8i = 16 + 88i.