Unghiul dintre doi vectori:

Dacă unghiul dintre doi vectori este acut, atunci produsul lor scalar este pozitiv; dacă unghiul dintre vectori este obtuz, atunci produsul scalar al acestor vectori este negativ. Produsul scalar a doi vectori nenuli este egal cu zero dacă și numai dacă acești vectori sunt ortogonali.

Exercițiu. Aflați unghiul dintre vectorii și

Soluţie. Cosinusul unghiului dorit

16. Calculul unghiului dintre drepte, drepte și plan

Unghiul dintre o linie dreaptă și un plan, care intersectează această dreaptă și nu perpendicular pe ea, este unghiul dintre linie și proiecția ei pe acest plan.

Determinarea unghiului dintre o linie și un plan ne permite să concluzionam că unghiul dintre o linie și un plan este unghiul dintre două linii care se intersectează: linia dreaptă însăși și proiecția ei pe plan. Prin urmare, unghiul dintre o linie dreaptă și un plan este un unghi ascuțit.

Unghiul dintre o dreaptă perpendiculară și un plan este considerat egal cu , iar unghiul dintre o dreaptă paralelă și un plan fie nu este determinat deloc, fie este considerat egal cu .

§ 69. Calculul unghiului dintre drepte.

Problema calculării unghiului dintre două drepte în spațiu se rezolvă la fel ca pe un plan (§ 32). Să notăm cu φ mărimea unghiului dintre drepte l 1 și l 2, iar prin ψ - mărimea unghiului dintre vectorii de direcție A Și b aceste linii drepte.

Atunci dacă

ψ 90° (Fig. 206.6), apoi φ = 180° - ψ. Evident, în ambele cazuri este adevărată egalitatea cos φ = |cos ψ|. Prin formula (1) § 20 avem

prin urmare,

Fie dreptele date de ecuațiile lor canonice

Apoi unghiul φ dintre linii este determinat folosind formula

Dacă una dintre linii (sau ambele) este dată de ecuații non-canonice, atunci pentru a calcula unghiul trebuie să găsiți coordonatele vectorilor de direcție ai acestor linii și apoi să utilizați formula (1).

17. Drepte paralele, Teoreme pe drepte paralele

Definiție. Se numesc două drepte dintr-un plan paralel, dacă nu au puncte comune.

Două linii din spațiul tridimensional sunt numite paralel, dacă se află în același plan și nu au puncte comune.

Unghiul dintre doi vectori.

Din definiția produsului punctual:

.

Condiție de ortogonalitate a doi vectori:

Condiția de coliniaritate a doi vectori:

.

Rezultă din definiția 5 - . Într-adevăr, din definiția produsului dintre un vector și un număr, rezultă. Prin urmare, pe baza regulii de egalitate a vectorilor, scriem , , , ceea ce implică . Dar vectorul rezultat din înmulțirea vectorului cu numărul este coliniar cu vectorul.

Proiecția vectorului pe vector:

.

Exemplul 4. Punctele date , , , .

Găsiți produsul punctual.

Soluţie. găsim folosind formula pentru produsul scalar al vectorilor specificați prin coordonatele lor. Deoarece

, ,

Exemplul 5. Punctele date , , , .

Găsiți proiecția.

Soluţie. Deoarece

, ,

Pe baza formulei de proiecție, avem

.

Exemplul 6. Punctele date , , , .

Aflați unghiul dintre vectorii și .

Soluţie. Rețineți că vectorii

, ,

nu sunt coliniare deoarece coordonatele lor nu sunt proporționale:

.

Acești vectori nu sunt, de asemenea, perpendiculari, deoarece produsul lor scalar este .

Sa gasim

Colţ găsim din formula:

.

Exemplul 7. Determinați la ce vectori și coliniare.

Soluţie. În cazul coliniarității, coordonatele corespunzătoare ale vectorilor și trebuie să fie proporționale, adică:

.

Prin urmare și.

Exemplul 8. Determinați la ce valoare a vectorului Și perpendicular.

Soluţie. Vector și sunt perpendiculare dacă produsul lor scalar este zero. Din această condiție obținem: . Acesta este, .

Exemplul 9. Găsi , Dacă , , .

Soluţie. Datorită proprietăților produsului scalar, avem:

Exemplul 10. Aflați unghiul dintre vectorii și , unde și - vectori unitar și unghiul dintre vectori și este egal cu 120°.

Soluţie. Avem: , ,

În sfârșit avem: .

5 B. Opera de artă vectorială.

Definiția 21.Opera de artă vectorială vector cu vector se numește vector sau, definit de următoarele trei condiții:

1) Modulul vectorului este egal cu , unde este unghiul dintre vectori și , i.e. .

Rezultă că modulul produsului vectorial este numeric egal cu aria unui paralelogram construit pe vectori și ambele părți.

2) Vectorul este perpendicular pe fiecare dintre vectori și ( ; ), adică. perpendicular pe planul unui paralelogram construit pe vectorii si .

3) Vectorul este direcționat în așa fel încât, dacă este privit de la capătul său, cea mai scurtă rotație de la vector la vector ar fi în sens invers acelor de ceasornic (vectorii , , formează un triplu dreptaci).

Cum se calculează unghiurile dintre vectori?

Când studiem geometria, apar multe întrebări pe tema vectorilor. Elevul întâmpină dificultăți deosebite atunci când este necesar să găsească unghiurile dintre vectori.

Termeni de bază

Înainte de a privi unghiurile dintre vectori, este necesar să vă familiarizați cu definiția unui vector și conceptul de unghi între vectori.

Un vector este un segment care are o direcție, adică un segment pentru care sunt definite începutul și sfârșitul acestuia.

Unghiul dintre doi vectori dintr-un plan care au o origine comună este cel mai mic dintre unghiuri cu cantitatea cu care unul dintre vectori trebuie să fie mutat în jurul punctului comun până când direcțiile lor coincid.

Formula pentru soluție

Odată ce înțelegeți ce este un vector și cum este determinat unghiul său, puteți calcula unghiul dintre vectori. Formula de soluție pentru aceasta este destul de simplă, iar rezultatul aplicării sale va fi valoarea cosinusului unghiului. Conform definiției, este egal cu câtul dintre produsul scalar al vectorilor și produsul lungimii acestora.

Produsul scalar al vectorilor se calculează ca suma coordonatelor corespunzătoare ale vectorilor factori înmulțite între ele. Lungimea unui vector, sau modulul acestuia, este calculată ca rădăcină pătrată a sumei pătratelor coordonatelor sale.

După ce ați primit valoarea cosinusului unghiului, puteți calcula valoarea unghiului în sine folosind un calculator sau folosind un tabel trigonometric.

Exemplu

Odată ce vă dați seama cum să calculați unghiul dintre vectori, rezolvarea problemei corespunzătoare va deveni simplă și clară. Ca exemplu, merită să luăm în considerare problema simplă a găsirii valorii unui unghi.

În primul rând, va fi mai convenabil să se calculeze valorile lungimii vectoriale și produsul lor scalar necesar pentru soluție. Folosind descrierea prezentată mai sus, obținem:

Înlocuind valorile obținute în formulă, calculăm valoarea cosinusului unghiului dorit:

Acest număr nu este una dintre cele cinci valori comune ale cosinusului, așa că pentru a obține unghiul, va trebui să utilizați un calculator sau tabelul trigonometric Bradis. Dar înainte de a obține unghiul dintre vectori, formula poate fi simplificată pentru a scăpa de semnul negativ suplimentar:

Pentru a menține acuratețea, răspunsul final poate fi lăsat ca atare sau puteți calcula valoarea unghiului în grade. Conform tabelului Bradis, valoarea acestuia va fi de aproximativ 116 grade și 70 de minute, iar calculatorul va afișa o valoare de 116,57 grade.

Calcularea unui unghi în spațiul n-dimensional

Când luăm în considerare doi vectori din spațiul tridimensional, este mult mai dificil de înțeles despre ce unghi vorbim dacă nu se află în același plan. Pentru a simplifica percepția, puteți desena două segmente care se intersectează care formează cel mai mic unghi între ele, acesta va fi cel dorit. Chiar dacă există o a treia coordonată în vector, procesul de calcul al unghiurilor dintre vectori nu se va schimba. Calculați produsul scalar și modulele vectorilor, arcul cosinus al coeficientului lor va fi răspunsul la această problemă.

În geometrie, există adesea probleme cu spațiile care au mai mult de trei dimensiuni. Dar pentru ei, algoritmul pentru găsirea răspunsului arată similar.

Diferență între 0 și 180 de grade

Una dintre greșelile frecvente atunci când scrieți un răspuns la o problemă concepută pentru a calcula unghiul dintre vectori este decizia de a scrie că vectorii sunt paraleli, adică unghiul dorit este egal cu 0 sau 180 de grade. Acest răspuns este incorect.

După ce a primit valoarea unghiului de 0 grade ca rezultat al soluției, răspunsul corect ar fi să desemnăm vectorii ca codirecționali, adică vectorii vor avea aceeași direcție. Dacă se obțin 180 de grade, vectorii vor fi direcționați opus.

Vectori specifici

După ce au găsit unghiurile dintre vectori, puteți găsi unul dintre tipurile speciale, pe lângă cele co-direcționale și opus-direcționale descrise mai sus.

• Mai mulți vectori paraleli cu un plan se numesc coplanari.
• Vectorii care au aceeași lungime și direcție se numesc egali.
• Vectorii care se află pe aceeași linie dreaptă, indiferent de direcție, se numesc coliniari.
• Dacă lungimea unui vector este zero, adică începutul și sfârșitul acestuia coincid, atunci se numește zero, iar dacă este unul, atunci unitate.

Cum se află unghiul dintre vectori?

ajuta-ma te rog! Cunosc formula, dar nu o pot calcula ((
vector a (8; 10; 4) vector b (5; -20; -10)

Alexandru Titov

Unghiul dintre vectori specificati de coordonatele lor este găsit folosind un algoritm standard. Mai întâi trebuie să găsiți produsul scalar al vectorilor a și b: (a, b) = x1x2 + y1y2 + z1z2. Înlocuim coordonatele acestor vectori aici și calculăm:
(a,b) = 8*5 + 10*(-20) = 4*(-10) = 40 - 200 - 40 = -200.
În continuare, determinăm lungimile fiecărui vector. Lungimea sau modulul unui vector este rădăcina pătrată a sumei pătratelor coordonatelor sale:
|a| = rădăcina lui (x1^2 + y1^2 + z1^2) = rădăcina lui (8^2 + 10^2 + 4^2) = rădăcina lui (64 + 100 + 16) = rădăcina lui 180 = 6 rădăcini ale 5
|b| = rădăcina lui (x2^2 + y2^2 + z2^2) = rădăcina lui (5^2 + (-20)^2 + (-10)^2) = rădăcina lui (25 + 400 + 100) = rădăcină din 525 = 5 rădăcini din 21.
Înmulțim aceste lungimi. Obținem 30 de rădăcini din 105.
Și, în final, împărțim produsul scalar al vectorilor la produsul lungimilor acestor vectori. Obținem -200/(30 rădăcini din 105) sau
- (4 rădăcini ale lui 105) / 63. Acesta este cosinusul unghiului dintre vectori. Și unghiul în sine este egal cu arcul cosinus al acestui număr
f = arccos(-4 rădăcini ale lui 105) / 63.
Dacă am numărat totul corect.

Cum se calculează sinusul unghiului dintre vectori folosind coordonatele vectorilor

Mihail Tkaciov

Să înmulțim acești vectori. Produsul lor scalar este egal cu produsul dintre lungimile acestor vectori și cosinusul unghiului dintre ei.
Unghiul ne este necunoscut, dar coordonatele sunt cunoscute.
Să o scriem matematic așa.
Să fie dați vectorii a(x1;y1) și b(x2;y2).
Apoi

A*b=|a|*|b|*cosA

CosA=a*b/|a|*|b|

Hai să vorbim.
a*b-produsul scalar al vectorilor este egal cu suma produselor coordonatelor corespunzătoare ale coordonatelor acestor vectori, adică egal cu x1*x2+y1*y2

|a|*|b|-produsul lungimii vectorului este egal cu √((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+(y2)^2).

Aceasta înseamnă că cosinusul unghiului dintre vectori este egal cu:

CosA=(x1*x2+y1*y2)/√((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+(y2)^2)

Cunoscând cosinusul unui unghi, putem calcula sinusul acestuia. Să discutăm cum să facem asta:

Dacă cosinusul unui unghi este pozitiv, atunci acest unghi se află în 1 sau 4 cadrane, ceea ce înseamnă că sinusul său este fie pozitiv, fie negativ. Dar, deoarece unghiul dintre vectori este mai mic sau egal cu 180 de grade, atunci sinusul său este pozitiv. Raționăm în mod similar dacă cosinusul este negativ.

SinA=√(1-cos^2A)=√(1-((x1*x2+y1*y2)/√((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+( y2)^2))^2)

Asta e)))) mult noroc să-ți dai seama)))

Dmitri Levișciov

Faptul că este imposibil să sinus direct nu este adevărat.
Pe langa formula:
(a,b)=|a|*|b|*cos A
Există și acesta:
||=|a|*|b|*sin A
Adică, în locul produsului scalar, puteți lua modulul produsului vectorial.

Cunoașterea și înțelegerea termenilor matematici va ajuta la rezolvarea multor probleme atât la cursurile de algebră, cât și de geometrie. Un rol la fel de important este acordat formulelor care afișează relațiile dintre caracteristicile matematice.

Unghiul dintre vectori - terminologie explicată

Pentru a formula o definiție a unghiului dintre vectori, este necesar să aflăm ce înseamnă termenul „vector”. Acest concept caracterizează o secțiune a unei linii drepte care are început, lungime și direcție. Dacă în fața ta sunt 2 segmente direcționate care își au originea în același punct, deci formează un unghi.

Acea. termenul „unghi între vectori” definește gradul de măsurare a celui mai mic unghi cu care un segment direcționat trebuie rotit (față de punctul de plecare), astfel încât să ia poziția/direcția celui de-al doilea segment direcționat al dreptei. Această afirmație se aplică vectorilor care emană dintr-un punct.

Gradul de măsurare a unghiului dintre două secțiuni direcționate ale unei linii drepte care își au originea în același punct este conținută într-un segment de la 0 º până la 180 º. Această mărime se notează ca ∠(ā,ū) – unghiul dintre segmentele direcționate ā și ū.

Calculul unghiului dintre vectori

Calculul gradului de măsurare a unghiului format dintr-o pereche de părți direcționate ale unei linii drepte se efectuează folosind următoarea formulă:

cosφ = (ō,ā) / |ō|·|ā|, ⇒ φ = arccos (cosφ).

∠φ – unghiul dorit între vectorii dați ō și ā,

(ō,ā) – produsul scalarilor părților direcționate ale dreptei,

|ō|·|ā| – produsul lungimilor segmentelor direcționate date.

Determinarea produsului scalar al secțiunilor direcționate ale unei drepte

Cum se utilizează această formulă și se determină valoarea numărătorului și numitorului raportului prezentat?

În funcție de sistemul de coordonate (spațiu cartezian sau tridimensional) în care se află vectorii dați, fiecare segment direcționat are următorii parametri:

ō = { o X, o y ), ā = ( un x, A y) sau

ō = { o X, o y ,o z), ā = ( un x, A y , A z).

Prin urmare, pentru a găsi valoarea numărătorului - scalarul segmentelor direcționate - ar trebui să efectuați următoarele acțiuni:

(ō,ā) = ō * ā = o X* un x+ o y * A y dacă vectorii luați în considerare se află pe plan

(ō,ā) = ō * ā = o X* un x+ o y * A y + o z* A z dacă secțiunile direcționate ale liniei sunt situate în spațiu.

Determinarea lungimii vectorului

Lungimea segmentului direcționat se calculează folosind expresiile:

|ō| = √ o x 2 + o y 2 sau |ō| = √ o x 2 + o y2+ o z 2

|ā| = √ a x 2 + A y 2 sau |ā| = √ A x 2 + A y2+ A z 2

Acea. în cazul general al măsurării n-dimensionale, expresia pentru determinarea gradului de măsură a unghiului dintre segmentele direcționate ō = ( o X, o y , …o n) și ā = ( un x, A y , …A n) arată astfel:

φ = arccos (cosφ) = arccos (( o X* un x+ o y * A y + … + o n* A n)/(√ o x 2 + o y 2 + … + o n2*√ A x 2 + A y 2 + … + A n 2)).

Un exemplu de calcul al unghiului dintre segmentele direcționate

În funcție de condiții, sunt dați vectorii ī = (3; 4; 0) și ū = (4; 4; 2). Care este gradul de măsură a unghiului format de aceste segmente?

Definiți scalarul vectorilor ī și ū. Pentru aceasta:

i * u = 3*4 + 4*4 + 0*2 = 28

Apoi calculați lungimile segmentelor:

|ī| = √9 + 16 + 0 = √25 = 5,

|ū| = √16 + 16 + 4 = √36 = 6.

cos (ī,ū) = 28 / 5*6 = 28/30 = 14/15 = 0,9(3).

Folosind tabelul cu valorile cosinus (Bradis), determinați valoarea unghiului dorit:

cos (ī,ū) = 0,9(3) ⇒ ∠(ī,ū) = 21° 6′.

Produsul punctual al vectorilor

Continuăm să ne ocupăm de vectori. La prima lecție Vectori pentru manechine Ne-am uitat la conceptul de vector, acțiuni cu vectori, coordonate vectoriale și cele mai simple probleme cu vectori. Dacă ați ajuns pentru prima dată pe această pagină dintr-un motor de căutare, vă recomand cu tărie să citiți articolul introductiv de mai sus, deoarece pentru a stăpâni materialul trebuie să vă familiarizați cu termenii și notațiile pe care le folosesc, să aveți cunoștințe de bază despre vectori și să poată rezolva probleme de bază. Această lecție este o continuare logică a subiectului și în ea voi analiza în detaliu sarcini tipice care folosesc produsul scalar al vectorilor. Aceasta este o activitate FOARTE IMPORTANTĂ.. Încercați să nu omiteți exemplele; acestea vin cu un bonus util - practica vă va ajuta să consolidați materialul pe care l-ați acoperit și să vă îmbunătățiți rezolvarea problemelor comune din geometria analitică.

Adunarea vectorilor, înmulțirea unui vector cu un număr.... Ar fi naiv să credem că matematicienii nu au venit cu altceva. Pe lângă acțiunile deja discutate, există o serie de alte operații cu vectori, și anume: produs scalar al vectorilor, produs vectorial al vectorilorȘi produs mixt al vectorilor. Produsul scalar al vectorilor ne este familiar de la școală, celelalte două produse aparțin în mod tradițional cursului de matematică superioară. Subiectele sunt simple, algoritmul pentru rezolvarea multor probleme este simplu și ușor de înțeles. Singurul lucru. Există o cantitate decentă de informații, așa că nu este de dorit să încerci să stăpânești și să rezolvi TOTUL ÎN DATA. Acest lucru este valabil mai ales pentru manechini, credeți-mă, autorul nu vrea să se simtă ca Chikatilo de la matematică. Ei bine, nici de la matematică, desigur, =) Elevii mai pregătiți pot folosi materiale selectiv, într-un anumit sens, „obține” cunoștințele lipsă pentru tine voi fi un inofensiv Conte Dracula =)

Să deschidem în sfârșit ușa și să vedem cu entuziasm ce se întâmplă atunci când doi vectori se întâlnesc...

Definirea produsului scalar al vectorilor.
Proprietățile produsului scalar. Sarcini tipice

Conceptul de produs punctual

În primul rând despre unghiul dintre vectori. Cred că toată lumea înțelege intuitiv care este unghiul dintre vectori, dar pentru orice eventualitate, puțin mai multe detalii. Să luăm în considerare vectorii liberi nenuli și . Dacă trasați acești vectori dintr-un punct arbitrar, veți obține o imagine pe care mulți și-au imaginat-o deja mental:

Recunosc, aici am descris situația doar la nivel de înțelegere. Dacă aveți nevoie de o definiție strictă a unghiului dintre vectori, vă rugăm să consultați manualul pentru probleme practice, în principiu, nu ne este de nici un folos. De asemenea, AICI ȘI AICI voi ignora vectorii zero pe alocuri din cauza semnificației lor practice scăzute. Am făcut o rezervare special pentru vizitatorii avansați ai site-ului care îmi pot reproșa incompletitudinea teoretică a unor declarații ulterioare.

În literatură, simbolul unghiului este adesea omis și scris simplu.

Definiție: Produsul scalar a doi vectori este un NUMĂR egal cu produsul dintre lungimile acestor vectori și cosinusul unghiului dintre ei:

Acum, aceasta este o definiție destul de strictă.

Ne concentrăm pe informațiile esențiale:

Desemnare: produsul scalar este notat prin sau simplu.

Rezultatul operației este un NUMĂR: Vectorul este înmulțit cu vector, iar rezultatul este un număr. Într-adevăr, dacă lungimile vectorilor sunt numere, cosinusul unui unghi este un număr, atunci produsul lor va fi și un număr.

Doar câteva exemple de încălzire:

Exemplul 1

Soluţie: Folosim formula . În acest caz:

Răspuns:

Valorile cosinusului pot fi găsite în tabel trigonometric. Recomand să-l imprimați - va fi necesar în aproape toate secțiunile turnului și va fi necesar de multe ori.

Din punct de vedere pur matematic, produsul scalar este adimensional, adică rezultatul, în acest caz, este doar un număr și atât. Din punct de vedere al problemelor de fizică, un produs scalar are întotdeauna o anumită semnificație fizică, adică după rezultat trebuie indicată una sau alta unitate fizică. Un exemplu canonic de calcul al muncii unei forțe poate fi găsit în orice manual (formula este exact un produs scalar). Munca unei forțe este măsurată în Jouli, prin urmare, răspunsul va fi scris destul de specific, de exemplu, .

Exemplul 2

Găsiți dacă , iar unghiul dintre vectori este egal cu .

Acesta este un exemplu pe care să-l rezolvi singur, răspunsul este la sfârșitul lecției.

Unghiul dintre vectori și valoarea produsului punctual

În exemplul 1 produsul scalar sa dovedit a fi pozitiv, iar în exemplul 2 sa dovedit a fi negativ. Să aflăm de ce depinde semnul produsului scalar. Să ne uităm la formula noastră: . Lungimile vectorilor nenuli sunt întotdeauna pozitive: , deci semnul poate depinde doar de valoarea cosinusului.

Notă: Pentru a înțelege mai bine informațiile de mai jos, este mai bine să studiați graficul cosinus din manual Grafice de funcții și proprietăți. Vedeți cum se comportă cosinusul pe segment.

După cum sa menționat deja, unghiul dintre vectori poate varia în interior , iar următoarele cazuri sunt posibile:

1) Dacă colţîntre vectori picant: (de la 0 la 90 de grade), apoi , Și produsul punctual va fi pozitiv co-regiat, atunci unghiul dintre ele este considerat zero, iar produsul scalar va fi de asemenea pozitiv. Din moment ce , formula simplifică: .

2) Dacă colţîntre vectori bont: (de la 90 la 180 de grade), apoi și în mod corespunzător, produsul punctual este negativ: . Caz special: dacă vectorii directii opuse, atunci se ia în considerare unghiul dintre ele extins: (180 de grade). Produsul scalar este de asemenea negativ, deoarece

Afirmațiile inverse sunt de asemenea adevărate:

1) Dacă , atunci unghiul dintre acești vectori este acut. Alternativ, vectorii sunt co-direcționali.

2) Dacă , atunci unghiul dintre acești vectori este obtuz. Alternativ, vectorii sunt în direcții opuse.

Dar cel de-al treilea caz prezintă un interes deosebit:

3) Dacă colţîntre vectori Drept: (90 de grade), atunci produsul scalar este zero: . Este adevărat și invers: dacă , atunci . Enunțul poate fi formulat compact după cum urmează: Produsul scalar a doi vectori este zero dacă și numai dacă vectorii sunt ortogonali. Notație matematică scurtă:

! Notă : Să repetăm bazele logicii matematice: O pictogramă de consecință logică cu două fețe este de obicei citită „dacă și numai dacă”, „dacă și numai dacă”. După cum puteți vedea, săgețile sunt direcționate în ambele direcții - „de aici urmează asta și invers - de aici urmează asta”. Care este, apropo, diferența față de pictograma de urmărire unidirecțională? Pictograma afirmă doar asta, că „din aceasta urmează aceasta”, și nu este un fapt că contrariul este adevărat. De exemplu: , dar nu orice animal este o panteră, așa că în acest caz nu puteți folosi pictograma. În același timp, în locul pictogramei Poate sa utilizați pictograma cu o singură față. De exemplu, în timp ce rezolvăm problema, am aflat că am ajuns la concluzia că vectorii sunt ortogonali: - o astfel de intrare va fi corectă și chiar mai potrivită decât .

Al treilea caz are o mare semnificație practică, deoarece vă permite să verificați dacă vectorii sunt ortogonali sau nu. Vom rezolva această problemă în a doua secțiune a lecției.

Proprietățile produsului punctual

Să revenim la situația când doi vectori co-regiat. În acest caz, unghiul dintre ele este zero, , iar formula produsului scalar ia forma: .

Ce se întâmplă dacă un vector este înmulțit cu el însuși? Este clar că vectorul este aliniat cu el însuși, așa că folosim formula simplificată de mai sus:

Numărul este sunat pătrat scalar vector și sunt notate ca .

Prin urmare, pătratul scalar al unui vector este egal cu pătratul lungimii vectorului dat:

Din această egalitate putem obține o formulă pentru calcularea lungimii vectorului:

Până acum pare neclar, dar obiectivele lecției vor pune totul la locul său. Pentru a rezolva problemele de care avem nevoie proprietățile produsului punctual.

Pentru vectori arbitrari și orice număr, următoarele proprietăți sunt adevărate:

1) – comutativă sau comutativ legea produsului scalar.

2) – distribuție sau distributiv legea produsului scalar. Pur și simplu, puteți deschide parantezele.

3) – asociativ sau asociativ legea produsului scalar. Constanta poate fi derivată din produsul scalar.

Adesea, tot felul de proprietăți (care trebuie și dovedite!) sunt percepute de studenți ca un gunoi inutil, care trebuie doar memorat și uitat în siguranță imediat după examen. S-ar părea că ceea ce este important aici, toată lumea știe deja din clasa întâi că rearanjarea factorilor nu schimbă produsul: . Trebuie să vă avertizez că la matematica superioară este ușor să dai peste cap cu o astfel de abordare. Deci, de exemplu, proprietatea comutativă nu este adevărată pentru matrici algebrice. De asemenea, nu este adevărat pentru produs vectorial al vectorilor. Prin urmare, cel puțin, este mai bine să aprofundați în orice proprietăți pe care le întâlniți la un curs superior de matematică pentru a înțelege ce puteți face și ce nu puteți face.

Exemplul 3

.

Soluţie: Mai întâi, să clarificăm situația cu vectorul. Ce este asta oricum? Suma vectorilor este un vector bine definit, care este notat cu . O interpretare geometrică a acțiunilor cu vectori poate fi găsită în articol Vectori pentru manechine. Același pătrunjel cu un vector este suma vectorilor și .

Deci, conform condiției, este necesar să se găsească produsul scalar. În teorie, trebuie să aplicați formula de lucru , dar problema este că nu știm lungimile vectorilor și unghiul dintre ei. Dar condiția oferă parametri similari pentru vectori, așa că vom lua o altă cale:

(1) Înlocuiți expresii pentru vectori.

(2) Deschidem parantezele conform regulii de înmulțire a polinoamelor se găsește în articol; Numere complexe sau Integrarea unei funcții fracționale-raționale. Nu mă voi repeta =) Apropo, proprietatea distributivă a produsului scalar ne permite să deschidem parantezele. Avem dreptul.

(3) În primul și ultimul termen scriem compact pătratele scalare ale vectorilor: . În al doilea termen folosim comutabilitatea produsului scalar: .

(4) Prezentăm termeni similari: .

(5) În primul termen folosim formula pătratului scalar, care a fost menționată nu cu mult timp în urmă. În ultimul termen, în consecință, funcționează același lucru: . Extindem al doilea termen conform formulei standard .

(6) Înlocuiți aceste condiții , și efectuați cu ATENȚIE calculele finale.

Răspuns:

O valoare negativă a produsului scalar afirmă faptul că unghiul dintre vectori este obtuz.

Problema este tipică, iată un exemplu pentru a o rezolva singur:

Exemplul 4

Aflați produsul scalar al vectorilor și dacă se știe că .

Acum o altă sarcină comună, doar pentru noua formulă pentru lungimea unui vector. Notația de aici se va suprapune puțin, așa că, pentru claritate, o voi rescrie cu o altă literă:

Exemplul 5

Aflați lungimea vectorului dacă .

Soluţie va fi după cum urmează:

(1) Furnizăm expresia pentru vectorul .

(2) Folosim formula lungimii: , iar întreaga expresie ve acţionează ca vectorul „ve”.

(3) Folosim formula școlară pentru pătratul sumei. Observați cum funcționează aici într-un mod curios: – de fapt, este pătratul diferenței și, de fapt, așa este. Cei care doresc pot rearanja vectorii: - se intampla acelasi lucru, pana la rearanjarea termenilor.

(4) Ceea ce urmează este deja familiar din cele două probleme anterioare.

Răspuns:

Deoarece vorbim despre lungime, nu uitați să indicați dimensiunea - „unități”.

Exemplul 6

Aflați lungimea vectorului dacă .

Acesta este un exemplu de rezolvat singur. Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției.

Continuăm să stoarcem lucruri utile din produsul punctual. Să ne uităm din nou la formula noastră . Folosind regula proporției, resetăm lungimile vectorilor la numitorul părții stângi:

Să schimbăm piesele:

Care este sensul acestei formule? Dacă sunt cunoscute lungimile a doi vectori și produsul lor scalar, atunci putem calcula cosinusul unghiului dintre acești vectori și, în consecință, unghiul însuși.

Un produs punctual este un număr? Număr. Lungimile vectorului sunt numere? Numerele. Aceasta înseamnă că o fracție este și un număr. Și dacă cosinusul unghiului este cunoscut: , atunci folosind funcția inversă este ușor să găsiți unghiul în sine: .

Exemplul 7

Aflați unghiul dintre vectori și dacă se știe că .

Soluţie: Folosim formula:

În etapa finală a calculelor s-a folosit o tehnică tehnică - eliminarea iraționalității în numitor. Pentru a elimina iraționalitatea, am înmulțit numărătorul și numitorul cu .

Astfel, dacă , Acea:

Valorile funcțiilor trigonometrice inverse pot fi găsite prin tabel trigonometric. Deși acest lucru se întâmplă rar. În problemele de geometrie analitică, mult mai des un urs stângace ca , iar valoarea unghiului trebuie găsită aproximativ folosind un calculator. De fapt, vom vedea o astfel de imagine de mai multe ori.

Răspuns:

Din nou, nu uitați să indicați dimensiunile - radiani și grade. Personal, pentru a „rezolva în mod evident toate întrebările”, prefer să le indică pe amândouă (cu excepția cazului în care condiția, desigur, impune prezentarea răspunsului doar în radiani sau doar în grade).

Acum puteți face față în mod independent unei sarcini mai complexe:

Exemplul 7*

Sunt date lungimile vectorilor și unghiul dintre ei. Aflați unghiul dintre vectorii , .

Sarcina nu este atât de dificilă, ci are mai multe etape.
Să ne uităm la algoritmul de soluție:

1) În funcție de condiție, trebuie să găsiți unghiul dintre vectori și , deci trebuie să utilizați formula .

2) Aflați produsul scalar (vezi Exemplele nr. 3, 4).

3) Aflați lungimea vectorului și lungimea vectorului (vezi Exemplele nr. 5, 6).

4) Sfârșitul soluției coincide cu Exemplul nr. 7 - cunoaștem numărul , ceea ce înseamnă că este ușor să găsiți unghiul în sine:

O scurtă soluție și răspuns la sfârșitul lecției.

A doua secțiune a lecției este dedicată aceluiași produs scalar. Coordonatele. Va fi chiar mai ușor decât în ​​prima parte.

produsul punctual al vectorilor,
dat de coordonate în bază ortonormală

Răspuns:

Inutil să spun că a face cu coordonatele este mult mai plăcută.

Exemplul 14

Aflați produsul scalar al vectorilor și dacă

Acesta este un exemplu de rezolvat singur. Aici puteți folosi asociativitatea operației, adică nu numărați, dar imediat scoateți triplul în afara produsului scalar și înmulțiți-l cu acesta ultimul. Soluția și răspunsul sunt la sfârșitul lecției.

La sfârșitul secțiunii, un exemplu provocator despre calcularea lungimii unui vector:

Exemplul 15

Aflați lungimile vectorilor , Dacă

Soluţie: Metoda din secțiunea anterioară se sugerează din nou: dar există o altă modalitate:

Să găsim vectorul:

Și lungimea sa după formula trivială :

Produsul punctual nu este deloc relevant aici!

De asemenea, nu este util atunci când se calculează lungimea unui vector:
Stop. Nu ar trebui să profităm de proprietatea evidentă a lungimii vectorului? Ce poți spune despre lungimea vectorului? Acest vector este de 5 ori mai lung decât vectorul. Direcția este opusă, dar asta nu contează, pentru că vorbim de lungime. Evident, lungimea vectorului este egală cu produsul modul numere pe lungimea vectorului:
– semnul modulului „mănâncă” posibilul minus al numărului.

Prin urmare:

Răspuns:

Formula pentru cosinusul unghiului dintre vectori care sunt specificați prin coordonate

Acum avem informații complete pentru a folosi formula derivată anterior pentru cosinusul unghiului dintre vectori exprima prin coordonate vectoriale:

Cosinusul unghiului dintre vectorii planiși, specificate pe o bază ortonormală, exprimat prin formula:
.

Cosinusul unghiului dintre vectorii spațiali, specificat pe o bază ortonormală, exprimat prin formula:

Exemplul 16

Date trei vârfuri ale unui triunghi. Găsiți (unghiul vârfului).

Soluţie: Conform condițiilor, desenul nu este necesar, dar totuși:

Unghiul necesar este marcat cu un arc verde. Să ne amintim imediat desemnarea școlară a unui unghi: – atenție deosebită la in medie litera - acesta este vârful unghiului de care avem nevoie. Pentru concizie, puteți scrie și simplu.

Din desen este destul de evident că unghiul triunghiului coincide cu unghiul dintre vectori și, cu alte cuvinte: .

Este indicat să învățați să efectuați analiza mental.

Să găsim vectorii:

Să calculăm produsul scalar:

Și lungimile vectorilor:

Cosinusul unghiului:

Aceasta este exact ordinea de finalizare a sarcinii pe care o recomand pentru manechin. Cititorii mai avansați pot scrie calculele „într-o singură linie”:

Iată un exemplu de valoare a cosinusului „proastă”. Valoarea rezultată nu este finală, așa că nu are rost să scapi de iraționalitatea la numitor.

Să găsim unghiul în sine:

Dacă te uiți la desen, rezultatul este destul de plauzibil. Pentru a verifica, unghiul poate fi măsurat și cu un raportor. Nu deteriorați capacul monitorului =)

Răspuns:

În răspuns nu uităm că întrebat despre unghiul unui triunghi(și nu despre unghiul dintre vectori), nu uitați să indicați răspunsul exact: și valoarea aproximativă a unghiului: , găsit folosind un calculator.

Cei care s-au bucurat de procesul pot calcula unghiurile și pot verifica validitatea egalității canonice

Exemplul 17

Un triunghi este definit în spațiu de coordonatele vârfurilor sale. Aflați unghiul dintre laturile și

Acesta este un exemplu de rezolvat singur. Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției

O scurtă secțiune finală va fi dedicată proiecțiilor, care implică și un produs scalar:

Proiecția unui vector pe un vector. Proiecția unui vector pe axele de coordonate.
Cosinusurile de direcție ale unui vector

Luați în considerare vectorii și:

Să proiectăm vectorul pe vector pentru a face acest lucru, omitem de la începutul și sfârșitul vectorului; perpendiculare la vector (linii punctate verzi). Imaginează-ți că razele de lumină cad perpendicular pe vector. Apoi segmentul (linia roșie) va fi „umbra” vectorului. În acest caz, proiecția vectorului pe vector este LUNGIMEA segmentului. Adică PROIECȚIA ESTE UN NUMĂR.

Acest NUMĂR este notat după cum urmează: , „vector mare” denotă vectorul CARE proiect, „vector indice mic” denotă vectorul PE care este proiectat.

Intrarea în sine se citește astfel: „proiecția vectorului „a” pe vectorul „fi”.”

Ce se întâmplă dacă vectorul „fi” este „prea scurt”? Desenăm o linie dreaptă care conține vectorul „fi”. Și vectorul „a” va fi proiectat deja în direcția vectorului „fi”, pur și simplu - la linia dreaptă care conține vectorul „fi”. Același lucru se va întâmpla dacă vectorul „a” este amânat în al treizecilea regat - va fi încă proiectat cu ușurință pe linia dreaptă care conține vectorul „fi”.

Dacă unghiulîntre vectori picant(ca in poza), atunci

Dacă vectorii ortogonală, atunci (proiecția este un punct ale cărui dimensiuni sunt considerate zero).

Dacă unghiulîntre vectori bont(în figură, rearanjați mental săgeata vectorială), apoi (aceeași lungime, dar luată cu semnul minus).

Să tragem acești vectori dintr-un punct:

Evident, atunci când un vector se mișcă, proiecția lui nu se modifică