Navodila

Naloga 1.
Poišči dolžine vseh strani trikotnika, če je znano, da je en krak daljši od drugega za 1 cm, dolžina trikotnika pa je 28 cm.

rešitev.
Zapišite osnovno formulo za ploščino S = (a*b)/2 = 28. Znano je, da je b = a + 1, nadomestite to vrednost v formulo: 28 = (a*(a+1))/2.
Odprite oklepaje in dobite kvadratno enačbo z eno neznano a^2 + a - 56 = 0.
Poiščite to tako, da izračunate diskriminanto D = 1 + 224 = 225. Enačba ima dve rešitvi: a_1 = (-1 + √225)/2 = (-1 + 15)/2 = 7 in a_2 = (-1 - √ 225)/2 = (-1 - 15)/2 = -8.
Drugo ni smiselno, ker dolžina segmenta ne more biti negativna, torej a = 7 (cm).
Poiščite dolžino drugega kraka b = a + 1 = 8 (cm).
Dolžina tretje stranice ostane. Po Pitagorovem izreku za pravokotni trikotnik c^2 = a^2 + b^2 = 49 + 64, torej c = √(49 + 64) = √113 ≈ 10,6 (cm).

Naloga 2.
Poiščite dolžine vseh strani pravokotnega trikotnika, če veste, da je njegova ploščina 14 cm in kot ACB 30°.

rešitev.
Zapišite osnovno formulo S = (a*b)/2 = 14.
Zdaj izrazite dolžine katet s produktom hipotenuze in trigonometričnih funkcij z uporabo lastnosti pravokotnega trikotnika:
a = c*cos(ACB) = c*cos(30°) = c*(√3/2) ≈ 0,87*c.
b = c*sin(ACB) = c*sin(30°) = c*(1/2) = 0,5*c.

Dobljene vrednosti nadomestite s formulo območja:
14 = (0,87*0,5*c^2)/2, od koder:
28 ≈ 0,435*c^2 → c = √64,4 ≈ 8 (cm).
Našli ste dolžino hipotenuze, zdaj poiščite dolžini ostalih dveh stranic:
a = 0,87*c = 0,87*8 ≈ 7 (cm), b = 0,5*c = 0,5*8 = 4 (cm).

Video na temo

Najprej se dogovorimo o notaciji. Krak je stranica pravokotnega trikotnika, ki meji na pravi kot (tj. z drugo stranico tvori kot 90 stopinj). Dogovorimo se, da dolžini krakov označimo kot a in b. Imenovali bomo vrednosti ostrih kotov pravokotnega trikotnika, ki so nasproti nog A oziroma B. Hipotenuza je stranica pravokotnega trikotnika, ki je nasproti pravemu kotu (to pomeni, da je nasproti pravega kota in tvori ostre kote z drugimi stranicami trikotnika). Dolžino hipotenuze označimo s c. Zahtevano površino označimo s S.

Navodila

Uporabite formulo S = (a^2)/(2*tg(A)), če imate samo enega od krakov (a), vendar je znan tudi kot (A) nasproti tega kraka. Znak "^2" označuje kvadrat.

Uporabite formulo S=(a^2)*tg(B)/2 d, če imate samo enega od krakov (a), znan pa je tudi kot (B), ki meji na ta krak.

Video na temo

Viri:

• "Matematični priročnik za študente", ed. G.N. Yakovleva, 1982.

O odnosih med stranicami in koti pravokotnega trikotnika razpravlja veja matematike, imenovana trigonometrija. Če želite najti stranice pravokotnega trikotnika, je dovolj poznati Pitagorov izrek, definicije trigonometričnih funkcij in imeti nekaj sredstev za iskanje vrednosti trigonometričnih funkcij, na primer kalkulator ali Bradisove tabele. Spodaj si oglejmo glavne primere težav pri iskanju strani pravokotnega trikotnika.

Boste potrebovali

• Kalkulator, Bradisove tabele.

Navodila

Če sta podana eden od ostrih kotov, na primer A, in eden od krakov, na primer a, se hipotenuza in drugi krak izračunata iz razmerij: b=a*tg(A), c= a*greh(A).

Koristen nasvet

Če ne poznate vrednosti sinusa ali kosinusa enega od kotov, potrebnih za izračun, lahko uporabite tabele Bradis; zagotavljajo vrednosti trigonometričnih funkcij za veliko število kotov. Poleg tega je večina sodobnih kalkulatorjev sposobna izračunati sinuse in kosinuse kotov.

Viri:

• kako izračunati stranico pravokotnega trikotnika v letu 2019

Nasvet 4: Kako najti osnovo pravokotnega trikotnika

V figuri, kot je pravokotni trikotnik, je nujno jasno razmerje med stranicami glede na drugo. Če poznaš dva od njih, lahko vedno najdeš tretjega. Iz spodnjih navodil boste izvedeli, kako je to mogoče storiti.

Boste potrebovali

• - kalkulator.

Navodila

Kvadratirajte obe stranici in ju seštejte a2+b2. Dobljeni rezultat je hipotenuza ( osnova) na kvadrat c2. Nato morate samo izluščiti koren zadnjega in hipotenuza je najdena. Ta metoda je preprosta in enostavna za uporabo. Glavna stvar v procesu iskanja strank trikotnik Zato ne pozabite izluščiti korena preliminarnega rezultata, da se izognete najpogostejši napaki. Formula je bila izpeljana zaradi najbolj znanega Pitagorovega izreka na svetu, ki ima v vseh virih obliko: a2+b2 = c2.

Eno od nog a delite s sinusom nasprotnega kota sin α. Če so v pogoju znani strani in sinusi, bo ta možnost za iskanje hipotenuze sprejemljiva. Formula bo v tem primeru imela zelo preprosto obliko: c=a/sin α. Bodite previdni pri vseh izračunih.

Pomnožite stran a z dve. Hipotenuza je bila izračunana. To je morda najbolj elementaren način iskanja naše strani. Toda na žalost se ta metoda uporablja samo v enem primeru - če je stran, ki leži nasproti kota, stopinjska mera, enaka številu trideset. Če obstaja, ste lahko prepričani, da bo vedno natančno polovica hipotenuze. V skladu s tem je vse, kar morate storiti, to, da ga podvojite in pripravljeni ste.

Deli krak a s kosinusom sosednjega kota cos α. Ta metoda je primerna samo, če poznate enega od krakov in kosinus kota, ki meji nanj. Ta metoda spominja na tisto, ki smo vam jo že predstavili, pri kateri se uporablja tudi noga, vendar se namesto kosinusa uporablja sinus nasprotnega kota. Samo v tem primeru bo nekoliko drugače spremenjen videz: с=a/ cos α. To je vse.

Nasvet 5: Kako najti kot, če poznate stranice pravokotnega trikotnika

Tre kvadrat, katerega eden od kotov je pravi (enak 90 °), se imenuje pravokotnik. Njena najdaljša stranica leži vedno nasproti pravemu kotu in se imenuje hipotenuza, drugi dve pa straneh se imenujejo noge. Če so znane dolžine teh treh strani, poiščite vrednosti vseh kotov treh kvadrat in ne bo težko, saj v resnici morate izračunati le enega od kotov. To lahko storite na več načinov.

Navodila

Za izračun količin (α, β, γ) uporabite definicije trigonometričnih funkcij skozi pravokotni trikotnik. Kot na primer za sinus ostrega kota kot razmerje med dolžino nasprotne noge in dolžino hipotenuze. To pomeni, da če sta dolžini krakov (A in B) in hipotenuze (C), potem lahko na primer najdete sinus kota α, ki leži nasproti kraka A, tako da delite dolžino straneh In za dolžino straneh C (hipotenuza): sin(α)=A/C. Ko ugotovite vrednost sinusa tega kota, lahko ugotovite njegovo vrednost v stopinjah z inverzno funkcijo sinusa - arkusina. To je α=arcsin(sin(α))=arcsin(A/C). Na enak način lahko ugotovite velikost ostrega kota v trikotniku. kvadrat Da, vendar to ni potrebno. Ker je vsota vseh kotov tri kvadrat a je 180° in v treh kvadratČe je eden od kotov 90°, potem lahko vrednost tretjega kota izračunamo kot razliko med 90° in vrednostjo najdenega kota: β=180°-90°-α=90°-α.

Namesto definiranja sinusa lahko uporabite definicijo kosinusa ostrega kota, ki je formuliran kot razmerje med dolžino kraka, ki meji na želeni kot, in dolžino hipotenuze: cos(α)=B/ C. Tudi tukaj uporabite inverzno trigonometrično funkcijo (arkosinus), da poiščete kot v stopinjah: α=arccos(cos(α))=arccos(B/C). Po tem, tako kot v prejšnjem koraku, ostane le še, da poiščemo vrednost manjkajočega kota: β=90°-α.

Uporabite lahko podoben tangens - izražen je z razmerjem dolžine kraka nasproti želenega kota in dolžine sosednjega kraka: tan(α)=A/B. Spet določite kot v stopinjah z inverzno trigonometrično funkcijo -: α=arctg(tg(α))=arctg(A/B). Formula za manjkajoči kot bo ostala nespremenjena: β=90°-α.

Video na temo

Nasvet 6: Kako najti dolžino stranice pravokotnega trikotnika

Šteje se, da je trikotnik pravokoten, če je eden od njegovih kotov pravi. Stran trikotnik ki se nahaja nasproti pravega kota, se imenuje hipotenuza, druga dva pa straneh- noge. Poiščite dolžine stranic pravokotnika trikotnik, lahko uporabite več metod.

Navodila

1. Pomeni dveh strani so znani

V tem primeru se površina pravokotnega trikotnika izračuna po formuli:
S = 0,5ab

2. Poznamo en krak in hipotenuzo

V takšnih pogojih je najbolj logično uporabiti Pitagorov izrek in zgornjo formulo:
S = 0,5∙sqrt(c^2-a^2) ∙a,
kjer je sqrt kvadratni koren, c^2-a^2 je radikalni izraz, ki označuje razliko med kvadratom hipotenuze in kraka.

3. Glede na vrednosti vseh strani trikotnika

Za takšne težave lahko uporabite Heronovo formulo:
S = (p-a)(p-b),
kjer je p polobod, ki ga dobimo z naslednjim izrazom: p = 0,5∙ (a+b+c)

4. En krak in kot sta znana

Tukaj se je vredno obrniti na trigonometrične funkcije. Na primer, tg(1) = 1/сtg(1) = b/a. To pomeni, da je zaradi tega odnosa mogoče določiti vrednost neznane noge. Naloga se nato spusti na prvo točko.

5. Znana hipotenuza in kot

V tem primeru se uporabljata tudi trigonometrični funkciji sinusa in kosinusa: сos(2)=1/sin(2) = b/c. Potem se rešitev problema spusti na drugo točko članka.

Video na temo

Nasvet 11: Kako se imenujejo stranice pravokotnega trikotnika?

Hipotenuza in noge

Odnosi med hipotenuzo in katetama

c2=a2+b2, kjer je c hipotenuza, a in b pa kateta. To pomeni, da bo hipotenuza enaka kvadratnemu korenu vsote kvadratov nog. Če želite najti kateri koli od krakov, je dovolj, da od kvadrata hipotenuze odštejete kvadrat drugega kraka in iz nastale razlike izvlečete kvadratni koren.

Sosednja in nasprotna noga

Če torej poznate kot in eno od strani, lahko uporabite te formule za izračun druge strani. Obe strani povezujejo tudi trigonometrične relacije. Razmerje med nasprotnim in sosednjim imenujemo tangens, razmerje med sosednjim in nasprotnim pa kotangens. Ta razmerja lahko izrazimo s formulama tgA=a/b ali ctgA=b/a.

V osnovni geometriji je pravokotni trikotnik figura, sestavljena iz treh segmentov, povezanih v točkah, s kotoma, od katerih sta dva ostra in en raven (to je enak 90°). Pravokotni trikotnik zanj so značilne številne pomembne lastnosti, od katerih mnoge tvorijo osnovo trigonometrije (na primer razmerje med njegovimi stranicami in koti). Že od šole naprej vsi znamo računati območje pravokotnega trikotnika, in v Vsakdanje življenje To geometrijsko figuro srečamo precej pogosto, včasih pa tega sploh ne opazimo. V tehnologiji najde precej široko uporabo, zato morajo inženirji, oblikovalci in arhitekti pogosto reševati tak problem.

Arhitekti morajo to vrednost določiti, ko načrtujejo stavbe s pedimenti, ki so zaključek fasad in imajo trikotna oblika omejena z vencem in ob straneh s strešnimi pobočji. Pogosto je kot med pobočji raven in v takih primerih ima pediment obliko pravokotnega trikotnika. Njegovo površino je treba določiti iz preprostega razloga, ker je treba natančno poznati količino gradbeni material potrebno za njegovo ureditev. Treba je opozoriti, da so pedimenti obvezni elementi nizkih stavb ( podeželske hiše, koče, dače).

Iskanje območja pravokotnega trikotnika

a- noga

b- noga

S- območje pravokotnega trikotnika

Oblika pravokotni trikotnik imajo veliko detajlov, iz katerih je izdelano moderno pohištvo. Kot veste, morajo biti za čim bolj učinkovito izrabo prostora vsi elementi opreme vanj optimalno umeščeni. Območja, kot so vogali, lahko dobro izkoristite z mizami trikotne oblike, katerih vrhovi so v večini primerov pravokotni trikotniki z nogami, ki mejijo na stene. Pri načrtovanju in izračunu teh elementov oblikovalci pohištvene proizvodnje uporabljajo formulo, po kateri iskanje območja pravokotnega trikotnika se izvaja glede na dolžino njegovih stranic. Poleg tega morajo pogosto razviti načrte za mize, pritrjene neposredno na stene, ki vključujejo nosilne elemente, ki predstavljajo tudi pravokotne trikotnike.

Gradbeniki, ki sodelujejo pri soočanju z delom, pogosto v svojih poklicna dejavnost uporabiti keramične ploščice, ki ima obliko pravokotnega trikotnika s kraki enake ali različne dolžine. Prav tako morajo določiti površino teh elementov, da bi ugotovili zahtevano število.

Oblika pravokotni trikotnik Ima tudi tako pomembno in potrebno merilno orodje kot kvadrat. Uporablja se za konstruiranje in nadzor pravih kotov in ga uporabljajo zelo široko in mnogi: od navadnih šolarjev pri pouku geometrije do oblikovalcev vrhunske tehnologije.

Trikotnik - ravno geometrijski lik z enim kotom, ki je enak 90°. Poleg tega je v geometriji pogosto potrebno izračunati površino takšne figure. Povedali vam bomo, kako to storiti naprej.

Najenostavnejša formula za določanje površine pravokotnega trikotnika

Začetni podatki, kjer sta: a in b stranici trikotnika, ki potekata iz pravega kota.

To pomeni, da je ploščina enaka polovici zmnožka obeh stranic, ki segata od pravega kota. Seveda obstaja Heronova formula, ki se uporablja za izračun površine pravilnega trikotnika, vendar za določitev vrednosti morate poznati dolžino treh strani. V skladu s tem boste morali izračunati hipotenuzo in to je dodaten čas.

Poiščite območje pravokotnega trikotnika s Heronovo formulo

To je dobro znana in izvirna formula, vendar boste morali za to izračunati hipotenuzo na dveh krakih s pomočjo Pitagorovega izreka.

V tej formuli: a, b, c so stranice trikotnika in p je polobod.

Poiščite površino pravokotnega trikotnika z uporabo hipotenuze in kota

Če v vaši težavi nobena od nog ni znana, potem uporabite največ na preprost način Ne moreš. Če želite določiti vrednost, morate izračunati dolžino nog. To lahko storite preprosto z uporabo hipotenuze in kosinusa sosednjega kota.

b=c×cos(α)

Ko poznate dolžino enega od krakov, lahko s pomočjo Pitagorovega izreka izračunate drugo stran, ki izhaja iz pravega kota.

b 2 =c 2 -a 2

V tej formuli sta c in a hipotenuza oziroma noga. Zdaj lahko izračunate površino s prvo formulo. Na enak način lahko izračunate eno od nog glede na drugo in kot. V tem primeru bo ena od zahtevanih strani enaka zmnožku noge in tangenti kota. Obstajajo tudi drugi načini za izračun površine, vendar s poznavanjem osnovnih izrekov in pravil zlahka najdete želeno vrednost.

Če nimate nobene strani trikotnika, ampak samo mediano in enega od kotov, potem lahko izračunate dolžino stranic. Če želite to narediti, uporabite lastnosti mediane, da pravokotni trikotnik razdelite na dva. V skladu s tem lahko deluje kot hipotenuza, če izhaja iz ostrega kota. Uporabite Pitagorov izrek in določite dolžine stranic trikotnika, ki izhajajo iz pravega kota.

Kot lahko vidite, lahko s poznavanjem osnovnih formul in Pitagorovega izreka izračunate površino pravokotnega trikotnika, ki ima samo enega od kotov in dolžino ene od strani.

Glede na vrsto trikotnika obstaja več možnosti za iskanje njegovega območja. Na primer, za izračun površine pravokotnega trikotnika uporabite formulo S= a * b / 2, kjer sta a in b njegova kraka. Če želite izvedeti površino enakokrakega trikotnika, morate produkt njegove osnove in višine razdeliti na dva. To pomeni, da je S= b*h / 2, kjer je b osnova trikotnika, h pa njegova višina.

Nato boste morda morali izračunati površino enakokrakega pravokotnega trikotnika. Tukaj na pomoč pride naslednja formula: S = a* a / 2, kjer morata imeti noge "a" in "a" enake vrednosti.

Prav tako moramo pogosto izračunati površino enakostraničnega trikotnika. Najdemo ga po formuli: S= a * h/ 2, kjer je a stranica trikotnika, h pa njegova višina. Ali po tej formuli: S= √3/ 4 *a^2, kjer je a stranica.

Kako najti območje pravokotnega trikotnika

Ali morate najti območje pravokotnega trikotnika, vendar izjava o problemu ne označuje dimenzij dveh njegovih nog hkrati? Potem te formule (S= a * b / 2) ne moremo uporabiti neposredno.

Razmislimo o več možnih rešitvah:

• Če ne poznate dolžine ene noge, podane pa so dimenzije hipotenuze in druge noge, se obrnemo na velikega Pitagora in z uporabo njegovega izreka (a^2+b^2=c^2), izračunamo dolžino neznane noge, nato pa z njo izračunamo površino trikotnika.
• Če sta podana dolžina enega kraka in stopinjski naklon nasprotnega kota: dolžino drugega kraka najdemo po formuli - a=b*ctg(C).
• Podano: dolžina enega kraka in stopinjski naklon kota, ki meji nanj: za iskanje dolžine drugega kraka uporabimo formulo - a=b*tg(C).
• In nazadnje, glede na: kot in dolžino hipotenuze: izračunamo dolžino obeh njenih katet z naslednjima formulama - b=c*sin(C) in a=c*cos(C).

Kako najti območje enakokrakega trikotnika

Območje enakokrakega trikotnika je mogoče zelo enostavno in hitro najti s formulo S = b * h / 2, če pa eden od indikatorjev manjka, postane naloga veliko bolj zapletena. Navsezadnje je treba izvesti dodatna dejanja.

Možne možnosti naloge:

• Podano: dolžina ene od stranic in dolžina osnove. S pomočjo Pitagorovega izreka najdemo višino, to je dolžino drugega kraka. Pod pogojem, da je dolžina osnove, deljena z dvema, noga, prvotno znana stran pa je hipotenuza.
• Podano: osnovo in kot med stranico in osnovo. Višino izračunamo po formuli h=c*ctg(B)/2 (ne pozabimo deliti strani "c" z dva).
• Podano: višina in kot, ki ju tvorita osnova in stranica: uporabimo formulo c=h*tg(B)*2 za iskanje višine in rezultat pomnožimo z dva. Nato izračunamo površino.
• Znano: dolžina stranice in kot med njo in višino. Rešitev: s formulama - c=a*sin(C)*2 in h=a*cos(C) poiščemo osnovo in višino, nakar izračunamo ploščino.

Kako najti območje enakokrakega pravokotnega trikotnika

Če so znani vsi podatki, potem s standardno formulo S= a* a / 2 izračunamo površino enakokrakega pravokotnega trikotnika, če pa nekateri kazalniki v problemu niso navedeni, se izvedejo dodatna dejanja.

Na primer: ne poznamo dolžin obeh stranic (spomnimo se, da sta v enakokrakem pravokotnem trikotniku enaki), podana pa je dolžina hipotenuze. Uporabimo Pitagorov izrek, da poiščemo enaki stranici "a" in "a". Pitagorova formula: a^2+b^2=c^2. V primeru enakokrakega pravokotnega trikotnika se spremeni v to: 2a^2 = c^2. Izkazalo se je, da morate za iskanje kraka "a" dolžino hipotenuze razdeliti s korenom iz 2. Rezultat rešitve bo dolžina obeh krakov enakokrakega pravokotnega trikotnika. Nato poiščemo območje.

Kako najti območje enakostraničnega trikotnika

Z uporabo formule S= √3/ 4*a^2 lahko preprosto izračunate ploščino enakostraničnega trikotnika. Če je polmer kroga, ki je opisan trikotniku, znan, je ploščino mogoče najti s formulo: S= 3√3/ 4*R^2, kjer je R polmer kroga.