Moduli dhe argumenti i një numri kompleks. Trigonometrike

Numrat kompleksë janë zgjerimi minimal i grupit të numrave realë me të cilët jemi njohur. Dallimi i tyre themelor është se shfaqet një element që jep -1 kur është në katror, ​​d.m.th. unë, ose.

Çdo numër kompleks përbëhet nga dy pjesë: reale dhe imagjinare:

Kështu, është e qartë se bashkësia e numrave realë përkon me bashkësinë e numrave kompleksë me një pjesë imagjinare zero.

Modeli më i popullarizuar për grupin e numrave kompleks është rrafshi i zakonshëm. Koordinata e parë e çdo pike do të jetë pjesa e saj reale dhe e dyta do të jetë pjesa imagjinare. Atëherë roli i vetë numrave kompleks do të jetë vektorë me fillim në pikën (0,0).

Veprimet me numra kompleks.

Në fakt, nëse marrim parasysh modelin e grupit të numrave kompleksë, është intuitivisht e qartë se mbledhja (zbritja) dhe shumëzimi i dy numrave kompleksë kryhen në të njëjtën mënyrë si veprimet përkatëse në vektorë. Për më tepër, nënkuptojmë produktin vektorial të vektorëve, sepse rezultati i këtij operacioni është përsëri një vektor.

1.1 Shtesa.

(Siç mund ta shihni, ky operacion korrespondon saktësisht)

1.2 Zbritja, në mënyrë të ngjashme, prodhohet sipas rregullit të mëposhtëm:

2. Shumëzimi.

3. Divizioni.

Përkufizohet thjesht si operacion i anasjelltë i shumëzimit.

Forma trigonometrike.

Moduli i një numri kompleks z është sasia e mëposhtme:

,

padyshim, ky është, përsëri, vetëm moduli (gjatësia) e vektorit (a,b).

Më shpesh, moduli i një numri kompleks shënohet si ρ.

Rezulton se

z = ρ(cosφ+isinφ).

Më poshtë vijon drejtpërdrejt nga forma trigonometrike e shkrimit të një numri kompleks: formulat :

Formula e fundit quhet formula e Moivre. Formula rrjedh drejtpërdrejt prej saj Rrënja e n-të e një numri kompleks:

pra, ka rrënjë të n-të të numrit kompleks z.

Plani i mësimit.

1. Momenti organizativ.

2. Prezantimi i materialit.

3. Detyrë shtëpie.

4. Përmbledhja e mësimit.

Përparimi i mësimit

I. Momenti organizativ.

II. Prezantimi i materialit.

Motivimi.

Zgjerimi i bashkësisë së numrave realë konsiston në shtimin e numrave të rinj (imagjinarë) me numrat realë. Futja e këtyre numrave është për shkak të pamundësisë së nxjerrjes së rrënjës së një numri negativ në grupin e numrave realë.

Hyrje në konceptin e një numri kompleks.

Numrat imagjinarë, me të cilët plotësojmë numrat realë, shkruhen në formë bi, Ku iështë një njësi imagjinare, dhe i 2 = - 1.

Bazuar në këtë, marrim përkufizimin e mëposhtëm të një numri kompleks.

Përkufizimi. Një numër kompleks është një shprehje e formës a+bi, Ku a Dhe b- numra realë. Në këtë rast, plotësohen kushtet e mëposhtme:

a) Dy numra kompleks a 1 + b 1 i Dhe a 2 + b 2 i e barabartë nëse dhe vetëm nëse a 1 = a 2, b 1 =b 2.

b) Mbledhja e numrave kompleks përcaktohet nga rregulli:

(a 1 + b 1 i) + (a 2 + b 2 i) = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2) i.

c) Shumëzimi i numrave kompleks përcaktohet nga rregulli:

(a 1 + b 1 i) (a 2 + b 2 i) = (a 1 a 2 - b 1 b 2) + (a 1 b 2 - a 2 b 1) i.

Forma algjebrike e një numri kompleks.

Shkrimi i një numri kompleks në formë a+bi quhet trajta algjebrike e një numri kompleks, ku A- pjesa reale, biështë pjesa imagjinare, dhe b- numri real.

Numri kompleks a+bi konsiderohet e barabartë me zero nëse pjesët reale dhe imagjinare të tij janë të barabarta me zero: a = b = 0

Numri kompleks a+bi në b = 0 konsiderohet të jetë i njëjtë me një numër real a: a + 0i = a.

Numri kompleks a+bi në a = 0 quhet thjesht imagjinar dhe shënohet bi: 0 + bi = bi.

Dy numra kompleks z = a + bi Dhe = a – bi, që ndryshojnë vetëm në shenjën e pjesës imagjinare, quhen të konjuguara.

Veprimet me numrat kompleks në formë algjebrike.

Ju mund të kryeni veprimet e mëposhtme për numrat kompleks në formë algjebrike.

1) Shtesa.

Përkufizimi. Shuma e numrave kompleks z 1 = a 1 + b 1 i Dhe z 2 = a 2 + b 2 i quhet numër kompleks z, pjesa reale e së cilës është e barabartë me shumën e pjesëve reale z 1 Dhe z 2, dhe pjesa imagjinare është shuma e pjesëve imagjinare të numrave z 1 Dhe z 2 dmth z = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2)i.

Numrat z 1 Dhe z 2 quhen terma.

Mbledhja e numrave kompleks ka këto veti:

1º. Komutativiteti: z 1 + z 2 = z 2 + z 1.

2º. Asociacioni: (z 1 + z 2) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3).

3º. Numri kompleks –a –bi quhet e kundërta e një numri kompleks z = a + bi. Numri kompleks, i kundërt i numrit kompleks z, shënohet -z. Shuma e numrave kompleks z Dhe -z e barabartë me zero: z + (-z) = 0

Shembulli 1: Kryeni mbledhje (3 – i) + (-1 + 2i).

(3 – i) + (-1 + 2i) = (3 + (-1)) + (-1 + 2) i = 2 + 1i.

2) Zbritja.

Përkufizimi. Zbrit nga një numër kompleks z 1 numër kompleks z 2 z,Çfarë z + z 2 = z 1.

Teorema. Dallimi midis numrave kompleks ekziston dhe është unik.

Shembulli 2: Kryeni një zbritje (4 – 2i) - (-3 + 2i).

(4 – 2i) - (-3 + 2i) = (4 - (-3)) + (-2 - 2) i = 7 – 4i.

3) Shumëzimi.

Përkufizimi. Prodhimi i numrave kompleks z 1 =a 1 +b 1 i Dhe z 2 =a 2 +b 2 i quhet numër kompleks z, e përcaktuar nga barazia: z = (a 1 a 2 – b 1 b 2) + (a 1 b 2 + a 2 b 1)i.

Numrat z 1 Dhe z 2 quhen faktorë.

Shumëzimi i numrave kompleks ka këto veti:

1º. Komutativiteti: z 1 z 2 = z 2 z 1.

2º. Asociacioni: (z 1 z 2)z 3 = z 1 (z 2 z 3)

3º. Shpërndarja e shumëzimit në lidhje me mbledhjen:

(z 1 + z 2) z 3 = z 1 z 3 + z 2 z 3.

4º. z = (a + bi) (a – bi) = a 2 + b 2- numri real.

Në praktikë, shumëzimi i numrave kompleks kryhet sipas rregullit të shumëzimit të një shume me një shumë dhe ndarjes së pjesëve reale dhe imagjinare.

Në shembullin e mëposhtëm, do të shqyrtojmë shumëzimin e numrave kompleks në dy mënyra: me rregull dhe duke shumëzuar shumën me shumë.

Shembulli 3: Bëni shumëzimin (2 + 3i) (5 - 7i).

1 mënyrë. (2 + 3i) (5 – 7i) = (2× 5 – 3× (- 7)) + (2× (- 7) + 3× 5)i = = (10 + 21) + (- 14 + 15 )i = 31 + i.

Metoda 2. (2 + 3i) (5 – 7i) = 2× 5 + 2× (- 7i) + 3i× 5 + 3i× (- 7i) = = 10 – 14i + 15i + 21 = 31 + i.

4) Divizioni.

Përkufizimi. Ndani një numër kompleks z 1 në një numër kompleks z 2, do të thotë të gjesh një numër kaq kompleks z, Çfarë z · z 2 = z 1.

Teorema. Herësi i numrave kompleks ekziston dhe është unik nëse z 2 ≠ 0 + 0i.

Në praktikë, herësi i numrave kompleks gjendet duke shumëzuar numëruesin dhe emëruesin me konjugatin e emëruesit.

Le z 1 = a 1 + b 1 i, z 2 = a 2 + b 2 i, Pastaj

.

Në shembullin e mëposhtëm, ne do të kryejmë pjesëtimin duke përdorur formulën dhe rregullin e shumëzimit me numrin e konjuguar me emëruesin.

Shembulli 4. Gjeni herësin .

5) Ngritja në një fuqi të tërë pozitive.

a) Fuqitë e njësisë imagjinare.

Duke përfituar nga barazia i 2 = -1, është e lehtë të përcaktohet çdo fuqi numër i plotë pozitiv i njësisë imagjinare. Ne kemi:

i 3 = i 2 i = -i,

i 4 = i 2 i 2 = 1,

i 5 = i 4 i = i,

i 6 = i 4 i 2 = -1,

i 7 = i 5 i 2 = -i,

i 8 = i 6 i 2 = 1 etj.

Kjo tregon se vlerat e gradës i n, Ku n– një numër i plotë pozitiv, i përsëritur periodikisht ndërsa treguesi rritet me 4 .

Prandaj, për të rritur numrin i në një fuqi të tërë pozitive, ne duhet ta ndajmë eksponentin me 4 dhe ndërto i në një fuqi, eksponenti i të cilit është i barabartë me pjesën e mbetur të pjesëtimit.

Shembulli 5: Llogaritni: (i 36 + i 17) i 23.

i 36 = (i 4) 9 = 1 9 = 1,

i 17 = i 4 × 4+1 = (i 4) 4 × i = 1 · i = i.

i 23 = i 4 × 5+3 = (i 4) 5 × i 3 = 1 · i 3 = - i.

(i 36 + i 17) · i 23 = (1 + i) (- i) = - i + 1= 1 – i.

b) Ngritja e një numri kompleks në një fuqi të plotë pozitiv kryhet sipas rregullit për ngritjen e një binomi në fuqinë përkatëse, pasi është një rast i veçantë i shumëzimit të faktorëve kompleksë identikë.

Shembulli 6: Llogaritni: (4 + 2i) 3

(4 + 2i) 3 = 4 3 + 3× 4 2 × 2i + 3× 4× (2i) 2 + (2i) 3 = 64 + 96i – 48 – 8i = 16 + 88i.