Formulat ose rregullat e shkurtuara të shumëzimit përdoren në aritmetikë, më konkretisht në algjebër, për të përshpejtuar procesin e vlerësimit të shprehjeve të mëdha algjebrike. Vetë formulat rrjedhin nga rregullat ekzistuese në algjebër për shumëzimin e disa polinomeve.

Përdorimi i këtyre formulave ofron një zgjidhje mjaft të shpejtë për probleme të ndryshme matematikore, dhe gjithashtu ndihmon në thjeshtimin e shprehjeve. Rregullat e transformimeve algjebrike ju lejojnë të kryeni disa manipulime me shprehje, pas të cilave mund të merrni në anën e majtë të barazisë shprehjen në anën e djathtë, ose të transformoni anën e djathtë të barazisë (për të marrë shprehjen në anën e majtë pas shenjës së barazimit).

Është e përshtatshme të njihni formulat e përdorura për shumëzim të shkurtuar nga kujtesa, pasi ato shpesh përdoren në zgjidhjen e problemeve dhe ekuacioneve. Më poshtë janë formulat kryesore të përfshira në këtë listë dhe emrat e tyre.

Sheshi i shumës

Për të llogaritur katrorin e shumës, duhet të gjeni shumën që përbëhet nga katrori i termit të parë, dyfishi i produktit të termit të parë dhe i dyti dhe katrori i të dytës. Në formën e një shprehjeje, ky rregull shkruhet si më poshtë: (a + c)² = a² + 2ac + c².

Diferenca në katror

Për të llogaritur katrorin e diferencës, duhet të llogarisni shumën që përbëhet nga katrori i numrit të parë, dyfishi i produktit të numrit të parë dhe i dyti (marrë me shenjën e kundërt) dhe katrori i numrit të dytë. Në formën e një shprehjeje, ky rregull duket kështu: (a - c)² = a² - 2ac + c².

Dallimi i katrorëve

Formula për ndryshimin e dy numrave në katror është e barabartë me produktin e shumës së këtyre numrave dhe ndryshimin e tyre. Në formën e një shprehjeje, ky rregull duket kështu: a² - с² = (a + с)·(a - с).

Kub i shumës

Për të llogaritur kubin e shumës së dy termave, duhet të llogaritni shumën që përbëhet nga kubi i termit të parë, të trefishoni produktin e katrorit të termit të parë dhe të dytë, të trefishoni produktin e termit të parë dhe të dytë. në katror, ​​dhe kubi i termit të dytë. Në formën e një shprehjeje, ky rregull duket kështu: (a + c)³ = a³ + 3a²c + 3ac² + c³.

Shuma e kubeve

Sipas formulës, është e barabartë me produktin e shumës së këtyre termave dhe katrorin e tyre jo të plotë të diferencës. Në formën e një shprehjeje, ky rregull duket kështu: a³ + c³ = (a + c)·(a² - ac + c²).

Shembull.Është e nevojshme të llogaritet vëllimi i një figure të formuar duke shtuar dy kube. Dihen vetëm përmasat e anëve të tyre.

Nëse vlerat anësore janë të vogla, atëherë llogaritjet janë të thjeshta.

Nëse gjatësitë e anëve shprehen në numra të rëndë, atëherë në këtë rast është më e lehtë të përdoret formula "Shuma e kubeve", e cila do të thjeshtojë shumë llogaritjet.

Kubi i ndryshimit

Shprehja për ndryshimin kub tingëllon kështu: si shuma e fuqisë së tretë të termit të parë, trefishoni produktin negativ të katrorit të termit të parë me të dytin, trefishoni produktin e termit të parë me katrorin e të dytës dhe kubi negativ i termit të dytë. Në formën e një shprehjeje matematikore, kubi i diferencës duket kështu: (a - c)³ = a³ - 3a²c + 3ac² - c³.

Dallimi i kubeve

Diferenca e formulës së kubeve ndryshon nga shuma e kubeve vetëm me një shenjë. Kështu, diferenca e kubeve është një formulë e barabartë me produktin e ndryshimit të këtyre numrave dhe katrorin e tyre jo të plotë të shumës. Në formë, ndryshimi i kubeve duket kështu: a 3 - c 3 = (a - c) (a 2 + ac + c 2).

Shembull.Është e nevojshme të llogaritet vëllimi i figurës që do të mbetet pas zbritjes së figurës vëllimore nga vëllimi i kubit blu të verdhë, e cila është gjithashtu një kub. Dihet vetëm madhësia anësore e kubit të vogël dhe të madh.

Nëse vlerat anësore janë të vogla, atëherë llogaritjet janë mjaft të thjeshta. Dhe nëse gjatësitë e anëve shprehen në numra të konsiderueshëm, atëherë ia vlen të aplikoni formulën me titull "Diferenca e kubeve" (ose "Kubi i ndryshimit"), i cili do të thjeshtojë shumë llogaritjet.

Në mësimet e mëparshme, ne shikuam dy mënyra për të faktorizuar një polinom: vendosja e faktorit të përbashkët jashtë kllapave dhe metodën e grupimit.

Në këtë mësim do të shikojmë një mënyrë tjetër për të faktorizuar një polinom duke përdorur formulat e shkurtuara të shumëzimit.

Ne ju rekomandojmë që të shkruani çdo formulë të paktën 12 herë. Për memorizimin më të mirë, shkruani të gjitha formulat e shkurtuara të shumëzimit në një fletë të vogël mashtrimi.

Le të kujtojmë se si duket ndryshimi i formulës së kubeve.

Dallimi i formulës së kubeve nuk është shumë i lehtë për t'u mbajtur mend, kështu që ju rekomandojmë të përdorni një metodë të veçantë për ta mbajtur mend atë.

Është e rëndësishme të kuptohet se çdo formulë e shkurtuar shumëzimi funksionon gjithashtu ana e kundërt.

Le të shohim një shembull. Është e nevojshme të faktorizohet diferenca e kubeve.

Ju lutemi vini re se "27a 3" është "(3a) 3", që do të thotë se për ndryshimin e formulës së kubeve, në vend të "a" përdorim "3a".

Ne përdorim formulën e diferencës së kubeve. Në vend të "a 3" kemi "27a 3", dhe në vend të "b 3", si në formulë, është "b 3".

Zbatimi i diferencës së kubeve në drejtim të kundërt

Le të shohim një shembull tjetër. Ju duhet ta shndërroni produktin e polinomeve në diferencën e kubeve duke përdorur formulën e shkurtuar të shumëzimit.

Ju lutemi vini re se prodhimi i polinomeve "(x − 1) (x 2 + x + 1)" ngjan me anën e djathtë të diferencës së formulës së kubeve "", vetëm në vend të "a" ka "x" dhe në vend nga "b" ka "1" .

Për “(x − 1)(x 2 + x + 1)” përdorim ndryshimin e formulës së kubeve në drejtim të kundërt.

Le të shohim një shembull më të ndërlikuar. Kërkohet thjeshtimi i produktit të polinomeve.

Nëse krahasojmë "(y 2 − 1)(y 4 + y 2 + 1)" me anën e djathtë të formulës së diferencës së kubeve
« a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2)”, atëherë mund të kuptoni se në vend të "a" nga kllapa e parë është "y 2", dhe në vend të "b" është "1".

Dallimi i katrorëve

Le të nxjerrim formulën për diferencën e katrorëve $a^2-b^2$.

Për ta bërë këtë, mbani mend rregullin e mëposhtëm:

Nëse i shtojmë ndonjë monom shprehjes dhe zbresim të njëjtin monom, marrim identitetin e saktë.

Le t'i shtojmë shprehjes sonë dhe t'ia zbresim monomin $ab$:

Në total, marrim:

Kjo do të thotë, ndryshimi midis katrorëve të dy monomëve është i barabartë me produktin e ndryshimit të tyre dhe shumën e tyre.

Shembulli 1

Paraqisni si produkt $(4x)^2-y^2$

\[(4x)^2-y^2=((2x))^2-y^2\]

\[((2x))^2-y^2=\majtas(2x-y\djathtas)(2x+y)\]

Shuma e kubeve

Le të nxjerrim formulën për shumën e kubeve $a^3+b^3$.

Le të heqim faktorët e zakonshëm nga kllapat:

Le të marrim $\left(a+b\djathtas)$ nga kllapat:

Në total, marrim:

Kjo do të thotë, shuma e kubeve të dy monomëve është e barabartë me produktin e shumës së tyre dhe katrorin jo të plotë të ndryshimit të tyre.

Shembulli 2

Paraqisni si produkt $(8x)^3+y^3$

Kjo shprehje mund të rishkruhet si më poshtë:

\[(8x)^3+y^3=((2x))^3+y^3\]

Duke përdorur formulën e diferencës së katrorëve, marrim:

\[((2x))^3+y^3=\majtas(2x+y\djathtas)(4x^2-2xy+y^2)\]

Dallimi i kubeve

Le të nxjerrim formulën për diferencën e kubeve $a^3-b^3$.

Për ta bërë këtë, ne do të përdorim të njëjtin rregull si më sipër.

Le t'i shtojmë shprehjes sonë dhe t'i zbresim monomët $a^2b\ dhe\ (ab)^2$:

Le të heqim faktorët e zakonshëm nga kllapat:

Le të marrim $\left(a-b\right)$ nga kllapat:

Në total, marrim:

Kjo do të thotë, ndryshimi i kubeve të dy monomëve është i barabartë me produktin e ndryshimit të tyre me katrorin jo të plotë të shumës së tyre.

Shembulli 3

Paraqisni si produkt $(8x)^3-y^3$

Kjo shprehje mund të rishkruhet si më poshtë:

\[(8x)^3-y^3=((2x))^3-y^3\]

Duke përdorur formulën e diferencës së katrorëve, marrim:

\[((2x))^3-y^3=\majtas(2x-y\djathtas)(4x^2+2xy+y^2)\]

Shembull i problemave duke përdorur formulat për ndryshimin e katrorëve dhe shumën dhe ndryshimin e kubeve

Shembulli 4

Faktorizoj.

a) $((a+5))^2-9$

c) $-x^3+\frac(1)(27)$

Zgjidhja:

a) $((a+5))^2-9$

\[((a+5))^2-9=(a+5))^2-3^2\]

Duke aplikuar formulën e diferencës së katrorëve, marrim:

\[((a+5))^2-3^2=\majtas(a+5-3\djathtas)\majtas(a+5+3\djathtas)=\majtas(a+2\djathtas)(a +8)\]

Le ta shkruajmë këtë shprehje në formën:

Le të zbatojmë formulën e kubeve:

c) $-x^3+\frac(1)(27)$

Le ta shkruajmë këtë shprehje në formën:

\[-x^3+\frac(1)(27)=(\majtas(\frac(1)(3)\djathtas))^3-x^3\]

Le të zbatojmë formulën e kubeve:

\[(\majtas(\frac(1)(3)\djathtas))^3-x^3=\left(\frac(1)(3)-x\djathtas)\majtas(\frac(1)( 9)+\frac(x)(3)+x^2\djathtas)\]