பெரிய இயற்கணித வெளிப்பாடுகளை மதிப்பிடும் செயல்முறையை விரைவுபடுத்த, சுருக்கமான பெருக்கல் சூத்திரங்கள் அல்லது விதிகள் எண்கணிதத்தில், குறிப்பாக இயற்கணிதத்தில் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. பல பல்லுறுப்புக்கோவைகளைப் பெருக்க இயற்கணிதத்தில் இருக்கும் விதிகளிலிருந்து சூத்திரங்கள் பெறப்படுகின்றன.

இந்த சூத்திரங்களின் பயன்பாடு பல்வேறு கணித சிக்கல்களுக்கு மிகவும் விரைவான தீர்வை வழங்குகிறது, மேலும் வெளிப்பாடுகளை எளிதாக்க உதவுகிறது. இயற்கணித மாற்றங்களின் விதிகள் வெளிப்பாடுகளுடன் சில கையாளுதல்களைச் செய்ய உங்களை அனுமதிக்கின்றன, அதைத் தொடர்ந்து நீங்கள் சமத்துவத்தின் இடது பக்கத்தில் வலது பக்கத்தில் வெளிப்பாட்டைப் பெறலாம் அல்லது சமத்துவத்தின் வலது பக்கத்தை மாற்றலாம் (இடது பக்கத்தில் வெளிப்பாட்டைப் பெறுவதற்கு. சம அடையாளத்திற்குப் பிறகு).

நினைவகத்திலிருந்து சுருக்கமான பெருக்கலுக்குப் பயன்படுத்தப்படும் சூத்திரங்களை அறிவது வசதியானது, ஏனெனில் அவை பெரும்பாலும் சிக்கல்கள் மற்றும் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதில் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. இந்த பட்டியலில் உள்ள முக்கிய சூத்திரங்களும் அவற்றின் பெயர்களும் கீழே உள்ளன.

தொகையின் சதுரம்

கூட்டுத்தொகையின் வர்க்கத்தைக் கணக்கிட, நீங்கள் முதல் காலத்தின் வர்க்கத்தைக் கொண்ட கூட்டுத்தொகையைக் கண்டறிய வேண்டும். வெளிப்பாட்டின் வடிவத்தில், இந்த விதி பின்வருமாறு எழுதப்பட்டுள்ளது: (a + c)² = a² + 2ac + c².

சதுர வேறுபாடு

வேறுபாட்டின் வர்க்கத்தைக் கணக்கிட, முதல் எண்ணின் வர்க்கம், முதல் எண்ணின் இரண்டு மடங்கு பெருக்கல் மற்றும் இரண்டாவது (எதிர் குறியுடன் எடுக்கப்பட்டது) மற்றும் இரண்டாவது எண்ணின் வர்க்கம் ஆகியவற்றைக் கொண்ட கூட்டுத்தொகையைக் கணக்கிட வேண்டும். வெளிப்பாட்டின் வடிவத்தில், இந்த விதி இதுபோல் தெரிகிறது: (a - c)² = a² - 2ac + c².

சதுரங்களின் வேறுபாடு

இரண்டு எண்களின் வர்க்க வேறுபாட்டிற்கான சூத்திரம் இந்த எண்களின் கூட்டுத்தொகை மற்றும் அவற்றின் வேறுபாட்டின் பெருக்கத்திற்கு சமம். வெளிப்பாட்டின் வடிவத்தில், இந்த விதி இதுபோல் தெரிகிறது: a² - с² = (a + с)·(a - с).

தொகையின் கனசதுரம்

இரண்டு சொற்களின் கூட்டுத்தொகையின் கனசதுரத்தைக் கணக்கிட, நீங்கள் முதல் காலத்தின் கனசதுரத்தின் கூட்டுத்தொகையைக் கணக்கிட வேண்டும், முதல் காலத்தின் வர்க்கத்தின் பெருக்கத்தை மூன்று மடங்காகக் கணக்கிட வேண்டும் மற்றும் இரண்டாவது, முதல் காலத்தின் பெருக்கல் மற்றும் இரண்டாவது. சதுரம், மற்றும் இரண்டாவது காலத்தின் கன சதுரம். வெளிப்பாட்டின் வடிவத்தில், இந்த விதி இதுபோல் தெரிகிறது: (a + c)³ = a³ + 3a²c + 3ac² + c³.

க்யூப்ஸ் தொகை

சூத்திரத்தின்படி, இது இந்தச் சொற்களின் கூட்டுத்தொகை மற்றும் அவற்றின் முழுமையற்ற வேறுபாட்டின் வர்க்கத்திற்குச் சமம். வெளிப்பாட்டின் வடிவத்தில், இந்த விதி இதுபோல் தெரிகிறது: a³ + c³ = (a + c)·(a² - ac + c²).

உதாரணமாக.இரண்டு கனசதுரங்களைச் சேர்ப்பதன் மூலம் உருவான உருவத்தின் அளவைக் கணக்கிடுவது அவசியம். அவற்றின் பக்கங்களின் அளவு மட்டுமே தெரியும்.

பக்க மதிப்புகள் சிறியதாக இருந்தால், கணக்கீடுகள் எளிமையானவை.

பக்கங்களின் நீளம் சிக்கலான எண்களில் வெளிப்படுத்தப்பட்டால், இந்த விஷயத்தில் "க்யூப்ஸ் தொகை" சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவது எளிதானது, இது கணக்கீடுகளை பெரிதும் எளிதாக்கும்.

வேறுபாடு கன சதுரம்

கன வேறுபாட்டிற்கான வெளிப்பாடு இப்படித் தெரிகிறது: முதல் காலத்தின் மூன்றாவது சக்தியின் கூட்டுத்தொகையாக, முதல் காலத்தின் வர்க்கத்தின் எதிர்மறைப் பெருக்கத்தை இரண்டாவதாக மூன்று மடங்காகவும், முதல் காலத்தின் மதிப்பை இரண்டாவது வர்க்கத்தால் மூன்று மடங்காகவும் அதிகரிக்கவும். மற்றும் இரண்டாவது காலத்தின் எதிர்மறை கன சதுரம். ஒரு கணித வெளிப்பாட்டின் வடிவத்தில், வேறுபாட்டின் கனசதுரம் இதுபோல் தெரிகிறது: (a - c)³ = a³ - 3a²c + 3ac² - c³.

க்யூப்ஸ் வேறுபாடு

கனசதுர சூத்திரத்தின் வேறுபாடு க்யூப்ஸின் கூட்டுத்தொகையிலிருந்து ஒரே ஒரு அடையாளத்தால் வேறுபடுகிறது. எனவே, கனசதுரங்களின் வேறுபாடு இந்த எண்களின் வேறுபாட்டின் பெருக்கத்திற்கும் கூட்டுத்தொகையின் முழுமையற்ற சதுரத்திற்கும் சமமான சூத்திரமாகும். வடிவத்தில், கனசதுரங்களின் வேறுபாடு இதுபோல் தெரிகிறது: a 3 - c 3 = (a - c)(a 2 + ac + c 2).

உதாரணமாக.நீல கனசதுரத்தின் அளவிலிருந்து வால்யூமெட்ரிக் உருவத்தைக் கழித்த பிறகு இருக்கும் உருவத்தின் அளவைக் கணக்கிடுவது அவசியம். மஞ்சள் நிறம், இது ஒரு கனசதுரமும் கூட. சிறிய மற்றும் பெரிய கனசதுரத்தின் பக்க அளவு மட்டுமே தெரியும்.

பக்க மதிப்புகள் சிறியதாக இருந்தால், கணக்கீடுகள் மிகவும் எளிமையானவை. பக்கங்களின் நீளம் குறிப்பிடத்தக்க எண்ணிக்கையில் வெளிப்படுத்தப்பட்டால், "க்யூப்ஸ் வேறுபாடு" (அல்லது "வேறுபாட்டின் கன சதுரம்") என்ற தலைப்பில் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவது மதிப்புக்குரியது, இது கணக்கீடுகளை பெரிதும் எளிதாக்கும்.

முந்தைய பாடங்களில், ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையை காரணியாக்குவதற்கான இரண்டு வழிகளைப் பார்த்தோம்: பொதுவான காரணியை அடைப்புக்குறிக்குள் வைப்பது மற்றும் குழுவாக்கும் முறை.

இந்தப் பாடத்தில் ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையை காரணியாக்குவதற்கான மற்றொரு வழியைப் பார்ப்போம் சுருக்கமான பெருக்கல் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்துதல்.

ஒவ்வொரு சூத்திரத்தையும் குறைந்தது 12 முறை எழுதுமாறு பரிந்துரைக்கிறோம். சிறந்த மனப்பாடம் செய்ய, அனைத்து சுருக்கமான பெருக்கல் சூத்திரங்களையும் ஒரு சிறிய ஏமாற்று தாளில் எழுதுங்கள்.

க்யூப்ஸ் சூத்திரத்தின் வித்தியாசம் எப்படி இருக்கும் என்பதை நினைவில் கொள்வோம்.

க்யூப்ஸ் சூத்திரத்தின் வித்தியாசத்தை நினைவில் கொள்வது மிகவும் எளிதானது அல்ல, எனவே அதை நினைவில் வைக்க ஒரு சிறப்பு முறையைப் பயன்படுத்த பரிந்துரைக்கிறோம்.

எந்த சுருக்கமான பெருக்கல் சூத்திரமும் செயல்படுகிறது என்பதைப் புரிந்துகொள்வது அவசியம் தலைகீழ் பக்கம்.

ஒரு உதாரணத்தைப் பார்ப்போம். க்யூப்ஸின் வேறுபாட்டைக் கணக்கிடுவது அவசியம்.

"27a 3" என்பது "(3a) 3" என்பதை நினைவில் கொள்ளவும், அதாவது கனசதுர சூத்திரத்தின் வேறுபாட்டிற்கு, "a" க்கு பதிலாக "3a" ஐப் பயன்படுத்துகிறோம்.

க்யூப்ஸ் சூத்திரத்தின் வித்தியாசத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம். "a 3" க்கு பதிலாக "27a 3" உள்ளது, மேலும் "b 3" க்கு பதிலாக, சூத்திரத்தில் "b 3" உள்ளது.

க்யூப்ஸ் வித்தியாசத்தை எதிர் திசையில் பயன்படுத்துதல்

இன்னொரு உதாரணத்தைப் பார்ப்போம். சுருக்கமான பெருக்கல் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி நீங்கள் பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் உற்பத்தியை கனசதுரங்களின் வேறுபாட்டிற்கு மாற்ற வேண்டும்.

"(x - 1)(x 2 + x + 1)" என்ற பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் பலன் "" க்யூப்ஸ் சூத்திரத்தின் வேறுபாட்டின் வலது பக்கத்தை ஒத்திருக்கிறது, "a" க்கு பதிலாக "x" மட்டுமே உள்ளது என்பதை நினைவில் கொள்ளவும். "b" இல் "1" உள்ளது.

"(x - 1)(x 2 + x + 1)" க்கு எதிர் திசையில் க்யூப்ஸ் சூத்திரத்தின் வேறுபாட்டைப் பயன்படுத்துகிறோம்.

இன்னும் சிக்கலான உதாரணத்தைப் பார்ப்போம். பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் உற்பத்தியை எளிமைப்படுத்த இது தேவைப்படுகிறது.

"(y 2 - 1)(y 4 + y 2 + 1)" ஐ க்யூப்ஸ் சூத்திரத்தின் வேறுபாட்டின் வலது பக்கத்துடன் ஒப்பிட்டுப் பார்த்தால்
« a 3 - b 3 = (a - b)(a 2 + ab + b 2)”, முதல் அடைப்புக்குறியிலிருந்து “a” க்கு பதிலாக “y 2” இருப்பதையும், “b” க்கு பதிலாக “1” என்பதையும் நீங்கள் புரிந்து கொள்ளலாம்.

சதுரங்களின் வேறுபாடு

$a^2-b^2$ சதுரங்களின் வேறுபாட்டிற்கான சூத்திரத்தைப் பெறுவோம்.

இதைச் செய்ய, பின்வரும் விதியை நினைவில் கொள்ளுங்கள்:

வெளிப்பாட்டுடன் ஏதேனும் ஒரு மோனோமியலைச் சேர்த்து, அதே மோனோமியலைக் கழித்தால், சரியான அடையாளத்தைப் பெறுவோம்.

நமது வெளிப்பாட்டுடன் சேர்த்து அதிலிருந்து $ab$ என்ற மோனோமியலைக் கழிப்போம்:

மொத்தத்தில், நாம் பெறுகிறோம்:

அதாவது, இரண்டு மோனோமியல்களின் வர்க்கங்களுக்கு இடையிலான வேறுபாடு அவற்றின் வேறுபாட்டின் பெருக்கத்திற்கும் அவற்றின் கூட்டுத்தொகைக்கும் சமம்.

எடுத்துக்காட்டு 1

$(4x)^2-y^2$ தயாரிப்பாக வழங்கவும்

\[(4x)^2-y^2=((2x))^2-y^2\]

\[((2x))^2-y^2=\left(2x-y\right)(2x+y)\]

க்யூப்ஸ் தொகை

$a^3+b^3$ கனசதுரங்களின் கூட்டுத்தொகைக்கான சூத்திரத்தைப் பெறுவோம்.

அடைப்புக்குறிக்குள் இருந்து பொதுவான காரணிகளை எடுத்துக் கொள்வோம்:

அடைப்புக்குறிக்குள் $\இடது(a+b\right)$ஐ எடுத்துக்கொள்வோம்:

மொத்தத்தில், நாம் பெறுகிறோம்:

அதாவது, இரண்டு மோனோமியல்களின் கனசதுரங்களின் கூட்டுத்தொகை அவற்றின் கூட்டுத்தொகையின் பெருக்கத்திற்கும் அவற்றின் வேறுபாட்டின் முழுமையற்ற வர்க்கத்திற்கும் சமம்.

எடுத்துக்காட்டு 2

தயாரிப்பாக வழங்கவும் $(8x)^3+y^3$

இந்த வெளிப்பாடு பின்வருமாறு மீண்டும் எழுதப்படலாம்:

\[(8x)^3+y^3=((2x))^3+y^3\]

சதுர சூத்திரத்தின் வேறுபாட்டைப் பயன்படுத்தி, நாம் பெறுகிறோம்:

\[((2x))^3+y^3=\left(2x+y\right)(4x^2-2xy+y^2)\]

க்யூப்ஸ் வேறுபாடு

$a^3-b^3$ கனசதுர வேறுபாட்டிற்கான சூத்திரத்தைப் பெறுவோம்.

இதைச் செய்ய, மேலே உள்ள அதே விதியைப் பயன்படுத்துவோம்.

நமது வெளிப்பாட்டுடன் சேர்த்து அதிலிருந்து $a^2b\ மற்றும்\ (ab)^2$:

அடைப்புக்குறிக்குள் இருந்து பொதுவான காரணிகளை எடுத்துக் கொள்வோம்:

அடைப்புக்குறிக்குள் $\இடது(a-b\right)$ஐ எடுத்துக்கொள்வோம்:

மொத்தத்தில், நாம் பெறுகிறோம்:

அதாவது, இரண்டு மோனோமியல்களின் கனசதுரங்களின் வேறுபாடு அவற்றின் கூட்டுத்தொகையின் முழுமையற்ற வர்க்கத்தால் அவற்றின் வேறுபாட்டின் பெருக்கத்திற்குச் சமம்.

எடுத்துக்காட்டு 3

தயாரிப்பாக வழங்கவும் $(8x)^3-y^3$

இந்த வெளிப்பாடு பின்வருமாறு மீண்டும் எழுதப்படலாம்:

\[(8x)^3-y^3=((2x))^3-y^3\]

சதுர சூத்திரத்தின் வேறுபாட்டைப் பயன்படுத்தி, நாம் பெறுகிறோம்:

\[((2x))^3-y^3=\left(2x-y\right)(4x^2+2xy+y^2)\]

சதுரங்களின் வேறுபாடு மற்றும் க்யூப்ஸின் கூட்டுத்தொகை மற்றும் வேறுபாட்டிற்கான சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தும் சிக்கல்களின் எடுத்துக்காட்டு

எடுத்துக்காட்டு 4

காரணியாக்கு.

a) $((a+5))^2-9$

c) $-x^3+\frac(1)(27)$

தீர்வு:

a) $((a+5))^2-9$

\[(((a+5))^2-9=(a+5))^2-3^2\]

சதுர சூத்திரத்தின் வேறுபாட்டைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம், நாம் பெறுகிறோம்:

\[((a+5))^2-3^2=\left(a+5-3\right)\left(a+5+3\right)=\left(a+2\right)(a +8)\]

இந்த வெளிப்பாட்டை வடிவத்தில் எழுதுவோம்:

க்யூப்ஸ் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவோம்:

c) $-x^3+\frac(1)(27)$

இந்த வெளிப்பாட்டை வடிவத்தில் எழுதுவோம்:

\[-x^3+\frac(1)(27)=(\இடது(\frac(1)(3)\வலது))^3-x^3\]

க்யூப்ஸ் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவோம்:

\[(\இடது(\frac(1)(3)\வலது))^3-x^3=\இடது(\frac(1)(3)-x\வலது)\இடது(\frac(1)( 9)+\frac(x)(3)+x^2\வலது)\]