Разделы сайта
Выбор редакции:
- Журнал учета полученных и выставленных счетов-фактур
- Применение УСН: нормы и их практическая реализация Какой налог усн в году
- Будет ли повышение пенсий в крыму
- Налог на наследство по завещанию
- Как пишется «несмотря на» или «не смотря на»?
- Два замечательных рецепта приготовления курицы с чесноком в духовке
- Как приготовить салат из печени трески с зеленым горошком
- Фондю из сыра в домашних условиях
- Салат с курицей, сыром и сухариками
- Рецепт ромовой бабы - как приготовить и пропитать
Реклама
Тетраэдр формулы. Правильный тетраэдр (пирамида) |
Из основной формулы для объёма тетраэдра где S – площадь любой грани, а H – опущенная на нее высота, можно вывести еще целый ряд формул, выражающих объём через различные элементы тетраэдра. Приведем эти формулы для тетраэдра ABCD . (2) , где ∠ (AD ,ABC ) – угол между ребром AD и плоскостью грани ABC ; (3) , где ∠ (ABC ,ABD ) – угол между гранями ABC и ABD ; где |AB ,CD | – расстояние между противоположными ребрами AB и CD , ∠ (AB ,CD ) – угол между этими ребрами. Формулы (2)–(4) можно использовать для нахождения величин углов между прямыми и плоскостями; особенно полезна формула (4), с помощью которой можно находить расстояние между скрещивающимися прямыми AB иCD . Формулы (2) и (3) аналогичны формуле S = (1/2)ab sin C для площади треугольника. Формуле S = rp аналогична формула где r – радиус вписанной сферы тетраэдра, Σ – его полная поверхность (сумма площадей всех граней). Имеется и красивая формула, связывающая объём тетраэдра с радиусом R его описанной сферы (формула Крелле ): где Δ – площадь треугольника, стороны которого численно равны произведениям противоположных ребер (AB × CD , AC × BD ,AD × BC ). Из формулы (2) и теоремы косинусов для трехгранных углов (см. Сферическая тригонометрия) можно вывести формулу, аналогичную формуле Герона для треугольников. Рассмотрим произвольный треугольник ABC
и точку D
, не лежащую в плоскости этого треугольника. Соединим отрезками эту точку с вершинами треугольника ABC
. В результате получим треугольники ADC
, CDB
, ABD
. Поверхность ограниченная четырьмя треугольниками ABC
, ADC
, CDB
и ABD
называется тетраэдром и обозначается DABC
. Тетраэдр имеет 4 грани
, 6 ребер
и 4 вершины
. Таким образом, тетраэдр – это простейший многогранник, гранями которого являются четыре треугольника. Но также верно и утверждение, что любая произвольная треугольная пирамида является тетраэдром. Тогда также верно, что тетраэдром называют пирамиду, в основании которой лежит треугольник. Высотой тетраэдра
называется отрезок, который соединяет вершину с точкой, расположенной на противоположной грани и перпендикулярный к ней. Так как тетраэдр – это пирамида с треугольным основанием, то объем любого тетраэдра можно рассчитать по формуле
Правильный тетраэдр – частный вид тетраэдраТетраэдр, у которого все грани равносторонние треугольник называется правильным.
Пусть нам дан правильный тетраэдр ABCD
с ребрами равными a
. DH
– его высота. , где
Таким образом формула объема для правильного тетраэдра где a –ребро тетраэдра Вычисление объема тетраэдра, если известны координаты его вершинПусть нам даны координаты вершин тетраэдра У правильного тетраэдра все двугранные углы при рёбрах и все трёхгранные углы при вершинах равны У тетраэдра 4 грани, 4 вершины и 6 ребер. Основные формулы для правильного тетраэдра приведены в таблице. Где:
Практические примерыЗадача .Найдите площадь поверхности треугольной пирамиды, у которой каждое ребро равно √3 Решение
.
Ответ : 3√3 Задача
.
Решение
.
AO = R = √3 / 3 a
Таким образом, высота пирамиды OM может быть найдена из прямоугольного треугольника AOM AO 2 + OM 2 = AM 2
Объем пирамиды найдем по формуле V = 1/3 Sh
V = 1/3 (√3 / 4 * 16) (4√2 / √3)
Ответ : 16√2 / 3 см Определение тетраэдра Тетраэдр – простейшее многогранное тело, гранями и основанием которого являются треугольники. Онлайн-калькуляторТетраэдр имеет четыре грани, каждая их которых образована тремя сторонами. Вершин у тетраэдра четыре, из каждой выходит по три ребра. Данное тело разделяется на несколько видов. Ниже приведена их классификация.
Формулы объема тетраэдраОбъем данного тела можно найти несколькими способами. Разберем их более подробно. Через смешанное произведение векторовЕсли тетраэдр построен на трех векторах с координатами:
тогда объем этого тетраэдра это смешанное произведение этих векторов, то есть такой определитель: Объем тетраэдра через определительV = 1 6 ⋅ ∣ a x a y a z b x b y b z c x c y c z ∣ V=\frac{1}{6}\cdot\begin{vmatrix} a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \\ \end{vmatrix} V = 6 1 ⋅ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ a x b x c x a y b y c y a z b z c z ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ Задача 1Известны координаты четырех вершин октаэдра. A (1 , 4 , 9) A(1,4,9) A (1 , 4 , 9 ) , B (8 , 7 , 3) B(8,7,3) B (8 , 7 , 3 ) , C (1 , 2 , 3) C(1,2,3) C (1 , 2 , 3 ) , D (7 , 12 , 1) D(7,12,1) D (7 , 1 2 , 1 ) . Найдите его объем. Решение A (1 , 4 , 9) A(1,4,9)
A
(1
,
4
,
9
)
Первым шагом является определение координат векторов, на которых построено данное тело. A B → = (8 − 1 , 7 − 4 , 3 − 9) = (7 , 3 , − 6) \overrightarrow{AB}=(8-1, 7-4, 3-9)=(7, 3, -6) A B = (8 − 1 , 7 − 4 , 3 − 9 ) = (7 , 3 , − 6 ) A C → = (1 − 1 , 2 − 4 , 3 − 9) = (0 , − 2 , − 6) \overrightarrow{AC}=(1-1, 2-4, 3-9)=(0, -2, -6)
A
C
=
(1
−
1
,
2
−
4
,
3
−
9
)
=
(0
,
−
2
,
−
6
)
Теперь найдем смешанное произведение данных векторов, для этого составим определитель третьего порядка, при этом принимая, что A B → = a ⃗ \overrightarrow{AB}=\vec{a} A B = a , A C → = b ⃗ \overrightarrow{AC}=\vec{b} A C = b , A D → = c ⃗ \overrightarrow{AD}=\vec{c} A D = c . ∣ a x a y a z b x b y b z c x c y c z ∣ = ∣ 7 3 − 6 0 − 2 − 6 6 8 − 8 ∣ = 7 ⋅ (− 2) ⋅ (− 8) + 3 ⋅ (− 6) ⋅ 6 + (− 6) ⋅ 0 ⋅ 8 − (− 6) ⋅ (− 2) ⋅ 6 − 7 ⋅ (− 6) ⋅ 8 − 3 ⋅ 0 ⋅ (− 8) = 112 − 108 − 0 − 72 + 336 + 0 = 268 \begin{vmatrix} a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \\ \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 7 & 3 & -6 \\ 0 & -2 & -6 \\ 6 & 8 & -8 \\ \end{vmatrix}=7\cdot(-2)\cdot(-8) + 3\cdot(-6)\cdot6 + (-6)\cdot0\cdot8 - (-6)\cdot(-2)\cdot6 - 7\cdot(-6)\cdot8 - 3\cdot0\cdot(-8) = 112 - 108 - 0 - 72 + 336 + 0 = 268 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ a x b x c x a y b y c y a z b z c z ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 7 0 6 3 − 2 8 − 6 − 6 − 8 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = 7 ⋅ (− 2 ) ⋅ (− 8 ) + 3 ⋅ (− 6 ) ⋅ 6 + (− 6 ) ⋅ 0 ⋅ 8 − (− 6 ) ⋅ (− 2 ) ⋅ 6 − 7 ⋅ (− 6 ) ⋅ 8 − 3 ⋅ 0 ⋅ (− 8 ) = 1 1 2 − 1 0 8 − 0 − 7 2 + 3 3 6 + 0 = 2 6 8 То есть, объем тетраэдра равен: V = 1 6 ⋅ ∣ a x a y a z b x b y b z c x c y c z ∣ = 1 6 ⋅ ∣ 7 3 − 6 0 − 2 − 6 6 8 − 8 ∣ = 1 6 ⋅ 268 ≈ 44.8 см 3 V=\frac{1}{6}\cdot\begin{vmatrix} a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \\ \end{vmatrix}=\frac{1}{6}\cdot \begin{vmatrix} 7 & 3 & -6 \\ 0 & -2 & -6 \\ 6 & 8 & -8 \\ \end{vmatrix}=\frac{1}{6}\cdot268\approx44.8\text{ см}^3 Ответ 44.8 см 3 . 44.8\text{ см}^3. Формула объема равногранного тетраэдра по его сторонеЭта формула справедлива только для вычисления объема равногранного тетраэдра, то есть такого тетраэдра, у которого все грани являются одинаковыми правильными треугольниками. Объем равногранного тетраэдраV = 2 ⋅ a 3 12 V=\frac{\sqrt{2}\cdot a^3}{12} a a Задача 2Определить объем тетраэдра, если дана его сторона, равная 11 см 11\text{ см} Решение a = 11 a=11 Подставляем a a V = 2 ⋅ a 3 12 = 2 ⋅ 1 1 3 12 ≈ 156.8 см 3 V=\frac{\sqrt{2}\cdot a^3}{12}=\frac{\sqrt{2}\cdot 11^3}{12}\approx156.8\text{ см}^3 Ответ 156.8 см 3 . 156.8\text{ см}^3. |
Читайте: |
---|
Популярное:
Очень вкусный салат из свежей капусты и моркови |
Новое
- Применение УСН: нормы и их практическая реализация Какой налог усн в году
- Будет ли повышение пенсий в крыму
- Налог на наследство по завещанию
- Как пишется «несмотря на» или «не смотря на»?
- Два замечательных рецепта приготовления курицы с чесноком в духовке
- Как приготовить салат из печени трески с зеленым горошком
- Фондю из сыра в домашних условиях
- Салат с курицей, сыром и сухариками
- Рецепт ромовой бабы - как приготовить и пропитать
- Горячие бутерброды со шпротами