Mayli x – o'zgaruvchan miqdor. Bu qiymat degan ma'noni anglatadi x uning ma'nosini o'zgartiradi. Aynan shu narsa uni boshqasidan tubdan farq qiladi doimiy qiymat a, bu uning o'zgarmagan qiymatini o'zgartirmaydi. Masalan, ustunning balandligi doimiy qiymat, lekin tirik o'sayotgan daraxtning balandligi o'zgaruvchan qiymatdir.

O'zgaruvchan qiymat x berilgan deb hisoblansa, sonli ketma-ketlik berilgan

uning ma'nolari. Ya'ni, bu qadriyatlar x 1 ; x 2 ;x 3 ;..., u o'z o'zgarishi jarayonida izchil, birin-ketin qabul qiladi. Biz bu jarayonni kattaligi bo'yicha o'zgartirishni taxmin qilamiz x uning qiymatlari hech qanday bosqichda to'xtamaydi (o'zgaruvchi X hech qachon muzlamaydi, u "har doim tirik"). Bu (1) ketma-ketlik cheksiz sonli qiymatlarga ega ekanligini bildiradi, ular (1) da ellips bilan belgilanadi.

O'zgaruvchining qiymatlari tabiiy argument funktsiyasining qiymatlari to'plami sifatida ko'rib chiqilishi mumkin x n =f(n). A'zo x n ketma-ketlikning umumiy a'zosi deyiladi. Agar uning a'zolaridan birortasini ma'lum soni bo'yicha hisoblash uchun usul berilgan bo'lsa, ketma-ketlik berilgan hisoblanadi.

1-misol: Agar umumiy hadi bo'lsa, ketma-ketlikning birinchi o'nta hadini yozing.

Yechim: Qiymatlar berilgan kasrning qiymatini hisoblashda n 1,2,3,…10 ga teng, biz quyidagilarni olamiz:

Umuman olganda, umumiy atama bilan ketma-ketlik quyidagicha yoziladi:

Tabiiyki, kattalik o'zgarishining tabiatiga qiziqish paydo bo'ladi x ularning ma'nolari. Ya'ni, savol tug'iladi: bu qiymatlar tizimsiz, tartibsiz yoki qandaydir maqsadli ravishda o'zgaradimi?

Asosiy qiziqish, albatta, ikkinchi variant. Ya'ni, qadriyatlarga ruxsat bering x n o'zgaruvchan x ularning soni ortib borishi bilan n cheksiz yaqinlashmoqda ( intilish) ma'lum bir raqamga a. Bu qiymatlar orasidagi farqni (masofani) bildiradi x n o'zgaruvchan x va raqam a shartnomalar, u ortib borishi uchun moyil n(da) nolga. “Izlaydi” so‘zini o‘q bilan almashtirsak, yuqoridagilarni quyidagicha yozish mumkin:

Da<=>da (2)

Agar (2) bajarilsa, biz shunday deymiz x o'zgaruvchisi a raqamiga intiladi. Bu raqam A chaqirdi x o'zgaruvchining chegarasi. Va u quyidagicha yozilgan:

O'qiladi: chegarasi x a(x a ga intiladi).

Aspiratsiya o'zgaruvchanligi x chegarangizga a raqamlar o'qida aniq tasvirlangan bo'lishi mumkin. Bu istakning aniq matematik ma'nosi x Kimga a shundan iboratki, bitta ijobiy raqam qanchalik kichik bo'lmasin va shuning uchun interval qanchalik kichik bo'lmasin raqamlar qatoridagi raqamni o'rab qo'ymang a, bu oraliqda (sonning - mahallasi deb ataladigan joyda a) ma'lum bir raqamdan boshlab uriladi N, barcha qiymatlar x n o'zgaruvchan x. Xususan, rasmda. 1 raqamning tasvirlangan mahallasiga a barcha qadriyatlarni oldi x n o'zgaruvchan x, raqamdan boshlab.

Ta'rif: Raqam A ketma-ketlikning chegarasi (o'zgaruvchining chegarasi) deb ataladi X yoki funksiya chegarasi f(n)), agar oldindan aniqlangan musbat son nima bo'lishidan qat'iy nazar, har doim shunday natural sonni topish mumkin N, bu raqamlar bilan ketma-ketlikning barcha a'zolari uchun n>N tengsizlik qondiriladi.

Bu tengsizlik quyidagi ikkita tengsizlikka ekvivalentdir: . Raqam N tanlanganiga bog'liq. Agar siz raqamni kamaytirsangiz , keyin mos keladigan raqam N ortadi.

Ketma-ketlik uchun (yoki o'zgaruvchi uchun X) chegara bo'lishi shart emas, lekin bu chegara mavjud bo'lsa, u yagonadir. Limitga ega ketma-ketlik deyiladi konvergent. Cheklanmagan ketma-ketlik deyiladi turlicha.

O'zgaruvchan qiymat x, o'z chegarasiga turli yo'llar bilan erishishga intilishi mumkin:

1. chegarangiz ostida qolish,

2. chegarangizdan oshib ketish,

3. chegarangiz atrofida o'zgarib turish,

4. uning chegarasiga teng qiymatlarni olish.

Raqamni tanlash o'zboshimchalik bilan amalga oshiriladi, lekin u tanlanganidan keyin u boshqa o'zgarishlarga duch kelmasligi kerak.

O'zgaruvchan x uning chegarasi sifatida nolga ega bo'lish (ya'ni nolga moyillik) deyiladi cheksiz kichik. Oʻzgaruvchi x, mutlaq qiymatda cheksiz o'sish deyiladi cheksiz katta(uning moduli cheksizlikka intiladi).

Demak, agar bo'lsa, keyin x cheksiz kichik o'zgaruvchan miqdor bo'lib, agar bo'lsa, u holda x- cheksiz katta o'zgaruvchan miqdor. Xususan, agar yoki , keyin x- cheksiz katta o'zgaruvchan miqdor.

Agar , keyin . Va aksincha, agar , Bu. Bu yerdan biz o'zgaruvchi o'rtasida quyidagi muhim bog'lanishni olamiz x va uning chegarasi a:

Har bir o'zgaruvchi emasligi allaqachon aytilgan x chegarasi bor. Ko'pgina o'zgaruvchilarning chegarasi yo'q. Uning mavjudligi yoki yo'qligi ushbu o'zgaruvchining qiymatlari ketma-ketligiga (1) bog'liq.

2-misol . Mayli

Bu erda, aniq, ya'ni.

3-misol . Mayli

x- cheksiz kichik.

4-misol . Mayli

Bu erda, aniq, ya'ni. Shunday qilib, o'zgaruvchi x- cheksiz katta.

5-misol . Mayli

Bu erda, shubhasiz, o'zgaruvchi x hech narsaga intilmaydi. Ya'ni, uning chegarasi yo'q (mavjud emas).

6-misol . Mayli

Bu erda o'zgaruvchining chegarasi bilan bog'liq vaziyat x oldingi to'rtta misoldagi kabi aniq emas. Ushbu vaziyatni aniqlashtirish uchun keling, qadriyatlarni o'zgartiramiz x n o'zgaruvchan x:

Shubhasiz, qachon. Ma'nosi,

da .

Va bu shuni anglatadiki, ya'ni.

7-misol . Mayli

Bu erda ketma-ketlik ( x n) o'zgaruvchan qiymatlar x maxraj bilan cheksiz geometrik progressiyani ifodalaydi q. Shuning uchun, o'zgaruvchining chegarasi x cheksiz geometrik progressiyaning chegarasi.

a) Agar , u holda, aniq, da. Va bu shuni anglatadiki ().

b) bo'lsa, u holda . Ya'ni, bu holda o'zgaruvchan qiymatlar x o'zgarmas - ular har doim 1 ga teng. Keyin uning chegarasi ham 1 ga teng ().

c) bo'lsa, u holda. Bunday holda, u mavjud emasligi aniq.

d) Agar , u holda cheksiz ortib boruvchi musbat sonlar qatori. Bu () degan ma'noni anglatadi.

e) bo'lsa, , bu erda , belgisini kiritamiz: - mutlaq qiymatida cheksiz ortib borayotgan hadlari bilan o'zgaruvchan sonli ketma-ketlik:

Bu o'zgaruvchini anglatadi x cheksiz katta. Ammo a'zolarining belgilarining almashinishi tufayli u na +∞ ga, na –∞ ga intiladi (uning chegarasi yo'q).

8-misol. Umumiy hadli ketma-ketlikning chegarasi 2 ga teng ekanligini isbotlang.

Isbot: Keling, o'zboshimchalik bilan ijobiy sonni tanlaymiz va bunday raqamni tanlash mumkinligini ko'rsatamiz N, bu raqamning barcha qiymatlari uchun n, bu raqamdan kattaroq N, tengsizlik qanoatlantiriladi, unda biz olishimiz kerak a=2, , ya'ni. tengsizlik qondiriladi .

Ushbu tengsizlikdan, qavslar ichidagi umumiy maxrajga qisqartirilgandan so'ng, biz . Shunday qilib: . Orqada N Intervalga tegishli eng kichik butun sonni olaylik. Shunday qilib, biz o'zboshimchalik bilan berilgan ijobiydan shunday tabiiylikni aniqlay oldik N bu tengsizlik barcha raqamlar uchun bajariladi n>N. Bu 2 ning umumiy hadli ketma-ketlikning chegarasi ekanligini isbotlaydi.

Monotonik va cheklangan ketma-ketliklar alohida qiziqish uyg'otadi.

Ta'rif: monoton ravishda ortib boradi, agar hammaning oldida n uning a'zolarining har biri avvalgisidan kattaroqdir, ya'ni. agar , va agar uning har bir sharti oldingisidan kichik bo'lsa, monoton ravishda kamayib boradi, ya'ni. .

9-misol. Natural sonlar ketma-ketligi 1,2,3,…., n,… - monoton ravishda ortib bormoqda.

10-misol. Raqamlar ketma-ketligi, natural sonlarning o'zaro nisbati, - monoton ravishda pasayish.

Ta'rif: ketma-ketlik deyiladi cheklangan, agar uning barcha shartlari chekli intervalda bo'lsa (-M,+M) Va M>0, ya'ni. agar , har qanday raqam uchun n.

11-misol. Keyingi ketma-ketlik (xn), Qayerda x n Mavjud n sonning kasr qismi cheklangan, chunki .

12-misol. Ketma-ketlik cheklangan, chunki .

O'zgaruvchilarning asosiy xossalari va ularning chegaralari

1) Agar (o'zgaruvchi x o'zgarmas va doimiyga teng a), u holda va deb taxmin qilish tabiiydir. Ya'ni, doimiyning chegarasi o'ziga teng:

2) Agar , va a Va b demak, ular cheklangan . Ya'ni

ROSSIYA FEDERATSIYASI TA'LIM VA FAN VAZIRLIGI "Milliy tadqiqot TOMSK POLİTEXNIK UNIVERSITETI" OLIY KASB-TA'LIM DAVLAT TA'LIM MASSASASI L.I. Samochernova OLIY MATEMATIKA II qism Tomsk politexnika universiteti tahririyat va nashriyot kengashi tomonidan darslik sifatida tavsiya etilgan 2-nashr, Tomsk politexnika universiteti nashriyoti qayta ko'rib chiqilgan 2005 UDC 514.12 C17 Samochernova L.I. C17 Oliy matematika. II qism: darslik / L.I. Samo-chernova; Tomsk politexnika universiteti. – 2-nashr, rev. – Tomsk: Tomsk politexnika universiteti nashriyoti, 2005. – 164 p. O‘quv qo‘llanma oliy matematikaning uchta bo‘limini o‘z ichiga oladi: 1) matematik tahlilga kirish (ketma-ketlik va funksiya chegarasi, cheksiz kichik va cheksiz katta miqdorlar, cheksiz kichiklarni taqqoslash, funksiya uzluksizligi, uzilish nuqtalari); 2) bir o‘zgaruvchili funksiyaning differensial hisobi (funksiyaning hosilasi va differentsiali, funksiyalarni o‘rganishda differentsial hisobning qo‘llanilishi); 3) integral hisob (noaniq integral, aniq integral, aniq integralning geometrik ilovalari). Qo‘llanma “Amaliy matematika” kafedrasida tayyorlangan bo‘lib, 080400 “Kadrlar menejmenti”, 080200 “Menejment”, 080100 “Iqtisodiyot”, 100700 “Savdo” yo‘nalishlarida tahsil olayotgan xorijiy ta’lim yo‘nalishlari talabalari uchun mo‘ljallangan. UDC 514.12 Taqrizchilar fizika-matematika fanlari nomzodi, TDIU “Algebra” kafedrasi dotsenti S.Ya. Grinshpon texnika fanlari nomzodi, TUSUR boshqaruv tizimlari fakulteti dotsenti A.I. Kochegurov © Tomsk politexnika universiteti, 2005 © Samochernova L.I., 2005 © Dizayn. Tomsk politexnika universiteti nashriyoti, 2005 2 1. MATEMATIK TAHLILGA KIRISH 1.1. Sonli ketma-ketlik va uning chegarasi Ta'rif 1. Agar biron bir qonunga ko'ra, har bir natural son n aniq belgilangan xn son bilan bog'langan bo'lsa, u holda sonli ketma-ketlik (xn) berilgan deymiz: x1,x2, x3,. ..,xn,... (1.1) Boshqacha aytganda, sonlar ketma-ketligi natural argumentning funksiyasi: xn = f(n). Ketma-ketlikni tashkil etuvchi sonlar uning hadlari deyiladi, xn esa ketma-ketlikning umumiy yoki n-chi hadi hisoblanadi. Sonlar qatoriga misol: 2, 4, 6, 8, ..., 2n, ... Bu ketma-ketlik uchun x1 = 2, x2 = 4, x3 = 6,..., x n = 2n ning umumiy aʼzosi hisoblanadi. juft sonlar ketma-ketligi. n 1-misol. xn = ketma-ketlikning umumiy hadini bilib, n+2 birinchi besh hadini yozing. Yechim. n ga 1, 2, 3, 4, 5 qiymatlarini berib, 1 2 3 4 5 x1 = ni olamiz; x2 =; x3 = ; x4 =; x5 =. 3 4 5 6 7 n Umuman olganda xn = umumiy hadli ketma-ketlik quyidagicha yoziladi: n+2 1 2 3 4 n ,...,... 3 4 5 6 n+2 E’tibor bering, xn dan beri =f(n) funksiya, ya’ni umumiy qilib aytganda, o‘zgaruvchan miqdor, u holda qulaylik uchun biz ko‘pincha xn funksiyasini o‘zgaruvchan miqdor yoki oddiygina o‘zgaruvchan xn deb ataymiz. Chegaralangan va chegaralanmagan ketma-ketliklar Ta’rif 2. (xn) ketma-ketlikning har bir xn elementi xn ≤ M ( tengsizlikni qanoatlantiradigan M haqiqiy son bo‘lsa, yuqoridan (pastdan) chegaralangan ketma-ketlik (xn) deyiladi. xn ≥ m). Bunda M soni (m soni) ketma-ketlikning (xn) yuqori chegarasi (pastki chegarasi), xn ≤ M (xn ≥ m) tengsizlik esa ketma-ketlikning yuqoridan chegaralanishi sharti deyiladi. (pastdan). 3 Ta'rif 3. Agar ketma-ketlik yuqorida ham, pastda ham chegaralangan bo'lsa, ya'ni m va M sonlar mavjud bo'lsa, bu ketma-ketlikning istalgan xn elementi tengsizliklarni qanoatlantiradigan bo'lsa, ketma-ketlik ikki tomondan chegaralangan yoki oddiygina chegaralangan deyiladi: m ≤ xn ≤ M. Agar ketma-ketlik (xn) chegaralangan bo‘lsa va M va m uning yuqori va pastki chegaralari bo‘lsa, bu ketma-ketlikning barcha elementlari xn ≤ A tengsizlikni qanoatlantiradi, (1.2) bunda A ikki sonning maksimal |M| va |m|. Aksincha, (xn) ketma-ketlikning barcha elementlari (1.2) tengsizlikni qanoatlantirsa, u holda − A ≤ xn ≤ A tengsizliklari ham o‘rinli va demak, (xn) ketma-ketlik chegaralangan bo‘ladi. Shunday qilib, (1.2) tengsizlik ketma-ketlikning chegaralanganligi shartining yana bir shaklidir. Cheklanmagan ketma-ketlik tushunchasiga oydinlik kiritaylik. Agar biron-bir musbat A soni uchun bu ketma-ketlikning xn > A tengsizligini qanoatlantiradigan xn elementi bo‘lsa, ketma-ketlik (xn) chegaralanmagan deb ataladi. 2n Misollar: 1. Xn = (− 1)n sin 3n n +1 umumiy hadli ketma-ketlik chegaralangan, chunki hamma n ta tengsizlik 2n 2n xn = (− 1)n ⋅ ⋅ sin 3n ≤< 2 (A = 2). n +1 n +1 2. Последовательность 1, 2, 3, 4, ..., n, ..., общий член которой xn = n , очевидно, неограниченная. В самом деле, каково бы ни было положительное число А, среди элементов этой последовательности найдутся элементы, пре- восходящие А. Монотонные последовательности Определение 4. Последовательность {xn } называется неубывающей (невозрастающей), если каждый последующий член этой последовательно- сти не меньше (не больше) предыдущего, то есть для всех номеров n спра- ведливо неравенство xn ≤ xn +1 (xn ≥ xn +1) . Неубывающие и невозрастающие последовательности объединяются общим наименованием монотонные последовательности. Если элементы монотонной последовательности {xn } для всех номеров n удовлетворяют не- равенству xn < xn +1 (xn >xn +1), keyin (xn) ketma-ketlik ortib boruvchi (kamayuvchi) deb ataladi. O'sish va kamayish ketma-ketliklari ham qat'iy monotonik deb ataladi. 2-misol. Xn = 2n - 1 bo'lgan 1, 3, 5, 7, ..., 2n–1, ... toq sonlar ketma-ketligi monoton ravishda ortib bormoqda. 4 Haqiqatan ham, xn +1 - xn = - (2n - 1) = 2, shuning uchun xn +1 - xn > 0, ya'ni barcha n uchun xn +1 > xn. Ketma-ketlik chegarasi Matematik analizning eng muhim tushunchalaridan birini aniqlaylik - ketma-ketlik chegarasi yoki bir xil bo'lsa, x1,x2,...,xn ketma-ketlik orqali o'tuvchi xn o'zgaruvchining chegarasi, ... Ta'rif 5. A doimiy soni chegaraviy ketma-ketlik x1,x2 ,...,xn ,... yoki xn o'zgaruvchining chegarasi deyiladi, agar har qanday ixtiyoriy kichik musbat son e uchun natural sonni belgilash mumkin bo'lsa. N shundayki, n>N sonli ketma-ketlikning barcha a'zolari uchun siz - xn − a tengsizlik bajariladi.< ε. (1.3) Тот факт, что последовательность (1.1) имеет своим пределом число а, обо- значается так: lim xn = a или xn → a ; n→∞ n→∞ (lim есть сокращённое обозначение латинского слова limes, означающего «предел»). Последовательность, имеющую пределом число а, иначе называют по- следовательностью, сходящейся к а. Последовательность, не имеющая пре- дела, называется расходящейся. Замечание. Величина N зависит от ε, которое мы выбираем произволь- ным образом (N=N(ε)). Чем меньше ε, тем N, вообще говоря, будет больше. Исключением является случай, когда последовательность состоит из одина- ковых членов. 1 2 3 n Пример 3. Доказать, что последовательность, L,L 2 3 4 n +1 n с общим членом xn = имеет предел, равный 1. n +1 Решение. Выберем произвольно положительное число ε и покажем, что для него можно найти такое натуральное число N, что для всех номеров n >N tengsizlik (1.3) qondiriladi, bunda =1 ni olishimiz kerak; n xn =, ya'ni n +1 n 1− tengsizlik< ε. (1.4) n +1 После приведения к общему знаменателю в левой части неравенства (1.4) получим 5 n +1− n 1 < ε или < ε. n +1 n +1 Но если 1 /(n + 1) < ε, то и 1 /(n + 1) < ε. Из последнего неравенства следу- ет, что n + 1 >1/e, n > 1/e–1. Demak, N ni (1/e – 1), ya’ni E(1/e – 1) tarkibidagi eng katta butun son sifatida qabul qilish mumkin. U holda (1.4) tengsizlik barcha n >N uchun qanoatlantiriladi. Agar E(1/e – 1) ≤ 0 ekanligi aniqlansa, N ni 1 ga teng olish mumkin. e ixtiyoriy qabul qilinganligi sababli, bu 1 umumiy hadli xn = n /( bilan ketma-ketlikning chegarasi ekanligini isbotlaydi. n + 1) . Xususan, e = 0,01 bo'lsa, N = E (1 / 0,01 - 1) = E (100 - 1) = 99; agar e=1/2 bo'lsa, N=E (1 / 0,5 - 1)=1, va hokazo. E ning turli qiymatlari uchun shu tarzda tanlangan N mumkin bo'lgan eng kichik bo'ladi. Sonlar ketma-ketligi chegarasining geometrik talqini Sonlar ketma-ketligini (1.1) chiziqdagi nuqtalar ketma-ketligi deb hisoblash mumkin. Xuddi shu tarzda, chiziqdagi nuqta sifatida chegara haqida gapirishimiz mumkin. Chunki xn − a tengsizligi< ε равносильно неравенству – ε < xn − a < ε, которое, в свою очередь, равносильно такому a – ε < xn < a + ε, то определение предела числовой последовательности можно сформулировать и так. Определение 6. Точка а называется пределом последовательности то- чек (1.1), если, какую бы окрестность (a – ε, a + ε) точки а мы ни задали, найдётся такое число N, что все точки последовательности (1.1) с номерами n >N berilgan mahallaga tushadi. a, a – e, a + e sonlarini va xn o‘zgaruvchining qiymatlarini sonlar o‘qidagi nuqtalar sifatida ifodalaymiz (1-rasm). (1.3) tengsizlikning n > N shartida bajarilishi geometrik jihatdan x N +1 nuqtadan boshlab, ya’ni indeksi qandaydir N natural sondan oshadigan nuqtadan boshlab barcha xn nuqtalar albatta e-da yotishini bildiradi. mahalla nuqtalari a. Bu mahalladan tashqarida, xn nuqtalar bo'lsa ham, ularning faqat cheklangan soni bo'ladi. Guruch. 1 Monoton ketma-ketlikning yaqinlashuvi uchun test Teorema 1. Pastdan (yuqoridan) chegaralangan har bir o'smaydigan (kamayuvchi) ketma-ketlik (xn) yoki xn o'zgaruvchining chegarasi bor. 6 1.2. Cheksiz kichik va cheksiz katta miqdorlar Ta'rif 1. Xn o'zgaruvchining chegarasi nolga teng bo'lsa, cheksiz kichik deyiladi. Chegara ta’rifidan so‘ng aytishimiz mumkinki, agar har qanday ixtiyoriy kichik e > 0 uchun N bo‘lsa, barcha n > N uchun xn tengsizlik bo‘lsa, xn cheksiz kichik bo‘ladi.< ε. Иначе говоря, бесконечно малой называется такая переменная величина xn , которая при своём изменении, на- чиная с некоторого номера n, становится и остаётся по абсолютной величине меньше любого наперёд заданного числа ε >0. Cheksiz kichikga q uchun 1 1 (−1) n xn =, xn = −, xn =, xn = q n o‘zgaruvchilar misol bo‘la oladi.< 1 и другие. n n n Пример 1. Доказать, что xn = (− 1)n есть бесконечно малая. n Решение. (−1) n 1 Возьмем произвольное ε >0. xn = = tengsizlikdan< ε полу- n n чаем n >1/e. Agar N = E(1/e) ni olsak, n > N uchun bizda xn bo'ladi< ε. При 1 ε= получим N = E(10) = 10, при ε = 4 / 15 получим N = E (15 / 4) = 3 и т. д. 10 А это и значит, что xn = (− 1)n есть бесконечно малая. n Замечание 1. Нельзя смешивать постоянное очень малое число с бес- конечно малой величиной. Единственным числом, которое рассматривается в качестве бесконечно малой величины, служит нуль (в силу того, что предел постоянной равен ей самой). Определение 2. Переменная величина xn называется бесконечно большой величиной, если для любого наперед заданного сколь угодно боль- шого числа M >0 ga N natural sonini shunday belgilashimiz mumkinki, barcha n > N sonlar uchun xn > M tengsizlik boshqa so'z bilan aytganda, xn o'zgaruvchisi cheksiz katta deb ataladi, agar u ma'lum bir sondan boshlab barcha keyingi sonlar uchun bo'lsa va shunday bo'lsa. mutlaq qiymatda har qanday oldindan belgilangan musbat son M dan kattaroqdir. Cheksiz katta o'zgaruvchi xn cheksizlikka moyil yoki cheksiz chegaraga ega deyiladi va ular shunday yozadilar: xn → ∞ yoki lim xn = ∞. n →∞ n →∞ 7 Yangi kontseptsiya – “cheksiz chegara”ning kiritilishi munosabati bilan biz avvaldan belgilangan ma’nodagi chegarani chekli chegara deb atashga rozimiz. 2-misol. -1, 2, -3, 4, -5, ..., (− 1)n n, K qiymatlarini ketma-ket qabul qilib, xn = (− 1)n ⋅ n miqdori cheksiz katta. Haqiqatan ham, xn = (− 1)n n = n. Bu erdan ma'lum bo'ladiki, M soni qanday bo'lishidan qat'iy nazar, barcha n uchun, ba'zilaridan boshlab, xn = n > M, ya'ni lim xn = ∞ bo'ladi. n →∞ Ta'rif 3. Xn o'zgarmaydigan kattalik musbat cheksiz katta miqdor deb ataladi, agar har qanday M soni uchun N natural sonini shunday belgilash mumkinki, barcha n > N sonlar uchun xn > M tengsizlik bu holda o'zgaruvchiga mos keladi miqdor deyiladi xn plyus cheksizlikka intiladi va uni ramziy ravishda quyidagicha yozing: xn → +∞ yoki lim xn = +∞. n→∞ n →∞ Ta’rif 4. Xn o’zgaruvchisi manfiy cheksiz katta miqdor deyiladi, agar har qanday M soni uchun N natural sonni shunday ko’rsatish mumkinki, barcha n > N uchun xn tengsizlik o’rinli bo’ladi.<М. В этом случае говорят, что переменная величина xn стремится к минус бесконечности и записывают это так: xn → −∞ или lim xn = −∞ . n→∞ n →∞ Так, например, xn = n будет положительной, а xn = −n – отрицательной бесконечно большой величиной. Переводя предыдущие определения на геометрический язык, мы можем сказать: если xn – бесконечно большая величина, то, как бы ни был велик сегмент длины 2М (М > 0) koordinatalarning boshidagi markaz bilan cheksiz katta miqdorning qiymatlarini ifodalovchi xn nuqtasi etarlicha katta n soni ko'rsatilgan segmentdan tashqarida bo'ladi va n ning yanada ortishi bilan uning tashqarisida qoladi ( 2-rasm). Bundan tashqari, agar xn musbat (salbiy) cheksiz katta miqdor bo'lsa, uning qiymatlarini ifodalovchi nuqta boshlang'ichning o'ng (chap) tomonidagi ko'rsatilgan segmentdan tashqarida etarlicha katta n sonlar uchun bo'ladi. Guruch. 2 8 Izoh 2. 1. ∞, + ∞, − ∞ belgilari raqamlar emas, ular faqat yozuvni soddalashtirish va oʻzgaruvchining cheksiz katta, musbat cheksiz katta va manfiy cheksiz katta ekanligini qisqacha ifodalash uchun kiritilgan. Shuni qat'iy eslash kerakki, bu belgilar ustida hech qanday arifmetik amallar bajarilmaydi! 2. Doimiy juda katta sonni cheksiz katta qiymat bilan aralashtirib bo‘lmaydi. Cheksiz katta va cheksiz kichik miqdorlar o'rtasidagi bog'liqlik Teorema 1. xn ≠0 (har qanday n uchun) bo'lsin. Agar xn cheksiz katta bo'lsa, yn = 1 / xn cheksiz kichik; agar xn cheksiz kichik bo'lsa, yn = 1 / xn cheksiz katta. 1.3. O'zgaruvchan kattaliklar ustidagi arifmetik amallar. O'zgaruvchilar (ketma-ketliklar) chegaralari haqidagi asosiy teoremalar O'zgaruvchilar ustidagi arifmetik amallar tushunchasini kiritamiz. Quyidagi qiymatlarni mos ravishda olib, ikkita xn va yn o'zgaruvchan miqdorga ega bo'lsin: x1, x2, x3, ..., xn, ..., y1, y2, y3, ..., yn, .... Berilgan ikkita o'zgaruvchining yig'indisi xn va yn o'zgaruvchi sifatida tushuniladi, ularning har bir qiymati xn va yn o'zgaruvchilarning mos keladigan (bir xil raqamlar bilan) qiymatlari yig'indisiga teng, ya'ni o'zgaruvchini qabul qiluvchi o'zgaruvchi. x1 + y1, x2 + y2, K, xn + yn, K qiymatlar ketma-ketligi Bu o'zgaruvchini xn + yn bilan belgilaymiz. Har qanday miqdordagi o'zgaruvchilarning yig'indisi, ularning mahsuloti, shuningdek, ikkita o'zgaruvchining farqi va ularning koeffitsienti xuddi shunday aniqlanadi. Shunday qilib, yangi o'zgaruvchilar paydo bo'ladi: xn + y n, xn - y n, xn ⋅ y n va x n / y n. (Oxirgi holatda, hech bo'lmaganda biron bir raqamdan yn ≠0 va xn / yn ko'rsatkichi faqat shunday raqamlar uchun hisobga olinadi deb taxmin qilinadi). Xuddi shunday, bu ta'riflar ketma-ketlik nuqtai nazaridan tuzilgan. 9 O'zgaruvchilar chegaralari haqidagi teoremalar Teorema 1. xn o'zgaruvchisi faqat bitta chegaraga ega bo'lishi mumkin. Cheklangan va cheksiz kichik miqdorlarga ega bo'lgan o'zgaruvchilar o'rtasida bog'liqlik mavjud. Teorema 2. Chegaraga ega bo'lgan o'zgaruvchan miqdorni uning chegarasi va ba'zi cheksiz kichik miqdorlar yig'indisi sifatida ifodalash mumkin. 3-teorema (2-teoremaga teskari). Agar xn o'zgaruvchini ikki hadning yig'indisi sifatida ifodalash mumkin bo'lsa xn = a + a n, (1.5) bu erda a ma'lum son va a n cheksiz kichik bo'lsa, a o'zgaruvchining xn chegarasi hisoblanadi. Teorema 4. Agar xn o'zgaruvchining chekli chegarasi bo'lsa, u chegaralangan bo'ladi. Natija. Cheksiz kichik o'zgaruvchi cheklangan. Lemma 1. Cheksiz kichik miqdorlarning istalgan (lekin cheklangan) algebraik yig‘indisi ham cheksiz kichik miqdordir. Lemma 2. Chegaralangan o'zgaruvchi xn va cheksiz kichik a n ko'paytmasi cheksiz kichik miqdordir. Xulosa 1. Har qanday chekli sonli cheksiz kichik miqdorlarning mahsuloti cheksiz kichik miqdorni ifodalaydi. Xulosa 2. Doimiy miqdor bilan cheksiz kichik miqdorning mahsuloti cheksiz kichik miqdordir. Xulosa 3. O'zgaruvchan miqdorning chegaraga va cheksiz kichik miqdorga ko'paytmasi cheksiz kichik miqdordir. Lemmalar 1 va 2 dan foydalanib, chegaralar haqidagi quyidagi teoremalarni isbotlashimiz mumkin. Teorema 5. Agar xn va yn o‘zgaruvchilar chekli chegaralarga ega bo‘lsa, ularning yig‘indisi, ayirmasi, ko‘paytmasi ham chekli chegaralarga ega bo‘ladi va: 1) lim (xn ± yn) = lim xn ± lim yn , n→∞ n→∞ n→ ∞ 2) lim (xn ⋅ yn) = lim xn ⋅ lim yn. n→∞ n→∞ n→∞ Izoh 1. Bu teorema har qanday qat’iy belgilangan son va omillar uchun to‘g‘ri. Natija. Doimiy koeffitsient chegara belgisidan tashqari olinishi mumkin, ya'ni lim (cxn) = c lim xn , n →∞ n→∞ bunda c qandaydir doimiydir. Teorema 6. Agar xn va yn o'zgaruvchilar chekli chegaralarga ega bo'lsa va yn ≠0, lim yn ≠ 0 bo'lsa, bu o'zgaruvchilarning qismi ham chegaraga ega va n →∞ 10.

Raqamlar ketma-ketligi.

Raqamlar ketma-ketligi bo'ylab harakatlanuvchi o'zgaruvchi

Agar har bir natural son uchun n haqiqiy raqam berilgan x n, ya'ni.

1, 2, 3, 4, …, n, …

x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , …, x n , …

keyin umumiy hadli sonlar ketma-ketligi berilganligini aytishadi x n. Quyida biz o'zgaruvchining berilganligini aytamiz x, umumiy atama bilan sonlar ketma-ketligidan o'tish x n. Bunday holda, biz ushbu o'zgaruvchini belgilaymiz x n. O'zgaruvchan qiymatlar x n raqamlar o'qidagi nuqtalar bilan ifodalanadi.

Masalan, o'zgaruvchilar berilgan:

: yoki ;

: 1, 4, 6, …, 2n ..

Raqam A chaqirdi o'zgaruvchining chegarasi x n , agar har qanday ixtiyoriy kichik son e > 0 uchun shunday natural son mavjud bo'lsa N x n, kimning raqami n ko'proq raqam N, tengsizlikni qanoatlantiring.

Bu fakt ramziy ma'noda quyidagicha yozilgan:

Geometrik jihatdan, bu o'zgaruvchining qiymatlarini ifodalovchi nuqtalar degan ma'noni anglatadi x n, qalinlashadi, nuqta atrofida to'planadi A.

E'tibor bering, agar o'zgaruvchining chegarasi bo'lsa, u yagonadir. Konstantaning chegarasi doimiyning o'zi, ya'ni. , Agar c=const. O'zgaruvchining chegarasi umuman bo'lmasligi mumkin.

Masalan, o'zgaruvchan x n =(-1) n chegarasi yo'q, ya'ni. O'zgaruvchining qiymatlari atrofida to'planadigan yagona raqam yo'q. Geometrik jihatdan bu aniq .

Cheklangan o'zgaruvchi

O'zgaruvchan x n chaqirdi cheklangan , agar bunday raqam mavjud bo'lsa M> 0, qaysi | x n| < M barcha raqamlar uchun n.

O'zgaruvchi berilgan. Raqam sifatida M siz, masalan, 3 ni olishingiz mumkin. Shubhasiz, barcha raqamlar uchun n. Shuning uchun u cheklangan o'zgaruvchidir.

O'zgaruvchan x n = 2n cheksiz, chunki soni ortib borishi bilan n uning qiymatlari oshadi va bunday raqamni topish mumkin emas M> 0 dan |2 gacha n| < M barcha raqamlar uchun n.

Teorema. Agar o'zgaruvchining cheklangan chegarasi bo'lsa, u cheklangan.

Qarama-qarshi teorema to'g'ri emas.

Cheksiz kichik miqdorlar

O'zgaruvchan x n chaqirdi cheksiz kichik , agar uning chegarasi 0 bo'lsa.

Masalan, cheksiz kichik miqdorlar:

Chunki ;

Chunki

Miqdor cheksiz kichik emas, u chekli miqdordir.

Cheklangan sonli cheksiz sonlarning yig‘indisi (farqi) cheksiz kichik miqdordir.

Cheksiz kichikning doimiy miqdorga yoki cheksiz kichikga yoki chekli chegaraga ega bo'lgan miqdorga ko'paytmasi cheksiz kichik miqdordir.

Cheksiz katta miqdorlar

O'zgaruvchan x n chaqirdi cheksiz katta , agar har qanday o'zboshimchalik bilan katta raqam uchun A>0, shunday natural son bor N, bu o'zgaruvchining barcha qiymatlari x n, kimning raqami n>N, tengsizlikni qanoatlantiring.

Bunday holda ular yozadilar yoki.

Masalan, cheksiz katta bo'lgan o'zgaruvchilar:

x n = n 2 : 1,4,9,16,…; x n = -5n: -5, -10, -15, -20, …;

x n = (-1) n × n: -1, 2, -3, 4, -5, 6, … .

Ko'rinib turibdiki, bu o'zgaruvchilar qiymatlarining kattaligi cheksiz o'sib boradi.

, , .

Cheksiz kattaning cheksiz katta yoki chegarasi bo'lgan miqdorning mahsuloti cheksiz katta miqdordir.

Bitta belgining cheksiz katta sonlari yig'indisi cheksiz katta.

Cheksiz kattaning o'zaro nisbati cheksiz kichik.

Cheksiz kichikning o'zaro nisbati cheksiz kattadir.

Izoh.

Agar, A- raqam, keyin shunday deyishadi x n Unda bor cheklangan chegara.

Agar shunday bo'lsa, ular shunday deyishadi x n Unda bor cheksiz chegara.

O'zgaruvchilar ustidagi arifmetik amallar

Agar o'zgaruvchilar x n Va y n chekli chegaralarga ega bo'lsa, ularning yig'indisi, farqi, mahsuloti va qismi ham chekli chegaralarga ega va agar va keyin

(4.3)

Izoh: , c = konst.

Doimiy omil chegara belgisidan tashqarida olinishi mumkin.

Funktsiya

Ikkita o'zgaruvchi berilgan bo'lsin x Va y.

O'zgaruvchan y chaqirdi funktsiyasi o'zgaruvchidan x, agar har bir qiymat x ma'lum bir to'plamdan, ma'lum bir qonunga ko'ra, ma'lum bir qiymat mos keladi y.

Qayerda x chaqirdi mustaqil o'zgaruvchi yoki dalil , y - bog'liq o'zgaruvchi yoki funktsiyasi . Belgilangan: y = f(x) yoki y=y(x).

Limit oliy matematikaning eng asosiy tushunchalaridan biridir. Ushbu bobda biz ikkita asosiy chegara turini ko'rib chiqamiz: 1) o'zgaruvchining chegarasi; 2) funksiya chegarasi.

Mayli X – O'zgaruvchan qiymat. Bu qiymat degan ma'noni anglatadi X uning ma'nosini o'zgartiradi. Aynan shu narsa uni boshqasidan tubdan farq qiladi Doimiy qiymat A, bu uning o'zgarmagan qiymatini o'zgartirmaydi. Masalan, ustunning balandligi doimiy qiymat, lekin tirik o'sayotgan daraxtning balandligi o'zgaruvchan qiymatdir.

O'zgaruvchan qiymat X ketma-ketlik berilgan bo'lsa, berilgan hisoblanadi

Uning ma'nolari. Ya'ni, bu qadriyatlar X 1; X 2; X 3;..., uni o'z o'zgarishi jarayonida izchil, birin-ketin qabul qiladi. Biz bu jarayonni kattaligi bo'yicha o'zgartirishni taxmin qilamiz X uning qiymatlari hech qanday bosqichda to'xtamaydi (o'zgaruvchi X hech qachon muzlamaydi, u "har doim tirik"). Bu (1.1) ketma-ketlik cheksiz sonli qiymatlarga ega ekanligini bildiradi, u (1.1) da ellips bilan belgilanadi.

Tabiiyki, kattalik o'zgarishining tabiatiga qiziqish paydo bo'ladi X ularning ma'nolari. Ya'ni, savol tug'iladi: bu qiymatlar tizimsiz, tartibsiz yoki qandaydir maqsadli ravishda o'zgaradimi?

Asosiy qiziqish, albatta, ikkinchi variant. Ya'ni, qadriyatlarga ruxsat bering Xn O'zgaruvchan X ularning soni ortib borishi bilan N cheksiz yaqinlashmoqda ( intilish) ma'lum bir raqamga A. Bu qiymatlar orasidagi farqni (masofani) bildiradi Xn O'zgaruvchan X va raqam A shartnomalar, u ortib borishi uchun moyil N(da) nolga. “Izlaydi” so‘zini o‘q bilan almashtirsak, yuqoridagilarni quyidagicha yozish mumkin:

Da<=>da (1,2)

Agar (1.2) bajarilsa, biz shunday deymiz X o'zgaruvchisi a soniga intiladi. Bu raqam A Chaqirildi O'zgaruvchi chegarasiX. Va u quyidagicha yozilgan:

<=> (1.3)

O'qiladi: CheklashXtengA (Xuchun intiladiA).

Aspiratsiya o'zgaruvchanligi X chegarangizga A Raqamlar o'qida aniq tasvirlangan bo'lishi mumkin. Bu istakning aniq matematik ma'nosi X Kimga A shundan iboratki, bitta ijobiy raqam qanchalik kichik bo'lmasin va shuning uchun interval qanchalik kichik bo'lmasin raqamlar qatoridagi raqamni o'rab qo'ymang A, bu oraliqda (sonning - mahallasi deb ataladigan joyda A) ma'lum bir raqamdan boshlab uriladi N, barcha qiymatlar Xn O'zgaruvchan X. Xususan, rasmda. Raqamning tasvirlangan mahallasida 3.1 A barcha qadriyatlarni oldi Xn O'zgaruvchan X, raqamdan boshlab.

O'zgaruvchan X uning chegarasi sifatida nolga ega bo'lish (ya'ni nolga moyillik) deyiladi Cheksiz kichik. Oʻzgaruvchi X, mutlaq qiymatda cheksiz o'sish deyiladi Cheksiz katta(uning moduli cheksizlikka intiladi).

Demak, agar bo'lsa, keyin X cheksiz kichik o'zgaruvchan miqdor bo'lib, agar bo'lsa, u holda X- cheksiz katta o'zgaruvchan miqdor. Xususan, agar yoki , keyin X- cheksiz katta o'zgaruvchan miqdor.

Agar , keyin . Va aksincha, agar , Bu. Bu yerdan biz o'zgaruvchi o'rtasida quyidagi muhim bog'lanishni olamiz X va uning chegarasi A:

E'tibor bering, har bir o'zgaruvchi emas X chegarasi bor. Ko'pgina o'zgaruvchilarning chegarasi yo'q. Uning mavjudligi yoki yo'qligi ushbu o'zgaruvchining qiymatlari ketma-ketligi (1.1) qanday bo'lishiga bog'liq.

1-misol . Mayli

Bu erda, aniq, ya'ni.

2-misol . Mayli

X- cheksiz kichik.

3-misol . Mayli

Bu erda, aniq, ya'ni. Shunday qilib, o'zgaruvchi X- cheksiz katta.

4-misol . Mayli

Bu erda, shubhasiz, o'zgaruvchi X hech narsaga intilmaydi. Ya'ni, uning chegarasi yo'q (mavjud emas).

5-misol . Mayli

Bu erda o'zgaruvchining chegarasi bilan bog'liq vaziyat X oldingi to'rtta misoldagi kabi aniq emas. Ushbu vaziyatni aniqlashtirish uchun keling, qadriyatlarni o'zgartiramiz Xn o'zgaruvchan X:

Shubhasiz, qachon. Ma'nosi,

da .

Va bu shuni anglatadiki, ya'ni.

6-misol . Mayli

Bu erda ketma-ketlik ( Xn) o'zgaruvchan qiymatlar X maxraj bilan cheksiz geometrik progressiyani ifodalaydi Q. Shuning uchun, o'zgaruvchining chegarasi X cheksiz geometrik progressiyaning chegarasi.

A) Agar , u holda, aniq, da. Va bu shuni anglatadiki ().