Kompleks sonning moduli va argumenti. Trigonometrik

Kompleks sonlar bizga tanish bo'lgan haqiqiy sonlar to'plamining minimal kengaytmasidir. Ularning asosiy farqi shundaki, kvadrat bo'lganda -1 ni beradigan element paydo bo'ladi, ya'ni. i, yoki .

Har qanday kompleks son ikki qismdan iborat: haqiqiy va xayoliy:

Shunday qilib, haqiqiy sonlar to'plami nol xayoliy qismga ega bo'lgan kompleks sonlar to'plamiga to'g'ri kelishi aniq.

Kompleks sonlar to'plami uchun eng mashhur model oddiy tekislikdir. Har bir nuqtaning birinchi koordinatasi uning haqiqiy qismi, ikkinchisi esa xayoliy qismi bo'ladi. Shunda kompleks sonlarning o'z roli boshi (0,0) nuqtada bo'lgan vektorlar bo'ladi.

Kompleks sonlar ustida amallar.

Darhaqiqat, agar kompleks sonlar to'plamining modelini hisobga oladigan bo'lsak, ikkita kompleks sonni qo'shish (ayirish) va ko'paytirish vektorlar ustidagi mos keladigan amallar bilan bir xil tarzda amalga oshirilishi intuitiv ravishda aniq bo'ladi. Bundan tashqari, biz vektorlarning vektor mahsulotini nazarda tutamiz, chunki bu operatsiyaning natijasi yana vektordir.

1.1 Qo'shimcha.

(Ko'rib turganingizdek, bu operatsiya to'liq mos keladi)

1.2 Ayirish, xuddi shunday, quyidagi qoida bo'yicha ishlab chiqariladi:

2. Ko‘paytirish.

3. Bo'lim.

Ko'paytirishning teskari amali sifatida oddiygina aniqlanadi.

Trigonometrik shakl.

z kompleks sonining moduli quyidagi miqdorga teng:

,

Shubhasiz, bu yana faqat vektorning moduli (uzunligi) (a, b).

Ko'pincha kompleks sonning moduli quyidagicha belgilanadi ρ.

Shunday bo'ladi

z = r(cosph+isinph).

Quyidagilar to'g'ridan-to'g'ri murakkab sonni yozishning trigonometrik shaklidan kelib chiqadi: formulalar :

Oxirgi formula deyiladi Moivre formulasi. Formula to'g'ridan-to'g'ri undan olingan kompleks sonning n- ildizi:

demak, z kompleks sonining n-nchi ildizi mavjud.

Dars rejasi.

1. Tashkiliy moment.

2. Materialni taqdim etish.

3. Uy vazifasi.

4. Darsni yakunlash.

Darslar davomida

I. Tashkiliy moment.

II. Materialning taqdimoti.

Motivatsiya.

Haqiqiy sonlar to'plamining kengayishi haqiqiy sonlarga yangi raqamlarni (xayoliy) qo'shishdan iborat. Ushbu raqamlarning kiritilishi haqiqiy sonlar to'plamida manfiy sonning ildizini ajratib olishning iloji yo'qligi bilan bog'liq.

Kompleks son tushunchasi bilan tanishtirish.

Haqiqiy sonlarni to'ldiruvchi xayoliy sonlar shaklda yoziladi bi, Qayerda i xayoliy birlikdir va i 2 = - 1.

Bunga asoslanib, kompleks sonning quyidagi ta'rifini olamiz.

Ta'rif. Kompleks son shaklning ifodasidir a+bi, Qayerda a Va b- haqiqiy raqamlar. Bunday holda, quyidagi shartlar bajariladi:

a) Ikkita kompleks son a 1 + b 1 i Va a 2 + b 2 i teng va faqat agar a 1 = a 2, b 1 = b 2.

b) Kompleks sonlarning qo‘shilishi quyidagi qoida bilan aniqlanadi:

(a 1 + b 1 i) + (a 2 + b 2 i) = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2) i.

c) Kompleks sonlarni ko'paytirish qoida bilan aniqlanadi:

(a 1 + b 1 i) (a 2 + b 2 i) = (a 1 a 2 - b 1 b 2) + (a 1 b 2 - a 2 b 1) i.

Kompleks sonning algebraik shakli.

Kompleks sonni shaklda yozish a+bi kompleks sonning algebraik shakli deyiladi, bu erda A- haqiqiy qism, bi xayoliy qismdir va b- haqiqiy raqam.

Kompleks raqam a+bi Agar uning haqiqiy va xayoliy qismlari nolga teng bo'lsa, nolga teng deb hisoblanadi: a = b = 0

Kompleks raqam a+bi da b = 0 haqiqiy son bilan bir xil deb hisoblanadi a: a + 0i = a.

Kompleks raqam a+bi da a = 0 sof xayoliy deyiladi va belgilanadi bi: 0 + bi = bi.

Ikkita murakkab raqam z = a + bi Va = a - bi, faqat xayoliy qismning belgisi bilan farqlanadi, konjugat deyiladi.

Algebraik shaklda kompleks sonlar ustida amallar.

Kompleks sonlar ustida quyidagi amallarni algebraik shaklda bajarish mumkin.

1) qo'shimcha.

Ta'rif. Kompleks sonlar yig'indisi z 1 = a 1 + b 1 i Va z 2 = a 2 + b 2 i kompleks son deyiladi z, uning haqiqiy qismi haqiqiy qismlar yig'indisiga teng z 1 Va z 2, va xayoliy qism sonlarning xayoliy qismlari yig'indisidir z 1 Va z 2, ya'ni z = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2)i.

Raqamlar z 1 Va z 2 atamalar deb ataladi.

Kompleks sonlarni qo'shish quyidagi xususiyatlarga ega:

1º. Kommutativlik: z 1 + z 2 = z 2 + z 1.

2º. Assotsiativlik: (z 1 + z 2) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3).

3º. Kompleks raqam –a –bi kompleks sonning teskarisi deyiladi z = a + bi. Kompleks son, kompleks songa qarama-qarshi z, belgilangan -z. Kompleks sonlar yig'indisi z Va -z nolga teng: z + (-z) = 0

1-misol: Qo'shishni bajaring (3 – i) + (-1 + 2i).

(3 – i) + (-1 + 2i) = (3 + (-1)) + (-1 + 2) i = 2 + 1i.

2) ayirish.

Ta'rif. Kompleks sondan ayirish z 1 murakkab son z 2 z, Nima z + z 2 = z 1.

Teorema. Kompleks sonlar orasidagi farq mavjud va noyobdir.

2-misol: ayirish amalini bajaring (4 – 2i) - (-3 + 2i).

(4 – 2i) - (-3 + 2i) = (4 - (-3)) + (-2 - 2) i = 7 – 4i.

3) ko'paytirish.

Ta'rif. Kompleks sonlar mahsuloti z 1 =a 1 +b 1 i Va z 2 =a 2 +b 2 i kompleks son deyiladi z, tenglik bilan belgilanadi: z = (a 1 a 2 – b 1 b 2) + (a 1 b 2 + a 2 b 1)i.

Raqamlar z 1 Va z 2 omillar deyiladi.

Kompleks sonlarni ko'paytirish quyidagi xususiyatlarga ega:

1º. Kommutativlik: z 1 z 2 = z 2 z 1.

2º. Assotsiativlik: (z 1 z 2)z 3 = z 1 (z 2 z 3)

3º. Ko'paytirishning qo'shishga nisbatan taqsimlanishi:

(z 1 + z 2) z 3 = z 1 z 3 + z 2 z 3.

4º. z = (a + bi)(a – bi) = a 2 + b 2- haqiqiy raqam.

Amalda kompleks sonlarni ko'paytirish yig'indini yig'indiga ko'paytirish va haqiqiy va xayoliy qismlarni ajratish qoidasiga muvofiq amalga oshiriladi.

Quyidagi misolda kompleks sonlarni ikki usulda ko‘paytirishni ko‘rib chiqamiz: qoida bo‘yicha va yig‘indini yig‘indiga ko‘paytirish.

3-misol: Ko'paytirishni bajaring (2 + 3i) (5 – 7i).

1 yo'l. (2 + 3i) (5 – 7i) = (2× 5 – 3× (- 7)) + (2× (- 7) + 3× 5)i = = (10 + 21) + (- 14 + 15) )i = 31 + i.

2-usul. (2 + 3i) (5 – 7i) = 2× 5 + 2× (- 7i) + 3i× 5 + 3i× (- 7i) = = 10 – 14i + 15i + 21 = 31 + i.

4) Bo'lim.

Ta'rif. Kompleks sonni ajrating z 1 murakkab songa z 2, shunday kompleks sonni topishni bildiradi z, Nima z · z 2 = z 1.

Teorema. Murakkab sonlar bo'limi mavjud va yagona bo'lsa z 2 ≠ 0 + 0i.

Amaliyotda kompleks sonlarning bo‘lagi aylanma va maxrajni maxrajning konjugatiga ko‘paytirish yo‘li bilan topiladi.

Mayli z 1 = a 1 + b 1 i, z 2 = a 2 + b 2 i, Keyin

.

Quyidagi misolda biz sonning maxrajga konjugati bilan ko'paytirish formulasi va qoidasi yordamida bo'linishni bajaramiz.

4-misol. Ko‘rsatkichni toping .

5) Ijobiy butun kuchga ko'tarilish.

a) Xayoliy birlikning kuchlari.

Tenglikdan foydalanish i 2 = -1, xayoliy birlikning istalgan musbat butun kuchini aniqlash oson. Bizda ... bor:

i 3 = i 2 i = -i,

i 4 = i 2 i 2 = 1,

i 5 = i 4 i = i,

i 6 = i 4 i 2 = -1,

i 7 = i 5 i 2 = -i,

i 8 = i 6 i 2 = 1 va hokazo.

Bu daraja qiymatlarini ko'rsatadi men n, Qayerda n– musbat butun son, vaqti-vaqti bilan indikator ortishi bilan takrorlanadi 4 .

Shuning uchun, raqamni oshirish uchun i musbat butun kuchga, biz ko'rsatkichni ga bo'lishimiz kerak 4 va qurish i ko'rsatkichi bo'linishning qolgan qismiga teng bo'lgan darajaga.

5-misol: Hisoblang: (i 36 + i 17) i 23.

i 36 = (i 4) 9 = 1 9 = 1,

i 17 = i 4 × 4+1 = (i 4) 4 × i = 1 · i = i.

i 23 = i 4 × 5+3 = (i 4) 5 × i 3 = 1 i 3 = - i.

(i 36 + i 17) · i 23 = (1 + i) (- i) = - i + 1= 1 – i.

b) Kompleks sonni musbat butun darajaga ko'tarish binomialni mos darajaga ko'tarish qoidasiga muvofiq amalga oshiriladi, chunki bu bir xil kompleks omillarni ko'paytirishning maxsus holatidir.

6-misol: Hisoblang: (4 + 2i) 3

(4 + 2i) 3 = 4 3 + 3× 4 2 × 2i + 3× 4× (2i) 2 + (2i) 3 = 64 + 96i – 48 – 8i = 16 + 88i.